高等数学第一章函数与极限教案

2024-06-23

高等数学第一章函数与极限教案（精选8篇）

篇1：高等数学第一章函数与极限教案

高等数学教案

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业：同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

作业：见课后各章节练习。

篇2：高等数学第一章函数与极限教案

高等数学

教学备课系统

与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用

教师姓名：________________________

教学班级：________________________

2004年9月1至2005年1月10

高等数学教学备课系统

第一章

函数、极限与连续

第一节函数概念

1、内容分布图示

★ 集合的概念

★ 集合的运算

★ 区间

★ 例

1★ 邻域

★ 例2

★ 常量与变量

★ 函数概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函数举例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函数关系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函数特性

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-1

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1解下列不等式,并将其解用区间表示.(1)|2x1|3;(2)|3x2|3;(3)0(x1)29.讲解注意：

例2将点12的邻域表示为不带绝对值的不等式.33

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例3函数y2.讲解注意：

例4绝对值函数y|x|x,x0x,x0

讲解注意：

例5下面是几个常见的表格.(1)2002年2月21日国务院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1时间年利率(%)3个月6个月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)国民生产总值统计表《中国统计年鉴((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生产总值(亿元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

讲解注意：

例6下面是几个常见的图形.(1)两位患者的心电图.见图1.1.1.图1.1.1(2)19952000年天津市人才市场状况图《天津年鉴((2001)》).见图1.1.2.高等数学教学备课系统

人数(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995达成意向人次进场人次***92000年份图1.1.2

讲解注意：

例7下面是几个常见的公式.(1)自由落体运动的距离公式:12gt,g为常数2(2)成本函数(costfunctiong):C(x)C0C1(x),其中C0为S固定成本;C1(x)为可变成本;x为生产量.讲解注意：

例8判断下面函数是否相同,并说明理由,画图表示.(1)yx2与y|x|;(2)y1与ysin2xcos2x(3)y2x1与x2y1.讲解注意：

例9求函数y 讲解注意：

121x x2的定义域.例10设f(x)讲解注意：

1,0x12,1x2,求函数f(x3)的定义域.高等数学教学备课系统

例11求函数f(x)讲解注意：

lg(3x)sinx54xx2的定义域.例12把一半径为R的圆形铁片,自中心处剪去圆心角为的扇形后,围成一无底圆锥,试将圆锥的体积V表为的函数.讲解注意：

例13某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.讲解注意：

例14某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分每公里为数关系.讲解注意：

例15证明(1)函数y(2)函数yxx21在(,)上是有界的;4k元.求运价m和里程s之间的函5

1在(0,1)上是无界的.x2

讲解注意：

例16证明函数y讲解注意：

x在(1,)内是单调增加的函数.1x

高等数学教学备课系统

例17判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)ex1ex1ln1x1x1x1;(2)f(x)(23)x(23)x;(3)f(x)lg(x1x2);(4)f(x)(x2x)sinx.讲解注意：

例18设f(x)满足af(x)bf|a||b|,证明f(x)是奇函数.c,其中a,b,c为常数,且(1)xx

讲解注意：

1,xQ7,求D,D(1例19设D(x)50,xQ()2).并讨论D(D(x))的性质.讲解注意：

例20若f(x)对其定义域上的一切x,恒有f(x)f(2ax),则称f(x)对称于xa.证明:若f(x)对称于xa及xb(ab),则f(x)是以T2(ba)为周期的周期函数.讲解注意：

高等数学教学备课系统

第二节初等函数

1、内容分布图示

★ 反函数

★ 例★ 例2 ★ 复合函数

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 幂函数、指数函数与对数函数

★ 三角函数

★ 反三角函数

★ 初等函数

★ 函数图形的迭加与变换

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-2

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求函数y1114x14x的反函数.讲解注意：

例2已知1,x0sgnx0,x0,sgnx为符号函数,1,x0求y(1x2)sgnx的反函数.讲解注意：

高等数学教学备课系统

例3将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)ylnsin2x;(2)yearctanx2;(3)ycos2ln(21x2).讲解注意：

例4设f(x)x1,(x)x2,求f[(x)]及[f(x)],并求它们的定义域.讲解注意：

例5设求f[(x)].f(x)exx,x1,x1,x2,(x)2x1,x0x0，讲解注意：

例6设fx讲解注意：

(11x22,求f(x).xx)

例7设f(x)ln(3x)的定义域(a0).149x2,求g(x)f(xa)f(xa)

讲解注意：

高等数学教学备课系统

第三节经济学中的常用函数

1、内容分布图示

★ 单利与复利

★ 例1

★ 多次付息

★ 贴现

★ 例2 ★ 需求函数

★ 供给函数

★ 市场均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函数

★ 例5

★ 收入函数与利润函数

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-3

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问：(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?

