利用均值不等式的一些技巧

我们熟知, 利用均值不等式求最值, 必须具备三个条件:“一正二定三相等”, 其中尤为重要的是和 (积) 为定值。本文就题设未给出和 (积) 为定值的条件下, 如何凑出定值求出最值, 谈四种常用的变凑方式。

1 加值

所谓“加值”, 即通过对所求函数式中的某一项的改变, 凑出和 (积) 为定值。

2 加倍

所谓“加倍”, 即对所求函数式中的主变量或某元添加适当的倍数系数, 使之在利用均值不等式时, 出现和 (积) 为定值。

3 平方

有时, 面对欲求函数式, 仅从直接“加值”“加倍”角度去思考, 还变凑不出和 (积) 为定值, 这时就要变换一下思考方式, 比如采取“平方”措施, 当然平方是在条件允许的情况下进行的, 其实这是一种转化策略。

例3求函数的最大值及相应的a值。

例4母线长为1的圆锥体积最大时, 其侧面展开图圆心角φ|等于 ()

当然, 也可将放到根号内, 就无需平方了。

4 待定系数法

有些最值题, 加倍、加值、平方均不奏效, 这时候可用待定系数法, 使之出现和 (积) 为定值。

例5将一块长为2米, 宽为1米的矩形铁皮在四角截去四个同样大小的小正方形后, 围成一个无盖的长方体容器, 试求体积最大值。

解:设被截掉的小正方形边长为, 则长方体底面长为2-2, 宽为1-2 x, 高为

此时用上述方法均无效, 可考虑添加两个待定系数。

欲使其和定值, 必须即故实际上只须有一个待定字母b即可 (b>0) 。

当取仅当时等号成立。

即。

摘要：本文从加值、加倍、平方、待定系数法等方面, 介绍凑出满足均值不等式的条件, 来求函数或代数式最大值或最小值的方法。

关键词：凑出,加值,加倍,平方,待定系数法

参考文献

[1] 　张景斌.中学数学教学教程[M].北京:科学出版社, 2005.

[2] 　刘培杰.新编中学数学解题方法全书 (高中版上卷) [M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2006.