直线的标准方程

2024-06-22

直线的标准方程（精选十篇）

直线的标准方程篇1

1. 直线参数方程的一般式为undefined为参数) , 其标准式为undefined

(t为参数) , 通常一般式能化为标准式.你知道如何化吗?

2. 正确理解直线参数方程标准式中参数的几何意义, 并应用它解题.

例1、将下面两题中正确答案的代号填在题后的括号内.

(1) 直线undefined上任意一点P到P0 (2, -1) 的距离是 ( )

(undefined; (C) 3│t│; (D) │t│

(2) 直线上undefined任意一点P到P0 (-2, 3) 的距离是10, 则点坐标是 ( )

(A) (28, 43) ; (B) (28, 43) , (-32, -37) ; (C) (4, 11) , (-8, -5) ; (D) (-8, -5)

简析 (1) 因为直线undefined的参数方程的标准式是undefined这里, │T│=│PP0│, 由变化过程:undefined可知, undefined, 故选 (B) .

(2) 因为直线undefined的参数方程的标准式是undefined这里│T│=│PP0│=10, T=±10, 代入标准式参数方程, 故选 (C)

说明: (1) 直线的参数方程undefined中, 如果a2+b2=1, 就成了标准式.一般式化标准式的简便过程是undefined只有化成了标准式, 才有│T│=│P0P│, 这里P0 (x0, y0) 是直线上定点, P (x, y) 是这直线上任意一点.

(2) 这两道选择题考查了上述重要的概念, 应用直线参数方程解题时出现的错误, 根源在这里.

例2 过P0 (-5, 0) 点, 倾斜角为arccotundefined的直线L交抛物线8y=9x2-12x+3于AB两点, C为AB中点.求: (1) │AB│; (2) │P0C│ (3) 点的坐标.

简析由undefined, 知undefined.故的参数方程为undefined代入抛物线, 整理得t2-15t+50=0……①

=152-4×50>0 所以方程①的二根t1、t2表示有向线段P0A, P0B,

所以undefined

而undefined

点C的坐标由undefined

给出, 即

说明: (1) 这道题的三个小题, 表明直线参数方程在三个方面的应用, 书写均应仿此格式.

(2) 直线参数方程标准式, 代入圆锥曲线方程, 总可以得到关于的二次方程, 当判别式大于0的前提下, 弦长=│t1-t2│可以作为公式用, 若M为弦的中点, 就有undefined.在极坐标系中, 过极点的直线方程代入圆锥曲线方程以后, 若得到的是关于P的二次方程, 则同样有弦长=│P1-P2│及undefined.但若圆锥曲线方程是undefined, 情况就不同了, 请同学们分析、比较.

例3 过点A (-1, 1) 引抛物线y2=-8x的弦P1P2.

(1) 使A恰为P1P2中点, 求直线p1P2的方程; (2) 使A恰为P1P2三等分点, 求直线P1P2的方程.

简析: (1) 过点A的直线参数方程为undefined为参数、α为直线P1P2的倾斜角) 代入y2=-8x,

整理得t2sin2α+2 (sinα+4cosα) -7=0, △>0, 所以此方程二根t1, t2表示AP1, AP2但A为P1P2中点, 故知t1+t2=0, 因而sinα+4cosα=0, 得直线P1P2的斜率k=tanα=-4.故p1p2的方程为4X+Y+3=0

(2) A是P1P2三等分点, 可设t2=-2t1, 于是t1+t2=-t1, t1t2=-2tundefined=-2 (t1+t2) 2.

但根据韦达定理undefined代入后, 可以求出undefined从而可以求得直线方程为undefined及undefined

说明:凡直线L过定点, 则求直线上的动点到定点的距离, 用直线参数方程的标准式, 运用十分简便.

例4 已知直线L过P0 (5, 0) , 与椭圆undefined交于A、B, 求弦AB中点C的轨迹方程.

简析1将的参数方程undefined为参数、α为直线L的倾斜角) .代入4x2+9y2=36, 整理得 (4cos2α+9sin2α) t2+40tcosα+64=0,

当时△>0时, 方程两根t1=P0A, t2=P0B,

故undefined,

于是点C轨迹的参数方程是

undefined

削去参数α, 即得undefined, 所求轨迹是这椭圆夹在原椭圆内的部分,

简析2 设中点C (x0, y0) , 则L的方程为undefined为参数、α为直线L的倾斜角) 代入椭圆方程, 整理得 (4cos2α+9sin2α) +2 (4x0cosα+9y0sinα) t=4xundefined+9yundefined-36=0

当△>0时,

方程的二根t1=P0A, t2=P0B,

由于C为中点, 所以t1+t2=0,

即4x0cosα+9y0sinα=0.

得undefined,

又P0C的斜率undefined,

显然k=k′, 故有undefined,

化简得undefined,

就是undefined.

