解析几何直线方程教案

解析几何直线方程教案（共9篇）

篇1：解析几何直线方程教案

直线方程

知识框架图

直线的倾斜角与斜率点斜式斜截式直线的方程两点式直线方程的综合运用截距式一般式两直线相交的判定及求相交两直线所成的角及求法两直线垂直的条件直线两直线的位置关系平行两直线平行的条件重合两直线重合的条件点在直线上的条件点到直线的位置关系点到直线距离的求法平行直线系直线系垂直直线系共点直线系其交点

直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为0，所以直线的倾斜角的范围是0180或0。

2、直线的斜率:倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即ktan90。

（1）斜率的计算公式（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在于不存在这两种情况，否则会出现漏解。

（3）斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的。

直线方程的几种形式

1、点斜式：过已知点x0,y0，且切斜率为k的直线方程可以写成点斜式：yy0kxx0。

2、斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程可以写成斜截式：ykxb

3、两点式：若已知直线经过x1,y1和x2,y2两点，且x1直线的方程可以写成两点式：

yy1y2y1xx1x2x1x2,y1y2，则

4、斜截式：若已知直线在想x轴、y轴上的截距分别是a、ba0,b0,则直线方程可以写成斜截式：

xayb1。

5、特殊位置的直线方程：y轴所在直线的方程为x0；平行于y轴的直线方程为：xaa0；x轴所在直线的方程为y=0；平行于x轴的直线方程为ybb0

6、一般式：任何一条直线的方程均可写成一般式AxByC0A、B不同时为0的形式。反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。两直线的平行于垂直 设两直线方程分别为

l1:yk1xb1或A1xB1xC10；l2:yk2xb2或A2xB2yC0A1,B1,C1,A2,B2,C2全部为零 的，当

1、l1//l2k1k2且b1b2或k1k2且b1b2或A1A2B1B2A1A2B1B2C1C2。特别

C1C2时两直线重合。

2、l1l2k1k21或A1A2B1B20

两直线的夹角

1、把两相交直线中的直线l1以逆时针方向绕交点旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，它是向角，其范围是0。

2、直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角（或

0,l不大于直角的角），又称为1和l2所成的角，它的取得范围是2。

点到直线的距离公式

设点Px0,y0和直线l:AxByC0.1、若点d2p不在直线2l上，则点。

p到

l的距离为Ax0By0CAB点p在直线l上也满足

2、两平行线l1:AxByC10,l2:AxByC2直线系方程

0的距离为dC1C2AB22

具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系，它的方程称为直线系方程，直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直角系有如下两类：

1、平行系

（1）斜率为k0（常数）的直线系：yk0xbb为参数（2）平行

于

已

知

直

线A0xB0y0A0,B0是不全为零的常数的直线系：A0xB0yC0C0。

2、垂直直线系（1）与斜率为k0k0（2）垂直

0的直线垂直的直线系：y1xb(b为参数）k0 线

于已知直A0xB0yC0A0、B0是不全为零的常数的直线系：B0x-A0y0为参数

3、过已知点的直线系

（1）以斜率k作为参数的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0;ykxb0,直线过定点0,b0。其中过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内。过两条直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系：

2A1xB1yC1A2xB2yC20为参数，其中直线l不在直线系内。

篇2：解析几何直线方程教案

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

篇3：直线参数方程应用举例

一、求直线的倾斜角

∵θ∈[0, π) , 由cosθ=sin 20°存在θ=70°,

但sinθ=-cos 20°<0不成立,

∴直线的倾斜角不存在.

分析任何直线的倾斜角都存在, 显然结论不正确.通过非标准形式转化标准形式, 然后寻求倾斜角, 思路很自然, 但问题出在哪里呢?sinθ不可能为负, 原方程中的-t的负号能留给自己吗?

∴直线的倾斜角θ=90°+20°=110°,

原来-t替代了直线参数方程标准形式中的t, 这里的参数t与直线标准参数方程 (t为参数, θ为倾斜角) 中的参数t的几何意义不同, 且互为相反数!

∴直线的倾斜角θ=110°,

例2求过点M (2, 1) 的直线l与椭圆交于A, B两点且M平分弦AB, 求l的方程.

(9+7 sin2θ) t2+4 (9cosθ+8sinθ) t-92=0.

∵M为弦AB中点,

∴t1+t2=0,

即9cosθ+8sinθ=0.

