离散型随机变量均值

2024-06-18

离散型随机变量均值（精选八篇）

离散型随机变量均值篇1

一般地, 若离散型随机变量X的分布列为

则称E (X) =x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. 常用分布的均值

(1) 两点分布X2

由数学期望的定义可以知道, 若随机变量X服从参数为P的两点分布, 则P0.98 0.02

这表明在一次两点分布实验中, 离散型随机变量X的期望取值为P.X30 15000 65000

(2) 二项分布P 0.

设离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布, 由X的分布列

所以:E (X) =np

(3) 超几何分布

若离散型随机变量X服从参数为N, M, n的超几何分布, 则

3. 均值的实际应用

例1:某X公司要根据天气预-报2来决定促销活动节8目是在公司内还是在公司外开展.统计资料表明, 国庆节公司内的促销活动可获得P经济效益4万元;公0.司7外的促销活动如0.果3不遇到有雨天气可得经济效益15万元, 如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失6万元, 9月30日气象台报国庆节当地有雨的概率是30%Y, 公司应该采取哪种-促3销方式?12

分析:P我们设该公司国庆0.节7在公司外的促销0.活3动获得的经济效益为ξ万元, 则:

即国庆节在当地有雨的概率为30%的情况下, 在公司外促销活动的经济效益的期望为8.7万元, 超过在公司内促销活动可获得的经济效益4万元, 所以应该在公司外搞促销活动.

由于均值反映了随机变量取值的平均水平, 因此我们在进行实际问题的决策时, 当平均取值水平比较重要时, 首选决策的依据是随机变量的均值大小.如本例中, 公司采取促销的目的是为了获得更大的利润, 因此采取哪种促销方式的依据是看哪种方式获得的利润较大.

但应该注意, 对于这样一次公司外促销活动, 该公司不是赚15万就是亏6万元.若该公司每年国庆节均重复这样的商业活动, 那么, 从平均意义上说, 每次可获得经济效益为这个期望值.正如概率作为随机变量发生的频率一样, 要在大量现象中才能显现出来.

例2:据气象预报, 某地区下个月有洪水的概率为0.3, 有大洪水的概率为0.02.工地上有一台大型设备.为了保护设备有以下三种方案:

方案一:运走设备, 此时需花费4000元.

方案二:建一保护墙, 需花费2000元.但围墙只能防止小洪水, 当大洪水来临时, 设备受损, 损失65000元.

X方案三:x1不采取措x2施.此时…大洪水来xi临时损…失65000x元n, 小洪水X来临时损x1失15000x2元.…xi…xn

试比较哪一种方案好.

解析:方案一损失为4000元, 方案二和方案三的损失为随机变量, 分别设为X2和X3.因为无洪水的概率为1-0.3-0.02=0.68, 所以X2, X3的分布列分别为

它们的平均损失分别为:

E (X2) =2000×0.98+67000×0.02=3300 (元)

E (X3) =15000×0.3+65000×0.02=5800 (元)

从平均损失的角度看, 方案二和方案三都比方案一好, 且方案二更好, 但它们都要冒一定的风险.

4. 离散型随机变量的方差与标准差

设离散型随机变量X的分布列为

则 (xi-E (X) ) 2描述了xi (i=1, 2, …, n) 相对于均值E (X) 的偏离程度, 而为这些偏离程度的加权平均, 刻画了随机变量X与其均值E (X) 的平均偏离程度.我们称D (X) 为随机变量的方差, 其算术平方根为随机变量X的标准差, 记作σ (x) .

随机变量的方差和标准差都反应了随机变量取值偏离于均值的平均Y程度.方差和标准差-3越小, 则随机变量1偏2离于均值的平X均程度Px越1小.x20….7xi…0.3xn

5. 常用分p1布的方p差

(1) 两点分布:若X服从两点分布, 则D (X) =P (1-P) .

(2) 二项分布:若X~B (n, p) , 则D (X) =n P (1-P) .

(3) 超几何分布:若随机变量X服从超几何分布, 即X~H (N, M, n) , 则

6. 离散型随机变量方差的实际应用

均值仅体现了随机变量取值的平均大小, 但有时仅知道均值X3的大小还不够.0如果两个随1机50变00量的均值6相50等00, 还要看随机变量的取值如何在均值周围变化, 即计算方差.方差大说明P随机变量的取0.值68较分散, 方0.差3小说明取值0.分02散性小或者取值比较集中, 稳定.因此, 利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题, 也就是当我们希望实际的平均水平比较理想时, 它们都一样好.这时, 还应该看它们相对于均值的偏离程度, 也就是看哪个相对稳定, 稳定者更好.如果我们X希望比x较1稳定时x2, 应先考…虑方差, xi再考虑…均值是否xn相当接近P即可.p1p2…pi…pn

例3:某人投资10万元, 有两种方案可供选择.设X表示采用方案一所得收益 (万元) , Y表示采用方案二所有收益 (万元) .其分布列分别为

假定同期银行利率5%, 该人征求你的意见, 你通过分析会得到怎样的结论呢?

解析:由数学期望和方差的计算公式, 得

由于同期银行利率为5%, 同期存入银行的利息 (无风险收益) 为10×5%=0.5万元.从期望收益的角度来看, 两种投资方案都可以带来额外的收益, 但都要冒一定的风险.方案一的期望收益低于方案二, 但方案一的风险也小于方案二.

