条件概率

条件概率（共8篇）

篇1：条件概率

条件概率学习心得

摘要：条件概率是概率论基础中的一个重要知识，是往后学习的积事件概率和全

概率公式的基础。本文就围绕条件概率和全概率公式来分享一下我的学习

心得。

关键词：条件概率 实际应用价值 全概率公式 n重贝努利实验

一、基本公式的描述

1、条件概率公式: 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则称比值 发生的情况下的条件概率，记作

P(AB)为事件A在B

P(B)P(AB)P(AB)=

P(B)

2、乘法公式: P(AB)= P(A)P(B/A)乘法公式的另外一种形式: P(AB)= P(B)P(A/B)

由于公式部分相对比较简单易懂，此处不添加例题。

二、理清条件概率和积事件以及n重贝努利实验之间的关系

刚接触条件概率的时候很容易将条件概率和积事件概率混在一起分不清，理清这二者的关系对往后的学习至关重要。

不妨设A,B是随机试验样本空间S中的两个子事件,P(AB)表示A和B同时发生的概率,P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率。从样本空间的角度来看,这俩对应的样本空间发生了改变。求P(AB)时,样本空间不变，还是在S中进行讨论。而求P(B|A)时,因为前提中已经知道了一个条件(即A已发生)，所以样本空间发生了改变，这时所考虑的样本空间的范围缩小了。所以,积事件（AB）与事件（B|A）是两种截然不同的事件。而它们之间的联系就体现在乘法公式中：

P(AB)= P(A)P(B/A)

例1：设袋中有3个红球，2个白球，每次从中取一个球后不放回，求下面事件发生的概率：

①连续两次取出红球的概率

②在第一次取出红球的情况下，第二次取出红球的概率。

解：

①设事件A“连续两次取出红球” 1 P（A）=32=1/9 ②设事件A“第一次取出红球”

事件B“第二次取出红球”

11*P(AB)331 P(BA)===

1P(A)33分析：由这题可以明显看出，积事件的样本空间是全体事件，而条件概率的样本空间是

事件A。

条件概率和n重贝努利实验概率这两个事件在一般情况下不容易混淆概念，但在实际的做题中却很容易会因为追求速度而忽略这两者的区别而导致出错。

例2：某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中抽取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根火柴的概率。

开题分析：这类题目是最容易迷惑人的，考试时候心急想尽快做完题目，就很容易会出现下面这种错误。

误解：

设： 事件A“第2n-r次抽取时，第一盒火柴用完了”

事件B“第二盒还剩r根”

第一盒被抽完时，第二盒还剩r根的概率为P(由条件概率公式得：P（AB)

AB)=P(AB)P(A)2nr11 P（AB）=C2nr12n1*2

P（A）=1/2 故：P（AB)=

Cn12nr1122nr1

错误分析：

这道题第一眼看上去，当A发生时B发生的概率，很像是条件概率的问题，但实际上我们细心分析就能知道当第一盒火柴在第2n-r次被用完的时候，第二盒火柴必然是剩下了r根的，所以P(AB)=1，但这显然不是题目所要求的。这道题应该按照n重贝努利实验来做。

正解：

设：事件A“发现一盒已经用完另一盒还有r根”

事件B“发现甲盒已经用完乙盒还有r根”

则 P(A)=2P(B)B发生等价于甲盒拿了n+1次，乙盒拿了n-r次，共进行了2n+1-r次实验，而

且前2n-r次实验，甲发生了n次，第2n+1-r次实验甲发生了。

故 P(B)=

Cn2nr12C2nr1

从而 P(A)=2p(B)=

n2nr122nr

三、全概率公式

1、全概率公式:设一事件B，有A1,A2,A3...An 是互不相容的事件且P（Ai)>0（i=1,2,3„n），若对任A1,A2,A3...AnB，则

ni1

P(B)p(Ai)P(BAi)

全概率公式的基本思想就是将一个复杂事件的概率分解成若干个互不相容的简单事件的概率之和。分解的关键是如何找出互不相容的事件组A1,A2，,An,使得复杂事件B的出现必然有事件Ai之一伴随出现,然后将B剖分给Ai,到了这一步只要用一次加法公式和乘法公式便可得到全概率公式。

这里的BAi就是所谓的/简单事件0,因为利用概率的乘法公式,容易求得它们发生的概率为P(BAi)=P(Ai)P(B/Ai)。其中P(Ai)是考虑导致事件B发生时的若干个不同假设情况的概率,它们往往是已知的或能求出的;P(B/Ai)所表示的是在若干个假设事件Ai发生的条件下事件B发生的概率,它可以从题目的已知条件直接得出或间接导出。

例3：某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛 的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。分析：第一步：判断问题可否采用全概率公式求解。题目中具有四个射手并构成了选拨赛的最终结果，所以可以运用全概率公式；

第二步：找出完备事件组及其相关概率；

第三步：按照题目要求计算所求概率。

解：设事件A“射手能通过选拔进入比赛”

事件Bi“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组, 且 P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20 P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2 由全概率公式：

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20 =0.645.四、条件概率对现实生活的指导作用

数学这门学科来自生活最终肯定也是回归到生活，我们不妨看一道现实生产的问题来体会条件概率在现实生活中的指导意义。

例4.1：已知一批产品96%是合格品，检查产品时，一个合格品被认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是正品的概率是0.05，求在检测后被认为是正品的产品确实是正品的概率。