∴直线l的方程为9x+8y-26=0.

二、求距离问题

例3已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A, B两点, 求线段AB的长和点M (-1, 2) 到A, B两点的距离之积.

解∵M (-1, 2) ∈l且l的倾斜角为π,

三、求轨迹问题

例4过抛物线y2=4x的焦点F作一直线l交抛物线于A, B两点, 求AB的中点M的轨迹方程.

解点F的坐标为 (1, 0) , 设l的倾斜角为θ (0<θ<π) , 则l的参数方程为 (t为参数) , 将它代入抛物线方程y2=4x并整理得t2sin2θ-4tcosθ-4=0,

∴点M的轨迹方程为y2=2 (x-1) (x≥1) .

篇4：解析几何·直线、圆与方程

1. 与直线[y=2x+1]关于点[（1，1）]对称的直线方程为（ ）

A. [y=2x-1] B. [y=-2x+1]

C. [y=-2x+3] D. [y=2x-3]

2. 在[△ABC]中，已知点[A（5，-2）]，[B（7，3）]，且[AC]边的中点[M]在[y]轴上，[BC]边的中点[N]在[x]轴上，则直线[MN]的方程为（ ）

A. [5x-2y-5=0] B. [2x-5y-5=0]

C. [5x-2y+5=0] D. [2x-5y+5=0]

3. 圆[x2+y2-2x+4y-4=0]与直线[2tx-y-2][-2t=0（t∈R）]的位置关系为（ ）

A. 相离 B. 相切

C. 相交 D. 以上都有可能

4. 已知圆的方程为[x2+y2-2x+6y][+8=0]，那么下列直线中经过圆心的直线方程为（ ）

A. [2x-y+1=0] B. [2x+y+1=0]

C. [2x-y-1=0] D. [2x+y-1=0]

5. 已知圆[O]：[x2+y2=5]，直线[l]：[xcosθ+ysinθ][=1]（[0<θ<π2]）. 设圆[O]上到直线[l]的距离等于1的点的个数为（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

6. 过圆[x2+y2=4]外一点[P（4，2）]作圆的两条切线，切点分别为[A，B]，则[△ABP]的外接圆方程是（ ）

A. [（x-4）2+（y-2）2=1]

B. [x2+（y-2）2=4]

C. [（x+2）2+（y+1）2=5]

D. [（x-2）2+（y-1）2=5]

7. 若点[P]在直线[l1： x+y+3=0]上，过点[P]的直线[l2]与曲线[C： （x-5）2+y2=16]相切于点[M]，则[|PM|]的最小值为（ ）

A. [2] B. 2

C. [22] D. 4

8. 已知直线[l]经过坐标原点，且与圆[x2+y2-4x+3=0]相切，切点在第四象限，则直线[l]的方程为（ ）

A. [y=-3x] B. [y=3x]

C. [y=-33x] D. [y=33x]

9. 已知点[A]（-3，- 4），[B]（6，3）到直线[l：ax+y+1=0]的距离相等，则实数[a]的值等于（ ）

A. [79] B. [-13]

C.[-79]或[-13] D. [79]或[13]

10. 已知圆的方程为[x2+y2-6x-8y=0]，设该圆中过点[M（3，5）]的最长弦、最短弦分别为[AC，BD]，则以点[A，B，C，D]为顶点的四边形[ABCD]的面积为（ ）

A. 10 B. 20

C. 30 D. 40

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 直线[ax+2y+3a=0]与直线[3x+（a-1）y=][a-7]平行，则实数[a=] .

12. 经过点[（-2，3）]且与直线[2x+y-5=0]垂直的直线方程为 .

13. 已知直线[x+2y=2]分别与[x]轴、[y]轴相交于[A，B]两点，若动点[P（a，b）]在线段[AB]上，则[ab]的最大值为 .

14. 过点（-3，4）且与圆[（x-1）2+（y-1）2=25]相切的直线方程为 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知圆[x2+y2=8]，[AB]为过点[P][（1，2）]且倾斜角为[α]的弦.

（1）当[α=135°]时，求[AB]的长；

（2）当弦[AB]被点[P]平分时，求直线[AB]的方程.

16. （10分）如图，已知圆[C]：[x2+（y-3）2=4]，一动直线[l]过[A（-1， 0）]与圆[C]相交于[P]，[Q]两点，[M]是[PQ]的中点，[l]与直线[m]：[x+3y+6=0]相交于[N].