点评:投资理财追求的是高收益和低风险, 但实际问题中, 一般收益越高, 则风险也越大.如何在收益和风险之间做一个合理的选择, 这与投资者对风险的偏好有关.一种合理的选择时根据冒风险所带来的好处, 即比较风险的效率 (风险带来的额外收益与标准差之比) 的大小作为度量风险的好坏 (认为风险效率的值大的方案为好) .

方案一:冒风险带来的好处 (额外收益) 为E (X) -0.5=1-0.5=0.5 (万元) ,

方案二:冒风险带来的好处 (额外收益) 为

E (Y) -0.5=1.5-0.5=1 (万元)

故从风险效率来看, 方案二由于方案一.

其结论为:两种投资方案均高于存入银行的效益, 方案一期望效益小于方案二, 其风险也小于方案二, 但风险效率低于方案二.

7. 结语

从上述离散型随机变量均值、方差的经济应用, 表明经济工作与其紧密相连.所以, 对企业决策者而言, 掌握相应的数学分析方法, 可以为科学的管理决策提供理论依据.

摘要：离散型随机变量均值、方差在经济领域中有着很重要的应用, 本文从离散型随机变量均值、方差入手探讨一些经济规律和经济现象.

离散型随机变量的教学设计篇2

一、内容和内容解析

“随机变量及其分布”一章的主要内容就是要通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的概型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解条件概率和两个事件相互独立的概念。

“离散型随机变量”是这一章的开门课。因此，在本节课中，让学生了解本章的主要内容及其研究该内容所用的数学思想方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习兴趣非常重要。于是，本节课的第一个教学任务就是要做好章头图的教学。教材的章头图从实例和图形两个方面展示了本章要学习的内容，一个是离散型随机变量的产生背景和分布列的条形图，另一个是正态分布的背景和正态分布密度曲线。教学时要充分地运用章头图的这两个背景，通过问题的形式，帮助学生明确本章要学习的主要内容和意义。

对于一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率。对于随机试验，只要了解了它可能出现的结果，以及每一个结果发生的概率，也就基本把握了它的统计规律。为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量。随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。而高中阶段主要研究的是有限的离散型的随机变量，因此，本节课的第二个教学任务就是通过具体实例，帮助学生掌握随机变量和离散型随机变量的概念，理解它们的意义和作用，能对一个随机试验的结果，用一个随机变量表示，并能确定其取值范围。

二、目标和目标解析

1.了解本章学习的内容和意义。具体要求为：

（1）通过章头图中给出的射击运动的情景，帮会学生了解，在射击运动中，每次射击的成绩是一个非常典型的随机事件。在这个离散型的随机事件中，如何刻画每个运用员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选拔运动员参加比赛获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机变量的概率分布、均值、方差等有关知识；

（2）通过章头图中给出的高尔顿板游戏情景，帮助学生了解在这样一个连续型的随机事件的游戏活动中，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？这些问题与本章将要学习的正态分布有关；

（3）在上述两个情景的基础上，通过问题的形式，帮助学生提出本章要研究的问题和基本思想：随机事件形形色色，随机现象表现各异，但如果舍弃具体背景，它们就会呈现出一些共性；如果把随机试验的结果数量化，用随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来研究这些随机现象。这样不仅阐述了本章的主要内容，而且激发了学生的学习兴趣，使他们明确本章的学习目标以及研究本章内容的数学思想方法。

2.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以及随机变量与函数的关系，能够把一个随机试验的结果用随机变量表示，能够根据所关心的问题定义一个随机变量。具体要求是：

（1）在对具体问题的分析过程中，帮助学生理解用随机变量表示随机试验结果的意义和作用：为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量，掌握随机变量的描述性概念，了解随机变量与函数的关系，构造随机变量应当注意的问题（如随机变量应该有实际意义、应该尽量简单，以便于研究），以及用随机变量表示随机事件的方法等；

（2）通过具体问题的对比分析，帮助学生理解随机变量有两个类型：

取有限个值的离散型随机变量离散型随机变量

随机变量 随型机变量取无穷多个值的离散连续型随机变量能够根据具体问题，把随机试验的结果用一个随机变量表示，并能写出其取值范围；能够熟练地用随机变量的取值表示一个随机事件；

（3）通过反思随机变量的定义过程，引导学生体会，在实际应用中如何根据实际问题恰当地定义随机变量（如根据所关心的问题，定义随机变量），以达到事半功倍的效果。

三、重点和难点解析

本节内容是为求分布列作铺垫的一节概念课。所以要把随机变量和离散型随机变量的概念讲清楚。于是，可以确定的重点、难点是：

重点：用随机变量表示随机试验结果的意义和方法；

难点：对随机变量意义的理解；构造随机变量的方法；随机变量取值范围的确定。

四、教学问题诊断分析

1.是否讲解“随机试验”的概念？

研究随机现象，就是要研究随机试验可能出现的结果（其中的每一个结果即为一个随机事件）和每一个结果发生的概率（即描述每一个随机事件发生可能性大小的度量），从而把握它的统计规律。这里有三个概念：随机事件、随机现象和随机试验。

在必修三中，学生已经学习了随机事件的概念（即在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件），之前，学生通过在初中数学和必修三的概率学习，又有了随机现象的观念，因此，学生对“随机试验”的概念是能够不加定义而自明的，也就是“随机试验”可以作为不加定义的原始概念引入。事实上，教材在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念（教材第44页第一个思考下方第一行），就是基于这样的考虑，因此，在教学中，对“随机试验”的概念不需要（也根本没有必要）引导学生下定义，以避免严格的定义可能造成学生理解的模糊，影响对主干概念“随机变量”的理解。

