数学哲学

数学哲学（精选十篇）

数学哲学 篇1

对数学本质的现代认识, 给数学教学以新的启示, 即应以一种生命、生活的教育哲学观为指导, 使数学教育向生活回归。那么, 什么是生命、生活教育哲学观, 数学教育向生活回归又有其怎样深刻的内涵呢?

1.生命、生活教育哲学观的内在意蕴。

我们不能对课堂上的收获做狭隘的理解, 收获不仅仅包括的是知识本身, 即概念、命题、公式、原理等以及方法, 思想的提升, 还包括个体认知结构的改变与重组。更包含学习态度的转变, 学习兴趣的提高, 人生观、价值观的丰富与提升, 所面对挫折的勇气、抗压能力以及更多挑战和内心的触动、精神的陶冶等。一言以蔽之, 完美的教学能够唤醒沉睡的潜能, 激活封存的记忆, 开启幽闭的心智, 释放禁锢的情愫。生命、生活教学关注人的生命、生活世界, 它不仅把认识看作人的生活, 而且使认识指向生活, 即以更幸福的生活、以人的发展、完善或生成为目标;教学应回归学生生活世界, 提升学生主体意识;应以满足学生现实生活需求, 建构学生可能生活为教学目标;超越科学世界束缚, 关注学生生活世界;突出交互主体性, 实现对话、交流和互动[1]。

2.数学教育向生活回归的深刻内涵。

“生活世界”是包括马克思主义在内的哲学学说思考人类的生活实践、人的生存方式的核心范畴。尽管在不同的哲学框架中, 在哲学思想发展的不同时期, 对“生活世界”的具体描述也不同, 但都从不同的角度关注人的生活实践和存在方式。“生活世界”是内容丰富的, 并以人的生成为逻辑构成的完整结构, 包括文化、人格和社会等三种结构。“回归”的本质是关注事物的生成, 强调学习活动的过程生成价值。“回归”并不意味着抛弃、弱化学科知识和学科教学而仅仅去教一些所谓的经验的东西;相反, 教学应在生活世界和教学领域之间穿梭。 “回归生活世界”不是一种教学方式和教学技术, 而是一种教学理念, 更是一种教学思维方式。这种理念的实施策略则是多元的, 如在方法论上强调教学联系生活经验和社会实际, 在具体方法上强调建立在认识基础上的理解、感悟、体验、实践和交往等学习方式, 在教学过程上强调“情境”的作用, 注重过程的价值。回归生活世界即回归“活动”[2]。

二、数学教育的价值——数学教什么

爱因斯坦曾援引过劳厄的一段名言:“当一个学生毕业离开学校时, 如果他把几年来学到的知识忘光了 (当然, 这是不可能的) , 那么, 这时他所剩下的, 才是学校教育的真正成果。” 数学教育亦如此, 我们不愿意遗忘所学的知识, 但是我们逃脱不了遗忘的命运。如果把所学的数学知识忘掉, 那剩下的就是数学教育所真正给予我们的。剩下的是什么?是数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法, 甚至经历的挫折, 更多的是学习者自主参与数学活动的体验、领悟、反思基础上的升华[3]。是基于经验的素养, 从事数学活动所获得的具有个性特征的能力与观念, 包括猜想、假设、直觉、合情推理及元认知等多因素以及健全的人格和理性的思维运作体系。这就是数学教育所要教会我们的。作为一种高层次的数学教育即是让学生智慧生成的思维之旅。

三、怎样进行数学教育

1.面向学习者的经验聚焦。

刚才我们提到学生已有经验包括日常数学和已经习得的数学知识及与数学有关的相关领域的知识。对于前者, 在从学生所熟悉的现实生活中建构数学关系, 形成相对独立的数学问题的同时, 也应看到日常数学对教学所带来的负面影响。也即学生在日常生活中逐渐习惯成的认识未必正确, 有时甚至会影响对正确科学知识的判断与掌握, 从而建构的数学关系也会发生错误和偏差。例如, 日常生活中, 学生往往将“等腰三角形”理解为底在下这样的生活模型, 而数学中的等腰三角形则可能是任意摆放的, 由此就不利于学生“等腰三角形”概念的学习。因此, 在实际的教学设计时, 应对日常数学所影响的程度进行层级式初步估计。即日常数学内在的数学成分与本节概念是否相通, 学生是否具有使用日常生活之中数学的倾向, 学生在日常生活中是否已经用到过这个概念等。在对日常数学对本节内容有影响的估计前提下, 根据日常数学局限性 (情境依赖、情境固化和情境单一) 做进一步深入地考察和分析, 制定“指向学生情境多样性设计”策略, 意在最大限度地降低日常数学观念所带来的负面影响。此外, 教师也要充分利用学生所发明的想法, 帮助他们发展有效的解题策略。对于后者, 作为学生进一步学习数学的基础, 它的重要性不言而喻。但不可忽视的是, 这其中往往包含正确的理解和诸多错误的认识与片面认识。从教师角度来说, 更要关注学生在经验世界中表现出来的对概念理解上的最本真的状态。这恰恰是教师做进一步设计的起点和基础。具体而言, 无论对知识的正确理解还是错误认识, 都源于学生对知识的不同的表征方式。那么, “指向学生经验的表征多样化设计”则不失为聚焦学生经验的较好设计策略。它能在知识多样化表征过程中有效地降低错误理解的几率, 从而最大限度地促进学生对知识的正确理解和掌握。例如, 数学中的函数内容贯穿于中学数学与高等数学, 学生在拥有着关于函数概念的诸多经验性认知的同时, 亦在这种认知中包含着诸多错误理解。事实上, 函数概念的本质在于“映射”, 而并非简单的对应关系的形式。通过设计图表、数字等多样化表征的设计凸显函数概念的“映射”本质, 并同时促进概念理解的情境迁移。此外, 基于学生所具有的个性化智力形式的特点, 有的习惯表格表征, 有的习惯图形表征, 有的习惯形式表征, 有的习惯数字表征, 教师就应该深入甄别并创设相应的学习情境。

2.实现日常数学向学校数学再到真正数学的提升。

数学教学的一个重要过程就是促进学生的经验获得抽象和提升, 使之连续地向数学的形式与结构层面发展过渡。这其中就体现着学习者对数学知识理解的日趋深化、丰富化以及情境化。通过建立数学模型, 研究、解决问题, 实现日常数学向学校数学的提升则有效地促进学生对数学知识的理解。与此同时, 对于学生体验数学与日常生活及其他学科的联系, 感受数学的实用价值, 增强应用意识, 提高实践能力, 以及充分发挥学生主观能动性, 张扬个性, 发展创新意识和交流合作的良好情感体验等, 有其重要意义。在教学过程中, 首先, 教师应明确生活中的问题并不一定都适合作为数学建模的素材来选用, 因此, 教师应精心筛选与学生生活实际相关的问题, 其问题最好有较为宽泛的数学背景, 有不同的层次, 并注意问题的可扩展性和开放性。教师应将教学目标立足于“做”而不是“讲”, 立足于学生对问题的分析, 对解决问题过程的理解, 而不仅仅以有正确的解答为满足。其次, 教师要对数学建模的具体思路和策略予以详细讲解, 分层次、分阶段地加以引导和提升, 将日常数学向学校数学的提升做到实处。在此基础上, 数学教学又不能忽视数学自身的逻辑体系、演绎结构以及知识整体性的建构。事实上, 在数学中研究的不仅仅是从现实生活中抽象出来的量和空间形式, 还包括那些数学内部已经形成或待研究发展的概念、定义等关系和形式。后者则有很多在生活中找不到现实原型, 比如, 爱因斯坦发现的“四维空间”。如果用一个比喻来描述三维和四维空间, 不妨将三维和四维空间比作一个鸡蛋的蛋壳, 在三维空间中, 不敲破蛋壳不能取出蛋黄, 而在四维空间中则可以办到。所以, 正是对现实的超越, 数学才获得了无限的发展。从这一角度来说, 过分强调现实生活就有很大局限性, 从日常数学到学校数学乃至到真正数学的提升具有更为重要的意义。在实际教学过程中, 教师就应借鉴新数运动的积极成果而不是完全摈弃。提取其有效成分, 丰富数学的内涵, 使日常数学、学校数学、真正数学形成一个有机循环体系。

3.数学的应用及迁移。

数学教学的另一个重要的过程则是将数学形式化结构特征的知识予以应用并进行有效的迁移。这包括两方面的含义:一是将学校数学与现实生活联系起来, 使得数学成为生活中具体的、直观的东西, 能够运用数学知识和方法来解决实际问题;二是将已学的数学知识作为进一步学习新知的基础, 通过同化和顺应来促进学生对数学知识的有效迁移。对于前者, 现今研究表明, 在学校教学中, 教师多是以引入实际的生活问题来检验学生对数学知识和原理理解和掌握的程度, 以此来体现运用数学知识和方法来解决实际问题的目标。但是, 脱离了学校的情境, 学生依然会不自觉地运用日常数学知识来解决问题。如何在学校情境下培养学生运用学校数学知识解决实际问题的意识和能力呢?这一方面离不开上述提到的日常数学向学校数学提升的关键步骤;另一方面, 则是要求教师开发有效的教学策略。笔者认为, “数学问题具体化”将是解决这一问题的有效途径, 即从形式上是“数学建模的逆运用”。 教师提出一个问题时, 通常是以生活中的实例来加以引入, 这体现了生活世界数学化的特征。但是, 当学完这一问题时, 教师往往就进入了下一个内容的学习, 其实, 这恰恰是一个培养学生学以致用能力的大好机会。教师可单独拿出这一问题, 让学生发挥想象, 找到生活中的原型, 让学生从数学思维向日常思维转化。在数学情境下, 学生可根据自身所处的不同文化背景、不同的个性特点、不同的思维倾向以及不同的表征习惯寻找到不同的生活原型, 即“造出”自己的生活模型。对于后者, 即有关促进迁移的策略已经很多, 在此, 笔者就不一一列举。

参考文献

[1]刘铁芳.走向生活的教育哲学[M].长沙:湖南师范大学出版社, 2005:3.

[2]郑毓信.数学教育的现代发展[M].南京:江苏教育出版社, 1999:10.

学习和研究数学哲学和数学史 篇2

学习和研究数学哲学和数学史

从初出茅庐漫无边际的自学,到确定以数学哲学和数学史为研究方向;从的准备阶段,到集中力量进行研究;从论文不能发表到出书;从参加省级的学术会议到参加国际学术会议,作者学习和研究数学哲学和数学史的.道路是不平坦的.

作 者：汤彬如 作者单位：南昌教育学院,江西,南昌,330006刊 名：南昌教育学院学报英文刊名：JOURNAL OF NANCHANG COLLEGE OF EDUCATION年，卷(期)：18(1)分类号：B2关键词：学习研究 数学哲学 数学史

哲学的视野与数学的神韵 篇3

该书是一部数学解题研究和数学教科书研究的力作，是一部品格独特、思想新锐、视角新颖、新法迭现的值得向读者推荐的参考书.

乔治·波利亚（George Polya）指出：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题.”解题是数学工作者数学活动的基本形式，是数学工作者数学活动的主要内容，是数学工作者的一个兴奋中心，因此，数学解题研究是数学工作者的基本功.数学教科书是数学教学活动的主要用书，研究数学教科书是数学教师的一个基本功，研究教科书有三个境界：仰视教科书、平视教科书、俯视教科书，一个数学教师只有达到俯视教科书的境界，才能自己解放自己，才算是走进了数学教学的自由王国，才能进行数学教学的再创造，《我的第一本数学解题书》正是一部数学解题研究和数学教科书研究的佳作，它将引领读者进入数学解题研究和数学教科书研究的自由王国.

该书是数学解题研究的一个尝试，它以现行高中数学教科书中的一道复习参考题为线索，以哲学思维为工具，介绍了高中阶段解数学题的常用方法和技巧，兼顾通性通法与技巧，一题多解，一题多巧解，一题多妙解，一题多奇解，给出了题目的二十个解法系列，这些解法将一些常用的知识、方法和技巧巧妙地排列组合，美轮美奂，真实体现了数学解题的奇趣.这样的创作设计还是第一次见.

