应用证明书

2024-04-26

应用证明书（精选11篇）

篇1：应用证明书

附件3

科学技术成果应用证明书

成果名称：

完成单位：

应用单位：

（盖章）

应用时间：

XX股份有限公司

二000年制

编写说明

1、“科学技术成果应用证明书”作为验收材料“科技项目（课、专题）技术报告”附件予以填写，证明科技成果应用情况。

2、能独立构成的“科学技术成果”都可以填写“应用证明书”，作为成果备案。

3、成果应用效果要尽可能量化。

成果简介（包括：技术原理、性能指标、创新点、应用前景）

成果主要技术性能指标测试说明

应用效果及分析

成果应用单位意见

联系人：

电

话：

主管领导签字：

（盖章）

****年**月**日

成果应用单位科技主管部门（技术发展处）意见

联系人：

电

话：

主管领导签字：

（盖章）

****年**月**日

成果完成单位主要研制人员名单

姓名

性别

出生年月

技术职称

文化程度

工作单位

对成果的贡献

成果应用单位主要应用人员名单

姓名

性别

出生年月

技术职称

文化程度

工作单位

对成果应用的贡献

篇2：应用证明书

覃祖文

提要: 诉讼证明过程是裁判者运用证据对案件事实进行认定的一个思维过程，证明力应该是裁判者对证据证明功能的审查判断后所体现的能够满足其证明需要的一种证明价值。在具体案件中，由证据对待证事实证明的特殊性所决定，运用证据证明待证事实是一个动态的过程，证据审查过程是证明力得以实现的载体，因此，证据的证明力在证明活动中，应通过证据审查的整个过程来体现。

一、证明力的界定

对何为证据的证明力，学术界有不同的认识，大体可分为两种意见:一是认为证明力是证据对案件事实的证明价值和功能;二是认为证明力是证据事实对待证事实的证明价值。

把证据看作是一种证明功能，实质上是侧重于证据的自然效力，是从证据本身所固有的属性出发去考察而得出的结论，因为证明功能是客观的，因此，该种观点的理论基础是证据客观性。而认为证明力是证据对待证事实所具有的证明价值，更侧重于证明主体发挥自己的主观认识性运用客观存在的证据去证明待证事实，其中隐含着证据不仅具有客观性，而且具有主观性。因此，对证明力的本质之争，也隐含着证据本身所具有的属性之争。有学者认为:“诉讼外的证据不具有主观性，诉讼中的证据必具有主观性。前者为客观证据，后者为诉讼证据。诉讼证据的初级阶段为证据材料，主观性处在矛盾的主导地位;诉讼证据的高级阶段为定案证据，客观性处在矛盾的主导地位。但是，只有主观性和客观性完全统一的证据，才是真正意义上的证据。”[1]笔者认为，这一观点较符合具体案件证据的认识规律。自然意义上的证据是客观存在的，从其本身来说是纯客观的，这是勿容置疑的，这是从应然层面上考察证据所得出的结论，但是，从实然的层面上看，作为司法裁判中的证据，还需要人的主观认识判断。证据的审查判断是一个动态过程，证据的客观性和主观性存在于证据证明这一统一体中，在这一过程中，通过内部矛盾的不断运动，证明力最终得以完全实现。诉讼中的证明，是作为主体的人运用自己的思维对客观存在的客体物证据进行审查判断，它是一个思维判断的过程，离不开人的主观思维，其具有主观性。作为主体的人判断证据最终能否证明案件事实，如果能够证明案件事实，则满足了主体的愿望，实现了证明目的，证明力也就实现了。证据是否能够证明案件事实，取决于两个方面，一是证据与案件事实的客观联系及其程度，即证据本身对待证事实的证明功能，二是人对证据本身客观真实性的认识和判断。证明力实际上就是证明主体对证据本身对待证事实的证明功能的主观判断过程和结果，在这一过程中，最初人们对证据本身的证明功能认识是有限的，不全面的，其主观的因素较多，随着认识的深化，证据本身的证明功能被人们所认识，能够达到证明主体的证明需要，证明力完全得以实现。在证明过程中，其主观性和客观性表现为此消彼长。因此，证明力应该是对客观存在的证据证明功能的认识和判断后所体现的满足证明主体需要的一种证明价值，证明力又具有主观性。

二、证明力判断的过程性

证明力的判断是一个过程。它是证明主体运用其主观认识能力，对已收集到的证据材料的证明功能进行判断，最后审查认定材料的客观真实程度，即与客观存在的证据的相符程度，以及该种证据材料与案件事实的关联程度的一个过程。因此，可以说，证明力是证明过程中证明主体对客观存在的证据功能的主观价值判断，其判断具有过程性。

1、把证明力的判断看作是证据审查过程和结果相统一的一个过程，是由证据审查的动态性特点所决定的。证据审查判断这一活动贯穿在整个诉讼过程的各个阶段，对证据的审查判断与对证据的收集，也不

