高中数学概率解题技巧

高中数学概率解题技巧（共9篇）

篇1：高中数学概率解题技巧

高考数学概率题解题技巧

高中数学的高考概率解答题是高考的六道大题之一，也是难点之一.由于其题型变化多端，故很多学生经常容易混杂，甚至束手无策.本文旨在通过题型分析，形成一套完整的体系构架，从而使学生胸有成竹，对概率题答题有个更全面的认识和掌握.

解高考概率问题，首先要分清问题涉及到的概率类型，如等可能型，互斥型，相互独立型，还有几何概型，每种类型都有相应的处理方法。

平时做题的时候广泛使用表格法，使有关内容、解题方法和技巧一目了然;从浩瀚的题海中归纳、总结出的题型解法，对解题具有很大的指导作用;用系列分析对教材的重点、难点进行诠释，对掌握这方面知识起到事半功倍的效果.

(1)在具体情境中，了解高中数学随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义。(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

高考数学统计题

(1)随机抽样

①能从现实生活或其他中提出具有一定价值的统计问题。②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

(2)用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

(3)变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

高考数学算法的含义、程序框图题

(1)①通过对高中数学解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会高中数学概率题算法的思想，了解算法的含义。②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

篇2：高中数学概率解题技巧

SAT数学难度对于中国考生来说并不是很大，但SAT数学概率题是在SAT数学考试中相对来说比较难的一项，同学们还是比较担心的。下面为大家整理了SAT数学概率题常用解题技巧。希望能够帮助大家更好的备考SAT数学考试。

SAT数学概率题常用解题技巧：

(1)In the integer 3589 the digits are all different and increase from left to right.How many integers between 4000 and 5000 have digits that are all different and that increased from left to right?

比较题目：(2)In the integer 3589 the digits are all different and increase from left to right.How many integers between 30000 and 50000 have digits that are all different and that increased from left to right?

(3)If p, r, m are three different prime numbers greater than 2, and n=p*r* m, how many positive factors, including 1 and n, does n have?

比较题目：(4)If p, r, m, n, t and s are six different prime numbers greater than 2, and n=p*r*s*m*n*t, how many positive factors, including 1 and n, does n have?

(5)If someone throws a dice twice, on the first time he gets a points, and on the second he gets b points, what is the probability a/b>1?

比较题目：(6)If someone throws a dice twice, what is the probability that the point he gets on one throw is bigger than the other?

(7)Mr.Jones must choose 4 of the following 5 flavors of jellybean: apple, berry, coconut, kumquat, and lemon, How many different combinations of flavors can Mr.Jones choose?

篇3：高中数学概率解题技巧

例题1. (2007年山东高考理科题) 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数 (重根按一个计) 。

(Ⅰ) 求方程x2+bx+c=0有实根的概率;

(Ⅱ) 求ξ的分布列和数学期望;

(Ⅲ) 求在先后两次出现的点数中有5的条件下, 方程x2+bx+c=0有实根的概率。

解: (Ⅰ) 由题意知:设基本事件空间为Ω, 记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件, “方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”为事件B, “方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C,

则Ω={ (b, c) |b, c=1, 2, ……, 6},

A={ (b, c) |b2-4c<0, b, c=1, 2, ……, 6},

B={ (b, c) |b2-4c<0, b, c=1, 2, ……, 6},

C={ (b, c) |b2-4c<0, b, c=1, 2, ……, 6},

所以Ω中的基本事件总数为36个, A中的基本事件总数为17个, B中的基本事件总数为个, C中的基本事件总数为17个。

又因为B, C是互斥事件, 故所求概率P=P (B) +B (C) =。

(Ⅱ) 由题意, ξ的可能取值为0, 1, 2,

则P{ξ=0}=, P{ξ=1}=, P{ξ=2}=,

故ξ的分布列为:

