高等数学极限复习题

高等数学极限复习题（共6篇）

篇1：高等数学极限复习题

设f(x)2x1x，求f(x)的定义域及值域。设f(x)对一切实数x1，x2成立f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)0，f(1)a，求f(0)及f(n)．(n为正整数)定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若f(x)表示将x之值保留二I(x)位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用法则保留2位小数，试用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g(x)表示将x依4舍5入在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。定义函数I(x)表示不超过(x)xI(x)的周期性。判定函数f(x)(exxxx的最大整数叫做x的取整函数，试判定1)ln(1xx)的奇偶性。设f(x)esinx，问在0，上f(x)是否有界？ 函数yf(x)的图形是图中所示的折线OBA，写出yf(x)的表达式。 x，x，0x2；0x4；设f(x)(x) 求f(x)及f(x)． 2x4．4x6．x2，x2，1，x0；设f(x)(x)2x1，求f(x)及f(x)． 1，x0．ex，x0；0，x0；求f(x)的反函数设f(x)(x)2x，x0．x，x0．g(x)及f(x)． 2设f(x)x，x0；(xx)，(x)2求f(x)． 2x，x0．12x，x0；设f(x)求ff(x)． 2，x0．0，x0；x1，x1；设f(x)(x) 求f(x)(x)． x，x0．x，x1．ex，x0；设f(x)x1，0x4；求f(x)的反函数(x)． x1，４x．x，x1；2设f(x)x，1x4；求f(x)的反函数(x)． x2，4x．21x，x0；设f(x)求： x，x0．(1)f(x)的定义域；2(2)f(2)及f(a)．(a为常数)。1，x1；22设f(x)x，x1；求f(x3)f(sinx)5f(4xx6)． 1，x1．2x1，x0；设f(x)2求f(x1)． x4，x0．x2，x1；设f(x)，求f(cos)及f(sec)． 44log2x，x1．1x0；x2，设f(x)0，x0；试作出下列函数的图形x2，x0．(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)yf(x)f(x)2． ：2x0；x，设f(x)1，x0试作出下列函数的图形x2，0x2f(x)f(x)(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)y． 2 ：21x,x1；设f(x) 试画出yf(x)，yf(x),yf(x).的图形。1x2．x1，1x0，(x)，设f(x)求(x)，使f(x)在1，1上是偶函数。20x1．xx，(x)，当x0时，设f(x)0，当x0时，1，当x0时．xx(1)求f(2cosx)；(2)求(x)，使f(x)在(，)是奇函数。1x0；0，设f(x)x，0x1；F(x)f(12x)，2x，1x2．(1)求F(x)的表达式和定义域；(2)画出F(x)的图形。0，1x0;设f(x)x1，0x1；求f(x)的定义域及值域。2x，1x2．1x，x0；设f(x)x求f(2)、f(0)及f(2)的值。2，x0.2xx1，x1；设f(x)求f(1a)f(1a)，其中a0． 22xx，x1求函数ylnx1的反函数，并作出这两个函数的图形。求函数ysin(x4)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。求函数ytan(x1)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。利用图形的叠加作出函数yxsinx的图形。利用图形的叠加作出函数yx1x的图形。作函数y1x1的图形（草图）。作函数yln(x1)的图形（草图）。作函数yarcsin(x1)的图形。（草图）作出下列函数的图形：（草图）(1)yx1；(2)yx；222(3)y(x1)．设函数ylgax，就a1和a2时，分别作出其草图。利用y2的图形（如图）作出下x列函数的图形（草图）：(1)y2x1；(2)y1x32． 利用ysinx的图形（如图）作出下(1)ysin2x；(2)ysin(x 4)。列函数的图形：（草图）利用ysinx的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）(1)y(2)y1212sinx；sinx1 ππ2 x(，)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ych(x)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ySh(x)的反函数，并指出其定义域。3求函数yln求函数，yee2x2x11的反函数，并指出其定义域。验证1cthx验证1thx221shx22。1chx验证Ch()ChChShSh。验证Ch()ChChShSh。验证Sh()ShChChSh。验证Sh()ShChChSh。验证2ShxChxSh2x。证明ShxChxCh2x。设f(x)arctanx(x)，(x)xa，1ax22(a1，x1)，验证：f(x)f(x)f(a)。x1，求f(x)。设f(x)1lnx，(x)设f(x)x1x2，(x)x1x，求f(x)。设f(x)sinx，(x)2，求f(x)、f(x)及ff(x)。设f(x)x1，(x)1x12，求f(x)及f(x)。设f(x)设f(x)11(x0，x1)，求f及fx1f(x)x，(x)x1x122ffx。x1x2，求f(x)及其定义域。已知f(x)e，f(x)1x，且(x)0，求(x)，并指出其定义域。设f(x)lnx，(x)1x，求f(x)及f(0)。2设f(x)arcsinx，(x)lgx，求f(x)及其定义域。求函数yx1(x1)的反函数，并指出反函数的定义域。32求函数ylgarccosx(1x1)的反函数，并指出其定义域。求函数yarctg求函数y12(eeaxaxxx1x的反函数。1x)的反函数，并指出其定义域。求函数yln(a0)的反函数的形式。求函数yexx1e的反函数，并指出其定义域。求函数yxx4x的反函数。