事实上，“试验”一词有十分广泛的含义：凡是对对象的观察或为此而进行的实验都称之为试验。如果一个试验满足以下条件，则称之为随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有结果是明确且可以知道的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

2.怎样建构“随机变量”的概念？

本节内容围绕随机试验的结果可以用“数”表示进行展开。掷骰子试验、掷硬币试验是学生比较熟悉的两个随机试验，对掷骰子试验的结果和数字1~6对应起来学生很容易理解，而掷硬币试验的结果则不容易联想到数字。可以引导学生思考：值一枚硬币的结果是否也可以用数字表示呢？通过把“正面向上”与1对应，“反面向上”与0对应，使得掷硬币的试验结果同样也可以用数字表示，这样的问题还可以列举，如新生婴儿性别抽查：可能是男，也可能是女，同样可以分别用1和0表示这两种结果，在此基础上抽象概括出随机变量的描述性定义。

3.怎样深化对“随机变量”概念本质的理解？对随机变量概念的理解，不是下个定义一步完成的，为了帮助学生深入地体会随机变量的本质，可以对掷硬币的试验结果的表示方法提出下面问题：还可以用其他的数来表示这两个试验结果吗？目的是鼓励学生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使学生理解随机变量的本质。事实上，对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示其所有可能出现的结果。为了帮助学生体会，究竟选择什么样的随机

变量更为合适？这就涉及到构造随机变量应当注意的一些基本问题：如随机变量应该有实际意义，应该尽量简单，以便于研究。例如，对于掷n次硬币出现正面的次数可以表示为12„n，其中i1,第i次试验出现正面0,第i次试验出现反面，通过这样的例子，帮助学生体会用数字1和0表示，能够直接反应出正面向上的次数，这显然很方便；而用1和-1分别表示试验结果的反面和正面，那么掷n次硬币出现正面的次数的表达式就会变得很复杂。为了进一步深化对概念的理解，可以引导学生将随机变量与函数概念进行类比：随机变量与函数有类似的地方吗？使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广。

4.如何通过随机变量表示所关心的随机事件？

引入随机变量的目的是为了研究随机现象，那么如何通过随机变量表示所关心的随机事件呢？可以通过一些例子介绍用随机变量表示随机事件的方法，特别是一些较为复杂的随机事件的表示方法。例子的类型列举可以广泛：如有穷可列、无穷可列、不可列等三个类型。特别是对不可列的随机变量问题，可以根据所关心的问题，能够把它构造成可列的随机变量。从而进一步体会用随机变量表示随机事件的方法。

五、教学过程设计

1.情境引入

情境1：在射击运动中，运动员每次射击的成绩具有什么特征？（随机性）运动员每次射击的成绩是一个什么事件？（随机事件）

如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会的比赛才能使得获胜的概率大？解决这个问题要涉及到离散型随机变量的概率分布模型。

情境2：高尔顿是英国生物学家和统计学家，他设计了一个著名的游戏——高尔顿板游戏。如图，在一块木板上钉上钉着若干排相互平行并相互错开的圆柱形小模块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前后挡有玻璃，然后让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？

这个问题近似地服从正态分布，它是很多自然现象和生产、生活实际问题中经常遇到的一种连续型随机变量的概率分布模型。

以上两个问题就是我们本章要学习的两个重要的随机变量概率分布模型，本章的课题是——随机变量及其分布。

引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。无论是运动员的一次射击，还是利用高尔顿板做一次游戏，都是随机试验，只要了解了这些随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事件），以及每一个结果发生的概率，我们也就基本把握了它的统计规律。随机事件形形色色，随机现象表现各异，但如果舍弃具体背景，他们就会呈现出一些共性；如果把随机试验的结果数量化，应随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来研究这些随机现象。

引导学生阅读章头图的内容。然后展示本章的知识结构图：两类随机变量的概率分布模型：离散型随机变量——（在讲概率分布列、均值和方差的基础上）研究二项分布和超几何分布模型；连续型随机变量——正态分布模型。

2.离散型随机变量

问题1：概率是描述在一次随机试验中某个随机事件发生可能性大小的度量。如掷骰子就是一个随机试验，它有六种可能性结果。你还能举出一些随机试验的例子吗？该随机试验的所有可能结果有哪些？

设计意图：能够判定简单的随机试验，并能列举出所有可能的结果，为用“数”表示这些结果做好准备。

问题2：（1）掷一枚骰子，出现向上的点数X是1，2，3，4，5，6中的某一个数；

（2）在一块地上种10棵树苗，成活的棵树Y是0，1，2，3，„，10中的某个数。

下面两个随机试验的结果是否可以用数字表示呢？

（3）掷一枚硬币所有可能的结果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生儿性别，抽查的所有可能的结果；男——1；女——0 设计意图：通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。

问题3：上述四个例子说明，随机试验的结果与数字之间构成了一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字表示。这样随机试验的结果就可以看成是一个变量，我们称其为随机变量。你能给随机变量下一个定义吗？

设计意图：引导学生通过分析、综合活动，尝试给随机变量下定义。这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较准确就可以，不一定按照课本的描述性定义。如一般地，如果一个随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量就叫做随机变量，等。