讲解注意：

例2某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例3某种商品的供给函数和需求函数分别为qd25P10,qs2005P求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.讲解注意：

例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.讲解注意：

例5某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的日固定成本为150元,生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日总成本函数及平均成本函数.讲解注意：

例6某工厂生产某产品年产量为q台,每台售价500元,当年产量超过800台时,超过部分只能按9折出售.这样可多售出200台,如果再多生产.本年就销售不出去了.试写出本年的收益(入)函数.讲解注意：

例7已知某厂生产单位产品时,可变成本为15元,每天的固定成本为2000元,如这种产品出厂价为20元,求(1)利润函数;(2)若不亏本,该厂每天至少生产多少单位这种产品.讲解注意：

例8某电器厂生产一种新产品,在定价时不单是根据生产成本而定,还要请各销售单位来出价,即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为x900P45000.该厂生产该产品的固定成本是270000元,而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润,出厂价格应为多少?

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例9已知某商品的成本函数与收入函数分别是C123xx2R11x试求该商品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况.讲解注意：

高等数学教学备课系统

第四节数列的极限

1、内容分布图示

★ 极限概念的引入

★ 数列的意义 ★ 数列的极限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收敛数列的有界性

★ 极限的唯一性

★ 例7

★ 收敛数列的保号性

★ 子数列的收敛性

★ 内容小结

★习题1-4

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明limn(1)n1n1.n

讲解注意：

例2证明limqn0,其中q1.n

讲解注意：

例3用数列极限定义证明52n2.n13n3lim

讲解注意：

高等数学教学备课系统

n221.例4用数列极限定义证明lim2nnn1

讲解注意：

例5设xn0,且limxna0,求证limnnxna.讲解注意：

例6证明:若limxnA,则存在正整数N,当nN时,不等式n|xn||A|2成立.讲解注意：

例7证明数列xn(1)n1是发散的.讲解注意：

高等数学教学备课系统

第五节函数的极限

1、内容分布图示

★ 自变量趋向无穷大时函数的极限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自变量趋向有限值时函数的极限

★ 例★ 例5

★ 左右极限

★ 例6

★ 例7 ★ 函数极限的性质

★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-5

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明lim讲解注意：

sinx0.xx

例2用函数极限的X定义证明limxx21.x1

讲解注意：

例3(1)lim12xx0;(2)lim2x0.x

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例4证明limx212.x1x1

讲解注意：

例5证明:当x00时,lim讲解注意：

xx0xx0.例6设f(x)讲解注意：

例7验证lim1x,x01,x0x2,求limf(x).x0

x0x不存在.x

讲解注意：

高等数学教学备课系统

第六节无穷大与无穷小

1、内容分布图示

★ 无穷小

★ 无穷小与函数极限的关系

★ 例1 ★ 无穷小的运算性质

★ 例2 ★ 无穷大

★ 无穷大与无界变量

★ 无穷小与无穷大的关系

★ 例3

★ 内容小结

★习题1-6

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

1例1根据定义证明:yx2sinx当x0时为无穷小.讲解注意：

例2求lim讲解注意：

xsinx.x

x4.例3求lim3xx5讲解注意：

高等数学教学备课系统

第七节极限运算法则

1、内容分布图示

★ 极限运算法则

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则

★ 例 12

★ 例 13

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-7

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求x31xlim2x23x5.讲解注意：

例2求lim4x1x22x3.x1

讲解注意：

例3求limx21.x1x22x3

讲解注意：

★ 例 14

高等数学教学备课系统

例4求lim讲解注意：

2x33x257x34x21x.例5求lim讲解注意：

x12n222nnn

例6计算下列极限:x1lim(1x)(1x)(1x)(1x)334.讲解注意：

例7计算下列极限:12lim.x11x21x

讲解注意：

例8计算下列极限:3xlim8x36x25x1.3x2

讲解注意：

例9计算下列极限:xlim(sinx1sinx).讲解注意：

例10求lim(x2xx2x).x8

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例11计算下列极限:3(1)limnn2sinn!;n1(2)x0limtanx12ex.讲解注意：

例12已知x1,f(x)x23x1,x31xx0x0求limf(x),limf(x),limf(x).x0x

讲解注意：

例13求极限limlnx1[x21.2(x1)]

