定积分微元法研究论文

[摘要]积分理论从几何学和物理学中的实际问题引出，在科学技术上获得了广泛的应用。微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。微元法体现的是一种极限思想，有利于发展我们的思维，促进我们巩固知识、加深认识，对自然科学的学习和研究都很有帮助。下面是小编精心推荐的《定积分微元法研究论文(精选3篇)》，仅供参考，大家一起来看看吧。

定积分微元法研究论文 篇1：

关于定积分微元法的几点思考

摘要：微元法是分析和解决数学、物理以及工程问题的常用方法，集合了高等数学知识的精华。用微元法能很好地处理一些几何、物理等实际问题，并将问题转化为定积分表达式来求解，在微元法的使用上，最关键的就是选取微元，能否选择合理的所求量的微元，是关系所求问题的正确性的关键，本文探讨了微元法在几何中的应用，并探讨了如何选择合理的微元，以及利用微元法建立方程和数学模型，对培养学生的抽象思维、逻辑推理、创新能力、分析问题和解决实际问题都有很大的启示和帮助。

关键词：微元法;定积分;微分;微分方程;数学模型

在当今世界，教育和科研是兴国安邦的大计，而科研是以教育为基础的，教育的核心则是教学，教学科研、教育改革、全面推行素质教育是新世纪教学模式的重要目标，近几年随着高校招生的不断扩大，使得我国的高等教育受到极大的挑战并面临严峻的考验，在我国现有资源非常有限的情况下，我国的高等教育存在着质量与数量的两难抉择和冲突。一方面要通过扩招来满足实现高等教育普及化的强烈诉求，培养更多的人才来推动国家的经济发展;但同时因扩招而带来的教育资源稀缺、教育质量下滑，所培养的人才难以适应社会经济发展需求又是很紧迫的问题，而其中保证教学质量不滑坡是保证人才培养质量的关键。在党中央政府有关领导和部门的各方努力下，我国高校教学质量只能勉强维持原有水平，显然要想保证教学质量的提升是非常大的难题。在我国现行的高校体制下，高校内部的管理等都有很多不利于提高教学质量的种种因素，比如学校领导“官僚化”，学校学术管理“行政化”，学校管理“去民主化”，这些现象很大程度上损伤了教师教学的积极性。而教学质量作为高校的生命线，是高校生命力发展的重要源泉和保障，如何提高教学质量一直是高校不断探索的课题。高等数学的教学面临越来越多缩减课时的压力，怎么样在现有的大环境下有效保证教学质量是每一个任课教师必须认真思考的问题。高等数学作为本科教育阶段最为重要的基础课程之一，是培养学生数理思考问题的能力、逻辑推断的能力等等的重要基础课程之一。在高等数学的具体教学过程中，我们会根据不同专业的学生，不断的钻研、探索并根据学生的反映，调整教学方法和教学手段，提高高等数学教学的针对性，使得高等数学的教学更加适合不同专业学生的需求与实际，符合社会的发展，为他们后续专业课程的学习以及后续培养打下坚实的理论基础，这也是提高高等数学教学质量的一个重要策略。而微元法是在高等数学中将定积分这一抽象数学概念应用于解决实际问题中的一种重要方法，因此对微元法的教学研究一直受到广泛的关注。所谓微元法就是将研究对象（物体或者某种物理过程）进行无限的细分，再从中抽取出某一微小的部分进行分析研究和讨论，通过研究，找出被研究对象的整体的变化规律的一种方法。微元法是典型的从部分到整体的思维方法，充分体现了数学的微积分思想，很好地利用定积分解决了几何以及物理上的很多问题。在使用微元法处理问题时，我们通常需要将其分解为众多微小的“元过程”，而每个微小的“元过程”都遵循相同的规律或者具有相同的几何性态或者物理规律，这样，我们就仅仅需要分析研究其中一个微小的部分，即一个“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或者物理思想的处理，从而求得研究的整体问题，即用一个定积分的表达式体现所求的问题。我们知道在几何、物理或者其他学科的研究中很多问题都需要用定积分来表达，而建立这些量的积分表达式的惯用方法就是微元法。换句话说微元法的思想在定积分的应用中占着十分重要的地位，具体怎么样求微元，即如何正确地选取微元是问题的关键，选取的微元是否恰当关系到所求问题的合理性和正确性，但是在问题的求解过程中，具体什么样的微元才是恰当或者说合理的，这个问题在现行的高等数学课本中被省略了。省略的目的就是为了降低教学难度。那么如何选择微元才能保证所选取的微元是合理的呢？尤其是对于初学者来讲这是个难点，这也常常使得学生感到困惑，他们也只能机械套用和模仿书本上所讲的微元，具体表现在“微元法”中，当求解一条光滑曲线的长度时，我们在微小的部分上用切线的长度来近似代替微曲线的长度，在求解曲边梯形的面积时我们在微小部分上采用矩形的面积来近似代替微曲边梯形的面积，在求解旋转体的体积时，我们在微小的部分上采用圆柱体的体积来近似代替微旋转体的体积，等等。这在直观上理解起来也不困难，这也是“微元法的典型的特点”，即在求解问题的过程中，以不变的量代替变化的量，以均匀的过程代替不均匀的过程，用规则的量来代替不规则的量。那么是否直观上近似的量都可以作为所求量的微元呢？这就需要我们仔细分析一下微元法的实质，明白微元法的理论依据是什么。一般来讲，用定积分表达的量应具备以下两个基本特征：第一，所求量在对应的区间上具有可加性，即分布在区间上的总量等于分布在各个子区间上的部份量的总和;第二，所求量是分布在区间上的非均匀连续分布的量。如果所研究的对象同时具备上述的两个特点，我们就可以利用微元法，也就是先对相应的区间做划分，然后在任取的一个子区间上对研究对象做数学或者物理上的分析，得到近似值，其次对每一个划分的区间上都做相同的近似从而求和，最后关于和式作极限，即让划分的区间无穷稠密，最大的子区间长度向零逼近。通过这四步解决实际问题，这个过程可以简单概括为“划分—近似—求和—取极限”来实现对所求量的定积分表示。这四步简称微元法。在上面的分析中我们不难看出，第二步“近似”是微元的关键，如何实现？

