定积分不等式的证明

定积分不等式的证明（通用9篇）

篇1：定积分不等式的证明

定积分在数列和式不等式证明中的应用

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编：443000电子邮箱：c220032003@yahoo.cn

数列和式不等式aiA(或aiA)的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，i

1i1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)1

第2题）

证明：

构造函数f(x)

1

1

1（nN）（高中人教（A）版选修4-5P29，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

1

应为直线x1，xn，x轴和曲

线

f(x)

所围成曲边梯形面积的不足近似值，故







n

x



2dx=2x

2n

=2，所以

图（1）

1





1。

图（2）中n

个矩形的面积和1



应为直线

x1，xn1，x轴和曲

线f(x)所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1







n1

x



dx=

图（2）

2x2

n1

=2，不等式得证。

评析：

教材对本题证明给出了提示：









①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如不参考提示很难得到。事实

上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间n,n1(nN)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n1对应的函数值f(n1)为一边的长，以1

为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）

应的函数值f(n)为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即





n1n

x



dx2x2

n1n





代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n，试证：（1）当nN时，求证：ln(n1)lnn

（2）

1n1



1n2



1nn

ln

3

1n+1

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数f(x)

1x

(x0)，作出函数图象，根据yf(x)

在区间n,2n上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的面积和小于由直线xn，x2n，x轴和曲线f(x)围

1x

所，即

成

n的12

曲

边梯形的面积

n1

21n1

ln2nxx

n(n2l

7n)n，l不等式nln

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证：()()（n

n

n

n

n1

nnn)()2nn

1n

1n1



（nN）



1n



证明：对于大于1的正整数n，n2

1

篇2：定积分不等式的证明

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数，求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数

数图象可知，在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

1即，因为，所以.所以

.例2求证

.证明构造函数而函数

在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积，图

2即，所以

.例3证明。

证明构造函数知，在区间

上，因，又其函数是凹函数，由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

3即

.所以

.二、型

例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图

4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数

处的切线方程为的图象在点

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（Ⅲ）不等式

列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的数时，此式适合，故只要证当

时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积，即

.图5

而

篇3：一道积分不等式的证明和改进

积分不等式设f( x) 在[0,1]上连续且单调递减,对α∈ ( 0,1) ,则有

给出几种证明方法,并以此为基础,弱化不等式的条件,提出了更具有广泛应用的两个积分不等式.

一、积分不等式的证明

1. 利用积分换元

由于f( x) 在[0,1]上连续,故令x = αt,则

2. 利用函数单调性

构造辅助函数

由于f( x) 在[0,1]上连续,因此关于α可导,故

又因为f( x) 在[0,α]上单调递减,故f( α) ≤f( x) ( x∈[0,α]) ,因此

所以

F'( α) ≤0,α∈ ( 0,1) .

故F( α) 在( 0,1) 单调递减,并且可扩展到在( 0,1]上单调递减,所以F( α) ≥F( 1) .

因此

3. 利用二重积分

将积分不等式两边转化为二重积分

其中各积分区域如图所示:又由于f( x) 在[0,1]上单调递减,故在D1内,有f( x) ≥f( α) ;

在 D2内,有

f( x) ≥ f( α) ;

在 D2内,有

f( x) ≤ f( α) .

而易知区域D1和D2的面积相等,因此

综上可知原不等式成立.

二、不等式的改进

由以上证明过程可见,可以将限定区间[0,1]进行适当修改,使得积分不等式更具有应用性.

定理1设f( x) 在[0,M]上连续且单调递减,对α,β∈ ( 0,M) ,若α≤β,则有

Remark: 该定理中的积分不等式形式对称,几何意义明显,可仿造上述方法证明,只需将1变成β即可. 当然还有很多证明方法,详见文献[2].

