导数的应用证明不等式（共10篇）
篇1：导数的应用证明不等式
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导数在不等式证明中的应用
作者：唐力 张欢
来源：《考试周刊》2013年第09期
摘要： 中学不等式证明，只能用原始的方法，很多证明需要较高技巧，且证明过程太难，应用高等数学中的导数方法来证明不等式，往往能使问题变得简单.关键词： 导数 拉格朗日中值定理 不等式证明
1.拉格朗日中值定理
定理1：如果函数y=f（x）满足：1）在闭区间[a，b]上连续，2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有在一点ξ（a
F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）
由定理1，我们不难得到如下定理2.
篇2：导数的应用证明不等式
1【期 号】第11期【页 码】2-3【参考文献格式】杨建辉,布春霞.导数在证明不等式中的应用[J].中学生数理化(学研版),2011,(第11期).2.【作 者】 赵京之【刊 名】中国新技术新产品【出版日期】2010【期 号】第14期【参考文献格式】赵京之.导数在证明不等式中的应用[J].中国新技术新产品,2010,(第14期).【摘 要】不等式与等式一样,在数学问题中都是非常重要的课题,不等式的研究范围更广,难度更大,以函数观点认识不等式,应用导数为工具,不等式的证明将化难为易,迎刃而解,考虑的角度初步有:中值定理,Taylor公式,函数的单调性,最值,以及Jensen不等式。
3.【作 者】 刘伟【刊 名】电大理工【出版日期】2004【期 号】第3期【页 码】13-14【参考文献格式】刘伟.导数在证明不等式中的应用[J].电大理工,2004,(第3期).4.【作 者】 顾庆菏【刊 名】邢台师范高专学报【出版日期】1995【期 号】第1期【页 码】118-120【参考文献格式】顾庆菏.导数在证明不等式中的应用[J].邢台师范高专学报,1995,(第1期).5.【作 者】 刘开生;潘书林【刊 名】天水师范学院学报【出版日期】2000【期 号】第3期【页 码】115-116【参考文献格式】刘开生,潘书林.导数在证明不等式中的应用[J].天水师范学院学报,2000,(第3期).6.【作 者】 陈万鹏;陈万超【刊 名】大学数学【出版日期】1990【期 号】第4期【页 码】67-71【参考文献格式】陈万鹏,陈万超.导数在证明不等式中的应用[J].大学数学,1990,(第4期).7.【作 者】 高燕【刊 名】考试周刊【出版日期】2011【期 号】第60期【页 码】69-70【参考文献格式】高燕.导数在不等式证明中的应用[J].考试周刊,2011,(第60期).8.导数法在证明不等式中的应用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2011【期 号】第Z1期【页 码】
5【参考文献格式】郝文武.导数法在证明不等式中的应用[J].中学生数理化(高二版),2011,(第Z1期).9.导数在证明不等式中的一些应用【作 者】 甘启才【刊 名】广西师范学院学报(自然科学版)【出版日期】2011【期 号】第S1期【页 码】73-75
【参考文献格式】甘启才.导数在证明不等式中的一些应用[J].广西师范学院学报(自然科学版),2011,(第S1期).10.【作 者】 王莉闻【刊 名】考试周刊【出版日期】2011【期 号】第82期【参考文献格式】王莉闻.导数在不等式证明中的应用[J].考试周刊,2011,(第82期).【摘 要】导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容、思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值（或极值）
11.【作 者】 王翠丽【刊 名】数学之友【出版日期】2011【期 号】第6期【页 码】84，86【参考文献格式】王翠丽.导数在不等式证明中的应用[J].数学之友,2011,(第6期).12.【作 者】 王强;申玉芹【刊 名】中学数学【出版日期】2012【期 号】第9期【页 码】6【参考文献格式】王强,申玉芹.导数在不等式中的应用[J].中学数学,2012,(第9期).13.【作 者】 朱帝【刊 名】数理化学习【出版日期】2008【期 号】第3期【页 码】2-4【参考文献格式】朱帝.导数在证明不等式中的应用[J].数理化学习,2008,(第3期).14.【作 者】 王伟珠【刊 名】佳木斯教育学院学报【出版日期】2010【期 号】第6期【参考文献格式】王伟珠.导数在不等式证明中的应用[J].佳木斯教育学院学报,2010,(第6期).15.【作 者】 张根荣;李连方【刊 名】中学数学研究【出版日期】2010【期 号】第11期【页 码】24-25【参考文献格式】张根荣,李连方.导数在不等式证明中的应用[J].中学数学研究,2010,(第11期).【摘 要】“问题是数学的心脏”，数学学习的核心就应该是培养解决数学问题的能力．正如波利亚指出的：“掌握数学就是意味着善于解题．”“中学数学首要的任务就是加强解题的训练”．在数学教学中，例题、习题的解答过程是学生建构知识的重要基础，是学生学习不可缺少的重要组成部分．因此在课堂教学有限的45分钟内，如何发挥例题的功能，16.【作 者】 张萍【刊 名】西部大开发：中旬刊【出版日期】2010【期 号】第7期【页 码】176-177【参考文献格式】张萍.导数在证明不等式中的有关应用[J].西部大开发：中旬刊,2010,(第7期).【摘 要】导数是高等数学中最基本最重要的内容之一，用导数的方法证明不等式是不等式证明重要的组成部分，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧，提高学生用导数证明不等式的能力．