讲解注意：

例14已知lim(5xax2bxc)2,求a,b之值.x

讲解注意：

高等数学教学备课系统

第八节极限存在准则

两个重要极限

1、内容分布图示

★夹逼准则★例1★例2★单调有界准则★例4★limsinx1x0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim(11x)e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西极限存在准则★连续复制★内容小结★课堂练习★习题1-8★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlim1n211n221n2n

讲解注意：

例2计算下列极限:(1)lim(1nn23n1)n;(2)1nlimn21(n1)21(nn)2

讲解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

高等数学教学备课系统

例3证明下列极限:n0(a1);nanan(2)lim0(a0);nn!n!(3)limn0.nn(1)lim

讲解注意：

例4证明数列xn333(n重根式)的极限存在.讲解注意：

例5设a0为常数,数列xn由下式定义:xn1axn1xn12n

(n1,2,)其中x0为大于零的常数,求limxn.讲解注意：

例6求lim讲解注意：

tan3x.x0sin5x

例7求lim讲解注意：

x01cosx.x2

例8下列运算过程是否正确:xlimxtanxtanxxtanxlimlimlim1.sinxxxsinxxxxsinx

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例9计算lim讲解注意：

cosxcos3x.2x0x

例10计算lim讲解注意：

x21xsinxcosxx0.例11计算lim讲解注意：

x02tanx2sinx.x3

1例12求lim1xx讲解注意：

().x

例13计算下列极限:limx01x(12x);

讲解注意：

例14求lim1n(1n)n3.讲解注意：

例15求lim讲解注意：

x(x2x21)x.例16计算limxx0cosx.高等数学教学备课系统

讲解注意：

例17计算lim(ex0x1xx).讲解注意：

tan2x.例18求极限lim(tanx)x4

讲解注意：

高等数学教学备课系统

第九节无穷小的比较

1、内容分布图示

★ 无穷小的比较

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等价无穷小

★ 等价无穷小替换定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-9 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.讲解注意：

例2当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.讲解注意：

例3当x1时,试将下列各量与无穷小量x1进行比较:(1)x33x2;(2)lgx;(3)(x1)sin1.x1

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例4求limx0tan2x.sin5x

讲解注意：

例5求limtanxsinx.sin32xx0

讲解注意：

(1x2)1/31.例6求limx0cosx1

讲解注意：

例7计算lim1tanx1tanx12x1.x0

讲解注意：

exexcosx.例8计算limx0xln(1x2)讲解注意：

例9计算lim讲解注意：

x021cosx.sin2x

例10求lim讲解注意：

x0ln(1xx2)ln(1xx2).secxcosx

例11求limx0tan5xcosx1.sin3x

高等数学教学备课系统

讲解注意：

高等数学教学备课系统

第十节函数的连续性与间断点

1、内容分布图示

★ 函数的连续性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右连续

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 连续函数与连续区间

★ 例6

★ 函数的间断点

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-10

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

xsin1,x0,x例1试证函数f(x)在x0处连续.x0,0，讲解注意：

例2f(x)是定义于[a,b]上的单调增加函数,x0(a,b),若xx0limf(x)存在,证明f(x)在x0连续.讲解注意：

x2,x0,()fx3例讨论在x0处的连续性.x2,x0，高等数学教学备课系统

讲解注意：

1x,x02x0在x0和x1处的连例4讨论函数f(x)0,1x2,0x1x14x,续性.讲解注意：

x4axb,x1,x2,例5设f(x)(x1)(x2)为使f(x)在x1x1,2,处连续,a与b应如何取值?

讲解注意：

例6证明函数ysinx在区间(,)内连续.讲解注意：

例7讨论函数f(x)x,x0,1x,x0,在x0处的连续性.讲解注意：

例8讨论函数2x,0x1f(x)1,x1x11x,在x1处的连续性.讲解注意：

1,x0,x例9讨论函数f(x)在x0处的连续性.,0,xx

讲解注意：

高等数学教学备课系统

例10求下列函数的间断点,并判断其类型.若为可去间断点,试补充或修改定义后使其为连续点.x2x|x|(x21),f(x)0,x1及0x1

讲解注意：

xsin1,x0,x例11研究f(x)在x0的连续性.ex,x0,

讲解注意：

xx2enx例12讨论f(x)lim的连续性.n1enx

讲解注意：

高等数学教学备课系统

第十一节连续函数的运算与性质

1、内容分布图示

★ 连续函数的算术运算

★ 复合函数的连续性

★ 例1★ 初等函数的连续性

★ 例

3★ 例★ 例4

闭区间上连续函数的性质 ★ 最大最小值定理与有界性定理

★ 零点定理与介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 内容小结

★ 课堂练习★习题1-11 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlimcos(x1x).讲解注意：