直线的方程教学反思篇2

在进行《直线的方程》一章教学时，笔者遇到了这样一个问题：就是我们反复在讲直线方程的5种形式，包括点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，但是到了学生那里，只要求到直线方程，则十有八九是利用斜截式，即设直线的方程为y = kx + b，然后根据题目的已知条件求出相应的k和b．学生这样做固然也能把直线的方程求出来，但对于有些问题而言显然不是最好的方法．虽然在课上也强调对于不同的条件，要合理选择相应类型的直线方程，以简化计算，但是还有相当部分学生老是抱着斜截式不放．

我在想，是什么原因导致学生始终也摆脱不了这种“k、b情结”呢？原来，学生在初中阶段已经学过一次函数，当初一次函数的解析式的形式就是y = kx + b．我并没有贬低初中老师的意思，相反，我真的太佩服我们的初中老师了，在他们的辛勤耕耘下，我们的学生都成了一个个“训练有素”的解题高手，只要求到直线的方程，想也不要想，设为y = kx + b．殊不知，如今行情已经变了，需要“与时俱进”一下了．

直线的标准方程篇3

下面结合几个例题,看如何选择适当的直线方程形式与解题思想方法,求过一点的直线方程问题.

例1 已知直线l过点(-1, -1),且和两坐标轴围的三角形的面积为94,求直线l的方程.

解法一因为所求直线与两坐标轴都相交且围成三角形,所以直线l的斜率存在,设为k,且k≠0.

又直线l过点(-1, -1),所以直线l的方程为 y+1=k(x+1),

令x=0,得y=k-1;令y=0,得x=1k-1.

由题设,可得12k-11k-1=94,即(k-1)2=92k,

解之得k=-12或k=-2或k=13-1534或k=13+1534.

故直线l的方程为y+1=-12(x+1)或y+1=-2(x+1)或y+1=13-1534(x+1)或y+1=13+1534(x+1).

解法二因为所求直线与两坐标轴都相交且围成三角形,所以直线l在两坐标轴上都有截距,设分别为a,b,且a≠0,b≠0,所以可设直线l的方程为xa+yb=1.

由题设,可得

-1a+-1b=1,12ab=94,

解之得a=-3,b=-32或b=-3,a=-32

或a=9+1534,b=9-1534或b=9-1534,a=9+1534.

……

解法三设所求直线的方程为Ax+By+C=0,

因为所求直线与两坐标轴都相交且围成三角形,所以A≠0,B≠0.

令x=0,得y=-CB;令y=0,得x=-CA.

由题设,可得-A-B+C=0,12-CB-CA=94,即

A+B-C=0,C2=92AB,

解之得A=2B或A=12B或A=153-134B或A=-13+1534B.

……

显然,从运算的角度考虑,解法三由于变量个数的增多,求解运算也随之变复杂,故一般不被采用.解法一、二中的变量少,运算量相对也小,但容易忽视对k的存在性及a≠0,b≠0条件的判断,从而造成解题不全面.另外,采用截距式时,要注意边长(也是距离)与截距的关系.

为了避免复杂的运算,我们将例1稍作改编.

例2 已知直线l过点(-1,-1),且和两坐标轴在第三象限内围成的三角形的面积为94,求直线l的方程.

解法仿例1(从略).

换一个角度,看看过定点,且与坐标轴围成面积一定的三角形的直线是否总有四条.

例3 已知直线l过点(-1, -1),求满足下列条件的直线l的方程.

(1) 和两坐标轴在第三象限围成的三角形面积为52;

(2) 和两坐标轴在第三象限围成的三角形面积为2;

(3) 和两坐标轴在第三象限围成的三角形面积为12.

解法仿例1(从略).

不难得出,当面积S=12时,所求直线有2条;当S=2时,所求直线有3条;当S=52时,所求直线有4条.

于是产生了新的问题:面积S满足怎样条件时,所求直线会有4条、3条、2条?会不会有1条、0条?

根据例1的解法一,可以一般地得出,所求直线有几条取决方程组(Ⅰ)k2-(2-2S)k+1=0,k<0与(Ⅱ)k2-(2+2S)k+1=0,k>0的解的个数.请大家考虑以上两个方程组是否一定有解?有几个解?

容易得出,不论S为何正数,(Ⅱ)总有解;且当S>2时,(Ⅰ)有两个解;当S=2时,(Ⅰ)有一个解;当0

这说明在第三象限内围成的三角形的面积有最小值.

例4 已知直线l过点(-1, -1),且和两坐标轴在第三象限内围成的三角形面积最小,求直线l的方程.

分析本例与教材《必修5》(苏教版)P90例3相似,教材中给出的是采用截距式方程的解答,这里能否也像例1一样用三种方程形式求解呢?