17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教学研究)【出版日期】2011【期 号】第11期【页 码】31【参考文献格式】李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期).18.【作 者】 李晋【刊 名】大视野【出版日期】2009【期 号】第3期【页 码】241-243【参考文献格式】李晋.导数在不等式证明中的应用[J].大视野,2009,(第3期).第5期【页 码】24-26【参考文献格式】高芳.导数在不等式证明中的应用[J].商丘职业技术学院学报,2009,(第5期).20.【作 者】 蔡金宝【刊 名】吉林省教育学院学报(学科版)【出版日期】2009
【期 号】第9期【页 码】85-86【参考文献格式】蔡金宝.导数在不等式证明中的应用[J].吉林省教育学院学报(学科版),2009,(第9期).21.浅谈导数在不等式证明问题中的应用【作 者】 姜治国【刊 名】考试(高考 数学版)【出版日期】2009【期 号】第Z5期【页 码】54-56【参考文献格式】姜治国.浅谈导数在不等式证明问题中的应用[J].考试(高考 数学版),2009,(第Z5期).22.导数在不等式中的一些应用【作 者】 陶毅翔【刊 名】宁德师专学报·自然科学版【出版日期】2010【期 号】第2期【页 码】123-124，127【参考文献格式】陶毅翔.导数在不等式中的一些应用[J].宁德师专学报·自然科学版,2010,(第2期).23.【作 者】 陈海兰【刊 名】科技信息【出版日期】2010【期 号】第8期【参考文献格式】陈海兰.导数在不等式中的应用[J].科技信息,2010,(第8期).【摘 要】本文给出了几种用导数来证明不等式的方法,通过这些方法,可以比较简洁,快速地解决一些不等式的证明问题.24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨询导报【出版日期】2007【期 号】第5期
【页 码】95-96【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[J].科技咨询导报,2007,(第5期).25.【作 者】 胡林【刊 名】科技资讯【出版日期】2006【期 号】第36期【页 码】148【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[J].科技资讯,2006,(第36期).26.【作 者】 周晓农【刊 名】贵阳金筑大学学报【出版日期】2000【期 号】第3期【页 码】107-110+87【参考文献格式】周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].贵阳金筑大学学报,2000,(第3期).27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中学理科：综合【出版日期】2008【期 号】第9期【页 码】52【参考文献格式】葛江峰.导数在不等式中的应用[J].中学理科：综合,2008,(第9期).【摘 要】新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问，是一种新颖的命题模式，体现导数在分析和解决一些函数性质问题的工具作用，以下介绍几种应用导数证明不等式的方法，供大家参考。
28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龙岩师专学报(自然科学版)【出版日期】1997
篇3：导数在证明不等式中的应用
一、一般不等式
设不等式是关于x的不等式左≥右(x∈某区间)可以利用函数的单调性和最值证明不等式.令H(x)=左-右,然后证明H(x)在所讨论的区间上最小值≥0.一般常用方法是求H'(x),研究H'(x)的正负,确定H(x)的单调区间,计算单调区间端点函数值(或开区间端点H(x)的单调极限值)最后确定H(x)的取值范围≥0.
1. 直接作差构造辅助函数
这是最主要的构造函数的方法.
例1已知,求证:sinx<x<tanx.
分析:欲证sinx<x<tanx,只需证函数f(x)=sinx-x和g(x)=x-tanx在(0,)上单调递减即可.
证明:令f(x)=sinx-x,其中x∈(0,),则f'(x)=cosx-1而x∈(0,),所以cosx<1,即cosx-1<0.
所以f(x)=sinx-x在x∈(0,)上单调递减,f(x)=sinx-x<f(0)=0,所以sinx<x.
令g(x)=x-tanx,其中x∈(0,),则,所以g(x)=x-tanx在x∈(0,)上单调递,即g(x)=x-tanx<g(0)=0,所以x<tanx.