所以ξ的数学期望Eξ=。

(Ⅲ) 记“先后两次出现的点数有中5”为事件D, “方程有实数x2+bx+c=0”为事件E, 由上面分析得:P (D) =, P (D∩E) =,

∴P (E|D) =。

点评:本题将二次方程嵌入概率问题中, 使问题情景生动而新颖, 自然而贴切, 不仅考查了学生的古典概率、条件概率、数学期望等知识, 而且考查了学生运用所学数学知识与方法分析和解决实际问题的能力。特别是二次方程的融入, 使概率的基础知识提升到一个新的高度, 真正体现了概率与其它知识“交汇”的新特点。

例2. (20007年江西高考理科题) 将一骰子连续抛掷三次, 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 (%%) 。

解:连续掷三次骰子出现点数的方法数为63种, 其中公差为0的等差数列有6个;公差为1或-1的等差数列有2×4=8个;公差为2的等差数列有2×2=4个。所以满足题中条件的概率为, 故选B。

点评:本题主要考查概率知识、排列组合知识及等差数列的性质。这种多个知识点的“交汇”, 不仅使问题本身具有新意, 而且较好地考查了学生的综合应用数学知识的能力和数学素养。

例3. (2009安徽高考理科题) 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感, 其中只有A到过疫区。B肯定是受A感染的。对于C, 因为难以断定他是受A还是受B感染的, 于是假定他受A和受B感染的概率都是。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下, B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列 (不要求写出计算过程) , 并求X的均值 (即数学期望) 。

解:随机变量X的分布列是

X的均值为EX=1×。

附:X的分布列的一种求法:

共有如下6种不同的可能情形, 每种情形发生的概率都是:

在情形 (1) 和 (2) 之下, A直接感染了一个人;在情形 (3) 、 (4) 、 (5) 之下, A直接感染了两个人;在情形 (6) 之下, A直接感染了三个人。

点评:本小题主要考查古典概型及其概率计算, 考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念, 通过设置密切贴近现实生活的情境, 考查概率思想的应用意识和创新意识, 体现了数学的科学价值。

篇4：高中数学解题技巧

一、审题技巧

审题是正确解题的关键，是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，审题过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分。

（1）条件的分析，一是找出题目中明确告诉的已知条件，二是发现题目的隐含条件并加以揭示。目标的分析，主要是明确要求什么或要证明什么；把复杂的目标转化为简单的目标；把抽象目标转化为具体的目标；把不易把握的目标转化为可把握的目标。

（2）分析条件与目标的联系。每个数学问题都是由若干条件与目标组成的。解题者在阅读题目的基础上，需要找一找从条件到目标缺少些什么？或从条件顺推，或从目标分析，或画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系，以顺利实现解题的目标。

（3）确定解题思路。一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁。用哪些联系解题，需要根据这些联系所遵循的数学原理确定。解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配。有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示；有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因。

二、语言叙述技巧

语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节。因此，语言叙述必须规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。

三、答题技巧

答题技巧是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整。要做到答题技巧，就必须审清题目的目标，按目标作答。

四、解题后的反思

解题后的反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾进行思考，只有这样，才能有效的深化对知识的理解，提高思维能力。（1）在解题时有时多次受阻而后“灵感”突来。这时，思维有很强的直觉性，若在解题后及时重现一下这个思维过程，追溯“灵感”是怎样产生的，多次受阻的原因何在，总结审题过程中的思维技巧，这对发现审题过程中的错误，提高分析问题的能力都有重要作用。（2）学生在解题时总是用最先想到的方法，也是他们最熟悉的方法，因此，解题后反思一下有无其它解法，可开拓学生思路，提高解题能力，这样也是十分必要的。

篇5：高中数学解题技巧方法

函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.方程或不等式

如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;

3.初等函数

面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;

4.选择与填空中的不等式

选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;

5.参数的取值范围

求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;

6.恒成立问题

恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;

7.圆锥曲线问题

圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;

8.曲线方程

求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);

9.离心率

求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;

10.三角函数

三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围;

11.数列问题

数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;

12.立体几何问题

立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题;

13.导数

导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;

14.概率

概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;

15.换元法

遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;

16.二项分布

注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;

17.绝对值问题

绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义;

18.平移

与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;

