均值不等式

2024-05-07

均值不等式（精选十篇）

均值不等式篇1

定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

将定理加以推广:一般地, 如果对于n个正数a1, a2, …, an (n≥2) , 把 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} ‚ G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}$ 分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数, 那么有An≥Gn (当且仅当a1=a2=…=an时等号成立) , 即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

一、结论的证明

证法一: (数学归纳法)

当n=2时, 由 $(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})^{2} \geq 0$ , 知An≥Gn, 其中等号当且仅当a1=a2时成立.

假设命题对于任意k个正数成立, 则对于任意k+1个正数a1, a2, …, ak, 有

$\begin{array}{l} A_{k + 1} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{k + 1}}{k + 1} \\ = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{k + 1} + (k - 1) A_{k + 1}}{2 k} (∵ a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{k + 1} = (k + 1) A_{k + 1}) \\ = \frac{\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}}{k} + \frac{a_{k + 1} + \overset{(k - 1) 个}{\overset{⌢}{A_{k + 1} + \dots + A_{k + 1}}}}{k}}{2} ‚ ① \\ \geq \frac{\sqrt[k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k}} + \sqrt[k]{a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}}}{2} \\ \geq \sqrt{\sqrt[k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k}} \sqrt[k]{a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}}} \\ = \sqrt[2 k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}}, \end{array}$

即 $A_{k + 1} \geq \sqrt[2 k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1} A_{k + 1}^{k - 1}},$

两边2k次方, 得A $_{k + 1}^{2 k}$ ≥a1a2…akak+1A $_{k + 1}^{k - 1}$ ,

两边约去A $_{k + 1}^{k - 1}$ , 得A $_{k + 1}^{k + 1}$ ≥a1a2…akak+1,

开k+1方, 得 $A_{k + 1} \geq \sqrt[k + 1]{a_{1} a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1}}, ②$

当且仅当a1=a2=…=ak, ak+1=Ak+1, 即a1=a2=…=ak+1时① (或②) 取等号.所以, 当n=k+1时, 命题也成立.

至此, 证明了结论对任何整数n≥2都成立, 则有An≥Gn.即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

证法二: (琴生不等式法)

琴生不等式:上凸函数f (x) , x1, x2…, xn是函数f (x) 在区间 (a, b) 内的任意n个点, 则有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{1}{n} (f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})) .$

设f (x) =lnx, f (x) 为上凸函数,

$∴ \ln (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{1}{n} (\ln x_{1} + \ln x_{2} + \dots + \ln x_{n}) = \ln (x_{1} x_{2} \dots + x_{n})^{\frac{1}{n}},$

即 $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} .$

则An≥Gn, 即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、结论的应用

【例1】证明:在圆的内接n边形中, 以正n边形的面积为最大.

证明:设圆的半径为r, 内接n边形的面积为S, 各边所对的圆心角分别为θ1, θ2, …, θn, 则

$S = \frac{1}{2} r^{2} (\sin θ_{1} + \sin θ_{2} + \dots + \sin θ_{n}) .$

设f (x) =sinθ, 由于它在 (0, π) 内上凸, 于是根据上述结论有 $\sin θ_{1} + \sin θ_{2} + \dots + \sin θ_{n} \leq n \sin \frac{θ_{1} + θ_{2} + \dots + θ_{n}}{n} = n \sin \frac{2 π}{n} .$

所以当θ1=θ2=…=θn时, S取最大值, 也就是以正n边形的面积为最大.即在圆的内接n边形中, 以正n边形的面积为最大.