问题4：在（3）和（4）的两个随机试验中，其试验的结果是否还可以用其他人数字表示？

设计意图：通过讨论，得出结论：一个随机试验的结果可以用不同的随机变量表示。如上面两个试验的结果还可以用-1和1表示等。

问题5：在掷一枚硬币的随机试验中，其结果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他数字表示，那么，在5次掷硬币的随机试验中，出现“正面向上”的次数可以怎样表示？由此你认为定义一个随机变量需要遵循哪些原则？

设计意图：出现“正面向上”次数125，1,第i次试验出现正面，当一次试验的结果表示为i =0，1，2，3，4，5；

0,第i次试验出现反面。1,第i次试验正面向上，当一次试验的结果表示为i i-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次试验反面向上。从使用意义上看，显然把正面向上的次数表示成负数不太合适，而且这样也不方便，因此，构造随机变量时，应当注意一些基本问题：如随机变量应该有实际意义，应当尽量简单，以便于研究。

问题6：随机变量和函数有类似的地方吗？

设计意图：引导学生把随机变量和函数进行类比，使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域。

例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。（1）每天你接到的电话的个数X；（2）标准大气压下，水沸腾的温度T；（3）某一自动装置无故障运转的时间t；（4）体积64立方米的正方体的棱长a；（5）抛掷两次骰子,两次结果的和s.（6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数η.设计意图：进行随机变量概念辨析。

例2.写出下列各随机变量可能的取值（或范围）:

(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张被取出的卡片的号数X．(2)一个袋中装有3个白球和5个黑球，从中任取5个，其中所含白球数Y．(3)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ．

(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数ξ．(5)某网页在24小时内被浏览的次数η.(6)某一自动装置无故障运转的时间T（7）电灯泡的寿命X。

设计意图：训练写出随机变量的取值或范围，并在此基础上通过分类得到“离散型随机变量”的概念。

问题7：在前面所举这些例子中，这些随机变量都有什么特征？设计意图：引导学生发现这些随机变量的取值都可以一一列出。

问题8：所有取值能够一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。离散型随机变量有两类：一类是离散型随机变量的取有限个值的，一类是离散型随机变量取无限个值的（如例2（3）），我们主要研究取有限个值的离散型随机变量。

例3.写出下列离散型随机变量可能的取值:

(1)在考试中需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲乙两人租车的时间都不超过4小时（两人不一定同时回来），则两人所付的总费用X的可能取值有哪些？

设计意图：练习写出较为复杂的离散型随机变量取值

问题9：利用随机变量可以表示一些事件。在例1中，你能说出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎样的事件吗？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

设计意图：引导学生学习用随机变量表示随机事件，使学生能够清晰地说出每一个随机变量取值的实际意义。

问题10：在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当第定义随机变量。例如，对灯泡的使用寿命，如果我们仅关心灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义0,寿命1000小时如下的随机变量：，与灯泡的寿命X相比较，随机变量的构造更1,寿命1000小时简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易。你能根据实际意义，把能对（2）定义一个随机变量吗？

设计意图：引导学生能够根据所关心的问题，定义出离散型随机变量。例4.请根据所关心的问题，定义一个离散型随机变量：(1)掷一枚骰子，关心“掷出的点数是否为偶数”；

(2)任意抽取一瓶标有2500 ml 的某饮料，其实际量与规定量之差在±5ml以内为合格；(3)在某项体能测试中，跑1 km成绩在4 min之内的为优秀；4 min以上5 min以内为合格；某同学体能测试的结果.设计意图：练习能够根据所关心的问题定义一个随机变量。

备用例题：下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出可能取值，并说出这些值所表示的随机试验的结果。

（1）棱长为1的正方体中，任意两条棱之间的距离（两条棱相交，可认为距离为0）；

（2）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，该“立体”的体积为V。

设计意图：巩固并强化定义离散型变量的方法，并能准确写出所求可能取值。

离散型随机变量及其分布列常见题型篇3

例1 下列问题中的随机变量[ξ]：①口袋有[5]个白球，每次取出[2]个并放回，取到的白球数[ξ]；②某网站歌曲《你是我的小苹果》一天内被下载的次数[ξ]；③某地一天内的温度[ξ]；④射手对目标射击[3]次，击中目标得[2]分，未击中目标得[-1]分，用[ξ]表示该射手在[3]次射击中的得分；⑤某人投篮，首次投中时投球的次数[ξ].其中属于离散型随机变量的有（）

A.①②④⑤ B.②④⑤

C.③④ D.②④

解析 ①[ξ]的取值只有[2]，是一个常量；③一天内的温度不能将其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量；而②④⑤符合离散型随机变量的定义.

答案 B

点拨一个变量是否为离散型随机变量，分辨时要紧扣定义：（1）“取值的随机性”（取值随着试验结果不同而不同，不是常量）；（2）“取值的可一一列举性”，值得注意的是，取值不一定是有限个.

题型二离散型随机变量的取值

例2 某批产品共有9件，已知其中有4件不同次品、5件不同正品，现在采取不放回逐个抽取检验，设[ξ]表示能找出5件正品时的取件次数，求[ξ]的取值.

离散型随机变量均值篇4

例1交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.

分析:抽到的2个球上的钱数之和ε是个随机变量,其每一个ε取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的,本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ε与η关系为η=ε-5,利用公式Eη=Eε-5可获解答.

解:设ε为抽到的2球钱数之和,则ε的可能取值如下:

ε=2(抽到2个1元),

ε=6(抽到1个1元,1个5元),

ε=10(抽到2个5元).

又设η为抽奖者获利可能值,则η=ε-5,所以抽奖者获利的期望为:.

