浅谈均值不等式的教学

2024-05-18

浅谈均值不等式的教学（通用14篇）

篇1：浅谈均值不等式的教学

数理

浅谈均值不等式的教学

岳阳县第四中学杨伟

均值不等式是高中数学新教材第六章教学的重点，也是难点，它是证明不等式、解决求最值问题的重要工具，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节;它也是高考的热点,且常考常新。下面就均值不等式的应用及需要注意的几个问题举例说明

一、均值不等式的应用

（一）、通过特征分析，用于证不等式

均值不等式：1)a2+b2≥2ab = ab +ab(a,b∈R)

2)a+b ≥

∈R+)

两端的结构、数字具有如下特征：

1)次数相等；2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等； 3)左和右积。当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。

例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明:≧ b2+c2≥2bc, a>0, ≨ a(b2+c2)≥2abc

同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 ≧a，b，c不全相等，≨ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。

（二）、抓条件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式（2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、壹

三相等”，求最值时，三者缺一不可。

例2.已知x, y∈R+且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由题设一正：x, y∈R+，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。解：≧ x, y∈R+，≨xy =

19x16y

21×9x×16y≤()×=36 144214

4当且仅当9x=16y，即x=8,y=9/2时，(xy)max=36.例3 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50≤x≤80）

5时，每天销售的件数为p，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？2

(x40)105105

解：由题意：利润S(x50) (x50)22

(x40)(x50)20(x50)100

100105，≧ x50≥0，≨(x50)≥20，

100(x50)

(x50)20

(x50)105100

2500，当且仅当(x50)≨S≤，2020(x50)

即 x60或x40（不合题意舍去）.答：当售价为60元时，每天获得的利润最多为2500元

（三）、抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)3=27abc，试判定三角形ABC的形状。

分析：(a+b+c)3=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特

贰

例(取等号情形)，所以有下面解法。

解：≧a>0, b>0, c>0，故有不等式a+b+c≥

3abc（见阅读材料），即(a+b+c)

≥27abc，当且仅当a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3, ++ =3.求x2+y2+z2的值。解：由题设得(x+)+(y+)+(z+)=6≧ x,y,z>0, ≨, x+≥2 ,y+ ≥2 , z+ ≥2≨.(x+)+(y+)+(z+)≥6

此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即x= ,y= , z=≨x2=1,y2=1, z2=1, ≨x2+y2+z2=3.说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。

总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。

1x1x

1y1z

二、需谨防的几个误区

（一）、忽视定理成立的前提条件

例6.求函数y=

(x4)(x9)的最值。x

(x4)(x9)x213x3636错解：y===13+x+≥

xxx当且仅当x =

36即x

时取等号。

叁

所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。

(x4)(x9)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)，上述解题过程中应用x

分析：函数y=

了均值不等式，却忽略了均值不等式成立的条件，因而导致错误。

正解：函数y=

(x4)(x9)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)x

(x4)(x9)x213x3636y===13+x+

xxx

当时，x+

3636≥

当且仅当x =即x = 6时取等号。xx所以当x=6时，ymin =2

5当x＜0时，-x＞0,-36

＞0 x

因为(-x)+(-

3636)≥

=12当且仅当-x=-即xx时取等号。

所以x+

≤-12x

所以当x=-6时，ymax =13-12=

1（二）、忽略了定值的选取

例7.当x＞0时，求 y=4x +

9的最小值。x

2错解：因为 x＞0, y=4x +≥

x2所以当且仅当4x=

9即

y min

肆

分析：错误的原因是4x与

9的积不是定值。x2

99=2x +2x +≥

22xx正解：因为 x＞0, y=4x +

9当且仅当 2x=2，即

x=时等号成立。

所以当

ymin

（三）、忽略“＝”号成立的可能性

例8.求

∈R)的最小值。

错解：因为

≥

所以ymin =2，即，找不到这样的x。

正解：令

≥2)，则 y=t+(t≥2)又因为t≥1时，y=t+是递增的。所以当t=2，即x=0时，ymin=。

例9.已知：x,y∈R+，且x+4y=1，求+ 的最小值。

伍

错解：因为 1=x+4y≥

所以

4所以+ 1x1y

≥8

所以 + 的最小值为8。

1x1y

分析：错误的原因是等号取不到。因为第一个等号成立的条件是x=4y，第二个等号成立的条件是x=y，且两等号不能同时成立。

正解：因为+ =(x+4y)(+)=5+

1y1x1y4yx+ ≥

xy当且仅当

4yx11

=，即x=,y=时等号成立。xy36

所以当x=,y=时，+ 的最小值为9。

3161x1y

由此可见，在应用均值不等式求值时，一定要注意：一正（各项或各因式均为正），二定（和或积为定值），三相等(各项或各因式能取得相等的值)，若不具备这三个条件，则需作适当的变形，以满足上述前提，减少错误发生的可能性。

二〇〇七年九月

陆

篇2：浅谈均值不等式的教学

教学目标

（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题.（二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程.（三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用教学过程