设围成的三角形的面积为S,所求直线的斜率为k.

方法一仿例1解法一,k2-(2-2S)k+1=0,k<0.

直线存在,方程组有解,故应有(2-2S)2-4≥0,故S≥2,即S有最小值2.

此时k=-1,所求直线的方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0.

方法二仿例1解法二,有

-1a+-1b=1,S=12ab.

又直线和两坐标轴在第三象限内围成三角形,

所以1-a+1-b=1,S=12ab=12(-a)(-b).

由基本不等式,得1-a+1-b≥21-a•1-b,

从而S=12(-a)(-b)≥1221a+1b2=12×22=2,当且仅当-a=-b=-2时,S有最小值.

此时所求直线的方程为x-2+y-2=1,即x+y+2=0.

方法三仿例1解法三,

-A-B+C=0,12-CB-CA=S,即A+B-C=0,C2=2SAB.

又直线和两坐标轴在第三象限内围成三角形,

所以(A+B)2=2SAB有解,

即A2+(2-2S)AB+B2=0有解,

从而AB2+(2-2S)AB+1=0有解,故应有(2-2S)2-4≥0,故S≥2,即S有最小值2.

此时AB=1,A=B,C=2A,所求直线的方程为x+y+2=0.

显然,对于例4,以上三种解法一路下来,已经成功解决了问题.但对于求最值,由于方法的多样性,我们还可以从具体求最值的方法上研究一下例4.于是结合利用基本不等式求最值的常用技巧,例4还可以有如下三种解题形式:

形式一由以上方法二,S=12(-a)(-b)=121+-a-b1+-b-a=121+-a-b+1+-b-a

≥122+2-a-b•-b-a=2,当且仅当-a-b=-b-a时,S有最小值.

结合-1a+-1b=1,有此时-a=-b=-2.

下同以上方法二.

形式二仿以上方法二,S=12(-a)(-b)=12(-a)a1+a=-12•a21+a

=-12•(a+1-1)21+a=-12[(a+1)+1a+1-2].

由-1a+-1b=1及a,b<0,得-1a<1,1+a<0,

从而S=-12(a+1)+1(a+1)-2=12-(a+1)+1-(a+1)+1≥1+1=2,当且仅当-(1+a)=1-(1+a)时,S有最小值.

再由-1a+-1b=1,得此时a=b=-2.

下同以上方法二.

形式三仿以上方法三,S=12-CA-CB=12•(A+B)2AB=12AB+BA+2≥2,当且仅当AB=BA,又AB>0,即A=B时,S有最小值.

再由-A-B+C=0,得此时C=2B.

下同以上方法三.

通过以上例题及求解过程,不难发现对于同一问题,选取的方程形式不同,解题的思想方法与难易程度可能差异很大;选取的方程形式相同,具体求解过程也可能差别很大.这就要求我们在解题时,要加强解后反思,有比较才有鉴别,不断提升自己的解题能力与水平,以达到事半功倍的效果.

最后,对于例4,如果不从直线的方程形式着眼,则还可以设直线的倾斜角,转化成三角函数最值问题求解,有兴趣的同学不妨一试.

巩固练习

1. 直线l过点A(0,-1),且点B(-2,1)到l的距离是点C(1,2)到l的距离的两倍,则直线l的方程是.

2. 求过点P(0,1)的直线l的方程,使l夹在两直线l1:x-3y+10=0与l2:2x+y-8=0之间的线段恰好被点P平分.

3. 过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,求在x轴正半轴、y轴正半轴上的截距之和最小的直线l的方程.

高考中的直线方程篇4

近年来, 高考对直线方程的考查多以客观题为主, 属容易题.考查的内容是方程的基本量, 直线的方程, 两条直线的位置关系等.直线方程看起来简单, 但它与函数、三角、平面几何都有密切联系, 更成了解析几何中与圆及圆锥曲线综合题的媒介.本文就近三年中高考直线方程的考查内容, 解析如下.

一、求直线的斜率

例1 (2008年安徽省) 若过点A (4, 0) 的直线与曲线 (x-2) 2+y2=1有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围为 ( )

$\begin{array}{l} (A) [- \sqrt{3} ‚ \sqrt{3}) (B) (- \sqrt{3} ‚ \sqrt{3}) \\ (C) [- \frac{\sqrt{3}}{3} ‚ \frac{\sqrt{3}}{3}] (D) (- \frac{\sqrt{3}}{3} ‚ \frac{\sqrt{3}}{3}) \end{array}$

解法1:显然过点A (4, 0) 且斜率不存在的直线不合题意.可设直线 l 的方程为

即 kx-y-4k=0.

由 l 与曲线 (圆) (x-2) 2+y2=1有公共点, 则 $\frac{| - 4 k + 2 k |}{\sqrt{1 + k^{2}}} \leq 1 .$

解得 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq k \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ .故选 (C) .