能截然分开，而是互相联系，交错进行的。[2]证据的证明作用和价值也是通过不同阶段的审查来实现的，一份证据材料与待证案件事实是否存在联系，是否客观真实，是通过一系列审查过程来实现，刑事案件从案件的立案侦查开始，证据材料就可能伴随着真真假假，其对案件事实不能说毫无证明价值，也不能说都具有证明价值，是否具有证明价值，即是否真实，是否与案件事实具有客观联系，得靠不断地收集其它证据来检验，同时，对证据的客观真实性与关联性的审查也是交替进行的。证据对案件事实证明是一个不间断的过程，证明力大小的判断也是一个不间断的过程，它是通过各种不同的检验手段来确定其对案件的证明作用和价值。

2、把证明力的判断看作是证据审查过程和结果相统一的一个过程，是由证据的审查方法与审查结果的不可分割性所决定。案件事实是已经发生过的事实，诉讼证明实质上是一种多主体所进行的运用证据推求已经发生之事实的回溯性活动，其核心部分，是让知情者(经历者)的认识转化为不知情者(裁判者)的认识。对于裁判者，纠纷事实是一种“过去的事实”，不可能重演现，只能通过证据，根据事物联系的一般规律，才能有所认识。[3]裁判者不是案情的经历者，有的还得靠知情者(被害人或者被告人)的陈述，有的靠案件发生时给客观世界留下的痕迹或行为人在现场留下的物品等证据，以及人们对该痕迹及物品与案件事实联系的认识，来达到对案件事实的认识。因此，裁判的事实与客观存在的事实不可能是完全相符的，它具有或然性。证据的审查结果不可能象数学或自然科学那样的计算结果，可以进行准确的量化，而且有的可以通过公式表达出来，其计算出来的结果具有相当的准确性，其方法过程与结果具有明显的可分性。

3、把证明力的判断看作是证据审查过程和结果相统一的一个过程，是由证据认证的特定方式决定的。证据必须经过审查属实，才能作为定案的根据，证据是否客观真实，有时并非是一个简单的过程，某一份证据是否有证明价值，不是由它自身来说明的，有时甚至是靠一个证据链条来完成的，在对这一证据链的审查中，有时可能通过一系列不同的审查方法来实现，其中可进行综合的比对，发现矛盾，排除矛盾，或进行逻辑推理，或进行鉴定，或者进行现场实验。如在审查一个案件证据的证明力时，事实裁判者通过对比的方法，虽然已发现了各种证据材料间的矛盾，但此时往往还无法确定该证据是否具有证明价值或有多大的价值，要判断其证明价值，有时还可能通过对证据自身进行审查，看其是否符合客观事实，是否符合逻辑，因此，要考察证明力的大小，不完全是看其审查的结果，还要结合不同的审查方法和结果来综合确定其证明价值。

三、证明力实现的过程性及其现实意义

上述已论述，证明力作为一种证明价值，其具有主观性，这种主观认定结果又是通过各种客观的现象及客观手段或方法来进行检验的。因此，证明力的实现也具有过程性。将证明力的实现界定为一个过程有其现实的意义。

1、将证明力的实现界定为一个过程，可以解决证据概念长期存在的理论纷争。对证据概念的界定，我国证据学理论界长期以来，都存在传统理论上的“事实说”、“统一说”、“广义狭义说”及近年来的“根据说”和“材料说”的理论纷争。证据本身所具有的证明功能是证据属性相关性的重要体现，也是评价证明力的最重要的客观依据，诉讼证据是查明案件事实的根据，既然证明力的审查判断贯穿于案件事实查清的全过程，证明力的实现也是一个过程，证明力大小评定的根据是证据审查方法和结果，作为证明力存在的载体的证据本身就不可能是一个静态的概念，而是一个动态的概念，把证据界定为一个动态的概念，可以解决各个时段证据现象的属性问题，上述理论纷争能够得到合理解决。有学者提出“在证据概念问题上，我们必须走出以点带面的偏狭思维，而转向一种动态的、过程性的证据概念。”[4]这样的观点是有其充分根据的，因此，树立证明力的动态观，可以解决长期以来证据概念存在的理论份争。

2、将证明力界定为一个过程，可以避免从静态的角度看待证明力而带来的对证明力标准认识上的混乱。有的学者认为，评判证据证明力的标准是相关性标准和合法性标准。证据的客观真实性不应成为证据证明力的判断标准，因为证据的证明力是以证据的客观真实性为前提的，我们谈证据的证明力，谈的是已被确认为具有客观真实性的证据的证明力。[5]在该种观点中，虽然论者也是以证明力是一个动态概念为前提的。其实，他恰好是把证明力固定在某一时点上来理解而得出的结论，其忽视了证明力的过程性和动态性，因为证据客观真实性与关联性的审查在证据审查中是相互交替进行的，证明力是靠证据客观真实性与关联性相互交替审查这一动态过程来实现的。证据客观真实性与关联性的审查有时甚至是同时进行的，对某一证据的审查，有时既是真实性的审查，又是关联性的审查，如在物证中，相互碰撞中产生的痕迹，两件物证痕迹是否吻合，既是审查证据之间能否相互印证，以确定其客观真实性，又是审查证据之间及与案件事实是否有关联。证据是否真实和是否与案件有关联，有时是难以分出先后顺序的，这时证明案件事实就靠其审查的手段、方法和结果来实现。因此，证明力评判的标准不能撇开证据客观真实性，评判证据证明力的标准应是证据的客观真实性和关联性。

篇3：应用解析法证明兰勃特定理

Lambert定理求证:抛物线的外切三角形的外接圆必过其焦点.