综上所述sinx<x<tanx.
例2求证
分析:因为经过求导易知,在其定义域[0,+∞]是单调的,从而达到证明不等式的目的.
证明:令g(x)=(1+x)1n(1+x)-x,函数g(x)的定义域是[0,+∞].g'(x)=x1n(1+x),因为x∈[0,+∞],g'(x)>0,所以g(x)在x∈[0,+∞]是增函数,故g(x)>g(x)min=g(0)=0,即.
令f(x)=1n(x+1)-x,函数f(x)的定义域是[0,+∞],.
当x>0时,f'(x)<0,所以f(x)在[0,+∞]是减函数.
故f(x)=1n(x+1)-x<f(x)xax=f(0)=0,即1n(x+1)<x.
综上所述(x>0).
点评:证明函数类不等式时构造辅助函数比较容易,只需将不等式的其中一边变为0,然后另一边的函数作为辅助函数,并利用导数证明其单调性或其最值,进而构造我们所需的不等式的结构即可.
2. 直接构造辅助函数
例3证明当x∈[0,1]时,有不等式≤xp+(1-x)p≤1(其中实数p>1).
证明:令f(x)=xp+(1-x)p,则f'(x)=p[xp-1-(1-x)p-1],由f'(x)=0得.
Ⅰ.当时,xp-1≤(1-x)p-1,f'(x)≤0,所以f(x)在[0,]是减函数,故.又f(0)=1,,所以当时,.
Ⅱ.当时,xp-1≥(1≥(1-x)p-1,f'(x)≥0,所以f(x)在[,1]是增函数,故.又f(1)=1,.
所以当时,≤1.
综上所述,当x∈[0,1]时,有不等式≤xp+(1-x)p≤1(其中实数p>1).
点评:此函数类不等式比较容易构造辅助函数,再利用导数求其单调区间并求其值域,进而证明不等式.
3. 利用作商法构造辅助函数
例4证明成立,x∈[0,].
证明:考虑函数
由例1知当x∈[0,]时,有f'(x)=.
所以f(x)在x∈[0,]内单调递减,又f(x)在[0,]连续,
所以f(0)>f(x)>f(),
因为
所以
点评:此题若直接作差不好证明右边的不等式.若改写不等式为,则要证的不等式相当于求函数的值域.在证明时需用重要极限公式.
二、含有多个字母的不等式或常数不等式
这两类不等式的证明,可以将一个字母或常数看作变量,其他字母(或常数)仍看作常数,然后按“一般不等式”的证法证之.
例5设0<a<b,求证.
分析:设b=x,则问题变为
令x),只需证明H(x)在[a,+∞]是单调递增的即可.
证明:令
所以当x>a>0时H'(x)>0,所以H(X)在a,+∞]是增函数,故H(x)≥H(a)=0,即
注:若令
再令,可证
当x>1时,f'(x)>0,从而证明不等式.
例6证明:.
分析:因为π>e,所以所证为当π>e时,.虽然这是一个常数不等式但我们仍不妨把一个字母看作变量,故只需证明当x>e时,.
证明:因为1nx在[0,+∞]是增函数,所以,故令H(x)=xe1nx,则,当x>e时,H'(x)>0,所以当x>e时,H(x)是增函数,故当x>e时,H(x)>H(e)>0=0,所以x-e1nx>.
即x>e时,ex>xe,令x=π,所以eπ>.
注:1.由于可导函数单调(或f'(x)≤0),所以证明可导函数单调的题目也属于证明不等式的题目.
2. 在将不等式进行等价变形时,常用以下命题:(1)φ↑则左≥右φ(左)≥φ(右),(2)φ↓则左办右φ(左)≤φ(右).
3. 必要时扩充函数的定义域并确定函数的区间端点函数值.
篇4：导数在不等式证明中的应用
关键词：函数；导数；不等式；单调性
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）09-093-2
在江苏省新课标中新增加了正余弦函数、指对数函数等初等函数的导数，因此考察的知识面加宽了很多，例如导数可以和数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容相互交融，进而衍生出很多综合性的题目.在这里，笔者对导数与不等式相结合的问题进行了探究：
一、直接作差构造函数证明
例1已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线f（x），g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求证：f（x）≥g（x）（x>0）.
解析：（1）公共点为（a，52a2），b=52a2-3a2lna（具体略）
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0）
则F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.
故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数.
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=0.
故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即x>0时，有f（x）≥g（x）.
本题求证的是f（x）≥g（x）（x>0），因此只需证明f（x）-g（x）≥0在x>0上恒成立即可，令F（x）=f（x）-g（x），然后利用导数研究新的函数F（x）的单调性，求出最值，进而证明出原命题成立.