创设情境如图,AB是圆的直径，D是CAB上与A、B不重合的一点，AD=a,DB=b,过点D作垂直于AB的弦CD，连AC,BC,AaODbB则CD=＿＿,半径OC=＿＿＿＿E 讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系注意：（1）当时，(2)a、b的取值范围

探求新知：均值不等式的内容及证明

均值定理：

证明：（比较作差法）

变形应用：（1）

（2）

讨论释疑：

牛刀小试：已知x0,则x1x 例

1、已知ab0，求证：baab2并推导出式中等号成立的条件

例

2、求函数f(x)x22x3x(x0)的最值，以及此时x的值

精炼巩固：

t2 1.设t0,则函数f(t)4t1的最小值为此时t的值 2.已知正数a,b满足ab1,则ab有最值为

点拨提高：

总结本节课的你的收获。

课堂小测：.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：

.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：

篇3：均值不等式的推广

定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

将定理加以推广:一般地, 如果对于n个正数a1, a2, …, an (n≥2) , 把 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} ‚ G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}$ 分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数, 那么有An≥Gn (当且仅当a1=a2=…=an时等号成立) , 即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

一、结论的证明

证法一: (数学归纳法)

当n=2时, 由 $(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})^{2} \geq 0$ , 知An≥Gn, 其中等号当且仅当a1=a2时成立.

假设命题对于任意k个正数成立, 则对于任意k+1个正数a1, a2, …, ak, 有

$\begin{array}{l} A_{k + 1} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{k + 1}}{k + 1} \\ = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{k + 1} + (k - 1) A_{k + 1}}{2 k} (∵ a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{k + 1} = (k + 1) A_{k + 1}) \\ = \frac{\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}}{k} + \frac{a_{k + 1} + \overset{(k - 1) 个}{\overset{⌢}{A_{k + 1} + \dots + A_{k + 1}}}}{k}}{2} ‚ ① \\ \geq \frac{\sqrt[k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k}} + \sqrt[k]{a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}}}{2} \\ \geq \sqrt{\sqrt[k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k}} \sqrt[k]{a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}}} \\ = \sqrt[2 k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}}, \end{array}$

即 $A_{k + 1} \geq \sqrt[2 k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}},$

两边2k次方, 得A $_{k + 1}^{2 k}$ ≥a1a2…akak+1A $_{k + 1}^{k - 1}$ ,

两边约去A $_{k + 1}^{k - 1}$ , 得A $_{k + 1}^{k + 1}$ ≥a1a2…akak+1,

开k+1方, 得 $A_{k + 1} \geq \sqrt[k + 1]{a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1}}, ②$

当且仅当a1=a2=…=ak, ak+1=Ak+1, 即a1=a2=…=ak+1时① (或②) 取等号.所以, 当n=k+1时, 命题也成立.

至此, 证明了结论对任何整数n≥2都成立, 则有An≥Gn.即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

证法二: (琴生不等式法)

琴生不等式:上凸函数f (x) , x1, x2…, xn是函数f (x) 在区间 (a, b) 内的任意n个点, 则有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{1}{n} (f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})) .$

设f (x) =lnx, f (x) 为上凸函数,

$∴ \ln (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{1}{n} (\ln x_{1} + \ln x_{2} + \dots + \ln x_{n}) = \ln (x_{1} x_{2} \dots + x_{n})^{\frac{1}{n}},$

即 $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} .$

则An≥Gn, 即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、结论的应用

【例1】证明:在圆的内接n边形中, 以正n边形的面积为最大.

证明:设圆的半径为r, 内接n边形的面积为S, 各边所对的圆心角分别为θ1, θ2, …, θn, 则

$S = \frac{1}{2} r^{2} (\sin θ_{1} + \sin θ_{2} + \dots + \sin θ_{n}) .$

设f (x) =sinθ, 由于它在 (0, π) 内上凸, 于是根据上述结论有 $\sin θ_{1} + \sin θ_{2} + \dots + \sin θ_{n} \leq n \sin \frac{θ_{1} + θ_{2} + \dots + θ_{n}}{n} = n \sin \frac{2 π}{n} .$

所以当θ1=θ2=…=θn时, S取最大值, 也就是以正n边形的面积为最大.即在圆的内接n边形中, 以正n边形的面积为最大.

【例2】已知n∈N, 求证: $(1 + \frac{1}{n})^{n} ＜ (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} .$

证明:对任意的n∈N, 由上述结论有

$(1 + \frac{1}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \times l ＜ [\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1}]^{n + 1} = (\frac{n + 1 + 1}{n + 1})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} .$

即 $(1 + \frac{1}{n})^{n} ＜ (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} .$

参考文献

篇4：均值不等式的应用

关键词：均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则■≥■（*）

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明

例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与（■+■+…+■），故可选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由均值不等式可得，a1+a2+∧+an≥n■（1）

■+■+∧+■≥n■（2）

（1）×（2）：（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2 证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

试证：■+■+…+■＞■

分析：题目中，明显含有和式■+■+…+■，故可选■（i=1，2，…，n）为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：选■（i=1，2，…，n）为基本元素，由均值不等式得：

