积分不等式的证明及应用

积分不等式的证明及应用（精选6篇）

篇1：积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院

毕业论文（设计）

题 目：积分不等式的证明及应用

所 在 系： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数

0.引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1)若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b，使得fxdxfba.ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数.分析 由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n.,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2)若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续；iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x.,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.ababfxMxa,xa，fxMbx,x,b22，故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M.注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0，0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0，1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx.例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x，x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式.分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy，aapxgxdxpygydy.aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知，D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号，于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0.即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx.aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是，bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a.2.一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx.1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx.不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式.此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向.定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向.例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx.证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx.证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立.2.4 Young不等式的应用

Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab.不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立.证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有，a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb.2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx.证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx.结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35.[3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102.[6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108.[8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109.[9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequality Department of Mathematics and Computational Science

Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality;theorem of mean;function

篇2：积分不等式的证明及应用

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编：443000电子邮箱：c220032003@yahoo.cn

数列和式不等式aiA(或aiA)的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，i

1i1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)1

第2题）

证明：

构造函数f(x)

1

1

1（nN）（高中人教（A）版选修4-5P29，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

1

应为直线x1，xn，x轴和曲

线

f(x)

所围成曲边梯形面积的不足近似值，故







n

x



2dx=2x

2n

=2，所以

图（1）

1





1。

图（2）中n

个矩形的面积和1



应为直线

x1，xn1，x轴和曲

线f(x)所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1







n1

x



dx=

图（2）

2x2

n1

=2，不等式得证。

评析：

教材对本题证明给出了提示：









①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如不参考提示很难得到。事实

上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间n,n1(nN)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n1对应的函数值f(n1)为一边的长，以1

为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）

应的函数值f(n)为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即





n1n

x



dx2x2

n1n





代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n，试证：（1）当nN时，求证：ln(n1)lnn

（2）

1n1



1n2



1nn

ln

3

1n+1

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数f(x)

1x

(x0)，作出函数图象，根据yf(x)

在区间n,2n上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的面积和小于由直线xn，x2n，x轴和曲线f(x)围

1x

所，即

成

n的12

曲

边梯形的面积

n1

21n1

ln2nxx

n(n2l

7n)n，l不等式nln

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证：()()（n

n

n

n

n1

nnn)()2nn

1n

1n1



（nN）



1n



证明：对于大于1的正整数n，n2

篇3：微积分在不等式证明中的应用研究

关键词：微积分,不等式,证明,辅助函数

不等式的证明, 在初等数学里已经介绍过若干种方法, 如比较法, 综合法, 分析法, 放缩法, 反证法, 数学归纳法和构造法等等。然后有些不等式用初等数学方法很难证明, 但是利用微积分证明却相对容易一些。利用微积分证明不等式, 是根据不等式的特点, 通常需要构造辅助函数, 把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。

1 利用函数单调性证明不等式

利用函数单调性来证明不等式是不等式证明的一个重要方法。

undefined

证明:由于x, y的对称性, 我们不妨设x≥y>0,

先研究x>y的情形, 令f (x) =lnP (x, y) -lnL (x, y)

则undefined

由于x>y则有不等式undefined (此不等式系ostle, Tewilliger和Mitrinuvic分别于1957和1970年建立) 知f' (x) >0, 即是单调增函数,

因此有f (x) >f (y) =lny-lny=0即得lnP (x, y) >lnL (x, y) , (x>y) ,

由指数函数的单调性有p (x, y) >L (x, y) 当x=y时, p (x, y) =L (x, y)