二、导数是函数所特有的，没有函数就构造函数
例2证明对任意的正整数n，不等式ln（1n+1）>1n2-1n3恒成立.
证明：令函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），
则h′（x）=3x2-2x+1x+1=3x3+（x-1）2x+1
所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）>0，所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0，即ln（x+1）>x2-x3恒成立，对任意正整数n，取x=1n∈（0，+∞），则有ln（1n+1）>1n2-1n3，
所以结论成立.
本题的核心部分是构造新函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），取x=1n∈（0，+∞），把本是定义在正整数集上的不等式转化为定义在（0，+∞）上这一连续区间上的函数进行研究.从这一题我们便自然而然有了这样的想法：数列问题中的不等式是不是有的也可以触类旁通的去解决呢？请看下一题：
三、数列也是一类特殊的函数
例3已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1=18，b14=36，
（1）若d1=18，且存在正整数m，使得a2m=bm+14-45，求证：d2>108；
（2）若ak=bk=0，且数列a1，a2，…，ak，bk，bk+1，…，b14的前n项和Sn满足S14=2Sk，求数列{an}和{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令cn=aan，dn=abn，a>0，且a≠1，问不等式cndn+1≤cn+dn是否对一切正整数n恒成立？请说明理由.
解析：（1）、（2）略
（3）证明：由（2）知an=-2n+20，bn=9n-90，
令f（n）=（cn-1）（dn-1）=（a9n-90-1）（a20-2n-1）
再次换元将n-10换成x，则x∈[-9，+∞），
令g（x）=（a9x-1）（a-2x-1）=a7x-a9x-a-2x+1
所以g′（x）=7a7xlna-9a9xlna+2a-2xlna
=7a7xlna（1-a2x）+2a-2xlna（1-a11x）
当a>1时，lna>0，a7x>0，a-2x>0
当x∈[-9，0]时，1-a2x≥0，1-a11x≥0，此时g′（x）≥0，函数y=g（x）单调递增；
当x∈（0，+∞]时，1-a2x<0，1-a11x<0，此时g′（x）<0，函数y=g（x）单调递减；
所以当x∈[-9，+∞）时，g（x）max=g（0）=0，
即：x∈[-9，+∞）时，g（x）≤0恒成立，即f（n）=（cn-1）（dn-1）≤0恒成立，
即：cndn+1≤cn+dn对一切正整数n恒成立，
同理当0 本题的做法是把n-10换成x，从而构造了一个特殊的函数g（x）=（a9x-1）（a-2x-1），这种做法不易想到，但是数列可以看做是一种特殊的函数，因此用函数的思想解决数列问题理所当然，用导数解决数列中的不等式问题也就在情理之中了. 四、主元思想构造函数 例4已知函数f（x）=12x2-2x，g（x）=logax（a>0，a≠1）.如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h′（x）存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）. （1）求a的值； （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1 证明：x1 解析：（1）a=e（略） （2）由（1），g（x）=lnx，g′（x0）=1x0，于是1x0=y2-y1x2-x1，x0=x2-x1lnx2-lnx1. 以下证明x1 （&）等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1<0 令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x， r′（x）=lnx2-lnx，在（0，x2]上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2]上为增函数. 当x1 从而x0>x1得到证明. 对于x2>x2-x1lnx2-lnx1同理可证. 所以x1 本题如果画出函数g（x）=lnx的图像，则结论便一目了然了：g′（x0）表示函数g（x）在x0处切线的斜率，y2-y1x2-x1表示A，B两点连线的斜率，又因为函数g（x）在x>0上单调递增，所以点（x0，y0）应该介于A（x1，y1）、B（x2，y2）之间，但是证明起来难度较大.证明x1 总之，用导数解决不等式问题首先是选好自变量，发散思维，构造一个连续可导的函数，确定函数的定义域，然后通过导数确定函数的单调性，利用单调性求出函数的最值，进而证明出不等式. [参考文献] [1]周先荣.导数单元的复习应突出其工具价值[J].中学数学月刊，2007（11）. [2]单墫主编.配苏教版普通高中课程标准试验教科书高中数学教学参考书数学（选修22）[M].江苏教育出版社，2006（07）. 函数与导数 （三）核心考点 五、利用导数证明不等式 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的问题转化为证明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例 1、已知函数f(x)lnxax2(2a)x （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）设a0，证明：当0x111时，f(x)f(x)； aaa （3）若函数f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f`(x0)0 【变式1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：恒有11ln(x1)x成立。