1 建立平面直角坐标系证明

证明1 如图1, 设Ai (2pti2, 2pti) (i=1, 2, 3) 为抛物线y2=2px上3 点, 则过Ai点的3条切线方程为

li:x-2tiy+2pi2=0.

由此可解出3条切线的交点坐标为

A12 (2pt1t2, p (t1+t2) ) ,

A23 (2pt2t3, p (t2+t3) ,

A31 (2pt3t1, p (t3+t1) ) .

经过A12, A23, A313点的圆的方程是

将A12, A23, A31的坐标代入 (1) 式, 易得

2 建立极坐标系证明

过Ai (i=1, 2, 3) 3点的切线方程为

而A1, A2是不同的两点, 故上式括号前不能取正号, 因此有

因此, 过A1和A2两切线交点的坐标为

同理, 由轮换性可得B2和B3的坐标分别为

显然B1, B2, B33点的坐标满足圆的方程

设Ai为抛物线上任意3点, 其极角分别为θi (i=1, 2, 3) , 于是过Ai3点的切线方程分别为

因此可得两切线两两交点的坐标分别为

显然B1, B2, B33点的坐标满足圆的方程

这表示半径为

由于焦点F是极点, 故圆心与焦点的连线|OF|=R=圆心O的极径, 所以此圆过抛物线的焦点.

综上所述, 应用解析法证明兰勃定理, 其实是证明4点共圆的问题, 其关键在于正确选择坐标系, 巧妙运用两切线交点坐标的轮换性, 求得圆的方程, 然后说明抛物线焦点的坐标满足圆的方程即可.

此法不仅思路简捷, 证题明快, 而且富有规律, 不添加辅助线, 因而对于开阔视野、提高证题水平均有一定作用.

参考文献

[1]于志洪.极坐标法证郎古莱定理及其推广[J].美国:太平洋杂志, 1996, 186 (2) .

[2]于志洪.极坐标法证西摩松定理及其推广[J].学校数学通讯, 1998, (16) .

[3]于志洪.极坐标法证一定理及其推广一[J].数学通讯, 1990, (2) .

[4]于志洪.极坐标法证三点共线[J].数学教学, 1984, (4) .

[5]四川省数学会.数学课外活动 (高中二年级) [M].重庆:重庆出版社, 1983.

[6]林华.圆锥曲线[M].杭州:浙江人民出版社, 1982.

篇4：久期规划策略证明及应用

关键词：久期规划到期收益率跟踪误差债券指数

久期规划（Duration Targeting，下文中简称DT）是由固定收益大师莱伯维茨博士在今年出版的新书《Inside The Yield Book》中提出的债券投资策略。该策略虽然简单直观，却颠覆了我们对于债券作为固定收益金融产品的传统认知：一是久期不仅可以用作衡量债券利率风险的指标，还可以作为锁定债券组合投资收益的标杆。二是债券组合的应计利息在经过一定投资年限的累积后会抵消相对应的净价变化对投资收益的影响。

在此，笔者将久期规划策略的主要理论呈现给读者，并将该策略应用于中央结算公司编制的不同类型的债券指数，通过追踪债券指数的投资收益率确实向初始到期收益率收敛，在保持投资期限内的久期稳定的条件下，验证了久期规划策略的有效性。

久期规划策略的内容及证明

债券组合的投资方式大致可以分为三类：持有至到期、久期免疫和久期规划。持有至到期以追求绝对收益为目的，回收金额和期限固定，但是债券组合在投资过程中的价值会受到债市波动的直接影响。久期免疫用于资产负债管理，主要目的在于减少由利率期限结构变化而带来的风险。二者的共同点在于债券组合的久期均会随着时间流逝而逐渐降低。与之不同的是，久期规划策略通过定期调整债券组合成份券，保持组合平均久期固定，可以实现无论各成份券的到期收益率如何波动，债券组合的年化收益率会稳定地向组合初创时的加权到期收益率收敛，并且收敛的波动率会随着投资年限的增加而逐渐减小。久期规划策略的执行可以通过设定一个债券投资组合的久期目标或者追踪一支久期稳定的债券指数实现。在下文中笔者分别通过趋势线模型以及随机行走模型对久期规划理论进行证明，并给出该策略的跟踪误差以及总波动率的衡量方法。

（一）趋势线模型（Trendline Model）

图1 趋势线模型（单位：%、年）

在趋势线模型中，我们假定持有平均久期为的零息债券组合，且每年该组合到期收益率等量递增。如图1所示，该组合的到期收益率初始值为3.0%，最终值为5.5%，在5年的持有期内每年增加0.5%。为了保持久期稳定保持在5.0的目标（D=5.0），我们在每年的年末对组合进行调整，卖出久期较小的旧债，购入久期较长的新债。