（1）当[PQ=23]时，求直线[l]的方程；

（2）探索[AM?AN]是否与直线[l]的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

17. （12分）已知[O]为平面直角坐标系的原点，过点[M（-2，0）]的直线[l]与圆[x2+y2=1]交于[P]，[Q]两点.

（1）若[|PQ|=3]，求直线[l]的方程；

（2）若[MP=12MQ]，求直线[l]与圆的交点坐标.

18. （12分）已知椭圆[E：x2a2+y23=1（a>3）]的离心率[e=12]. 直线[x=t（t>0）]与曲线[E]交于不同的两点[M]，[N]，以线段[MN]为直径作圆[C].

（1）求椭圆[E]的方程；

（2）若圆[C]与[y]轴相交于不同的两点[A，B]，求[ΔABC]的面积的最大值.

篇5：解析几何直线方程教案

http:// 第一章 直线教案 直线方程的点斜式、斜截式教案

教学目标

1．通过教学，学生能掌握直线方程的两种表现形式，即点斜式、斜截式．

2．通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题；尊重从特殊→一般→特殊的认识规律． 3．培养学生的探索、概括能力，同时也培养学生思维的科学性与创造性． 教学重点与难点

引导学生根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程． 教学过程

师：在初中，我们学习过一次函数y=kx+b及其图象l(一条直线)，下面请同学们思考以下几个问题： 1．对函数y=kx+b来说，当不区分自变量x和 y时，我们可以将y=kx+b叫做什么？(二元一次方程)2．对于直线l来说，k和b在l中表示什么？(“k”表示直线 l的方向，其值满足 k=tanθ，因此，把 k叫做直线 l的斜率；“b”表示直线l与y轴交点的纵坐标，又叫做直线l在y轴上的纵截距．)

3．方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？(以这个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．)师：你怎么知道以方程y=kx+b的解为坐标的点都是直线l上的点呢？你都验证了吗？ 生：„„

师：事实上，可以证明

证明：设P(x1，y1)在l上，则由相似三角形性质，所以y1=kx1+b，即(x1，y1)是方程y=kx+b的解． 反之：设(x1，y1)是y=kx+b的解，则

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师：通过上述问题，我们弄清了方程y=kx+b的解和直线l上的点之间的关系，它们是一种什么关系呢？ 生：一一对应关系．

师：很好！有了这种一一对应关系，那么我们在研究直线时，就可以通过方程来考虑，这也正是解析几何研究问题的基本思想．

现在我们不妨考虑一下，如果把直线当做结论，那么，确定一条直线需要几个条件？ 生：两个条件． 师：哪两个条件？

生甲：需要知道k和b的值就可以了．

生乙：因为两点确定一条直线，所以只要知道两个点就可以确定一条直线． 师：两位同学说得都很好，还有其它条件吗？ 生：„„

师：好！大家提出了许多种，今天先讨论其中的两种．若已知k、b，求直线方程． 生：设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式得：

师：推导过程很正确！我们能不能把题目再引申一下，使其更具有一般性？

生：把条件改为：已知直线l的斜率为k，且经过点P1(x1，y1)，求直线l的方程． 师：条件改得很好！能解决这个问题吗？ 生：设P(x，y)为l上任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得：

师：在解决上面的两个问题中，大家都用到了k值，若k不存在的情况下其直线方程怎么表示？ 生：若k不存在，则直线方程为x=0或x=x1．

师：很好！把上面的问题归纳一下，应分为几种情况加以考虑？ 生：两种．

1)当k存在时，经过点P1(x1，y1)的直钱方程为y-y1=k(x-x1)； 2)当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．

师：总结得不错！通过总结，大家注意到，在运用方程y=kx+b和y-y1=k(x-x1)解决问题时的前提条件是k存在．另外要知道这两个方程之间的联系，即方程y=kx+b是方程y-y1=k(x-x1)的特殊形式，但两个方程表示的图形都是直线．为了以后应用起来方便，我们不妨给这两个方程分别取个名字．下面请大家集思广益，给这两个方程取个贴切、易记的名字．

生：直线方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，因此，可以叫做直线方程的点斜式；直线方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以，可以叫做直线方程的斜截式．