x 1x【变式2】（1）x0，证明：e1x x 2ln(1x)(2)x0时，求证：x2 二、常数类不等式证明 常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式 f(a)f(b)的问题，在根据a,b的不等式关系和函数f(x)的单调性证明不等式。例 2、已知mne,，求证：nm 例 3、已知函数f(x)ln(x1) （1）求f(x)的极小值； （2）若a,b0，求证：lnalnb1 mnx，1xb a 【变式3】已知f(x)lnx，g(x)127，直线l与函数f(x)、g(x)的 xmx（m0）22 图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1． （Ⅰ）求直线l的方程及m的值； （Ⅱ）若h(x)f(x1)g(x)（其中g(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值；（Ⅲ）当0ba时，求证：f(ab)f(2a)ba． 2a 【变式4】求证： bablnbabaa(0ab) 1x)x0(x1)【变式5】证明：ln（ln22ln32lnn2(n1)(2n1)【引申】求证： 222(n2,nN*)23n2(n1) 【变式6】当t1时，证明：1lntt1 1t x21(x1)，各项不为零的数列an满足4Snf()1，【引申】已知函数f(x)an2(x1) 1n11（1）求证：ln； an1nan 构造函数,结合导数证明不等式 摘 要：运用导数法证明不等式首先要构建函数，以函数作为载体可以用移项作差，直接构造；合理变形，等价构造；分析（条件）结论，特征构造；定主略从，减元构造；挖掘隐含，联想构造等方法进行证明.关键词：构造函数；求导；证明；不等式 利用导数证明不等式是四川高考压轴题的热点题型之一，此类问题的特点是：问题以不等式形式呈现，“主角”是导数，而不等式的证明不仅技巧性强，而且方法灵活多变，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”，如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在，下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.注：此题也可用数学归纳法证明.解后感悟：函数隐藏越深，难度就越大，如何去寻找证明不等式的“母函数”是解决问题的关键，通过合理变形，展开思维联想的翅膀，发现不等式背后的隐藏函数，便会柳暗花明.结束语：导数为证明不等式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，合理构造函数，能使解题更具备指向性，剑之所指，所向披靡. 1、移项法构造函数 1ln(x1)x x111，分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln(x1)x1【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1 从其导数入手即可证明。 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x) 图象的下方； 分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，即只需证明在区间(1,)上，恒有122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的 23122xlnxx3，23122xlnxx3成立，设F(x)g(x)f(x)，x(1,)，考虑到23F(1)10 6要证不等式转化变为：当x1时，F(x)F(1)，这只要证明： g(x)在区间(1,)是增函数即可。 3、换元法构造函数证明 1111)23 都成立.nnn1 分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令x，则问题转化为：当x0时，恒 n【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(有ln(x1)xx成立，现构造函数h(x)xxln(x1)，求导即可达到证明。 2332 4、从条件特征入手构造函数证明 【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证： af(a)>bf(b) 5、主元法构造函数 1x)x,g(x)xlnx 例．（全国）已知函数f(x)ln((1)求函数f(x)的最大值； (2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g（6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数f(x)aexab)(ba)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x 7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当x0时,(1x)11xe1x2 8.构造形似函数 例：证明当bae,证明abba 例：已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n(1n)m 【思维挑战】 1、设a0,f(x)x1ln2x2alnx 求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1 2、已知定义在正实数集上的函数 f(x)52122x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且ba3alna，22求证：f(x)g(x) 3、已知函数f(x)ln(1x) xb，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1.1xa4、f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有（） （A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b) 一、用微分中值定理证明不等式 微分中值定理包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理及泰勒公式 (基本内容略) . 