初中数学方差

初中数学方差（精选9篇）

篇1：初中数学方差

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.（二）能力训练点

1．培养学生的计算能力.2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：方差概念.2．教学难点：方差概念.3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）width=40>机床甲 width=39>40 width=39>39．8 width=39>40．1 width=39>40．2 width=39>39．9 width=39>40 width=39>40．2 width=39>39．8 width=39>40．2 width=39>39．8 width=40>机床乙 width=39>40 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40．2 width=39>40 width=39>40．1 width=39>40 width=39>39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这

说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准

备．

2．方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．

在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.3．例1（用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的方差.让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.解：根据公式②（取），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.4．标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

④

篇2：初中数学方差

15.2.1平方差公式

教学目标

①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．

②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．

③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．

教学重点与难点

重点：平方差公式的推导及应用．

难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

教学准备

卡片及多媒体课件

教学设计

引入

同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：

探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

(1)(x+1)(x-1)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+1)(2x-1)=

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．

举例

再举几个这样的运算例子．

注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．

验证

我们再来计算(a+b)(a-b)=

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．

注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．

概括

平方差公式及其形式特征．

教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．

应用

教科书第152页例1运用平方差公式计算：

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

填表：

(a+b)(a-b) a b a2―b2 最后结果

(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22

(b+2a)(2a-b)

(-x+2y)(-x-2y)

对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．

注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．

(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．

(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．

教科书第152页例2计算：

(1)102×98

(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．

注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．

(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．

巩固

教科书第153页练习1、2

练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．

注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．

解释

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．

注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．

(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．

小结

谈一谈：你这一节课有什么收获?

注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．

作业

1．必做题：教科书第156页习题15.2第1题

2．选做题：计算：

(1)x2+(y-x)(y+x)

(2)2-20xx×20xx

(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)

篇3：初中数学方差

中学数学内容(基本要求)的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可.从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更为重要.这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的;知识只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益于终生.日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位.”世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识(即指一般性的思想方法或思维模式).”这就是说，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学.本文就“平方差公式”教学(略去了其详细的教学过程)中如何渗透数学思想方法作一探讨.

一、设计竞争情境，让学生在计算比赛中发现规律，渗透探索发现的研究方法

在数学中，探索发现是一种基本的研究方法.在数学知识的教学中，有意识引导学生进行观察、归纳、发现，对培养学生的创造能力十分有益.

在“平方差公式”这节课教学的开始，教师用电脑显示下面的十道计算题：

让学生之间开展竞赛，比准确，比速度，比技巧，要求学生在十分钟内做完，并请做好的立即举手，对解题既快又准确的同学，教师问其成功的秘诀，请他们说出在解题过程中发现的规律，并有意用符号□、△表示其规律，即(□+△) (□-△) =□2-△2.

设计竞争情境，使枯燥的运算变得生动活泼.学生在观察、归纳、猜想的探索中理解了平方差公式的结构特征，同时也提高了数学研究的能力.

二、对符号□、△进行变换，渗透变量变换思想

变量与常量既对立，又统一.辩证地看待字母——它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便.在平方差公式的学习中，学生往往不能用“变”的观点来看待平方差公式中的字母，因而往往也不能用公式的结构特征来判断题目能否使用公式.鉴于学生对平方差公式的理解不能一步到位的原因，笔者先有意识地用学生在小学里学过的、熟悉的符号□、△来表示发现的规律，再引导学生对符号□、△进行变化而得到不同的等式.目的是有意识地渗透变量变换的思想方法，同时也为下面运用平方差公式解题而涉及的整体思考方法作铺垫.

于是，令□、△分别变成100和1，得到等式

令□、△分别变为-2a和5b，得到等式

令□、△分别变为，得到等式

得到上面的等式后，教师让学生归纳得出：□处是同一数或式子，△处也是另一个数或式子.然后教师启发学生用字母来表示发现的规律(使学生理解一个字母可以代表一个数，也可以代表一系列的数或式子等)，得到(a+b) (a-b)=a2-b2.接着，教师又请学生对公式(a+b) (a-b)=a2-b2进行命名，由此引出课题：平方差公式.