在信息爆炸的今天，选择一部好书，就是选择了一个好的心灵对话对象.《我的第一本数学解题书》无疑是一部好书、奇书，它值得我们大家，特别是中小学数学教师、教研员、师范大学数学专业学生、中学生以及数学爱好者，静下心来仔细品读.

做具有哲学思维的数学教师 篇4

这些年来自己一直有这样一个愿望, 即希望促进广大一线教师不断提高自己的哲学素养, 努力成为具有哲学思维的数学教师。

对于广大一线教师是否真有必要做这样的提倡?或者说, 哲学对于一线数学教师的日常工作是否有任何重要的联系, 乃至一定的促进作用?为了清楚地说明这样一点, 显然有必要首先对“什么是哲学”这个问题作出具体说明。以下就通过与“什么是数学”的对照作出大致的分析。

事实上, 对于后一问题我们也很难作出某种为人们所一致公认的标准解答。但是, 人们在这方面又可说已经逐步形成了一定的共识, 特别是人们现已普遍地认识到了这样一点:数学不应被等同于各种具体的知识和技能, 也代表了一种重要的思维方式, 更体现了一种独特的文化!

在此要强调的是, 上述结论对于哲学也是基本成立的, 这就是指, 哲学同样不应被等同于各种具体的结论或理论, 并主要代表了一种思维方式。

事实上, 任一对哲学稍有涉及的人可能都会注意到哲学的这样一些特征:哲学与一般知识相比, 应当说更为明显地表现出了多元性和不连续性;而且, 我们在哲学中所看到的又似乎并非纯粹的客观知识, 因为, 各种哲学理论应当说都十分深刻地打上了其创造者的个人烙印;而且, 人们在此所要关注的似乎也不是结论的真理性, 因为, 即使是基本立场的严重错误 (如完全颠倒了物质和精神的关系) , 人们也不会因此而完全抹杀相关哲学家的理论贡献, 恰恰相反, 只要相关分析对于人们有一定的启示作用, 或者说其中多少包含一定的合理成分, 人们就仍然愿意承认他的工作具有一定的学术价值。

由此可见, 哲学的主要作用就不是为相关问题提供明确的解答, 而是通过理论分析特别是自觉的批判, 促使人们更为深入地进行思考, 包括积极的反思和自我批判, 从而就可获得更为深入的认识, 并因此实现更大的自觉性。显然, 在这样的意义上, 哲学就可说是一种聪明学、智慧学;而这又正是哲学的特殊性所在:哲学并不直接告诉人们应当如何去做, 恰恰相反, 哲学家往往会通过理论分析, 特别是批判性的思考促使人们更为深入地去进行思考, 并最终通过独立思考获得新的、更为深入的认识, 从而真正变得聪明起来。

由于新的认识正是对于先前已建立的认识的一种超越, 因此, 在所说的意义上, 更为深入的思考就可说是一种反思, 哲学更可定义成“反思的学问”, 我们并就应当将“批判性” (“反思性”和“深刻性”) 看成哲学思维最为重要的特征:“基本上每一个新的 (哲学——注) 体系都是整个从头开始, ……因为几乎所有的伟大思想家都把哲学的彻底变革看成必要的, 并且亲自进行这种变革。” (石里克语) 这也就是指, 不具有批判性的哲学根本不是哲学, 这并可被看成哲学研究时代性质与历史使命感的集中体现。

进而, 这也正是笔者倡导哲学思维的主要目的, 即希望有助于广大教师更为积极、更为深入地去进行思考, 特别是学会独立思考, 学会批判性思维。

应当指出, 事实上我们也可从同一角度更为深入地认识数学教育的作用, 特别是我们既应通过自己的教学努力实现这样一个目标, 又促使学生更为积极地去进行思考, 并逐步学会想得更深、更合理、更清晰、更有条理——也正因此, 就不能不说现行数学教学普遍存在的一个严重弊病:“我们的学生一直在做, 一直在算, 但就是不想!”[1]

再者, 上述分析显然也已清楚地表明了一线教师努力提高自身哲学素养的现实意义:这十分有益于彻底纠正这样一种常见现象, 即对于专家权威的迷信, 以及对于时髦潮流的盲目追随。更为一般地说, 我们又应明确提倡对于“理论指导下的自觉实践”这一传统定位的自觉反思与批判, 这也就是指, 我们应当努力纠正“理论至上”这样一种错误的认识, 并应更好地去认识与处理理论与教学实践之间的辩证关系, 由以下实例我们即可清楚地认识“努力纠正‘理论至上’”这一主张的具体含义及其现实意义。

第一, 对于“基本数学思想”与“基本数学活动经验”的倡导无疑可以被看成2011年版“数学课程标准”最为重要的一个特点;但是, 尽管存在众多肯定性的“解读”或评论, 如:“无疑, ‘四基’是对‘双基’与时俱进的发展, 是在数学教育目标认识上的一个进步” (唐彩斌等, “‘四基’‘四能’给课程建设带来的影响——宋乃庆教授访谈录”, 《小学教学》, 2012年第7~8期) , “《标准》中将基本思想、基本活动经验与基础知识、基本技能并列为‘四基’, 可以说是对课程目标全面认识的重大进展” (张丹, 白永潇, “新课标的课程目标及其变化”, 《小学教学》, 2012年第5期) , 笔者以为, 作为高度自觉性的具体体现, 我们仍应认真地去思考:这一主张是否真有其一定的合理性, 这一主张又有什么局限性或不足之处, 我们在教学中应如何去避免各种可能的片面性? (详可见[2]或[3])

第二, 如果说上述论题因其过于“宏大”而与一线教师的教学实践仍有一定距离, 那么, 当前在教育界内具有广泛影响的“模式潮”, 特别是为不少人士所积极倡导的“先学后教”与“翻转课堂”, 事实上也可被看成是为我们通过深入思考努力提高自己的专业素养提供了良好契机, 这也就是指, 与单纯强调“学习与落实” (这即可被看成“理论指导下的自觉实践”这一立场的具体体现) 相对照, 我们在此也应更加提倡一线教师的独立思考, 究竟什么是“先学后教”等教学模式的主要特征?这些模式对于我们改进教学又有哪些启示或教益?我们应如何去进行教学才能充分发挥这些教学模式的各个优点并切实避免可能的弊病? (详可见[4][5])

最后, 在笔者看来, 这也正是以下一些论述的共同主张, 即一线教师确实应当努力提高自身的哲学素养, 特别是应努力增强自己的批判意识。

“教师要有主心骨, 不追时尚, 不跟风, 不炒作。教育是朴素的老老实实的学问, 无须三流的化妆来涂脂抹粉, 花里胡哨。……多一点哲学思考, 多一点文化判断力, 就能经得起这个风那个风的劲吹, 牢牢抓住教文育人不放松, 一步一个脚印往前迈。” (于漪)

“你只有学会批判, 才能在改革的潮流中拥有鉴别力;你只有学会批判, 才能播下批判的种子, 你的课堂才可能生长出有个性和创见的学生。” (《人民教育》编辑部)

“会解几道复杂的题, 会把教参上关于教材的某种意思复述给学生听, 会向学生兜售几种应付考试的‘法宝’, 能以夸张的表情和滑稽的语言把学生逗得哈哈大笑, 甚至能写几篇获奖或发表的案例与论文……这些‘技能’本身并无对错, 关键是在这些‘技能’背后, 作为教师, 你的价值取向是什么?……那些不用哲学去思考教育问题的教育工作必然是肤浅的——好的好不到哪里去, 坏的则每况愈下。” (王丹)

二、加强理论学习、坚持辩证思维

在当前我们应特别重视思维的辩证性, 从而切实避免各种简单化与片面性的认识。

在笔者看来, 这事实上也可被看成过去十多年的课改实践所给予我们的一个重要启示或教训, 即在改革中我们必须很好地去处理各个对立环节之间的辩证关系。例如, 以下就是这方面最为重要的一些“诫条”。[6]

数学教学决不应只讲“情境设置”, 却完全不提“去情境”。

数学教学决不应只讲“动手实践”, 却完全不提“活动的内化”。

数学教学决不应只讲“合作学习”, 却完全不提个人的独立思考, 也不关心所说的“合作学习”究竟产生了怎样的效果。

数学教学决不应只提“算法的多样化”, 却完全不提“必要的优化”。

数学教学决不应只讲“学生自主探究”, 却完全不提“教师的必要指导”。

数学教学决不应只讲“过程”, 却完全不考虑“结果”, 也不能凡事都讲“过程”。

其次, 由于我们在先前突出强调了对于“理论优位”这一传统立场的批判, 在此也就有必要明确强调对于理论与 (教学) 实践之间辩证关系的深入认识。

具体地说, 对于“理论优位”的批判决不应被理解成完全否定了理论对于实践活动的积极作用。事实上, 一个人的思考深度在很大程度上是由他的理论水平所直接决定的, 也正因此, 我们就应通过积极的理论学习不断提高自己的理论水准, 特别是应逐步学会从理论高度 (或者说, 以相关理论为背景) 去分析思考, 从而就可将自己的工作做得更好。

为了清楚地说明这样一点, 以下就以近期获得人们普遍关注的“中国式教学实验”为例作出具体分析。

如众所知, 为了对中英不同的教学方法作出比较, 英国广播公司 (BBC) 专门邀请了5名中国教师到英国顶尖的博航特中学开设“中国实验班”, 即完全按照中国的教学方式对实验班的英国学生进行为期一个月的教学。然而, 普遍的看法是:这一实验的结果只能说是“‘水土不服’。英国学生的不少举动让中国老师十分‘抓狂’;而英国学生也无法适应高强度的教学”。

在此要强调的是, 尽管对于上述实验已有不少人给出了自己的分析与评论, 如“相关报道 (纪录片) 有点假”, “‘中国式教学’, 该自信还是该自省”, “中国式教学非常枯燥”, “盲目唱衰‘英国教育’缺乏理性”, 等等;但在笔者看来, 我们只有从理论高度去进行分析思考, 才能从中获得更大的启示和教益。

具体地说, 这一实验即可被看成从又一角度更为清楚地表明了教育的文化相关性, 后者即指, 教育应当被看成整体性文化的一个有机组成成分, 我们更应清楚地看到整体性文化对于教育教学活动的重要影响。

以下就是相关研究的一个主要结论:教学不应被看成是由相关教师在学习和培训中所学到的各种教学理论唯一决定的, 而主要应被看成一种文化行为, 也即在很大程度上反映了社会上普遍存在的观 (信) 念。

下例就是东西方文化的一个重要差异:西方普遍认为学生学习活动 (特别是数学学习) 的成败主要取决于天赋, 我们应特别重视如何增强儿童的自信心, 而不应让儿童因经历失败而挫伤自信心。也正因此, 西方的初等教育就普遍采取了“按能力分班教学”这样一个做法, 这事实上就是放弃了对学生普遍的高要求;更有甚者, 在西方社会中我们还可看到这样的现象:“尽管美国学生在学业成绩的国际测试比较中普遍落后于中国学生和日本学生, 美国家长却对儿童的表现与学校的教育情况普遍持肯定的态度。”与此相对照, 东方社会则普遍持有这样一种观念:只要学生作出了足够努力, 教师又能认真负责地去进行教学, 绝大多数学生都能达到基本的要求。

更为深入地说, 我们在此还可看到两种不同的“教育哲学”:东方特别强调教育的规范性, 即表现出了明显的社会取向;西方则特别重视学生的个性发展, 也即表现出了明显的个体取向。

再者, 即使就“什么是真正的好教师”这样一个问题而言, 我们也可看到文化上的重大差异:东方普遍认同“熟练的演绎者”这样一个“教师形象”:就像演员或音乐家, 教师的主要职责就是有效地和创造性地去演绎指定的角色或乐曲;西方更加推崇的则是“创造者”这样一个形象:按照这一标准, 仅仅演绎一个标准的课程还不足以被看成一个好教师, 甚至更可被看成缺乏创造力的表现。“西方人很难理解创新未必需要全新的表述, 也可以表现为深思熟虑的增添、新的解释与巧妙的修改。”

显然, 从上述的角度去分析, “中国式教学实验”在英国出现“水土不服”也就不足为奇了, 因为, 这事实上即十分清楚地表明了东西方社会之间所存在的文化差异, 以及因此而产生的文化冲突、文化抵制。

从理论的角度看, 在此我们还可引出一些更为一般的结论。 (详可见[7]或[8])

第一, 依据教学的系统性和整体性, 局部的、零星的改革 (即如唯一集中于教材或班级大小的改变等) 不可能取得很大成效;恰恰相反, 最终发生的往往是这样一种情况:新的改革措施逐渐为原有系统所“同化”, 而不是整个教学体系的改革。

然而由于“教学作为一种系统在很大程度上超出了教师工作的范围, 还包括外部的教学环境、教学目标、教学资源, 如教材等, 学生的作用, 学校 (课程) 组织形式等, 仅仅改变其中的任何一项看来都很难取得期望的结果”。由此可见, 教育中的简单“移植”决不可能获得成功!