例2.设xi>0 (i=1, 2, ……n) , 试证明undefined。

证明:构造辅助函数undefined则undefined,

由平均值不等式知undefined故f' (x) ≥1对一切x≥0成立,

由拉格朗日中值定理得f (1) -f (0) =f′ (0) ≥1即得证。

2 利用函数极 (最) 值证明不等式

若所设函数不是单调函数, 我们可以考虑利用函数的极值证明不等式。

例3.设undefined, 证明undefined。

证明:构造函数undefined易判别undefined为f (x) 的最小值ξ。所以undefined令undefined取k=n2+1, 代入上式整理后得

undefined

于是undefined由平均值不等式得undefined即undefined代入上式整理即得undefined。

3 利用函数的泰勒展开式证明不等式

若函数f (x) 在有x0的某区间有定义, 并且有直到n-1阶的各阶导数, 有在点x0处有n阶导数f (n) (xn) , 则有展开式:

undefined

在泰勒公式中, 取x0=0, 变为麦克劳林公式

undefined

在上述公式中若Rn (x) ≥0 (或Rn (x) ≤0) 则可得

undefined

或undefined

分析:使用泰勒展开式证明不等式主要是针对形如undefined等形式的函数不等式的证明, 当这样的形式出现时候, 观察一下不等式的变化, 优先考虑使用泰勒展开式证明不等式。使用泰勒展开式证明不等式, 取相应的前几项, 很容易得出所要证明的结果。

例4.设在f (x) [0, 1]上二阶可导, 且有|f (x) |≤1, |f'' (x) |<2证明|f' (x) |≤3。

证明:由泰勒展开式知存在η∈ (0, x) 及ξ∈ (x, 1) , 使得

undefined

undefined

所以undefined。

例5.证明不等式:当undefined时, undefined。

分析证明:由于undefined

故undefined,

显然undefined

即undefined

故undefined当undefined时成立。

4 利用函数的凹凸性证明不等式

若函数y=f (x) 的图形在区间 (a, b) 是凹 (凸) 的, 则对 (a, b) 内任意两点x1和x2, 都有undefined, 从而可利用函数图形的凹凸性证明一些不等式, 特别是一类多元不等式, 通常是根据欲证明不等式, 构造辅助函数, 利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性, 从而证明不等式。

例6.证明Holder不等式undefined其中undefined及ai>0, bi>0, i=1, 2, ……n。

证明:设f (x) =xα (x>0) 由凸函数的Jensen不等式得

undefined其中xi>0, pi>0, i=1, 2, ……n

即undefined即undefined

令undefined代入整理即得证。

例7.设ai>0且不全相等, α, β∈R且α>β

则Mα (a1, a2……an) >Mβ (a1, a2……an)

其中undefined定义undefined。

undefined

由Canchy不等式知f'' (x) >0即f (x) 为下凸函数由文[1]定理知

undefined为[0, ∞]上的严格递增函数故undefined整理后即得证。

5 利用积分证明不等式

例8.设0≤a1≤a2≤a3≤a4α∈R

(1) 设a2+a3≥a1+a4

若0<α<1则a2α+a3α≥a1α+a4α若α<0则a2α+a3α≤a1α+a4α

(2) .设a2+a3≤a1+a4, α>1, 则a2α+a3α≤a1α+a4α

证明:记a3-a1=θ, 由所设得θ≥0, 由积分知识易得

undefined∫undefinedxα-1dx=∫undefined (y+θ) α-1dy=∫undefined (y+θ) α-1dy

(1) 由于a2+a3≥a1+a4, α<1, θ≥0故得a4-θ≤a2, (y+θ) α-1≤yα-1

所以undefined∫undefined (y+θ) α-1dy≤∫undefinedundefined

若0<α<1则有a4α-a3α≤a2α-a1α即a2α+a3α≥a1α+a4α

若α<0则有a4α-a3α≥a2α-a1α即a2α+a3α≤a1α+a4α同理可证 (2)

例9.对任意正整数n>1, 求证:undefined。

证明:令f (x) =xn, x∈[0, 1]虽然当n>1时, 函数f (x) 是下凸的,

将[0, 1]n等分, 由积分性质我们有不等式

undefined∫undefinedxndy

undefined

从第一个不等式得undefined

从第二个不等式得

undefined。

参考文献

[1]刘晓波.凸函数的一个性质ρ[J].厦门数学通讯, 1987, (1) .

[2]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科技出版社, 2004.

[3]胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉:武汉大学出版社, 2007.

[4]G.H.哈代.J.E.Littlewood.G.波利亚著, 越民文译, 不等式[M].北京:北京科学出版社.1965.

