高中数学求值域的方法

高中数学求值域的方法（通用13篇）

篇1：高中数学求值域的方法

1高中数学必修方法

函数作为高中数学的重点知识之一，常常成为不少同学困扰的焦点。那么高中数学函数的值域该怎么求呢?下面分享几点高中数学必修一求值域方法。

在高中函数定义中，是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。 一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。

2三角函数

多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

3函数值域

换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)

反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

注重数形结合的思想，解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。

4一次函数

象限:y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、三象限;

当b<0时，直线必通过二、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

画法:一次函数的图象为直线,由于两点确定一条直线,所以只要过直线上的两个点作直线就是该一次函数的图象了。

答:作出一次函数y=2x-6的图象。

当X=0时,y=2_0-6=-6;

当Y=0时,0=2x-6,x=3。

所以,过点(0,-6)和(3,0)作直线即为y=2x-6的直线。

篇2：高中数学求值域的方法

(1)当f(x)是整式时，定义域为R;?

(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合;?

(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合;

(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围;?

(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合;?

(6)正切函数的定义域是{ };余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z};?

(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.

2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.

题型示例 点津归纳

【例1】 求下列函数的定义域:

(1)y= ;

(2)y= ;?

(3)y= ;?

(4)y=log(tanx).

【解前点津】 使整个解析式有意义的x取值集合即为所求.

【规范解答】 (1)由 .

(2)令1-2sinx≥0，则sinx≤ 利用单位圆可求得定义域为[2kπ- π，2kπ+ ]，k∈Z.

(3)由 知x是第一象限角或角x的终边在x轴正向或y轴正向上，故其定义域为

[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

(4)由tanx>0知x是一、三象限角，故为:(kπ+ ，kπ+π)，k∈Z.?

【解后归纳】 求函数定义域常常要解不等式(或不等式组)，理解并掌握集合的“交”“并”运算是一项基本功.含三角式的不等式求解，要么利用单位圆，要么利用函数的图像及周期性.

【例2】 当a取何实数时，函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?

【解前点津】 可转化为:确定a值，使关于x的不等式-x2+ax+2>0的解集为(-1，2).

【规范解答】 -x2+ax+2>0 x2-ax-2<0，故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.

【解后归纳】 解一元二次不等式，常联系一元二次方程的根或二次函数的图像.

【例3】 已知函数f(2x)的定义域是[-1，2]，求f(log2x)的定义域.

【解前点津】 在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.

【规范解答】 ∵-1≤x≤2，∴ ≤2x≤4故 ≤log2x≤4即

log2 ≤log2x≤log216 ≤x≤16.

篇3：求函数值域的常用方法

一、直接观察法

例如等可以通过直接观察, 它们的值域分别为{y|y≠0}, {y|y≤0}

二、图像法

例1已知函数f (x) =x2-2x+3

(1) 求函数f (x) 的值域 (2) x∈[-1, 0]求值域

(3) x∈[3, 4]求值域 (4) x∈[0, 3]求值域

评注:因同学们对二次函数的图像比较熟悉, 所以该类函数应用图像法求值域, 先分析对称轴在区间内还是在区间外则可根据单调性直接代入端点求值域, 若对称轴在区间内, 则在对称轴处取得最小值, 再看哪个端点离对称轴远, 在离对称轴远的端点处取最大值。

三、单调性法

例2求函数的值域

可知函数为增函数, 可先求定义域{x|x≥1}因此值域为{y|y≥2}.

四、换元法

例3求函数的值域

分析:此函数单调性不明确, 因此本题可用换元法将该题转化为二次函数求值域。

评注:换元法为求值域问题的常用方法, 有时可将复杂的问题简单化或将我们不熟悉的类型转化为熟悉的类型, 但在换元时应注意变元的取值范围, 即x与t之间应是等价代换。

五、分离常数法

六、反函数法

若上题中x∈[0, +∞]求f (x) 的值域则为第6种方法:反函数法。

评注:对于这种类型的函数, 其求值域的方法有两种, 第一种叫分离常数法, 即将函数分解成一个常数和一个只在分母含x的式子之和, 一般用于f (x) 的自然定义域内求值域, 第二种, “反解x法”即去分母, 反解出x, 根据x的范围, 确定y的取值范围。常用于定义域不是自然定义域的函数值域的求解问题。