解： 设事件A“任取一件产品，经检查是正品”

事件B“任取一产品确实是正品”

则 A=BA+BA

AB)+P(B)P(P(A)=P(B)P（AB)=0.9428

=0.998

P(B)P(AB)所求概率为P(BA)=

P(A)

分析：这道题相对比较简单，只要掌握了条件概率的基本原理就能够轻松地应对，所以我们不妨再进一步的探索。

例4.2： 条件如例3.1，求一件被检测为次品的产品是正品的概率。解： 设：事件A“任取一件产品被检测为次品”

事件B“抽取一件产品，这件产品是正品”

显然： A=BA+BA

同上题，P(A)=P(B)P(P（AB)+P(B)P（AB)=0.0572 BA)=0.3357

由上面的两个计算结果可以清晰地看出：如果产品检验为合格，那么这个产品真正合格的概率高达99.8%，我们可以完全放心地使用这件产品。

但如果一件产品被检测认定为次品，虽然正品误判为次品的概率低至2%，误诊率居然还是高达33.57%，换言之，每三件检测结果为次品中居然就有一件是正品。工厂实在有必要对第一次检测为次品的产品进行复查来降低产品的消耗率。

五、结束语

参考文献：

【1】吴 静,陈 莉；《浅析全概率公式的应用》；福建医科大学学报2008年3月 第1期 【2】张克军；《关于条件概率及其应用的教学研究》；徐州教育学院学报 2008年9月第23 卷第3期 【3】严小宝；《浅析条件概率》；丽水职业技术学院报，2011年4月 【4】韩春英；《条件概率系列公式的学习技巧》，天津职业院校联合学报，2007年3月

篇2：条件概率

本节课是高中数学2-3(选修)第二章随机变量及其分布的第二节二项分布及其应用的第一课时条件概率，条件概率在此具有承上启下的作用，既可以通过它来巩固古典概型，又通过条件概率来引入事件的相互独立性，从而为导出二项分布埋下伏笔。

主要内容有：

1.条件概率的概念

2.条件概率的两种计算方法：

(1)利用条件概率计算公式(2)缩小样本空间法

3.条件概率的性质

条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，从其字面上理解就是有条件的概率，是在附加一定的条件下所计算的概率，从广义上讲，任何概率都是条件概率，因为我们是在一定的实验下而考虑事件的概率的，而实验即规定有条件，在概率论中，规定试验的那些基础条件被看作是已定不变的，如果不再加入其他条件或假设，则计算出的概率就叫做无条件概率，就是通常所说的概率，当说到条件概率时，总是指另外附加的条件，其形式可归结为已知某事件发生了。

条件概率是比较难理解的概念，教科书利用抽奖这一典型实例，以无放回抽取奖券的方式，通过比较抽奖前和在第一名同学没有中奖条件下，最后一名同学中奖的概率，从而引入条件概率的概念，给出两种计算条件概率的方法，同时指出条件概率具有概率的性质，并给出了条件概率的两个性质。

条件概率的核心是由于条件的附加使得样本空间范围缩小，从而所求事件概率发生变化。所以本节课教学重点就是在概率的背景下学习理解条件概率概念的本质，会运用条件概率的定义式求各种概率模型下的条件概率，体会公式的一般性。

二、目标和目标解析

(1)通过对具体情境抽奖问题的分析，初步理解条件概率的含义(让学生明白，在加强条件下事件的概率发生怎样的变化, 通过与概率的对比和类比达到对新概念的理解)

(2)在理解条件概率定义的基础上，将知识技能化，学会用两种方法求条件概率，并能利用条件概率的性质简化条件概率的运算。(明确求条件概率的两种方法，一种是利用条件概率计算公式，另一种是缩减样本空间法。并能选择恰当的方法解决不同概率模型下的条件概率)

(3)通过实例激发学生学习的兴趣，在辨析条件概率时培养学生的思辨能力，让学生亲身经历条件概率概念的形成过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的思维方式。在参与的过程中让他们感受数学带来的无穷乐趣。注重学习过程中师生间、学生间的情感交流，充分利用各种手段激发学习的兴趣，共同体验成功的喜悦。

三、教学问题诊断分析

在本节课之前，学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型(如古典概型、几何概型)已经有所了解。在此基础上，本节课引导学生分析生活中还有一些概率是在某些条件的限制下的概率，因此必须让学生会求在附加条件下的概率，我们把它称为条件概率。

学生学习的困难在于：

(1)如何判断一个概率是条件概率，条件概率与我们以前所学过的概率有何区别，即便能看出是条件概率又如何计算条件概率?

答：当题目中涉及在前提下(条件下)，已知等字眼时，一般为条件概率，若题目中没有出现上述明显字眼时，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率，要注意与的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.(2)为何在定义中要强调,在讲解中特别指出若时，不能用现在的方法定义事件发生的条件下事件发生的概率，而需要从极限的角度，或更一般地，从测度论的角度来定义，现在我们不做研究。

(3)为何要将实例中的运用古典概型计算的条件概率分子分母同时除以总基本事件数，然后转化为

(同时发生的概率与事件发生的概率之比?)两种方法的区别是什么?

答：前者是以古典概型为前提的，不适用于其他概率模型，但其方法可以推广，后者即为其推广，可用于其他概率模型中，从而得到更为一般的与计数无关的公式，在教学时可以设问：如何把上面计算的思想用于其他的概率模型中?