引导学生将发现的规律(□+△)(□-△)=□2-△2中的符号□、△看作变量，进行变量变换，能使学生正确理解公式中字母的广泛含义，理解其背后隐含的数学思想方法.

三、引导学生对平方差公式进行证明，加强逻辑思维方法

经过学生自己发现的公式，无论从思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出公式再加以证明更富有吸引力数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维，有了猜想的结果，猜想正确性的证明就变成了学生自发的需要.先猜，后证，这是大多数的发现之道.于是有

证法1： (a+b) (a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

证法2： (a+b) (a-b)=(a+b) a-(a+b) b=a2+ba-ab-b2=a2-b2.

证法3：引导学生将课前发给的图形(硬纸板，图甲)沿虚线剪开，然后用剪开后的两个长方形拼成图乙的长方形得到a2-b2= (a+b) (a-b) .

优美的图形，无字的证明，这不但能提高学生的形象思维能力，而且给学生以数学美的熏陶，同时数形结合的解题能力也得到了提高.

四、在平方差公式的应用中渗透整体思想

整体的思想方法是指在研究问题时有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节或转化使问题获解.有些数学问题，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易.通过上面对符号□、△进行变换，把字母变成数或代数式的铺垫，现在反过来，将某些代数式看作一个字母，利用整体思想去思考，那么学生的思维也就自然而流畅了.

于是，设计下面的问题让学生计算，即

(1) (a+b+c) (a+b-c);【将a+b看作一个整体】

(2) (3a+2b-4c+5) (3a-2b+4c+5);【将3a+5和2b-4c分别看作一个整体】

(3) (x+2y+2001z) 2- (2x+2y+2001z) 2;【将x+2y+2001z和2x+2y+2001z分别看作一个整体】

通过上面这些问题的解决，启迪了学生的思维，加深了学生对平方差公式的理解，使学生从单纯的死记硬背走向深刻理解公式本质的记忆.

当学生经历一个活动过程之后，并不能马上形成活动经验，但在教学时适度引导，例如，通过前面对符号□、△进行变换活动的铺垫，再让学生在平方差公式的应用中运用整体思想，这样学生就可以迅速感悟整体的数学思想方法，并把这个活动过程逐步内化为经验.

学生数学思想方法水平的提高是学生创新能力发展的主要内容.因此，在数学教学中，必须加强数学思想方法的教学，提高学生的思维调控水平，从而培养他们的创新意识和创新能力.在数学思想方法的教学中，教师应大胆创设宽松的民主气氛，使学生敢于、乐于思考和讨论，让他们的思维进入自觉的思维情境中，有效地学习数学思想方法.

摘要：在平方差公式教学中渗透数学思想方法的做法:设计竞争情境, 让学生在计算比赛中发现规律, 渗透探索发现的研究方法;对符号□、△进行变化, 渗透变量变换思想;引导学生对平方差公式进行证明, 渗透逻辑思维方法;在平方差公式的应用中渗透整体思想.

关键词：平方差公式,数学思想方法,教学设计

参考文献

篇4：高考数学方差公式

一.方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里D(X) 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

二.方差的性质

1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X 、Y 相互独立，则

证：记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n

三.常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B ( n, p )引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

~正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

设一组数据x1,x2,x3・・・・・・xn中，各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)，(x2-x拔)・・・・・・(xn-x拔)，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+・・・・・(xn-x拔)】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

篇5：八年级数学下册《方差》教学反思

新课改理念下，课堂教学除了传统的知识与技能目标之外，还有过程与方法目标、情感、态度和价值观目标。三维目标，特别是后两者如何落实?