例2求limln(1x)x0x.讲解注意：

例3求limx1sinex1.讲解注意：

★ 例8

高等数学教学备课系统

例4求lim(x2ex01xx1).讲解注意：

例5证明方程x34x210在区间(0,1)内至少有一个根.讲解注意：

例6证明方程内的两个实根.1110有分别包含于(1,2),(2,3)x1x2x3

讲解注意：

例7设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b证明:(a,b),使得f().讲解注意：

篇3：高等数学第一章函数与极限教案

关键词：高等数学,复变函数,类比,对比

《复变函数》是自然科学与工程技术中常用的数学工具, 它是微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法, 又是空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科进行几何定性研究的重要方法。在培养学生的知识结构体系、解决问题的实际能力、具备良好的思维品质、具备创新精神等方面起着至关重要的作用。因此, 学好《复变函数》课程对于在校大学生和科学技术工作者是十分重要的, 教学质量的高低、教学效果的好坏直接影响到学生对这门课程以及后续课程的学习。

作为高校的一门基础理论课程, 《高等数学》占据着无与伦比的重要地位, 它所蕴含的数学理念和数学方法深深影响着后续数学类课程和其他专业课程的学习, 尤其对于与实变函数有着密切联系的复变函数而言更是如此。《复变函数》是《高等数学》的后续课程, 是在实变函数的基础上延伸出来的一门课程, 它们的联系是很紧密的, 复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广, 所以它的许多概念和性质与《高等数学》中所学习的内容既有相同之处也有不同之处, 它们的区别就在于前者是研究复数域上的函数, 尤其是解析函数的性态, 后者是研究实数域上的函数性态, 这样我们在学习《复变函数》课程中就需要对比着《高等数学》的课程内容来进行学习了。由于《高等数学》中涉及到的新的概念比较多, 许多学生对于这些概念没有具体化的认识, 比如极限的ε-δ概念、定积分的概念等, 我们需要的也不仅仅是学生了解这个概念就行了, 而是要让学生应该能够完全理解这些概念的本质, 了解其所蕴含的本质含义, 进而能够抓住其精髓, 从而进一步地把实变函数的概念、性质等推广到复变函数上来, 抓住其本质后就能够具体地了解哪些性质是与实变函数相同的, 不需要再重新掌握;而哪些性质并不是其本质性质, 需要重新给定义一下。

而在进行《高等数学》教学过程中, 有同学问到很多类似的问题, 这些问题用高等数学知识是没有办法解释的, 也举不出有效又简单的实例, 但是如果用《复变函数》的结果去解释, 学生就很容易接受了, 所以我们是否可以认为, 在大学时期的《高等数学》教学中可以把《复变函数》穿插在《高等数学》教学中去讲授呢?尤其是针对一些采取了《高等数学》分级教学的学校, 对于那些对数学要求较高的院系, 一般是在大学一年级学习一年《高等数学》, 在大学二年级开设《复变函数》, 但是讲解《复变函数》的时候, 学生的《高等数学》知识都忘得差不多了, 有近一小半的课堂时间是在给学生复习《高等数学》的知识, 这样就大大降低了课时的利用率, 那么应该如何把《高等数学》的教学内容与《复变函数》内容更有效地结合起来就成了现在需要解决的问题。下面从几个方面简单说明一下把《高等数学》的教学内容与《复变函数》内容结合起来讲授的必要性。

一、基本初等函数

对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这五类基本初等函数而言, 学生在初等数学中的接触是比较多的, 而在《高等数学》中也是用的比较多的, 所以在大学一年级刚开始讲解《高等数学》时, 一般都会再给学生复习一下这些函数的一些相关公式和性质, 尤其是现在初等数学中已经把余切函数、正割函数、余割函数以及反三角函数的部分内容给删除了, 所以会重新给学生补充这部分的内容。而在讲解《复变函数》的时候, 我们可以再一遍地重新定义这五类基本初等函数, 讲解了他们的基本性质, 如果能够对照着讲解, 其实讲一遍就可以了, 然后说明当《复变函数》里面的f (z) 中的z限制在实数范围内时, 其实就是《高等数学》中所讲解的基本初等函数了, 然后把在实数范围内和复数范围内所具备的不同性质做一个对比, 比如指数函数的周期性、三角函数的有界性等在实变函数和复变函数中的不同的性质专门强调一下, 通过类比和对比, 相信学生能够更快、更好地掌握这些基本初等函数的性质。