■（■+■+…+■）＞■（1）

考虑（1）式根号内的分母，选s-ai（i=1，2，…，n）为基本元素，再由均值不等式得：

■＞

■，

又由已知S=a1+a2+…+an，所以■＞■，（2）

（1）×（2）：■（■+■+…+■）＞■=s

所以■+■+…+■＞■

由以上证明发现，巧妙选定基本元素■和s-ai是证明这个命题的关键。

二、所涉及的命题形式中，不能明确体现基本元素 a1，a2，…，an，此类题目较难.解决这类问题的关键是根据命题的形式与特点，利用以前所学过的数学知识，设法分离出满足（*）式基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例3.设n∈N且n＞1，求证n！＜■n

分析：考虑到，n！=1·2·3…n，我们选1，2，3，…，n为基本元素，利用均值不等式着手解决。

简证：因为n！=1·2·3…·n，所以可选1、2、3、…n为基本元素

由（*）式■＞■，即：■＞■ ∴n！＜■n

通过拆分n！，继而发现基本元素1，2，3，…，n，再利用均值不等式入手解决，这样使看来无法下手的問题，变得有章可循，有法可依，证明起来轻松异常。

例4.设n是大于1的自然数，求证：2n-1＞n■

分析：据等比数列求和公式知，2n-1=1+2+22+…+2n-1，所以可选1，2，22，…，2n为基本元素，由均值不等式着手解决。

简证：由（*）式：1+2+22+…+2n-1＞n■ 可得：2n-1＞n■

所以2n-1＞n■.证毕。

由证明发现，通过把2n-1拆分为1+2+22+…+2n-1 使毫无思路，难于下手的不等式问题通过均值不等式迎刃而解。

三、所涉及的命题中明显含有“式子的n次方”，我们可将它转化为“ｎ个式子的乘积”，使之出现基本式a1a2…an，进而确定基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例5．设n为大于1的自然数，且０＜x＜1，证明：1+■n+1≥1+■n

分析：考虑到，1+■n＝1×1+■×1+■×…×1+■，可选1和n个1+■作为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：由于1+■n＝１×■，所以，利用均值不等式，■≥■，即■≥■也即1+■≥■，两边开n次方得：1+■n+1≥1+■n，命题得证。

此例的证明方法很多，比如常见的构造函数法，都比较麻烦。采用均值不等式证明，思路清晰，简明易懂，令人耳目一新！证明的关键是，由拆分“式子的n次方”进而去发现“基本元素”，再由均值不等式着手完成。

例6.设m、n、r为正整数且两两不等，求证：■m+n+r＞mmnnrr

分析：拆分■，■，■，可选m个m，n个n，r个r （总共有（m+n+r）项）为基本元素，再利用均值不等式解决.

证明：由（*）式：＞■＞

■

（上式中m个m，n个n，r个r相加）

即■＞■，两边式子都进行（m+n+r）次方，

所以■m+n+r＞mmnnrr.命题得证。

篇5：均值不等式的简介

2、几何平均数：

Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用

2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

编辑本段均值不等式的变形

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b<-2√(a*b)<0

(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负实数a,b，有a²+b²≥2ab≥0

(6)对实数a,b，有a²+b²;≥1/2*(a+b²)≥2ab

(7)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c²;

(8)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac

(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥3/4*(a+b)²;

(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)

编辑本段均值不等式的证明

均值不等式

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+„+an)/n)^n≥a1a2„an。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+„+ak)/k)^k≥a1a2„ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，„，a(k+1)中最大者，则

k a(k+1)≥a1+a2+„+ak。

设s=a1+a2+„+ak，{[a1+a2+„+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)

={s/k+[k a(k+1)－s]/[k(k+1)]}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1)用引理=(s/k)^k* a(k+1)

≥a1a2„a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

编辑本段均值不等式的应用

例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

编辑本段其他不等式

琴生不等式

绝对值不等式权方和不等式赫尔德不等式闵可夫斯基不等式贝努利不等式柯西不等式切比雪夫不等式外森比克不等式排序不等式

编辑本段重要不等式

1.柯西不等式

柯西不等式的一般证法有以下几种：

（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^2.我们令 f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)

篇6：均值不等式的应用策略

均值不等式的应用策略

作者：黄秀娟

来源：《数理化学习·高三版》2013年第09期

高中阶段常用的不等式主要有以下两种形式：

（1）如果a，b∈R那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）.（2）如果a，b都是正数，那么

21/a+1/b

≤ab≤a+b2

篇7：均值不等式的正确使用及例题

利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。

（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 a2b2abab2均值不等式是指，ab(a,bR)，它的变形式子有ab()，ab22

2(ab)2

2(a2b2)等。由此可知，在求ab的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？

通过比较发现，若已知ab是定值，求ab的最大值可使用第一个不等式；若已知a2b2是定值，求ab的最大值可用第二个不等式，若求ab的最大值可用第三个不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提

例1.已知正数a、b满足2a2b23，求ab21的最大值。

（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立

2例2.已知ab0，求a4的最小值。b(ab)