一、如何恰当地选取微元

1.在区间[a，b]上任取一个子区间[x，x+dx]，并求出所求量A在该区间上的部份量ΔA的近似值dA=f（x）dx

2.在区间[a，b]上积分得A= dA= f（x）dx

其中dA=f（x）dx称为积分微元，简称微元。这看似简单的公式正反应了微元法的实质。

初学者对于使用微元法求解平面图形的面积和旋转体的体积以及求平面上光滑曲线的长度时，一般都能准确地找到面积元素和体积元素以及弧长元素，因为从几何图形上看起来也是很形象，对于课本上的计算公式也能直观的理解并接受，如以x=a，x=b以及曲线y=f （x），y=f （x）（a

通过上面关于旋转体侧面积的分析，我们弄清楚选择微元时必须坚持的准则和微元的实质。这是保证微元法能否正确合理解决实际问题的关键，选择正确的微元是保证合理解决问题的前提条件。

二、用微元建立微分方程

在建立微分方程的过程中，也经常使用微元法。我们可以通过研究并分析所研究的问题的微小部分建立微分方程，通过求解微分方程来实现对研究问题的分析，这在实际的实践中是非常普遍的一种解决问题的方法。

例如：在某容器内装有200升的盐水，其中盐含量是20千克，现在以每分钟3升的均匀速度往容器放进纯净水，同时以每分钟2升的均匀速度流出盐水，假设容器内有搅拌棒，可使得盐水的浓度始终保持均匀，现问60分钟后该容器内还剩余的含盐量是多少？