第二, 教学的文化性质清楚地表明了教学改革的艰巨性, 因为, 这直接涉及了深层次的观念和信念, 包括社会上普遍存在的各种素朴认识, 而人们则又往往对此缺乏清楚的认识与自觉的反思。

更为具体地说, 教学的文化性质直接决定了教育改革必然是一个渐进的、积累的过程, 而不应期望一下子就能取得突破。“由于教学是一个深深地嵌入于整体性文化环境之中的系统, 任何变化必定是小步骤的, 而不可能是急剧的跳跃。”

显然, 上述结论对于我国的教育改革也具有重要的启示作用, 从而就更为清楚地表明了加强理论学习的重要性, 并应被看成一线教师努力提高自身哲学素养的必要途径。

例如, 只有从理论高度去进行分析思考, 我们才能更好地认识明确倡导上述各个“诫条”的重要性。只有清楚地认识到了数学的特征性质 (“模式的科学”) , 我们才能很好地认识数学教学为什么不能只强调“情境设置”。只有围绕数学教育目标 (特别是“三维目标”) 去进行思考, 我们才能更好地认识数学教学为什么不能只强调“动手实践”, 数学教学为什么不能只强调“算法的多元化”?因为, 这直接关系到了数学学习的基本性质:这主要是一个文化继承的过程, 并表现为不断的优化。[3]

另外, 依据上述的分析, 相信读者也可更好地理解笔者的这样一个论述:“教师的特色不应主要体现于教学方法或模式, 而应反映出自身对于教学内容的深刻理解, 体现出对于学习和教学活动本质的深入思考, 以及对于理想课堂与教师自身价值的执着追求与深切理解。”[9]

最后, 还应提及的是, 这事实上也可被看成理论学习对于实际活动促进作用的又一重要方面, 即为一线教师如何能够联系自己的教学工作积极地去开展教学研究提供了必要的背景。例如, 上述关于“教育文化相关性”的分析显然清楚地表明了“中国数学教育的清楚界定与建设”的重要性, 这也就是指, 我们应当深入地去研究中国数学教育传统究竟有哪些优点与局限性, 我们又应如何很好地去继承与发扬自己的传统。当然, 从一线教师的角度看, 这又正是这方面十分重要的一个任务, 即我们应对影响自身教学活动的各种观念 (包括普遍性的社会观念) 作出自觉的反思, 从而真正成为高度自觉的教育工作者。

下一节中我们还将对教师应当如何开展教学研究作出进一步的分析论述。

三、作为研究者的教师

这事实上也正是国际上关于教师工作的一个新定位:作为研究者的教师。也就是指, 教师应将教学研究渗透于自己的全部工作, 特别是应将理论与实际教学活动很好地结合起来, 切实做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”, 后者可被看成一线教师提高自身哲学素养 (更为一般地说, 就是理论素养) 的基本途径。 (详可见[9])

在此笔者特别强调这样一点:教学研究应当切实避免求大、求全, 乃至在不知不觉之中形成了某种“新八股”, 也即只是以生产出某种“大而空”的论著作为主要目标。

当然, 这事实上也正是众多学术文章包括硕博士论文的常见弊病:有很多论著只是热衷于搭建起一个庞大的理论框架 (研究意义、研究现状、理论指导、研究方法、……) , 却看不到任何实质性的研究成果, 也即只是东拼西凑地在所说的框架之中塞入了很多东西, 并以此来装点门面, 乃至自我标榜为“理论创新”。

与此相对照, 笔者以为, 尽管研究工作确应有一定的理论框架, 论文撰写也应有一定规范, 但是, 我们决不应因此而陷入某种“新八股”, 更不应将简单的问题复杂化, 以“东拼西凑”代替真正的理论创新。这也是一线教师在当前所应特别注意的一个问题, 即应当防止在不知不觉之中沾染上了所说的不良习气!

以下就以“一课研究丛书” (教育科学出版社, 2014) 为例, 对此作出进一步的说明。

具体地说, 这套丛书共12本, 每本集中于一个具体内容, 如“圆的认识”的教学、“圆的周长”的教学、“圆的面积”的教学等, 不仅各自独立成书, 而且都有较大的篇幅:“你见过对一节课的研究形成一本十几万字的学术专著吗?你见过查阅百年来课标 (大纲) 后综述对一节课的教学要求吗?你见过对一节课的内容进行国内外多个版本教材的比较吗?……本丛书将让你见到上面所有的‘样子’。” (“丛书序”, 第1页) 更为一般地说, 这也正是这一丛书的主要特征:它们都是统一地围绕数学知识、课程标准、教材比较、理论指导、学情研究、教学设计、课堂教学、课后评价、校本教研等九个“维度”展开的, 从而也就采取了一个较为庞大的理论框架。

无可否认, 这样的研究对于一线教师改进教学会有一定的启示或参考价值。但笔者在此所关注的主要是这样一个问题:作为一线教师, 我们究竟应当如何去从事教学研究, 特别是各个具体内容的教学设计?

当然, 为了对上述问题作出明确解答, 我们又应特别强调教学研究的主要作用, 即应对实际教学 (包括研究者本身以及其他教师的教学) 发挥积极的促进作用。正因为此, 我们在此也就可以依据这样一个情境来进行思考:如果你承担了观摩教学的任务, 你会怎样去做准备?或者说, 你对于承担了观摩教学任务的其他同行会给出什么样的建议?

笔者认为, 在大多数情况下人们都会给出这样的建议:认真研读教材, 做到对于教学内容的很好理解;参考不同的教学设计以构思自己的教学设计;适当试教, 通过总结反思作出必要的改进。

但是, 在现实中你是否也会采取以下几项建议?

(1) 是否会对教育目标进行思考?笔者的猜想:会!而且很有必要。就当前而言, 这也就是指, 我们应当围绕“数学教育的三维目标”去进行分析思考, 从而在相关内容的教学中就能很好地体现与落实。

但是, 我们是否也会进一步去查阅历史上乃至国际上的各种“课程标准 (大纲) ”, 从而总结出这一节课的具体目标?笔者的想法是:不会, 甚至还可说完全没有必要!

(2) 你在准备某一具体内容的教学时是否会查阅多个不同的版本甚至是国内外不同版本的教材?笔者以为, 也许有人会翻阅一下当前国内的几种主要版本, 但肯定不会面面俱到, 更不用说查阅历史上乃至国外的相关教材。

但是, 后一建议为什么不可取呢?答案也十分明确:这不仅涉及时间和精力, 查阅了恐怕也完全用不上。

(3) 你是否会关注相关的“理论指导”?也许会!但恕笔者直言:这在很多情况下都是为了装点门面, 也即只是一种人为的拔高。

在此, 直接涉及了这样一个问题:对于不同的教学内容, 我们是否应当专门地去研究相应的“理论指导”, 还是应当更加重视普遍性的教育教学理论, 包括不同理论的必要互补?

总之, 相信读者由上述分析即可更好地理解笔者的这样一个主张:教学研究不应求大求全, 更不应陷入某种“新八股”。进而, 在笔者看来, 从这一角度去分析, “一课丛书”中出现“维度”的空缺也就完全不足为奇了, 也即其中有些著作并未完全按照所说的“九个维度”去开展研究。

再者, 尽管以下两个方面的工作不可或缺:第一, 学情调查。这也就是所谓的“学情研究”。第二, 课堂评价, 包括当堂评价与课后评价。这大致地就相当于所谓的“课堂教学”和“课后评价”这样两个维度。但相关工作又都不可能通过简单查阅相关论著就能完成, 毋宁说, 后者充其量只能为这方面的具体工作提供必要的研究工具或方法。又由于所说的方法或研究工具有较大的普适性, 因此, 我们也就没有必要针对每一具体内容去对此作出专门的“研究”。

以下再联系教材的研究和已有教案的比较分析, 更为具体地去指明理论思维的重要性, 这直接涉及了哲学思维的另外一些重要特征。

第一, 对教材的研读主要关系到我们如何能从更大的范围, 也即从整体的视角更好地把握当前的教学内容, 包括在整个知识体系中的地位与作用, 什么是与此密切相关的各种数学知识等, 乃至我们究竟应当如何去认识相关教学活动的重点与难点。

也正是从同一角度去分析, 笔者以为, 为了上好一堂课, 我们或许并不需要花费很大力气去从事不同教材的比较, 尽管这在一定程度上也助于我们从整体上更好地把握相关的教学内容, 但是, 由于不同教材往往具有不同的编写思路和逻辑线索, 现实中我们主要又是依据某种教材进行教学的, 从而就很难完全摆脱相关的思路和线索, 因此, 相对于多种不同教材的比较而言, 我们就应更加重视当前所使用的教材的整体性结构。

第二, 同一内容不同教案的比较分析则可被看成为新的教学设计提供必要背景, 这也就是指, 我们应当通过不同教案的比较很好地认识它们各自的优点和缺点, 并努力实现这样一个目标, 即新的教学应当充分发挥各种设计的优点, 并努力克服其可能的局限性, 而不是满足于“标新立异”。

显然, 从上述角度去分析, 相对于清楚地指明各种教学设计的不同点而言, 我们应更加重视它们的必要互补和适当整合。当然, 作为问题的另一方面, 我们又应明确肯定教学工作的创新性质, 这也就是指, 我们应当依据情境的变化, 包括新的要求和理论指导, 不断深化自己的认识, 从而设计出更好的教学方案。

应当强调的是, 这里所说的“整体性思维”与“普遍联系的观点”, 事实上也就可以被看成理论思维的两个重要特征, 从而就从又一角度为我们如何提高自身的哲学素养指明了努力的方向。

以下就依据这样的思路对我们究竟应当如何去从事“一课研究”作出进一步的分析。

具体地说, 我们为什么应当高度重视“一课研究”?以下就是“一课丛书”为此所提供的解答:“数学教师主要通过一节课一节课的教学体现出自己的专业水平, 学生主要通过一节一节数学课的学习成长。可见, 对一节节课进行研究的重要性怎么强调都不会过分。”

上面的论述当然没错。但是, “一节课”毕竟不应被等同于“一节课一节课”;恰恰相反, 一节课就是一节课, 而要从“一节课”真正过渡到“一节一节课”, 我们所选择的“一节课”必须能够起到“案例”的作用, 这也就是指, 并非所有的内容都适合用作“一课研究”的直接对象, 相关研究也应努力做到“小中见大”, 从而才有可能具有超越特定内容的普遍意义。

由此可见, “一课研究”必须跳出“一课”的范围, 而这显然也就更为清楚地表明了整体性思维与联系观点的重要性, 更为一般地说, 这也就是指, 我们必须切实加强自身的理论思维和哲学素养。

参考文献

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[2]郑毓信.《数学课程标准 (2011年版) 》的“另类解读”[J].小学教学, 2013 (3) .

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[4]郑毓信.由“先学后教”到“翻转课堂”[J].教学月刊, 2014 (9) .

[5]郑毓信, “由‘先学后教’‘翻转课堂’看数学教师的专业成长[J].小学教学, 2015 (6) .