(4)能否运用韦恩图来描述事件与事件之间的关系?

(在此很多学生容易把事件包含在事件中，但有时两事件所包含的基本事件相交或相离，所以在求条件概率时特别注意分子是而不是，是而不是)

本节课的教学难点：如何判断一个概率是条件概率，如何让学生理解条件概率的本质是样本空间范围的缩小下的概率。如何选用恰当的方法来计算条件概率。

四、教学条件支持

为了使课堂更高效，设置了学案教学的方式，由于对于不同的学生，有可能对概念的理解上不能一步到位，所以在课堂教学中以小组讨论，组长负责的教学模式可以较好的解决这个问题，为便于讨论，我们还将桌凳围成圈，为方便学生很好的展示交流还经常借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程，为规范学生步骤，强调重点、难点制作了课件。我校的335课堂教学模式就是这样设计的。

五、教学过程设计

引言：今天我们来学习条件概率，那么什么是条件概率，怎样判断一个概率是条件概率，如何计算条件概率就是我们本节课要研究的重点，下面我们就具体研究一下，首先请同学们看这样几个简单的例子，并判断一下他们与我们所学习过的概率有何不同。

(一)创设情境，引出课题

问题1：1.掷一均匀硬币2次，(1)第二次正面向上的概率是多少?(2)当至少有一次正面向上时，第二次正面向上的概率是多少?

2.设在一个罐子里放有白球和黑球，现依次取两球(没有放回)，事件A是第一次从罐中取出黑球，事件B是第二次从罐中取出黑球，那么事件A对事件B有没有影响?

(1)如果罐子里有2个不同白球和1个黑球，事件B发生的概率是多少?

(2)如果罐子里有2个不同白球和1个黑球，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率又是多少?若在事件A没有发生的情况下，事件B发生的概率又是多少?

3.三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，问：(1)最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.(2)如果已经知道第一名同学抽到了中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率是多少?

根据上面三个例子，你能得出这些概率与我们所学过的概率一样吗?什么地方不一样?

请大家以小组的方式讨论一下。

预设答案：他们与我们所学的概率不一样，都在原有的基础上又附加了条件，使得概率发生变化。(此问学生应该能很容易得出)

设计意图：在此找一些与条件概率有关的话题创造情境，让学生在复习前面所学内容的同时，设置第二问，从而能很快地进入本节课的内容中，激发学生学习本节课的兴趣。同时在讲完条件概率定义后再回过头来重新判断这些概率是否为条件概率，从而前后呼应。

(二)通过设疑，引出概念

那么，如何求在附加条件下的概率呢? 下面我们就以问题3抽奖问题具体分析一下。

首先请同学们结合学案，给同学们5分钟时间交流一下预习情况，并由小组长组织组员讨论，看能否达成共识，把问题暴漏出来，并把讨论成果用实物投影展示一下。

首先来看第一小问：最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.预设答案：(1)方法1：如果三张奖券分别用表示，其中表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：,用B表示事件最后一名同学抽到中奖奖券，则仅包含两个基本事件：，由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为。

方法2：若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：，和.用表示事件最后一名同学抽到中奖奖券 , 则仅包含一个基本事件.由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为.设计意图：设置问题情境，通过日常生活中经常遇到的抽奖问题，产生认知冲突，从而激发学生求知的欲望。同时也是为复习古典概型。

师生活动：学生在此尝试时，会从直观感觉上回答谁先回答谁就有可能中奖，如果遇到这种情况，教师不要直接否定，而是让其他小组的学生代表他们小组发言，从古典概型的角度分析，从而很好的解决出现的问题，以这种方式解决出现的错误，最后教师点拨，从而做到让学生自己研究的目的，发挥了学生的主观能动性。

再来看第二小问：如果已经知道第一名同学抽到了中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率是多少?(如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少?如果已经知道前两名同学都没抽到呢?)

预设答案：如果已经知道第一名同学抽到了中奖奖券，那么最后一位中奖概率为0.与第一问相比概率减小了。当已经知道第一名学生没有抽到中奖奖券时，后两名同学当然是非常高兴了，因为每人抽到的可能性成了50%了。因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有和.而最后一名同学抽到中奖奖券包含的基本事件只有，由古典概型计算公式可知.最后一名同学抽到中奖奖券的概率为，不妨记，其中表示事件第一名同学没有抽到中奖奖券.与第一问相比概率增大了。如果已经知道前两名同学都没抽到，那么最后一名同学会高兴地不知所措的，因为就三张奖券，而且只有一张中奖，已经两张没奖的被抽走了，有奖的那100%会被自己抽到。

设计意图： 此问从两个角度来改变条件，使得最后一名同学抽到中奖的概率一会增大一会减小，从而让学生更能体会到条件的附加确实改变了事件发生的概率，并能从古典概型的角度来解决这样的问题。

师生活动：再请一位小组代表回答第二问，有了第一问的错误分析，在此问的回答中，学生应该不会出错。

最后设问：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢?与第一问相比概率发生怎样的变化了呢?

