由高等数学的文化价值探索其教育功能定位

1 高等数学的文化价值概述

1.1 数学文化与数学的理性精神

实际上, 数学对于人们的观念、精神及思维方式的养成起着十分重要的作用。尽管这是一种潜移默化的作用, 但这种影响又是确实存在的, 数学无时无刻不在改变着我们的生活。如微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学, 而今, 它几乎为一切领域所应用。只要研究变化规律就要用到微积分。微积分也给了哲学许多的启示, 它不仅影响到哲学的方法, 也影响到世界观。

1.2 数学的社会、历史、文化视角

数学的历史性即是数学科学性演变的生动刻画, 也是数学文化性和数学社会性的纵向表现形式。文化视角的数学观侧重于以数学作为一种文化以及数学与其它人类文化的交互作用中探讨数学的文化本质和文化进化特征。

早在20世纪70年代, 罗宾逊就有一个判断:“过去100年中, 数理逻辑和数学基础的技术方面的进展是惊人的相形之下, 人们对于数学的本质属性的理解的发展却是徘徊不前的, 含混的”。即便是现在, 在数学界和数学教育界, 情况还是如此。对数学的本质理解的这种滞后性是影响当前数学教学的一个重要因素, 这种滞后性对数学教育的负面和不良影响是长期的、致命的, 决定着我们的教学方式和教学手段, 因而我们更应该有一个清醒的认识。

2 从高等数学的表现形式和内在规律透视其价值体现

2.1 抽象化与具体化

提起数学, 总是与抽象相连, 以为抽象是数学枯燥无味的根源。事实上, 事物与事物之间的差异反映在个性上、内涵上, 个性“抽”出的越多, 越只在内涵的共同处考虑, 越能发现事物与事物之间的共同点, 从而在更高的程度上反映共性。内涵越少外延越宽, 这是基本的逻辑结论, 正是数学的抽象才扩大了它的外延, 并为其它领域提供了进行思维的工具。

2.2 数学的一般化与特殊化

对于特殊化方法在数学解题中的作用学生们己经有了较为深刻的印象, 主要原因是:第一, 通过特殊化, 可以更好地弄清题意。第二, 通过特例的考察对可能的结论与可能的解题方法进行猜测, 有时还可以通过由一般向特殊的化归解决原来的问题。第三, 可以通过特殊化对己获得的解答结果进行检验。反过来, 对于一般化方法何以能在解题中发挥重要作用学生们尚缺乏深入的分析。事实上, 由特殊向一般的过渡常常为问题的分析提供了新的着眼点, 从而也就为问题的解决开拓了新的可能性。

2.3 多样化与一体化

数学现代发展的一个决定性特点即是其研究对象的极大扩充, 它所研究的已不是具有明显直观背景的量化模式, 而是各种可能的量化模式。这表明多样化也是数学发展的一个重要形式。数学的这种蓬勃发展会不会窒息它未来的进步呢?由于不可能有包括数量如此之多, 概念和成果如此之丰富的理论, 因而导致极端的专业化和理论之间更严重的隔离, 最终由于缺乏有生命力的新思想而使它们衰败下去?幸运的是, 在数学中存在着减少这种危险的强大而统一的趋势, 这种统一化趋势首先表现于各个分支的相互渗透, 这种统一化趋势更表现于以下的事实:由于揭示出共同的本质, 一些原来被认为是互不相干, 甚至是互相对立的理论得到了统一。例如, 借助于F·克莱因的关于几何学所研究的是 (各种) 变换群之下的不变量的思想, 原先被分割成许多几乎互不相干分支 (如欧氏几何, 仿射几何, 射影几何等) 的几何学重新获得了统一。

2.4 证明与反驳

“证明”和举出“反例”是在数学学习中经常遇到的。因此, “证明”是数学与一般自然科学相比其特殊性的一个重要表现, 而猜想与反例在数学的历史发展中同样占有十分重要的地位。事实上, 数学的无限发展正是在“证明”与“反驳”的辩证运动中得以实现的。

2.5 连续性与间断性

数学的发展也是“连续”与“间断”的辩证统一。数学是一个由“命题”、“方法”、“问题”、“语言”等多种知识成分与“数学传统”组成的一个复合体。即使就单纯的“知识成分”而言, 数学的发展也不是单纯的量的积累, 如非欧几何本身既是与传统的数学思想完全不相容的, 或者说, 非欧几何的建立就是以传统思想的决裂作为必要前提的, 而恰恰是非欧几何在数学中的地位的确立又极大地改变了整个数学的面貌。

3 对高等数学教育功能的重新定位

3.1 数学中的东方文化与西方文化

长期以来, 西方的同行对于东亚的数学教育始终持有强烈的批评态度和否定的立场。然而, 近年来所进行的多次大型的国际测试 (IAEP、TIMSS、PISA) 表明:尽管我国的学生对于数学的学习持有一定的负面态度, 但东亚的学生在测试中总是名列前茅的事实确是不容置疑的。因此, “中国学习者悖论”对我国的数学教育界已不再陌生, 这个悖论的提出, 不仅为数学教育的国际比较研究提供了重要的动力, 而且也直接促成了关于中国数学教育的深入研究。“中国人是如何学习数学的?”我们又是怎样教数学的?作为高校的数学教师我们应该研究与探讨什么样的问题呢?

3.1.1 避免简单化

香港大学的洛佩斯——里尔 (F.LopezReal) 等通过实地考察指出:“真的存在一种国家教学脚本吗?”仅仅通过对一个教师几节课的“快照”就可以确认这位老师的“教学脚本”?他认为这样做是危险的, 这种简单化也是不客观的。

3.1.2 避免“泛化”

也就是将某种教学法或教学模式看成无所不包、无所不在的。虽然我们有责任认真总结自己的优良传统, 但应更加重视如何对自己的优良传统进行必要的发展, 注意区分问题的“深层结构 (数学结构) ”与“表层结构 (事实性内容) ”。

3.1.3 能够利用现代的理论 (或西方的理论) 对已有经验展开分析

即能从理论的高度指明其合理成分与局限性, 从而不仅能够较好地实现由实践到理论的重要发展, 而且也能切实促进由经验型教学向理论指导下的自觉实践的重要转变, 就数学知识的教学而言, “不应求全, 而应求变”, 就基本技能的掌握而言, 我们不能满足于简单的重复, 而应帮助学生学会在各种变化的条件下如何能对此做出辨认和加以应用。

3.2 整体文化与数学文化

整体文化与传统文化不仅以直接的和外在的形式对数学教育产生作用, 而且以一种深层的, 潜在的形式影响着数学教育。这些相互作用的、复杂的、综合的因素构成了具有中国特色的数学课堂的背景文化。直接或间接地影响着课堂文化的形成、形式和一般特征。大学数学教师的数学文化观是数学文化、传统文化、现代文化和西方文化等基本成份相互交织、相互作用、相互矛盾而形成的一个综合体, 因此, 大学数学教师应着力去创造一种结合自身数学素质特点的、高起点的、具有展示数学典范的科学本质、社会价值、思维特征和独特的美学意蕴的数学课堂文化情境和氛围。

摘要：数学是人类文化的一个重要组成部分, 数学是一种理性精神, 一个不掌握数学作为一种文化的民族是注定要衰落的, 一个与整体性的文化-社会环境相脱离的数学与数学教育系统也是没有前途的。作为数学教育工作者, 我们应该引领学生去品味数学, 欣赏数学, 让学生从数学中找回自信与快乐, 并且尽力去探求和确立数学知识的最深刻的和最完美的内涵。

关键词：高等数学,文化价值,教育功能,定位