[6]郑毓信.数学教育改革15诫[J].数学教育学报, 2014 (3) .

[7]H.Stevenson&J.Stigler, h e Learning Gap—why our school are failing and what we can learn from Japanese and Chinese Education, Simon&Schuster, 1992.

[8]J.Stigler&J.Hiebert, The Teaching Gap—best ideas from the world's teachers for improving education in the classroom, h e Free Press, 1999.

数学与哲学读后感 篇5

假期里，我看了张景中院士献给数学爱好者的礼物----《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等。

由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。

例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。

翻开西方数学史或哲学史，人们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。

追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”„„进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。

在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。

书中，对有关数学哲学问题及数学与哲学的关系等都能以浅显平易的话语娓娓道来，做出极为清晰的解释。为了把深奥的道理变得更容易为一般人所理解，作者还不时加入非常恰当的比喻。比如在论述数学的真理性问题时，指出对现在的数学家来说问题不在数学结论是不是真理，而在于选择适当的结构。那么这种选择是不是完全随意，没有标准呢？不是。哪些结构要增加，哪些结构要修改，信息仍来自科学实践。如何能把这样重要的道理讲清楚？ 书中打了一个比喻：“当一个顾客到裁缝那里订做服装时，顾客可以指责尺寸错了，颜色错了，布料错了，等等。一旦服装设计不针对具体的人，就没有对错问题，只有选择问题。这里有各式各样的服装，请您试穿。你不合适的那种服装，说不定是另一位顾客最喜爱的呢！如果裁缝以此为理由而随心所欲，不调查体型，不研究心理，不适应潮流而乱做一气，那也只有关门。数学家把结构作为研究对象，好比是不再单为固定的顾客加工服装了，他面向普遍的需要，他占领广大的市场。”（引自《数学与哲学》117页）深奥的数学哲学观点通过生活中的常识一解释就变得非常明白易懂了。

在书中还提出了许多新颖的观点。如用“模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜”来描述数学与哲学各自的特点；认为“数学的领域在扩大。哲学的地盘在缩小”等等。值得注意的是作者还对自己的部分数学研究工作做了新颖的哲学分析。如他从自己举例子证明几何定理的研究出发，探讨了关于演绎与归纳统一性问题；用连续归纳原理说明实数系与自然数系的共性等。

看完这本书之后，我还查阅了一下张景中院士对于数学教学的观点，觉得也很受启发，比如他认为如果只是把课本编得简单一些，但考试仍然很难，那么学生就不会真正“减负”。他主张“多学少考”，课本不妨略深一点：如果学的深度不够，学生很难体会到数学的趣味；考试简单一些，孩子们才能在轻松中寻找数学的乐趣。

此外，在小学和初中的课程设置中要加强对几何的学习，而不是像现在这样轻几何而重数学运算。美国是在数学教育方面花气力最大的国家，但是连美国人自己也承认他们的数学教育收效不大。他认为，其中一个重要的原因就是他们从20世纪60年代开始在教材的编写中将几何砍掉得太多了。图形不是枯燥的，是容易理解的。一开始学数学，孩子们可能还不能理解数学的很多妙处，因此应该通过图形的运动变化吸引他们的兴趣。随着学习的深入，逐步引导孩子用代数、运算的方式直至微积分的方法解决几何问题。

论数学的哲学思辨和社会实践 篇6

本文拟与各位同仁达成一种共识,就是使数学从孤立的局面中摆脱出来,把它作为一门与其他人类知识和行为有着广泛联系的学科来认知和传授,单是能解决数学问题和难题,并不是学生们应当追求的目标,我们应当鼓励学生加强自已与作为文化和科学一部分的数学之间的联系。

一、数学的哲学与探讨

20世纪,数学哲学作为一个专业的研究领域发展成熟起来,数学教学理论也取得了极为重要的进展。首先是关注的热点从对数学约定性的(或规范性的)说明转变为描述性的说明。关于数学的本质有两种传统的假设:(1)数学知识是绝对可靠的客观知识,是所有人类知识和理性的基础。(2)数学对象如数、集合、几何图形等全都存在于客观的超人类的领域中。相形之下,数学哲学中向描述性的转变出现得更晚,许多对数学哲学的约定性任务的抵制源于在数学家、教育家以及范围更小的哲学家群体中流传的一种观点:即数学的基础并不是像我们想象的那么牢靠。任何知识体系都依赖于其本身无法提供可靠基础的假设,如果违背,则将陷入无限的回归。关于这一点,也被越来越多的人所接受。但在数学家、哲学家和其他一些学者中,还存在着一种日益增长的不满情绪:传统的数学哲学关注的焦点过于狭隘,仅局限于基础的认识论和本体论。数学哲学关注范围的拓展,有以下可以适用的标准,也就是说已提出的数学哲学应当说明:

(1)数学知识:它的本质、恰当性和起源;

(2)数学对象:它的本质和起源;

(3)数学应用:它在科学、技术和其他领域中的效用;

(4)数学实践:现在和过去数学的活动。

具体到数学教学中,其哲学观点发生了显著的变化。数学教育学对有关观念,尤其是目标和对象、数学大纲、教科书、课程、教学方法论、教学原则、学习理论、数学教育研究规范(模型、范式、理论等)就像教师对数学和数学教学的观点以及学生对数学的感情认识一样,伴有甚至依赖于(经常以隐含的方式)特定的数学哲学和认识论的观点。

任何数学哲学都对社会和教育的问题以及教学理论有很大影响,然而这些并不是对见解的严格逻辑演绎,而是说除了数学本身的哲学之外,还必须考虑到更多的目标、价值和其它一些概念。

二、数学的社会实践

数学是一门学科,在认识论的意义上是一门科学。数学目标是建立在描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等之上的,如果说该领域是由我们通常认为的数学实体所构成的,数学就扮演着纯粹科学的角色;如果考虑的领域存在于数学之外,融入到其他的领域之中,通常是从属于其他的某些科学领域,那么数学就脱离于内在的自我发展和自我理解的目标,在社会机构中被人们所运用,而起到应用科学的作用。

数学是一个工具,换句话说,就是运用数学或者与数学相关的知识和技能来解决生活中的问题的时候,它为非常广大的社会实践和技术运用提供了一种解决的方式。数学的工具价值也叫数学的功利性,从某种程度上说,虽然这种观念是比较狭隘的,但它确实在一定时间和范围内对指引人们探索数学起到了积极的作用。

可以这么说,每个社会都以一定方式,一定程度维护、支持和资助数学活动,使人们清楚的看到数学在社会中的重要作用。尽管还有许多基础学科,有对社会实践起决定作用的工具价值,但从全球范围来看,数学在几乎所有的国家中都明显地处于独一无二的地位。与其它学科相比,数学也许更能同时具备纯粹科学、应用科学工具体系、以及教学科学的特征。在这些特征中,最重要的是作为应用科学和社会实践工具体系所产生的强大的效力,这两种特性都非常具有普遍性,并涉及到极其广泛的数学以外的学科和实践领域;正是以上原因,数学与整个社会运转和发展有着密切的联系。

基于以上所述,数学在社会中的作用还在于以下两个方面:

(1)作为应用并同时从属于其他科学学科的一门科学,数学在许多科学原理的阐述和建立及其所应用的方法和技术中占据日益重要的地位。虽然数学与不同学科的联系方式有很大的不同,但就物理、工程和生物科学的整体范畴,以及信息科学、经济学、社会学、语言学等其它许多学科而言,其联系是非常密切的,他们已经演变成一些独立的交叉学科,比如数学与计算科学。由于数学的存在,这些学科的发展得以突飞猛进,对社会发展发挥着日益强大的效用。

(2)对于社会日常生活起重要的作用。对于大众的实践领域来说,数学也是一种必不可少的成分。但颇具讽刺意味的是,它又常常被人们所忽略,比如:数字的表示、商品买卖和金融交易、日历、地理、时间、重量、货币等,以及绘画、雕刻、密码等所有渗透在现代生活中的方方面面的数学知识。

哲学视角下的数学思想方法 篇7

数学与哲学的关系源远流长.恩格斯曾说:“数学中的转折点是笛卡尔的变数, 有了变数, 辩证法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就立刻成立了.”数学家B.Demollins说:“没有数学, 我们无法看穿哲学的深度;而没有哲学, 人们也无法看穿数学的深度;而若没有两者, 人们就什么也看不透.”纵观整个数学发展史我们可以看到, 推动数学发展的巨匠往往就是哲学家, 如柏拉图、笛卡尔、莱布尼兹、希尔伯特等;而杰出的哲学家又精通数学, 如黑格尔、马克思和恩格斯;有的既是数学家又是哲学家如罗素、牛顿等.数学家哥特罗布·佛雷格曾说:“一个好的数学家, 至少是半个哲学家;一个好的哲学家, 至少是半个数学家.”这就生动地描述了数学与哲学有着难以割舍的关系, 精辟地道出了数学中蕴含着丰富的辩证思维方法, 而哲学为数学的发展提供了坚实的理论基础.因此, 笔者认为有必要从哲学视角对数学有关思想方法作进一步的深入探讨.

1鲜活多样的世界和抽象统一的数学

1.1抽象与具体的关系

抽象与具体是对立统一的辩证关系, 是辩证思维的方法, 抽象是具体的意识形态, 具体是抽象的思维方式和行为方式.正如列宁所说:“物质的抽象, 自然规律的抽象, 价值的抽象等等, 一句话, 一切科学的 (正确的、郑重的、不是荒唐的) 抽象, 都更深刻、更正确、更完全地反映着自然.”抽象来自具体, 具体反映抽象.抽象是具体的概括, 具体是抽象的物化.如果只谈抽象, 不谈具体例子, 抽象就会变成无源之水, 无本之木, 抽象就难于理解, 难于接受.概括地讲, 数学具体与抽象的路线图1如示.

1.2数学抽象的特征

由于任何客观事物都是质与量的统一, 而数学正是研究客观事物量的问题的一门科学.“数”与“形”曾是数学“量”这一概念的核心内容.恩格斯说:“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.”这便清楚地表明了数学抽象的特殊内容:数学的抽象完全舍弃了事物质的内容, 而仅仅保留了它们的量的属性, 即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式.从而也决定了数学抽象的特殊性:量化特征和形式化特征.例如, 从著名的“七桥问题”的解决可以看出, 欧拉解决问题的关键是两步抽象, 首先从实际问题抽象出形式结构, 其次再对形式结构进一步分析, 最后抽象出其本质数量特征, 由此得出判别准则, 从而使问题得到解决.这充分体现了数学抽象的形式化和量化的特点.也正因如此, 数学概念或规律, 大多数是经过多次的抽象才得到的.并且, 人们也一再谋求着抽象基础上的再抽象, 把抽象的进度作为数学进步的标志之一.例如函数是数集之间的一种映射, 如果把它的定义域由数集改为函数集、命题集等一般集合, 就把这种映射称为泛函、命题函数等.由此可见, 数学高度的抽象性和统一性与数学应用广泛性的相融性和一致性.

2运动与静止

2.1动与静的关系

运动是物质的存在形式和固有属性, 包括宇宙间的一切变化和过程.静止是运动的一种特殊形式.运动是绝对的、永恒的、无条件的;静止是相对的, 暂时的、有条件的.运动和静止是对立的统一.即没有绝对的运动就没有相对的静止, 没有相对的静止也显示不出绝对的运动.

函数是最能体现动与静的关系的一个概念, 因为函数概念中蕴含着动与静相互依赖关系.比如, 函数的变量说:x→y和对应说:AB都是动与静的结合.只不过前者突出了变量 (动) 的一面, 后者突出了集合 (静) 的一面而已.由此可见函数概念充分体现了客观事物之间量与量的关系, 动与静的对立统一思想.也正如此, 函数是描写运动, 解决实际问题和有关理论问题的有力工具.

又因函数从关系视角看:由变量说→对应说→关系说, 还在不断的发展.从其研究的对象元素而言, 也在不断的扩大, 即由数→函数→命题等.正因如此, 函数的概念被称为数学中永恒的概念.