预设答案：在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件中，从而影响事件发生的概率，使得

设计意图： 通过前两问的分析，让学生对比分析，总结归纳在附加条件下缩小了基本事件的范围，使得基本事件减少了。最后得出条件概率的本质，突破本节课的难点。

师生活动：要求学生把所有基本事件都列举出来，具体分析满足事件A下的基本事件数有哪些，同时满足B事件的基本事件数有哪些，由于附加条件A，使得哪些基本事件数被限制了，让学生上台展示，并做比较系统的分析，从而让学生真正经历概念的生成过程及概念本质的挖掘过程。

好了，既然我们已经知道什么是条件概率了，那么，条件概率又如何计算呢?有没有计算公式呢?

在此，学生能够得出，(注意，学生在初学时会把分子上的误认为是，这要让学生辨析，可以让学生自己举例说明，也可以以情景设置中的投硬币试验来说明。但是举例要简单，容易理解一些。)但是这个公式通用吗?请同学们看例2，是否为条件概率呢?如果是的话，能用上面这个公式吗?不能的话那该怎么办呢?既然他给出的是概率，那么能否将上面的公式进行等价转化，变成概率关系式呢?请同学们回答问题2。

问题2：对于上面的事件和事件，与它们的概率有什么关系呢?能否运用韦恩图来描述事件与事件之间的关系?请结合图形来计算.根据古典概型的计算公式，,，其中表示中包含的基本事件个数.所以

.因此，可以通过事件和事件的概率来表示.设计意图：通过此问得出条件概率的定义，加深对条件概率的理解，并得出计算公式，从两个角度分析，一是采用缩小样本空间的方法求出相应的概率，二是转化为对应概率之比，同时也让学生明白引入条件概率公式更具有一般性。不仅可以解决古典概型，还可以解决与计数无关的概率问题，进而引入条件概率的定义，培养学生运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。运用韦恩图来描述事件关系使得学生更容易理解和接受。

问题3：根据以上几个问题的分析，请同学们归纳一下条件概率的定义。并再次分析问题1，归纳条件概率与我们以前所学概率的区别是什么?

与的区别是什么?

一般的,设和为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率(conditionalprobability).读作发生的条件下发生的概率。

设计意图：锻炼学生的概括能力，可以用学生自己的语言归纳，然后老师给予启发和补充,并强调重点，并指明的原因。让学生举例说明条件概率不仅能检测学生对概念的理解程度，同时对活跃课堂气氛有很大的帮助。在此为呼应前面提出的问题一，可以让学生再次分析一下条件概率与我们以前所学概率的区别，从而突破本节课的难点。

问题4：既然条件概率也是概率，那么满足概率的性质吗?分别是什么?这些性质对我们计算概率有什么帮助?

条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即,如果与是两个互斥事件，则,这些性质对我们简化概率运算起到了很好的作用。

设计意图：以此来简化较为复杂的概率计算问题，可以以例3加以说明。

(三)例题分析，加深理解

例1 抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为蓝色骰子的点数为3和6，事件B为两颗骰子的点数之和大于8

(1)求P(A)、P(B)、P(AB)

(2)当已知蓝色骰子两点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?(画棋盘图说明)

设计意图：本例的目的是通过棋盘图的形式让学生加深对条件概率的理解，并会用计数的方法，利用古典概型的知识解决条件概率,设置两问更具层次性。同时能够培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

师生活动：让学生自己思考，自己画图说明。教师最后以课件的形式演示，说明，并指出计数的方式不具有一般性，然后引出例2。

例2 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。设计意图：在例1的基础上，为体现方法一的局限性，故设置了例2，以用于说明条件概率公式的应用更具广泛性、一般性。

例3 一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

(1)任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率;

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.解：设第i次按对密码为事件(i=1,2)，则表示不超过2次就按对密码.(1)因为事件与事件

互斥，由概率的加法公式得.(2)用B 表示最后一位按偶数的事件，则.设计意图：通过本例可以使学生进一步熟悉概率和条件概率的性质，并把这些性质用于简化概率和条件概率的计算。

(四)变式练习，巩固提高

1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：

(l)第1次抽到理科题的概率;

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;

(3)在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为==20.根据分步乘法计数原理，==12.于是.(2)因为=

=6，所以

(3)解法 1 由(1)(2)可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为.解法2 因为=6 ，=12，所以.设计意图：本题的目的在于考查条件概率的两种计算方法，其三个问题的设计体现了知识的递近与螺旋式上升，有利于引导学生利用条件概率的定义来求解问题(3)中的条件概率，在解答过程中，得到前两个问题的答案后，自然会想到利用条件概率的定义去计算条件概率，解法2，演示了利用缩小基本事件范围的观点来计算条件概率的方法。

2.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品.从中任取1 件，求(1)取得一等品的概率;(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率.3.如果生男孩和生女孩的概率相等，求有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率。

4.甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

设计意图：本题从另外几个侧面考查学生对条件概率概念的认识和利用缩小基本事件范围的方法来求条件概率的计算。难度由浅入深，遵循学生的认知规律，让学生能够很好的完成四道检测题，从而为完成本节课的教学目标画上圆满的句号。

(五)总结概括，自我评价

问题1：这节课你有什么收获?学到了哪些知识和方法?