从定理1和定理2的证明中可看出,函数f( x) 连续这一条件至关重要,上述证明方法都是建立在这一条件的基础之上,这也势必使得该积分不等式的应用受到一定的限制.我们自然会考虑是否可以将上述积分不等式中函数f( x) 连续去掉,弱化条件,使不等式的应用更具广泛性? 研究发现是可行的,我们可以得到如下结论:

定理2设f( x) 在[0,M]上单调递减,对α,β∈ ( 0,M) ,若α≤β,则有

证明由于f( x) 在[0,M]上单调递减,故对α,β∈( 0,M) ,积分存在. 由于

故只需证

由于f( x) 在[0,M]上单调递减,故

当 x ∈[0,α],f( x) ≥ f( α) ,

当 x ∈[α,β],f( x) ≤ f( α) ,

所以

因此

篇4：有关定积分等式的证明

【关键词】定积分；等式；证明

定积分等式属于积分学重要内容，在学习和应用中，会碰到大量有关积分等式命题的证明。从积分等式命题的证明探求过程可以看出，它并非是一种纯粹的积分接替计算智能活动，证明往往具有较强的灵活性和技巧性。通常求证一道积分等式命题要用到多种技巧，而对同一个积分等式命题能用几种方法来证明的情形也较多。所以，有时很难确切对其证法进行分类。为了分析和解决这些问题，这里我们把导致问题获得解决的主要关键作为分类依据。常用的若干典型证法有换元法、辅助函数法、分部积分法等，常用的定理有连续函数在闭区间上的性质，积分性质及中值定理等。

篇5：积分不等式的证明及应用

毕业论文（设计）

题 目：积分不等式的证明及应用

所 在 系： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数

0.引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1)若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b，使得fxdxfba.ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数.分析 由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n.,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2)若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续；iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x.,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.ababfxMxa,xa，fxMbx,x,b22，故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M.注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0，0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0，1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx.例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x，x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式.分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy，aapxgxdxpygydy.aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知，D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号，于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0.即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx.aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是，bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a.2.一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx.1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx.不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式.此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向.定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向.例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx.证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx.证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立.2.4 Young不等式的应用

Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab.不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立.证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有，a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb.2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx.证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx.结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35.[3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102.[6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108.[8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109.[9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequality Department of Mathematics and Computational Science

Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

篇6：利用二重积分证明不等式

b

af(x)dxg(x)dx(ba)f(x)g(x)dx aabb

证明 由于f(x),g(x)是[a,b]单调增加的函数,于是

(f(x)f(y))(g(x)g(y))0

(f(x)f(y))(g(x)g(y))dxdy0 …………….(1)D

其中 D为 axb,注意到 ayb.f(x)g(x)dxdyf(y)g(y)dxdy

DD

Df(x)g(y)dxdyf(y)g(x)dxdy D

由(1)可得

b

af(x)dxg(x)dxf(x)dxg(y)dyf(x)g(y)dxdyaaaD

bbbbbb f(x)g(x)dxdydyf(x)g(x)dx(ba)f(x)g(x)dx

篇7：定积分证明题方法总结

若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢!

性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性质3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本积分公式或直接积分法

基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C()1x2arcsinxC(arccosxC)

直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：

1.第一类换元法(凑微分法)

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常见凑微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类;

(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);

(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次;奇次方，拆项;

2.第二类换元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:

(1) 对被积函数直接去根号;

(2) 到代换x1; t

(3) 三角代换去根号

x

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

x

f(xx，t

三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

(2)uvdx要比uvdx容易计算;

(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

arcsinx1dx，

u

v

篇8：积分法证明不等式

定理1设函数 (x) 与g (x) 为定义在[a, b]上的两个可积函数, 若 (x) ≤g (x) , x∈[α, b], 则。例1证明不等式

例1证明不等式

分析:积分与微分是互逆运算, 积分本身具有单调性, 问题关键在于把不等式两边构造成积分的形式, 便用微积分基本公式, 再利用定理1便可以证明。

令在[a, b]上是可积函数, 由定理1有:

于是有成立, 得证。

二、利用积分中值定理证明不等式

定理2若函数 (x) 在[a, b]上可积, 且存在原函数, 则至少存在一点ζ∈[a, b]使得

例2证明不等式分析:此不等式若用平方法证明比较简单, 这里利用积分中值定理来进行证明:把不等式作差转换成积分中值定理的形式。

三、利用积分几何证明不等式

例3设α, b≥1时, 证明不等式

分析:此题可以与定积分的“以直代曲”的“近似代替”的思想联系起来, 加上积分的几何意义使得不等式的证明变得更加简单。

其实证明不等式也是一门艺术, 它具有自己独到丰富的技术手法。因此, 我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想;充分利用微分与积分的知识来证明不等式, 使一些复杂的不等式得到更加简洁的证明, 也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于要抓住不等式的特点, 从而迅速有效地解决问题。