解：现假设任意t时刻容器内的含盐量为x=x（t）。

为了建立微分方程，我们可采用微元法，即考察微小时间段上[t，t+dt]，在该时间片段上，对应的含盐量的变化由x（t）变为x（t）+dx，显然dx小于0，因为根据实际问题，含盐量是随着时间减少的，所减少的盐量应该为该时间片段上流出的盐量，因为浓度的变化是连续的，当dt很小时，在这段时间内盐水的浓度可近似的看作是等浓度的，即浓度为t时刻的浓度ρ（t），从而-dx=2ρ（t）dt，又因为在t时刻容器内有盐水200+3t-2t升，建立微分方程-dx=。

该微分方程为变量可分离的微分方程，容易求得其通解为-lnx=2ln（200+t）+lnC根据初始条件x（0）=20，解得C=，即x=，当t=60时，该容器内剩余的盐量为x=≈11.834。

微元法在其他学科上有着广泛的应用，尤其在《大学物理》中微元法的应用比比皆是，在电磁学中，考虑电场中带电体所产生的电场，我们就必须了解电场的电场强度和电势，电场强度是考察电场对处于其中的电荷作用力的，电势是考察电场能量的，尽前者是矢量，后者为标量，但都可以根据点电荷电场的场强分布和电势分布，使用微元法、场强和电势叠加原理就可以求出任何带电体电场的场强分布、电势分布，了解带电体所产生的电场的一些性质。在力学中我们最初只能求解质点在受到不变的外力的作用下沿着直线做运动的过程中外力所作的功，学习了《高等数学》的微元法以后，我们可以求解很多情况下的外力做功问题，譬如物体在受到变力的作用下物体沿曲线运动时外力所作的功。

通过以上的分析讲述，在《高等数学》的教学中，对微元法的讲授要足够的重视，要广泛涉猎关于微元法的相关资料，增强学生的学习兴趣，引导学生积极思考问题，让学生对微元法的广泛应用有一定的认识。

作者：燕秀林

定积分微元法研究论文 篇2：

浅析积分在实际问题中的应用

[摘 要]积分理论从几何学和物理学中的实际问题引出，在科学技术上获得了广泛的应用。微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。微元法体现的是一种极限思想，有利于发展我们的思维，促进我们巩固知识、加深认识，对自然科学的学习和研究都很有帮助。

[关键词]积分；积分中值定理；微元法

积分理论是从几何学和物理学中的实际问题引出的，在科学技术上获得了广泛的应用， 从而得到了快速的发展。为了能更有效地运用积分，人们往往采用比较简捷的微元法对事物进行分析。

微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用微元法使一些复杂的过程转化为简单的规律，可以快速地解决有关积分的问题。因此，学生掌握好微元法对学习《数学分析》课程及实际应用具有重要的意义。

一、定积分中微元法的理论分析

（一）微元法的本质

微元法是定积分计算思想的简化。它把定积分求解过程中的分割、近似代替、作和、取极限四步浓缩为两步，即化整为零求微元，积零为整求总量。应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过我们所熟知的“分割，近似求和，取极限”等经典步骤获取定积分表达式的，而是利用更简单的微元法得到定积分表达式。微元法思想是微积分的主要思想，它在处理各类积分应用问题中是一脉相通的，也是学生学好各类积分的理论依据。

（二）定积分中微元法的应用条件

选取微元时应遵从的基本原则：

（1）φ是与某个变量的变化区间[a，b]有关的量；

（2）所求量φ关于分布区间[a，b]必须是代数可加的；（注：对于矢量，如力、动量等，由于矢量的加减法不满足代数可加性，所以遇到这种情况，是不能直接用微元法的，但可以进行力的分解，使各个分力在同一条直线上）

（3）微元法的关键是正确给出Δφ的近似表达式：

Δφ≈f（x）dx；Δφ-f（x）Δx=o（Δx）。

通常情况下，要验证Δφ-f（x）Δx为Δx的一个高阶无穷小量是比较困难的。因此找微元时，要特别谨慎。

（三）微元法在定积分中的应用步骤

微元法解决定积分应用问题的步骤如下：

（1）确定积分分布区间[a，b]，大多采用投影法（如求曲边梯形面积时，可以将梯形的曲边投影到x轴上；求楔体体积时，可以将楔体投影到平面xOy上或者yOz上等）；

（2）找出微元dφ。在分布区间（积分区间）[a，b]上任取一点x，把该点x看做一个小区间，其长度为dx，则该点x对应的微元dφ一般是关于x的一个函数f（和所求量φ有关）与dx的乘积，即dφ=f（x）dx；