二.均值不等式的应用

（一）用于比较大小

例1.若ab1，Plgalgb，QA．RPQ

例2.若pa B.PQR 1ab，则（）(lgalgb)，Rlg22 C.QPRD.PRQ 12(a0)，qarccost(1t1)则下列不等式恒成立的是（）a

A.pqB.pq0C.4pqD.pq0

（二）用于求取值范围

例3.若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是。

（三）用于证明不等式

例4.已知i、m、n是正整数，且1imn，求证：(1m)n(1n)m.三.均值不等式中等号不成立时最值的求法

利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。在解题的过

程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的失效现象，下面浅析此时的应付对策。

（一）平衡系数，实施均拆

这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等。

例1.求函数y3x1(x0)的最小值。x

2（二）引入参数，巧渡难关

例2.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

（三）依函数单调性处理，简捷迅速

例3.求函数yx2

5x

42x212

x422(xR)的最小值。的最小值。例4.求函数y

（四）分项拆项，观察等号对于函数f(x)pxq(p、qR，x(0，c])x的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号。

例5.已知x[0)，求函数y1sinx

22的最小值。1sinx

（五）利用化归思想解决两次均值不等式等号不成立时的问题

22例6.设实数m，n，x，y满足mn4，x2y29，求mxny的最大值。

四.解决最值问题的不等式模型

最值问题一直是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。同时在解题的过程中，不难发现求最大（小）值问题，绝大多数都可转化为不等式问题。下面就总结一下解决最值问题的六个常用不等式模型。

2（一）运用“x0”模型

22对任意的xR，有x0恒成立，运用x0等号成立的条件，可解决二次函数型的最值，同时要区分在闭区间的最值问题。

例1.已知x、yR，且xy1，求x2y2的最小值。

例2.函数ycos2x3cosx2的最小值为（）

A.2B.0C.

（二）运用“0”模型 1D.6

4将函数看作关于自变量的方程，常可化为一元二次方程ax2bxc0(a0)，运用“xR,b24ac0”求函数的最值。

例3.如果实数x,y满足(x2)2y23，那么

A.y的最大值是（）x331B.C.D.3 32

2，|cosx|1”模型

（三）运用“|sinx|

1此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题，解法是先化为关于正余弦函数的，|cosx|1来完成。一次式，再利用有界性即|sinx|1

例4.定义在R上的函数f(x)sinxcosx的最大值是____。

例5.函数f(x)3sinxcosx4cos2x的最大值是_______。

（四）运用“a,bR，ab2ab”模型

利用二元均值不等式求最值，应注意遵循条件“一正二定三相等”。

例6.若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是（）

A.18B.6C.23D.2 

（五）运用“a、b、cR，abcabc”模型

在高考中，对于均值不等式应用已限制在二项或三项，在中学知识范围内，对三次函数求最值，运用均值不等式是行之有效的方法，但必须要符合“一正二定三相等”三条件。

例7.已知sin2sin2sin21(、、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于

（六）运用“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的模型

对于较困难用以上五种常用不等式模式解决的最值问题，可通过数形结合或单调性等法，得到“f(x)f(a)或f(x)f(b)”的通用模型，用等号成立条件而获解。

x22xa1，x[1，)，当a时，求函数f(x)的最小值。例8.已知函数f(x)x2

2x3，x0，0x1的最大值是_____。例9.f(x)x3，x5，x1

篇8：浅析均值不等式的应用

均值不等式:设a1, a2, ……an都是正数, 则, 当且仅当a1=a2=…=an时, 等号成立。

使用均值不等式要注意:

(1) 构成使用均值不等式的解析式的值必须是正值 (一正) ; (2) 积 (或者和) 必须为定值 (二定) ; (3) 在取值范围内能使等号成立 (三相等) 。

一、利用均值不等式求最值

例1求y=sin2x·cos4x的最大值

分析:要求乘积的最大值, 必须使得各项和为定值。为了达到这个目的, 则需采取“拆”和“凑”的技巧, 把cos4x拆为cos2x·cos2x的形式, 并凑上一个sin2x.

二、利用均值不等式求函数的值域

三、利用均值不等式证明不等式

例3设a、b、c是正数, 且ab+bc+ca=3.求证,

分析:, 可知abc≤1, 利用“缩放”法, 用abc来代替不等式左边分母中的1.

四、运用均值不等式时容易出现的错误

(1) 忽视了不等式的前提是各项必须为正数。在前述例2中, 如果不注意均值不等式的使用前提, 就容易忽略了当x-1<0时函数的取值范围, 从而造成函数值域的部分缺失。

(2) 忽视了不等式定值的选取。

例4利用已有的一面围墙 (足够长) 和100米长的篱笆, 围城一个矩形场地, 问, 如何围, 才使得所围成的场地面积最大?

解, 设围墙的邻边长为x米, 则, 围墙对边长为100-2x米, 那么所围场地的面积为x (100-2x) 平方米

上述的错误在于, 两项的和不为定值, 不符合均值不等式的使用条件, 正确的解法是

(3) 忽视了等号成立的条件是否存在。

∴函数的最小值为2.