对于零息债券，我们可以用如下公式近似计算其在年末投资收益率：

在第1年末的时候，利用上述公式我们可以推算出第一年投收益率为：。以此类推，表1列出了每年进行调整后的投资回报率。

表1 趋势线模型收益逐年变化（久期D=5年，投资期限N=5年）

年初始到期收益率到期收益率变化最终到期收益率久期净价变化年末总回报率

13.0%0.5%3.5%4.0-2.0%1.0%

23.5%0.5%4.0%4.0-2.0%1.5%

34.0%0.5%4.5%4.0-2.0%2.0%

44.5%0.5%5.0%4.0-2.0%2.5%

55.0%0.5%5.5%4.0-2.0%3.0%

65.5%0.5%6.0%4.0-2.0%3.5%

76.0%0.5%6.5%4.0-2.0%4.0%

86.5%0.5%7.0%4.0-2.0%4.5%

97.0%0.5%7.5%4.0-2.0%5.0%

平均值5.0%0.5%5.5%4.0-2.0%3.0%

表1显示，债券组合在每次调整后，由于债券到期收益率增加而带来的净价损失是-2.0%，然而由应计利息累积的投资收益却在逐年递增（由第1年时的3.0%增加至第5年时的5.0%），但是净价损失所带来的影响还是主导了投资收益，前5年的平均年化收益率只有2.0%。我们由此继续推算，当久期规划策略执行到第9年的时候，由不断增加的应计利息累积所产生的投资收益会抵消净价方面的损失，9年持有期的平均年化收益收敛至该组合的初始到期收益率3.0%。

表1仅描述了到期收益率持续增加的一种情形。事实上，当债券的到期收益率下跌时，在净价方面的获利会被不断下降的应计利息收益削减。表2描述了在5年的投资期限后，最终到期收益率在（-3%，3%）的区间之内，超额年化收益率（Excess Return）（等于年化收益率-初始到期收益率）与到期收益率变化的关系。

表2 趋势线模型收益和价格变化（D=5年，N=5年）

到期收益率变化合计净价变化合计应计利息累积合计总收益合计5年平均年化收益率超额年化收益率超额年化收益率/到期收益率变化

-3.0%12.0%9.0%21.0%4.2%1.2%-0.40

-2.0%8.0%11.0%19.0%3.8%0.8%-0.40

-1.0%4.0%13.0%17.0%3.4%0.4%-0.40

0.0%0.0%15.0%15.0%3.0%0.0%-

1.0%-4.0%17.0%13.0%2.6%-0.4%-0.40

2.0%-8.0%19.0%11.0%2.2%-0.8%-0.40

3.0%-12.0%21.0%9.0%1.8%-1.2%-0.40

值得注意的是，表2中第7列中超额收益率与到期收益率变化的比率一直是-0.4，这个比率被称为趋势线久期（Trendline Duration）。在久期规划策略中，趋势线久期可以用代表应计利息累积因素的累积因子（Accrual Factor）与代表投资期限因素（也可视为代表净价影响）的久期因子（Duration Factor）描述：

图2 累积因子与久期因子对投资收益的影响（横轴单位：年）

如图2所示，在执行久期规划策略的初期，代表净价影响的久期因子对投资收益起主导作用，远高于累积因子的影响。然而，当久期因子与累积因子相等的时候，趋势线久期等于0。此时无论债券组合的到期收益率处于何处，该组合的平均年化收益率与初始到期收益率相等。在图2中，累积因子与久期因子在第9年时相交，印证了表1的平均年化收益率向初始到期收益率在第9年收敛的结果。

由此我们可以得出，当投资期限为2倍久期目标减1的时候，趋势线久期等于0，该投资期限被称为有效到期日（Effective Maturity），有效到期日描述了实现收益率收敛所需的投资期限长度。

（二）随机行走模型（Random Walk Model）

趋势线模型可以扩展为包含随机行走的更符合实际债市波动的模型。利用随机行走模型，我们可以估算出由债券收益率波动而带来的趋势线波动率（Trendline Volatility）与跟踪误差（Tracking Error）。在随机行走模型中，趋势线波动率与跟踪误差互相独立，共同构成了久期规划策略投资收益的总波动率（Total Volatility）。

趋势线波动率是指由最终到期收益率的随机变化而产生的波动率，也是超额年化收益率的波动率。我们假设到期收益率的变化是一个以均值为0，年化标准方差为1.0%（）的随机行走过程。在5年的投资期限后，最终到期收益率变化的标准方差变为，这也意味着68%的收益率变化会在倍标准方差之内。

在表2中，我们可以发现使用趋势线模型的5年期年化超额收益率等于第5年时趋势线久期的负值（-0.4）乘以到期收益率变化合计（到期收益率最终值-初始值）：

所以，趋势线波动率可以由以下方法计算：

图3 趋势线波动率（D=5年，单位：%、年）

在图3中我们可以看到，随着投资期限的增加，趋势线波动率由第1年时的4%，快速减少到第5年的0.89%。当投资期限等于有效到期日时（），趋势线波动率为0，9年投资期限的平均年化收益率等于初始到期收益率。

图4 非趋势线路径（单位：%、年）

趋势线波动率描述的是最终到期收益率的随机变化情况，然而如图4所示，非趋势线路径中所产生的应计利息累积与趋势线模型的应计利息累积结果之间存在残差，跟踪误差（Tracking Error）即描述残差部分的随机变化，跟踪误差可以用下面的公式近似获得：