二、多元函数极限

在讲解《复变函数》中的极限定义的时候, 很容易能够发现其实这个定义和二元函数极限的定义本质上是完全相同的, 而且通过证明我们发现, 要讨论一个复变函数w=f (z) 的极限和连续性就需要讨论两个二元函数u=u (x, y) 和v=v (x, y) 的极限和连续性, 所以如果在讲解《高等数学》二元函数极限定义的时候教师可以提一句。《复变函数》这一部分函数的极限完全可以用十分钟的时间展示给学生, 再给出几道相关的例子, 用实际例子来展示其共性, 因此根本就不需要在大学二年级开设《复变函数》课程的时候再单独讲解这部分内容, 同时讲之前还需要再给学生复习一下多元函数的极限这部分内容。这一部分完全可以合并到一起作为一个知识点。

三、导数

虽然从形式和求导公式、求导法则上复变函数w=f (z) 和一元函数y=f (x) 完全相同, 但是由于极限的要求不同, 在复变函数w=f (z) 的导数定义中，的方式是任意的, 而在一元函数y=f (x) 的定义中, Δx→0的方式要简单的多, 所以说, 复变函数在一点可导的条件下更为严格, 从而复变函数的导数具有不少特殊的性质。而Δz→0的方式是任意的, 我们在这里可以理解为类似于二元函数的极限中 (x, y) → (x0, y0) 的方式是任意的, 而在前面我们有了多元函数极限定义之后再来解释复变函数w=f (z) 的导数定义就更容易解释了。在导数定义的基础上复变函数还给出了解析函数的定义, 解析函数的性质要比可导函数的性质更实用、更广泛。比如说:解析函数的导数仍然解析。这条性质对于《高等数学》中函数的导数简直是不可思议的一个结论, 因为可导函数的导数连续我们都不能保证, 更不要提可导函数的导数这个概念了。而且在《高等数学》中, 有很多函数也是具备解析这个性质的, 那么在对比《复变函数》中的一点可导和在《高等数学》中的一点可导的性质的时候就要区分是在实数域中讨论还是在复数域中讨论, 从而提醒学生在搞科学研究与实际结合的时候要注意其使用区域。同时在《复变函数》中有了有关解析函数的相关结论, 对于一个解析函数我们就可以无限求导下去, 而且后面设计到的泰勒级数的展开条件就可以忽略不计了, 不需要像在《高等数学》中的泰勒级数展开的时候一样再强调要求函数具有无限阶的导数才能写出其泰勒级数了。

四、级数

说到《高等数学》内容与《复变函数》内容之间的联系就不能不提到级数这一部分, 其实《复变函数》中的级数尤其是泰勒级数是实变函数级数内容的直接延伸, 而洛朗级数就是实变函数级数内容的一个拓展和推广。我们应该在讲解过《高等数学》中的泰勒级数这部分后就趁热打铁地直接推广到《复变函数》中的泰勒级数, 而只有站在洛朗级数这个高度上面才能更完美地解释实变函数中级数的一些性质。比如学生问函数的级数展开式, 为什么当|x|≥1的时候是不成立的, 但是当学完《复变函数》中的洛朗级数就会知道1其实是的一个奇点, 而我们在《高等数学》泰勒级数这部分给出的中, 其收敛域为 (-1, 1) , 即:只有当|x|<1时此才是收敛的, 因此通过奇点的理论就可以完美的解释此现象了。而类似的现象在实变函数和复变函数中是很多的, 所以应该是在有了《实变函数》中的级数的基础上再学习《复变函数》中的级数理论;而有了《复变函数》中的级数的理论, 反过来再用之解释《实变函数》中的现象就很好理解了。

总而言之, 从上面几方面我们就可以看出《高等数学》所讲述的内容与《复变函数》的内容是密不可分的, 在很多方面尤其是定义, 如极限的定义、导数的定义、积分的定义、级数的定义等方面它们完全都是一类的, 而把它们作为两门课程单独分开讲授的话既浪费了课堂教学时间, 又很难让学生有一个更直接的类比和对比的感受。而像这样的内容在这两类课程中重合的地方非常多, 所以如果能够整理出一个内容更紧凑的教材, 把《高等数学》与《复变函数》这些主要内容放在一起讲解的话, 对学生的学习会产生更好、更直观的类比和对比效果, 并省去了很多的重复时间, 增加了课堂时间的利用率, 更好地提高了学生的学习效率。

参考文献

[1]西安交通大学数学教研组.复变函数[M].第四版.北京:高等教育出版社, 1996.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京:高等教育出版社, 2007.