师：这两个名字都指出了方程存在的前提条件，因此，便于同学们理解和记忆，以后大家可以继续使用．下面请大家根据今天课上所讨论的内容解决有关问题．

例1 已知直线l的倾斜角为0°，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：利用点斜式得直线l的方程是y=y1．

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http:// 例2 已知直线l的倾斜角为90°时，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：因为直线l的斜率不存在，所以经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．

例3 一条直线经过点P1(-2，3)，倾斜角α=45°，求直线的方程，并画出图形．(打投影仪)师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．(同时请一位同学板演)师：通过前面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立条件？ 生：两个．

师：如果已知直线l过一点，能否确定直线在坐标系中的位置？

生：不能确定，可以得到无数条经过这一点的直线．(教师可以用电脑演示)

师：若只知道直线l的斜率呢？

生：可以得到无数条斜率相同的直线．(教师用电脑演示)师：像这样的问题在我们今后学完有关直线的问题以后再做进一步探讨．本节课需要大家理解；确定一条直线必须具备两个独立条件，并且会根据所给条件求出直线的方程．

下面，请大家回忆一下本节课所讨论的内容．

生：知道了直线方程的两种表现形式：点斜式、斜截式． 师：应用这两个方程时应注意什么？ 生：注意方程存在的条件是k存在．

师：在今天这节课上，有的同学还提到了另外几种确定一条直线的条件，请同学们课下思考． 作业：第20页，练习1，2，3．

第26页，习题二：1，2(1)、(2)、(3)． 设计说明

本节课的教学过程主要有以下几个部分：

1．复习引入，通过问题逐步引导学生发现方程y=kx+b与直线l的一一对应关系，从而为研究直线即可通过研究方程而得到．

2．提出问题：

1)确定一条直线需要具备几个独立条件？ 2)根据条件求出直线的方程． 3．需猜想：

1)确定一条直线需要知道k、b即可；

2)确定一条直线需要知道直线l经过两个已知点； 3)„„

4．根据猜想：已知k、b，求直线l的方程；已知k，点P1(x1，y1)，求经过点P1和斜率为k的直线方程． 5．得到直线方程的点斜式、斜截式及方程存在的条件．

6．已知一个条件，不能确定唯一的一条直线，进一步体会确定一条直线需要具备两个独立条件． 7．例题、小结、作业．

第一个环节的设计主要考虑了初、高中数学教材中相关知识点的衔接．因为搞好初、高中数学教学的衔接，从教学管理的角度看，适应学生的心理特征及认知规律．为此，从初中代数中的一次函数y=kx+b引入，自然

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http:// 地过渡到本节课想要解决的问题，即求直线的方程的问题上去．在引入过程中，注意先帮助学生弄清直线与方程为一一对应关系，理解了要研究直线可从研究方程入手，以及要研究方程的特征，也可以从研究直线考虑，突出了解析几何研究问题的思想方法．

第二、三、四环节的设计体现了解析法的基本思想在于把几何问题代数化，图形性质坐标化，其框图如下：

考虑到传统的教学模式都是根据已知条件求结论，按照“MM教育方式”，应培养学生的探索性，因此在注重学生思维的科学性上，设计了根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件是什么？然后再根据猜想得到的条件求直线的方程．从教学内容上没有脱离教材，但从教法上比较注重创设问题情境，揭示知识的形成发展过程，不仅要让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，突出知识的本质特点，讲清知识的来龙去脉，揭示新知识(根据已知条件，求出直线的方程)的提出过程，使学生对所学知识理解得更加深刻．

关于直线的许多问题中，都要涉及到斜率和截距的问题，用斜率和截距来解决有关问题也是高中学生学习的需要．另外，在学生得出直线方程的点斜式和斜截式之后，教师要有意识地引导学生注意这两个方程的存在条件是k存在，若k不存在时应作为特殊情况加以考虑，在此涉及到了分类讨论的思想．

在高中数学中，用斜率和截距来解决直线及其方程的问题，其中以下两种题型必不可少． 1．已知直线方程研究其几何性质的问题

例1 如果AC＜0且BC＜0，那么Ax+By+C=0不通过[ ]．

分析

由AC＜0且BC＜0可得 AB＞0，直线 Ax+By+C=0的

限，故选(C)．

显然，直线的斜率和截距是刻画直线几何性质的，是研究这类问题的关键． 2．求直线方程

例2 在平面直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)且与直线OP夹角

例3 过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．

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http:// 分析 两坐标轴截距相等包含了两种情况：截距不为零，截距为