点拨:要分清楚是谁获利?不能忽视了先交5元才能参加这一抽奖.因此,不能只计算Eε,最终Eη的结果为负值,说明摸奖者若重复这种抽奖,平均每摸一次要亏1.4元.

例2甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:

试对这两名工人的技术水平进行比较.

分析:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.

解:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:,

由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dε>Dη,可见乙的技术比较稳定.

点拨:期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.

例3设事件A发生的概率为p,证明事件A在一次试验中发生次数ε的方差不超过.

分析:一次试验中事件A发生的次数ε只有两个值,因此,只要求出随机变量的概率分布,用定义就可以解决.

解:记一次试验中事件A发生的次数ε可能值为0,1.

ε的分布列为表2.

所以ε的期望

当且仅当p=1-p即时取等号.

点拨:将文字叙述性问题,转化为数学符号表达,这是一种重要的数学抽象思维能力.

例4某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品?

分析:可能来多少人,是一个随机变量.由于每人是否去领奖,相互间是独立的,因而随机变量服从二项分布,用数学期望来反映平均领奖人数,即能说明是否可行.

解:设来领奖的人数ε=k,(k=0,1,2,…,3000),所以,则ε～B(3000,0.04),那么Eε=3000×0.04=120(人)>100(人).

答:寻呼台不能向每一位客户都发送领奖邀请.若要使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备120份礼品.

离散型随机变量均值篇5

一、教学内容、要求以及完成情况的再认识

《离散型随机变量的分布列》在近几年高考的推波助澜下愈发突显出其应用性和问题设计的新颖和创造性，如火如荼的新课改时时刻刻在提醒我们“思路决定出路”，们明确教学设计应是为了“学生的学而设计教”，不是为了“老师的教而设计学”。

1、学的重点应是离散型随机变量的分布列的含义与性质而非如何求概率

看过《离散型随机变量的分布列》的几个视频，大多采用“一个定义、三项注意、变式训练”的传授型数学概念教学模式，定义匆匆过，训练变式多，学生表示随机变量的分布列时错误不断。这些错误集中指向是某些事件的概率求错，从而导致分布列的表示错误，老师又纠错，学生还犯错。整堂课反映出的教学重点是求随机事件的概率。孰不知学生出错的根本原因是在思维的过程中没有有意识的将分布列问题转化为求互斥事件的概率。历经离散型随机变量的分布列的概念的教学过程并形成解题时将分布列问题转化为求互斥事件的概率的意识理应成为教学的重点。

2、数学概念的教学应是从创设概念的生长点的问题情境切入探究而不是抛给学生

“一个定义、三项注意、变式训练”的“抛式”数学概念教学模式，犹如过眼云烟，未建立在学生已有的认知基础上的数学概念的理解犹如空中楼阁，未建立在思维的最近发展区内进行的类比归纳的正迁移思维犹如断了翅膀的鸟，未历经数学概念的探究而进行的变式训练亦不过是模仿解题。“问题是数学的心脏”，数学活动是由“情景问题”驱动的，“问题解决”是其主要的活动形式，创设可以连续变式的正多面体的问题情境，提出从低纬度向高纬度发展的问题是历经数学概念再创造的好的开始。

引例1：某人抛一颗骰子，出现的点数有几种情况?如何表示?各种结果出现的概率分别是多少?

引例2：100件产品中有10件次品，任取其中的4件，出现次品的情况有几种?如何表示?各种结果出现的概率分别是多少?

引例3：扔一枚硬币，出现的结果有几种?能用数表示吗?如果可以，如何表示?各种结果出现的概率分别是多少?

以上三个问题，集中指向了先是随机变量取不同值时对应概率的表示，更加如何简洁的表示，而离散型随机变量的分布列也是概率的一种表示形式，古典概率就是离散型随机变量的分布列的知识生长点。这就是将数学概念的引入情境化、顺其自然、不强加于人，是要合乎学生的认知规律、不苛求与形式。

3、数学概念的含义和性质是剥洋葱皮式的探究而不是变式训练的强化

学生对数学概念的理解出现偏差，往往是学生站的认识问题的角度不合理、维度不全面，所以我借助于问题串、采用“剥洋葱皮”的方式从数学概念的外延出发探寻概念的内涵。问是深入思考的开始、是质疑探究的延续。

离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延，而离散型随机变量的概率分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，更主要的是应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。

问题1、通过以上简单的离散型随机变量的分布列，归纳出离散型随机变量的分布列具有哪些性质?(学生发现性质)

性质2的理解是本节课的一个难点，设置如下问题串：

问题2、性质2的含义是什么?

问题3、每一个分布列有多少个随机事件?

问题4、随机事件之间是什么关系?

问题5、这些随机事件构成的复杂事件又表示什么事件?