上述中, 若要使等号成立, 须使, 即x2+4=1, 在实数范围内无解, 所以, 等号成立的条件不存在, 则函数的最小值为2也不成立。

正确的解法是, 令上为增函数, 所以t=2当时, 函数有最小值5/2。

篇9：均值不等式的专题

关键词：均值不等式；灵活运用

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）11-223-02

—、什么是均值不等式

定理：如果a,b均为正数,那么（a+b）／2≥√ab,﹝当且仅当a=b时,取等号﹞

即均植不等式:（a+b）／2≥√ab

证明:∵（a-b)2≥0

∴a2+b2≥2ab

又∵a,b均为正数,

∴（√a)2+（√b)2≥2√a√b

a+b≥2√ab

即:（a+b）／2≥√ab

1,（a+b）／2叫做正a,正b的算术平均数.

2, √ab叫做正数a,b的几何平均数.

3, 数列解释:

（a+b）／2叫做a,b的等差中项.

√ab叫做a,b的等比中项.

4.几何解释:半径不小于半弦.

5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、均值不等式的灵活运用

均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定值。正确应用定理把握三点：⑴正，⑵定，⑶相等。

例⒈求函数y=1／（x-3） +x（x＞3）的最小值

分析:函数y=1／（x-3） +x中的两项1／（x-3）与x均为正数,但其积不是定值,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等式求其最值.

解:∵y=1／（x-3） +x= y=1／（x-3） +x-3+3

又∵x＞3,即x-3＞0, 1／（x-3）＞0

∴y≥2 +3=5

当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=”

∴y的最小值是5

例⒉求函数y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此将x变为3 x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值.

解: ∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

∴y=1／3 . 3x（8-3x）

（0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0

y≤1／3×【（3x+8-3x）／2】2=16／3

∴Y的最大值是16／3

点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（）2，

a，b均为正数。

例3：求函数y= （x>1）的最小值。

解：y= = = ==x+1+

=x-1++2

∵x>1，即x-1＞0 ，＞0

y≥2+2=8

当且仅当x-1= ，即x=4时，取（=）

∴y的最小值等于8

点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为定值。

有些分式函数可以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数，若部分项积为定值，且使定理成立方可！

例4：当x>-1时，求函数f（x）= 的值域

解：∵x>-1， ∴x+1 >0

∴f（x）==

= x+1+ -5 ≥2 -5=2 -5

当且仅当x+1=即x= －1，x=－－1时取“=”。

又因为x>-1，故－－1舍去，所以x= －1时取“=”。

∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5 -5，∞】

点拨：本题给出f（x）= 与f（x）= 的值域求法，即简单，有快捷！

例5：若a>b>0，求证a+ 的最小值为3。

证明：∵a>b>0，即a-b>0

∴a+ =a-b+b+ ≥3 =3

当a-b=b= 时，a=2，b=1

∴ a+的最小值为3

点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则a+b+c≥3 ，a=b=c时，取“=”

例6：求函数y=x（1-x2）（0

解：∵00

又∵y2=x2 （1-x2）2= ×2（1-x2）（1-x2）

≤ （）3

= × =

当2x2=1-x2，x= ，y2=

y>0 ，x= ，y的最大值等于

点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然后求最大值。

例7：求函数y=3x2-2x3 （0

解：因为y=3x2-2x3 =x2（3-2x）

又00， 3-2x>0

所以y=x•x（3-2x）≤ =1

当x=3-2x， x=1， y最大值为1

点拨：此题需要提取公因式，再拆x2=x•x，使其和为定值，可用均值不等式。

三、学生易犯错误

1，不注意条件均正。

2，和或积不为定值。

3，取不到最值，也看成了最值！

具体情形—省落

四、点击高考

1999，2001，2004，2010等等的高考试题中都设计了求最值问题。最值问题和我们的生活密切相关，学习就是为了指导我们解决生活中的难题！学以致用激发了同学们的学习兴趣！

今后高考展望：

1、仍将重视对基础知识的考察，但设问将不断创新，情景更加新颖。

2、仍将在知识交汇命题，加大对数学思想方法考察！

篇10：谈对均值不等式的理解和应用

均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。通过特征分析，用于证不等式

均值不等式：

两端的结构、数字具有如下特征：

1)次数相等；

2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；

3)左和右积。

当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。

例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明:∵ b+c≥2bc, a>0, ∴ a(b+c)≥2abc

同理，b(c+a)≥2bac, c(a+b)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等，∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。

***2222

2例2.若a，b，c∈R，且a+b+c＝1，求证+.分析：由a，b，c ∈R，联想均值不等式成立的条件，并把1＝a+b+c代换+中的“1”，要证不等式变为,即，亦即，发现

互为倒数，已具备均值不等式的特征。

证明：∵a,b,c∈R,+

∴，,∴,∴

.∵ a+b+c=1, ∴

.说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。

2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。抓条件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。

例3.已知x, y∈R且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由题设一正：x, y∈R，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式++

求解。

解：∵ x, y∈R，+

∴，当且仅当9x=16y，即

时，(xy)max=36.说明：本题若改为：x,y∈R且9x+16y=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。抓“当且仅当„„等号成立”的条件，实现相等与不等的转化

在均值不等式中“当且仅当„„等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)=27abc，试判定三角形ABC的形状。