七、判别式法

评注:对型的且不可约的函数解析式, 常去分母化为关于x的一元二次方程, 使该方程有解故Δ≥0, 据此求出函数的值域为“判别式”法, 使用判别式求值域, 首先应验证二次项系数为0的情况。但此类问题有一种特殊情况, 在做题时应注意。

摘要：函数的值域及其求法是近几年高考考察的重点内容之一。求函数值域是重点, 也是一个难点, 很多同学对求值域的问题找不到下手点, 本文归纳了函数值域的几种常见类型和常用的方法。

篇4：求函数值域的几种常用方法

求函數值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

一、配方法

例1求函数y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函数 的值域为【 ，

二、判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式 得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2求 的值域

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当 y 时，

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

三、非负数法

当函数的解析式中出现绝对值，偶次方幂，算数根和指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3. 求函数 的值域

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为

四、分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4.求函数 的值域

解：

因为

所以

故该函数的值域为[

五、换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5. 求函数 的值域

解：令

所以 （当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为

六、函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6.求函数 的值域

解：设

因为

当 时，t有最小值

又因为 是增函数

所以当

故原函数的值域为

七、反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。

例7. 求函数 的值域

解：求得 的反函数为 ，

其定义域为

故所求函数的值域为

八、数形结合法

例8.求函数 的值域

解：原函数化为

将此函数化为分段函数的形式

通过图像可知

故所求函数的值域为

篇5：求函数值域的方法总结

解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)

篇6：求函数的值域的常见方法

王远征

深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2． 求函数y1

x5的值域。2x1x分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。由y1

x5x2，得：x21因为20，所以y404y1，1y

值域为：y|4y1

三、函数的单调性

例3．求函数yx1在区间x0,上的值域。x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x

2x2，所以：x1x20,x1x20，当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

在区间x0,上的值域为[2,)。x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，又f

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

ytt821t28t21t45，9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt1

2当t0时，tmax102201 所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，2cos，因为2x5022cos201cos1，[0,]，则2x5=2sin，于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，4444



2

sin1，所以：52y7。24

五、配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

xbfxc，2xx23的值域。

(x1)24，于是：

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x

4例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6，分析与解答：由y配方得：yx2xxx14

1x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

当

六、判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x

3例10．求函数y的值域。

2xx

113

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

y2x2y2xy30（1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

所以2y

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x

2x230x646

4x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

2x2

x2

6464,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464)2x2()16，x2x2

64,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12．如例4求函数yxx的值域。

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy，22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2。

九．利用函数的有界性：形如sinf(y),x2g(y),sin1,x20可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x1

例．求函数yx的值域

21

[解析]：函数的有界性

2x1y1由yx得2x

y121

220,

y1

篇7：求函数的值域常见类型

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法 像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2． 设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

篇8：求函数值域与最值的常用方法

求函数的值域与最值没有通性通法, 只能根据函数解析式的结构特征来选择相应的方法求解.因此, 对函数解析式结构特征的分析是十分重要的.下面将常见函数解析式的结构模型与对应求解方法加以归纳.

一、二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 及二次型函数 y=a[f (x) ]2+b[f (x) ]+c (a≠0) 可用配方法.

例1 求函数 y=sin2x+4cosx+1的值域.

解:y=-cos2x+4cosx+2

=- (cosx-2) 2+6.

因为-1≤cosx≤1,

所以当 cosx=-1时, ymin=-3;

当 cosx=1时, ymax=5.

所以值域是[-3, 5].

二、形如$y=\frac{a{}_{1}x{}^2+b{}_{1}x+c{}_1}{a{}_{2}x{}^2+b{}_{2}x+c{}_2}$ (其中 a1, a2不全为0, 且定义域为R) 的函数可选用判别式法.

(注:分子、分母不能约分时适用.若分子、分母能约分, 则参看类型五.)

例2 求函数$y=\frac{x{}^2-x+3}{x{}^2-x+1}$的值域.

解:因为 x∈R, 所以由$y=\frac{x{}^2-x+3}{x{}^2-x+1}$得

(y-1) x2+ (1-y) x+ (y-3) =0.

当 y=1时, 此等式不成立.

故 y≠1, 所以

Δ= (1-y) 2-4 (y-1) (y-3) ≥0,

解得$1\le y\le \frac{11}{3}.$

所以函数值域为$(1‚\frac{11}{3}].$

三、形如$y=ax+b+\sqrt{cx+d}(a‚b‚c‚d$为常数, ac≠0) 的函数, 当ac>0时, 可用单调性法;当ac<0时, 可用换元法.

