单因素方差分析的数学模型及其应用

单因素方差分析的数学模型及其应用（通用5篇）

篇1：单因素方差分析的数学模型及其应用

对这三个工厂的产品零件强度差异进行分析。

对于这个实例，可以采用R软件进行解决，过程如下：

解：将零部件强度设为此次实例的考察因素。3个工厂生产能力不同，存在3个水平，对各个工厂的产品强度进行检测，强度值为3个正态分布总体的样本观测值。

由上述程序可以看出，aov函数对方差分析表进行了计算，运行结果所得数据与方差分析表2中的内容相符合，其中Df表示自由度，Sum Sq表示平方和，Mean Sq表示为均方，F value表示为F值，Pr(>F)表示为P值，A为因素A，Residuals表示残差或者误差。

由上述运行结果可以看出，P 参考文献：

[1] 闫杰.地区差异对农村金融发展影响的实证研究――基于单因素方差分析[J].山东纺织经济，，2(10).

[2] 张永兵.分析数学模型思想的建立[J].家教世界，，2(06).

[3] 余红盈.高教版《体育统计》中单因素方差分析模型实际意义解析[J].鸡西大学学报，2012，3(04).

篇2：单因素方差分析的数学模型及其应用

在试验过程中，观测值主要包括了产量、性能等数量指标，因素则是对观测值存在影响的条件。因素的状态称之为水平，一个因素的水平可以是多个。在试验中，观测值存在多个，其影响因素涉及多个方面。对于处理方法不同导致的观测值变化，称之为因素效应;因偶然性因素或者误差导致的观测值变化，则称为试验误差。

方差分析的主要目的是将对观测值存在影响的因素效应以及试验误差进行归类，并对其进行数量分析，对各个因素的重要程度进行研究，从而对工作的进展方向进行安排和调整。

篇3：基于实例分析的单因素方差探究

关键词：单因素方差分析,实例分析,总体均值

方差分析在实际应用中出现于20世纪20年代, 由英国统计学家R.A.Fisher提出并予以应用。方差分析主要是应用于自变量对因变量的影响。在检验多个总体的均值是否相等时, 借助方差分析, 对数据的误差来源进行检查, 从而判断一个或多个因素对总体均值的影响。由此, 方差分析根据因素的多少分为单因素方差分析和多因素方差分析。传统方差分析的应用受诸多因素的限制, 尤其是其计算量对普及应用方差分析的影响。但随着现代计算机技术的不断发展, 方差分析更多地被应用于生活领域, 如经济、生物医药、社会学等多个方面。为此, 本文借助实例分析的方法, 探索单因素方差分析在实际应用中存在的优点和缺点。

一、单因素方差分析的工作原理

方差分析在实际应用中是在一定情况下的统计假设试验。方差分析的对象是试验所得数据, 目的是对客观规律的发现和揭示。单因素方差分析涉及到因素、水平以及单因素试验三个层次, 所谓因素是指对研究对象具有影响的某一指标、变量;所谓的水平是指影响因素在不同状态和变化下的划分等级或组别;所谓单因素试验是指每次试验只考虑一个因素的试验。以下将举例说明单因素方差分析的工作原理, 以便于更好地理解和认识单因素方差分析。

例如以不同种类的抗生素同血浆蛋白质结合状况, 分析抗生素与血浆蛋白质结合的百分比, 为使用药量和测定药效提供参考。如表1, 实验数据所示, 五种不同的抗生素在注入羊的体内后, 测定的抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。假设各总体服从正态分布, 并且各总体方差相同, 其中α=0.05代表显著性水平, 百分比检查均值并无显著性差异。

本次试验先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1, 然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。以抗生素为单一因素, 以血浆蛋白质与抗生素的结合百分比为实验指标, 以5种不同抗生素代表单一因素的5种不同水平。其余一切在本实验中都被视为条件相同。以此检查血浆蛋白质与抗生素结合百分比均值差异性, 探索单一因素抗生素对二者结合百分比的显著性影响。