求函数f(x)11x1x1x(x1)的反函数(x)，并指出(x)的定义域。求函数f(x)loga(x设f(x)eexxx1x)的反函数(x)(式中a0，a1)。2eex设f(x)(0x)，试讨论f(x)的单调性和有界性。1x1讨论函数f(x)x在区间(0，1)和(1，)内的单调性。xx讨论函数f(x)的有界性。21x1讨论函数f(x)，当x(，0)(0，)时的有界性。132xx讨论函数f(x)2在(，)上的单调性。讨论函数f(x)xax，求f(x)的反函数(x)，并指出其定义域.(a1)在(，)上的单调性。讨论函数f(x)1lnx在(0，)内的单调性。1x1x2，设f(x)，(x)f(ax)b 1x3x1，试求a，b的值，使(x)(x0除外)为奇函数。判断f(x)e1e1xxln1x1xx(1x1)的奇偶性。证明f(x)(223)(23)是奇函数。2x判定f(x)xarccotx在其定义域(，)上的奇偶性。判定f(x)3(13x)3(13x)(x)的奇偶性。判定f(x)axa22(a0)(x)的奇偶性。xG(x)与偶函数F(x),使f(x)G(x)F(x)。设f(x)2exx1e，求奇函数11设函数f(x)满足4f(x)2f()，讨论f(x)的奇偶性。xx判断f(x)loga(xx1)(a0，a1)的奇偶性。x2判定函数f(x) aa2x1(a0，a1)的奇偶性。设函数f(x)对任意实数x、y满足关系式：　　f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)判定函数f(x)的奇偶性。求f(x)sinx12sin2x13sin3x的最小正周期。设f(x)是以T2为周期的周期函数，且上的表达式。在0，2上f(x)x2x，求f(x)在2，42求f(x)sin3xcosx的最小正周期。设f(x)为奇函数，且满足条件f(1)a和f(x2)f(x)f(2)。(1)试求f(2)及f(n)(n为正整数)；(2)如果f(x)是以2为周期的周期函数，试确定a的值。设F(x)(xx)e则F(x)xx1(x)(A)是奇函数而不是偶函数；(B)是偶函数而不是奇函数；(C)是奇函数又是偶函数；(D)非奇函数又非偶函数。答（）2 讨论函数f(x)12x1x4在(，)的有界性。设f(x)是定义在(，)内的任意函数，则f(x)f(x)是（）(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)非负函数。下列函数中为非偶数函数的是（）(A)ysinx(C)y 22121xx；(B)yarccosx；x3x4；(D)y2 x3x4x1x2lg(x1x)2设f(x)xx，(，)，则f(x)()(A)在(，)单调减；(B)在(，)单调增；(C)在(，0)内单调增，而在(0，)内单调减；(D)在(，0)内单调减，而在(0，)内单调增。答（）xx f(x)(ee)sinx在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)单调增函数；(C)偶函数；(D)奇函数。答（）f(x)sinx在其定义域(，＋)上是(A)奇函数；(B)非奇函数又非偶函数；(C)最小正周期为2的周期函数；(D)最小正周期为的周期函数。答（）f(x)cos(x2)1x2在定义域(，)上是(A)有界函数；(B)周期函数；(C)奇函数；(D)偶函数。答（）f(x)(cos3x)在其定义域(，)上是(A)最小正周期为3的周期函数；(B)最小正周期为2的周期函数；3(C)最小正周期为23的周期函数；(D)非周期函数。答（）设f(x)x3，3x0，则此函数是x3，0x2(A)奇函数；(B)偶函数；(C)有界函数；(D)周期函数。答（）设f(x)sin3x，x0，则此函数是sin3x，0x(A)周期函数；(Ｂ)单调减函数；(C)奇函数;(D)偶函数。答（）f(x)x(exex)在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)奇函数；(C)偶函数；(D)周期函数。答（）函数f(x)lnaxax(a0)是(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶性决定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为非奇函数的是x(A)y21；(B)ylg(x1x2)；2x1(C)yxarccosx；(D)yx23x7x23x71x2 答（）关于函数y1x的单调性的正确判断是1x1x1x1x单调增；单调减；单调减；当x0时，y单调增；当x0时，y1x1x单调增；单调增。(A)当x0时，y(B)当x0时，y(C)当x0时，y(D)当x0时，y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中（其中x表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)ysinxcosx；(B)ysin22x；(C)yacosbx；(D)yxx　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为奇函数的是(A)yxtan(sinx)；(B)yxcos(x(C)ycos(arctanx)；(D)y22x224)； x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函数yarcsin(lg确定函数yarccosx102x)的定义域及值域。的定义域及值域。1x求函数ylg(12cosx)的定义域及值域。求函数y2xx的定义域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多项式，且f(x1)f(x)8x3，f(0)0，求。图中圆锥体高OH = h，底面半径HA = R，在OH上任取一点P（OP = x），过P作平面垂直于OH，试把以平面为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。135生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。由直线yx，y2x及x轴所围成的等腰三角形OAB。在底边上任取一点x[0 , 2]，过x作垂直x轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。