通过以上问题串的探究，就是要学生历经离散型随机变量分布列的本质的认识过程，从而形成求解离散型随机变量的分布列的方法和步骤：

①明确随机变量的含义、确定随机变量的取值

②判定随机事件的关系、计算随机事件的概率

③列表表示分布列、检验是否构成必然事件

这样设计的目的`是想避免学生在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下就盲目进行大运动量的变式解题操练，导致教学缺乏必要的根基，是要培养学生数学用数学思维来解决问题。

在教学设计上要做整体的把握，应该从基本点出发，形成交汇点，进而达到制高点。教学的基本点就是“双基”：数学基础知识和基本技能。从双基出发，使得基础知识形成网络、基本技能形成规律。教学的交汇点就是数学活动，在数学活动中形成基本思想方法和基本活动经验。

制高点是什么?制高点是重点，是可以达到必要深度的部分，但又不仅仅是重点。重点只是数学的结果，不指向如何应对;而制高点致力于探寻问题解决的基本思路，形成解决问题的方法和规律。站在制高点上进行教学设计，就是首先要准备贯彻什么样的教学理念、采用什么样的教学方法为支撑下的教学设计。所以我在教学设计时重视情境预设、更重视思维的发展历程，关注知识的内化、更关注形成知识的方法的理性建构。

数学思维的培养成长于每一节课堂、成败于每一点基础、影响于每一个细节，让每一节数学课堂都真正在有利于学生发展为本的道路上改革，牢牢把握这个制高点，成功就水到渠成了。

二、值得注意的地方

在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位;或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但由于时间的把握，以及对学生的放手程度上‘实施落实的可能还不到位，有待改进。

离散型随机变量均值篇6

随机变量在概率统计研究中起到了极其重要的作用，它通过实数空间来刻画随机现象，是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以在实数空间上研究随机现象，其中二项分布更是与实际生活息息相关，因此在高中数学中是重要的一块内容，是高考必考内容.统计表明，各地高考试题都有一道随机变量的大题（12分），湖北省的试题通常设置在18题左右.从考查内容上看，随机变量试题常以考查分布列及其期望、方差为主，以二项分布为多，有时也会考查到条件概率.相互独立事件、n次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，以此为载体考查考生对概念的深层次理解.各地文、理科试卷在此部分差别较大，理科会更多地考到期望和方差，往往以姊妹题的方式呈现.

命题特点

以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对概率事件的判识别及其概率的计算和随机变量，概率分布列性质及其应用为目标的中档题，概率应用题侧重于分布列与期望，应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势.选填中有时也出现条件概率题型，这类题具有“稳”的特点，读懂题意是关键.概率与统计试题是高考的必考内容.

众观近两年高考试卷中的随机变量及其分布列试题，具有较高的信度和效度，难度中偏易，是必须得分的试题，学习本部分要重视理解，把握数学的本质.其特点是重基础，重理解.

1. 离散型随机变量分布列的性质

例1 设离散型随机变量X的分布列为

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&[P]＼&0.2＼&0.1＼&0.1＼&0.3＼&[m]＼&]

求：（1）[2X+1]的分布列；（2）[|X-1|]的分布列.

解析由分布列的性质知：[0.2+0.1+0.1+0.3+m=1]，

∴[m=0.3].

列表：

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&[2X+1]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&9＼&[|X-1|]＼&1＼&0＼&1＼&2＼&3＼&]

（1）[2X+1]的分布列：

[[2X+1]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&9＼&[P]＼&0.2＼&0.1＼&0.1＼&0.3＼&0.3＼&]

（2）[|X-1|]的分布列：

[[|X-1|]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.1＼&0.3＼&0.3＼&0.3＼&]

2. 离散型随机变量的分布列

例2 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.

解析随机变量ξ的可能取值为1，2，3.

当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其它两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有[P（ξ=1）=C24C35=610=35].

当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其它两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有[P（ξ=2）=C23C35=310].

当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其它两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有[P（ξ=3）=C22C35=110].

因此，[ξ]的分布列如下表所示：

[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[35]＼&[310]＼&[110]＼&]

点拨求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、[n]次独立重复试验有[k]次发生的概率等本题中基本事件总数，即[n=C35]，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）.

3. 超几何分布

例3 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是[79].

（1）求白球的个数；

（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为[X]，求随机变量[X]的数学期望[E（X）].

解析（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，

设袋中白球的个数为[x]，则[P（A）=1-C210-xC210=][79]，得到[x=5].

（2）[X]服从超几何分布，其中[N=10，M=5，n=3]，其中[P（X=k）=Ck5C3-k5C310]，[k=0，1，2，3].

于是可得其分布列为

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[112]＼&[512]＼&[512]＼&[112]＼&]

[X]的数学期望[E（X）=112]×0+[512]×1+[512]×2+[112]×3=[32].

4. 条件概率

例4 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件[B]为“两颗骰子的点数之和大于8”.

（1）求[P（A），P（B），P（AB）]；

（2）当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率.

解析（1）①[P（A）=26=13.]

②∵两个骰子的点数共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共10个，

∴[P（B）=1036=518.]

③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，

故[P（AB）=536].

（2）由（1）知[P（B|A）=P（AB）P（A）=512.]

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5. 相互独立事件的概率

例5 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为[45，35，25，15，]且各轮问题能否正确回答互不影响.

（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

解析（1）记“该选手能正确回答第[i]轮的问题”的事件为[Ai（i=1，2，3，4）]，

则[P（A1）=45]，[P（A2）=35]，[P（A3）=25]，[P（A4）=15].

∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率[P4=P（A1A2A3][A4）]=[P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）]=[45]×[35]×[25]×[45]=[96625].

（2）该选手至多进入第三轮考核的概率

[P3][=P（A1+A1A2+A1A2A3）]

=[P（A1）+P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）P（A3）]

=[15]+[45]×[25]+[45]×[35]×[35]=[101125].

6. 独立重复试验与二项分布

例6 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的[12，13，16]，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.

（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（2）记[ξ]为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列.

解析记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件[Ai，Bi，Ci，i=1]，2，3.由题意知[A1，A2，A3]相互独立，[B1，B2，B3]相互独立，[C1]，[C2，C3]相互独立，[Ai，Bj，Ck（i，j，k=1，2，3）]且[i，j，k]互不相同）相互独立，且[P（Ai）=12]，[P（Bj）=13]，[P（Ck）=16].