(一) 检验假设。假设, 因素A (即抗生素) 有s (=5) 个水平A1, A2…A5, 在每一个水平Aj (j=1, 2, …, s) 下进行了=4次独立试验, 得到如表1所示的结果。所有实验结果都是一个随机变量。表1中的数据可以视作来自s个不同总体的样本值, 其中每个水平对应一个总体, 形成一一对应的关系。将各个总体的均值依次记为μμμ, 则依据题意进行检验假设。

Η0:μ1, μ2, …μs不全相等。

为了便于讨论单一因素方差分析过程, 现在引入总平均μ, 得出下列公式:

在引入总平均μ的基础上, 再引入水平的效应, 得出下列公式:

依据假设则有n1δ1+n2δ2+…n8δ8=0, 表示水平下的总体平均值与总平均的差异。

在以上检验假设的基础上, 本案例的假设:

H1:δ1, δ2, …, δ8不全为零。

因此, 单因素方差分析的目标就是检验s个总体的均值是否相等, 也即是检验各水平的效应是否都等于零。

(二) 检验所需的统计量。如果所有体均服从正态分布, 而且所有方差相等, 也即是假定各个水平Ajj…s下的样本xjxjxnjj来自正态总体N (, ) , 和未知, 且设不同水平下的样本之间相互独立, 由此可以通过从总平方和的分解中得到单因素方差分析所需的检验统计量。接下来先引入样本各种水平下的样本平均值、数据总平均值以及总平方和公式:

水平下的样本平均值:

数据的总平均:

总平方和:

总变差ST和总平方能够反映全部试验数据之间的差异, 因此将总变差ST分解, 其中:

综上所述各项 (xij-x·j) 2代表在水平下, 由随机误差所引起的样本观察值与样本均值的差异, 因此, 称为误差平方和。由水平以及随机误差所引起的样本平均值与数据总平均的差异, 因此, 称为因素A的效应平方和。由上述可以证明与相互独立, 且当H0=δ1=δ2=…=δs=0为真时, 与分别服从自由度为s-1, n-s的分布, 即

由此, 当H0:δ1=δ2=…δs=0为真时

因素方差分析所需的服从F分布的检验统计量。

二、单因素方差分析应用实例

对于上述实例, 假定给定显著性水平α=0.05, 我们可以求出5个因素的样本均值分别为=26.8, =28.3, =22.5, =31.1, =24.8。由此可见因素的四个总体均值的确存在差异。

借助Excel中单因素方差分析工具, 对上述实例进行分析, 可以得到表2的分析结果。

通过分析我们发现, F=12.0172>=1.6082, 由此可见, 在显著性水平α=0.05时, 可以相信5种不同抗生素与血浆蛋白质结合百分比存在显著性差异。

三、结语

方差分析能够较好地应用于统计推断之中, 也即是根据部分资料, 对全部研究对象进行科学的统计推断, 以得到有价值的结论。目前, 随着计算机技术的不断发展, 借助计算机技术解决了方差分析计算量大的问题, 从而提高了方差分析在生活各领域的应用, 如生物领域、医药领域、经济领域等等。尤其是单因素方差分析, 在分析单因素对多组群实验数据进行方差分析过程中, 呈现出诸多优势, 而被社会各领域广泛应用。

单因素方差分析方法作为方差分析方法的一种, 随着计算机技术的不断发展, 在对比分析观测变量总的误差平方和各部分所占比例方面具有显著的优势, 对于研究自然变量与因变量之间的关系, 具有重要的意义。因变量的变动与自变量之间具有密切的联系, 借助单因素方差分析, 若在总的误差平方和中, 组间误差平方和所占比例过大, 则说明自变量引起因变量的改变。可以从自变量的角度揭示因变量的变动原因。反之, 则不能够从自变量的角度解析因变量的变动, 也即是自变量的不同水平对于因变量的影响不显著。其变动由随机变量因素决定。