直线过原点和点(5，2)，可求得直线方程为2x-5y=0，所以 所求直线方程为x+y-7=0或2x-5y=0．

例4 求过点P(0，1)的直线l的方程，使l夹在两直线l1∶x-3y+10=0与l2∶2x+y-8=0之间的线段恰被P点平分．

解 设过点P(O，1)的直线方程为y=kx+1(斜率k不存在时，显然不满足条件)，与直线l1、l2分别交于A、B两点(如图1-19)

上述几例是用待定系数法求直线方程，解这类题的要点是：通过对已知条件的分析，寻求满足直线方程的两个独立条件，列出直线方程求待定系数．在使用直线方程时要注意，方程成立的条件，如点斜式、斜截式要求斜率存在，截距式要求截距不为零等．

为了使学生理解求一条直线的方程需要具备两个独立条件，在本节课的最后部分我们强调直线若满足一个条件，那么这条直线是不能唯一确定的，所以在直线这一章学完以后，还要准备适当地补充直线系的概念及直线系的基本类型题．

一般地，我们把满足一个共同条件的直线的集合(直线的系列)称为一个直线系，把满足直线系的方程叫做直线系方程．

直线系的基本类型有：平行直线系(直线系中的所有直线的斜率k是同一个常数)；共点直线系(直线系中的直线都过同一个点)．

引理

若两相交曲线为C1∶f(x，y)= 0，C2∶g(x，y)=0，则曲线系C∶f(x，y)+λg(x，y)=0(参数λ∈R)，必通过C1与C2的所有的交点．

定理 已知两条相交直线l1∶a1x+b1y+c1=0和l2∶a2x+b2y+c2=0，则a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0是过l1和l2交点的直线系(不包括l2)，式中的λ是一个任意实数．

例1 填写满足下列条件的直线系方程(1)斜率为-2的直线系方程是(y=-2x+b)．

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(3)经过点(-2，-3)的直线系方程是(y+3=k(x+2)或x=-2)．

例2 应用上述定理，求经过l1∶2x-3y+2=0与l2∶3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程．(1)过原点；

(2)平行于直线2x-y-6=0；(3)垂直于直线4x+3y-4=0． 解

过l1、l2交点的直线系是：

l∶2x-3y+2+λ(3x-4y-2)= 0，① 即：(2+3λ)x+(-3-4λ)y+(2-2λ)=0，②(1)因为l过原点，所以2-2λ=0，λ=1代入②得： 5x-7y=0．

(2)因为 l平行于直线2x-y-6=0，2x-y-18=0．

(3)因为l垂直于4x+3y-4=0，所以4(2+3λ)-3(3+4λ)=0，即-1=0，此方程无解．

这说明①中不存在与直线4x+3y-4=0相垂直的直线，事实上，①不含l2，而l2恰恰是过l1，l2交点且与4x+3y-4=0垂直的直线，所以 所求直线就是l2∶3x-4y-2=0．

例3 不论 m取什么值，直线(2m-1)x+(m+3)y-m+11=0必过一定点，试证明之，并求此定点．

x=2，y=-3．

将x=2，y=-3代入直线系方程左边，则

(2m-1)·2+(m+ 3)·(-3)-m+ 11= 0，即证明直线系过定点(2，-3)． 解法二

将原方程变形为：

(-x+3y+11)+m(2x+y-1)=0，这是经过以下两直线交点的直线系

解方程组，得这两条直线交点坐标为(2，-3)，不论m取何值时，已知直线必过点(2，-3)．

以上是教案设计过程中的几点说明，此外，在教学过程中还应重视数学思想方法和数学语言的教学．因为数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为解决问题能力的桥梁．数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，注重数学语言训练，有助于理解数学知识和方法，有助于数学交流，有助于学生的数学应用意识的培养．为此，本教案中涉及到了由特殊→一般→特殊的认知规律，运用了归纳、猜想等合情推理方法，在每个环节的设计中，要求学生对每一个问题都要独立思考，在学生遭遇挫折后，要引导他们进行正确归因，帮助他们找出症结，加强个别指导，激发不同层次的学生的学习兴趣．