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

[P=3！][P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6×12×13×16=][16.]

（2）记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件[Di，i=1，2，3].

由已知得，[D1，D2，D3]相互独立，且[P（Di）=P（Ai∪Ci）][=P][（Ai）+P（Ci）=12]+[16]=[23]，

所以[ξ～B（3，23）]，即[P（ξ=k）=Ck323k133-k，k=1，2，3.]

故ξ的分布列是

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[127]＼&[29]＼&[49]＼&[827]＼&]

备考指南

（1）要把握基础知识，在复习时，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

（2）重点理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

限时训练

1. 10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）

A.取到产品的件数 B.取到正品的概率

C.取到次品的件数 D.取到次品的概率

2. 从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为[X]，那么随机变量X可能取得的值有（）

A.17个 B.18个

C.19个 D.20个

3. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则[P（ξ=1）]等于（）

A.0 B. [12] C. [13] D. [23]

4. 若[P（ξ≤x2）=1-β]，[P（ξ≥x1）=1-α]，其中[x1

A.（1-α）（1-β） B.1-（α+β）

C.1-α（1-β） D.1-β（1-α）

5.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于[C47C68C1015]的是（）

A.P（X=2） B.P（X≤2）

C.P（X=4） D.P（X≤4）

6.随机变量X的概率分布列规律为[P（X=n）=][an（n+1）（n=1，2，3，4）]，其中a是常数，则[P（12

A. [23] B. [34] C. [45] D. [56]

7. 已知随机变量[ξ]的分布列为[P（ξ=k）=12k]，[k=1，2，]…，则[P（2<ξ≤4）]等于（）

A. [316] B. [14] C. [116] D.[15]

8. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）

A. 5 B.9 C.10 D.25

9. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则[P（ξ=12）]等于（）

A. [C1012（38）10（58）2] B. [C911（38）9（58）238]

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C. [C911（58）9（38）2] D. [C911（38）9（58）2]

10.如图，用[K，A1，A2]三类不同的元件连接成一个系统，当[K]正常工作且[A1，A2]至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知[K，A1，A2]正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（）

A.0.960 B.0.864

C.0.720 D.0.576

11.随机变量X的分布列如下：

[[X]＼&-1＼&0＼&1＼&[P]＼&[a]＼&[b]＼&[c]＼&]

其中[a，b，c]成等差数列，则P（|X|=1）=________.

12.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以“x，y”代替），其表如下：

[[X]＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[P]＼&0.20＼&0.10＼&[0.x5]＼&0.10＼&[0.1y]＼&0.20＼&]

则丢失的两个数据依次为________.

13.如图所示，[A，B]两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为[ξ]，则[P（ξ≥8）]=________.

14. 现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记[ξ]为5粒中的优质良种粒数，则[ξ]的分布列是________.

15. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以[ξ]表示取出球的最大号码，求[ξ]的分布列.

16.口袋中有[n（n∈N*）]个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X.若[P（X=2）=730]，求：

（1）[n]的值；

（2）[X]的分布列.

17.从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个.

（1）记性质[r]：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质[r]的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列.

18. 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用[ξ]表示分数，求[ξ]的概率分布.

离散型随机变量均值篇7

一、以集合知识为背景

例1(2009年福建卷，理科16题)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个.

(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率;

(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

解:(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，基本事件总数n=C51+C52+C53+C54+C55=31，事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}，事件A包含的基本事件数m=3，所以

(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,

故ξ的分布列为:

点评:准确求出基本事件数是正确解题的关键.

二、以方程知识为背景

例2设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

(Ⅰ)若a是从四个数中任取的一个数，b是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

(Ⅱ)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

分析:一元二次方程有实根的条件为Δ≥04a2-4b2≥0，即a≥b.题(Ⅰ)可用列举法列出所有的基本事件，找出符合条件a≥b的基本事件.题(Ⅱ)就是几何概型.可作出试验的总区域，和符合条件的区域，应该是把a,b看作有序数对(a,b)对于平面上的点，可画出平面区域解答.

解:设事件A为“方程a2+2ax+b2有实根”.

当a>0,b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

(Ⅰ)基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.

点评:本题容纳了古典概型和几何概型的解法，要善于区分提炼，并进行转化，把数组(a,b)看成平面内的点即可转化为平面区域问题用面积解答.

三、以不等式知识为背景

例3设a,b∈{0,1,2}，且a,b满足不等式a-10b+13>0，若ξ=a+b，则Eξ=___.

解析:满足题设的基本事件为a=0,b=0;a=1,b=1;a=1,b=0;a=0,b=1;a=2,b=1;a=2,b=0，共6个.ξ可取0,1,2,3，求得，即ξ的分布列为

点评:由于a,b的取值不多，把所有情况考虑清楚，问题便不难解决.

四、以三角函数知识为背景

例4(2009山东卷，理11)在区间[-1,1]上随机取一个数x,的值介于0到1/2之间的概率为()

解析:在区间[-1,1]上随机取一个数x，即x∈[-1,1]时，要使的值介于0到1/2之间，需使，所以，区间长度为2/3，由几何概型知的值介于0到1/2之间的概率为.故选(A).

点评:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量x的取值范围，得到函数值.

五、以统计知识为背景

例5(2009湖南卷，理13)一个总体分为A,B两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为__.