单因素方差分析法的一个突出优势是判定自变量是否为影响因变量变化的显著性影响因素。如果通过单因素方差分析确定自变量诱发因变量的变动, 对因变量具有显著性影响, 则可以说明实验中各总体均值间存在显著性差异。但这种显著性差异并不代表每两个总体均值间均存在显著性差异。换言之, 单因素方差分析能够确定各总体间均值差异是否显著, 对于哪两个总体间均值差异是否显著, 并未有效证实。为此, 在探析多个总体间均值差异中的每两个总体间均值是否显著差异, 仍然需要进行总体间的两两均值比较。这也就是多重比较, 即在多个总体均值之间进行两两总体均值的显著差异化比较。

参考文献

[1]李玉毛.单因素方差分析在经济数据分析中的应用[J].赤峰学院学报 (自然科学版) , 2012, 28 (2) :18~19

[2]印德中.EXCEL在方差分析中的应用[J].中国现代教育装备, 2011, 17:23~25

篇4：单因素方差分析的数学模型及其应用

【关键词】学习风格 成绩 统计 方差分析

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0229-02

一、问题的提出

某高校学生的学习风格不同，他们的学习成绩是否有所不同。通过对某大学一年级的学生的学习风格的调查，再统计他们在不同学习风格下的学习成绩，进行单因素方差分析。问题：不同的学习风格是否对学生的学习成绩有显著性差异？

二、数据的搜集和整理

现以某大学数学系一年级的三个班为例，每班10人，期末考试高数成绩如下表（假设除了学生的学习风格以外，其它影响学生的高数成绩的因素均无显著差异。）通过调查，学生的学习风格有如下三种：直觉型、总体型、循序型。

（一）建立数据库

1.在Variable View界面中定义变量名称：学习风格和高数成绩。在“学习风格”变量中给三个水平赋值：

图1

2. 在Date View 中输入数据，如图：

图2

三、统计学原理

单因素方差分析，（one-way Anova）是用来检验由单一因素影响的一个（或者几个相互独立的）因变量，对因素各个水平样本组的均值进行比较，并可以对均值进行两两之间的比较。

单因素方差分析的基本条件：1. 独立样本：各组测试样本必须是从总体随机抽样构成的，各组的因变量值互相独立。2.正态分布或近似正态分布：因变量总体在因素的个水平上都呈现正态分布或近似正态分布。3.方差齐性：因变量在因素的各个水平上方差相等。

四、spss操作

（一）单击主菜单Analyze/Compare Means/One-Way Anova…，进入主对话框，把高数成绩选入到因变量表列（Dependent list）中去，把“学习风格”选入到因素（factor）中去，如图所示：

图 3

（二）单击铵钮Options，进入它的主对话框，在Homogeneity-of-variance项上选中。点击Continue，返回主对话框。在One-Way Anova的主对话窗口，单击按钮Post Hoc…进入多重比较方法选择对话框，如图所示：

图 4

点击Continue，返回主对话框。在主对话框中点击OK，得到单因素方差分析结果。

五、结果分析

图 5

1.根據以上数据分析： Sig=0.386>0.05， 所以三个组的方差满足方差齐性的条件。

图 6

2.依表得出：组间平方和为230.467，组内平方和为227.000；组间自由度为2，组内自由度为27；组间均方为115.233，组内均方为8.407；F检验统计量的值为13.706，对应的概率P值为0.000<0.05.说明在不同的学习风格下，学生的高数成绩有显著差异。

图 7

3.依据以上分析：各组数据具有方差齐性，所以LSD方法适用。直觉型和整体型差异性不显著；整体型和循序型差异显著；循序型和直觉型差异最为显著。

图 8

4.依据以上可以得出：在Subset for alpha=0.05的显著水平下，原来三个组分成相同类型的两个大组：（1）直觉型、整体型；（2）整体型、循序型；该表说明：整体型和直觉型、循序型的差异不显著，但是直觉型和循序型的差异最为显著。