分析：(a+b+c)=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。

解：∵a>0, b>0, c>0，故有不等式

当且仅当

a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

（见阅读材料），即(a+b+c)3332227abc，例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3,.求x+y+z的值。22

2解：

由题设得。

∵ x,y,z>0, ∴,∴.此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即, ∴x=1,y=1, z=1, ∴x+y+z=3.222222

说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。

篇11：不等式证明,均值不等式

3、(abc)(1119) abbcca24、设a,bR，且ab1，求证：(a)(b)

5、若ab1，求证：asinxbcosx

16、已知ab1，求证：ab

7、a,b,c,dR求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac11118、求证2222＜2 123n

1111＜1

9、求证：2n1n22n10、求下列函数的最值

（1）已知x＞0，求y2x

（2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x

2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）

（22333）

12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）

13、求函数y

14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-

22221）

416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）

17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）

218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜

19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a

20、判断函数f(x)x-

21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162

22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）

23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)

24、若关于的方程lg(x

篇12：均值不等式教案2

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：

一、知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么推广：

abc3abc。当且仅当abc时，等号成立。3a1a2ann≥a1a2an。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：例1：求函数y2x223333(x0)的最小值。x解一： y2x311122x2332x2334∴ymin334 xxxxx33312223解二：y2x22x26x当2x即x时 x2xx23 ∴ymin26122331226324 21的最小值。

(ab)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,bR且ab,求a由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习1.函数y3x12(x0)的最小值是（）2xA.6

B.66

C.9

D.12 2．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（）

D.2727A.0

B.1

C.四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

五、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题

六、教学后记：

篇13：均值不等式在几何中的应用

设a1, a2, …, an是n个正数, 则H (n) ≤G (n) ≤A (n) ≤Q (n) , 称为均值不等式, 其中

分别称为a1, a2, …, an的调和平均数、几何平均数、算术平均数, 均方根平均数、其中几何平均数和算术平均数是中学数学最常用的不等式.均值不等式作为最重要的代数不等式之一, 人们往往只注重其代数背景, 却忽视其在几何中的运用.本文选取几何平均数和算术平均数, 浅谈均值不等式在几何中的运用.

1解决平面几何问题

例1 设圆O的半径为 $\frac{1}{2}$ , 两弦CD和EF均与直径AB交45°, 记AB与CD和EF的交点分别为P和Q, 求证:2PC·QE+2PD·QF<1.

分析待求结论中PC, QE与PD, QF分别在两条不同的直线上.如何把它们和已知条件发生联系是本题能够顺利解决的关键.再仔细观察一下, 容易发现, PC, QE与PD, QF这两组关系中, PC, PD在同一条直线上, QE, QF在一条直线上.这样, 我们就可通过利用均值不等式把积的形式化为和的形式, 从而利用圆中的相关性质获取问题解决.

证明如图1, 设M为弦CD的中点, 连接CO, MO, 则△POM为等腰直角三角形, 且

$\begin{array}{l} Μ Ρ = Μ Ο . \\ Ρ C^{2} + Ρ D^{2} = \\ (Μ C - Μ Ρ)^{2} + (Μ C + Μ Ρ)^{2} \\ = 2 (Μ C^{2} + Μ Ρ^{2}) \\ = 2 (Μ C^{2} + Μ Ο^{2}) = 2 C Ο^{2} \\ = 2 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2} . \end{array}$

同理: $Q E^{2} + Q F^{2} = \frac{1}{2} .$

由均值不等式得

PC·QE+PD·QF

$\begin{array}{l} \leq \frac{Ρ C^{2} + Q E^{2}}{2} + \frac{Ρ D^{2} + Q F^{2}}{2} \\ = \frac{(Ρ C^{2} + Ρ D^{2}) + (Q E^{2} + Q F^{2})}{2} \\ = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2} . \end{array}$

仅当PC=QE及PD=QF时, 上式等号成立.如等号成立, 又因PC//QE及PD//QF, 所以PCEQ与PDFQ都是平行四边形.即CE//PQ//DF, 且CDFE是矩形, 这与CD, EF和AB交成45°角矛盾, 因此等号不能成立, 即

$\begin{array}{l} Ρ C \cdot Q E + Ρ D \cdot Q F ＜ \frac{1}{2} . \\ 2 Ρ C \cdot Q E + 2 Ρ D \cdot Q F ＜ 1 . \end{array}$

其实, 数学的本质就是研究事物的空间形式和数量关系, 数量之间的大小关系也可以刻画某些量——线段、图形中等可度量的属性之间的关系.本题正是从代数的角度度量其几何属性的.

2解决立体几何问题

例2 如图2, 平行四边形PQRS截四面体ABCD, 且SR//CD, QR//AB, 求这个截面面积最大时的位置.

分析对于确定的四面体, 其中的所有的元素都是固定的、确定的.而要求的平行四边形截面面积主要由两条相邻的边和它们的夹角确定的, 在这三个元素中, 夹角可以转化为异面直线AB, CD所成的角, 而问题的关键是寻找两条相邻的边的度量关系.由于这两条边是变化的, 故存在最值问题, 因此可以考虑均值不等式来解决.

解设BR∶RD=m∶n, 并记AB=a, CD=b, AB 和CD的夹角为θ.