解法2:将 l:y=k (x-4) 代入 (x-2) 2+y2=1, 整理成

由直线与曲线有公共点, 知

可化为 3k2≤1, 解得 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq k \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ .故选 (C) .

解法3:画出示意图 (图1) , 可见圆心C (2, 0) , 切线AE, AF,

易见 $∠ C A E = ∠ C A F = \frac{π}{6}$ ,

则 $k_{A E} = - \frac{\sqrt{3}}{3} ‚ k_{A F} = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

故选 (C) .

点评:本题虽是小题, 属基础题, 但小而灵活.由于入手角度不同, 本题可有多种解法.对其图形特征加以挖掘, 可获简单解法.但应注意, 在选用直线方程的点斜式时, 要考察斜率是否存在, 以免增解或漏解.

二、求直线的方程

例2 (2007年浙江省) 直线 x-2y+1=0关于直线 x=1对称的直线方程是__.

解法1:设P (x, y) 为所求直线上任意一点, 则P关于直线 x=1的对称点为P′ (2-x, y) .将P′坐标代入直线方程, 有

从而得所求直线方程是

解法2:已知直线的斜率是 $\frac{1}{2}$ , 则关于直线 x=1对称后, 直线斜率为 $- \frac{1}{2}$ .在 x-2y+1=0中, 令 x=1, 可得两条直线的交点 (1, 1) .

所以所求直线方程是 $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 1)$ , 即 x+2y-3=0.

点评:本题较为基础.对称问题是解析几何中的一类典型问题, 求解时, 既有一般对称法 (解法1) , 也有图形性质法 (解法2) .选择恰当的方法和直线方程的形式, 可简化问题的解答.

例3 (2008年江苏省) 如图2, 在平面直角坐标系 xOy 中, 设三角形ABC的顶点分别为A (0, a) , B (b, 0) , C (c, 0) ;点P (0, p) 为线段AO上一点 (异于端点) , 这里 a, b, c, p 为非零常数.设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F.某同学已正确求得直线OE的方程: $(\frac{1}{b} - \frac{1}{c}) x + (\frac{1}{p} - \frac{1}{a}) y = 0$ , 请你完成直线OF的方程: $() x + (\frac{1}{p} - \frac{1}{a}) y = 0 .$

解:利用截距式可得AB: $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ , 直线CP: $\frac{x}{c} + \frac{y}{p} = 1$ , 两式相减, 得

$(\frac{1}{c} - \frac{1}{b}) x + (\frac{1}{p} - \frac{1}{a}) y = 0 .$

可见直线AB与CP的交点F坐标满足此方程, 又原点O的坐标也满足此方程.故该方程是直线OF的方程.

点评:本题难度较大, 难在不知从何处入手.如果注意到OF与OE位置的对等性, 由OE方程的特点, 知在OF的方程中, 应填写 $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} .$

三、定比分点问题

例4 (2008年重庆市) 若过两点P1 (-1, 2) , P2 (5, 6) 的直线与 x 轴相交于点P, 则点P分有向线段 $\vec{Ρ_{1} Ρ_{2}}$ 所成的比λ的值为 ( )

$(A) - \frac{1}{3} (B) - \frac{1}{5} (C) \frac{1}{5} (D) \frac{1}{3}$

解:由定比分点的定义可知 $\vec{Ρ_{1} Ρ} = λ \vec{Ρ Ρ_{2}} .$ 再利用 $\vec{Ρ_{1} Ρ}$ 与 $\vec{Ρ Ρ_{2}}$ 的纵坐标, 得

$λ = \frac{y_{Ρ} - y_{Ρ_{1}}}{y_{Ρ_{2}} - y_{Ρ}} = \frac{0 - 2}{6 - 0} = - \frac{1}{3} .$

故选 (A) .

点评:本题难度不大.正确理解定比分点的概念, 得到 $\vec{Ρ_{1} Ρ} = λ \vec{Ρ Ρ_{2}}$ 是解题的入手点, 再把该式用坐标来表示.如果用横坐标表示, 还需求出点P的横坐标, 比较麻烦;而用纵坐标表示, 由于点P的纵坐标为零, 使解题大为简化.

四、求参数的值

例5 (1) (2007年上海市) 若直线 l1:2x+my+1=0与直线 l2:y=3x-1平行, 则 m=__.

(2) 设曲线 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax+y+1=0垂直, 则

$\begin{array}{l} a = () \\ (A) 2 (B) \frac{1}{2} (C) - \frac{1}{2} (D) - 2 \end{array}$

解: (1) 由 l1//l2, 可知 $- \frac{2}{m} = 3$ , 且 $- \frac{1}{m} \neq - 1$ .解得 $m = - \frac{2}{3} .$

(2) 求导得 $y^{'} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}$ , 知曲线 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ 在点 (3, 2) 处的切线斜率为 $- \frac{1}{2}$ .再由两条直线垂直条件, 有-a=2, 得 a=-2.故选 (D) .