解析:由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、乙都被抽到的概率是，可得n=8，所以总体中的个数是4×8+8=40.

六、以几何知识为背景

例6(2009安徽卷，文10)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于()

解析:正方体6个面的中心，从中任意选3个点可连成C63个三角形，每三个点连成三角形，与剩下的3个点连成三角形全等.故概率为1，选(A).

七、以当前公共卫生事件为背景

例7(2009安徽卷，理17)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望).

分析:A感染1个人的概率(只有B被感染，C,D未被感染，他们同时发生，是独立事件同时发生)，A感染2个人的概率(B、C被感染，D未感染，或B、D感染C未感染)，A感染3人的概率(B、C、D都被A感染)，所以，随机变量X的分布列是

X的均值为

附:X的分布列的一种直观求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1/6:

在情形(1)和(2)之下，A直接感染了一个人;在情形(3)、(4)、(5)之下，A直接感染了两个人;在情形(6)之下，A直接感染了三个人.

八、以数列知识为背景

例8从原点出发的某质点M按向量a=(0,1)移动的概率为2/3，按向量b=(0,2)移动的概率为1/3，设M点到达点(0,n)(n∈N*)的概率为Pn.

(1)求P1和P2的值;

(3)求Pn的表达式.

解:(1)，求P2分两步，得概率

(2)研究从点(0,n+1)移动到点(0,n+2)的规律，从点(0,n)移动到点(0,n+1)的规律，得:

(3)由(1)(2)知:{Pn+1-Pn}是以为首项，为公比的等比数列，

所以，以上各式相加得:

说明:递推问题是数列中重点之一，例3中若撇开概率知识，单纯的解决由，求Pn的表达式，则其难度远低于高考中数列试题的平均难度，现一旦与概率知识交错综合，难度就大增，要不是(1)、(2)问题的引导与铺垫，我们一时难想到用递推数列来求解.

例9设正四面体ABCD的棱长为1米，一只蚂蚁从A点开始按以下规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择过这个顶点的三条棱之一并一直爬到这条棱的尽头.设它爬了7米以后恰好位于顶点A的概率是，求n的值.

解:蚂蚁爬过n米后，要么在A点，要么不在A点，“在A点”与“不在A点”是互相对立事件.

设an表示蚂蚁走过n米后又回到A点的概率，那么走过n米又不在A点的概率便是1-an.

现在让蚂蚁再多走1 m，无非两种可能:若蚂蚁走第n米时已在A点，那么它不管向哪个方向爬1米，均不可能再在A点;若蚂蚁走第n米时不在A点，那么它不管位于B,C或D，爬1米后回到A点的概率都是1/3.

由此可见:，这个式子对以上两种情况都适用.

点评:指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.

九、以日常生活或富有趣味性的问题为背景

例10(2008全国2，理18)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999104.

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).

分析:由一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立，可知这些保险是服从二项分布的;保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，盈利就是该险种总收入减去成本和赔偿金总额，而赔偿金总额与出险的人数为ξ有关，由(Ⅰ)知ξ服从二项分布，从而计算出盈利的期望.

解:各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104,p).

(Ⅰ)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当

(Ⅱ)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.

支出:10000ξ+50000，盈利:η=10000a-(10000+50000),

盈利的期望为Eη=10000a-10000Eξ-50000，由ξ～B(104,10-3)知，Eξ=10000×10-3,Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

点评:本题中的数学环境是以保险为背景考查二项分布列，对于学生来说有些陌生，不易理解，而第二问又是间接地解答问题，所以本题难度较大.

三类离散性随机变量分布关系的研究篇8

定义1 设随机变量X只可能取0与1两个值, 它的分布律是

undefined, 则称随机变量X服从 (0-1) 分布或两点分布。

定义2 设随机变量X的分布律为, k=0, 1, 2, ..., n, 则称随机变量X服从参数为n, p的二项分布, 记作X～b (n, p) 。

定义3 设随机变量X的分布律为undefined, ...其中λ>0为常数, 则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布, 记作X～π (λ) 。

定义 4 设试验E只有两个可能的结果:A与undefined, 则称E为伯努利试验。

2.主要结论

结论1 n=1时的二项分布, 就是 (0-1) 分布。

此结论是显然的, 但是考虑一下两个分布的背景, 就可知道它们关系的重要性。二项分布的理论背景是一个n重伯努利试验, 将伯努利试验E独立地重复地进行n次, 则这一串重复地独立的试验就是n重伯努利试验, 在这n次试验中事件A发生的次数的概率分布就是二项分布, 而任何一个只有两个结果的试验都可以定义一个服从 (0-1) 分布的随机变量。于是有下面的结论。

结论2 任何一个服从参数为n, p的二项分布的随机变量都可以写成n个服从 (0-1) 分布的独立同分布的随机变量的和。

事实上, 设n重伯努利试验中事件A发生的概率为p (0

undefined

, 显然Xi为服从 (0-1) 分布的随机变量, 参照随机变量X的定义有X=X1+X2+...+Xn。

结论3 n→∞时二项分布趋于参数为λ=np的泊松分布。

下面做简单证明。另λ=np, 则undefined, 便有

undefined

对于固定的k, 当n→∞时undefined, undefined, undefined所以undefined。

有了结论3, 当n很大 (n≥10) , p很小 (p≤0.1) 时, 就可以对二项分布的问题利用泊松分布作近似计算了。

3.结论的应用

例1 设X～b (n, p) , 求E (X) 。

方法一:根据定义求解。