等腰直角三角形的腰长为l（如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，内接矩形KLMN（如图），其高为x，试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。等腰梯形ABCD（如图），其两底分别为AD = a和BC = b，（a > b），高为h。作直线MN // BH，MN与顶点A的距离AM = x(的面积S表示为x的函数。ababx)，将梯形内位于直线MN左边22 建一蓄水池，池长50 m，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x，就可以换算出储水的吨数T，试列出T与x的函数关系式。设　f(x)arcsin(lg设　f(x)arcsinx10x32)，求f(x)的定义域.ln(4x),　求f(x)的定义域.2设　f(x)设f(x)2x65xxlg(x5x6)，求f(x)的定义域。21，求f(x)的定义域.lg(1x)设f(x)lg(12cosx)，求f(x)的定义域。设　f(x)lgx12x1，求fx的定义域。2 9x2x1设　f(x)srcsin，求f(x)的定义域ln(x2)4设　(t)t322。2(t)　(t) 设　f(x2)x2x3 求f(x)及f(xh).1　求(t)1x1,求f(2)，f(a),　f()，f。1xaf(x)设　f(x)设　f(x)设　f(sin1x1　求f()及ff(x).设　f(x1)x2x,求f(x).1xxx)1cosx, 求f(cos222x).2设　2f(x)xf(1x2x，求f(x)。)xx121x设　f(x)(x0), 求f(x)。4xx1设　zxyf(xy), 且当 y0 时 , zx , 求f(x)及z。设　f(t)e , 证明　t2f(x)f(y)f(xy)。2设F(x)lg(x1), 证明当 y1 时有F(y设f(x)ln2)F(y2)F(y)。yz1x,证明f(y)f(z)f()1x1yz(式中y1,z1).设f(x)2x2,求f(2),f(2),f(5)。2t1x2设f()x(),求f(x)。xx12设f(t)2t222515t , 证明f(t)f()。tt设f(x1)x　 ,　求f(2x1)。t1设yf(tx)，且当x2 时，yx2222t5，求f(x)。设f(lnx)xx2，0x，求f(x)及其定义域设f(1)x(1xx2。1)(x0)，求f(x)。1xx设f(x)(x0)，求f(x)。42xx3x13设f(x)x1x22，求f(1x)(x1)。1x设f(x)axbxc，计算f(x3)3f(x2)3f(x1)f(x)1的值，其中a，b，c是给定的常数。设f(x)abxc(x0，abc0), xm)f(x)，对一切x0成立。x求数m，使f(设f(x)lgx5, x5(1)确定f(x)的定义域；(2)若fg(x)lgx，求g(2)的值。设y1af(x1)满足条件，求f(x)及y.y|a0x及y|x12, 设f(x)设f(x)25x22arctan1x，求f(x)的定义域。lgx5x62，求f(x)的定义域。设f(x)设f(x)2x1x，求f(x)的定义域16x2。sinx，求f(x)的定义域F(x)设f(x)的定义域为a．b，F(x)f(xm)f(xm)，(m0)，求的定义域。求函数f(x)arccos2x1x1x2x2的定义域。设f(x)ln1，求f(x)f的定义域。2xx2x1522x设f(x)arcsinsinx，求f(x)的定义域2。设f(x)2xx2ln(xx)，求f(x)的定义域。f(x)log2(logf(x)2xx2x)的定义域是_________________。的定义域是________________。2x133x2函数f(x)arcsin的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1xx的定义域用区间表示为________________。函数f(x)arccos(2x1)的定义域用区间表示为_____________。函数f(x)x(x4)的定义域是_____________。2函数f(x)ln(6xx)的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1ln(x4)的定义域用区间表示为_____________。设f(x)函数f(x)x1ln(2x)，则f(x)的定义域用区间表示为。2xx2的定义域用区间表示为_______________。设f(x)arcsin2x，则f(x)的定义域用区间表示为______________。2设f(x)的定义域是(0,1)，则f(1x)的定义域是________________。设f(x)lnx，(x)arcsinx，则f[(x)]的定义域是________________。2设f(x)的定义域是[0，4），则f(x)的定义域是______________。1设f(x)的定义域是(1 , 2]，则f的定义域是______________。x1设f(x)的定义域是（0，1），则f(lgx)的定义域是______________。函数f(x)sin(arcsinx)与函数g(x)arcsin(sinx)是否表示同一函数？为什么？ 2函数f(x)ln(x2x1)与函数g(x)2ln(x1)是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)cos(arccos函数f(x)(1cosx)2x)与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 12与函数g(x)sinx是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)x1x12与函数g(x)lgx11x是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)10函数f(x)3与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 33与函数g(x)xx1是否表示同一函数？为什么？ x4x函数f(x)x1x2x与函数g(x)lnxx1x2是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)lne与函数g(x)e函数f(x)x2是否表示同一函数？为什么？ 1x21x与函数g(x)是否表示同一函数？为什么？ 1x设f(x)1x1x，确定f(x)的定义域及值域。