有了趋势线波动率和跟踪误差之后，我们可以计算出在不同的投资期限N时，久期规划策略投资收益的总波动率：

图5 久期规划策略收益的总波动率（D=5年，，单位：%、年）

在图5中我们可以看出，一个久期目标为5.0的久期规划投资组合的投资收益总波动率由第1年时的4%，逐渐减小至第3年的1.8%和第4年的1.38%。在第8年时总波动率达到最小值0.84%。

中债指数的策略应用

为了验证久期规划策略在债券指数化投资中的收益率收敛效果，笔者选取了中央结算公司编制的六支债券指数进行测试：分别是中债-综合指数、中债-中短期债券指数、中债-长期债券指数、中债-固定利率金融债指数、中债-浮动利率金融债指数及中债-高信用等级中期票据指数。

（一）中债-综合指数策略应用

图6 中债-综合指数平均市值法久期

数据来源：中债综合业务平台

由图6中我们可以看到，中债-综合指数在2002年创建以来，平均市值法久期稳定在4左右。过去12年该指数的平均久期为4.3，过去3年间该指数到期收益率的平均年化波动率是1.5%。如果我们选择投资期限为4年，根据久期规划理论，4年期的年化投资收益率应该向4年前该指数的平均到期收益率收敛，二者误差在总波动率的范围之内。

图7 投资中债-综合指数平均市值法到期收益率与4年年化收益率

数据来源：中债综合业务平台

图7中蓝色的曲线为中债-综合指数的平均市值法到期收益率从2002年至今的走势，橙色的曲线为从2002年开始投资该指数4年的平均年化收益率。如果我们将橙色的曲线向前挪动，使之与中债-综合指数的到期收益率曲线重叠，年化收益率确实向初始到期收益率收敛（图8），两条曲线走势基本一致。

图8 投资中债-综合指数4年年化收益率收敛

数据来源：中债综合业务平台

在图8中，我们可以进一步发现2002-2008年的年化收益率与到期收益率之间误差较大，超出了总波动率的范围。这是因为2008年之前中债综合指数的久期呈现趋势性下降（见图6），久期规划策略所要求的久期稳定条件没有满足。2008年3月至今的中债综合指数久期比较稳定，今年6月份以来的债市收益率显著上涨，扩大了收益率波动率，但是投资收益与初始到期收益率的误差依然符合之前的总波动率范围（图8中箭头标示的区间）。

（二）中债-中短期与长期债券指数策略应用

图9 投资中债-中短期指数4年年化收益率收敛（单位：%）

数据来源：中债综合业务平台

2005至今，中短期债券指数的平均久期为3.90，图9为投资该指数4年的平均年化收益率（红色曲线）向4年前的初始到期收益率（蓝色曲线）收敛。

篇5：教材应用证明

目前，印度的“软件蓝领”模式主导了中国IT培训业。据统计，仅印度ApTECH系认证在中国就占据1/4以上的份额。由于印度IT培训业相对成熟，其模式和教材也迅速在国内得到推广。然而，由于当初是靠着“拿来主义”进入中国，该模式对中国IT产业缺乏了解，它所倡导的人才理念，所采用的培训教材、培训方法，完全是从印度直接“复制”到中国，只不过证书发的是国内的。

在这种情况下，印度模式“秉政”中国IT培训业，必然造成不少社会问题。首先，它倡导“软件蓝领”培养出大量“技术工人”，造成基础性人才过剩，人才的供需结构失衡。其次，在人才的技能培养上，它倡导“木桶理论”使学员只掌握某几种语言，不能满足企业对IT人才“基础+技能+实践”的综合性要求，引发了就业问题，等等。

“IT职业培训的核心竞争力应是教材。不管你强调师资多么强，证书多么权威，学费多么低，就业出口多么丰富，都要以教材为核心。没有真正有用的教材，就教不出真正有用的人才。”著名教育专家、全国高校计算机基础教育研究会副会长吴文虎教授认为。

所以，要想在战略上要解决模式问题，首先就要在战术上解决教材问题。通过多年研究，清华大学继续教育学院IT教育培训中心开发出了全新的“T型人才”培养模式和一套“应用型”培训教材。据该中心孙元凯主任介绍，“清华IT工程师”课程所采用的教材由主导教材、辅助教材、案例教材三部分构成，是依据“T型人才”培养模式所设置的，是从基础理论、专业技能和工程实践的三个阶段出发所采取的因材施教的科学培训方法。

与外来教材不同的是，“以应用为主、实用性强”是这套教材的显著特征。这套教材采用“逆向工程式”开发，在开发初期，清华通过企业发布的大量人才招聘信息进行研究，先分析企业需要什么样的人才，然后明确岗位设置和职责要求，再提炼出每一岗位需要的知识技能点，然后根据这些点去组织课程，再补充上职业素质训练和实践训练，最后才形成一整套培训教材。

篇6：用户应用证明

兹证明XXX有限公司向我司提供了XXX、XXX等产品的外观设计服务，所设计的产品极具现代感与时尚气息，满足了我司对该系列产品安全、实用、方便、舒适、美观的要求。

同时，XXX公司设计实力雄厚，服务态度出色，是我司良好的合作伙伴，希望今后能保持长期合作。

特此证明。

XXX有限公司

篇7：万顷良田建设应用证明

新沂市国土资源局和江苏省地质调查研究院联合编制的《新沂市万顷良田土地质量地球化学评价报告》，为我市在万顷良田建设方案制定、农田环境治理、土地质量维护等方面提供了技术资料，得到了很好的应用。