点评:本例求解的关键是利用两条直线平行、垂直的充要条件.对于 (1) 小题, 要注意在斜率存在的情况下, 两条直线平行的条件是斜率相等且截距不等;而 (2) 小题考查了导数几何意义与直线斜率的关系, 显示了直线知识的基础性、工具性, 应用的广泛性、交汇性.

五、最值问题

例6 (2006年上海春季) 已知直线 l 过点P (2, 1) 且与 x 轴、y 轴的正半轴交于A、B两点, O为坐标原点, 则△AOB面积的最小值为__.

解法1:设直线 l 的方程为

y-1=k (x-2) (k<0) ,

可得 $A (\frac{2 k - 1}{k} ‚ 0) ‚ B (0 ‚ 1 - 2 k)$ .则

$\begin{array}{l} S_{△ A Ο B} = \frac{1}{2} Ο A \cdot Ο B = \frac{1}{2} (\frac{2 k - 1}{k}) (1 - 2 k) \\ = \frac{1}{2} (- 4 k - \frac{1}{k}) + 2 \\ \geq \sqrt{(- 4 k) \cdot (- \frac{1}{k})} + 2 = 4 ‚ \end{array}$

当且仅当 $4 k = \frac{1}{k}$ , 即 $k = - \frac{1}{2}$ 时, S△AOB的最小值为4.

解法2:设直线 l 的方程为

直线 l 过点P (2, 1) , 则有 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 .$

利用基本不等式, 有 $1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{a b}}$ , 得 $\frac{1}{2} a b \geq 4$ , 当且仅当 $\frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ , 即 a=4, b=2时, 上式取等号.所以 $S_{△ A Ο B} = \frac{1}{2} a b = 4$ 是其最小值.

点评:本题由于选用直线方程和思考方向的不同, 还可以有多种解法, 读者不妨继续探讨.

直线的参数方程教案[推荐] 篇5

（一）三动式学案黄建伟

教学目标：

1.联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想．

3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯．教学重点：联系向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：

一、课前任务驱动

1.已知直线l:y3x1的倾斜角为，则tan______ sin______;cos_______ 2．已知直线经过点 M0(x0,y0)，斜率为k，则直线的方程为__________

3.已知向量a(2,3)，则a=______向量a的单位向量e=________,设ate，则t=_______.4已知点M0(x0,y0)，M(x,y)，单位向量e(cos,sin)，向量M0Mte，则 x_______________

y___________

5.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

二、课堂师生互动

一、探究直线参数方程

问题一：经过点 M0(x0,y0)，倾斜角为2的直线l的普通方程是？请写出来。问题二：已知直线l上一点M0(x0,y0)，直线l的倾斜角为，直线上的的动点M(x,y)，设e为直线l的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同），那么我们能利用表示出直线l单位方向向量e吗？请表示出来。

问题三：根据向量的共线定理，则存在实数t使得你能根据这个式子将有关x,y的等式表M0Mte，示出来吗？请写出来。

思考以下问题：

直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

x2tcos10练习1：直线（t为参数）的倾斜角是（）y1tsin10A.80 B.170 C.10 D.100

x3tsin20练习2：直线（t为参数）的倾斜角是（）y1tcos20A.20 B.70 C.110 D.160

练习3：直线l:xy10的一个参数方程（过点M(1,2)）是___________ 

二、探究直线参数方程参数的几何意义

xx0tcos问题一：由M0Mte，你能得到直线l的参数方程（t为参数）

yy0tsin中参数t的几何意义吗？t的取值范围是多少？

三、探究直线参数方程参数的运用

（一）探究过程

直线l:xy10的一个参数方程（过点M(1,2)）是___________(1)当y0时，对应的参数t1=_______;对应的点A为_________.(2)当x2时，对应的参数t2=______;对应的点B为________.(3)AB=___________;t2t1=____________(4)MAMB=_________;t2t1=__________ 结论1：

结论2：

xx0tcos探究：直线 （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yytsin0 对应的参数分别为t1,t2，设点M(x0,y0)。（1）曲线的弦M1M2的长是多少？（2）MM1MM2是多少？

（二）例题讲练

例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

课堂练习：

41、已知过点P(2,0)，斜率为的直线和抛物线y22x相交于A,B两点，求

3PAPB的值。

课堂小结：

1、知识小结

2．思想方法小结

三、课后培育自动

1.经过点M(1，5)且倾斜角为参数方程是()1111x1tx1tx1tx1t2222A. B.C. D.