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篇6：《2-3 直线的参数方程》教案

一、教学目标：

知识与技能：掌握直线的参数方程。

过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。

教学难点：直线的参数方程中参数t的几何意义。

三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程

（一）复习引入：

（1）经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos （t为参数）。

yy0tsin【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？ ③参数t的几何意义是什么？ 总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量； ②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

xx0tcos（2）直线 （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yy0tsin对应的参数分别为t1,t2。（1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

（）1M1M2t1t2，（2）tt1t2 2【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。

（二）基础练习

x3tsin20(t为参数）1．直线 的倾斜角为________________。ytcos20x＝1＋3t，2．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，求By＝2－4t点坐标 ________。

【师生活动】教师投影展示问题，学生单独解答，师生共同予以纠正、完善。【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程。

（三）直线的参数方程应用，强化理解

1、例题：已知直线l过P(－1,2)，且倾斜角A,B两点，(1)求直线l的参数方程；(2)求点P到A，B两点的距离的积；(2)求线段AB的长；(3)求AB的中点M的点的坐标；

【师生活动】先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导。

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力。

（四）高考在线——直线参数的应用技巧

34，与抛物线yx2交于

x12t,1．(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:(t为参数)与

y2kt.2 xs,直线l2:（s为参数）垂直，则k。

y12s.【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条直线垂直问题，基础题。2.（2010.福建高考）

2x3t2在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，在极坐标(t为参数）y52t2系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆的方程为25sin

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点A,B若点P的坐标为

3,5，求PAPB。

【考点定位】本小题考查极坐标化为普通方程、直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用，中等题。

【师生活动】先由学生独立思考并动手解决，教师指导自查，互查。【设计意图】通过本题训练，会使学生有一定的提升，一：高考题很有针对性，二：高考题难易得当，三：高考题起导向作用。要找出高考的考点和考试题型，再针对学生的不足加以强化。

（五）归纳总结，提升认识

【师生活动】先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括。1．知识小结

本节课继续学习直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用。2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了数形结合、转化等数学思想。

篇7：直线的斜截式方程教案

教学目标

1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y轴上的截距的概念；

2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；

3、初步掌握斜截式方程及其简单应用；

4、培养学生应用公式的能力。

教学重点

直线的斜截式方程。

教学难点

直线的斜截式方程及其应用。教学过程

（一）复习引入

（1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x，y），（x1，y1），k的几何意义。

（答案：直线的点斜式方程是y－y1=k（x－x1）；（x，y）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k是直线的斜率。）（2）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是（0，b），求直线l的方程。（答案：y=kx+b）

（二）讲解新课

（1）直线在y轴上的截距

一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距。例如，引例中直线l与y轴交于点（0，b），则b就是直线l在y轴上的截距。在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念。（2）直线的斜截式方程

如果已知直线l的斜率是k，在y轴上的截距是b，那么直线l的方程是y=kx+b。由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式。

这个方程的导出过程就是引例的解题过程。这是我们同学们自己推导出来的。（3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同

在一次函数的解析式中，k不能为0，而直线的斜截式方程没有这个限制。②练一练

根据直线l的斜截式方程，写出它们的斜率和在y轴上的截距：（1）y=3x－2，k=_________，b=_________ 21（2）yx，k=_________，b=_________ 33（3）y=－x－1，k=_________，b=_________（4）y3x2，k=_________，b=_________

小结：通过练一练中的这些题目，告诉我们：掌握斜截式方程的第一个要求是要能够根据直线的斜截式方程写出直线的斜率和在y轴上的截距。（4）直线的斜截式方程的应用 例1 求与y轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程。解：直线与y轴交于点（0，－4），

直线在y轴上的截距是－4.又直线的倾斜角为150°，直线的斜率ktan1503

3将他们代入斜截式方程，得

y化简，得 3x4，33x2y120

这就是与y轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程。例2 已知直线l过点（3,0），在y轴上的截距是－２，求直线l的方程。解：直线l过点（3,0），在y轴上的截距是－２，

直线l过点（3,0）和（0，－２）。将它们代入斜率公式，得

202k

033又知，直线l在y轴上的截距是－２，即b=－２.将它们代入斜截式方程，得

yx2

3化简，得

2x3y60

这就是所求直线l的方程.小结：通过这两个例题，告诉我们：如果知道了直线的斜率和在y轴上的截距就可以直接写出直线的斜截式方程，如果题目没有直接给出这两个条件，那么久必须利用已知，找到这两个条件，然后再利用斜截式求直线方程.讲评：老师在带领学生做过练一练之后和讲解了两个例题之后所做的小结很好，它点明了直线的斜截式方程应用的要点，同时也明确了这一节课的重点内容.（5）练习