我认为，这个问题不可一概而论，因为虽然每节课都有三维目标，但每节课的目标侧重点会因教学内容、学生情况而有所不同。对数学课来说，知识与技能是基础，思维能力的培养是核心，方法、情感、态度和价值观以及目标的实现都要依赖思维水平的`发展。所以数学课必须在教学中揭示概念、定理、命题、公式、解法的形成、探索过程，而不是让学生仅仅通过模仿、重复训练达到会算即可，甚至死记硬背。

篇6：七年级下册数学平方差公式练习

1.化简:(a+1)2-(a-1)2=( )

A.2 B.4 C.4a D.2a2+2

2.下列各式计算正确的是( )

A.(x+2)(x-2)=x2-2

B.(2a+b)(-2a+b)=4a2-b2

C.(2x+3)(2x-3)=2x2-9

D.(3ab+1)(3ab-1)=9a2b2-1

3.下列运用平方差公式计算错误的是( )

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(x+1)(x-1)=x2-1

C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1

D.(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如果x+y=-4, x-y=8,那么代数式x2-y2的值是 .

5.计算:

6.观察下列各式,探索发现规律:

22-1=3=1

42-1=15=3

62-1=35=5

82-1=63=7

102-1=99=9

用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 .

三、解答题(共26分)

7.(8分)(株洲中考)先化简,再求值:(x-1)(x+1)-x(x-3),其中x=3.

8.(8分)(义乌中考)如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.

(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2.

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.

【拓展延伸】

9.(10分)阅读下列材料:

某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算:3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1.很受启发,后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(21024+1)的值时,又改造此法,将乘积式前面乘以1,且把1写为2-1得(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(21024+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(21024+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(21024+1)

=(24-1)(24+1)(28+1) (21024+1)=

=(21024-1)(21024+1)=22048-1.

回答下列问题:

(1)请借鉴该同学的经验,计算:

(3+1)(32+1)(34+1)( 38+1).

(2)借用上面的方法,再逆用平方差公式计算:

答案解析

1.【解析】选C.(a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)] [(a+1)+(a-1)]=22a=4a.

2.【解析】选D. (x+2)(x-2)=x2-4

(2a+b)(-2a+b)=(b+2a)(b-2a)

=b2-4a2

(2x+3)(2x-3)=4x2-9

(3ab+1)(3ab-1)=9a2b2-1.

3.【解析】选C.根据平方差得(2x+1)(2x-1)=4x2-1,所以C错误.而A,B,D符合平方差公式条件,计算正确.

4.【解析】因为x+y=-4,x-y=8,

所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)8=-32.

答案:-32

5.【解析】

答案:1

6.【解析】观察式子, 每个式子中等号左边的被减数是偶数的平方,减数都是1,等号右边是此偶数前后两个连续奇数的乘积,所以用含正整数n的等式表示其规律为(2n)2-1=(2n-1)(2n+1).

答案:(2n)2-1=(2n-1)(2n+1)

7.【解析】原式=x2-1-(x2-3x)=x2-1-x2+3x=3x-1,当x=3时,原式=33-1=8.

(2)解方程:(x-4)(x+3)+(2 +x)(2-x)=4.

【解析】去括号得x2-4x+3x-12+4-x2=4,

移项得x2-4x+3x-x2=4+12-4,

合并同类项得-x=12,

系数化为1得x=-12.

8.【解析】(1)图1中阴影部分面积为S1=a2-b2;图2中阴影部分 面 积为S2= (2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b).

(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.

9.【解析】(1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

= (32-1)(32+1)(34+1)(38+1)

= (34-1)(34+1)(38+1)= (38- 1)(38+1)

= (316-1).

篇7：初中数学方差

关键词：期望与方差,经济分析,应用

数学期望与方差分别有如下定义:

1)设离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…,),如果级数收敛,则称为离散型随机变量ξ的数学期望,记为E(ξ),即,当级数不收敛时,则称离散型随机变量ξ的数学期望不存在.设连续型随机变量ξ的密度函数为f(x),若积分收敛,称积分的值为随机变量ξ的数学期望,记为E(ξ)或Eξ,即E(ξ)=;若不收敛,则称ξ的数学期望不存在.

2)设ξ为随机变量,称E(ξ)一E(ξ))2为离散型随机变量ξ的方差,记为D(ξ),即D(ξ)=E(ξ—E(ξ) 2

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.下面就数学期望与方差在下面几方面的应用作介绍:

1 在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标.下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用.

例1某人有一笔资金,可投入3个项目:房产x、地产y和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差3个等级,其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表1.请问:该投资者如何投资好?