例3 求函数$y=2x-5+\sqrt{15-4x}$的值域.

解:令$t=\sqrt{15-4x}$, 则$x=\frac{15-t{}^2}{4}$, 且 t≥0.所以

$y=\frac{15-t{}^2}{2}-5+t=-\frac{1}{2}(t-1){}^2+3.$

由 t≥0, 得值域是 (-∞, 3].

四、形如$y=ax+b-\sqrt{cx+d}(a‚b‚c‚d$为常数, ac≠0) 的函数, 当ac>0时, 可用换元法;当ac<0时, 可用单调性法.

例4 求函数$y=2x-\sqrt{1-x}$的值域.

解:因为$y{}_1=2x‚y{}_2=-\sqrt{1-x}$均为 (-∞, 1]上的增函数, 所以$y=y{}_1+y{}_2=2x-\sqrt{1-x}$为 (-∞, 1]上的增函数.

所以$y\le 2\times 1-\sqrt{1-1}=2.$

故该函数的值域为 (-∞, 2].

五、形如$y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0)$的函数, 可用逆求法.

例5 求函数的值域:

$(1)y=\frac{1-x}{2x+5}$;$(2)y=\frac{2{}^x-1}{2{}^x+1}.$

解: (1) 由$y=\frac{1-x}{2x+5}$得$x=\frac{1-5y}{2y+1}.$

因为 2y+1≠0,

所以函数值域为$\{y\in \mathbf{R}|y\ne -\frac{1}{2}\}.$

(2) 由$y=\frac{2{}^x-1}{2{}^x+1}$解得$2{}^x=\frac{1+y}{1-y}.$

因为 2x>0, 则$\frac{1+y}{1-y}＞0.$

从而可得值域是{y|-1<y<1}.

六、形如$y=x+\frac{k}{x}(k＞0)$的函数可用均值定理法.

例6 求函数$y=\frac{3x}{x{}^2+x+1}(x＜0)$的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{知}y=\frac{3x}{x{}^2+x+1}\\ =\frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}(x＜0).\end{array}$

又$x+\frac{1}{x}\le -2\Rightarrow x+\frac{1}{x}+1\le -1\Rightarrow -3\le \frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}＜0.$

故函数的值域为[-3, 0) .

七、对于分段函数或含绝对值符号的函数可用数形结合法.

例7 求函数 y=|x+1|+|x+4|的值域.

解:|x+1|+|x+4|表示数轴上的点到表示数-1, -4的点的距离之和.而此距离之和的最小值为3, 故函数的值域为[3, +∞) .

八、定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值.

其解题程序为第一步求出极值;第二步求出端点值;第三步比较极值与端点值的大小.

例8 求函数 f (x) =x3-3x2+1, x∈[-2, 3]的值域.

解:由 f (x) =x3-3x2+1求导, 并令

f ′ (x) =3x2-6x=3x (x-2) =0,

得极值点 x=0, x=2.

当 x∈ (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 时, f ′ (x) >0;当 x∈ (0, 2) 时, f ′ (x) <0.

故 f (x) 在 x=0处取得极大值1, 在 x=2处取得极小值-3.

又 f (-2) =-19, f (3) =1,

所以函数的值域为[-19, 1].

四川省内江市第二中学

篇9：三角函数求值域方法汇总

一、配方法

∴f（x）≥4，即f（x）的最小值是4。

评注：本题的关键是将函数表达式转化为和“二次型”函数相关的形式，然后再利用二次函数的性质解决问题。

二、化为一个函数名的三角函数

评注：观察解析式的结构特征，统一角、次数，应用和差角公式将表达式化为一个函数名的三角函数，然后再利用三角函数的性质解决问题。

三、换元法

例3 已知y=sinxcosx+sinx+cosx（x∈R），求函数y的最大值。

评注：利用“平方法”将sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之间的关系连通起来，使之能互相转化，从而换元将函数表达式转化为“二次型”函数。

四、数形结合法

例4 求函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的值域。

解：f（x）=3sinx，x∈[0，π]，-sinx，x∈[π，2π]，

由图分析，得f（x）的值域为[0，3]。

评注：去掉绝对值符号，将函数用基本函数表示出来，从而观察出所求函数的各种性质。

篇10：高中数学求值域的方法

1. 形如y = asinx + bcosx

此类题型引入辅助角转化为 ,其中tanφ =b/a.