【例2】已知n∈N, 求证: $(1 + \frac{1}{n})^{n} ＜ (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} .$

证明:对任意的n∈N, 由上述结论有

$(1 + \frac{1}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \times l ＜ [\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1}]^{n + 1} = (\frac{n + 1 + 1}{n + 1})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} .$

即 $(1 + \frac{1}{n})^{n} ＜ (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} .$

参考文献

均值不等式教案篇2

（第三课时）

教学目标：

了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学过程

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题．

a2b2c

2abc 例

2、若a,b,cR，则bca

本题若用“求差法”证明，计算量较大，难以获得成功，注意到a , b , c∈R，从结论的特点出发，均值不等式，问题是不难获证的．

＋

例

3、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca 证明：∵ab2abbc2bcca2ca

以上三式相加：2(abc)2ab2bc2ca

∴abcabbcca

例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd 22222222222222

2分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得

abcdacbd0,0.22

由不等式的性质定理4的推论1，得

(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

课堂练习：第77页练习A、B

均值不等式的专题篇3

关键词：均值不等式；灵活运用

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）11-223-02

—、什么是均值不等式

定理：如果a,b均为正数,那么（a+b）／2≥√ab,﹝当且仅当a=b时,取等号﹞

即均植不等式:（a+b）／2≥√ab

证明:∵（a-b)2≥0

∴a2+b2≥2ab

又∵a,b均为正数,

∴（√a)2+（√b)2≥2√a√b

a+b≥2√ab

即:（a+b）／2≥√ab

1,（a+b）／2叫做正a,正b的算术平均数.

2, √ab叫做正数a,b的几何平均数.

3, 数列解释:

（a+b）／2叫做a,b的等差中项.

√ab叫做a,b的等比中项.

4.几何解释:半径不小于半弦.

5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、均值不等式的灵活运用

均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定值。正确应用定理把握三点：⑴正，⑵定，⑶相等。

例⒈求函数y=1／（x-3） +x（x＞3）的最小值

分析:函数y=1／（x-3） +x中的两项1／（x-3）与x均为正数,但其积不是定值,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等式求其最值.

解:∵y=1／（x-3） +x= y=1／（x-3） +x-3+3

又∵x＞3,即x-3＞0, 1／（x-3）＞0

∴y≥2 +3=5

当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=”

∴y的最小值是5

例⒉求函数y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此将x变为3 x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值.

解: ∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

∴y=1／3 . 3x（8-3x）

（0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0

y≤1／3×【（3x+8-3x）／2】2=16／3

∴Y的最大值是16／3

点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（）2，

a，b均为正数。

例3：求函数y= （x>1）的最小值。

解：y= = = ==x+1+

=x-1++2

∵x>1，即x-1＞0 ，＞0

y≥2+2=8

当且仅当x-1= ，即x=4时，取（=）

∴y的最小值等于8

点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为定值。

有些分式函数可以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数，若部分项积为定值，且使定理成立方可！

例4：当x>-1时，求函数f（x）= 的值域

解：∵x>-1， ∴x+1 >0

∴f（x）==

= x+1+ -5 ≥2 -5=2 -5

当且仅当x+1=即x= －1，x=－－1时取“=”。

又因为x>-1，故－－1舍去，所以x= －1时取“=”。

∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5 -5，∞】

点拨：本题给出f（x）= 与f（x）= 的值域求法，即简单，有快捷！

例5：若a>b>0，求证a+ 的最小值为3。

证明：∵a>b>0，即a-b>0

∴a+ =a-b+b+ ≥3 =3

当a-b=b= 时，a=2，b=1

∴ a+的最小值为3

点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则a+b+c≥3 ，a=b=c时，取“=”

例6：求函数y=x（1-x2）（0

解：∵00

又∵y2=x2 （1-x2）2= ×2（1-x2）（1-x2）

≤ （）3

= × =

当2x2=1-x2，x= ，y2=

y>0 ，x= ，y的最大值等于

点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然后求最大值。

例7：求函数y=3x2-2x3 （0

解：因为y=3x2-2x3 =x2（3-2x）

又00， 3-2x>0

所以y=x•x（3-2x）≤ =1

当x=3-2x， x=1， y最大值为1

点拨：此题需要提取公因式，再拆x2=x•x，使其和为定值，可用均值不等式。

三、学生易犯错误

1，不注意条件均正。

2，和或积不为定值。

3，取不到最值，也看成了最值！

具体情形—省落

四、点击高考

1999，2001，2004，2010等等的高考试题中都设计了求最值问题。最值问题和我们的生活密切相关，学习就是为了指导我们解决生活中的难题！学以致用激发了同学们的学习兴趣！