1、该项科技成果详细调查了评价区的浅表地质特征，查明了地表下2米内的土层结构和元素含量特征，对万顷良田建设影响较大的人工填土、农村建筑用地、浅部砂土层进行了重点研究，从浅表地质背景、土层结构方面提出了万顷良田建设的建议，为我市在万顷良田建设方案制定提供了技术支撑。

2、该项科技成果对区内污染源包括工厂、高速公路、人类工业生产“三废”排放以及灌溉水、河流底泥等对土地重量的影响进行了调查评价，高速公路沿线50米受重金属影响明显，区内小型工厂附近重金属严重超标，其影响范围可达200米以上等，为我市建设万顷良田时进行区内及周边污染治理提供了科学依据。

3、该项科技成果通过对影响土地质量的污染源、灌溉水、河流底泥、大气降尘、农产品品质等因素调查评价，提出了万顷良田建设区土地质量维护的建议，为我市对万顷良田区的土地质量维护和提升提供了科学依据。

特此证明

新沂市万顷良田建设指挥部

篇8：泰勒中值定理的证明及应用探析

关键词：泰勒中值定理,泰勒公式

高等数学作为必修科目在高等教学中占有重要的地位, 而泰勒中值定理在微积分中对于较多不易解决的问题都能相对较为简单的实现, 泰勒中值定理的应用也可以在等价公式中找到最好用于替换的等价无穷小, 从而弥补了在计算中常用公式的不足。做好泰勒中值定理的研究分析工作, 就可以更好地服务于高等数学领域其他重要定理的研究应用。因此, 对于泰勒中值定理的证明在高等教育中就显得尤为重要。

一关于泰勒中值定理的证明

设函数f (x) 在开区间 (c, d) 内有直到n+1阶的导数, 设a, b为 (c, d) 内的任意两个点。则:

(其中ξ介于a, b之间)

也就是说:

注:公式中所涉及的数值K即为公式 (1) 中所决定的, 在公式 (2) 中的K值只是作为一定的常数值出现。所以, f (b) =φ (a) =φ (b) , 由罗尔定理分析可得知, 存在ξ介于b, c之间, 使得φ' (ξ) =0。

证明完成。

由此可见, 这种证明方法不仅适用于各种数值, 对于n=0的情况也是适用的, 即对于拉格朗日中值定理具有同样的作用, 并且相对于拉格朗日中值定理更简单明了。

二关于泰勒中值定理的再一证明

假设函数f (x) 在某个开区间 (a, b) 内存在x0, 且区间内拥有直到 (n+1) 阶的导数, 所以, 当x属于 (a, b) 区间时, f (x) 就可以表示为 (x-x0) 中的一个n次多项式与一个余项Rn (x) 的总和:

下面用含有皮亚诺余项的泰勒公式进行证明:

而且满足:α1 (x-x0) =O (x-x0) 。

∴可以将 (2) 式写成:

所以可以将 (3) 式写成:

证明完成。

关于泰勒中值定理的证明方法有多种。如果教师做到讲解过程的简单易懂、合乎情理, 就能够使学生在整个教学授课过程中, 自始至终地主动参与并跟随教师的讲解思路进行思考探索, 最终达到良好的授课效果。

三关于泰勒中值定理的应用

在高等数学研究领域, 关于泰勒中值定理的应用比较广泛, 下面通过几道例题来介绍关于泰勒中值定理的应用。

例题1:求函数f (x) =ex的马克劳林公式。

例题2:将f (x) =sinx展开成为x的幂级数。

收敛半径:R=+∞。

对于任意数x、ξ (ξ介于0与x之间) , 则有:

所以, 通过上述推理, 可以得到:

根据等式两边的积分可以得出:

四结束语

综上所述, 本文通过对泰勒中值定理的证明及应用分析, 得出了在多道例题的应用中, 泰勒中值定理的运用更容易使学生对于所授题型具有更好的理解, 这样不仅大大提高了教师课堂授课的效率, 也提高了学生的学习效率, 更有助于学生对于高等数学学习主动性逻辑思维的形成, 对于锻炼学生的主观学习兴趣也有很好的效果, 这样就更有利于实现高等数学教学课堂的重要意义。

参考文献

[1]齐春玲、李晓培.关于罗尔 (Rolle) 中值定理条件的研究[J].河南科技大学学报 (自然科学版) , 2007 (5)

[2]杨喜娟、许树声.二元函数泰勒公式“中间点”的渐近性[J].数学理论与应用, 2008 (1)

[3]王成伟.积分型柯西中值定理中间点的渐近性质[J].北京服装学院学报 (自然科学版) , 2009 (4)

篇9：线面垂直的证明与应用

例1如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.

求证：（Ⅰ）BC⊥平面PAB；（Ⅱ）AE⊥平面PBC；（Ⅲ）PC⊥平面AEF.

证明（Ⅰ）PA⊥平面ABC[⇒]

[PA⊥BCAB⊥BCPA⋂AB=A⇒BC⊥平面PAB.]