篇4：浅谈微积分在不等式证明中的应用

关键词：微积分 不等式 证明 应用

不等式是数学在函数、三角证明、几何证明中的重要内容。在数学学习中，利用初等方法求解不等式，对解题思路、解题技巧的要求较高。而借助微积分理论来求解不等式，往往使问题变得简单。

微积分解不等式相较于初等方法来说，思路更加清晰，而且对解题技巧的要求不是太高。笔者将结合高等数学中的微积分理论，在下文中针对微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理、级数理论来解决不等式的问题进行详细说明。

1 利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理：假设函数y=f（x）满足条件①和条件②：①在区间[a，b]上连续；②在区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=■。由于ξ在a，b之间，因此f′（ξ）将有一个取值范围，也就是说■有一个取值范围，由此可得到一个不等式。因此，可利用ξ在（a，b）内的特点证明不等式。利用微分中值定理，证明的关键在于函数和区间的选取。

例1 证明：设0

证：（1）当a=b时，上式显然成立。

（2）当0

故当0

2 利用函数的增减性证明不等式

函数f（x）在区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）的充要条件：f′（x）>0（或f′（x）<0）。可利用此定理证明不等式。

例2 证明：当x>0时，x-■x■

证：先证sinx0时，f（x）是递减的（个别点处f′（x）=0，不影响f（x）是递减的结论），所以当x>0时，有f（x）

再证左边不等式，令F（x）=sinx-x+■x■，则F（0）=0，F′（x）=cosx-1+■x2（当看不清F′（x）的正负号时可重复上述思路），F′（0）=0，F′′（x）=-sinx+x，由sinx0，所以在x>0时，F′（x）>F′（0）=0，故在x>0时，F（x）>0，即x-■x■0时，x-■x■

3 利用极值证明不等式

函数某领域内取得极大值或极小值，就能够借助极值特点证明不等式。

例3 证明：当x≥0时，nxn-1-（n-1）xn-1？燮0（n>1，n∈N）。

证：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，

则f′（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）。

令f′（x）=0，得驻点x=1（因为x=0是x≥0的端点，所以x=0不是驻点）且当x<1时，f′（x）>0；当x>1时，f′（x）>0，所以f（1）=0，是极大值也是最大值，从而得：f（x）≤f（1）=0（x≥0），即nxn-1-（n-1）xn-1？燮0。

4 利用函数凹凸性的特点证明不等式

如果函数f（x）是凸函数，则在（a，b）上有■[f（x■）+f（x■）]？燮f■；如果函数f（x）是凹函数，则在（a，b）上有■[f（x■）+f（x■）]？叟f■。利用这一特点证明不等式。

例4 证明：若x>0，y>0，x≠y，则xlnx+ylny>（x+y）ln■

证：设f（t）=tlnt，则t>0，f′（t）=1+lnt，f′′（t）=■>0，因此，函数f（t）=tlnt在（0，+∞）上是凹的；由函数凹性的定义， x>0，y>0，x≠y有xlnx+ylny>（x+y）ln■，由此可证原不等式成立。

5 利用级数证明不等式

按照幂级函数的形式将函数展开，对不等式进行证明。

例5 证明：■

证明：原不等式等价于■

由e■=1+2x+■+…+■+… x∈（0，1）

■=（1+x）（1+x+x2+…）=1+2x+2x2+2x3+…+2xn+… x∈（0，1）

知不等式级数展开式左边的一般项2xn，右边的一般项■；在n？叟3的条件下2>■，所以，当n？叟3，0

有2xn>■，1+■2x■>1+■■。即■

通过以上论述可以得出结论：熟知高等数学的基本理论，并掌握解题方法，不等式的问题就迎刃而解。利用微积分解不等式的方法比初等解题方法更简单，解题思路更清晰，且不需要太多解题技巧，这是它可以进一步推广的优点所在。

参考文献：

[1]顾静相主编.经济数学基础（上册）[M].高等教育出版社，

2003.

[2]同济大学数学系编.高等数学[M].第六版.高等教育出版社，2011.

[3]张党光.高中微积分的教学策略研究[D].陕西师范大学，2013.