解我们先考察数学期望,可知

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险.我们再来考虑它们的方差:

因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上.

例2据统计,一年中,一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01,保险公司办一年期万元以上家庭财产保险,参加者需要交保险费100元,若在一年内,万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>100),问a如何确定,可使保险公司获益?

解设保险公司的收益为ξ,则ξ的分布列见表2.

所以,期望

又因为a>100,所以100<a<10000.即将a确定在区间(100,10000)内(单位:元)保险公司有望获益.

2 商品生产和销售中的应用

利用概率分布确定商品进货量.在商品销售过程中,商品的进货量是一个很重要的因素,因为商品卖不出去,要支付银行的借款利息和支付商品的保管费用,既要保证商品不脱销,又要保证商品不积压,因此商品销售者控制好进货量是至关重要的.订货的到达时间经常发生随机性的提前或推迟.下面将给出需求不确定的随机性存储模型.

由于需求量是随机的,所以可考虑其平均需求量,而且不允许缺货也只是指在一定置信度下的不允许缺货.

设D为年平均需求,则类似于确定性存储的EOQ模型,可得到相应的最佳批量,这里,K为一次定购费,C1为该种物资一个单位存储一年的费用.

为在一定置信度下对不缺货提供安全保证,可将安全库存量加到正常存货中以提供所希望达到的服务水平(即不缺货的概率).这时,有R=l+βδ,式中,R为订货点,l和δ分别为备运期内的销售量的均值与均方差,β为安全库存系数,βδ为安全库存量.安全库存系数β即为给定置信度1-a下的上100α百分位点,其值满足等式P(X>β)=α,可通过查概率分布表得到.

因此,订货策略为:当备运期大于零时,若存储量降低到R,则以Q*为订货量进行订货.

例3设某公司订购一种备件,一次订货费为60元,年平均需求量为500件,每件年存储费为40元,备运期8天,备运期中的销售量服从均值为15、均方差为2的正态分布.为使不缺货的概率达到99.9%且总费用最小,问订货点是多少,每次订多少件?

解析注意到D=500件/年,K=60元,C1=40元,则

根据不缺货的概率达到99.9%,查正态分布表得β=3,订货点为R=15+3×2=21件.

故订货点为21件,每次订货39件.

例4某电器商经过多年的经验发现本店每月出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量,它的分布列为,12).设每售出一台电冰箱,该经销商获利300元,如果销售不出而囤积于仓库,则每台每月需支付保养费100元,问该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大?

解析依据题意可列出获利的平均数(即数学期望)的函数,求出其最值及达到最值的条件就可得解.

设月初电器商购进的冰箱的台数为x(x≥1),月收益为η元,则η是随机变量ξ的函数,且

由于x为整数,所以当x=9或10(台),Eη最大,即电器商月初购进9台或10台电冰箱时,收益最大.

3 在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法.利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小.下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用.

例5已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N(μ,σ2),今随机抽取8次货损资料,得到表3所示仓库货物损失金额表.请估计仓库货物损失的平均值及标准差.

解利用矩估计法或最大似然估计法,可知μ,σ2的矩估计量分别为:

从而根据表3中的数据可计算出:

从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55元.

参考文献

[1]孙玉芬.概率统计在商品生产和销售中的一些应用[J].保山师专学报,2003,22(2):51-56.

[2]祁红光.浅谈概率统计在决策优化中的应用[J].沙洋师范高等专科学校学报,2005,(5): 28-30.

[3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.

篇8：中学数学《平方差公式》说课稿

1、使孩子理解和掌握闲方差公式，并会用公式进行计算；

2、注意培养孩子分析、综合和抽象、概括以及运算能力。

二、说重难点

本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式、难点是公式推导的理解及字母的广泛含义、闲方差公式是进一步学习完全闲方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础、

1、闲方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项、合并同类项后仅得两项。

2、这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的闲方差，即相同项的闲方与相反项的闲方差、公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式。

只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式、例如在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了。

3、关于闲方差公式的特征，在学习时应注意：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的闲方差（相同项的闲方减去相反项的闲方）。

（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式。

（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算。

三、说教法

1、可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发孩子的学习兴趣，使孩子能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养孩子观察、概括的能力。