[3]张芳, 王峰.复变函数与高等数学的一些类比[J].重庆科技学院学报 (自然科学版) , 2013, 15 (4) :163-164.

[4]孙清华, 孙昊.复变函数疑难分析与解题方法[M].第2版.武汉:华中科技大学出版社, 2010.

篇4：高等数学第一章函数与极限教案

关键词：高等数学；极限数学；解题方式；内涵；探讨

中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）15-325-02

数学中极限理论主要是从产生一直到成熟的整个过程需要经历很长一段时间的发展，这是第二次出现数学危机当中所兴起的一种高效的科学的计算方式，它融合和升华了当前数学学习人的解题方式和解题经验，极限理论成为了高数解题中非常重要的解题思想和理论。国外在关于数学极限解题教学思想方面主要是使用的四元素的教学方式。四元素教学思想就是指对每一个数学的理念都可以运用图像、图形、符号以及语言表达这四种形式来呈现给学生，通过这种方式来让学生可以通过四种不同类型的角度来对数学的概念进行直观的理解和掌握。

一、高等数学教学中极限理念教学的概念和内涵

高数中的极限理论是生成与微积分在实际运用过程中所表现出来的弊端而提出的完善理念，我们也可以说极限理念是微积分理论的一种衍生物，他不不但扩增了微积分教学和积分教学的运用范围，而且在很大程度上提升了数学科学的质量，高数中的极限理论体系的健全和完善的微积分教学以及对微积分的使用为高数数学教学打下了非常坚实的理论基础。

高等数学中对课题的分析与研究是离不开对极限理念的运用和解题方式的使用，甚至在所有的数学分析与实际解题过程中，对基础性的理念都和极限理念有着不可分割的关系。在很多的数学编著当中，也经常将极限理念以及数学函数的理论当成最基本的思想方式，并且运用极限理念来对实际的数学问题进行解决，这也成为了当前高等数学中对数学问题的分析和初等数学问题分析的最大区别。

高数中极限理念可以应用在常规性的数学解题思想无法解答的数学问题上，比如瞬时的速度、曲线的长度以及曲面的面积等，使用极限解题的思维方式在变量与常量之间建立起一种有效的联系，在有限和无限之间形成一种一对一的联系，从无限的角度上来分析常量和变量相互间的关系，这种方式同样也是矛盾分析法在数学教学问题分析中的应用。极限理论不但在当前数学教学中得到了非常广泛的运用，同时对物理学的教学和研究同样也起到了非常重要的引导性作用，这个极限理念本身的思维方式的普遍性有着非常大的关系。

二、高等数学中运用极限理念解题的思路和方式

当前高等数学教学中所采用的极限理念解题的方式通常包含了以下几种方式：

1、破敛性解题方式

在对数学实际问题进行解答的过程中，首先需要判断在对这个问题在求解过程中的难易程度，在运用极限方式下不能直接进行解答的前提下，需要对求解的极限的变量进行对应的调整，依照解题的实需要来进行成倍的放大或者是成倍的减小，在放大减小之后所产生的变量通常对求解的过程是非常重要的，并且其原有的极限值与自变量的极限值通常是一样的，也就是说运用破敛型的解题方式可以具体的求出极限的值。

2、运用洛必达法则解答

洛必达法则往往是应用在于类型出现不定式的数学问题的求解当中。洛必达法则在实际的运用法则中还是比较灵活的，运用变形之后的法则也可以取得非常明显的求解效果，这种方式主要是被应用在极限求解的类型当中，对洛必达法则的使用需要注意问题是需要先对数学题目进行验证和判断是否满足对洛必达法则的使用，也就是需要先明确极限的具体类型，在题目符合洛必达法则之后方可对其进行应用。

3、等价无穷小变量方法

在高等数学的学习过程中，等价无穷小变量相对来讲还是比较常见的一种，在实际的使用起来还是比较方便和实用的，良好的灵活性在对其进行应用的同时也同样需要判断他是否满足实际使用的需要，通常只有在极限式的解答过程当中，出现相乘或者相除的因式的时候，可以用等价无穷小的变量来进行替代和解答，并且在求解的过程中不能对相加和相减的部分实施替代。