摘要：证明不等式不仅是初等数学的重要课题, 而且也是分析解决其他数学问题的基础。中学数学中证明不等式多用初等方法, 有时会使运算过程比较繁琐。如果利用定积分知识, 就可轻松地解决不等式中的证明问题。本文主要以例题形式充分利用积分的知识证明不等式。

关键词：不等式,积分,函数

参考文献

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[4]人民教育出版社中学数学室.数学 (选修Ⅱ) [M].人民教育出版社.2001

[5]马宝珊等编.数学解题方法[M].黑龙江出版社.1983

篇9：借助定积分证明不等式

先来看一道例题.

例1 证明：12+13+…+1n

分析1 本题要证的结论是一个十分优美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出现并要求考生证明.例如，2014年高考陕西卷理科数学压轴题、2015年高考广东卷理科数学压轴题的证题核心都是上述不等式.

传统的证明方法是将不等式右边裂项，并与左边一一对应寻找关系构造函数求解.

证明1 设函数f（x）=x+ln（1-x），x∈（0，1）时，f′（x）=1-11-x=-x1-x<0，f（x）单调递减，所以f（x）

取x=1n∈（0，1），n∈N+，则有1n

分析2 仔细观察原不等式，不难发现左边的和式中每一项都是函数f（x）=1x的函数值，而右侧则是函数g（x）=lnx的函数值，从而考虑将其看作原函数与导函数，这样一来右侧的原函数便可以看作对导函数的一个积分，再设法将左边与面积相联系，得到如下解法.

证明2 作f（x）=1x的图像（图1），设点（n-1，0），（n-1，1n），（n，0），（n，1n），（n∈N+且n≥2）围成的n个矩形的面积之和（即图中阴影部分）为S1，曲线y=1x，x∈[1，n]与x轴围成的曲边梯形面积为S2，根据图像显然有S2>S1.

又由于S1=1×12+1×13+…+1×1n=

∑ni=21i，S2=∫n11xdx=lnn所以原不等式得证.图1

从上面的证明中，相信大家已经领略到了积分法证明不等式的优美之处.虽然比较之下函数构造法的复杂度不高、计算量也不大，但在分析问题的过程中，通过一目了然的函数图像，积分法的思路显得远比函数法简洁且易于捕捉.

在上题中，定积分的主要作用在于赋予不等式中某一项或几项几何意义，然后再通过面积的比较直截了当地证明原不等式.下面的这道例题也使用了这种方法，不过在面积的比较上使用了一些技巧.

例2 设函数f（x）=ln（x+1），若-1f（x）-f（x2）x-x2是否恒成立？证明你的结论.

分析与证明 看到此题要证明的不等式结构，很容易联想到曲线割线的斜率.如果作出f（x）=lnx的图像，不难看出结论是显然成立的，但若要利用割线斜率来证明此题需要使用到拉格朗日中值定理，而中值定理却并不属于高考涉及的知识.

因此重新观察原不等式.注意到函数f（x）结构十分简单，因而如果熟练掌握利用定积分证明不等式的思想，不难想到将原函数函数值之差转化为导函数f′（x）=1x+1的定积分.如此一来，原不等式化为如下形式：

∫xx1f′（x）dxx-x1>∫x2xf′（x）dxx2-x.（*）

转化之后，下一步便是同上题一样作出f′（x）图像，联系上式积分式的几何意义，尝试寻找与面积相关的关系.

如图2所示，取点A，B，C，D，E，F，则∫xx1f′（x）dx即为曲边体形AEFD的面积，设为S1；同理设S2=SEBCF=∫x2xf′（x）dx.同时又有DF=x-x1，FC=x2-x.于是（*）式又进一步化为

S1DF>S2CF.图2

由于不易直接判断两边分式的大小，考虑借助中间量EF.过E作MN平行于x轴交直线AD、CB于M，N，注意到

S1DF>SMEFDDF=EF=SENCFCF>S2CF，

所以原不等式得证.