篇2：高等数学极限复习题

当xx0时，设1＝o()，1o()且limxx0存在， 1求证：limlim．xx0xx01 21若当x0时，(x)(1ax)31与(x)cosx1是等价无穷小，则a1313A．　B．　C．　D．． 2222 答（）当x0时，下述无穷小中最高阶的是A　x2　B1　cosx　C　1x21　D　xsinx 答（）求极限lim(n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nnsin(n22)．nnn11)ln(1)． 2nlimx0e x21x2的值_____________ 3xsinxan1an2 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnn 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn12xnxn1，xnxn1 1，求limyn及limxn．nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值． x0x2 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)v(x)AB．xx0 limln(1x)x11(x1)2 A． B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(12x)x0 A．1 B．e2 C．e D．2 答（）设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．u1x0x0u1u(x)11.f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimxx3e2ex 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1　B.1　C.5　D.不存在233答：（）(12x)10(13x)20xx33x2lim____________ limx的值等于____________ 求极限lim3 ．xx0eex(16x2)15x1xx2x116x412x求lim之值． x0x(x5)3已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限limx053e1x结论是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）设limf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是xx0xx0f(x)0xx0g(x)g(x)B.limxx0f(x)C.limf(x)g(x)A.limxx0 D.limf(x)g(x)xx0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanxarctanx01x　D. 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)limxx 2 答（）A.0 B. C.1 D.limx2x12x3A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x) 32e1x，则f(0)___________ limarccotx01x 2 答（）A.0 B. C.不存在.D.limacosx0，则其中ax0ln1xA.0 B.1 C.2 D.3e2xex3xlim的值等于____________ 答（）x01cosx lim2(1cos2x)x0 xA.2 B.2 C.不存在.D.0答：（）px2qx5设f(x)，其中p、q为常数．x5问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim． 求极限lim． x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)20(x1)2试确定A、B、C之值． ax3bx2cxd已知f(x)，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．2xx1 xx2试确定常数a，b，c，d之值．已知limx1(ab)xb3x1x34，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？为什么？ (x)＂若lim(x)0，则limxx0xx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：limx1 2x1． 用无穷大定义证明：limlnx． x1x0用无穷大定义证明：limtanx 用无穷大定义证明：limx20x101． x1 ＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limxxf(x)A＂的：0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件 答（）若limxxf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．0xx0证明：limf(x)xx)b的充分必要条件是 0g(x limf(x)bg(x)xx0．0g(x)1用数列极限的定义证明：liman0 用数列极限的定义证明：limann，(其中0a1)．n1用数列极限的定义证明：limn(n2)152lim1cos(sinx)2ln(1x)的值等于___________ n2n2． x02(cosx)sinx求极限lim1x0x3之值．(0a1)． 设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：limxx0xx0 f(x)A． x2n1x求f(x)lim2n的表达式 xn与ynxnyn是否也必发散？若数列同发散，试问数列 nx1 2nx2n1(其中a、b为常数，0a2)，设f(x)lim(1)求f(x)的表达式；x2n1sinxcos(abx)(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1应用等阶无穷小性质，求极限limx015x13xarctan(1x)arctan(1x)． ． 求极限lim2x0xx2x1n求极限lim(14x)(16x)(1ax)1． 求极限lim(n为自然数)．a0． x0x0xx(52x)x2． x3x3131213求极限lim 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，f(x)f(x)(x)a1，limA，xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明：limA．xx0g(x)且lim 设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e(x)e(x)~(x)(x)． 若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：吗？为什么？ (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 sinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 lim 答（）1limxsin之值xx(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答（）已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1(其中A、B、C、D是非0常数)则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答（）xn1设limx0及lima存在，试证明：a1． 设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1x)nnnxnn242n21x2x3(a21)xax33x23x2求lim(sincos)计算极限lim(a0)计算极限lim xxax2xxx2a2x2x22exexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nnan满足an0及lim设有数列nan1r(0r1)，试证明liman0． nannan满足an0且limnanr，设有数列(0r1)，试按极限定义证明：liman0． n设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 1试问：当x0时，(x)x2sin，是不是无穷小？ x设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x0的某去心邻域，使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x)． ln(13x2)11计算极限lim． 设f(x)xsin，试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x 设数列的通项为xn则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量n1(1)nn2，n(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)lim(011x)xe(B)xlim(011x)xe1x(C)lim(11)xe1(D)lim(11)xxxxx0 答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limnxn． eax1设f(x)x，当x0，且limxf(x)Ab，当x00则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（1cosax设f(x)x2，当x0，且limf(x)b，当x0x0A则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数Aa2(B)a，b可取任意实数Aa22(C)a可取任意实数bAa2(D)a可取任意实数bAa22 答（））设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)x1　适合limf(x)Ax1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数 答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a 当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数 答（）设(x)(1ax)213 ex2ex求lim． 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。x3ex4ex2x2axsin设lim()8，则a____________． lim(13x)x____________． xx0xa 当x0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x2(C)1x21x2(D)exex2 答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)(B)1x21(C)tanxsinx(D)eexx2 答（）计算极限limx011x2excosxxxnn122 lim3x5sin4_____________________ x5x32x计算极限limx13n(x1)(x1)(x1)xxn计算极限 lim n1x1(x1)x1x计算极限 lim(cosx0 讨论极限limarctanx)．x11的存在性。研究极限limarccot1的存在性。x0xx1x22x3研究极限lim． xx1 当x0时，下列变量中，为无穷大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx11________________。lnx1n设an0，且liman0，试判定下述结论“存在一正整数N，使当nN时，恒有an1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出极限liman存在的nn结论。an1an满足an0；设有数列r，0r1，试证明liman0 nan设limxx0f(x)存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？