1.用拉格朗日定理证明不等式 当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差f (b) -f (a) 时, 考虑用拉格朗日定理证明. 例1 证明:当x≠0时, ex>x+1. 证明 将不等式变形为ex-1>x, 令f (x) =ex, 则f′ (x) =ex. ∵f (x) =ex在 (-∞, +∞) 内满足拉格朗日定理的条件, ∴必存在一点ξ∈ (0, x) (或ξ∈ (x, 0) ) , 使得f (x) -f (0) =f′ (ξ) (x-0) . 由于f′ (ξ) =eξ, 因此有ex-e0=eξ·x (ξ在0与x之间) , 即ex=eξ·x+1. 当x>0时, ξ>0, eξ>1, eξ·x>x, ∴ex>x+1; 当x<0时, ξ<0, eξ<1, eξ·x>x, ∴ex>x+1. 因此, 当x≠0时, 有ex>x+1. 2.用柯西定理证明不等式 当不等式或其变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值undefined时, 考虑用柯西定理证明. 例2 证明:当x≠0时, ex>x+1. 证明 将不等式变形为ex-1>x, 并注意undefined, 令f (x) =ex, F (x) =x+1, 则f′ (x) =ex, F′ (x) =1, f′ (ξ) =eξ, F′ (ξ) =1. 在 (-∞, +∞) 内任取x≠0, 则在[0, x]或[x, 0]上f (x) 和F (x) 满足柯西定理的条件, 于是有undefined 即undefined在0与x之间) , 即undefined undefined undefined 因此, 当x≠0时, 有ex>x+1. 3.用泰勒定理证明不等式 例3 证明:当x≠0时, ex>x+1. 证明 令f (x) =ex, 则f′ (x) =ex, f″ (x) =ex, ∴f (x) 在x=0的某个邻域上有直到n+1阶的导数. ∴函数f (x) =ex在x=0处的泰勒公式为: undefined在0与x之间) , 即undefined 当x≠0时, undefined 二、利用函数单调性证明不等式函数单调性内容 (略) . 推论1 若函数F (x) =f (x) -g (x) 在[a, b]上严格递增 (或在[a, b]上严格递减) , 且F (a) =0 (或F (b) =0) , 则在 (a, b) 上有f (x) >g (x) . 例4 证明:当x>1时, undefined 证明 令undefined, 则 undefined 又 f (x) 在[1, +∞) 上连续, 在 (1, +∞) 内f′ (x) >0, 因此f (x) 在 (1, +∞) 内严格单调增加. 从而当x>1时, f (x) >f (1) =0, 此即undefined, 从而undefined 推论2 若函数F (x) =f (x) -g (x) 在区间I上不是单调函数, (1) 若F (x) 在I上的最小值F (x0) ≥0, x0∈I, 则在I上有f (x) ≥g (x) . (2) 若F (x) 在I上的最大值F (x0) ≤0, x0∈I, 则在I上有f (x) ≤g (x) . 例5 证明:当x≠0时, ex>x+1. 分析 先将不等式写成f (x) >c (或f (x) 证明 令f (x) =ex-x-1, 有f′ (x) =ex-1, 令 f′ (x) =ex-1=0, 得x=0. 当x<0时, f′ (x) <0, f (x) 单调减少; 当x>0时, f′ (x) >0, f (x) 单调增加. ∴f (0) 是f (x) 的最小值. 即当x≠0时, f (x) >f (0) =0, 从而ex-x-1>0, ∴ex>x+1. 三、利用二阶导数的符号证明不等式 若f (x) 是区间I上的凹 (凸) 函数, 则由凹 (凸) 函数的定义知, 对I上任意两点x1, x2, 总有undefined.所以要证上述不等式, 即证f (x) 在I上是凹 (凸) 函数即可.即如果f″ (x) 在I上存在, 只需证明f″ (x) ≤0 (≥0) 即可. 例6 证明不等式:当x1>0, x2>0时, 有 undefined 证明 设f (x) =lnx (x>0) , undefined undefined [1]李心灿.高等数学 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2008. [2]郝建丽.微分中值定理的应用技巧[J].漯河职业技术学院学报, 2008 (5) . [3]钱昌本.高等数学范例剖析[M].西安:西安交通大学出版社, 2004. 参考文献 [1]李心灿.高等数学 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2008. [2]郝建丽.微分中值定理的应用技巧[J].漯河职业技术学院学报, 2008 (5) . 【关键词】导数 不等式 证明 引言 数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华。本文归纳了几种根据不等式的结构特征构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，从而应用导数的性质证明不等式的方法. 一、用导数定义证明不等式 定理定义 定义一（导数定义） 导数定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若极限 存在，则称函数f（x）在点x0可导，称该极限为 函数f（x）在点x0的导数，记作f`（x0）. 令 ， ， 则 . 