教材

P76练习1-3.（三）布置作业

学生学习指导用书

直线的斜截式方程

教学设计说明

篇8：职高学生解直线方程

直线方程是高中平面解析几何中的一个重要内容, 也是学生学习的一个难点.因为这部分内容涉及点斜式、斜截式、两点式和截距式四个公式, 对于本来基础较弱的职高生来说更难, 学完后过段时间基本上记不住直线方程的形式.本人经过多年职高教学, 总结出解直线方程的简易方法, 就是以不变应万变, 所有直线方程都用y=kx+b.

一、我们先了解直线方程的四种形式

(一) 点斜式

已知直线l的斜率是k, 并且经过点P1 (x1, y1) , 求直线l的方程.

设点P (x, y) 是直线l上不同于P1的任意一点, 根据经过两点的斜率公式得

$k=\frac{y-y{}_1}{x-x{}_1}.(1)$

可化为

y-y1=k (x-x1) . (2)

(二) 斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b, 斜率为k, 求直线的方程.

这个问题, 相当于给出了直线上一点 (0, b) 及直线的斜率k, 求直线的方程, 是点斜式方程的特殊情况, 代入点斜式方程可得:

y-b=k (x-0) .

也就是y=kx+b, 叫做直线的斜截式方程.

(三) 两点式

已知直线l上的两点P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , (x1≠x2) , 求直线l的方程.

$\because x{}_1\ne x{}_2,k=\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1},$

∴直线的方程为$y-y{}_1=\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}(x-x{}_1).$

当y1≠y2时, 为了便于记忆, 我们把方程改写成

$\frac{y-y{}_1}{y{}_2-y{}_1}=\frac{x-x{}_1}{x{}_2-x{}_1}.$

(四) 截距式

已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b (a≠0, b≠0) , 求直线l的方程.

解 因为直线l过A (a, 0) 和B (0, b) 两点, 将这两点的坐标代入两点式, 得

$\frac{y-0}{b-0}=\frac{x-a}{0-a}.$

就是

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$

二、怎样用y=kx+b解直线方程

例1 已知直线斜率5, 且过P (1, 2) , 求直线方程.

解法一 典型的点斜式:y-y1=k (x-x1) .

代入已知条件得方程y-2=5 (x-1) .

解法二 斜截式:y=kx+b.

代入已知条件2=5×1+b,

解得 b=-3.

所以直线方程为y=5x-3.

例2 已知P (1, 2) , Q (2, 4) , 求过PQ的直线方程.

解法一 典型的两点式 (略) .

解法二 斜截式:y=kx+b.

代入已知条件得方程组

$\{\begin{array}{l}2=k+b‚(1)\\ 4=2k+b.(2)\end{array}$

得k=2, b=0.

所以直线方程为y=2x.

例3 已知直线在x轴的截距是3, 在y轴的截距是6, 求直线方程.

解法一 截距式 (略) .

解法二 斜截式:y=kx+b.

已知直线在x轴的截距是3, 即直线过点 (3, 0) .

在y轴的截距是6, 即直线过点 (0, 6) .

代入0=3k+b, 得

6=0+b,

解得:b=6, k=-2.

所以直线方程为y=-2x+6.

三、注意事项

斜截式只有斜率存在时方可使用.

如图, 当直线的斜率为90°时, 直线的斜率不存在, 它的方程不能用斜截式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1, 所以它的方程是x=x1.

篇9：直线和圆的方程考题解析

例1(湖南卷)设集合A={(x，y)|y≥12|x-2|)}，B={(x，y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠.

(1) b的取值范围是；

(2) 若(x，y)∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是.

图1

解析(1) A表示由折线y=12|x-2|及其上方的点组成的集合，B表示由折线y=-|x|+b及其下方的点组成的集合.如图1，若A∩B≠，只需b≥1，即b∈[1，+∞).

(2) 设x+2y=t≤9，则 t2表示直线y=-x2+ t2在y轴上的截距.故截距最大时t最大.