xx0xx0g(x)f(x)A0，则是否必有limg(x)0．xx0g(x)若limf(x)0，limxx0xx0 当x0时，下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1 答（）设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明limxx0g(x)0．f(x)若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0f(x)A，g(x)则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。nlimeee1n2nn1ne(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(12n12(n1))____．n x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设f(x)1sin，试判断：xx(1)f(x)在(0，1)，内是否有界;(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大.设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.答（）x3ax2x4设limA，则必有x1x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.答（）x21当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;1x1的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答（）设当x0，(x)(1ax)2321和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。3x22求a，b使lim(axb)1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a，b之值。xx1x设x11，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn． n计算极限lim(xxxx)计算极限limx0x1xsinxcos2x xtanx计算极限limx04tanx4sinx22cosax研究极限lim(a0)的存在性。x0xetanxesinx2n xn收敛，并求极限limxn．设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． n2 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn．n2 设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且limanlimbnnnbnnanbn，(n1，2，)试证明：2 ecosxe计算极限 limxxx计算极限lim 2xx0xnxxx 计算极限lim(1212)x xxxnn若limxnyn0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，znxnyn，zn是否也必是无界数列。试判定：31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1 如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。极限lim(cosx)xx02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）12 exex极限lim的值为（）x0x(1x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）极限lim1cos3x的值为（）x0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列极限中不正确的是 xtan3x32A．lim；　B．lim；x0sin2xx1x122 x21arctanxC．lim2；D．lim0．x1sin(x1)xx 答（）cos ln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 极限lim(cosx)x0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）1212 当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量1－x是无穷小量x1的12xA．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量； C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量． 答（）当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn等价，其中m，n为常数，则数组（m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1kx)x0xe，则k的值为1A．1；　B．1；　C．；　D．2． 2 答（）1极限lim(1)2的值为x2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e1414x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1)2xe2；　B．lim(1)2xe2；xxxx 11C．lim(1)x2e2；D．lim(1)x1e2．xxxx 答（）1极限lim(12x)xx0A．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x1x4xx1)的值为（）A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 答（）2x1极限lim2x1x2x1的值是A．1；　B．e；　C．e12；　D．e2． 答（）下列极限中存在的是A．limx2111xx；　B．limx01e1；C．limxsin；　xxx 答（）极限limtanxsinxx0x3的值为A．0；B．1b　C．12　D．． 答（）极限limsinxxxA．1；　B．0；　C．1；　D．． 答（）已知limacosxx0xsinx12，则a的值为A．0；　B．1；　C．2；　D．1． 答（）已知limsinkxx0x(x2)3，则k的值为A．3；　B．32；　C．6；　D．6． 答（）D．lim1x02x1 x21设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为xx1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）4x23设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）极限limx26x8x2x28x12的值为A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列极限计算正确的是A．limx2nxn1x2n1；　B．xlimsinxxsinx1；C．limxsinxx0x30；　D．lim(n112n)ne2． 答（）极限lim(x3x2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 答（）数列极限lim(nn2nn)的值为A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim3xcx1x11，则C的值为A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2ax6x11x5，则a的值为A．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（）ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limf(x)x0xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，x0设f(x)xx1，则 ，x01e1xA．limx0f(x)0；B．xlim0f(x)xlim0f(x)；C．xlim0f(x)存在，xlim0f(x)不存在； D．xlim0f(x)不存在，xlim0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limx3，x0x0f(x)存在，则k的值为 A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim(x1xx3)4；B．xlim0e0；1C．limsin(x1)x0(12)x0；D．limx1x0． 答（）若limf(x)x0xk0，limg(x)x0xk1c0(k0)． 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；C．f(x)为g(x)的同阶无穷小； D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x3的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn必收敛；命题“a”，若数列xn单调且有下界，则命题“b”，若数列xn、yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则xn必收敛 数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)g(x)必不存在；xx0xx0xx0xx0命题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx0xx0xx0xx0f(x)0；g(x)命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。答（）若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)xx9xx0xx0A．必为无穷大量;B．必为无穷小量;C．必为非零常数;D．极限值不能确定 ．设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则 n 答（）anA．，bn必都收敛，且极限相等;anB．，bn必都收敛，但极限未必相等;an收敛，而bn发散;C．an和bn可能都发散，也可能都D．收敛． 答（）下列叙述不正确的是 A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是 A．无穷大量的倒数是无穷小量；B．无穷小量的倒数是无穷大量；C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答（）若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的是 A．limf(x)g(x);B．limf(x)g(x)0;xx0xx0xx0xx0C．limxx0f(x)c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0g(x)答（）设函数f(x)xcos1，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； B．无界，但非无穷大量； C．无穷小量； D．无穷大量． 答（）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 xx0A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量;C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷小量 ． 答（）设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量;D．无穷小量． 答（）f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条件． 答（）