3333y5y5y5y5tttt2222x22tt为参数上与点P2，2、直线3距离等于2的点的坐标是.y32t的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的3xtcosx42cos

3、直线与圆相切，则______ ytsiny2sin

求直线方程的典型错误剖析篇6

若直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,斜率分别为k1,k2,且k1k2=1,则α+β等于多少?

因为k1=tanα,k2=tanβ,所以tanαtanβ=1, 即tanα=cotβ=tan-β,所以α=-β,故α+β=.

错解原因是忽视了α,β的取值范围.直线的倾斜角范围是[0,π],且当0≤θ<时,k≥0;当<θ<π时,k<0.实际上,当k1<0,k2<0时,α+β=也是符合条件的.

如果已知直线过一点,往往会运用直线方程的点斜式,但需要对斜率是否存在进行讨论,否则极易造成漏解.

已知直线l过点(-2,3),且原点到直线l的距离是2,求直线l的方程.

设所求直线斜率为k,则所求直线方程为y=k(x+2)+3,依据点到直线的距离公式有:=2,得k=-,

所以直线l的方程为:5x+12y-26=0.

这里运用直线方程的点斜式,忽视了斜率不存在的情形.实际上当斜率不存在时,直线x=-2也是符合条件的.

已知直线l过点A(2,3)和B(m,5),求直线l的倾斜角.

因为直线的斜率为k=,所以直线l的倾斜角为arctan.

当m=2时,直线l与x轴垂直,斜率不存在,故倾斜角为90°;

当m≠2时,直线的斜率为k=,故其倾斜角为arctan.

错解1忽视了直线l的斜率不存在的情形;错解2虽然考虑了斜率不存在的情况,但忽视了倾斜角的取值范围,即忽视了对斜率正负的讨论,当m<2时,arctan∈-,0不在倾斜角的范围之内.故当m=2时,直线l与x轴垂直,斜率不存在,倾斜角为90°;当m>2时,直线l的斜率k=>0,倾斜角为arctan;当m<2时,直线l的斜率k=<0,倾斜角π+arctan.

概念不清是解题出错的原因之一,部分同学在这边对“截距”望文生义,以为是截得的点到原点的距离.

直线l与x轴交于点A,且|OA|=8,且l在y轴上截距为10,求直线l的方程.

根据直线方程的截距式l方程为+=1,即4x+5y-40=0.

这道题将两个易混的概念放到了一起,许多同学由于概念不清导致解题失误.事实上,截距是一个数,可以为任何实数.这里|OA|=8意味着横截距为8或-8,所以漏掉了4x-5y-40=0这一解.

如果运用直线方程的截距式一定要注意其适用范围“截距存在且不为零”,在两截距存在的时,截距不为零也就是经过坐标原点.所以对此类题要分过原点和不过原点两种情况讨论.

求过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

设截距为a,则直线方程为:+=1,又直线过点M(3,-4),解得a=-1,故直线方程为:

x+y+1=0.

“截距相等”应分截距为0和不为0两种情形,上述解法用了直线方程的截距式,就默认了截距不为0,从而造成失解.事实上,直线4x+3y=0也是符合条件的.

直线方程的两点式有其局限:直线不能与坐标轴平行.如果不考虑这个问题,可能会导致解题出错.

已知直线过(1,2),(b,3),求直线的方程.

由两点式得=(*),整理有x+(1-b)y+2b-3=0.

这道题的结果确实是正确的,但从过程上讲是不严谨的.忽视了b=1,即直线与x轴平行的情况,由于进行了一次不等价变形,又导致结果正确.不过,一般地过点A(x1,y1),B(x2,y2)两点直线方程确实可以写成(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0的形式.

求过点(-3,0)且到A(1,1),B(-3,3)距离相等的直线方程.

由题意,所求直线过(-3,0)且与直线AB平行,而k=-,所以所求直线方程为:x+2y+3=0.

事实上,过线段AB的中点(-1,2)的直线也符合题意,其方程为x-y+3=0.所以所求方程应为x+2y+3=0或x-y+3=0.由此可见,学习数学切忌思维懒惰,考虑问题要全面且准确.

过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.利用它可以避免可两直线的交点,从而简化解题过程,减少运算量.但应注意此方程不包括l2,所以运用此法解题时应讨论l2是否符合题意,否则容易造成漏解.

求过直线x+y-1=0和2x-y+4=0的交点,且到原点的距离为的直线方程.

设所求方程为x+y-1+λ(2x-y+4)=0,即(2λ+1)x+(1-λ)y+4λ-1=0.由=,得λ=-.故所求方程为2x+11y-20=0.

由平面几何的知识可知,这样的直线一定有两条.反思这种解法,就是没有注意到直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不表示第二条直线,而在这道题中,第二条直线2x-y+4=0恰恰是符合条件的.