此题为湖南长沙高考模拟的一道理科数学压轴题，原题答案给出的证明方法是通过构造函数分别比较不等式两边与1x+1的大小.事实上，在上述证明中，中间量线段EF的长对应的值即为f′（x）=1x+1.尽管这两种方法看上去异曲同工，但在实际解题过程中，中间量的寻找难度却相差很大.定积分把抽象的代数式转化为了具体的几何图形及其面积，大大降低了寻找中间量的难度，从而有效地保证了解题思路的流畅连贯，不至使思路受阻而无法解出此题.

这两道例题的方法相似，都是通过面积的比较直接证明不等式.可以用这类方法解决的题目，其所求证的不等式大多具有较为明显的结构特点：如例题一，原函数与导函数同时出现在不等式中；或如例题二，不等式或变形后的不等式中涉及函数值之差.在这类问题的解决过程中积分法一旦能够有用武之地，它的优势通常都是十分显著的.这是因为此类题目在出题时制定的标准答案多为导数方法，题目的难点和易错点也大都存在于函数的构造、导数的计算等过程中，因而使用定积分常常能够巧妙的避开这些困难之处另辟蹊径，更加有效地逼近答案.

但定积分在不等式证明中的作用绝不仅限于此.我们知道，放缩是不等式证明中最重要最有效的方法之一，实际上利用定积分也可以实现对不等式的“放缩”.常见的放缩是通过添加、删除或改变常数、代数式等来实现，而接下来要介绍的方法则是对整个命题进行强化，其实质都是通过证明原命题的充分不必要条件来达到证明原命题的目的.

例3 已知函数f（x）=xex，求证：对任意x∈（0，1），f（1-x）

分析1 先化简原命题，代入自变量得1-xe1-x<1+xe1+x，整理得e2x<1+x1-x，尝试作差并构造函数证明.但二次求导之后发现构造出的函数难以研究其单调性，因此重新对原不等式进行变形，寻找易于处理的形式，并再次二次求导证明单调性.

证明1 要证1-xe1-x<1+xe1+x，只需证（1-x）e2x-（1+x）<0，设函数g（x）=（1-x）e2x-（1+x），x∈（0，1），则g′（x）=e2x-2xe2x-1，g′′（x）=-4xe2x<0，所以g′（x）单调递减，所以g′（x）

证明2 要证原命题，即证f（1）-f（1-x）>

-[f（1+x）-f（1）]，即∫11-xf′（t）dt>∫1+x1[-f′（t）]dt，强化命题，只需证对任意x∈（0，1），f′（1-x）>-f′（1+x）

即证1-（1-x）e1-x>-1-（1+x）e1+x，即xe1-x>xe1+x显然成立，所以原不等式得证.

证明2中对命题的一次强化正确性是比较显然的.由于不等号两边积分式的积分区间长度相同，如果保证了左段函数值总是“对应地”（关于直线x=1对称地）大于右段函数值，那么函数左段的定积分自然也大于右段的定积分.或者更为直观地说：设两曲边梯形A和B等底，使A和B的底边重合，若A的上轮廓总是高于B的上轮廓，A的面积当然要大于B的面积.这其实类似于立体几何中的祖暅定理.

基于这个结论，我们把对原函数函数值的比较转化为了对导函数函数值的比较，从而极大地降低了证明的难度，得到了一个甚至直接观察就可以证明的不等式.相比之下，第一种方法首先需要进行多次变形的尝试以找到一个易于构造函数、构造出的函数易于分析的不等式结构，然后又需要计算二阶导数来分析函数单调性并利用单调性证明原不等式，显得十分的复杂、繁琐.

以上的三道例题充分证明了定积分在不等式证明中是一个化繁为简、出奇制胜的有力工具，而不仅仅是一个在高考中只能用来解答基础题的知识.利用定积分证明不等式不仅能降低证明的难度，更能使证明过程更加简洁、优美，在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，必能获得事半功倍的效果.