1.能根据条件概率的定义会判断一个概率是否为条件概率;

2.会运用两种方法求条件概率;

3.能用条件概率的性质简化概率的计算。

复习了古典概型、几何概型等概率知识，起到了温故而知新的目的。同时又加深了对概率的理解，对后继学习起到了承前启后的作用。

设计意图：使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层。

师生活动：学生小结归纳，不足的地方其他学生与老师补充说明。

(六)教学设计说明：

1.根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳条件概率的概念及其计算公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。通过合作探究、交流展示发现学生在学习中的不足，及时得到纠正与巩固。

2.以问题为纽带，化结果为过程的教学理念始终贯穿了整个教学过程，因为我们不仅希望学生掌握知识，更希望学生掌握分析知识、选择知识、更新知识的能力。在本节课中切忌受传统教学的束缚，以讲为主，要运用新课程理念，以学生为本，让学生成为课堂的主人，在参与课堂活动中，体会学习给他们带来的乐趣，创造和谐的课堂氛围。

篇3：条件概率之我见

教材给出例题:在5道题中有3道理科题和2道文科题, 如果不放回地一次抽取2道题, 求在第1次抽到理科题的条件下, 第2次抽到理科题的概率.

虽然教材根据两个公式分别采用了两种方法, 但大部分学生还是感觉比较抽象, 只能是勉强接受.于此, 我提出问题:“我们应该关注‘新的样本空间’是什么?课本例题相当于‘从含有2道理科题 (因理科题已被抽走一题) 和2道文科题中随机抽取一题, 抽到理科题的概率是多少?’”学生顿时恍然大悟, 很快就得出概率

再如, 某科考试中, 从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析, 两班成绩的茎叶图如下图所示, 成绩不低于90分的为及格, 若从两班10名同学中各抽取一人, 已知有人及格, 求乙班同学不及格的概率.

分析:“新的样本空间 (已知有人及格) ”包含基本事件总数应是个.

所求事件的实质 (甲班同学及格, 乙班同学不及格) 包含基本事件应有20个, 故所求事件概率为

篇4：浅谈“条件概率”教学设计

【关 键 词】 条件概率；几何概型；古典概型

一、设置情境，引入概念

学生在必修三已经学习过古典概型和几何概型的概念，能够准确理解随机试验、随机事件的含义，并且能够灵活运用分类或分步原理求解事件包含的基本事件的个数，这为本节学习条件概率做好了知识准备. 但条件概率对于学生是一个全新的概念，根据随倩倩老师的研究《评估学生条件概率学习的困难》发现，学生在对条件概率的理解上存在许多错误的认知，如“因果偏见”、“时间顺序偏见”、混淆P（AB）和P（AB）、混淆限制条件等[1]. 因此针对学生出现的问题，本文主要从“条件概率”教学中易出现的三个问题入手，再次深入探讨了三个问题的解决方法.

从教师的角度分析，本节教学易出现如下问题：

1. 推导条件概率公式化定义的过程并不完备，此处王志军老师也有提出，单纯从古典概型角度的阐述会略去对几何概型条件概率的研究[2]；

2. 仅指出0≤P（AB）≤1，教师可对P（AB）=0和1的特殊情况做适当处理，加深学生的理解；

3. 缺少对条件概率本质的阐述和直观的图形认识，抓不住概念的本质.

对此，教师可以根据新课程的要求，创设适当的问题情境，使学生参与到解决数学问题和发现数学规律的活动中去，经历条件概率公式产生的过程. 例如：

例1：箱子里有红、黄、白三个小球，现由甲、乙2名同学依次无放回地摸球，问乙同学摸到红球的概率是多少？

解：B=“乙同学摸到红球”，则所有可能发生的结果记为Ω{白红，白黄，红白，红黄，黄白，黄红}.

由古典概型，得P（B）

问题1：如果已知甲没有摸到红球，那么乙摸到红球的概率又是多少呢？

我们分析问题1，已知甲在没有摸到红球的条件下去求乙摸到红球的概率，这就是一个条件概率问题. 现在给出条件概率定义.

定义：一般地，若有两个事件A、B，已知在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记做：P（AB）.

问题1 （方法一）

解：设事件A=“甲没有摸到红球”，事件B=“乙摸到红球”，则A={红白，红黄，黄白，黄红}为我们所要研究的对象.

一方面，由古典概型，P（BA）

另一方面，由古典概型P（AB），代入上式，得到一个与计数无关的更为一般的公式：

这个公式就是条件概率公式，其中P（AB）表示事件AB同时发生的概率. 因此问题1还可以直接用条件概率公式求解.

问题1 （方法二）

说明：在问题1的方法二中，我们用条件概率公式 P（BA）=进行解答，清晰明了，言简意赅，不仅加深学生对概念的理解，而且激发学生对条件概率公式灵活应用. 接下来我们再来看一个例题：

例2：如图1，边长为3的大正方形被平均分成9个部分，向大正方形内随机投掷一个点（投中且不考虑边界），记为Ω，设投中左上角的小正方形为事件A，投中阴影部分为事件B，求P（B）和P（BA）.

另一方面，在几何概型中，若以m（A），m（AB）分别记事件A，AB所对应点集的测度（包括长度、面积和体积），且m（A）>0，则有P（AB）=，P（A）=.

同样得到P（BA）

在一般情况下，我们把这个算式作为条件概率的定义.

一般地，设A、B为两个事件，P（A）>0，称P（BA）=为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.

说明：问题的设置是为了使学生产生“心理缺口”，激发对本节的学习兴趣. 同时，引例“摸球”来源于教材，做出改编的目的是为了避免“X1X2Y、X2YX1、YX1X2”等符号的干扰，给学生更加清晰直观的认识. 从古典概型和几何概型两个方面进行归纳，引出条件概率的概念，目的是使学生体会公式的合理性.