證明方法和思路 找出x0，使得 恰为所要证明不等式的一边; 利用导数的定义并结合已知条件去研究. 适用范围 用导数定义证明不等式，应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的. 利用导数的定义得： 由于 .所以 即 . 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理证明不等式法 定理定义 定理一（拉格朗日中值定理）：若函数f（x）满足下列条件： （1）f（x）在闭区间[a、b]上连续; （2）f（x）在开区间（a、b）内可导，则在（a、b）内至少存在一点ζ ，使得 . 证明方法和思路 构造辅助函数f（x），并确定f（x）施用拉格朗日中值定理的区间（a、b）; 运用拉格朗日中值定理得到等式; 根据 ，消去 . 适用范围 当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明. 三、用函数的单调性证明不等式 定理定义 定理二： 若函数f（x）在（a、b）上可导，则f（x）在（a、b）上递增（递减）的充要条件是： . 定理三： 设函数f（x）在（a、b）连续，在（a、b）内可导，如果在（a、b）内f′（x）>0（或f′（x）<0），那么f（x）在（a、b）上严格单调增加（或严格单调减少）. 定理四： 设函数f（x）在（a、b）内可微，若f′（x）>0（或f′（x）<0）），则f（x）在（a、b）内严格递增（或严格递减）. 证明方法和思路 构造辅助函数f（x），并确定f（x）所在区间（a、b）; 求f′（x），确定f（x）在区间（a、b）上的单调性，从而证明不等式. 适用范围 利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数f（x）应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f（x）的值为0，然后通过在开区间内f′（x）的符号来判断f（x）在闭区间上的单调性. 四、函数的极值与最值证明不等式 定理定义 定理五（极值的第一充分条件）：设f（x）在x0连续，在U0（x0;δ）内可导， 若当 时 ，当 时 ，则f（x）在x0取得极大值; 若当 时 ，当 时 ，则f（x）在x0取得极小值. 定理六（极值的第二充分条件）：设f（x）在x0的某领域 内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f′（x0）=0， ，若 ，则f（x）在x0取得极大值;若 ，则f（x）在x0取得极小值. 定理七（极值的第三充分条件）：设f（x）在x0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导， 且 ， ，则 当n为偶数时，f（x）在x0取得极值，且当 时取极大值， 时取极小值. 当n为奇数时，f（x）在x0处不取极值. 证明方法和思路 构造辅助函数f（x），并取定其区间.求出f（x）在所设区间上的极值与最大、最小值. 适用范围 所设函数f（x）在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时. 只能证不严格的不等式而不能證出严格的不等式. 五、用柯西中值定理证明不等式 定理定义 定理八 （柯西中值定理）：设函数f（x）和g（x）满足： 在[a、b]上都连续;在（a、b）上都可导; f′（x）和g′（x）不同时为零; . 则存在 ，使得 . 证明方法和思路 构造两个辅助函数f（x）和g（x），并确定条件区间[a、b]; 运用柯西中值定理得到等式; 运用ζ与a、b的关系，对柯西公式进行加强不等式. 适用范围 当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明. 六、用函数的凹凸性证明不等式 定理定义 定义二： 凹凸函数定义：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数 总有 ， 则称f（x）为I上的凸函数.反之，如果总有 ， 则称f（x）为I上的凹函数. 定理九：设f（x）为区间I上的二阶可导函数，则在I上f（x）为凸函数（或凹函数）的充要条件是 . 命题（詹森不等式）：若f（x）在[a、b]上为凸函数，则对任意的 ， ， 有 . 定理十：若函数f（x）在[a、b]内有二阶导数，则任意的 ， 有 ，即 当且仅当x1=x2=L xn时，不等式中等号成立. 定理十一：若函数f（x）在[a、b]内有二阶导数，且 ，则在[a、b]内任意的xi（i=1，2，L n） ，有 当且仅当x1=x2=L xn时，不等式中等号成立. 证明方法和思路 定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f（x），并讨论f（x）在所给区间上的凹凸性. 詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证明此类不等式. 适用范围 当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些含有函数值且只能够构造凸函数的不等式. 七、用泰勒公式证明不等式 定理定义 定理十二（泰勒定理）：若函数f（x）在闭区间[a、b]上存在直至n阶的连续导函数， 在开区间（a、b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ζ∈（a、b），使得 证明方法和思路 根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式; 根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止. 适用范围 当遇到含有函数与高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式. 八、总结 本文总结了导数在不等式证明中应用的七种方法，其中每一种方法都有各自的适用范围，而同一个问题也可以有几中解法，当在实际问题中应用时要注意区别每种方法的使用条件，选择适当的方法以解决问题. 