19.中心对称

篇6：高中数学解题方法技巧

打好基础。有的学生的解题能力很弱往往都是基础知识没有打牢，很多时候在遇到一些比较难的数学题时，不是因为问题所包含的知识点没有遇到过，而是因为自身的基础知识没有掌握好。在遇到一些运用了很多知识的综合题目里往往就被困住了，这实在是一个比较可惜的地方，所以掌握好基础知识是很必要的。

上课认真做笔记。滴水穿石非一日之工，所以想提高自己的解题能力，那么就要在平时的学习中积累知识点，在每一节课里都认真做笔记，好好梳理学过的知识点。对于课堂笔记也是要有选择性地记的，对于数学学科最重要的是解题的方法步骤，所以笔记最好做的是方法和难点，记的时候要有条理一点，这样日后的复习才更轻松。

勇于独立思考。凡是遇到问题都可以多问一个为什么，为什么这个题目是这样解的，能否有另一个方法，遇到自己不懂的题目时要多加思考或者参考相似的题目，然后一步一步慢慢将解答的过程和思路理清一下，这样就会很快有思路了。或者去重新看看相关的知识点，也是很容易就可以明白的。

篇7：高中数学题型及解题技巧

数学是一门逻辑思维极强的学科，针对数学题目的复杂性、抽象性，绘制图形进行参照是正确解题的重要一步.这种方法一般用于函数图像、几何图形、立体几何等题目的求解中，数形结合法不仅对于解决数学大题至关重要，在选择题领域也有广泛的应用.但要注意的是，在使用数形结合法时，切勿将图形画错而影响题目的正确解答.

直接答题法

直接答题法要求我们直接从题目所给的条件出发，运用相关的概念、性质和公式等知识，在层层推理与运算的基础上，得到题目的正确答案.直接答题法一般常用于涉及概念、性质的考查或者运算相对简单选择题与填空题.例如，在进行“三角函数”的计算时，我们习惯于使用数形结合法对其函数性质进行深入的研究，那么在做题时就难免思维定式，无论多么简单的题目都进行画图求解，这无形中就浪费了很多的答题时间.当进行“三角函数”大小比较时，比如正弦函数与余弦函数的比较过程中，我们往往可以采用直接法进行一次性求解.

特殊代入法

篇8：高中数学填空题解题技巧剖析

一、做实基础,完善体系

“不积跬步无以至千里”,如果只有解题技巧,没有坚实的知识基础,那么一切都是空谈。高中数学知识点繁杂,而填空题考察点也不是固定的,所以,构建完善的知识体系是攻克填空题的有力武器。通常,考试当中试题的综合性很高,一道题中可能涉及多种知识概念,学生需要将知识联系起来,从而找到解题思路。教师要为学生准备基础习题进行训练,如下:

(1)假设集合A={-3,-2,2,4,6,8},集合B={-3,0,2,6,10},则A∩B=____,A∪B=____。

(2)已知方程2x2-4ax+3a2=0的两根一个小于1,一个大于1,计算a的取值范围____。

(3)2条直线p和q,不在同一平面内,假如另一直线r//p,求r与q的关系____。

教师要通过简单的习题练习,来完善学生基础知识体系的构建,让学生了解题目所涉及到的知识点,对于理论性的数学知识,教师也要为学生归纳整理,在课堂上强调其重要性,并不定期检查学生的掌握记忆情况,如:(1)陈述语句一定是命题,而疑问句、感叹句、祈使句不是命题;(2)在某对称单调区间内,奇函数的单调性是相同的,而偶函数的单调性则不同;(3)在三角函数的符号判断中,一全正,二正弦,三正切,四余弦。诸如此类。这样的基础知识记忆能帮助学生熟练运用,完善知识体系,做到举一反三,灵活使用。