今后高考展望：

1、仍将重视对基础知识的考察，但设问将不断创新，情景更加新颖。

2、仍将在知识交汇命题，加大对数学思想方法考察！

浅析均值不等式的应用篇4

均值不等式:设a1, a2, ……an都是正数, 则, 当且仅当a1=a2=…=an时, 等号成立。

使用均值不等式要注意:

(1) 构成使用均值不等式的解析式的值必须是正值 (一正) ; (2) 积 (或者和) 必须为定值 (二定) ; (3) 在取值范围内能使等号成立 (三相等) 。

一、利用均值不等式求最值

例1求y=sin2x·cos4x的最大值

分析:要求乘积的最大值, 必须使得各项和为定值。为了达到这个目的, 则需采取“拆”和“凑”的技巧, 把cos4x拆为cos2x·cos2x的形式, 并凑上一个sin2x.

二、利用均值不等式求函数的值域

三、利用均值不等式证明不等式

例3设a、b、c是正数, 且ab+bc+ca=3.求证,

分析:, 可知abc≤1, 利用“缩放”法, 用abc来代替不等式左边分母中的1.

四、运用均值不等式时容易出现的错误

(1) 忽视了不等式的前提是各项必须为正数。在前述例2中, 如果不注意均值不等式的使用前提, 就容易忽略了当x-1<0时函数的取值范围, 从而造成函数值域的部分缺失。

(2) 忽视了不等式定值的选取。

例4利用已有的一面围墙 (足够长) 和100米长的篱笆, 围城一个矩形场地, 问, 如何围, 才使得所围成的场地面积最大?

解, 设围墙的邻边长为x米, 则, 围墙对边长为100-2x米, 那么所围场地的面积为x (100-2x) 平方米

上述的错误在于, 两项的和不为定值, 不符合均值不等式的使用条件, 正确的解法是

(3) 忽视了等号成立的条件是否存在。

∴函数的最小值为2.

上述中, 若要使等号成立, 须使, 即x2+4=1, 在实数范围内无解, 所以, 等号成立的条件不存在, 则函数的最小值为2也不成立。

正确的解法是, 令上为增函数, 所以t=2当时, 函数有最小值5/2。

高三数学均值不等式篇5

3.2 均值不等式教案

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径

2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b应用例题：

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

例

2、若

a,例3证明：∵222∴abcabbcca 例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得abcdacbd

0,0.2

2由不等式的性质定理4的推论1，得

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(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习

P71 练习A，P72 练习B。

均值不等式的应用与实践篇6

1.1 均值不等式

如果a,b是正数,那么(当且仅当a=b时取等号)。

1.2 均值不等式推广(推广到有限个正数)

如果ai>0,i=1,2,…n,那么(当且仅当a1=a2=…=an时取等号)。

注意①ai>0,i=1,2,…n;

②若a1+a2+…+an为定值时,就能确定的最大值;

若为定值时,就能确定a1+a2+…+an的最小值;

③当且仅当a1=a2=…=an时,等式成立。

总结:一正二定三相等。

2 均值不等式在解题中的应用

2.1 用均值不等式求极限

例1,求极限。

解:由n元均值不等式,有

从而有,由两边夹原则知,

2.2 用均值不等式求最值

例2,已知2b2-a2=1,求y=|a-2b|的最小值。

解:∵y=|a-2b|

当且仅当a=b,2b2-a2=1,即a=b=1或a=b=-1时,y的最小值为1。

2.3 用均值不等式求函数值域

例3,求的值域。

当x>1时,

当且仅当时,即时,等号成立;当x<1时,

综上所述,f(x)的值域为

2.4 用均值不等式比较大小

例4,若,试判断P、Q、R之间的大小关系。

解:根据题意,可由均值不等式,得:

即,Q>P,

即R>Q。

由于a>b,所以a≠b,所以不能取等号,

即R>Q>P。

3 均值不等式在现实生活中的实践应用

罗丹曾说过:生活不是缺少美,只是缺少发现美的眼睛。这句话同样适用于数学,生活中不是缺少均值不等式的应用,只是缺少我们的细心观察。数学源于生活,又高于生活,均值不等式在生活中有着广泛的应用,例如,在机械铸造、建设投资、商品销售等问题上都有均值不等式的身影。

3.1 运用均值不等式,解决机械铸造问题

例5,用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2 m2的正四棱锥形有盖容器,设容器高为h(m),盖子边长为a(m)。

1)求a关于h的函数解析式;

2)设容器的容积为V,则当a为何值时,V最大,求最大值。

解:根据题意得:,然而,

。根据均值不等式可得:,当且仅当取等号。此时,,即V的最大值为。

3.2 运用均值不等式,解决建设投资问题

例6,某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栏,每1m长造价40元,两侧墙砌砖,每1m长造价45元,顶部每1m2造价20元。计算:

1)仓库底面积S的最大允许值是多少?

2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栏应设计为多长?

解:设铁栏长为xm,一堵砖墙长为ym,则有S=xy。

由题意得:40x+2×45y+20xy=3200

应用算术平均数与几何平均数定理,得:

从而S≤100.

因此,S的最大允许值是100 m2,取得此最大值的条件是40x=90y,而xy=100,由此求得x=15,即铁栏的长应是15m。

4 结语

处理均值不等式在解决实际应用问题应该按照以下几点要求进行:

第一,读题和审题,读题时要对题目的条件及要求有个粗略的了解,形成框架,审题时要明确题目的各个条件(包括隐含条件),明确求解。第二,审完题后,设出变量,建立数学模型,即抽象出函数关系式。第三,在该问题有意义的自变量的取值范围内(即定义域),求出问题的解。第四,从数学模型之中还原到实际问题之中,写出实际问题的解法和解答过程。

摘要：均值不等式是不等式的一种特殊种类,在不等式之中处于核心地位,在解题及现实生活中有着广泛的应用,也是高考中的一个重点。通过分析均值不等式的应用与实践,对学生逻辑思维能力及实践能力的培养有重要意义。

利用均值不等式求解物理极值问题篇7

均值不等式:对于n个正数a1, a2, …, an, 它们的算术平均值不小于它们的几何平均值, 即

当且仅当a1=a2=…=an时, 等号成立。

一般地, 从均值不等式可以得到以下结论:对若干个正数, 如果它们的和是定值, 则当且仅当这若干个正数相等时, 它们的积取得最大值。

例1某点电荷Q分成q和 (Q-q) 两部分, 将两部分分开一定距离, 则它们之间的库仑力为最大值的条件是 ()

分析和解答:有库仑定律, 其中k、r为常量, 则由关系式q1+q2=Q知, 只有当q1=q2时, q1q2才有最大值, 即库仑力F才有最大值, 所以选A。当然, 解答此题的思路并不复杂, 关键看学生有没有这种思维意识, 否则就可能无从下手。

再如在天体运动中有这样一题:设想人类开发月球, 不断把月球上的矿藏搬运到地球上。假定经过长时间的开采后, 地球仍可看作是均匀的球体, 月球仍按开采前的轨道运行, 则与开采前相比 ()

A.地球与月球间的万有引力将变大

B.地球与月球间的万有引力将变小

C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长

D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短

解题思路:其中C、D选项可以依据万有引力提供向心力, 由推导得出的周期表达式, 知M减小, T变大, 即周期将变长, 即选C。而A、B选项则可以根据万有引力公式, 类似例1的解答, 利用均值不等式可知, 由于长时间地搬运, 导致M、m的差值变大, 即M、m的乘积变小, 选B。

例2 (2008年衡水调研) 如图所示, 摩托车做腾空特技表演, 以初速度v0冲上高为h、顶部水平的高台, 然后从高台水平飞出, 若摩托车始终以额定功率P行使, 经时间t从坡底到达坡顶, 人和车的总质量为m, 且各种阻力的影响可忽略不计, 求:当h为多少时, 人和车飞出的水平距离最远?