（Ⅱ）AE[⊂]平面PAB，由（Ⅰ）知

[AE⊥BCAE⊥PBPB⋂BC=B⇒AE⊥平面PBC.]

（Ⅲ）PC[⊂]平面PBC，由（Ⅱ）知

[PC⊥AEPC⊥AFAE⋂AF=A⇒PC⊥平面AEF.]

例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

（Ⅰ）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.

（Ⅱ）当[a=4]时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.

（Ⅲ）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.

解析（Ⅰ）当[a=2]时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD，BD[⊂]平面ABCD，

∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.

故当[a=2]时，BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）当[a=4]时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.

∵ABMN和DCMN都是正方形，

∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=90°，即DM⊥AM.

又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，

故当[a=4]时，BC边的中点M使PM⊥DM.

（Ⅲ）设M是BC边上符合题设的点M，

∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.

例3正方形[ABCD]中，[AB=2]，[E]是[AB]边的中点，[F]是[BC]边上一点，将[△AED]及[△DCF]折起（如图），使[A、C]点重合于[A′]点.

（Ⅰ）证明：[A′D⊥EF]；

（Ⅱ）当[F]为[BC]的中点时，求[A′D]与平面[DEF]所成的角；

（Ⅲ）当[BF=14BC]时，求三棱锥[A′-EFD]的体积.

解析（Ⅰ）∵[A′D⊥A′E，A′D⊥A′F]，

∴[A′D]⊥平面[A′EF.∴A′D⊥EF].

（Ⅱ）取EF的中点G，连结[A′G、DG].

∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴[EF=2].

又∵[A′E=A′F=1]，

∴[∠EA′F=90°，A′G⊥EF]，得[A′G=22].

∵[A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′]，

∴[EF⊥平面A′DG.]

∴平面[DEF]⊥平面[A′DG.]

作[A′H⊥DG]于[H]，得[A′H]⊥平面[DEF]，

∴[∠A′DG为A′D与平面DEF]所成的角.

在Rt[△A′DG]中，[A′G=22]，[A′D=2]，

∴[∠A′DG=]arctan[24].

（Ⅲ）∵[A′D⊥平面A′EF]，

∴[A′D是三棱锥D—A′EF]的高.

又由[BE=1，BF=12]推出[EF=52]，

可得[SΔA′EF=54]，

[VA′－EFD=VD－A′EF]

[=13⋅SΔA′EF⋅A′D=13]·[54]·2=[56].

例4如图，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]⊥底面[ABCD]，侧棱[PA=PD＝2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD,AB⊥AD,][AD=2AB=2BC=2],[O]为[AD]中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.

解析（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，

所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面[PAD⋂]平面ABCD=AD, [PO⊂]平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，

BC∥AD，[AD=2AB=2BC,]

有OD∥BC且OD=BC，

所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为[AD=2AB=2BC=2],在[Rt△AOB]中，[AB=1,][AO=1,]所以[OB＝2]，

在[Rt△POA]中，因为[AP＝2]，[AO＝1]，所以[OP＝1]，

在Rt[△PBO]中，

tan[∠PBO＝POBO=12=22,]

[∠PBO=arctan22.]

所以异面直线[PB与CD]所成的角是[arctan22].

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32].

设[QD＝x]，则[SΔDQC=12x].

由（Ⅱ）得[CD=OB=][2]，

在Rt[△POC]中， [PC=OC2+OP2=2,]

所以[PC=CD=DP], [SΔPCD=34⋅(2)2=32,]

由[VP-DQC=VQ-PCD],得[x=32]，

所以存在点[Q]满足题意，此时[AQQD=13].

例5已知[△BCD]中，[∠BCD=90°]，[BC=CD=1]，[AB]⊥平面[BCD]，[∠ADB=60°，E、F]分别是[AC、AD]上的动点，且[AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).]

（Ⅰ）求证：不论[λ]为何值，总有平面[BEF]⊥平面ABC；

（Ⅱ）当[λ]为何值时，平面[BEF]⊥平面[ACD]？

解析（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.

又[∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),]

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC，又EF[⊂]平面BEF,

∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF.

又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴[BD=2,AB=2tan60∘=6,]

[∴AC=AB2+BC2=7.]

由[AB2=AE⋅AC],得[AE=67,∴λ=AEAC=67.] 故当[λ=67]时，平面[BEF]⊥平面[ACD].

例6如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，[∠ABC=60°],E、F分别是BC、PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为[62]，求二面角[E-AF-C]的余弦值.

解析（Ⅰ）由四边形[ABCD]为菱形，[∠ABC=60°]，可得[△ABC]为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE[⊂]平面ABCD，

所以PA⊥AE.

而PA[⊂]平面PAD，AD[⊂]平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.

又PD[⊂]平面PAD，所以AE⊥PD.

（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.

由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，

在Rt△EAH中，AE=[3]，

此时tan∠EHA=[AEAH=3AH=62,]因此AH=[2].

又AD=2，所以[∠ADH=45°]，

所以[PA=2].

因为PA⊥平面ABCD，PA[⊂]平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.

过O作OS⊥AF于S，连接ES，

则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=[32]，

AO=AE·cos30°=[32].