篇3：高等数学之极限存在准则及其应用

一、准备知识

(一) 数列极限的定义

定义:自变量取正整数的函数称为数列, 记作:

此时也称数列收敛, 否则称数列发散。

(二) 收敛数列的性质

1) 收敛数列的极限唯一;2) 收敛数列一定有界;3) 收敛数列的保号性, 若 且a>0 (<0) , 则埚N∈N+, 当n>N时, 有xn>0 (<0) ;4) 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限。

二、极限存在准则

单调有界数列必有极限。

三、极限存在准则的应用

证明此数列极限存在。

证:xn姨姨显然单调递增, 且

(一) 斐波那契数列

斐波那契是意大利商人兼数学家。他在著作《算盘书》中, 首先引入阿拉伯数字, 将十进位值记数法介绍给欧洲人认识, 对欧洲的数学发展有深远的影响。在1202年, 斐波那契在他的著作中, 提出以下的一个问题:假设一对初生兔子要一个月才到成熟期, 而一对成熟兔子每月会生一对兔子, 那么, 由一对初生兔子开始, 12个月后会有多少对兔子呢?斐波那契数列, 令n=1, 2, 3…依次写出数列, 就是:

这就是斐波那契数列, 其中的任一个数, 都叫做斐波那契数。

用Fn表示第n个月的兔子的对数, 则有如下递推公式:

与斐波那契数列密切相关的一个重要极限是:

下面我们先来说明2) 式的含义并证明。

用数学归纳法容易证明:数列b姨2n-1姨是单调增加的;数列b2n姨姨是单调减少的。又对一切n, 1≤bn≤2成立, 即数列姨b2n-1姨b2n姨姨是有界的。根据“单调有界数列必有极限”的准则, 知数列b姨2n-1姨b2n姨姨的极限存在, 即 。

(二) 黄金分割 (Golden Section)