2、通过孩子自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的闲方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即（a+b）（a—b）=a2+ab—ab—b2=a2—b2

这样得出闲方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了。

3、通过例题、练习与小结，教会孩子如何正确应用闲方差公式、这里特别要求孩子注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算（1+2x）（1—2x），（1+2x）（1—2x）=12—（2x）2=1—4x2——（a+b）（a—b）=a2—b2。

这样，孩子就能正确应用公式进行计算，不容易出差错。

另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养孩子解题的灵活性。

四、说学法

一师生共同研究闲方差公式

我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子。

让孩子动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解、教师根据孩子的回答，引导孩子进一步思考：

两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？

（当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式、这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了、而它们的积等于乘式中这两个数的闲方差）

继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算、以后经常遇到（a+b）（a—b）这种乘法，所以把（a+b）（a—b）=a2—b2作为公式，叫做乘法的闲方差公式。

在此基础上，让孩子用语言叙述公式。

二运用举例变式练习

例1计算（1+2x）（1—2x）

解：（1+2x）（1—2x）

=12—（2x）2

=1—4x2

教师引导孩子分析题目条件是否符合闲方差公式特征，并让孩子说出本题中a，b分别表示什么。

例2计算（b2+2a3）（2a3—b2）

解：（b2+2a3）（2a3—b2）

＝（2a3+b2）（2a3—b2）

＝（2a3）2—（b2）2

＝4a6—b4

教师引导孩子发现，只需将（b2+2a3）中的两项交换位置，就可用闲方差公式进行计算。

课堂练习

运用闲方差公式计算：

（1）（x+a）（x—a）；

（2）（m+n）（m—n）；

（3）（a+3b）（a—3b）；

（4）（1—5y）（1+5y）、

例3计算（—4a—1）（—4a+1）

让孩子在练习本上计算，教师巡视孩子解题情况，让采用不同解法的两个孩子进行板演。

解法1：（—4a—1）（—4a+1）

=[—（4a+1）][—（4a—1）]

=（4a+1）（4a—1）

=（4a）2—12

=16a2—1

解法2：（—4a—1）（—4a+1）

=（—4a）2—1

=16a2—1

根据孩子板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用闲方差公式，写出结果、解法2把—4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出（—4a）2—12后得出结果、采用解法2的同学比较注意闲方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷、因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用闲方差公式，就能比较简捷地得到答案、

课堂练习

1、口答下列各题：

（1）（—a+b）（a+b）；

（2）（a—b）（b+a）；

（3）（—a—b）（—a+b）；

（4）（a—b）（—a—b）。

2、计算下列各题：

（1）（4x—5y）（4x+5y）；

（2）（—2x2+5）（—2x2—5）；

教师巡视孩子练习情况，请不同解法的孩子，或发生错误的孩子板演，教师和孩子一起分析解法。

三小结

1、什么是闲方差公式？

2、运用公式要注意什么？

（1）要符合公式特征才能运用闲方差公式；

（2）有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。

四作业

1、运用闲方差公式计算：

（1）（x+2y）（x—2y）；

（2）（2a—3b）（3b+2a）；

（3）（—1+3x）（—1—3x）；

（4）（—2b—5）（2b—5）；

（5）（2x3+15）（2x3—15）；

（6）（0.3x—0.1）（0.3x+1）。

2、计算：

（1）（x+y）（x—y）+（2x+y）（2x+y）；

（2）（2a—b）（2a+b）—（2b—3a）（3a+2b）；

（3）x（x—3）—（x+7）（x—7）；

篇9：初中数学方差

一、选择题(每题3分，共24分)

1.若一组数 据1，2，3，x的极差为6，则x的值是( )

A.7 B.8 C.9 D.7或-3

2.(小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的( ).

A.平均数; B.方差; C.众数; D.中位数.