例3 (2008年重庆模拟) 如图所示, 长为L的轻质杆两端有质量均为m的两个相同的小球A和B, A靠在竖直墙上, B与地接触, 两处均不计摩擦, 开始时杆与水平面成60°角, 放手后A下滑、B右滑, 问:当杆与水平面角θ为多大时A刚好脱离墙, 此时VB多大?

解析:A下滑、B右滑的过程, 系机械能守恒, 由守恒定律得:

将VA, VB均向杆的方向投影, 满足条件应有:

由上两式联立可得:

则a+b+c=2sin60°=常数,

由均值不等式可知, 当a=b=c时, abc有最大值,

均值不等式在几何中的应用篇8

设a1, a2, …, an是n个正数, 则H (n) ≤G (n) ≤A (n) ≤Q (n) , 称为均值不等式, 其中

分别称为a1, a2, …, an的调和平均数、几何平均数、算术平均数, 均方根平均数、其中几何平均数和算术平均数是中学数学最常用的不等式.均值不等式作为最重要的代数不等式之一, 人们往往只注重其代数背景, 却忽视其在几何中的运用.本文选取几何平均数和算术平均数, 浅谈均值不等式在几何中的运用.

1解决平面几何问题

例1 设圆O的半径为 $\frac{1}{2}$ , 两弦CD和EF均与直径AB交45°, 记AB与CD和EF的交点分别为P和Q, 求证:2PC·QE+2PD·QF<1.

分析待求结论中PC, QE与PD, QF分别在两条不同的直线上.如何把它们和已知条件发生联系是本题能够顺利解决的关键.再仔细观察一下, 容易发现, PC, QE与PD, QF这两组关系中, PC, PD在同一条直线上, QE, QF在一条直线上.这样, 我们就可通过利用均值不等式把积的形式化为和的形式, 从而利用圆中的相关性质获取问题解决.

证明如图1, 设M为弦CD的中点, 连接CO, MO, 则△POM为等腰直角三角形, 且

$\begin{array}{l} Μ Ρ = Μ Ο . \\ Ρ C^{2} + Ρ D^{2} = \\ (Μ C - Μ Ρ)^{2} + (Μ C + Μ Ρ)^{2} \\ = 2 (Μ C^{2} + Μ Ρ^{2}) \\ = 2 (Μ C^{2} + Μ Ο^{2}) = 2 C Ο^{2} \\ = 2 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2} . \end{array}$

同理: $Q E^{2} + Q F^{2} = \frac{1}{2} .$

由均值不等式得

PC·QE+PD·QF

$\begin{array}{l} \leq \frac{Ρ C^{2} + Q E^{2}}{2} + \frac{Ρ D^{2} + Q F^{2}}{2} \\ = \frac{(Ρ C^{2} + Ρ D^{2}) + (Q E^{2} + Q F^{2})}{2} \\ = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2} . \end{array}$

仅当PC=QE及PD=QF时, 上式等号成立.如等号成立, 又因PC//QE及PD//QF, 所以PCEQ与PDFQ都是平行四边形.即CE//PQ//DF, 且CDFE是矩形, 这与CD, EF和AB交成45°角矛盾, 因此等号不能成立, 即

$\begin{array}{l} Ρ C \cdot Q E + Ρ D \cdot Q F ＜ \frac{1}{2} . \\ 2 Ρ C \cdot Q E + 2 Ρ D \cdot Q F ＜ 1 . \end{array}$

其实, 数学的本质就是研究事物的空间形式和数量关系, 数量之间的大小关系也可以刻画某些量——线段、图形中等可度量的属性之间的关系.本题正是从代数的角度度量其几何属性的.

2解决立体几何问题

例2 如图2, 平行四边形PQRS截四面体ABCD, 且SR//CD, QR//AB, 求这个截面面积最大时的位置.