过直线2x+y+8=0和直线x+y+3=0的交点作一条直线,使它夹在平行线x-y-5=0和x-y-2=0之间的线段长为,求该直线方程.

由2x+y+8=0,x+y+3=0

得交点为(-5,2). 如图所示,设所求直线l与l1,l2分别交于B,A点,由已知|AB|=,又l,l间的距离|AC|==,在Rt△ABC中,|BC|=.设l与l夹角为α,则tanα==3,设直线l的斜率为k,由夹角公式,得=3,得k=-2.

所以所求直线的方程为2x+y+8=0.

把到角公式当作夹角公式运用错误,直线l与l的夹角公式为tanθ=,而直线l到l的角的公式为tanθ=,二者有着本质的区别.故由前面所解,用夹角公式=3,解得k=-2或k=-.

所以所求直线的方程为2x+y+8=0或x+2y+1=0.

1. 直线y=-xtanα+2,α∈,π的倾斜角是()

A. αB. α-C. -αD. π-α

2. 求经过点P(-3,5)并且与原点距离等于3的直线方程.

3. 已知A(2,3),B(-3,2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.

4. 一直线在x,y轴上的截距相等,且过点P(5,-1),求该直线的方程.

5. 已知直线x-y+1=0与mx+ny-3=0平行,它们之间的距离为d,则d等于多少?

6. 一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为,求这条直线的方程.

直线参数方程应用举例篇7

一、求直线的倾斜角

∵θ∈[0, π) , 由cosθ=sin 20°存在θ=70°,

但sinθ=-cos 20°<0不成立,

∴直线的倾斜角不存在.

分析任何直线的倾斜角都存在, 显然结论不正确.通过非标准形式转化标准形式, 然后寻求倾斜角, 思路很自然, 但问题出在哪里呢?sinθ不可能为负, 原方程中的-t的负号能留给自己吗?

∴直线的倾斜角θ=90°+20°=110°,

原来-t替代了直线参数方程标准形式中的t, 这里的参数t与直线标准参数方程 (t为参数, θ为倾斜角) 中的参数t的几何意义不同, 且互为相反数!

∴直线的倾斜角θ=110°,

例2求过点M (2, 1) 的直线l与椭圆交于A, B两点且M平分弦AB, 求l的方程.

(9+7 sin2θ) t2+4 (9cosθ+8sinθ) t-92=0.

∵M为弦AB中点,

∴t1+t2=0,

即9cosθ+8sinθ=0.

∴直线l的方程为9x+8y-26=0.

二、求距离问题

例3已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A, B两点, 求线段AB的长和点M (-1, 2) 到A, B两点的距离之积.

解∵M (-1, 2) ∈l且l的倾斜角为π,

三、求轨迹问题

例4过抛物线y2=4x的焦点F作一直线l交抛物线于A, B两点, 求AB的中点M的轨迹方程.

解点F的坐标为 (1, 0) , 设l的倾斜角为θ (0<θ<π) , 则l的参数方程为 (t为参数) , 将它代入抛物线方程y2=4x并整理得t2sin2θ-4tcosθ-4=0,

∴点M的轨迹方程为y2=2 (x-1) (x≥1) .

职高学生解直线方程篇8

直线方程是高中平面解析几何中的一个重要内容, 也是学生学习的一个难点.因为这部分内容涉及点斜式、斜截式、两点式和截距式四个公式, 对于本来基础较弱的职高生来说更难, 学完后过段时间基本上记不住直线方程的形式.本人经过多年职高教学, 总结出解直线方程的简易方法, 就是以不变应万变, 所有直线方程都用y=kx+b.

一、我们先了解直线方程的四种形式

(一) 点斜式

已知直线l的斜率是k, 并且经过点P1 (x1, y1) , 求直线l的方程.

设点P (x, y) 是直线l上不同于P1的任意一点, 根据经过两点的斜率公式得

$k = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} . (1)$

可化为

y-y1=k (x-x1) . (2)

(二) 斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b, 斜率为k, 求直线的方程.

这个问题, 相当于给出了直线上一点 (0, b) 及直线的斜率k, 求直线的方程, 是点斜式方程的特殊情况, 代入点斜式方程可得:

y-b=k (x-0) .

也就是y=kx+b, 叫做直线的斜截式方程.

(三) 两点式

已知直线l上的两点P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , (x1≠x2) , 求直线l的方程.

$∵ x_{1} \neq x_{2}, k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}},$

∴直线的方程为 $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1}) .$

当y1≠y2时, 为了便于记忆, 我们把方程改写成

$\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} .$

(四) 截距式

已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b (a≠0, b≠0) , 求直线l的方程.