2.2利用动与静的辩证关系解题

例1已知A为椭圆x2/25+y2/9=1上任一点, B为C: (x-1) 2+y2=1上任一点, 求|AB|的最大值和最小值.

分析常规思路, 设出C, B的坐标代入距离公式, 复杂冗长, 难以求出最值.因此改变思维方向, 另辟蹊径, 利用“以静制动”的思想.

不妨先固定A点, 则问题转化为:在已知圆上找一点B, 使|AB|最大或最小.由平面几何知识, 得线段AB必过圆心C.故要求|AB|的最大或最小, 只需求|AC|的最值.

例2求) .

分析本题是求数列1/1×3, 1/3×5, 1/5×7, …, 1/ (2n-1) (2n+1) , …的前n项和极限, 首先得求出前n项和Sn.而这个数列即不是等差数列, 也不是等比数列, 无确定的求和公式, 咋看有点难, 但如果把各项的常量按照变量的规律作一些变化, 先拆项再求和, 即可求出Sn.

3原因与结果

3.1因果关系的客观基础

原因和结果反映事物、现象之间的相互联系和相互制约.当把事物从普遍联系中抽象出来, 就会看到有序地不断更替的运动, 一种现象会引起另一种现象, 前者为原因, 后者为结果, 这种因果观念是人们自觉活动不可少的逻辑思维方法.

3.2数学因果关系的特征

由于逻辑严密性是数学的重要特征.因此数学的概念、公式、定理、性质的发现、发展等, 都蕴含有内在的逻辑必然性.特别是数学命题的真、假性, 只能靠形式的推理和演绎的逻辑证明.其实一个协调一致的数学结构或系统, 从本质上讲, 是由真命题运用逻辑“穿针引线”编辑成的有网络结构的统一体.其网络的每一个“点”都是该系统的一个真命题, 此命题对其前而言是果, 对后却变成了因.也就是说因与果是一个相对概念.

4有限与无限

4.1有限与无限的关系

有限和无限的关系是辩证的, 是对立的统一.具体表现在, 无限是在有限的基础上发展而成的, 无限不能脱离有限而独立存在.另一方面, 每个有限元素又不是孤立存在, 而是有相互依存的内在联系.而且这种联系具有统一性, 正因为有某种统一性, 才能使有限无限制的发展下去而成无限.比如, 自然数集是一个无限集, 该无限集形成过程是:在数1的基础上, 构成了有限自然数集, 再将有限自然数集无限延伸获得整个无限自然数集.这种无限延伸靠的是自然数之间的一种内在的统一联系, 即任何两个相邻的自然数之间相差是1.就靠这种统一性自然数由有限就必然地延伸到无限, 从而构成了整个自然数集N.

在无限自然数集N的基础上, 利用自然数有序对的等价类建立了有理数集Q.再在Q的基础上, 利用有理数的基本列的等价类建构了实数集R.

在自然数集中每个数的表示法是唯一的, 但在有理数集中每个数的表示形式就不唯一了, 而且有无限个.比如, 1=1/1=2/2=3/3=…;1/2=2/4=3/6=….在R中每个数都可用无限个无限基本列来表示.比如, 1可以表示成0.9999…, 即0.9999…=1.

以上表明, 数系的发展和完备, 是在有限数的基础上, 依据其内在的统一性及其逻辑的必然性而构成的一个有序的完备的统一体.

无限的概念本是属于哲学的范畴.但对无限概念给出严格定义, 到目前为止还只有数学.比如, 无限收敛数列, 无限级数的和等.

4.2用有限的方法认识和解决有关无限的问题

4.2.1用有限与无限的辩证关系、解决函数的一般问题

例3证明.

解法概述通过一个用有限步骤就可以解出的算术不等式, 就可获得其证明.即由解|xn-A|<ε, 可得出另一个不等式n>f (ε) , 令N=[f (ε) ], 故得证.

例4证明y=x2, x∈R+是单调递增函数.

证法任取x1>x2∈R+, 由.又因为上述不等式的成立与x1, x2在无穷集R+中的取法无关.从而可以推出, 对于无穷集R+中的所有x1>x2都有, 故在R+中y值随着x的增加而增加.即y=x2, x∈R+是单调递增函数.

4.2.2用有限与无限的辩证关系, 进一步揭示函数的深层次性质

例5求函数y=sinx, x∈[a, b]的变化率或速度.

解法概述首先, 用极限的方法求出函数在某一点的变化率, 即对确定的x0∈[a, b], 依据变化率的定义有

这是一个由无限变化过程获得一个确定值cosx0的过程.

其次, 由在x0点的导数, 可直接推出在整个无限域[a, b]上的导函数.即将x0∈[a, b]换成x∈[a, b], 同样有

又因此式成立与x的取法无关, 所以对[a, b]中的所有x都成立.从而有

y′= (sinx) ′=cosx, x∈[a, b].

这种能“一点代线”, 即能将点、线或有限和无限统一, 其根本原因是由于以上公式中就隐含有内在的高度统一性而决定.由此可以看出, 如果说美术是显性形象美的典型, 那么数学就是隐性内在统一美的典型.

5微观与宏观

一般而言, 宏观是指事物的各个部分的要素, 相互联系构成的有机统一体及其发展的全过程.微观是指组成有机统一体的具有内在联系各个部分及其发展的某一阶段.因此微观和宏观是既有对立的一面, 又有内在联系的统一面.下面本文着重通过微分 (微观) 与积分 (宏观) 的内在联系和相互转化关系, 给出一个哲学观下的微观与宏观的对立统一及其相互转化的数学模型.

函数y=f (x) 的微分df (x) =f′ (x) Δx, 是函数值f (x) 在x的邻域的线性变化.而函数y=f (x) , x∈[a, b]的积分是函数y=f (x) 在[a, b]上的线性无限和.从两者的定义和运算看, 相距甚远, 特别是积分和的极限运算, 其复杂性和难度都相当大.随后, 微积分的创始上, 牛顿和莱布尼茨发现了两者内在的联系, 即

其中F (x) 是f (x) 的原函数, 即F′ (x) =f (x) .因此f′ (x) Δx可用dF (x) 来表示, 从而有

从上面的表达式可以看出, 函数y=f (x) 在[a, b]上的整体变化就是函数F (x) 在[a, b]上局部邻域线性变化的无限和, 即极限.下面再从逻辑秩序和运算关系看:

由微分到积分, 即

由积分到微分, 即

以上表明, 微分与积分不仅深层次地揭示微观与宏观对立统一的内在联系, 而且给出了相互转化的科学运算方法.以上论述充分体现出:没有系统化、理论化、辩证化的思想作指导, 人们就无法看透数学的深度.同样, 没有抽象化、形式化、逻辑化的数学模型, 人们就很难认识和理解哲学的深度和广度.

参考文献

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[2]克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社, 1979.

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[4]郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社, 1991.

数学哲学 篇8

一、数学也是一种文化

视线集中到教学中来, 从中央到地方到个人一直都在努力, 要把我们的教育真正从“应试教育”转轨到“素质教育”, 其过程可谓曲折而艰难.毋庸讳言, 以重智育轻德育为基础特征的“应试教育”的错误观点与错误倾向至今仍未克服, 各种违背教育规律的错误做法使教育教学目标发生偏移, 这样不仅没有达到提高数学成绩的目的, 反而形成一种恶性循环, 这是十分令人忧虑的不正常现象.

什么是人的素质?它不是人的工作的本身, 而是一个长期修养和潜在能力的表现, 是通过教育来完成的.人的素质包括知识、能力和态度 (精神) , 最核心的是态度 (精神) , 我们应从素质教育的要求来对数学教学作整体性认识, 数学教学的整体性要求包括: (1) 知识方面 (基础知识、基础方法) ; (2) 智力方面 (基本技能、认识能力、创造能力) ; (3) 育人方面 (数学观念、观点教育、个人品质) .

按照上述要求, 坚持把培养和提高人的素质作为最终目的, 既能从整体上提高学生的科学素质, 又能使中学数学教学摆脱困境, 形成良性循环, 提高教学质量.因此有必要把数学提到文化的高度去重新认识, 这样, 我们就能发现其中蕴含的文化内涵, 发现其中深藏不露的哲学思想.

《数学课程标准》在谈到课程基本理念时说:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具, 能够帮助人们处理数据, 进行计算、推理和证明, 数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象;数学为其他科学提供了语言、思想和方法, 是一切重大技术发展的基础;数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用;数学是人类的一种文化, 它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.”《数学课堂标准》很明确地告诉我们数学是工具, 是方法, 是基础, 更是一种文化.由此, 我们清楚地看到, 时代的发展要求我们不能仅仅停留在数学知识的层面去生硬传授, 枯燥地讲解, 我们更应把数学讲出文化味, 讲出其实实在在蕴含的哲学美.就拿常见的零来说吧, 它有很多神奇的特性:它稳居数轴上的原点, 小于一切正数, 却大于一切负数;零的相反数、绝对值仍是零;一个数同零相加或一个数减去零, 仍得原数;其他数与零接触, 或改变了数性, 或化为乌有……但零也有局限:零不能作除数, 零没有倒数.神奇的零说明:世上没有完美无缺的事物, 因此, 我们很容易想到马克思主义哲学中关于辩证法的精髓:矛盾的普遍性原理, 矛盾即对立统一, 事事有矛盾, 时时有矛盾, 所以要坚持全面地看待问题, 看待问题两分法、两点论, 一分为二地看问题.联系学生平时待人接物的基本方法, 这何尝不是一次精彩的德育教育?又如当复数z=cosθ+i sinθ=eiπ中的θ=π时, 便得到等式eiπ+1=0, 它居然把数学中的五个重要的数0, 1, π, e, i巧妙地联系起来了, 它不仅给学生以数学美的享受, 还能潜移默化地启迪他们追求个性的完善与和谐, 集众多美德于一身, 才能更好地迎接来自未来的挑战.再紧密联系当前党提出构建社会主义和谐社会的重要任务, 深度思索, 数学的和谐与个人个性发展的和谐与社会的和谐, 竟有如此惊人的相似, 这不能不让人叹服.

因此, 数学作为一门主课, 在教学中虽然更应该给学生更多的数学教育, 但其文化职能不容忽视, 数学作为一门科学, 博大精深, 蕴含了许多哲学思想的精髓, 诸如实践的观点、普遍联系的观点、对立统一的观点、质量互变的观点等, 使学生逐步掌握辩证思维方法, 树立科学的世界观, 只有做到文化思想与数学内容的辩证统一, 才能达到数学教学的最高境界.

二、用哲学的方法论指导数学学习

教育是有意识地影响人的工作, 数学教学中的思想文化教育, 寓于智育之中, 既不能离开教材内容贴标签, 搞形式主义的空洞说教, 也不能抱自然主义的态度, 不去自觉地有意识地发掘教材的内在思想性.数学教学如何有机、有效地运用哲学思想?下面谈谈自己在实际操作过程中的做法.

深入钻研教材, 提炼教材的哲学因素.数学教材蕴含着丰富的教育内容, 但它是不明显的, 因而就需要对教材的深入钻研与理解, 对教育因素进行系统挖掘与提炼, 最终落实在某个环节上, 这是在数学教学中用哲学的方法论指导数学学习的有力保证.

如利用圆的内接多边形面积的极限求圆面积时, 可介绍我国魏晋时代数学家刘徽首创的“割圆术”, “割之弥细, 所失弥少;割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无失矣”.这说明刘徽不但看到了事物的无限可分性, 而且认识到在一定条件下无限可以向有限转化, 在古代, 这是一种多么美妙的数学思想啊!这是中外数学史上最早运用极限思想的光辉范例之一, 不言而喻, 这不仅是一次哲学方法在数学中的巧妙运用, 更是对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的哲学教育的极好教材.

由此可见, 只有在钻研教材上狠下工夫, 才能精心设计一个知识传授、能力培养和德育有机结合的教学过程, 这样的寓哲学于教, 在形式上是自由的, 生动活泼的, 它不带有法制教育的那种强制性, 也不带有道德教育的那种约束性, 在它潜移默化的作用下, 学生能陶冶情操, 开启心灵, 完善个性, 追求真理!