分析对于确定的四面体, 其中的所有的元素都是固定的、确定的.而要求的平行四边形截面面积主要由两条相邻的边和它们的夹角确定的, 在这三个元素中, 夹角可以转化为异面直线AB, CD所成的角, 而问题的关键是寻找两条相邻的边的度量关系.由于这两条边是变化的, 故存在最值问题, 因此可以考虑均值不等式来解决.

解设BR∶RD=m∶n, 并记AB=a, CD=b, AB 和CD的夹角为θ.

因为SR//CD, QR//AB,

所以QR和SR的夹角也为θ.

由△BSR∽△BCD, 得

$\frac{S R}{C D} = \frac{B R}{B D}, S R = \frac{B R}{B D} \cdot C D = \frac{m}{m + n} \cdot b .$

由△DQR∽△DAB, 得

$\frac{Q R}{A B} = \frac{D R}{D B}, Q R = \frac{D R}{D B} \cdot A B = \frac{n}{m + n} \cdot a .$

$\begin{array}{l} 故 S_{Ρ Q R S} = S R \cdot Q R \cdot \sin θ \\ = \frac{m b}{m + n} \cdot \frac{n a}{m + n} \cdot \sin θ \\ = \frac{m n}{(m + n)^{2}} a b \sin θ . \end{array}$

由均值不等式, 得

(m+n) 2≥4mn.

故 $S_{Ρ Q R S} \leq \frac{m n}{4 m n} a b \sin θ = \frac{1}{4} a b \sin θ .$

上式仅当m=n, 即当R在BD的中点处, 其截面积SPQRS达到最大值, 为 $\frac{1}{4} a b \sin θ .$

本题考察截面的大小, 其中最关键的特点是运用函数与方程的观点, 结合三角、代数、几何等知识, 最后运用不等式以及三角函数求最值.均值不等式在表达式中的表征形式 $(\frac{m n}{(m + n^{2}} a b s i n θ .)$ 也是非常明显的, 运用是自然的, 体现了均值不等式在解决问题中的通性通法的价值.

3解决解析几何问题

例3 内接于圆A:x2+y2=a (a为不等于1的正数) 的矩形中, 面积最大的矩形记做B, 设内切于B的圆为C, 求A、B、C的面积比.

分析本题的题设条件蕴含着丰富的不等式背景.问题解决的关键是“有效提取”这些信息, 运用均值不等式即可顺利解决.

解圆的面积为S1=πa.

其内接矩形的边平行于坐标轴, 取在第一象限内的顶点 (x1, y1) , 则

x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ =a, (1)

设面积为S, 则

S=2x1·2y1=4x1y1

由x $_{1}^{2}$ +y $_{1}^{2}$ ≥2x1y1即得

$\begin{array}{l} a \geq 2 x_{1} y_{1}, \\ x_{1} y_{1} \leq \frac{a}{2}, \end{array}$

等号是当x1=y1时成立.这时由 (1) 得 $x_{1} = y_{1} = \frac{\sqrt{2 a}}{2} .$

S取最大值, 此时最大面积的矩形的顶点坐标为 $(\pm \frac{\sqrt{2 a}}{2} ‚ \pm \frac{\sqrt{2 a}}{2})$ , 且其面积最大值为:S2=2a.

而B的内切圆C的方程由此可得:

$x^{2} + y^{2} = (\frac{\sqrt{2 a}}{2})^{2} .$

因此它的面积为:

$S_{3} = π (\frac{\sqrt{2 a}}{2})^{2} = \frac{1}{2} π a .$

所以

$S_{1} ∶ S_{2} ∶ S_{3} = π a ∶ 2 a ∶ \frac{1}{2} π a = 2 π ∶ 4 ∶ π .$

解析几何的最主要特征是从代数角度来研究几何问题, 在解题中要善于捕捉并且利用这一特征.因此当得到S=2x1·2y1=4x1y1时, 求出 $x_{1} = y_{1} = \frac{\sqrt{2 a}}{2}$ 就是水到渠成的事情了.