二、抓住本质，深入理解

问题2：为什么P（B）≠P（BA）呢？

从韦恩图的角度，这个公式可以理解为：已知样本点落在了A中（事件A已经发生），求落在B中（事件B发生）的概率. 由于样本点已经落在A中的条件下，又要落在B中，故要落在AB中（即事件AB发生）.

在这种观点的理解下，原来的样本空间Ω缩减成为了事件A所对应的样本空间，原来事件B所对应的样本空间缩减成为了事件AB所对应的样本空间.[3]

可见，P（BA）与积事件P（AB）是不一样的，且P（BA）=.

P（B）≠P（BA）的原因是样本空间发生了变化.

问题3：样本空间缩小后，P（BA）一定会大于P（B）吗？

例3：（2011年湖南卷）如图3，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.

将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则

说明：问题3的设置是为了纠正学生常见的认知错误，即认为样本空间缩减后的概率就一定会变得比原来大. 但事实上，P（BA）不一定大于P（B），搞清样本空间的变化才是把握条件概率的关键.

【参考文献】

[1] 随倩倩. 评估学生条件概率学习的困难[D]. 上海：华东师范大学，2012.

[2] 王志军. “条件概率”教学设计[J]. 中小学数学，2012（6）：34-36.

篇5：条件概率

随机线性系统依概率稳定的若干等价条件

在系统分析与设计时,需要对系统的动态行为有所了解.为此,讨论了It微分方程描述的线性随机系统依概率稳定性问题.借助Cauchy矩阵,利用测度的单调性与连续性,得到了该类系统在概率意义下的稳定性,包括稳定、一致稳定、渐近稳定和全局稳定的`若干充要条件,这些条件只与Cauchy矩阵的有界性和吸引性有关.

作 者：廖伍代 沈轶 廖晓昕 作者单位：华中科技大学控制科学与工程系刊 名：华中科技大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURE SCIENCE)年，卷(期)：30(7)分类号：O231.13关键词：It 随机微分方程 依概率稳定 测度连续与单调

篇6：条件概率

(一)》题目及解析

今天，呈贡中公教育特意为大家准备了2018云南教师资格面试答辩：《等可能条件下的概率(一)》题目及解析，希望能够为各位考生的考前备考提供一些启发和帮助。更多教师资格面试技巧，请查看呈贡中公教育官网教师资格面试频道。

《等可能条件下的概率(一)》

答辩题目及解析

一、本堂课是如何导入的? 【参考答案】

创造抛骰子的情境，提出具体的实际问题，请学生列举事件发生的情况的结果，进而深化，让学生尝试着求出事件发生的概率，进而导入本节课题。

二、在抛骰子情境中，比较朝上点数大于4的概率和朝上的点数不大于4的概率? 【参考答案】

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呈贡中公讲师解析

以上就是2018云南教师资格面试答辩关于《等可能条件下的概率(一)》题目及解析的内容，每一次发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。最后，中公祝愿所有心怀育人之心的考生们早日实现教师梦。

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篇7：条件概率

班级:电13 姓名:苗键强 学号:2011010645

摘要: 经典寓言故事中往往隐含了与数学相关的知识,本文就经典寓言故事《狼来了》中置信概率的变化做相关分析,通过搭建的几个不同模型来对于实际问题做理论解释｡

关键词: 贝叶斯公式

概率估计

引言: 伊索寓言《狼来了》向我们讲述了这样一个故事:

从前,有个放羊娃,每天都去山上放羊｡

一天,他想了个捉弄大家寻开心的主意｡他向着山下正在种田的村民大声喊:“狼来了!狼来了!救命啊!”村民气喘吁吁地赶到山上帮忙,然而却发现被骗了｡

第二天,放羊娃故伎重演,又欺骗了村民一次｡

过了几天,狼真的来了｡放羊娃再次呼救,然而村民再也不理他了。

问题分析: 在这个故事中我们可以看到放羊娃的言语在村民心中的置信度是随着他说谎的次数增加而逐渐降低的,因此本文就此构建与之相关的几个模型来对此进行相应的解释｡

模型构建: 模型一 :(无视小孩模型)记事件A为“小孩说谎”,事件B为“小孩可信”,假设村子中有N个村民(N视为一个很大的数)｡ 在此模型中不考虑小孩的说谎的概率与其言语可信度之间的关系,且认为村民之间相互不交流,其对于小孩的印象仅取决于他的初始印象和是否上过小孩的当｡假设初始状态下，村民对孩子的印象为P1(B)=0.8｡同时若某一名村民上过小孩的当,则他对于小孩的印象下降至P2(B)=0.2,若他上过两次当,则再也不会相信该小孩了｡