因为SR//CD, QR//AB,

所以QR和SR的夹角也为θ.

由△BSR∽△BCD, 得

$\frac{S R}{C D} = \frac{B R}{B D}, S R = \frac{B R}{B D} \cdot C D = \frac{m}{m + n} \cdot b .$

由△DQR∽△DAB, 得

$\frac{Q R}{A B} = \frac{D R}{D B}, Q R = \frac{D R}{D B} \cdot A B = \frac{n}{m + n} \cdot a .$

$\begin{array}{l} 故 S_{Ρ Q R S} = S R \cdot Q R \cdot \sin θ \\ = \frac{m b}{m + n} \cdot \frac{n a}{m + n} \cdot \sin θ \\ = \frac{m n}{(m + n)^{2}} a b \sin θ . \end{array}$

由均值不等式, 得

(m+n) 2≥4mn.

故 $S_{Ρ Q R S} \leq \frac{m n}{4 m n} a b \sin θ = \frac{1}{4} a b \sin θ .$

上式仅当m=n, 即当R在BD的中点处, 其截面积SPQRS达到最大值, 为 $\frac{1}{4} a b \sin θ .$

本题考察截面的大小, 其中最关键的特点是运用函数与方程的观点, 结合三角、代数、几何等知识, 最后运用不等式以及三角函数求最值.均值不等式在表达式中的表征形式 $(\frac{m n}{(m + n^{2}} a b s i n θ .)$ 也是非常明显的, 运用是自然的, 体现了均值不等式在解决问题中的通性通法的价值.

3解决解析几何问题

例3 内接于圆A:x2+y2=a (a为不等于1的正数) 的矩形中, 面积最大的矩形记做B, 设内切于B的圆为C, 求A、B、C的面积比.

分析本题的题设条件蕴含着丰富的不等式背景.问题解决的关键是“有效提取”这些信息, 运用均值不等式即可顺利解决.

解圆的面积为S1=πa.

其内接矩形的边平行于坐标轴, 取在第一象限内的顶点 (x1, y1) , 则

x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ =a, (1)

设面积为S, 则

S=2x1·2y1=4x1y1

由x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ ≥2x1y1即得

$\begin{array}{l} a \geq 2 x_{1} y_{1}, \\ x_{1} y_{1} \leq \frac{a}{2}, \end{array}$

等号是当x1=y1时成立.这时由 (1) 得 $x_{1} = y_{1} = \frac{\sqrt{2 a}}{2} .$

S取最大值, 此时最大面积的矩形的顶点坐标为 $(\pm \frac{\sqrt{2 a}}{2} ‚ \pm \frac{\sqrt{2 a}}{2})$ , 且其面积最大值为:S2=2a.

而B的内切圆C的方程由此可得:

$x^{2} + y^{2} = (\frac{\sqrt{2 a}}{2})^{2} .$

因此它的面积为:

$S_{3} = π (\frac{\sqrt{2 a}}{2})^{2} = \frac{1}{2} π a .$

所以

$S_{1} ∶ S_{2} ∶ S_{3} = π a ∶ 2 a ∶ \frac{1}{2} π a = 2 π ∶ 4 ∶ π .$

解析几何的最主要特征是从代数角度来研究几何问题, 在解题中要善于捕捉并且利用这一特征.因此当得到S=2x1·2y1=4x1y1时, 求出 $x_{1} = y_{1} = \frac{\sqrt{2 a}}{2}$ 就是水到渠成的事情了.

总之, 均值不等式在几何中的运用十分广泛, 教学中加强其在几何中的运用, 关键是需要学生打破思维定势, 突破其代数背景的干扰, 从而有效地培养学生知识迁移能力.

参考文献

篇14：高中阶段平均值不等式的几点应用

【关键字】均值不等式；高中；应用；最值

中图分类号：G633.6

均值不等式是高中数学教材的一个重点和难点内容，在这部分的学习中，均值不等式的应用主要有三个方面，用于求最值，用于比较式子大小和用来证明不等式的成立。应用均值不等式解题时需要注意均值不等式的使用条件，掌握变形技巧，这样才能得心应手的应用均值不等式。作为一名数学教育工作者，我在教学时不断摸索和总结高效的教学方法，我发现通过开展总结性的教学专题，有利于取得更好的教学效果。例如，在教学均值不等式这部分时，我对均值不等式的各种应用情况和应用技巧进行总结，使同学们形成一个系统的框架，有利于加深同学们的理解，熟练的进行应用。

一、灵活配凑，求出最值

应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次。解题时的技巧是要学会灵活的配凑，配凑方法主要有拆项配凑法、加倍裂项配凑法、平方裂项配凑法、添项配凑法、换元配凑法和待定系数配凑法等。