点C把线段A B分成两条线段A C和B C, 如果 , 那么称线段A B被点C黄金分割, 点C叫做线段A B的黄金分割点, A C与A B的比叫做黄金比。

那么, 黄金分割与斐波那契数列有何关系呢?原来, 黄金分割点的位置恰好是数列 的极限: 。

(三) 斐波那契数列的应用

1) 大自然中的斐波那契数列。花瓣的数目:

2) 音乐中的斐波那契数列。

(四) 黄金分割的应用

1. 叶子中的黄金分割

主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618。

2. 建筑中的黄金分割

这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。

黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用。

参考文献

篇4：高等数学极限复习题

关键词：高等数学；极限数学；解题方式；内涵；探讨

中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）15-325-02

数学中极限理论主要是从产生一直到成熟的整个过程需要经历很长一段时间的发展，这是第二次出现数学危机当中所兴起的一种高效的科学的计算方式，它融合和升华了当前数学学习人的解题方式和解题经验，极限理论成为了高数解题中非常重要的解题思想和理论。国外在关于数学极限解题教学思想方面主要是使用的四元素的教学方式。四元素教学思想就是指对每一个数学的理念 都可以运用图像、图形、符号以及语言表达这四种形式来呈现给学生，通过这种方式来让学生可以通过四种不同类型的角度来对数学的概念进行直观的理解和掌握。

一、高等数学教学中极限理念教学的概念和内涵

高数中的极限理论是生成与微积分在实际运用过程中所表现出来的弊端而提出的完善理念，我们也可以说极限理念是微积分理论的一种衍生物，他不不但扩增了微积分教学和积分教学的运用范围，而且在很大程度上提升了数学科学的质量，高数中的极限理论体系的健全和完善的微积分教学以及对微积分的使用为高数数学教学打下了非常坚实的理论基础。

高等数学中对课题的分析与研究是离不开对极限理念的运用和解题方式的使用，甚至在所有的数学分析与实际解题过程中，对基础性的理念都和极限理念有着不可分割的关系。在很多的数学编著当中，也经常将极限理念以及数学函数的理论当成最基本的思想方式，并且运用极限理念来对实际的数学问题进行解决，这也成为了当前高等数学中对数学问题的分析和初等数学问题分析的最大区别。

高数中极限理念可以应用在常规性的数学解题思想无法解答的数学问题上，比如瞬时的速度、曲线的长度以及曲面的面积等，使用极限解题的思维方式在变量与常量之间建立起一种有效的联系，在有限和无限之间形成一种一对一的联系，从无限的角度上来分析常量和变量相互间的关系，这种方式同样也是矛盾分析法在数学教学问题分析中的应用。极限理论不但在当前数学教学中得到了非常广泛的运用，同时对物理学的教学和研究同样也起到了非常重要的引导性作用，这个极限理念本身的思维方式的普遍性有着非常大的关系。

二、高等数学中运用极限理念解题的思路和方式

当前高等数学教学中所采用的极限理念解题的方式通常包含了以下几种方式：

1、破敛性解题方式

在对数学实际问题进行解答的过程中，首先需要判断在对这个问题在求解过程中的难易程度，在运用极限方式下不能直接进行解答的前提下，需要对求解的极限的变量进行对应的调整，依照解题的实需要来进行成倍的放大或者是成倍的减小，在放大减小之后所产生的变量通常对求解的过程是非常重要的，并且其原有的极限值与自变量的极限值通常是一样的，也就是说运用破敛型的解题方式可以具体的求出极限的值。

2、运用洛必达法则解答

洛必达法则往往是应用在于类型出现不定式的数学问题的求解当中。洛必达法则在实际的运用法则中还是比较灵活的，运用变形之后的法则也可以取得非常明显的求解效果，这种方式主要是被应用在极限求解的类型当中，对洛必达法则的使用需要注意问题是需要先对数学题目进行验证和判断是否满足对洛必达法则的使用，也就是需要先明确极限的具体类型，在题目符合洛必达法则之后方可对其进行应用。

3、等价无穷小变量方法

在高等数学的学习过程中，等价无穷小变量相对来讲还是比较常见的一种，在实际的使用起来还是比较方便和实用的，良好的灵活性在对其进行应用的同时也同样需要判断他是否满足实际使用的需要，通常只有在极限式的解答过程当中，出现相乘或者相除的因式的时候，可以用等价无穷小的变量来进行替代和解答，并且在求解的过程中不能对相加和相减的部分实施替代。