作者简介：

贺建平（1964-），女，宝鸡职业技术学院，副教授。

篇5：利用二重积分证明不等式

b

af(x)dxg(x)dx(ba)f(x)g(x)dx aabb

证明 由于f(x),g(x)是[a,b]单调增加的函数,于是

(f(x)f(y))(g(x)g(y))0

(f(x)f(y))(g(x)g(y))dxdy0 …………….(1)D

其中 D为 axb,注意到 ayb.f(x)g(x)dxdyf(y)g(y)dxdy

DD

Df(x)g(y)dxdyf(y)g(x)dxdy D

由(1)可得

b

af(x)dxg(x)dxf(x)dxg(y)dyf(x)g(y)dxdyaaaD

bbbbbb f(x)g(x)dxdydyf(x)g(x)dx(ba)f(x)g(x)dx

篇6：积分不等式的证明及应用

证明数列前n项和 不等式的定积分 放缩法

摘要：本文深入分析数列与函数之间的联系，结合高等数学中数项级数[4]的观点研究高考证明数列前n项和不等式的相关问题。本着“数形结合”的重要数学思想，抓住数列的本质是数值函数这一特点，另辟蹊径，利用分析学“定积分”这一工具，探究对数列前n项和不等式进行放缩的方法。关键词：数列；不等式；定积分；数形结合。

数列，高考的重中之重。而对于数列前n项和不等式的证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型会比第一种更复杂[2]。对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对象”，即便我们对原数列“无从下手”，也可以根据“式”的偶性，将不等号右边的式子也看作是某一数列的“和”，再通过“和转项”的方式找到其对应的“项”，从而我们不妨逐项比较，最后累加达到目的。此外，山穷水复之时，数学归纳法也是个不错的选择。所以，对于第一种题型来说，有多种比较成熟的应对方法，这里就不逐一列举。然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前n项和的“极限”，而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进一步证明我们想要的结论（如果将变形后数列的前n项和看作一个函数，那么待证明的常数C通常是这个函数的极限）。显然，这执行起来十分困难，要求学生有足够的“数学远见”，并且要记一些常用的方法和结论，无疑是“雾里看花”。因为，即使在这些结论上下了很大功夫，题目稍加变化后，学生们仍是感到“无从下手”。况且，即便命题人不改变题目的结构，仅仅是将不等式的强度加大，学生在解题时，还是会陷入漫无目的“尝试”。所以，数列前n项和不等式的证明一直以来都是高考的难点，而那些尽可能巧妙地解决这类问题的方法大多都指向“构造”的思想。而“构造”需要“数学远见”，要求学生具备极好的“数学素养”，非一日之功。况且，想要通过做题、总结的方式培养这种“素养”，绝非易事。为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体会定积分放缩法的优越性。由例1.及其变式不难看出，利用定积分放缩法往往并不是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。综述：定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决由“数项级数”所引申出的“证明数列前n项和不等式”的问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。定积分放缩法中处处渗透了“数形结合”的数学思想，并将数列与函数联系起来，使学生深刻地认识到数列是离散的数值函数这一本质，有机地反映了将“代数-几何-分析”综合起来的“数学美”，有助于提高学生对数学的学习兴趣。定积分放缩法是建立在常规放缩法基础之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的数学模型一样，我们希望但永远不能将所有问题都用一个“统一的方法”来解决。数学的灵魂，在于各分支间的融会贯通，“统一的方法”和“永动机”一样是不存在的。数学本身的“包罗万象”，足以从其自身内部酝酿出千变万化的解题方法。由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。参考文献[1].《浅谈高等数学在中学数学中的应用》[M].广东石油化工学院，22-24[2].李广修.证明不等式的定积分放缩法[J].数学通报，2008,47（7）：55-57[3].意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法[J].光量子，2015；10；29[4].《高等数学》[M].同济大学数学系，2014第7版：251-327致谢感谢天津市第一〇二中学数学组：马萍，严虹，纪洪伟，张倩老师对我研究的帮助与支持。感谢“高中数学解题研究会”杜巍老师给予的帮助。感谢“高中数学解题研究会”提供优良的研究平台及学术氛围。感谢周围对我研究的支持和认可。