总之, 均值不等式在几何中的运用十分广泛, 教学中加强其在几何中的运用, 关键是需要学生打破思维定势, 突破其代数背景的干扰, 从而有效地培养学生知识迁移能力.

参考文献

均值不等式视角下常用解题技巧归类篇9

一、拆项法

例1已知x>0，求函数的最小值．

即x=2时等号成立，所以ymin=3.

例2若0<x<1，求函数y=x4(1-x2)的最大值．

当且仅当x2=2-2x2，即时等号成立，故

二、配项法

三、串求法

例4已知a,b∈R+,a+b=1,x1,x2∈R+，求的最小值．

当且仅当时有最小值，

四、换元法

例5已知a,b,c为△ABC三边的长，求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

证明设m=b+c-a,n=c+a-b,p=a+b-c,

五、待定系数法

例6已知0<x<1，求y=x-x3的最大值．

解因为0<x<1，所以1-x>0.

因为y=x-x3=x(1-x)(1+x),

当且仅当(1-t)x=1-x=t+tx，即时取等号，解得:

综上可知，

摘要：文章在均值不等式应用的视角下,阐述了拆项、配项、串求、换元和待定系数法五种变形与转化的常用解题技巧,体现了均值不等式应用的灵活性.

应用均值不等式求最值的误区篇10

例1 求函数undefined的值域.

错解因为x≠0, 所以undefined

函数的值域是[4, +∞].

错误的原因在于x不一定是正数.

正解当x>0时, undefined, 当且仅当x=2时等号成立.

当x<0时, -x>0, 所以undefined

得undefined, 当且仅当x=-2时等号成立,

所以函数的值域是y∈ (-∞, -4]∪[4, +∞) .

例2 求函数undefined的最小值.

错解因为x>0, 所以undefined

所以函数的最小值是2.

显然, 例2的结果是错误的.错误的原因在哪里呢?等号不能成立, 要等号成立, 当且仅当undefined时, 即x=1时等号成立.

正解函数undefined在[1, +∞]是单调增函数, 所以当x=2时函数有最小值undefined

例3 已知x, y为正实数, 且undefined, 求x+y的最小值.

undefined

undefined (当且仅当x=4y时取等号) .

undefined

经验证, 当x=4y时, 得x=16, y=4.

∴xy的最小值是64, x+y的最小值是20.

显然, 例3的结果是错误的.错误的原因在哪里呢?在例3的解法中又这样一步, undefined, 第一个等号成立的条件是下x=4y, 第二个等号成立的条件是x=y, 两个等号不能同时成立, 出现错误.

下面给出例3的正确解法:

正解一undefined, 当且仅当undefined, 即x=2y时成立.

∴x+y的最小值是18.

正解二undefined, 且x>0, y>0,

∴x>8, y>2, 且2x+8y=xy,

∴ (x-8) (y-2) =16 (定值) ,

undefined, 当且仅当x-8=y-2时成立.

∴x+y≥18.

undefined

当且仅当undefined, 即x=12, y=6时等号成立.

∴x+y的最小值为18.

例4 已知x>0, y>0, 求undefined的最小值.

错解因为x>0, y>0,

所以undefined

undefined

错误的原因:undefined取“=”的条件是

undefined

两个等号不能同时成立, 出现错误.

正解undefined, 当且仅当undefined时, 即undefined时undefined, 有最小值undefined

例5 求函数undefined的最小值.

错解因为undefined

undefined

所以函数的最小值是ymin=2.

错误的原因:若y=2, 由均值不等式知只有“undefined”中等号成立, 即当且仅当undefined时x2+4=1, 即x2=-3, 显然不存在这样的实数x, 因为忽略了“=”成立的条件, 故解答是错误的.

正解令undefined, 则t≥2, 且undefined

设undefined

得y1-y2>0, 即y1>y2,

所以undefined在[2, +∞) 上为单调增函数, 故当t=2时, 即x=0时, 函数有最小值, undefined

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