比如：在求解的时候，当时，因为的类型为，所以当分子和分母同时除以x?的时候，分子的极限值就是2，但是分母的极限为0，不能使用四则元算法则，但是依照无穷大和无穷小的相互关系可以具体的推导出，函数的倒数的极限也是0，由此可以看出函数的极限是无限大，当想x的值趋向无穷大的时候，sin x的的值就会表现出一种循环变化的状态，也不能使用运算法则。但是当x的值趋向无穷大的时候，x的倒数就趋向无穷小，此时sin x就属于一个有界的函数。可以依照有界函数和无穷小量的乘积是一个无穷小这个量的原则，可以具体的推导出函数的极限值就是0。

四则运算法则。在进行求解的过程中，在求解的过程中首先需要判断该题目是否满足四则元算法则，高等数学中会有很多类型的题目，在表面上是不会给出所有的满足条件，但是可以创造必要的条件，这也是数学解题过程中的一个非常重要的解题方式。

篇5：高等数学第一章函数与极限教案

习题1.5 1.试用说法证明(1)1x在x0连续(2)sin5x在任意一点xa连续.证(1)0,要使|x,|x|221x210|2x22.由于22x22x,只需221x11x110|,故1x在x0连续.5(xa)2|.,取,则当|x|时有|1x5x5a2||sin(2)(1)0,要使|sin5xsin5a|2|cos由于2|cos取5x5a2||sin5(xa)2|5|xa|,只需5|xa|,|xa|5,5,则当|xa|时有|sin5xsin5a|,故sin5x在任意一点xa连续.2.设yf(x)在x0处连续且f(x0)0,证明存在0使得当|xx0|时f(x)0.证由于f(x)在x0处连续,对于f(x0)/2,存在存在0使得当|xx0|时f(x)f(x0)|f(x0)/2, 于是f(x)f(x0)f(x0)/2f(x0)/20.3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证任取 x0(a,b),f在x0连续.任给0,存在0使得当|xx0|时|f(x)f(x0)|,此时||f(x)||f(x0)|||f(x)f(x0)|,故|f|在x0连续.其逆命题1,x是有理数不真,例如f(x)处处不连续,但是|f(x)|1处处连续.1,x是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 2ln(1x), x1,1x,x0,(1)f(x)(2)f(x)aarccosx,x1.ax x0;解(1)limf(x)limx0x0x1x11x21f(0),limf(x)f(0)a1.x0x1x1(2)limf(x)limln(1x)ln2f(1),limf(x)limaarccosxaf(1)ln2,aln2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:(1)limcosx1xx22xcoslimx1xxxcos01.(2)limxx2x.sin2xsin3x2sin2x(3)limex0sin3xelimx0e3.arctanlimx(4)limarctanxx8x124x8x124arctan14.1(5)limx(x13|x|x122x2)|x|2x2xx02lim(xx122x2)|x|limxxx03lim22x11/x12/xg(x)32.6.设limf(x)a0,limg(x)b,证明lim)f(x)xx0lim[(lnf(x))g(x)]a.a.bb证lim)f(x)xx0g(x)lim)exx0(lnf(x))g(x)exx0eblna7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)f(x)cos(x[x]),间断点nZ,第一类间断点.(2)f(x)sgn(sinx),间断点n,nZ,第一类间断点.x,x1,(3)f(x)间断点x1,第一类间断点.1/2,x1.x1,0x1(4)f(x)间断点x1,第二类间断点.,1x2,sinx11,0x1,2x(5)f(x)x,1x2,间断点x2,第一类间断点.1,2x3.1x22

8.设yf(x)在R上是连续函数,而yg(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x)f(x)g(x)及(x)f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x)f(x)g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,g(x)(f(x)g(x))f(x)将在x0点连续,矛盾.而(x)f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x)0,g(x)D(x).