六、总结

根据以上数据分析可以看出，学生的学习风格对高数成绩有一定影响，在其它因素不变的情况下，各组学生的高数成绩没有显著差异，因此说明学生的学习风格不是影响学生高数成绩的最主要的因素。

参考文献：

[1]杨晓明 spss在教育统计中的应用[M].北京：高等教育出版社，2012

篇5：单因素方差分析的数学模型及其应用

一、运用方法及模型

(1) 进行前提检验。

零假设H0:各水平下样本数据总体的方差无显著差异 (μ1=μ2=...=μk)

备择假设H1:H0不成立

若检验结果的相伴概率值大于给定的显著性水平 (一般为0.05) , 则可以认为各水平下方差相等, 可以进行下一步。若检验结果的伴随概率小于给定的显著性水平, 则各水平下的方差不相等。

(2) 计算F统计量, 进行F检验。单因素方差分析把观察变量总的变差平方和SST分解为由控制变量引起的变差SSA (组间Between Groups离差平方和) 及随机变量引起的变差SSE (组内Within Groups离差平方和) , 其中:

式中k为水平数, n为样本总数, ni是第i个水平下的样本容量。利用该公式计算出F值后, 再查F分布表给出的相伴概率值p, 若检验结果的相伴概率值大于给定的显著性水平α, 即Fa (k-1, n-k) 所对应的p值时, 则接受H0, 即可以认为控制变量的不同水平下各总体均值没有显著差异, 控制变量的不同水平没有给观察变量带来显著影响。反之, 则拒绝原假设, 说明控制变量对观察变量有显著影响。在进行方差分析时, 应当注意以下基本假设:所有的观察数据都是随机的;所有的观察数据都是来自正态总体的, 当n较大时, 这个条件一般仍要成立;所有的正态总体方差相等, 也就是方差齐性假设。

二、样本评价及数据

本文研究的主要目的是考察人民币升值对股票市场产生的影响。这就要求本文所选取的股票市场价格指数要能够迅速的对市场信息的变化做出反应, 股票收益率就是能够对市场信息迅速作出反映的指标之一。在本文研究过程中, 股票收益率采用百分比收益率法, 其计算方法是:假设一个资产在t期的价格为pt, 并且在时期内没有红利支付, 那么在t-1期到t期的百分比净收益为: 。

本文将通过人民币升值 (对美元) 对股票收益率的影响程度的实证研究来说明人民币升值是否对股票市场产生显著影响。基于一般理论认为, 人民币升值对金融板块和外贸板块的影响相比较其他板块而言要更大些。因此, 本文选取了外贸板块和金融板块作为研究对象, 并从中随机选取了包括沪市A股16支金融板块股票和22支外贸板块股票共37支股票进行研究。人民币汇率选取了率改之前一个月 (2005年6月) 、之后一个月 (2005年8月) 以及2007年12月共三组人民币对美元的平均汇率, 用来说明人民币升值对两个板块短期和长期产生的影响。本文采用SPSS 11.5软件, 数据来源于中信建投大智慧软件和中国人民银行网站。

三、方差分析实证研究

(1) 方差其次性检验。通常使用的判断多个样本方差是否齐性的检验方法是Levene检验。

从方差检验的结果看:金融板块和外贸板块的伴随概率分别为0.144和0.301, 都大于显著性水平0.05。显然都通过了方差齐次性检验, 认为各个组总体方差是相等的, 满足前提假设的条件, 从而可以进行下一步检验。

(2) 单因素方差分析。

在表3中, 对金融板块而言:F=10.943, 对应的伴随概率为0.002, 小于显著性水平0.05, 拒绝原假设, 说明不同的人民币汇率对应的金融板块股票收益率有显著性差异, 即不同的人民币汇率影响其股票收益率的大小。

在表4中, 对外贸板块而言:F=15.652, 对应的伴随概率为0.000, 小于显著性水平0.05, 同样拒绝原假设, 说明不同的人民币汇率对应的外贸板块股票收益率也有显著性差异, 即不同的人民币汇率影响其股票收益率的大小。

(3) 单因素各组群之间的多重比较。用F检验方法检验出各组均值之间有显著性差异之后, 还要检验是其中一组与对照组有显著性差异, 还是几个组与对照组都有显著性差异。通常采用的方法是LSD最小显著差法 (Least Significant Difference) 。表5和表6分别是金融板块和外贸板块的多重比较。

*The mean difference is significant at the.05 level.