则当小孩第一次说谎时,村民去帮忙的期望值为E1=0.8N 同时这这些村民对小孩的印象下降为P2(B)=0.2,而其余的0.2N的村民对小孩的印象不变｡

同理可得,小孩第二次说谎时,村民去帮忙的期望值为E2=0.8N*0.2+0.2N*0.8=0.32N,即小孩的置信度下降为0.32｡

小孩第三次说谎时,村民去帮忙的期望值为E3=(0.8*0.8+0.2*0.8)N*0.2+0.04N*0.8=0.192N，即小孩的置信度下降为0.192｡

所以在此模型中,小孩说过一次谎后,村民对他的印象下降最大(E1-E2=0.48,下降一半以上),此后则逐步下降｡

模型二:(书本模型)此模型与书本上相同,在此仅为下面的模型过渡,因此不再复述｡ 模型三:(最终模型)在此模型中,我们认为当小孩说过一次谎后,未过上山的村民根据这个其他村民传递的信息,对小孩的可信程度改变服从模型而中的规律｡同时,亲身经历过此事件的村民对小孩的可信程度则服从模型一中的规律,即上过一次当的村民自己对小孩的相信程度降为0.2,上过两次当则不会再相信小孩｡而假如该村民既上过山又有未上山的遭遇,则他对小孩的印象为此时其他从未上过山的村民的印象与他的遭遇而带来的印象的乘积｡

假设初始状态下村民对孩子的印象为P(B)=0.8｡

则小孩说了一次谎言时,上山的0.8N的村民对他的印象降为0.2,而其他的未上山的0.2N的村民对他的印象改变为P(B|A)=P(B)P(A|B)/[P(B)P(A|B)+P(B)/P(A|B)]=0.444｡故此时村民对他的总体平均印象为P(B)=0.444*0.2+0.8*0.2=0.2488｡

在小孩说了两次谎言时,上山的村民为0.8N*0.2+0.2N*0.444=0.2488N｡这其中有0.16N的村民对小孩的印象降为P1(B)=0｡

而对于这时未上山的村民而言,有两部分: 对于一部分自始至终未曾上过山的0.2N-0.888N=0.112N的村民,他们

此

时

对

小

孩的印

象

变

化

--为:P2(B)=0.2488*0.1/(0.2488*0.1+0.7512*0.5)=0.0613;而对于上过一次山,同时有一次未上山的(1-0.16-0.112)N=0.728N的村民,他们此时对小孩的印象变化为:P3(B)=0.0613*0.2=0.0123;所以此

时

村

民

对

他的总

体

印

象

为P(B)=0.0123*0.64+0.0613*0.728=0.0525｡

结论: 我们可以将以上的三个模型进行一个实际的描述: 模型一描述的情况是村民善于“记仇”,但相互之间交流不充分｡因而他们对于小孩的印象仅仅来源于自己的初始认识以及经历｡那么他们对于说谎的小孩的印象变化依次为P1(B)=0.8,P2(B)=0.32,P3(B)=0.192｡因此小孩说谎一次对自身的影响十分大｡

模型二描述的情况是村民不会记仇,即同一时间所有的村民对小孩的印象都一样,而他们之间的交流和沟通很充分,因此在此时计算村民对于小孩的印象可以运用贝叶斯公式得到P1(B)=0.8,P2(B)=0.444,P3(B)=0.138｡可以看到这一种情况下,村民对小孩的印象基本上处于一种递降的趋势｡

模型三描述的情况是村民即善于“记仇”,同时相互之间交流还很充分｡因此他们除了参考自己的历史经历外,还注意他人对于小孩的评价｡而在这一种情况下,通过计算得到了P1(B)=0.8,P2(B)=0.2488,P3(B)=0.0525｡这一种情况下,小孩的信誉下降地是最快的,而且假若小孩说过两次谎,则他的信誉几乎下降为0｡而在现实生活中我们对他人的评价主要与模型三相类似,既会参考他人的观念,也会有自己的开始看法｡比如我们现在的银行业,不仅银行会记录用户的诚信信息,而且会提交到相应的系统中去,供其他银行在对用户办理相关手续时参考。因而假若用户有过一次不良信用记录，则再向银行贷款就几乎是一件不可能的事件｡

篇8：概率化预测隧道地质条件

关键词：隧道风险,地质条件,概率化预测,马尔科夫与神经网络

0 引言

地质条件的不确定性是隧道施工不确定性最主要的来源, 恰当的估计, 既可防止灾难性的后果, 也可以通过减少在施工中的保守措施以及选择合适的开挖和支护方法达到节约资源的目的。探测地质条件的方法分为硬方法和软方法, 硬方法包括从上往下打钻孔和地质超前预报, 软方法更经济, 它包括时间序列、神经网络、马尔科夫随机过程等方法[1]。时间序列分析需要大量信息进行趋势的分析和模式的识别。神经网络能很好地处理非线性联系, 但它无法实现动态预测。马尔科夫方法将地质参数看作是离散状态、连续空间的随机过程, 根据特定位置地质条件及转移概率矩阵预测开挖线上各位置的地质条件, 它在实现动态预测时, 需要通过试验的方法来获得当前位置的地质条件, 往往耗财、费时, 实际工程中也不可能大规模进行试验。而将马尔科夫与神经网络相结合既可以实现动态预测, 又能节省时间和成本。

1 模型结构

模型结构如图1所示, 分为马尔科夫部分和神经网络部分。

ti-1, ti, ti+1是沿隧道开挖线上相邻的不同位置, 它们间距相同, xi-1, xi, xi+1是相应的地质条件 (G1, G2, G3) 。转移概率矩阵为:V=[vij], vij=p[X (ti) =j|X (ti-1) =i]