二、直接推导,简单实用

在众多解题技巧中,直接推导是最为简单也是最为实用的技巧。顾名思义,直接推导就是根据题目中的条件以及条件间的关系,利用数学性质、数学公式、定义定理等,通过一定的计算,直接计算出所求的结果。在使用直接推导法解答填空题的时候,要注意做到灵活运用,不要仅仅局限在题目表面,要看到题目中的隐含条件,将所涉及到数字条件罗列在一起,形成紧密的关系,最后,一击解决。这也是学生采用最多的数学填空题解题技巧,对学生的知识联系能力有一定的要求,教师要积极引导,在平时的学习中不断锻炼学生的推导能力,熟练掌握该解题技巧。以具体的实例来说,

2014年世界杯期间,一家博彩中心推出新玩法:在9场比赛中,猜对所有比赛结果(赢、输、平)的人获得土豪奖,猜中8场比赛结果的获得鼓励奖,猜对7场及7场以下比赛结果的没有任何奖励,问小张获得土豪奖的几率是____。

该题中的条件有:9场比赛,3种比赛结果,猜对9场为土豪奖,猜对8场为鼓励奖,其余没奖。其中,有用的条件是前两个,由于事件相互独立,那么可以得到,小张猜对1场的几率为1/3,所以,求得结果为1/39。这就是利用题目条件,顺序推导,简单实用,教师要让学生多加练习,熟练掌握。

三、特值代入,巧取答案

由于数学填空题不要求解题过程,故而学生可以通过代入特殊数值,巧取答案。该方法使用起来较为简便,不需要复杂的逻辑思考能力,只需要理解题目含义,正确选取特殊数值,就能解决掉。特值代入适用于含有不定量与定论的题目,特殊值也不仅限于数值,可以根据实际题目的要求进行选取,如可以选取一个点、一个数组、一个图形、一个数列等,这样,抽象的问题就会变的具体化,且由于特殊值的存在,问题的难度也大大降低了,比起直接解答,该方法快速简单,且准确率高。但是学生要注意的是,特殊值的选取不能与题目条件相反,这就需要学生进行严谨的审题,确定数值的定义域,确保不要误解题意。如下题:

已知三角形三个角分别为A、B、C,所对边分别为a、b、c,假设a、b、c三边长度组成等差数列,求在该题中,三角形的角度、长度都是未知的,我们可以根据三边长度为等差数列,选取特殊值,如a=3,b=4,c =5, 这样 , 就可以得 到sin A =3/5,sin B =4/5进而求得这样,解题过程就变得非常简单,且又快又准。

四、等价转换,化难为易

有时候,在遇到一些较难较抽象的题目时,我们可以采用等价转换的方法,降低题目的难度,如果我们在直接解答过程中,遇到了较大的阻力,学生可以转换一下思想,从反方向思考问题,将题型转换为我们见过的题型,不仅增加了信心,也提高了答案的准确度。等价转换具体的方法有很多,可以从反方向思考,也可以转换为平行关系,通过发现规律得知答案。举例进行说明:

已知曲线x2+y2-2px+p2-2p-4=0与直线y=ax+1(a∈R)始终有一交点,求p的取值范围____。由于该题涉及到多个未知数,直接解答存在一定的难度,学生可以通过等价转换,根据条件所述内容,与(0,1)在圆内是一致的,所以,将此题转换解答即可,02+12-2p0+p2-2p-4≤0,最终解答出p的取值范围是[-1,3]。通过找到符合条件进行转换,能将抽象的问题具体化,用实际数字进行计算,对答案的准确率有很大的保证,且大大降低了问题的难度。教师在讲解例题的时候,要培养学生等价转换的思想,这个时候不要迎难而上,不要用蛮力,而要用巧劲,节约时间,提高准确率,从而提升自己的成绩。

五、数形结合,形象生动

数学是一门“数”与“图”结合的学科,数字与图形是相互存在的,二者缺一不可。在解决填空题的时候,学生也可以采用数形结合,根据题目中给出的条件,在纸上画出图形,这样,抽象的问题就具体生动的展现在眼前了,学生对解题思路以及解题方法就能够一目了然了。通常,数形结合的方法适用于不等式、函数方程等涉及图形的问题,还需要注意的是,学生在作图的时候,要根据题目中的数字进行比例缩放,确保图形与问题的意思符合,不要乱涂乱画,使得问题更加抽象或者将题意理解错误。高中数学填空题只需要给出答案,不需要写出解题过程,使用数形结合,学生可以直接在图形上看出答案,完全不需要再进行复杂的计算,即使需要计算,也会变得很简单。尤其是在考试过程中,使用数形结合的方法,既能节约时间,也能提高分数,比起埋头苦算,何乐而不为呢。有些题目还可以通过作图进行检验,以避免一些脱离事实而主观意想的错误。如下题:

已知点q(sina,cosa)在第二象限,求角a的终边在___象限。

学生可以在纸上画出直角坐标系,判断角a的正余弦正负情况,就能够得到答案在第四象限。教师在平时也要多使用图形结合的方法讲解填空题,培养学生的解题习惯,对提高教学效率也有很大的帮助。

在选取以上的解题方法的基础上,可以一种方法解答之后,再用其它方法,看它们的结果是否一致,从而可避免单一的方法造成的策略性错误。

高中数学填空题是考试的必考题型,及时掌握解题技巧,可以降低题目的难度,提高答案的准确率,教师在平时要强调解题技巧的重要性,夯实学生的知识基础,不断使用解题技巧进行习题的讲解,培养浓厚的氛围,让学生敢于用、善于用,从而提高自己的学习成绩。

摘要：在高中数学填空题教学中,教师要及时调整学生的心态,在平时的学习中,夯实学生的知识基础,并讲授解答填空题的技巧,做到又快又好的答题。在解答填空题的时候,掌握一定的解题技巧,能做到事半功倍,如直接计算法、特值代入法、数形结合法、等价转换法等技巧的灵活运用,就能大大提高学生的解题效率。

篇9：高中数学解题技巧

一、审题技巧

审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提. 著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图. ”事实上，同学们常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中. 如何全面地、正确地把握问题的已知、所求、领悟问题的条件与结论提供的信息，是解题迅速的必要条件，审题宜从以下几个方面进行.

1. 明确问题的条件与结论

要明确问题的条件与结论，需做到以下五点：Ⅰ.全面、深刻、确切地理解题目的明显条件；Ⅱ.不要遗漏题目中的“次要”条件；Ⅲ.要尽可能把已知条件直观化、形象化；Ⅳ.善于把已知条件作适合解题需要的转换；Ⅴ.要充分挖掘隐含条件.

例1 已知集合[A=x,yx2+mx-y+2=0]和[B=x,yx-y+1=0,0≤x≤2]，如果[A⋂B≠∅],求实数[a]的取值范围.

分析 在审题时，可以看出这两个集合均为点集，本题既可看成两个曲线有交点的问题，又可看成两方程在指定区间有公共解的问题.

解 由[x2+mx-y+2=0x-y+1=0(0≤x≤2)]，

得[x2+(m-1)x+1=0]. ①

[∵A⋂B≠∅]，[∴]方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.

首先，由Δ[=m-12-4≥0,得m≥3或m≤-1.]

当[m≥3]时，由[x1+x2=-(m-1)<0]及[x1x2=1]知，方程①只有负根，不符合要求；

当[m≤-1]时，由[x1+x2=-(m-1)>0]及[x1x2=1>0]知, 方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间[0,1]内，从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.

综上，所求[m]的取值范围是[-∞,-1].

2. 灵活地进行符号语言、图形语言、日常用语的转换

数学有三种语言：符号语言、图形语言、日常用语，它们是数学知识，数学思维的载体，在解题过程中选择哪一种语言进行思维又是因题而异，因人而异，而且各种语言之间又是互相渗透，如果各种语言不能熟练掌握或者不能灵活运用，就会使本来不难的变难、变繁.

由于数学语言的高度概括性使题目抽象程度提高，或者有时信息或问题表述及比较含蓄，应通过思考将其转译为自己熟悉的便于理解和应用的问题或信息. 可试图将问题换个说法，说给你自己听，做到：①隐晦的语言说得明确些；②繁复的问题说得简要些；③抽象的问题说得具体些；④表象的问题说得深刻些；⑤难于正面说的问题从反面去说.