例1函数 在区间 [0,π]上的最小值是______ .

2. 形如y =(a + sinx)/(b + cosx)

此类题型先转化为sinx -ycosx = yb - a,再依据上面题型引入辅助角进行解答.

例2求y =(2 - sinx)/(2 - cosx)的最大值和最小值.

二、利用换元法

形如sinx +cosx,sinxcosx,此类题型解决方法: 令sinx +cosx = t,t∈

三、利用基本不等式( 当 a,b >0 时,,a +b≥2（ab）1/2）

求三角函数的最值与值域的主要方法有: 1. 利用单调性与有界性;2. 利用换元法; 3. 利用基本不等式等. 其关键是转化为只含一角的某一种三角函数,然后利用此三角函数的值域,求得所求函数的最值. 其中,使用换元法时( 如例3) ,特别要注意新元的范围. 另外,对于基本不等式的应用时不能忽略其使用条件.

摘要：三角函数的最值是三角函数性质的一部分,是历年各省市高考热点问题之一.由于三角函数本身的有界性和单调性比较特殊,并且三角函数还能与函数、不等式联系起来,使三角函数的最值与值域的求法变得更为复杂.本文通过举例列举了三角函数最值与值域的几种常用求法.

篇11：高中数学求值域的方法

关键词：初等数学   数列求和   特殊数列

高考中数列求和的题目占据了一定的比例，尤其是特殊数列的前n项求和问题经常令学生感到困惑。目前中高考当中的数列求和问题已受到了教师和教研组的充分重视。文章参考了一些关于数列问题的研究成果，针对特殊数列前n项和的求法，试图用初等数学方法进行计算，希望为教师和学生在日后的学习和工作中提供有益的参考。

一、初等数学中的数列概述

在初等数学中，数列求和问题是多种数学问题的契合点，与方程式、函数、不等式等有着密切的联系。数列部分的内容涉及到很多方面，如整体代入、归纳类比、分类计算等方法和思想。在现实生活中，如分期付款、人口增长的统计以及物品的摆放等问题几乎都会涉及到数列。数列在数学运算中属一种特殊的函数，经过初等数学的运算，可以为日后高等数学的学习打下基础。

在初等数学中，数列求和问题是其中的重要运算内容，教师可基于传统的数学教法，对求和的方式进行分类和归纳总结。等比数列中的前n项求和公式蕴含着很多分类方法，本文主要围绕等比数列和等差数列的基本公式，针对特殊数列前n项和的解题思路，导出相应的公式。但是在运算过程中还需要注意很多问题，比如在使用分解法时要进行项数抵消，哪些项应被消除，哪些项应被保留;项数被消除之后，所剩下的项数中，正数项和负数项的数量一定是相同的。所以在计算过程中一定要注意，不可以将项数漏写。

二、用初等数学方法求特殊数列前n项和的几种解题思路

（一）待定系数法

首先是一道例题，求数列的和。

下面是解题思路：

要想求得这个数列的和，用教材当中的等差數列和等比数列公式显然无法得出。公式中，分母的次数明显大于分子的次数，所以可将将其转为部分公式：

设，即。进行对应项系数的比较可知：{，求得：A=1，B=-1。把n=1，2，3……，n代入通项当中，可得出：。

通过分析各项的特点可知，前项分式的后式以及后项分式中的前式是相反数，这样公式的规律就可以看出来了，所以： 。

通过这种解法，求得特殊数列前n项和的思路大致为：首先求得数列通项的分式，然后使n=1，2，3……，将n代入到通项当中，得出各项的分式，最后数列前n项的和就可以得出来了。

（二）拆项法

拆项法是指将数列中的每一项分成两项的差，分开之后的相邻两项就会消去，这样分开计算，结果就只留下了首尾两项，从而简化算式得出最终结果。下面举例说明：求此数列的和，

。

以下为解题思路：

当数列通项能够分成两项差的模式时，就可以使用拆分法，求得前n项的和。如果数列通项有如下特征，也可以通过拆分法进行运算求得前n项的和。

如通项，其中，的等差数列中的公差是d，那么就可以拆分成两项之差。由此可知，利用拆项等式的方法可以将数列当中的每一项都拆分成两项之差的形式，然后正负项彼此消除，就会很容易求得前n项的和。