比如：在求解 的时候，当 时，因为 的类型为 ，所以当分子和分母同时除以x?的时候，分子的极限值就是2，但是分母的极限为0，不能使用四则元算法则，但是依照无穷大和无穷小的相互关系可以具体的推导出，函数的倒数的极限也是0，由此可以看出函数的极限是无限大，当想x的值趋向无穷大的时候，sin x的的值就会表现出一种循环变化的状态，也不能使用运算法则。但是当x的值趋向无穷大的时候，x的倒数就趋向无穷小，此时sin x就属于一个有界的函数。 可以依照有界函数和无穷小量的乘积是一个无穷小这个量的原则，可以具体的推导出函数的极限值就是0。

四则运算法则。在进行求解的过程中，在求解的过程中首先需要判断该题目是否满足四则元算法则，高等数学中会有很多类型的题目，在表面上是不会给出所有的满足条件，但是可以创造必要的条件，这也是数学解题过程中的一个非常重要的解题方式。

篇5：高等数学极限复习题

1.直接用-说法证明下列各极限等式:(1)limxaxa(a0);(2)limxa;(3)limee;(4)limcosxcosa.xaxaxa22xa证(1)0,要使||xa|xa||x-a|xa,由于|x-a|xa|x-a|ax,a|,故lim只需,|xa|a.取a,则当|xa|时,|xa.axa(2)0,不妨设|xa|1.要使|x2a2||xa||xa|,由于|xa||xa||2a|1|2a|,只需(1|2a|)|xa|,|xa|当1|2a|.取min{1|2a|,1},则|xa|时,|x2a2|,故limx2a2.xa(3)0,设xa.要使|exea|ea(exa1),即0(exa1)ea,1exa1ea,0xalnmin{1,1},则当0xa时,|exeaa,取|e|2a|,1故limexea.类似证limexea.故limexea.xaxaxa(4)0,要使|cosxcosa|2sinxaa2sinxa22sinxa2sinx2|xa|,取,则当|xa|时,|cosxcosa|,故limcosxcosa.xa2.设limf(x)l,证明存在a的一个空心邻域(a,a)(a,a),使得函数uf(x)在xa该邻域内使有界函数.证对于1,存在0,使得当 0|x-a|时,|f(x)l|1,从而|f(x)||f(x)ll||f(x)l||l|1|l|M.3.求下列极限:2(1)lim(1x)21lim2xxlim(1x1.x02xx02xx02)22sin2x(2)lim1cosx21sinx1x0x2limx0x22lim2121.x0x222(3)limxaaxxlim1(a0).x0x0x(xaa)2a(4)limx2x2x12x22x323.x2(5)limx22x02x22x33.1

201030(6)lim(2x3)(2x2)x(2x1)3022301.(7)lim1x1xlim2x1.x0xx0x(1x1x)(8)lim13x2x13x2x2x1x1x31limx1(x1)(x2x1)limx1(x1)(x2x1)lim(x1)(x2)(x2)3x1(x1)(x2x1)limx1(x2x1)31.(9)lim12x3lim(12x3)(x2)(12x3)x4x2x4(x2)(x2)(12x3)lim(2x8)(x2)24x4(x4)(12x3)643.n(n1)2nlimxn1n(10)1ny2yyx1lim(1y)x1y0ylimn.y0y(11)limx21x21lim20.xxx21x21mm1(12)lima0xa1xamamx0bnn10xbb(bn0)1xnb.n1a0/b0,mn(13)lima0xma1xmamxbnbn1b(ab000)0, nm0x1xn, mn.x4818/x4(14)limx111/x21.x2limx313x3(15)lim12xx0xx2(32213x333lim12x)(13x13x312x312x)x0xx2)(3213x313x312x32(12x)lim5xx0x(1x)(3213x3213x312x312x)

lim5225x0(1x)(313x313x312x312x)3.(16)a0,limxaxalimxa1xa0x2a2xa0x2a2xalim(xa)(xa)1xa0xaxa(xa)xa2

lim(xa)1xa0xaxa(xa)xa

篇6：高等数学极限复习题

1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x),x

limP(x),存在A,B,AB,P(A)0,P(B)0,P在[A,B]连续,根据连续函数

x的中间值定理,存在x0(A,B),使得P(x0)0.2.设01,证明对于任意一个y0R,方程y0xsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)xsinx,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f在[|y0|1,|y0|1]连续,由中间值定理,存在x0[|y0|1,|y0|1],f(x0)y0.设x2x1,f(x2)f(x1)x2x1(sinx2sinx1)x2x1|x2x1|0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2(a,b),m10,m20,证明存在(a,b)使得f()

m1f(x1)m2f(x2)

m1m2

.证如果f(x1)f(x2),取x1即可.设f(x1)f(x2),则f(x1)

m1f(x1)m2f(x1)

m1m2



m1f(x1)m2f(x2)

m1m2



m1f(x2)m2f(x2)

m1m2