因为(x，y)∈A∩B，所以(0，92)为A∩B所表示的图形内在y轴上的最高点，所以b=92.

点评这是一道集合“包装下”的线性规划问题，线性规划问题实际上是“直线的方程”与“不等式”知识的综合题.题目不难，有兴趣的同学，不妨仔细读一读.不理解之处可以翻看教材必修5中的“不等式”一章.解此类题的一般步骤是：作出图形(可行域)，分析目标函数的几何意义(截距、距离、斜率等)，借助形的直观有目的地计算.对于由含绝对值的不等式表示的平面区域，也可同二元一次不等式一样，先作方程的图形，再取特殊点判断.

例2(重庆卷)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为()



A. -3或3B. 3

C. -2或2D. 2

图2

解析直线过定点P(0，1)，又点P，Q在圆上，且∠POQ=120°，由圆的对称性知，有两条直线符合要求.

如图2，由平面几何知识，可知∠PRO=60°，k=3，故选A.

点评解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，用好图形的几何性质可以简化代数计算，解题时需在代数算法和几何算法之间做出选择.

例3(上海卷)圆x2+y2-2x-1=0的关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（）

A. (x+3)2+(y-2)2=12

B. (x-3)2+(y+2)2=12

图3

C. (x+3)2+(y-2)2=2

D. (x-3)2+(y+2)2=2

解法一已知圆的方程可化为：(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2.

如图3，显然所求圆的圆心应在第二象限，故选C.

解法二(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2，排除A,B.

又因为0-21-（-3）•2=-1，所以选项C中圆的圆心与已知圆的圆心的连线与已知直线垂直，故选C.

点评两圆若关于某直线对称，则两半径相等，两圆心关于该直线对称(连心线与该直线垂直，且中点在该直线上)；本题也可以用选项中半径为2的两个圆的方程分别与已知圆的方程相减，所得方程为已知直线的即为所求，这便是2001年高考上海理科卷第11题的应用.该题是：已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+(y-3)2=1，则①式减去②式可得两圆的对称轴的方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题.推广的命题为.

例4(上海卷)如图4，A，B是直线l上的两点，且AB=2.两个半径图4相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是.

解析圆的半径r∈[1，+∞)，

当r→+∞时，点C到AB的距离→0，则S→0；

当r=1时，两圆外切于点C，设此时两圆的圆心分别为O1，O2，则S=S矩形O1ABO2S扇形O1ACS扇形O2BC=2-π2，所以S∈0，2-π2.

点评不规则图形的面积的计算常用割补法.本题中圆弧与线段所围成的图形的面积的大小与圆弧的半径的大小有关，合情推理知：半径越大面积越小.

例5(江西卷)设有一组圆Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题：

A. 存在一条定直线与所有的圆均相切

B. 存在一条定直线与所有的圆均相交

C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交

D. 所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

解析从简单的开始研究，将(0，0)代入圆系方程，得2k4-10k2+2k-1=0，该方程无正整数解，故D正确；圆Ck的圆心为(k-1，3k)在直线y=3x+3上，直线y=3x+3与所有的圆均相交，故B正确而C错误；设存在一条直线y=ax+b与所有的圆均相切，则圆心到它的距离d等于圆的半径r，即 |a(k-1)-3k+b|a2+1=2k2，方程可转化为两个关于k的一元二次方程，不可能对任意的k(k∈N*)均成立，故A错误.

所以填B，D.

点评这种“多项选择题”需逐一考虑，一着不慎，满盘皆输.本题中B,C互为否定，一真一假；C,D以否命题的形式出现,要注意加点的字.直线与圆的位置关系常用圆心到直线距离与半径的关系来研究.

例6(全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.

(1) 求圆O的方程；

(2) 圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA•PB的取值范围.

解析(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，即r=41+3=2,得圆O的方程为x2+y2=4.

(2) 不妨设A为(x1，0)，B为(x2，0)，且x1＜x2.由x2=4,得A(-2，0)，B(2，0).

设P为(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2，即x2-y2=2①.

由点P在圆O内，得x2+y2＜4②,

而PA•PB=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x2-4+y2=2(y2-1)，

由①②得y2＜1.故PA•PB的取值范围为[-2，0).

点评本题是由基本概念和基本运算组成的简单问题，能否得到理想的分数，就看你的运算能力了.关于向量的知识，同学们可翻看教材必修4.