例2 已知[f(x)=x2+2x+1]，存在实数[t]，使得当[x∈[1，m]]时，[f(x+t)≤x]恒成立，求[m]的最大值.

[1 2][1]

解析 直接求解较复杂，译成图象语言可轻松获解. 将[f(x)=x2+2x+1]的图象进行左右平移，问题转化为当t为何值时，对于[x∈[1，m]]，[f(x)=x2+][2x+1]的图象恒在[y=x]的国家下方.

结合上图可知，当[f(x)=x2+2x+1]的图象向右平移，且当右半部分第一次经过点（1，1）并继续向右平移时，才会出现[x∈[1，m]，f(x+t)≤x]成立；

当[f(x)]的图象左半部分经过点（1，1），并继续向右平移时，有[f(x+t)≤x]恒成立，所以，[m]的最大值应为[f(x+t)]与[y=x]的除点（1，1）外的交点的横坐标. 由[(1+t)2+2(1+t)+1=1]，解得 [t=-1]（舍去）或[t=-3]，再由[f(x-3)=x]，解得[x=1]或[x=4].

故[m]的最大值为4.

点评 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题. 实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观. 思考问题时要善于从条件的结构特征中寻找一些和图象相关联的信息源，以便为解决问题作好形的铺垫.

二、细节决定成败

在解决问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解，甚至错解.

例3 已知[fx=x2+2x+ax,]

（1）对任意[x∈1,+∞,fx≥0]恒成立,试求实数[a]的取值范围;

（2）当[x∈1,+∞时,fx]的值域是[0,+∞],试求实数[a]的值.

解析 本题的第（1）问是一个恒成立问题, [fx=x2+2x+ax≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立. 等价于[ϕx=x2+2x+a≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立,又等价于[x≥1]时,[ϕx]的最小值[≥0]恒成立.

由于[ϕx=x+12+a-1]在[1,+∞]上为增函数,则[ϕminx=ϕ1=a+3],

所以 [a+3≥0,a≥-3.]

第（2）问是一个恰成立问题,这相当于[fx=x2+2x+ax≥0]的解集是[x∈1,+∞].

当[a≥0]时,由于[x≥1]时, [fx=x2+2x+ax][=x+ax+2≥3],与其值域是[0,+∞]矛盾,

当[a<0]时, [fx=x2+2x+ax=x+ax+2]是[1,+∞]上的增函数. 所以,[fx]的最小值为[f1],令[f1=0],即[1+a+2=0,得a=-3.]

不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题往往只有一字之差，若不注意这个细节的差异，很容易在解题时张冠李戴，造成解题失误.

（1）恒成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恒成立,则等价于函数[fx]在区间[D]上的最小值大于[A]；②若不等式[fx

（2）能成立问题. ①若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[fx>A]成立,即[fx>A]在区间[D]上能成立, 则等价于函数[fx]在区间[D]上的最大值大于[A]；②若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[fx

（3）恰成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恰成立, 则等价于不等式[fx>A]的解集为[D]；②若不等式[fx

例4 已知曲线[y=13x3+43]，则过点[P(2,4)]的切线方程是 .

解析 本题可以判断点[P(2,4)]在曲线[y=13x3+43]上，所以，大部分同学的解法是，由[y|x=2=4]得切线方程为[y-4=4(x-2)]，即[4x-y-4=]0.

但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点[P(2,4)]是否为切点,而上面的解法是把点[P(2,4)]当作切点求解的. 其实, 点[P(2,4)]也可能不是切点. 正确的解法是:

设切点为[(x0,y0)],则[y|x=x0=x20]，切线方程为[y-4=x20(x-2)].

因为[(x0,y0)]在切线上,则[y0-4=x20(x0-2)],从而有[13x30+43-4]=[x30-2x20]，

解得[x0=2,x0=-1],

于是, 过点[P(2,4)]的切线方程为[4x-y-4=0]和[x-y+2=0].

三、结论也是已知信息

我们在解题时常常忽视一个细节，那就是：结论也是已知信息！有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间.