数学哲学 篇9

关键词：改革开放,中国数学哲学,自主创新

改革开放30年来, 中国数学哲学研究取得了令人瞩目的成就。为了开创中国数学哲学研究更加美好的未来, 对这30年以来中国数学哲学研究的回顾是十分必要的。

一近30年 (1977-2008) 中国数学哲学研究的分期

中国社会科学院哲学所的林夏水先生曾把20世纪的中国数学哲学发展划分为4个时期, 其中的第4个时期就是从1977年到1999年的被称为“全面发展”时期[1]。而这一“全面发展”时期, 我们把它延伸至2008年, 由于这个时期是历史上中国数学哲学研究最重要的30年, 所以也就有必要予以更细致的划分。我们把改革开放30年来的中国数学哲学研究主要分为三个阶段:

(一) 恢复阶段 (1977-1980)

这一时期的特点伴随着改革开放的基本步调, 更多的是对文革时期被严重意识形态化和极左思想严重歪曲的数学哲学思想和理论的拨乱反正。研究范围逐步从以学习马克思、恩格斯和前苏联学者关于数学的哲学思考, 如马克思的经典著作《数学手稿》, 恩格斯的《自然辩证法》, 《反杜林论》, 以及亚历山大洛夫的《数学——它的内容、方法和意义》, 开展了关于微积分理论基础的讨论, 扩大到数学本体论、数学方法论、数学思想的初步研究。文献资料也从马克思等人的经典著作扩大到西方数学哲学与数学史的著作。其中在数学界和数学哲学界产生很大影响的是北京大学数学系数学史翻译组翻译并出版的克莱因的《古今数学思想》四卷本。这部书至今依然是研究数学思想史和数学知识发展的重要参考文献。

这一时期数学哲学研究的一个突出特点是, 围绕着自改革开放以前数学界和数学哲学界就一直比较关注的数学研究对象问题展开了更为广泛的讨论。由于恩格斯曾把数学的研究对象定义为关于现实世界的空间形式和数量关系, 而且特别指出纯数学的对象是非常现实的材料, 这就为进一步认识19世纪中叶以来数学研究对象的演化造成了一定的局限。所以即使是一定程度上的突破和超越, 都是需要思想解放所带来的学术勇气的。由于对数学研究对象的认识还直接关系到诸如数学真理的性质、检验数学真理的标准等重大问题, 因此, 其对数学哲学向更广泛和更深入的领域的探索引起的带动和联动效应是十分明显的。

值得指出的是, 上述恢复是全方位的。表现为在研究机构、研究刊物、研究团体、学科设立与研究生学位的建设、研究生培养机制的逐步建立上。

(二) 介绍引进阶段 (1981-1989) 在经历了几年的“拨乱反正”式的调整之后, 中国数学哲学开始逐步过渡到以国外 (西方) 数学哲学的介绍为主, 比较全面地引进了西方数学哲学, 尤其是20世纪以来西方数学哲学的研究成果。就像中国学术的整体发展一样, 20世纪80年代是中国数学哲学一个相对繁荣的发展时期。

这一时期出版了一批关于数学哲学的专著、译文集以及一系列刊物上的文章。翻译的有关数学哲学的有影响的著作有:波利亚的《数学的发现》第一、二卷, 《数学与猜想》第一、二卷;丹齐克的《数·科学的语言》;哈密尔顿的《数理逻辑》;拉卡托斯的《证明与反驳》;阿达玛的《数学领域中的发明心理学》;J.N.Kapur主编的《数学家谈数学本质》;《数学哲学译文集》。这些翻译著作对中国学者的数学哲学研究有很大的帮助, 至今仍然是许多研究者经常引用的文献。

这一时期国内学者的重要著作有莫绍揆的《数理逻辑初步》;胡世华的《数理逻辑基础》;王宪钧的《数理逻辑引论》;张家龙的《公理学、元数学与哲学》;夏基松、郑毓信的《西方数学哲学》;朱水林的《形式化:现代逻辑的发展》;朱梧槚《几何基础与数学基础》;郑毓信的《现代逻辑的发展》。还有一些带有普及性的研究是以丛书的形式出版的。在20世纪80年代, 轰动一时的丛书之一就是四川人民出版社出版的《走向未来》丛书, 其中有胡作玄的《第三次数学危机》。由于该丛书影响较大, 所以, 在普及性的意义上, 该丛书起到了十分重要的数学启蒙作用。除了各种书籍之外, 这一时期还有大量的相关论文发表。这一时期的数学哲学研究问题, 主要集中在数学基础主义 (尤其是三大流派) , 元数学、数理逻辑 (尤其是哥德尔定理) 等领域。

(三) 吸收消化与自主创新相结合 (1990-2008)

这一时期又可以分为两个阶段:第一个阶段从1990到1999年。进入20世纪90年代, 与80年代相比, 中国数学哲学研究开始转入一个相对深化和稳定前进的态势。这同时表现在消化吸收国外数学哲学研究成果与自主创新两个方面, 而且这两者又有了进一步的结合。

这一时期有一系列的译著问世。如拉卡托斯的《数学、科学和认识论》;戴维斯、赫什的《数学经验》;欧内斯特的《数学教育哲学》;弗雷格的《算术基础》, 等。国内这一时期出版了一批有影响的数学哲学专著:郑毓信《数学哲学新论》;林夏水的《数学的对象与性质》;黄秦安的《数学哲学与数学文化》等。其中, 郑毓信的《数学哲学新论》对数学基础主义三大流派之后的西方数学哲学研究进行了比较详尽的介绍评述。

正是在对数学基础主义的反思当中, 数学哲学的现代研究逐步进入了一个新的阶段。而这个新的阶段的一个基本特点就是经验主义的数学哲学思想开始复活。并且出现了普特南的经验实在论和拉卡托斯的拟经验主义数学哲学。

在普特南看来, “数学的经验表明在某种解释下数学是真理, 物理的经验则表明这种解释是实在论的”。[2]在这种经验实在论的观点之下, 普特南提出了数学对象存在性的“关于数学的集合-对象观点”以及“关于数学的模态-逻辑观点”, 并进一步提出了“数学的对象-模态双重性”。即不片面地强调其中一种, 而是让它们互补并结合起来。

拉卡托斯的拟经验数学观曾在20世纪后半叶的数学哲学界产生了极为深远的影响。其主要著作为《证明与反驳》, 以及论文《无穷回归与数学基础》、《经验主义在现代数学哲学中的复兴》。拉卡托斯认为, 尽管罗素和希尔伯特等人付出了巨大的努力, 但原来意义上的欧几里得规划 (其基本做法是在演绎系统中真值的传递方式坚持‘真’由系统的‘顶部’经有效论证自上而下扩展到整个系统) 都没有真正实现。这种失败表明, 在数学中单一的欧几里得规划的不可能性, 必须加上“拟经验系统” (即在演绎系统中, 由‘假’从系统的‘底部’经由演绎的渠道上传到系统的顶部) , 才可能对数学理论的发展和丰富性作出解释。

第二个阶段是深化创新与范式转换阶段 (2000-2008) 。主要研究集中在基础主义与后基础主义, 数学哲学的后现代透视等问题。其相关内容在以下基本观点与理论中进行介绍。

二基本观点与基本理论

在吸收消化与自主创新相结合的阶段, 我国的数学哲学研究在介绍吸收国外数学哲学研究成果的基础上, 逐步形成了一些新的见解、观点和理论。

(一) 数学哲学的研究趋势

关于20世纪以来国际数学哲学发展的状况, 南京大学哲学系郑毓信教授曾撰文“20世纪末的回顾与展望”。文章指出:“从1890年到1940年的这50年被称为是‘数学哲学研究的黄金时代’。在这一时期中, 数学基础问题取代传统的数学本体论问题和认识论问题成为数学哲学研究的中心问题, 一些著名的学者, 如弗雷格 (G.Frege) 、罗素 (B.Russell) 、布劳维尔 (L.E.J.Brouwer) 和希尔伯特 (D.Hilbert) 等, 更围绕基础问题进行了系统和深入的研究, 从而发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学哲学理论。”[3]

郑毓信教授敏锐地看到了数学哲学不同范式的形成以及对数学哲学研究前景的影响。郑毓信教授把国际数学哲学20世纪以来研究路线概括为以下4个方面:“1、研究立场的转移, 即从严重分离转移到与实际数学活动的密切结合。2、对于数学史的高度重视。3、研究问题的转移。4、动态的、经验和拟经验的数学观对于静态的、绝对主义的数学观的取代。”[3]

林夏水教授的《数学哲学》, 是新世纪以来一部较为详细地对数学哲学的历史与当代发展进行介绍的专著。该书分为“历史与现状”、“基本理论体系”和“展望”三篇。在第三篇“展望”中, 在对数学发展的方向进行预测的基础上, 作者对数学哲学的未来发展进行了展望。通过探讨数学前沿的哲学问题及其意义, 提出了数学哲学发展的趋势。认为数学本体论将退居次要位置;数学认识论研究将会从一般走向深入;数学方法论日益突显其重要;并提出“建立辩证唯物论的数学哲学”的口号。

在这一阶段, 各种数学哲学的专题性研究得到了进一步的深化。以下是其中的几个典型专题。

(二) 关于实在论与反实在论的争论

实在论与反实在论的争论, 在数学哲学领域也有很突出的表现。郭贵春教授曾对此进行了一系列深入系统的研究。郭贵春教授首先对这一领域内的代表人物奎因和普特南进行了基本的评价, 认为:“奎因和普特南都是借助数学与物理学的一致性和统一性来论证数学本体的实在性和数学实体的客观性, 而回避了对数学本体的直接抽象的分析和断言, 表现了一种物理主义的数学实在性倾向。”[4]77郭贵春教授进一步概括到:“这种具有物理主义倾向的数学本体论意义就在于:第一, 它从科学与数学知识的统一性上, 消除了古典柏拉图主义关于数学知识的‘先验的’确定性和必然性, 而从数学在经验科学中所具有的作用和地位上来论证数学实体的实在性, 使数学的本体论意义由‘先验’向‘后验’撤退。第二, 在科学说明中, 当某一科学假设被否证或被限制时, 以在形式上修正数学方法、在内容上修正科学假设的方式促进了人类知识进步的事实, 去解释数学本体的实在性与逻辑真理的相对性的统一, 从而打破了那种将数学本体的实在性与数学真理的逻辑性看成绝对同一的观点。第三, 在与物理学的结合中, 数学方法的灵活性和形式的普适性, 使得数学实体的本体论性由抽象的断言走向了具体对象的经验证实, 导致了数学的本体论意义在于它的实际应用的具体性, 而非形而上学断言的抽象性。”[4]77

郭贵春教授对数学经验实在论的代表人物普特南的数学实在论观点进行了分析。认为普特南试图在传统的实在论与逻辑经验主义‘逻辑-语言学’的纯形式主义之间探索一条中间的解决方式, 从而使他成为一个关于数学本质的具体的实在论者, 而不是抽象的实在论者。[4]128-129

在《科学实在论教程》一书中, 郭贵春教授还对几种有代表性的数学实在论进行了评介。包括玛戴倡导的一种折衷的柏拉图主义立场的集合论的实在论;比格洛的“普遍关联”的实在论;杜米特的语义实在论以及古德曼的实践的实在论。

实在论与反实在论的问题也引起了国内其他学者的关注。中国社会科学院哲学所研究员江怡发表了题为“当代西方数学哲学中的实在论与反实在论”的文章, 从“什么是数学实在论”、“存在数学对象吗”和“数学的基础是什么”这样三个问题入手, 对当代西方数学哲学中的实在论与反实在论之争给出较为全面的分析, 并指出了这种争论在哲学史中的深厚根源。[5]

我国学者刘杰在“当代西方数学哲学的发展现状与趋势”[6]一文中, 介绍了许多杰出的哲学家在本体论、认识论和方法论上提出的各具特色的新学说, 如夏皮罗的结构主义, 玛戴的自然主义, 菲尔德的虚构主义, 布勒斯的新逻辑主义等等, 并认为这些新的认识为数学哲学的研究注入了新的活力和内容。