*The mean difference is significant at the.05 level.

在表5中, 选择汇改之前的人民币汇率8.2765作为对照组, 汇改之后的人民币汇率7.3676和8.1019作为比较组时, 两者的伴随概率分别为0.082和0.001, 这说明第一比较组和对照组没有显著性差异, 而第二比较组和对照组存在显著性差异。这说明人民币升值对金融板块的股票收益率在短期内产生显著影响, 而长期内这种影响不是那么明显。

在表6中, 同样选择汇改之前的人民币汇率8.2765作为对照组, 汇改之后的人民币汇率7.3676和8.1019作为比较组时, 两者对应的伴随概率都是0.000, 都显著小于0.05, 即第一和第二比较组和对照组都存在着显著性差异。这说明人民币升值对外贸板块的股票收益率在短期和长期内都产生了显著的影响。

以上实证研究表明, 不同的人民币汇率对股票收益率的大小存在显著性差异, 即人民币汇率能够影响股票市场, 进而影响股票的收益率情况。但是对不同的板块其影响程度又是不同的。对金融板块来说, 短期内确实产生了一定的影响, 但是从长期看, 其可能还受其他因素的影响。对外贸板块来说, 人民币升值在短期和长期内都对其股票收益率产生了显著影响, 说明外贸板块对人民币汇率的依赖性很大。不同的人民币汇率对股票市场能够产生重要影响, 因此, 必须促进汇率市场和股票市场的协调发展:

一要完善人民币汇率形成机制。我国应进一步完善人民币汇率机制, 实行贸易投资及外汇储备的多元化, 减轻因人民币升值预期的压力造成的央行调节外汇市场的难度。将参考一揽子货币的方案作为过渡形式, 总体上保持本币对一揽子货币的汇率的相对稳定, 减少本币对某一货币的汇率波动幅度, 稳定由汇率变动引起的贸易收支变动, 同时也增大汇率的灵活性。让人民币实行自由浮动, 扩展政府调节经济的空间, 增强货币政策的独立性。我国人民币汇率形成机制最终的改革目标, 是实行更加富有弹性的汇率形成机制。因此, 还应通过市场建设, 引导、分流、限制国外资本的投资行为, 建立和完善人民币汇率风险的对冲机制, 将人民币汇率改革与国际金融体系改革联系起来, 积极推动与东亚各国的汇率协调与合作, 避免区域内出现竞争性贬值。

二要完善股票价格形成机制。我国应进一步完善股票价格形成机制, 建立多层次股票市场体系;规范上市公司运作, 提高上市公司质量;正确定位股票市场功能;规范上市公司的信息披露, 并建立信息披露的事后跟踪机制。

三要推进资本项目开放。汇率浮动区间逐渐扩大的范围应与资本账户的开放阶段相适应。在对资本账户一定程度开放的基础上, 允许汇率有相应的一定程度的浮动。随着资本账户各阶段的顺序开放程度加大, 逐渐扩大浮动汇率的区间。在这个过程中, 还要对汇率浮动的区间进行适当的调节。

四要构建国际资本流动的预警机制。随着改革开放的不断深入, 我国证券市场逐渐与国际市场接轨。大量的资本流动随之而来, 为防范人民币汇率变动对我国证券市场冲击, 金融监管部门应该建立一套完整的国际资本向证券市场流动的动态监控与预警机制。

参考文献

[1]高祥宝、董寒青:《数据分析与SPSS应用》, 清华大学出版社2007年版。

[2]马庆国:《管理统计》, 科学出版社2007年版。