我在对这一应用类型进行教学时，将每种配凑方法都用对应的几道典型例题进行讲解，让同学们体会配凑方法的选取与应用。例如，已知x>-1<-1，求函数y=（x+5）（x+2）/（x+1）的最小值。解题时，我们选取了拆项配凑法，在各因式中分别配凑出（x+1），借助于裂项解决问题。因为x+1>0，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），进而化简为y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化简到这一式子即可应用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，当且仅当x=1时成立，y的最小值为9。通过对典型例题进行分析与讲解，同学们掌握了拆项配凑法求最值的解题方法。另外，对于不同的求最值题型，我也总结出相应的求解技巧，以促进同学们遇到时能快速的做出判断。例如在求几个正数和的最值时，解题关键在于构造条件，使其积为常熟，然后选用配凑的方法进行变换。求几个正数积的最大值时，首先需要创造条件使和为常数。通常是通过乘以或除以常熟或拆因式的方法创造。最后，我对同学们的易错点进行了强调，同学们解题时常常忽略了定值的选取或是“=”号成立的条件，并对同学们的错题进行举例，以加深同学们的记忆，达到更好的教学效果。

在上述教学过程中，我通过习题讲解的方法向同学们渗透各种求最值的方法，目的是让同学们学会如何灵活的应用均值不等式。利用均值不等式求最值的方法多种多样，变化多端，只有掌握所有的变形技巧和求解方法，多做一些求最值的题型，加强训练，多多体会，在解题时灵活的配凑，才能达到举一反三的目的。

二、注意条件，比较大小

均值定理可以用来比较式子的大小。掌握这一均值定理的应用的方法是快速求最值，证明不等式和解决应用题这些题型的基础。同学们需要通过进行灵活的变化，应用均值不等式来比较式子大小。

对于这一应用，同学们经常会忽略均值定理的使用条件，致使解题思路虽然正确但因为一些偏差而错误。对于这部分进行总结时，我将同学们出现过的典型错题进行分析与讲解，让同学们既学会这一应用的技巧和方法，同时把握住易错点，做题时谨慎注意。例如，a>b>1，Q=√（lga*lgb），W=（lga+lgb）/2，S=lg[（a+b）/2]，比较Q、W、S的大小。因为a>b>1，所以我们可以判断出lga>lgb>0，所有变元为正数，因此在解题时，可以通过均值定理来比较三个式子的大小。否则，如果题目中没有给出a>b>1的条件，我们需要分a>1，b>1和a<1，b<1，和a>1，b<1，和a<1，b>1这四种情况进行分类讨论的。同学们在解题过程中，需要首先判断是否可以应用均值定理，在解答中明确的写出判断能够应用均值定理的条件，然后再进行比较大小，这样的解题过程才是最完整、最准确的解答。

在应用均值定理比较大小时，同学们一定要首先判断是否满足应用均值定理一“正”，二“定”，三“相等”的条件，然后灵活的应用均值不等式a^2+b^2≥2ab和a+b≥2√（a*b），进行式子大小的比较。

三、巧妙代换，转化证明

均值定理是证明不等式的有力工具，应用技巧主要有巧用常熟、巧变项，通过巧添、巧拆、巧凑常数或者是项进行巧妙的代换，然后应用均值定理实现不等式的证明。

对于均值定理的这一应用的教学中，我首先通过例题讲解了巧用常数与巧变项的方法。例如，已知a>0，b>0，a+b=1，求证√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤2。对于这道题的求解，是通过巧用常数进行转化的。为了脱去左边不等式的根号，可以通过条件a+b=1来实现，把a+1/2看作是（a+1/2）*1把， b+1/2看作是（b+1/2）*1，然后利用均值定理凑出常数因子，√[1*（a+1/2）] ≤（1+a+1/2）/2=a/2+3/4，√[1*（b+1/2）] ≤（1+b+1/2）/2=b/2+3/4，因此原不等式就转化为√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤a/2+3/4+ b/2+3/4=（a + b）/2+3/2=2，不等式得证。通过对于这一例题的讲解，同学们理解了巧用常数这一技巧。同样的其他常数的用法和项的用法也是通过例题向同学们渗透。对方法进行完总结后，我对利用均值定理证明不等式的常见题型进行了汇总。第一类是对称性的不等式，这类不等式的证明技巧通常是分别应有均值定理然后将所得不等式两边分别相加或相乘即可得证。第二类是需要整体替换的不等式，这类不等式通常是先观察不等式的特征，然后结合题目中的条件进行整体替换。第三类是在证明中需要利用题目中隐含条件的不等式。这类问题需要同学们善于充分挖掘题目中隐含条件，例如通过题目提供的条件a+b=1，可以挖掘出a* b≤1/4这一条件，在证明过程中进行替换。

应用均值定理证明不等式，需要同学们仔细观察不等式和所给条件，分析所证不等式的结构特征，灵活运用各种技巧和方法进行解题。同学们经过不断的练习，才能迅速的通过观察分析找到解题思路，准确迅速的求证。

均值不等式因其应用的广泛性与灵活性，是高中学习的一个难点。本文对均值不等式的求最值、比大小、证不等式这三个应用进行了总结与探讨，并对同学们的易错点进行分析，旨在强化同学们对于均值不等式的应用。同学们在应用均值不等式时，一定要切记均值定理的使用条件和变形技巧，減少错误的发生，提高解决问题的能力。

参考文献：

[1]刘艺.均值不等式的应用[J]. 教育教学论坛，2011（17）.

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均值不等式05-07