把握变化趋势用有限与无限的思想解题

数学研究的对象中有数量关系, 既一个量随另一个量的变化, 这种变化可能是有限的, 也可能是无限的。有限与无限相比, 有限显得具体, 无限显得抽象, 对有限个对象的研究往往有章法可循, 并积累了一定的经验, 而对无限个对象的研究, 却往往不知如何下手, 显得经验不足。于是将对无限的研究转化为对有限的研究, 就成了解决无限问题的必经之路。这种无限化有限, 有限化无限的解决问题的方法就是有限与无限的思想。

1 求函数的最值应用

例: (06, 安徽) 设a>0, 对于函数, 下列结论正确的是:A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.有最大值且有最小值

D.既无最大值又无最小值

2 在三角函数中的应用

例: (0 5, 辽宁) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列, 且最大边长与最小边长的比值为m, 则m的范围是 ()

点评:优解抓住了变化趋势或临界点, 都用了极限的思想, 使问题得以避繁就简地解答。

3 在解不等式中的应用

分析:在四个选项中, 有三个选项中含有+∞或-∞, 于是可采用极限方法来研究。

均不能使不等式成立。于是可将B、C、D排除而选择A。

4 在解析几何中的应用

例: (05, 江西) 在△OAB中, O为坐标原点, A (1, cosθ) , B (sinθ, 1) , θ∈ (0, ], 则△OAB的面积达到最大值时, θ= ()

通解:写出△O A B面积关于θ的函数式, 求出面积最大时对应的θ值。

优解:因为A点横坐标为1, B点纵坐标为1, 所以△O A B在边长为1的正方形内运动, S。当B与F重合, 同时A与E重合时, S△O A B取到最大值, 此时θ=。

点评:此题通过观察发现A、B的运动虽然是无限的, 却有一个最大的边界, 在此题的情境下, 只需找准S△O A B能否达到这个最大值。把无限的变化转化为有限的一点, 来达到求解的目的。

5 在立体几何中的应用

例: (0 5, 全国Ⅲ) 设三棱住A B C—A1B1C1的体积为V, P、Q分别是侧棱A A1、C C1上的点, 且P A=Q C1, 则四棱锥B—APQC的体积为 ()

通解:把四棱锥B—A P Q C的体积用原有的三棱柱的棱来表示, 进一步找到四棱锥B—A P Q C与三棱柱A B C—A1B1C1的体积V之间的关系, 得到四棱锥B—A P Q C的体积。

优解:换一个角度再来看一下P、Q的变化情况, P、Q分别在A A1、C C1上运动, 且P在A点时, Q在C 1点;P在A1点时, Q在C点。由选择支知道, 无论P、Q位置如何变化, 四棱锥B—A P Q C的体积总为一定值。因此只要研究一种情况即可。如:P在A1点、Q在C点时, 显然四棱锥B—APQC的体积是三棱住A B C—A1B1C1的体积的。此题答案为C。

点评:P、Q的位置有无限个, 但通过转化为有限的点, 问题得到迎刃而解。显出比通法有很大的优势。当然此题也体现了特殊与一般的思想。

6 在极限中的应用

通解:先求出外接圆半径R用n表示, 再写出Sn关于n的表达式, 进而求出为4π。

优解:我们知道Sn是随n的变化而变化的, n的变化是无限的, 但此题研究的是n无穷大的时候的情况, 此时A点趋近于原点, B点也趋近于原点, C点趋近于点D (4, 0) , 这样过△A B C的外接圆即为以O D为直径的圆, 面积为4π。

点评:可以说, 这道题用了无限中的极限思想, 快而准的得到了结果。也把极限思想用到了极至。

7 结论与建议

以上的例子说明, 抓住变量的变化趋势或临界状态或边界点就可以用有限与无限的思想, 比较简洁、快速、准确的解答。但要想运用熟练必须知觉能力强, 基本功扎实, 思路开阔, 具有很好的联想能力。

高考中对有限与无限思想的考查虽然刚刚起步, 但这种数学思想的运用, 为学生数学思维的发展、数学能力的提高提供了广阔的空间。在教学中, 应潜移默化地渗透这一数学思想, 提高学生对数学的整体把握。

摘要：世界万物是千姿百态、千变万化的, 人们对世界的了解、对事物的认识也是从多方面进行的。抓准变量的变化趋势, 把无限转化为有限, 这有利于快速解决一些高考题。

关键词：把握,思想,解题