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，

SO=AO·sin45°=[324],

又[SE=EO2+SO2=34+98=304,]

在Rt△ESO中，cos∠ESO=[SOSE=324304=155,]

篇10：平行四边形的应用证明

1.如图，□ABCD中，AE、CF分别与直线DB 相交于E和F,且AE//CF, 求证：CE//AF.C

2..如图，□ABCD中，BM垂直AC于M,DN垂直AC于N, 求证：四边形BMDN是平行四边形。

3.如图，□ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN,DE=BF,求证：四边形MFNE是平行四边形。

4.如图，AB、CD相交于点O,AC//DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE,求证：AF//BE.A

5.在四边形ABCD中，AB//CD,对角线AC、BD交于点O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OE=OF，求证，ABCD是平行四边形。

6.如图，过□ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F，又G、H分别为OB、OD的中点，求证：四边形EHFG为平行四边形。

7.如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

8.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。

9.如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2AB，AF=AB=BE，且点E、F在直线AB上，求EOF的度数．C

A B

篇11：欧拉公式的证明方法和应用

eicosisin的证明方法和应用

i摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ecosisin，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数

1.欧拉公式意义简说

在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被ecosisin这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当时，有e1，即e10，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i、e、联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]。它们在数学中各自都有发展的方面。因是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”

此e+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

iiii

2.欧拉公式的证明简述

在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法

引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ecosisin，2.2复指数定义法

用复指数定义ee

2.3类比法求导法

通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)

ixzxiyie(cosyisiny)，证明欧拉公ecosisin xiixcosxisinx，f(x)0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)1,使得ecosxisinx

2.4分离变量积分法

假设zcosxisinx，求导得dzdziz，通过分离变量得idx,，然后两边取积分得dxz

Lnzix，所以得ecosxisinx.3.欧拉公式的证明方法

3.1幂级数展开式的证明方法：

3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ： ix

sin(z)z3!355!

4(1)n12n2n1(zn1)!n, cos(z)122!24!(1)(2n)!, 3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]

ez1z2!nn!, 当用iz代替 z时，那么 iz(iz)1iz2!2(iz)n!n

(12

2!4

4!)i(z3!355!)

coszisinz

当z时，得到ecosisin。

3.2复指数定义法：

对于任何复数zxiy(x,yR)，有

ii（证完）ezexiye(cosyisiny)[2]，当x=0时，另xy,有ecosisin（证完）

3.3类比求导法：

3.3.1构造函数f(x)

3.3.2计算导数

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ixixixcosxisinx xR,i为虚数 ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推论 0

若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)c,c为常量，又因为f(0)1, 所以f(x)1,有

eixcosxisinx.（附件②）（证完）

3.4分离变量积分法

dzicosxsinxi(cosxisinx)iz，分离变量得： dx

dz1idx, 所以两边同时积分得idx，即Lnzixc，当取x=0时，zz假设zcosxisinx, 难么

zco0sisin01，Lzl1i0c0nn，所以c0,所以Lzixn，Lnzzcosxisinxix，所以ixcosxisinx。（证完）eee

4.欧拉公式在数学中的应用

在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用

4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnxisinnx(cosxisin

证明：由欧拉公式ecosxisinx可知：ixx)n； ix(cosxisinenx)即n

einxcosnxisinnx，所以有cosnxisinnx(cosxisinx)n

4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：e

zxcosacos(xsina)cosna;n0n!nxcosasin(xsina)sinnanon!n；证明：令zcosaisina,由欧拉公式可知 ee

xz(cosaisina)ecosaeisinaecosa(cos(sina)isin(sina))xcosa即ee

ex(cosaisina)excosaeixsinae(cos(xsina)isin(xsina))xcosacos(xsina)e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exzn0(xz)n!(cosnaisinna)

n0

n!cosnansinnanin!xn!xn0n0

比较实部和虚部的到 

excosacos(xsina)cosna;n0n!nn

sin(xsina)sinna

non!

4.2定义证明和应用

4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数 xcosa

sinziz2iiz,coszixiz2iiz.[2] 证明：由欧拉公式eixecosxisinxcosxisinx可得，，ixecosxisinx

ixixcosx2从而得到.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ixixsinx2i

由eezxiye(cosyisiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：

izx

sinziz2i,cosziz2iiz.4.2.2求sin(12i)的值[2]：

解：

sin(12i)



i(12i)2ii(12i)2(cos1isin1)(cos1isin1)2i

22 222

cosh2sin1isinh2cos1

此式为复数解正弦函数（附件③）sin1i22cos1

5.综合总结

ix对于欧拉公式ecosxisinx，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个

列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e1i

也就不那么陌生了。

6.考文献

[1] 数学分析下册第三版华东师范大学数学系编第十四章幂级数 2001

[2] 复变函数论第三版钟玉泉编第二章解析函数 2004

[3] 数学分析上册第三版华东师范大学数学系编第六章微分中值定理及应用 2001

[4] 数学分析下册华东师大第三版同步辅导及习题全解 2006

[5] 生活与科学文库 e的奥秘 1991

7.附件

7.1附件① 因为对于实函数ae，dxaxaxd(cosxasinx)sinxacosxdxa为常数，所以对于复函数有ie,dxixixd(cosxisinx)i(cosxisinx)dx

7.2附件②对于构造的函数f(x)ix

cosxisinx是有意义的，因为

|cosxisinx|