1.2 BP神经网络部分 神经网络模型中的输入参数X1, X2, X3, X4为盾构机每经过一环 (大约为1.4m) 所记录的数据, 输出Y为地质条件 (G1=0, G2=0.5, G3=1) , 神经网络输出值作为输入值传递至马尔科夫模型, 可能性矩阵L通过计算神经网络在训练集中预测准确度给出。

2 波尔图案例分析

2.1 波尔图隧道工程概况

波尔图地铁地下部分包括两条隧道 (C线和S线) 。C线长约2.5km, 于2000年6月开始选用直径为8.7m的海瑞克土压平衡式盾构施工, 该机器在地质条件良好的情况下采用全开式开挖方式, 在地质条件不好的情况下采用全封闭式开挖方式。隧道于2002年10月顺利完工[3]。

2.2 神经网络输入和输出参数

输入参数为盾构机在掘进过程中, 每隔10s记录的贯入速度 (mm/转) 、刀盘扭矩 (MN.m) 、总推力 (KN) 、刀盘切割力 (KN) 。输出参数为根据岩土的风化程度、破裂程度及断面情况进行的分类 (G1, G2, G3) 。隧道穿过的岩层分为g1-g7。g1-g4为岩石类, g5-g6是土体类, g7是人工材料和冲积土。根据工程信息, 隧道土体有八种断面情况 (图2[4]) , 将这八种断面情况进行如下简化:土体 (G1) , 混合体 (G2) , 岩体 (G3) 。土体 (G1) 对应情况1、2—开挖断面全部由土体构成 (g5和g6) ;岩体 (G3) 对应于情况7、8—开挖断面全部为岩石成分 (g3和g4) ;混合体则是由岩石和土体共同构成。

2.3 数据的选择与模型的训练

盾构机每掘进一环大概前进1.4m, 盾构机有记录的数据从Ring336 (距起点大概631m) 至Ring1611 (距起点大概2418m) , 可以利用的数据总共有742组 (Ring336-1291) 。在这742组数据中选择395组数据 (Ring336-1109中选择) 作为训练集, 用于训练模型, 剩余347组 (Ring401-1141中选择) 为检验集, 检验模型的可靠性。训练集合中G1占29.88%, G2占32.15%, G3占37.97%;预测集合中G1占32.85%, G2占34.01%, G3占33.14%。神经网络为三层结构:输入层、隐层、输出层, 输入层4个节点, 输出层1个节点, 隐层5个, 隐层的激活函数采用S型的tansig, 输出层的激活函数采用S型的logsig, 误差函数选择均方差MSE。为消除不同单位的误差, 将训练集合中的数据按式 归一化, x′为处理后的数据, xmin、xmax为一列数据的最小值和最大值, 为处理前的数据。将训练集合中的数据用神经网络进行训练, 图3为神经网络在训练集合中的表现。

通过对神经网络在训练集中输出结果分析确定如下判别区间:当输出结果落入[0, 0.17]时, 判断其为0, 即神经网络输出为G1;落入 (0.17, 0.49]时, 判断其为0.5, 为G2;落入[0.49, 1]时, 判断其为1, 为G3。由此得到可能性矩阵如表1所示。将训练集的395组数据按前述公式计算, 得到马尔科夫模型转移概率矩阵, 如表2所示。

2.4 动态预测及结果

根据已知地质条件 (R400、R416等) 及V, 求出检验集中地质条件的先验概率。当运行到第Rr-1, 将记录下的参数输入至神经网络, 得到输出值, 通过判别区间判断神经网络预测地质条件, 再结合Rr-1先验地质条件概率计算Rr-1后验地质条件概率, 根据V更新Rr先验地质条件概率, 当盾构机运行至Rr, 重复这一过程。检验集共347组数据, 其中G1有114组数据, 模型将其中111组预测为G1 (97.37%) 、3组预测为G2 (2.63%) ;G2有数据118组, 模型将其中58组预测为G1 (49.15%) , 54组预测为G2 (45.77%) , 6组预测为G3 (5.08%) ;G3共有数据115组, 模型将18种预测为G1 (15.65%) , 13组 (11.30%) 预测为G2, 84组 (73.05%) 预测为G3, 总预测准确率为71.76%。模型预测结果如表3所示, 图4为隧道部分区段预测情况。

G1T表示真实地质条件为G1, G1P表示神经网络输出地质条件为G1.G1T-1表示Rr-1地质条件为G1, G1r表示Rr地质条件为G1.

3 结论

对地质条件恰当的估计既能降低风险, 又能节约成本。一个马尔科夫-神经网络模型被用来动态的、低成本的、大规模的预测波尔图隧道盾构机开挖面前方的地质条件, 395组数据被用于训练模型, 347组数据被用来检验模型。在岩体和土体中模型表现很好, 而在混合体中模型预测准确率有所下降, 模型整体预测准确率为71.76%。在岩体中, 盾构机可以采用全开模式运行可以节约费用, 在土体中, 盾构机采用全封闭模式运营可以降低风险。这对于施工者选择合适的开挖方式和支护方式有一定的借鉴作用。

参考文献

[1]GUAN Zhenchang.Markovian Geology Prediction Approach and Its Application in Mountain Tunnels[J].Tunnelling and Underground Space Technology, 2012 (31) :61-62.

[2]Suchatvee S.Artificial Neural Networks for Predicting the Maximum Surface Settlement Caused by EPB Shield Tunneling[J].Tunnelling and Underground Space Technology, 2006 (21) :133-150.