篇6：第一章函数与极限

电信1003班  函数

1.定义域与定义区间的关系。

2.映射的种类及存在条件。

3.求函数定义域的基本原则（7条）。

4.几种特殊的函数类型(绝对值函数、符号函数、取整函数)。

5.基本初等函数、初等函数、简单函数的对比。分段函数不一定

是初等函数哦。

6.复合函数的分解及原则。

7.双曲函数、反双曲函数的函数式、图像、及性质。

 函数的极限

1.两种极限的定义、比较以及符号语言。

2.极限的性质：唯一性、有界性、局部保号性，函数极限与数列

极限的关系以及对它们的证明。

3.函数极限的证明方法及语言的表述，左右极限的求法及意义。

4.无穷小及无穷大的定义，两个定理及证明。

5.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、K阶无穷小，常见等价无

穷小及应用。

6.极限的运算法则:6个定理4个推论。

7.函数的连续性与间断点。连续的定义及符号语言，连续的条件，单侧连续的求法，证明判断某点连续的方法，间断点的定义、种类及判断分类原则。

8.闭区间上函数的性质：有界性、最值定理、零点定理、介值定

理及推论。

9.有关复合函数的性质及运算。

10.函数的三种渐近线及求法。（P76）

11.函数符号和极限符号的对换。

 数列的极限

1.定义及理解（8个字）

2.性质：唯一性、有界性、保号性。

3.数列发散与收敛的判断及证明。

4.数列极限与函数极限的关系，以及数列极限的证明（几个定

理）。

 极限存在准则及两个重要极限

1.夹逼准则（适当的放缩）。

2.单调有界准则：判断极限存在与否。

3.两个重要极限的证明、特征、变形及应用。

 课后习题推荐

P22-13P31-4,5P38-7,8P42-6,7P49-4,5P56-4P60-4P65-4,5,6P70-4.6,5P74-1,2,3,4,5,6P75-9.5,9.6P76-14

篇7：高等数学第一章函数与极限教案

考研高数第一章函数、极限与连续知识点

考研数学备战在即，基础阶段广大学子应该对考研数学的`基本概念、基本理论、基本方法进行重点把握，为了方便大家更好的复习，考研教育网编辑团队现将20考研数学第一章重要知识点整理如下，为大家考研数学的复习助力!

篇8：高等数学教案Word版第一章1

1.1 映射与函数

Ⅱ 教学目的与要求：

1.理解集合、区间、邻域等基本概念，掌握集合的运算及构造法

2.理解函数的概念；明确函数定义有两个要素；依赖关系、定义域；掌握函数表达式的运用

3.了解函数的基本性质；知道判定诸性质的思路 4.掌握将复合函数由外及里分解为简单函数的方法 Ⅲ 教学重点与难点

重点：理解集合、邻域的概念难点：函数的性质 Ⅳ 讲授内容

一.集合

1．集合概念

集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称：元）

注：本课程中所有说的集合必须具有明确的界定，即对任何一个对象都可以按标准判断其是否属于所说的“总体”

介绍子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的运算

集合的基本运算有以下几种：并、交、差、直积介绍全集（基本集）与余集（补集）的概念 3.区间和邻域

设＞0，点X0的领域是指满足XX0的一切实数X的集合。X0称为改邻域的中心，成为该邻域的半径

二.映射

1.定义：设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:XY、其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x),即yf（x），而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像

注：映射是指两个集合之间的一种对应关系。判断两集合之间的对应关系是否构成一个映射，关键是抓住两个要点：第一，对于第一个集合中的每一个元素，按照规则能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素；第二，对于第一个集合中的每一个元素，第二个集合与之对应的元素是不是唯一的 2.逆映射

定义：设fX到Y的单射，则由定义，对每个yRf，有唯一的xX,适合f（x）y。于是，我们可定义一个从Rf到X的新映射g，即x，这x满足f（x）y。这个映g：RfX，对每个yRf，规定g（y）射g称为f的逆映射，记作f2．复合映射：

定义：设有两个映射g:XY1,f:Y2Z，其中Y1Y2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xX映成fg（x）Z。显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg,即fg：XZ，（fg）（x），xX fg（x）三.函数

1.函数的概念

定义：设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 yf（x），xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即DfD

函数定义中，对每个xD，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x出的函数值，记作f（x），即yf（x）。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值yf（x）的全体所构成的集合称为函数 f的值域，记作Rf或f（D)，即 Rff(D)yyf(x),xD

注：函数的概念中涉及五个因素：（1）自变量（2）定义域（3）应变量（4）对应规律（5）值域；在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量的对应规律，这两者常称为函数的二要素

介绍单值函数与多值函数的概念

例.判断下列各对函数是否相同

（1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2

1,其定义域Df1Rf，值域Rf1X

解：（2）中的f（x）与g（x)相同，（3）中的f（x）与g（x)相同例.求下列函数的定义域

（1）f(x)x134x1 2x5x6x(2)f(x)log2log4log7

(3)f(x)1x21 x解：（1）Dfxx2且x3

（2）Dfxx7

（3）Dfxx0且x2 2.函数的几种特性

（1）函数的有界性（2）函数的单调性(3)函数的奇偶性

定义：教材P12P13 例：判断f(x)lnx21x的奇偶性