例5 已知平面上的直线[l]的方向向量[e→=(-45,35)]，点(0，0)和A(1,－2)在[l]上的射影分别为[O′和A′]，若[O′A′=λe]，则[λ]为（ ）

A. [115] B. －[115] C. 2 D. －2

解析 直线[l]的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，[λ]必为定值. 可见直线[l]的变化不会影响[λ]的值. 因此我们可取[l]为[y=-34x]来求解[λ]的值. 设[l]:[y=-34x]， [A′(x,y),]

则[-2-y1-x(-34)=-1,y=-34x,] 可得[A′(85,-65)]，

∴[O′A′=λe1]，即[(85,-65)=λ(-45,35)]，[λ]=－2.

例6 在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，[EF=32]，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）

A. [92] B. 5 C. 6 D. [152]

解析 该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而[VE-ABCD]=6，所以只能选D.

例7 连续投掷两次骰子的点数为[m、n]，记向量[b=(m,n)]与向量[a=(1，-1)]的夹角为[θ]，则[θ∈0,π2]的概率是（ ）

[1][6][6][-1]

A. [512] B. [12] C. [712] D. [56]

解析 用估值法，画个草图，立刻发现在[∠AOB]范围内（含在OB上）的向量b的个数超过一半些许，选C，完全没有必要计算.

四、转化技巧

数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换. 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的. 转化是解数学题的一种十分重要的思维方法. 那么有哪些转化途径呢？

1. 数形转化

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多.

例8 若P（2，-1）为圆[(x-1)2+y2=25]的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）

A. [x-y-3=0] B. [2x+y-3=0]

C. [x+y-1=0] D. [2x-y-5=0]

解析 画出圆和过点[P]的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A.

2. 数量转化

数量是数学运算中最基本的单元,审视数量要善于观察、分析数量,依据数量本身的变化,数量与数量之间的相互联系进行恰当转化，从而找到解题的思路,获得优美的解法.

例9 求[sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°]的值.

分析 解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在的数量联系. 如题中的含有角7°、15°、8°，发现它们之间的关系是15°＝7°＋8°，故可将7°拆成15°－8°.

解析 [sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°]

＝[sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)+sin15°sin8°]＝[cos8°sin15°cos8°cos15°]

＝tan15°=[1-cos30°sin30°]=[2-3.]

3. 运算转化

在解决一些数学问题时，我们常要对题目中的运算形态进行转化，通过转化，赋予式子新的运算方式，从而有利于问题的解决，如三角中的积化和差、和差化积、添置辅助角等变形方法，数列中的裂项求和法，向量中公式[a2=|a|2]的应用，代数式中取倒数、两边取对数、分离常数、分离参数等变形，都体现了运算转化的思想.

例10 已知向量[a]、[b]、[c]满足[|a|=1]，[|b|=2]，[|c|=3]，且[a+b+c=0]，求[a⋅c+b⋅c+c⋅a]的值.

解析 运用公式[a2=|a|2]，把向量的平方转化为其模的平方来计算，

[∵][a+b+c=0]，[∴(a+b+c)2=0]，

[∴a2+b2+c2+2(a⋅c+b⋅c+c⋅a)=0]，

即[a⋅c+b⋅c+c⋅a=-12(|a|2+|b|2+|c|2)=-7.]

4. 结构转化

一个数学问题，无论是条件还是结论，总伴随着一定的“结构”特征，对其我们要认真观察，仔细分析，把握其内在的特点，必要时对现有结构进行转化，使解题向有利于解决问题的方向发展，从而取得关键性的突破.

例11 （1）已知[a+b+c=1]，求证：[a2+b2+c2≥13].

（2）求证：若[a、b、c∈R+]，则[a3+b3+c3≥3abc].

证明 （1）构造二次函数[f(x)=(x－a)2+(x－b)2+][(x－c)2]，则[f(x)≥0]，即[3x2－2(a+b+c)x+(a2+b2][+c2)]≥0，当且仅当[x=a=b=c]时等号成立.