解因为直线l过A (a, 0) 和B (0, b) 两点, 将这两点的坐标代入两点式, 得

$\frac{y - 0}{b - 0} = \frac{x - a}{0 - a} .$

就是

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 .$

二、怎样用y=kx+b解直线方程

例1 已知直线斜率5, 且过P (1, 2) , 求直线方程.

解法一典型的点斜式:y-y1=k (x-x1) .

代入已知条件得方程y-2=5 (x-1) .

解法二斜截式:y=kx+b.

代入已知条件2=5×1+b,

解得 b=-3.

所以直线方程为y=5x-3.

例2 已知P (1, 2) , Q (2, 4) , 求过PQ的直线方程.

解法一典型的两点式 (略) .

解法二斜截式:y=kx+b.

代入已知条件得方程组

${\begin{cases} 2 = k + b ‚ (1) \\ 4 = 2 k + b . (2) \end{cases}$

得k=2, b=0.

所以直线方程为y=2x.

例3 已知直线在x轴的截距是3, 在y轴的截距是6, 求直线方程.

解法一截距式 (略) .

解法二斜截式:y=kx+b.

已知直线在x轴的截距是3, 即直线过点 (3, 0) .

在y轴的截距是6, 即直线过点 (0, 6) .

代入0=3k+b, 得

6=0+b,

解得:b=6, k=-2.

所以直线方程为y=-2x+6.

三、注意事项

斜截式只有斜率存在时方可使用.

如图, 当直线的斜率为90°时, 直线的斜率不存在, 它的方程不能用斜截式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1, 所以它的方程是x=x1.

直线的标准方程篇9

关键词：参数方程,弦长问题,试题推广

(2)|MA|·|MB|=|MC|·|MD|,即A、B、C、D四点共圆.

(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

直线的参数方程在解题中的应用篇10

一、计算问题

利用直线参数方程 (t为参数 ) 中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.

例1:已知直线l过点P (2, 0) , 斜率为4/ 3 , 直线l和抛物线y 2 = 2x相交于A、B两点 , 设线段AB的中点为M, 求 : (1) |PM|; (2) M点的坐标.

解: (1) 设直线的倾斜角为α, 依题意可得tanα=4 /3 ,

∴sinα=4 /5 , cosα=3 /5 ,

∵直线l和抛物线相交, 将直线的参数方程代入抛物线方程y 2 =2x中, 整理得

8t 2 -15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t2, t2, ∴t1+t2=15/ 8 , t1t2 =-25/ 4 .

由于M为线段AB的中点, 根据t的几何意义, 得|PM|=| (t1+t2) / 2 | =15 /16 .

(2) ∵中点M所对应的参数为tM= (t1+t2) /2 =15 /16 , 将此值代入直线的参数方程 (*) ,

点M的坐标为, M (41 /16 , 3 /4 ) 即为所求.

一般地, 直线t为参数) 与曲线y=f (x) 交于A, B两点, 对应的参数分别为t1、t2, 则线段|AB|的中点M对应的参数t= (t1+t2) / 2 .

由t的几何意义得

一般地, 直线与二次曲线相交, 用直线参数方程解题时, 则有弦长为|t1-t2|;直线上的点P到两交点的距离和为|t1|+|t2|, 距离涉及t的正负时要加以区分.

因为, 直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα, sinα (α是直线的倾斜角 ) , 所以 , 在解决直线与圆锥曲线有关问题时, 可以将其转化为三角函数问题解决, 体现了转化、化归的数学思想 , 达到数学知识的综合运用 , 在解高考数学试题时也有用武之地. 下面我们以高考题为例加以说明.

二、范围问题

求参数的取值范围, 是高考的热点和难点问题, 由于求参数范围的方法众多, 如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程, 利用三角函数的值域求解, 则比较简单.

例2 (2008年高考福建卷理科第21题) :如图, 椭圆的一个焦点是F (1, 0) , O为坐标原点.

(Ⅰ) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动, 恒有|OA| 2 +|OB| 2 <|AB| 2 , 求a的取值范围.

本例在解题中, 充分发挥了直线参数方程在解题中的优势 (参数的几何意义、三角函数变换) , 由恒成立问题、三角函数的值域, 巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化, 得到了关于a的二次不等式使问题获解, 解题目标明确, 思路清晰, 方法可行.

三、证明问题

例3 (2013年全国理科高考卷第21题) :已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为3, 直线y=2与C的两个交点间的距离为

(Ⅰ) 求a, b;

(Ⅱ) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A, B两点, 且|AF1|=|BF1|, 证明:|AF2|, |AB|, |BF2|成等比数列.

解: (Ⅰ) 易得a=1, c=3, 双曲线方程为

(Ⅱ) 如图, ∵F3 (3, 0)

将直线参数方程代入双曲线方程, 得化简得

由②③知, |AF2|·|BF2|=|AB| 2 , 即|AF2|, |AB|, |BF2|成等比数列.

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