二、积分在实际问题中的应用

（一）经济问题

某工厂技术人员告诉他的老板某种产品的总产量关于时间的变化率为R′（t）=50+5t-0.6t2，现在老板想知道4个小时内他的工人到底能生产出多少产品。如果我们假设这段时间为[1，5]，生产的产品总量为R，则总产量R在t时刻的产量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-0.6t2）dt。因此，在[1，5]内总产量为

（二）压缩机做功问题

在生产生活过程中，压缩机做功问题由于关系到能源节约问题，因此备受大家关注。假设地面上有一个底半径为5 m， 高为20 m的圆柱形水池， 往里灌满了水。如果要把池中所有的水抽出，则需要压缩机做多少功？此时，由于考虑到池中的水被不间断地抽出，可将抽出的水分割成不同的水层。同时， 把每层的水被抽出时需要的功定义为功微元。这样，该问题就可通过微元法解决了。 具体操作如下： 将水面看做是原点所在的位置， 竖直向下做x轴。当水平从x处下降了dx时， 我们近似地认为厚度为dx的这层水都下降了x，因而这层水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。当水被完全抽出， 池内的水从20 m下降为 0 m。根据微元法， 压缩机所做的功为W=25πxdx=15708（J） 。

（三）液体静压力问题

在农业生产过程中，为了保证农田的供水，常常需要建造各种储水池。因此，我们需要了解有关静压力问题。在农田中有一个宽为 4 m， 高为3 m， 且顶部在水下 5 m的闸门， 它垂直于水面放置。此闸门所受的水压力为多少？我们可以考虑将闸门分成若干个平行于水面的小长方体。此时， 闸门所受的压力可看做是小长方体所受的压力总和。 当小长方体的截面很窄的情况下， 可用其截面沿线上的压强来近似代替各个点处的压强。 任取一小长方体，其压强可表示为1·x=x， 长方体截面的面积为ΔA=4dx， 从而ΔF≈x·4dx， 进一步， 有

利用微元法求解定积分，还可以解决很多实际工程问题，关键是要掌握好换“元” 的技巧。这就需要我们解决问题时，要特别注意思想方法。思想方法形式多种多样，如以直代曲、以均匀代不均匀、以不变代变化等。

三、重积分的应用

重积分是研究曲面面积、求空间物体体积、计算物体的质量和解决一些实际问题等方面的有力工具。

微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。 我们在使用这种方法时，要把问题的共性和特性联系在一起。 这样才能灵活运用微元法， 并加强我们对已知规律的再思考。另一方面，微元法体现的是一种极限思想，这种极限思想有利于发展我们的思维，培养我们的能力，对自然科学的学习和研究有很大的帮助。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 华东师范大学数学系.数学分析 （上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 陶华.微元法及其应用探讨[J].徐州建筑职业技术学院学报，2008，7（6）：49-51.

[3] 同济大学应用数学系.高等数学 （上册）[M].北京： 高等教育出版社，2001.

[4] 张树民.微元法在物理中的应用[J].渤海大学学报（自然科学版），2009，30（1）：40-42.

[5] 陈玉，贺秋林.微元法原理探究[J].工科数学，2011，17（3）：95-96.

[6] 吉林师范大学编.数学分析讲义[M].北京：北京人民教育出版社，1978.

[7] 王梅.浅谈定积分的应用[J].重庆科技学院学报（自然科学版）， 2007，5（2）：35-40.

[8] 王志强，刘彩霞.积分微元法及其应用研究[J].湖北第二师范学院学报，2009，26（8）：9-10.

[9] 宋明娟，王春.微积分（上册）[M].北京： 清华大学出版社，2008.

[10] 欧阳光中，周渊.复旦大学数学系数学分析 （第三版）[M]. 上海：复旦大学出版社， 2007.