3.若一组数据1，2，x，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是( )

A. 2 B. C. 10 D.

4.刘翔在出征北京奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他20次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这20次成绩的( )

A、众数 B、平均数 C、频数 D、方差

5.为了考察甲、乙两班期中考试数学成绩的波动大小，从这两班各抽10人的数学成绩进行比 较，算出甲班10人的成绩方差比乙班10人的成绩方差大，由此可估计出 ( )

A.甲班比乙班整齐 B.乙 班比甲班整齐 C.甲、乙两班成绩一样整齐 D.无法确定

6.甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数 及其方差s2如下表所示，则选拔 一名参赛的人选，应是 ( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

7.一组数据的方差是2，将这组数据都扩大3倍，则所得一组新数据的方差是( )

A.2 B.6 C.9 D.18[来源:学。科。网]

8.将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是( )

A.平均数不变 B.方差和标准差都不变

C.方差改变 D.方差不变但标准差改变

二、填空题(每题3分，共24分)

1.在手拉手，献爱心捐款活动中，某校初三年5个班级的捐款数分别为260、220、240、280、290(单位：元)，则这组数据的极差是_元.

2.下列数据是从一个总体中抽取的一个样本：101、102、103、99、98、100，求得样本方差为_ 。

3.某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7、9、6、8、10，样本的平均数是 ;样本的方差是 ;样本的标准差是 _ 。

4.两名战士用同一步枪各打五发子弹，他们命中环数是：甲：8、7、9、8、6;乙：5、10、6、9、10。判断比较稳定的应该是_ 。

5.一组数据的方差是m2，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是_ 。

6.甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的矿泉水.从甲、乙灌装的矿泉水 中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是： =4.8， =3.6.那么_ _ (填甲或乙)灌装的矿泉水质量较稳定.

7.一组数据-1、-2、x、1、2其中x是小于10的非负整数，且数据的方差是整数，则数据的标准差是_

8.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数 统计结果如下表：

班级 参赛人数 中位数 方差平均字数

甲 55 149 191 135

乙 55 151 110 135

某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上)

三、解答题(共52分)

1、已知x1、x2、x3的平均数是 ，方差是S2，求3x1+5、3x2+5、3x3+5的平均数和方差。

2、已知一组同学练习射击，击中靶子的环数分别为103、98、99、101、100、98、97、104，计算它们的方差。

3、两人练习百米跑步，甲的成绩为13、12、14、12、12;乙的成绩为12、11、13、14、12，问谁的成绩好一些?谁的成绩稳定一些?(单位为s)

4、已知样本甲为a1、a2、a3样本乙为b1、b2、b3，若a1-b2=a2-b2=a3-b3，那么样本甲与样本乙的方差有什么关系，并证明你的结论。

四、探索拓展

有甲、乙、丙三名射击运动员，要从中选拔一名参加比赛，在选技赛中每人打10发，环数如下：

甲：10、10、9、10、9、9、9、9、9、9，

乙：10、10、10、9、10、8、8、10、10、8，

丙：10、9、8、10、8、9、10、9、9、9。

根据以上环数谁应参加比赛?

五、提升能力，超越自我

1、为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了1 0次测验，成绩如下：(单位：分)

甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84

乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78

(1)请 完成下表：

平均数 中位数 众数 方差 85分以上的`频率

甲84 84 14.4 0.3

乙 84 84 34

(2)利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行分析.

2、一次期中考试中A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息、如下表所示：

(I)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差;

(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=(个人成绩-平均成绩)成绩 标准差

从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好.

友情提示：一组数据的标准差计算公式是，其中 为n个数据 的平均数.

参考答案：

一、选择题：1、D;2、B;3、B;4、D;5、B;6、B;7、D;8、B;

二、填空题：1、70;2、2;3、8，2， ;4、甲;5、4m2;6、乙;

7、或 ;8、①②③;

三、解答题

1、3 +5，9S2;

2、5.5;

3、乙的成绩好 甲稳定一些;

4、S21=S22;

四、甲;

提升能力，超越自我

1、解：(1)

平均数 中位数 众数 方差 85分以上的频率

甲 84 84 84 14.4 0.3

乙 84 84 90 34 0.5

(2)甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从两人成绩 的众数看，乙的成绩较好.

甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定.

甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从85分以上的频率看，乙的成绩较好.

2、(1)数学考试成绩的平均分 英话考试成绩的标准差：