(三) 关于柏拉图主义数学观

关于柏拉图主义数学观, 也是一个数学哲学研究关注的焦点, 有一系列的专门研究。林夏水教授的“柏拉图的数学哲学”一文, 从柏拉图数学哲学的时代背景出发, 探索了数学在柏拉图认识论中的地位, 并得出了关于柏拉图数学哲学的主要结论:“柏拉图是在寻找如何从可见世界进入可知世界的过程中建立他的数学哲学的:数学是使灵魂脱离变化世界进入实在世界的学问;数学对象具有居间的性质, 数学家的心理状态是介乎理性与意见之间的理智……数学对象是存在的, 但它是分离独立存在于可感事物之外的。”[7]

黄秦安的“柏拉图主义数学真理的神化及其解构”[8]一文从社会文化层面剖析了“柏拉图主义”数学真理观的产生及其在文艺复兴和近代科学中的历史演变。通过对数学真理与基督教神学从融合到决裂的恢宏的思想变革与认识进步的分析, 勾勒出了数学真理曲折的发展轨迹并最终达到科学意义上的真理观念的艰难历程。

徐利治教授的“数学中的现代柏拉图主义与有关问题”[9], 对数学中的“柏拉图主义”进行了详尽的讨论。文章认为, 现代柏拉图主义的重要观点主要表现在本体论与认识论两个方面。从科学反映论的观点来看, 应对新柏拉图主义作两点较重要的修正和补充。一是, 随着数学对象的不断被创造, 与之相关的“数学真理”也是可以不断地诞生出来的。这个修正的要义是, 有些数学真理是被创造出来的, 而新、老柏拉图主义的数学发现观, 必须融入数学发明观。二是, 现代柏拉图主义者只是宏观地认识到了数学真理认识的不完全性。而事实上, 人脑所能进行的概念思维, 都只能是“单相性”的抽象思维。每一个数学概念都必然是“单相性抽象”的产物。故从本体论着眼, 数学理念世界是不可能完全的。

(四) 关于数学哲学与后现代的关系研究

虽然从科学哲学与后现代的关系所进行的关于后现代的研究已有较丰富的成果。按郭贵春教授的看法:“科学实在论的后现代发展, 正不断地走向‘体系开放’、‘本体弱化’和‘意义建构’这三个最基本的趋向性上。”[10]我们认为, 这一判断也是适合数学的。

相对来说, 从数学哲学的角度所进行的专门研究还不是很多。2005年复旦大学出版社出版的加拿大学者塔西奇的《后现代思想的数学根源》, 是这一领域的探索性著作。在本书中, 塔西奇挖掘了数学基础争论和后现代思想的深层历史线索, 力图寻求数学和后现代之间被隐蔽的联系, 并为科学和人文寻找共同的思想和历史基础, 从而超越双方正在激烈进行的“科学大战”。

塔西奇着重考察和重构了后现代思想的某些方面, 特别是“后结构主义”和“解构”理论, 证明了它们与数学之间的深层关联。塔西奇还讨论了彭加勒、布劳威尔、希尔伯特、图灵、查尔汀、哥德尔等众多数学家和逻辑学家的基本观点, 也考察了维特根斯坦、胡塞尔、海德格尔、福柯、德里达等大陆哲学家的核心思想, 并指出了他们之间存在的复杂关联。

2000年以来, 国内学者也开始对数学哲学与后现代的关系进行了研究。在“论数学真理观的后现代转向”[11]一文中, 黄秦安论述了数学真理观念所经历的具有后现代特征的转变:数学真理从惟一性、终极性向多样性、谱系性的转向;数学真理是一个具有不同层次和等级的、开放的、动态的理论体系;数学对自然真理性的超越及其解释学意义;数学形式化的局限性与哥德尔定理的人文意蕴。在“后现代主义的数学观及其认识”[12]一文中, 黄秦安对后现代主义的数学观进行了研究, 通过对海德格尔、福柯、罗蒂、维特根斯坦以及社会建构主义的数学观的综合分析, 指出了后现代主义者对于数学的批判的历史合理性及其认识局限性。

三特色与专题研究

我国学者在积极借鉴国外数学哲学研究成就的同时, 还开创了数学哲学的若干特色和专题研究。以下是一些具有代表性的研究成果。

(一) 数学模式论的研究

徐利治教授与郑毓信教授合著的《数学模式论》, 是中国学者所开创的数学哲学研究的一个新方向。《数学模式论》在数学本体论、数学认识论和数学方法论等领域都提出了一整套理论体系。

按照模式论的哲学分析, 模式论对数学本体论的基本定位是:

1) 数学对象是数学世界中的独立存在。

2) 数学世界是抽象思维的产物:数学对象是借助于明确的定义逻辑地得到建构的;也正因为如此, 数学对象就具有确定的客观内容, 并构成了数学研究的直接对象。

3) 就实际的数学活动而言, 数学对象的建构是一种社会的活动。

按照模式论的基本思想, 关于数学真理问题, 数学模式论的真理观把数学真理划分为两个层次:第一层次是模式真理, 即建立在合理的抽象思维上的数学理论。第二层次是现实真理, 即数学理论对客观世界量性规律的正确反映。[13]

模式论关于数学真理层次的上述划分, 具有十分重要的价值。其重要的价值之一在于它可以对数学广泛的应用性和作为一个抽象的形式化理论的双重特点作出合理的解释。

(二) 数学方法论的研究

数学方法论。作为数学哲学的一个重要组成部分, 20世纪80年代以来的中国数学方法论的研究是独具特色的。

国际上可以被归结为“数学方法论研究”的当属波利亚20世纪50年代前后的系列著作《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》, 以及拉卡托斯的《证明与反驳》, 这些著作均在20世纪80年代之后被翻译为中文, 在国内产生了巨大和持续的影响。

国内著名数学家徐利治教授1983年出版的《数学方法论选讲》, 可谓中国学者在数学方法论研究的鼎力之作, 随后, 数学方法论的理论研究获得了迅速的发展。包括对数学方法含义的探讨、对数学方法所进行的概括和分类, 以及数学方法的运用。有些研究已超出了数学方法论的狭义含义, 而扩大到了讨论数学的发展规律等重大问题。出版一批理论成果。例如, 徐利治《浅谈数学方法论》 (1980) , 徐利治、郑毓信的《数学方法论》 (1991) , 张奠宙、过伯祥《数学方法论稿》 (1996) , 郑隆炘《数学思维与数学方法论概论》 (1997) , 以及一些有影响的系列丛书, 如由徐利治主编, 江苏教育出版社组织了一套《数学方法论丛书》 (12本) 。

对当代数学, 尤其是20世纪以来数学思想发展的总结和概括也成为当务之急。1983年, 张奠宙、赵斌的《二十世纪数学史话》, 用专题的形式集中描绘了20世纪数学发展的若干重要事件和重要领域。1999年, 胡作玄、邓明立的44万字的《20世纪数学思想》一书出版, 填补了国内系统研究当代数学思想发展的空白, 但相对遗憾的是, 这部著作主要是以纯粹数学为线索撰写的, 而对20世纪应用数学思想的发展未作介绍。

(三) 新的数学分支的哲学透视

新的数学分支具有怎样的哲学意义?尤其是与传统数学分支相比, 新的数学分支是否可以揭示出一些哲学的新意?这是一个引人注目的问题。由于20世纪后半叶以来, 数学新的学科层出不穷, 所以对这些学科的哲学透视也很多。比较有特色的集中在模型论、模糊数学、弦理论 (超弦理论) 、突变理论、混沌理论、分形、随机数学、计算机与信息科学、人工智能等。

就计算机与数学关系的哲学透视看, 吉利斯、郑毓信曾撰文“数学哲学与科学哲学和计算机科学的能动作用”, 对计算机对数学的影响进行了探索。“从更为广泛的意义上来说, 计算机可被认为正在改变数学的性质……而且也直接导致了数学研究方向或重点的转移 (例如, 一些新的研究分支, 如‘计算数论’、‘计算几何学’等, 另外, 也有一些概念和理论由于计算机的使用变得特别重要, 即如算法的概念和离散数学等) ……计算机正在改变数学的性质:数学正在成为一门‘实验科学’。”[14]

林夏水等的《分形的哲学漫步》一书, 从哲学上比较系统、深入地对曼德勃罗所创立的分形理论作了介绍并在哲学高度对相关问题进行了深入的分析。分形的基本思想之一是引入了分数维的概念。分数维的概念的建立打破了传统维数概念。传统的维数是确定图形中的点的位置的独立坐标数, 而分数维把整数维包括在自身中, 它表示几何图形充填空间的程度, 是空间图形复杂性的一种量度。

该书在科学地分析非线性科学和分形理论成果的基础上, 提出了许多新思想、新见解和新思路, 如认为非线性科学的建立意味着哲学的自然科学基础的变革, 标志着人类对客观事物认识的深化和进步;混沌运动具有普遍性, 世界本质上是非线性的;计算机实验是科学实验的一种新形式;对一个系统来说, 存在着外在随机性和内在随机性;非线性科学提供了偶然性表现必然性的一种新形式, 使我们可以通过迭代法的新形式把复杂性与简单性联系起来。

我们认为, 由于20世纪是数学新领域、新理论产生并有大量创新和突破的世纪, 这些新的理论和领域所蕴含的哲学意义还远远没有被完全挖掘出来, 因此, 新的数学分支的哲学透视是未来数学哲学一个有望获得丰硕研究成果的领域。

(四) 数学文化的研究

数学文化研究。作为数学哲学的相关研究、外围研究与扩展研究, 数学文化在20世纪末异军突起, 迅速发展。随着数学哲学研究“黄金时代”的结束, 数学哲学的研究方向、研究传统和研究范式都发生了根本的转变。从单一范式向多元范式的转变是当代数学哲学研究的基本特征。数学文化研究的兴起正是这种多元化转变的一个典型表现。

国际上, 著名数学史家M.克莱因的《西方文化中的数学》一书堪称典范之作。本书用优美的语言阐述了西方各个不同历史时期数学与其他文化形式, 例如艺术 (绘画与音乐) 、文学、哲学、宗教、美学、人文科学、自然科学等文化领域的丰富联系, 论证了数学对西方文化、理性精神、现代人类思想的发展所产生的深刻影响, 表明数学是人类文化的重要组成部分和不可缺少的重要力量。

在国际上, 数学文化的系统研究是美国学者怀尔德开创的。其代表作为《数学概念的进化》、《作为文化系统的数学》。在数学文化研究中, 怀尔德提出了关于包括“重大问题的多重的独立发现或解决, 是一条规律, 而不是例外”、“数学的最终基础是数学共同体的文化直觉”、“由于数学的文化基础, 因此在数学中不存在什么绝对的东西, 只有相对的东西”等主要观点在内的数学发展的23条规律。

郑毓信教授在对怀尔德数学发展的基本规律进行分析的基础上, 论述了数学发展的基本形式。提出了“自足性与开放性”、“抽象与具体”、“一般化与特殊化”、“多样化与统一化”、“证明与反驳”、“连续与间断”、“群体与个体”等7对辩证关系, 与怀尔德相对杂乱的23条规律相比, 郑毓信教授的分类更具概括性和辩证性。

继对国外数学文化研究的介绍与评述之后, 20世纪90年代以来, 国内不少学者致力于数学文化的研究并取得了许多可喜的研究成果。1990年, 北京大学邓东皋等编写出版了《数学与文化》一书, 书中汇集了国内外关于数学与数学文化研究的10余篇经典文章, 包括有怀特海的“数学与善”、冯·诺伊曼的“论数学”、王浩的“数学的理论与实践”、希尔伯特的“数学问题”、让·迪多内的“纯粹数学的当前趋势”等, 成为后来数学文化研究的重要资料和参考书。在20世纪90年代初有很大影响的一套丛书是湖南教育出版社出版的《数学·我们·数学》丛书, 其中丁石孙、张祖贵的《数学与教育》、齐民友的《数学与文化》等都对数学文化的一些问题予以初步的论述。之后10余年, 许多论述数学文化的文章和书籍相继问世。