[11] 杨奇，毛云英.微积分及其应用（第八版）[M].北京：机械工业出版社，2006.

[责任编辑：钟伟芳]

作者：王岩岩 刘伟

定积分微元法研究论文 篇3：

微元法在高中物理解题中的应用

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法.它是将研究对象进行无限细分,从中抽取某一微小单元进行讨论,从而找出被研究对象变化规律的一种思想方法,用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决,使所求的问题简单化.微元法贯穿于高中阶段的物理知识体系,渗透于一些物理概念、公式中.

在使用微元法处理连续体问题时,需将其分解为众多微小的“元过程”(如时间元Δt、质量元Δm、长度元ΔL、面积元ΔS),而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的.这样,我们只需分析这些“元过程”,然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理,进而对问题求解.使用此方法会加强我们对已知规律的再思考,从而达到巩固知识、加深认识和提高能力的目的.

选取微元时所遵从的基本原则是:所取的“微元”必须参加叠加演算,因此,对“微元”及相应的量应该具备“可加性”特征;为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加,在选取“微元”时,就应该注意:按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”.

一、微元在高中物理解题中的应用

在中学物理解题过程中,通常遇到时间元Δt、质量元Δm,教师在平时习题课教学和课外辅导中有目的地选取这类习题,可激发学生的解题兴趣和求知欲望.如何选取微元,进行计算.下面笔者进一步说明微元法在实际运用中的方法及技巧.

1.对于质量元Δm

当遇到每个“质量元”所遵循的规律是相同时,需将其分解为众多微小的“质量元”.我们只需取“质量元”为研究对象,进行分析,得出表达式,从而使问题求解.

图1

【例1】 加速启动的火车车厢内的一桶水,若已知水面与水平面之间的夹角为θ,则火车加速行驶的加速度为多大?

解析:取水面上质量为Δm的水元为研究对象,在其受力如图1所示,若合力F合=Δmgtanθ,根据牛顿第二定律可知F合=Δma,则a=gtanθ,方向与启动方向相同.

【例2】 建筑工地上的黄砂,若堆成圆锥形而且不管如何堆,其锥角总是不变,试证明之.如果测出其圆锥底的周长为12.1 m,高为1.5 m,求黄砂之间的动摩擦因数.(设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等)

图2

证明:如图2所示,圆锥形黄砂堆倾角为θ,取砂粒子质量元Δm进行受力分析,Δm沿堆面不向下滑动,则处于平衡状态且达到最大静摩擦力,所以

Δmgsinθ=μΔmgcosθ,即tanθ=μ,

因为μ不变,则倾角θ恒定.

计算μ=tanθ=2πhl=2π×1.512.5≈0.75.

2.对于时间元Δt

当物理问题中涉及一段时间,在这段时间内各物理量不断变化时,若此题不用微元法,用常规方法会很难下手.

【例1】 阴极射线管中,由阴极K产生的热电子(初速为零)经电压U加速后,打在阳极A板上.若A板附近单位体积内的电子数为N,电子打到A板上即被吸收.求电子打击A板过程中A板所受的压强.(已知电子的电量为e,质量为m)

解:由动能定理可知,电子加速:eU=12mv2,在时间Δt内打在A板S面积上的电子数:Ne=N(vΔt)S,根据动量定理:pSΔt=N(vΔt)Smv得:压强p=Nmv2=2NeU.

【例2】 如图3所示,来自质子源的质子(初速度为零),经一加速电压为800 kV的直线加速器加速,形成电流强度为1.0 mA的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×10-19C,这束质子流每秒打到靶上的质子数为______________.假设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均匀的,在质子束中与质子源相距l和4l的两处,各取一段极短的相等长度的质子流,其中质子数分别为n1和n2,则n1∶n2=______________.

图3

解析:设时间Δt内打到靶子上的质数为n,由电流强度定义可知:q=IΔt=ne,故n=Ie=6.25×1015.质子在直线加速器的运动可以视匀加速运动,设加速度为a,则质子在l和4l的速度分别为v1=2al、v2=2a(4l)=2v1,质子在l和4l处的速度之比v1∶v2=1∶2,电流强度I=nveS(n为单位体积内质子数),n=IeSv,由题意对于极短长度Δl内质子数n1∶n2=v2:v1=2∶1.