参考文献： [1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004. [2] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002. [3] 周晓农.导数在不等式证明中的应用.金筑大学学报2000（03）. [4] 卞国文.用微积分理论证明不等式的方法.江苏省扬中高级中学，2002. 1.设x在a,b内二阶可导，且x0，则 p1x1p2x2pnxnp1x1p2x2pnxn pppppp12n12n 其中p1,p2,L,pn均为正数，x1,x2,L,xnÎ2.证明不等式abc abc (a,b)。 aabbcc其中a,b,c均为正数。 3.应用Jensen不等式证明： 1）设aj0j1,2,,n有 n ++L+a1a2an ＃a1+a2+L+an。 n 2）设aj0,bj0j1,2,,n有 骣np鼢骣nq ajbj£珑aj鼢bj珑邋 鼢珑鼢珑桫桫j=1j=1j=1 n p1q,q>1,其中p>1 +=1。pq 积分不等式的证明 1.设函数fx在闭区间0,1上具有连续的导数，f01，且 f2xdx1。 1）求xfxfxdx；2）证明：xf xdxfx dx。 b 2.设fx在a,b上可导，且fxM,fa0，证明： a fxdx M2 ba 2 3.设fx0,x0,1，则 fx2dx。 4.设函数fx在闭区间0,1上连续，在0,1内有二阶导数，且fx0，证明： 1 fxndxf。 n1 5.设函数fxC0,1，且x,y0,1，有fxfyMxy，b 证明 a 1n fxdxf nk1 kM 。 n2n 6.估计 x2dx的符号。 7.设fx在0,1上连续且单调减少，f10，求证： xfxdxfxdx 01 xfxdx 01 fxdx 8.设fx在a,b上连续，且fx0，则 b a fxdx a b ba。fx9.设f1x,f2x,,fnx均为a,b上正值可积函数0ab，证明： b1 n f1xdxf2xdxfnxdxf1xf2xfnxdx。 aaaab n b 1n b 1n 10.设fx在a,b上可导，且fx在a,b上可积，fafb0，试证： fxfxdx 2a b axb。 11.设fx在,有界，且导数连续，又对任意的实数x有fxfx1，试证：fx1。 1 12.设fx在,aa0上非负可积，且xfxdx0，a1 a a 求证： xfxdxfxdx。 21a 1a aa 13.设fx在0,1上有二阶连续的导数，则对任意的0,, 132,1，有 3 fx3fffx。 14.设fx在a,b上连续，则maxfxfxdxfx。xa,bbaa a bb 15.设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明： fxdx maxfx。40x1 16.设fx在a,b上连续，且严格单增，证明：ab fxdx2xfxdx。 a a bb 17.设fx在0,1上有连续的导数，满足0fx1且f00求证： 113 fxdxfxdx。00 18.设fx在0,1上连续且递减，证明：当01时，19.设fx在0.上连续，且单调增加，证明： ba 1 xfxdxbfxdxafxdx。20a0b fxdxfxdx。 1 20.设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明： fxdxfxdx。402 21.设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明： b f a bab2xdxfxdx。2 a 22.设fx在0,1上有连续的导数，证明： 对于x0,1，有fx fxfxdx。 23.设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明： b a 2ba fxfxdxfxdx。 2a b 24.设fx在a,b上有连续的导数，且fafb0，证明： b a 2ba fxfxdxfxdx。4a b 25.设fx在a,b上不恒为零，且其导数fx连续，并且有fafb0，证明： a,b，使f fxdx。ba 2a b 26.设fx在a,b上单调增加，且fx0，证明： bafafxdxba a b fafb。 27.设fx在0,1上连续，且单调减少，fx0,证明：对于满足01的任何 ,，有fxdxfxdx。 28.设fx在a,b上具有连续的二阶导数，fx，且f0f10,fx0，证明： fx 4。fx29.设fx在a,b上连续，且fx0，证明： b 1b1lnfxdxlnfxdx。babaaa 30.设Intannxdx，n为大于1的正整数，证明： 。In 2n12n11 31.设fx在0,1上有一阶连续导数，且f1f01，证明：fxdx1。 32.设fx在0,2上连续，且 fxdx0,xfxdxa0，证明： 0,2，使fa。 33.设fx在0,1上连续，且 fxdx0,xfxdx1.，证明： 1）x00,1，使得fx04；2）x10,1使得fx14。 34.设fx在0,1上连续，且 fxdx0,xfxdx0,,x n1 fxdx0,xnfxdx1，证明：c0,1，n 使fc2n1。 35.设正值函数fx在闭区间a,b上连续，b b fxdxA，证明： a b a fxe fx dx a babaA。fx36.设函数fx在闭区间a,b上连续，不恒为零。满足0fxM，bbMbab fxdx。则fxcosxdxfxsinxdx 【导数的应用证明不等式】相关文章： 导数在证明不等式中的应用05-25 不等式的证明导数法08-02 导数与数列不等式的综合证明问题05-18 导数与不等式证明06-27 导数法证明不等式06-27 导数解决不等式证明08-07 导数证明不等式方法08-07 导数不等式证明压轴题11-02 谈利用导数证明不等式04-18 构造函数,结合导数证明不等式04-16篇5：利用导数证明不等式
篇6：构造函数,结合导数证明不等式
篇7：导数的应用证明不等式
篇8：例谈导数在不等式证明中的应用
篇9：导数在不等式证明中的应用
篇10：Jensen不等式的证明和应用