四若干难点与展望

应该说, 中国数学哲学研究在引进国外数学哲学研究成果方面已经取得了不小的成效。但相对看来, 某些研究领域尚有待于更深层面的开拓。例如, 与对西方数学史的哲学观照相比, 对中国古代数学的哲学透视就显得不够了。尤其是在社会文化层面上对中国古代数学的研究, 还有待于进一步深入。

再比如, 在中国数学哲学的研究中, 过多的研究都放在介绍、评介国外数学哲学方面。对此现象需要从两个方面看。一方面, 我们对于西方数学哲学研究, 尤其是近20年以来的介绍还很不够。所以, 对西方数学哲学研究的引进和介绍仍然是今后一段时间内中国数学哲学研究的一个主要方向。但是, 从另一个角度看, 我们又不能满足于此, 而应该在积极引进和介绍的基础之上努力构建具有自主创新和自身特色的数学哲学理论体系。从当下中国数学哲学研究的现状看, 这一任务尚任重而道远。

哲学与高等数学在教学上的相互渗透 篇10

哲学是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结, 是世界观和方法论的统一[1]。爱因斯坦说:“如果把哲学理解为在最普遍和最广泛的形式中对知识的追求, 那么, 哲学显然就可以被认为是全部科学之母。”

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科, 是各门科学的基础和工具。

“没有哲学, 难以得知数学的深度, 没有数学, 也难以探知哲学的深度。”数学家波尔达斯的话说明了数学与哲学是相互依存的。数学一直以来都是哲学家们的重要案例, 而哲学也是数学家们热衷研究的对象。在古希腊和17世纪的欧洲, 兼具数学家和哲学家头衔的人比比皆是, 如毕达哥拉斯、亚里士多德、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等[2]。实际上, 二者“都属于为理解我们周围世界所做的最初的理智上的尝试”[3]。

哲学研究世界本质的共性, 数学研究特殊规律的个性。数学需要哲学的指引, 需要哲学为其提供研究方向和探索工具。数学史上的三次危机的出现和解决, 都离不开哲学思辨。同时数学的文化精髓和积极成果又反过来影响着哲学观点, 丰富和发展哲学本身的形式和内涵。

恩格斯说:“微积分进入了数学, 辩证法就进入了数学。”高等数学作为哲学在自然科学领域中的具体体现, 处处蕴含着哲学思想。

1 数学中蕴含的哲学思想

1.1 对立统一规律

对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心, 它揭示出任何事物以及事物之间都包含着矛盾性, 事物矛盾双方又统一又斗争推动事物的运动、变化和发展。高等数学中有很多对立的概念, 体现出这一规律, 下面用几对重要的哲学范畴举例说明:

(1) 整体与局部。整体与局部相互依赖, 互为存在和发展的前提。作为微积分的三大基本公式, 牛顿-莱布尼兹公式、格林公式和高斯公式都将内部计算转化为边界计算, 都刻画了函数在某种几何形体上的总体性质和在边界上的局部性质之间的关系。

(2) 共性与个性。共性指不同事物的普遍性质, 个性指一事物区别于他事物的特殊性质。虽然研究微积分的数学家很多, 但之所以他们没有成为微积分的创始人, 是因为他们研究的都是个例形态, 而牛顿和莱布尼兹则超越他们, 透过现象看到本质, 从众多个例中提炼出共性的东西———无穷小分析, 并将其提升, 确立为数学理论。

(3) 运动与静止。运动是物质的存在形式和固有属性, 相对静止是事物存在和发展的必要条件。极限概念的发展史便是这一对矛盾的最好诠释。最开始, 极限是通过“无限增大”、“想多小就多小”这种描述性的定义给出的, 而这种不严密的叙述无法用于证明, 直接动摇了微积分的根基。直到ε-N语言的出现, 它用静态观点刻画了运动趋势, 完美的将二者融为一体。[4]

(4) 具体与抽象。这是人类认识事物过程的两个阶段。如为了求解瞬时速度和切线问题, 我们抽象出了导数的定义。然后我们又可以在现实世界中广泛的应用它:求电流强度、角速度、线密度、边际成本等。很多数学概念的形成都是源于客观实际的需要, 之后又服务于生活:从具体到抽象, 再由抽象到具体。

(5) 相对与绝对。通过相对才能体现绝对, 绝对不能离开相对而独立存在。如对于二元函数, 存在两个绝对的自变量, 但当求偏导数时, 却需要相对的将其中一个看作常量;同样, 求二重积分时, 需要先将一个自变量看作常量, 然后再视其为变量。这个例子很好的体现了相对与绝对的辩证关系。

(6) 有限与无限。这是世界固有的矛盾之一。比如若我们要求无穷级数的和, 需要先求出前有限项的和, 然后借助于极限将其推广到无限项之和, 这恰恰说明无穷级数是有限和无限的统一:有限构成了无限、无限不能脱离有限而独立存在, 有限包含着无限, 有限体现着无限。

1.2 质量互变规律

它是在事物量与质、量变与质变的辩证关系中揭示事物发展的形式、状态的唯物辩证法的基本规律。

高等数学中也处处能体现出这一规律。比如, 在取极限的过程中, 当时间趋于零时, 平均速度变成了瞬时速度;当动点无限接近于定点时, 割线的斜率变成了切线的斜率;当边数无限增大时, 圆内接正多边形的面积变成了圆的面积;当分割无限细时, 小平顶柱体的体积之和变成了曲顶柱体的体积。这些例子无不说明事物的发展总是先从量变开始, 量变达到临界点超出了度, 就导致质变。

1.3 肯定否定规律

也称为否定之否定规律, 揭示了事物内部肯定和否定矛盾的对立统一, 即事物由肯定达到对自身的否定, 进而再由否定到否定之否定, 从而显示出事物在曲折前进和螺旋式上升的辩证过程。在引入定积分时, 我们计算了曲边梯形的面积:先将其分割成很多个小曲边梯形, 把它们近似看成矩形, 然后将所有小矩形面积求和, 当小矩形个数趋于无限大时, 就可以将其视为梯形的面积。这种“化整为零, 积零为整”、“以直代曲、由曲到直”的思想恰是否定之否定规律的绝妙体现。

1.4 普遍联系原理

普遍联系的观点, 是唯物辩证法的本质特征之一。它指出:任何事物内部的各个部分、要素是相互联系的;任何事物都与周围的其他事物相互联系着。

如高等数学中共有七种形式的积分:一元积分、二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分。这些积分通过定义、两类曲线、面积分之间的联系及多元微积分的三大公式呈现出错综复杂的关系, 相互之间可以转化。由于所有的积分都是通过“分割、近似求和、取极限”的思想来定义的, 所以它们实际上并没有分家, 而是一个结构精妙的统一体系。再如微分中值定理作为研究函数的有力工具, 也是相互联系的。其中拉格朗日定理是罗尔定理的推广, 同时也是柯西中值定理的特殊情形。可见在学习数学时, 我们也应坚持联系的观点, 用普遍联系的观点看问题。

1.5 主要矛盾和次要矛盾相互关系原理

唯物辩证法认为, 矛盾有主次之分, 主要矛盾和次要矛盾相互依赖、相互影响, 并在一定条件下相互转化。这就要求我们在观察和处理事物时, 要抓住主要矛盾, 从而掌握工作的中心环节。

如在求解二重积分时, 有些题目用直角坐标计算, 但按照已有次序是解不出的, 必须要交换积分次序才行;而有些题目无论怎样交换积分次序都做不出, 因为它用直角坐标的方法是无解的, 但如果转化成极坐标来计算, 问题就会迎刃而解[5]。

2 哲学与高等数学在教学上的相互渗透

哈佛大学有一个著名的口号:“一流的工科要有一流的理科, 一流的理科要有一流的数学, 一流的数学要有一流的文科, 一流的文科要有一流的哲学!”可见在世界顶级的高等教育学府中, 学科间的相互融合、相互促进、相互提升已被摆在很重要的位置上。

我们也可以在教学上做些学科交叉融合的尝试, 同世界先进的教育理念接轨。

2.1 在哲学教学中渗透数学的思想

(1) 哲学教学现状。在我国科技飞速发展、经济日益腾飞的今天, 实用价值观和功利主义的知识观正在影响着当代大学生。大家在学一门知识前先要问“学了有什么用”?由于哲学不像其他的自然科学和现代技术, 能够让人在短时间内学到某一个领域的专业技能, 所以很多学生都是采用背诵概念、临阵磨枪的方式来对待这种“既务虚又不实用”的课。而且, 教科书体系化的理论哲学给人更多的印象是晦涩抽象。如果教师仅就哲学论哲学, 难免会窒息了哲学的灵性, 进而扼杀了学生的求知欲, 禁锢了他们心灵的思考。 (2) 渗透数学思想。实际上, 哲学教育应多多关注于对现实的关照, 否则, 高深的理论体系就没有存在的意义。如果教师在教学中能够结合高等数学中所蕴含的种种哲学思想进行列举, 一定会获得良好的教学效果, 因为:第一, 这样给学生以新鲜感、惊艳感, 将那些患有“人文逃避症”的理工科学生重新拉回课堂;第二, 让学生切身感受到, 哲学作为世界观和方法论, 的确有它的意义和价值, 纠正它留给大家的深奥难懂的错误印象。事实上, 哲学作为人文学科不但同自然科学不矛盾, 反而两者是紧密相连的;第三, 让学生在对具体问题的探讨和分析中学会如何进行哲学式思考, 如何使用哲学思维的方法。这才是我们教书育人的最终目的。

当然, 还应该告诉学生, 哲学从功利的角度上虽然不能提供即学即用的价值, 但“它能够给人们提供一种终极精神关怀和精神目标, 并在这种关怀中来培养人们的一种超越性的思维方式和生活境界。”[6]

2.2 在数学教学中渗透哲学的思想

(1) 高等数学教学现状。学习高等数学的都是刚入学的大一新生, 初等数学与高等数学之间的巨大差别让他们不适应, 再加上高等数学严密的逻辑性、高度的抽象性使这门课更显得枯燥无趣。久而久之, 大部分学生逐渐丧失了学习的动力、热情和目标。 (2) 渗透哲学思想。要想提高高等数学的教学效果, 可以运用多种教学方法和手段, 其中在课堂中充分解析和体现哲学思想无疑是最为精彩的一项, 因为:第一, 这样能使充满逻辑与理性的课堂兼具人文情怀, 让有“数学焦虑症”的学生感受到远离科学的亲切, 进而引起他们的共鸣, 于无形之中减轻他们对数学的焦虑;第二, 改变传统沉闷的课堂气氛, 代以轻松愉快的氛围;第三, 一些在数学范围内难以被学生理解的问题若换成哲学角度来解释, 反而能起到意想不到的一点就透的效果[7];第四, 让学生学会从多个角度、不同视角考虑问题;第五, 当一个数学上的具体问题背后的哲学思想呈现出来时, 学生就已经站在比原来更高的一个层次上, 对问题的认识自然也就上升了一个层面。这种高屋建瓴的对问题的洞悉力和理解力所体现出的学生的科学素质, 也正是我们孜孜以求的教育的目标。

摘要：文章分析了高等数学中所蕴涵的哲学思想, 并指出在教学中两者应相互渗透, 此举能培养学生辩证的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力, 从而不断提高学生的科学素质。

关键词：哲学,高等数学,教学方法

参考文献

[1]王翠英.马克思主义哲学原理[M].兰州:兰州大学出版社, 2006:14-16.

[2]陶有德, 王霞, 路振国.哲学思想在高等数学中的体现及应用[J].高师理科学刊, 2011, 31 (5) :87-90.

[3]斯图尔特.夏皮罗.数学哲学:对数学的思考[M].上海:复旦大学出版社, 2009:64-65.

[4]朱匀华.数学分析的思想方法[M].广州:中山大学出版社, 2001:6-14.

[5]王淑萍.哲学观点在高等数学中的应用[J].江苏教育学院学报:自然科学版, 2006, 23 (4) :63-64.

[6]王翠英.马克思主义哲学原理[M].兰州:兰州大学出版社, 2006:19-20.