二、换元在高中物理解题中的应用

“时间元”与“质量元”间的相互代换叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”.对于一般的“权函数”来说,这种叠加演算(实际上就是要求定积分)极为复杂,但如果“权函数”具备了“平权性”特征(在定义域内的值处处相等)就会蜕化为极为简单的形式.

就“微元法”的应用技巧而言,最为关键的是要掌握好换“元”的技巧.因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数”满足“平权”的条件,这将会给接下来的叠加演算带来困难,所以,必须运用换“元”的技巧来改变“权函数”,使之具备“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”.

在高中物理中,由于数学学习上的局限,“时间元”与“质量元”之间的互换最常见的有如下两种:

1.根据物体受力的特点利用换元求力的大小

【例1】 河水对横停在其中的大船侧弦能激起2 m高的浪,试估算将要建造的拦河大坝单位面积上所受河水的冲击力为多大?(g取10 m/s2)

解:设水速度为v,则可将水等效为竖直上抛,v=2gh=210 m/s,以速度v冲击拦河大坝的水在时间Δt内质量Δm=ρSvΔt.

根据牛顿第二定律F=ΔmΔvΔt,在较短的时间Δt,Δv=v,则对于面积S的压强p=FS=ρv2=1.0×103×(210)2 N/m2=4.×10⁴ N/m2.

【例2】 一宇宙飞船以速度v进入空间分布密度为ρ的尘埃中,如果飞船垂直于运动方向上的最大截面积为S,且认为尘埃与飞船碰撞后都附着在飞船上,则飞船受到的尘埃的平均制动力为多大?

解析:取尘埃质量元Δm,其相对飞船的速度由v在时间Δt内减为零,则根据牛顿第二定律,质量元受到飞船的平均制动力F=ΔmvΔt,Δm=ρSvΔt,则F=ρSv2;根据牛顿第三定律可知,飞船受到的尘埃的平均制动力F′=-F=-ρSv2,方向与飞船飞行方向相反.

2.根据力做功的特点利用换元求功率

【例1】 有一台风力发电机,进风口和风轮旋转时形成的截面积均为S,进风口风的速度为v,出风口的截面积为进口风截面积的4倍,如果风损失的动能完全转化为电能,则这台风力发电机输出的电功率为多少?已知空气的密度为ρ.

解:设气流在出口处的速度为v′,在Δt时间内流进的质量均为Δm=ρSvΔt,ΔV=SvΔt,解得v′=v4,由动能定理可知W=12Δmv2-12Δmv′2=1532ρSv3Δt,P=WΔt=1532ρSv3.

【例2】 喷水池喷出的竖直向上的水柱高度H=5 m.空中有水20 dm3.空气阻力忽略不计,则喷水机做功的功率约为多少?(取g=10 m/s2)

解析:面积为S的截面上上升的水的质量元Δm=ρSvΔt,竖直上抛v=2gH=10 m/s,

上升所用时间t=vg=1 s,水柱的截面为S:V=S(2vt),即S=10-3m2,则P=12Δmv2Δt=ρSv3=12×1.0×103×10-3×(10)3 W=500 W.

“微元法”虽然是在物理竞赛中使用比较多,但在我们平常的训练中也不失为一种好方法.它并不局限在求变力做功的问题上,在一些求解瞬时速度、曲线运动的轨迹方程等方面都有着广泛的运用,作为大学知识在高中的应用,“微元法”丰富了我们处理问题的手段,拓展了我们的思维,对于高中特别是高三的学生,应当要熟练掌握.

而且广西普通高中新课改即将来临,高中数学中加入了导数和积分的知识后,对应用微元法来解决实际问题能力的考查便成了理所当然之事,笔者认为这类题目在高考中出现的概率很高,应予以重视.

(责任编辑:黄春香)

作者：陈少刚