∴Δ[=4(a+b+c)2-12(a2+b2+c2)≤0.]

又[∵a+b+c=1,]

[∴a2+b2+c2≥13]，当且仅当[a=b=c=13]时，等号成立.

（2）可构造导数模型求解.

原不等式等价于[a3－3bca][≥－(b3+c3).]

令[f(a)=a3－3bc⋅a,]则[f(a)=3a2－3bc,]

令[f(a)=0]得[a=±bc]（舍负号,∵[a∈R+]），

∴当[a∈R+]时，[f(a)min=f(bc)][=－2b3c3.]

又[b、c∈R+，][∴b3+c3≥2b3c3]，

[∴－2b3c3≥-(b3+c3),]故原不等式成立.

例12 已知[a,b∈R+,a+b=1]，求证：[2a+1+2a+1≤22.]

解析 设[f(x)=2x+1]，则[f(x)]的图象如图：

[1][2]

[∵f(x)]在[(-12,+∞)]上是凹函数，

[∴f(a+b2)≥f(a)+f(b)2,]

[∵a+b=1, ∴f(a+b2)=f(12)=2.]

[∴f(a)+f(b)≤22]，即[2a+1+2b+1≤22].

5. 割补转化

割补法是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形，切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的，例如：把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）等等，从而把未知的转化为已知的，把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的，充分体现等价转化的数学思想.

例13 已知三棱锥[P－ABC]的每相对的两条棱相等，棱长分别为5、6、7，求其体积.

解析 设补成的长方体的三边分别为[a,b,c]则其体积[V＝abc]，而补出的四个三棱锥的体积相等，都等于[16abc]，并且

[a2+b2=25,b2+c2=36,c2+a2=49,⇒a=19,b=6,c=30,]

[∴VP-ABC=V-4×16abc=13abc=295.]

例14 求函数[y=cosx(0≤x≤2π)]和[y=1]的图示所围成的封闭图形的面积.

解析 由于曲线[y=cosx(0≤x≤π)]关于[EF]对称（如图），又曲线段[AF]关于点[(0,π2)]对称，所以图形[EFA]≌图形[DAF]，

将曲线[AFB]沿[EF]剪开，可拼成矩形[AEFD]，则有

[S阴影=S矩形AEFD=2π].

五、目标意识（变形方向）

数学解题是一个自觉、积极、富有创造性的数学思维活动. 在这个思维过程中，解题的每个阶段总是要不断地提出各种辅助问题，为思维探索确定一个个恰当的目标，以便寻求问题的最后解决，这就是目标意识. 在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的. 在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.

例15 已知[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)，]且[f(x)≠0], 求证：[f(x)]是偶函数.

解析 盯住目标变形，要证明[f(x)]是偶函数，意味着证明：对任意[x∈R]，均有[f(-x)=f(x)]成立. 于是，可在[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)]中，消除字母[y]，即可令[y=x]，得

[f(2x)+f(0)=2[f(x)]2 ].

为了出现[-x]，又可令[y=－x]，

得[f(2x)+f(0)=2f(x)⋅f(－x). ]

[∴2[f(x)]2=2f(x)⋅f(－x). ]

[∵f(x)≠0，∴f(－x)=f(x)，]

故函数[y=f(x)]是偶函数.

点评 解题分析关键在于盯住目标，并合乎情理地消除题设与结论之间的差异！事实上，本题也可这么解答：在[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)]中，令[x=0]，得[f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).]接下来，只要证明[f(0)=1]就行了. 事实上，在上式中，取[y=0]不就显然可得了吗？

例16 已知[-π2

（1）求[sinx－cosx]的值；

（2）求[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx]的值.

解析 （1）由[sinx+cosx=15,]平方得[sin2x+][2sinxcosx+cos2x=125,] 即[2sinxcosx=-2425.]

[(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925.]

根据角所在范围选取符号，[∵-π2

[∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,]

故[sinx-cosx=-75.]

（2）根据目标意识，代入有,

[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx,]

[所求值=sinxcosx(2-cosx-sinx)]

[=(-1225)×(2-15)=-108125.]