（三）降次法

在对自然数的n次幂和公式进行推导的过程当中会用到降次法，也即是通过对自然数（n+1）次幂公式的利用对自然数的n次幂进行推导。

下面举例说明：

求证。下面是证明思路：取n=1，2，3，4……，n，将此等式的两边进行相加可以得出：

以上就是降次法的解题思路。这种方法能够将问题转化为等差和等比数列或者已知数列，从而求得数列之和。

综上所述，在高中阶段用初等数学方法求特殊数列的前n项和是每个高中生应该具备的能力，同时也是灵活解题的重要手段之一。在既有的研究成果中，对于特殊数列前n项和的求解方法并没有形成完善的研究体系，解决方法也过于笼统，高中生往往无法有效掌握求解手段，这在很大程度上降低了高中生的学习兴趣及学习效果。为此，本文针对特殊数列前n项和的求法，列出了几种解题思路，将问题转化为了最终的等差数列和等比数列求和问题的运算，促使特殊数列前n项和的运算得到了切实解决。

参考文献：

[1]白晓洁.新课程标准下高中数学数列问题的研究[D].开封：河南师范大学，2013.

[2]沈建梅.高中数列教与学的实践与研究[D].扬州：扬州大学，2013.

篇12：高中数学求值域的方法

一、化为复合型代数函数, 利用三角函数有界性求值域

例1求下列函数的值域:

解析 (1) 原函数可看成由外函数y=log2t, 内函数复合而成.

∴-1≤y≤1, ∴函数的值域为[-1, 1].

(2) 由题意1+sinx≠0,

∴原函数可看成由外函数内函数t=sinx复合而成.

又∵-1

-4, 1 (]2.

(3) 原函数可化为:y=sinxcosx-2 (sinx+cosx) +4.令

∴原函数可看成由外函数内函数t=sinx+cosx复合而成,

∴原函数的值域为

(4) 原函数可化为故可看成由外函数内函数复合而成, 其中内函数又可转化正弦函数与对偶函数的复合型函数.

∴原函数的值域为 (0, 1/2].

二、将原函数收成一个三角函数式, 如y=Asin (ωx+φ) +B, 再利用三角函数性质求其值域

例2 (1) y=1+sinxcosx.

(2)

(3) y=sin2x+2sinxcosx+3 cos2x.

(4)

解析 (1) 逆用二倍角公式, 原函数可化为根据三角函数有界性, 得原函数值域为

(2) 利用辅助角公式, 原函数可化为.

又∵根据三角函数单调性可知原函数值域为[1, 2].

(3) 先逆用二倍角公式, 再利用辅助角公式, 原函数可化为:可得

(4) 由利用辅助角公式可得:

这里

根据三角函数有界性知|sin (x+φ) |≤1,

通过解关于y一元二次不等式得原函数的值域为

上述两种解决三角函数值域 (最值) 问题的方案都用到了一些基本的数学思想, 如化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想等, 如果能恰当使用这些思想方法, 将会大力加强学生对基本概念内涵与外延的理解, 提升对数学通性通法的掌握和运用, 从而提高学生的基本能力和一般能力.下面针对这几种思想方法, 我们再看几个值域问题的特殊解决方案.

三、巧用函数与方程的转化思想

例3求函数的最大值、最小值.

解析将问题转化为一元二次方程在闭区间有解的充要条件:

原函数解析式可化为sin2x+ (4-y) sinx+3-2y=0.

令t=sinx, t≤1, 则原问题转化为关于t的一元二次方程t2+ (4-y) t+3-2y=0在区间[-1, 1]有解, 求参数y的问题, 设f (t) =t2+ (4-y) t+3-2y, 故有f (-1) ·f (1) ≤0.解得0≤y≤8/3.故原函数值域为[0, 8/3].

四、巧用建立函数模型, 数形结合思想

例4求函数的最大值、最小值.

解析由于函数属于分式函数, 且同时出现一次的正、余弦函数, 故联想到线性规划知识, 原函数解析式可变为原问题转化为过点 (3, 2) 作单位圆的切线, 求切线斜率的最值问题:设切线方程为y-2=k (x-3) , 即kx-y+3k+2=0.

设圆心到切线的距离为d, 则

解得

故原函数值域为

篇13：反比例型函数求值域的应对策略

关键词：反比例函数;值域;反解法

中图分类号：G632                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-251-02

高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

                 

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

【解】设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。