平方差公式教学案例

平方差公式教学案例（共11篇）

篇1：平方差公式教学案例

我参与了学校组织的“同课异构”活动，授课内容是《乘法公式――平方差公式(一课时)》。

上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入;②形成;③明确表述;④辨析;⑤巩固应用;⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。

我的教学流程是按照“引入――猜想――证明――辨析――应用――归纳――检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。

当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上;在处理学生练习时，为了抓紧时间完

成进度没有把学生的出错点讲透讲细;游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来;当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。

通过这次“同课异构”活动，我感觉自己在教学环节设计、课件制作和使用、导学案的规范书写等各方面都有了提高，通过各位领导和老师的点评，我也有了更多的收获，相信可以为我今后的教学所用。

篇2：平方差公式教学案例

高效课堂

白云湖中学

钱玲

在平时的教学过程中，运用激励性的名言警句，从而调动学生学习的积极性、鼓舞学生的斗志是我的教学特色，收到了很好的效果。

我们班的每个学生都有自己的个人激励卡，并且定期更新。全班同学都能脱口而出很多催人奋进的句子，比如：“与其用泪水擦拭明天，不如用汗水拼搏今天”，“知识改变命运，学习成就未来”，“行为决定习惯，习惯形成性格，性格决定命运”，“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”，“每个人的内心深处都有两个自我，一个高尚，一个卑下；一个勇敢一个懦弱；一个善良，一个邪恶；一个勤奋，一个懒惰…...我们要用高尚战胜卑下；用勇敢战胜懦弱；用善良战胜邪恶；用勤奋战胜懒惰……”，“天将降于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，空乏其身，行佛乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。”……

平时我很留意积累名言警句，另外也启发引导学生自己去搜集名言警句。让这些名言警句成为学生的“打气筒”！

在学习《平方差

（一）》这一节课时，我又给同学们如下寄语：“选择逃避，失败会越来越多；选择放弃，借口会越来越多；然而，选择挑战，方法会越来越多；选择拼搏，成功会越来越多！”同学们听了后，倍受鼓舞。同时我让同学们大声的读出老师的这一段寄语。

在老师的激励下，同学们个个斗志昂扬，跃跃欲试，我顺势提出了今天这节课要完成的学习任务、学习目标。

师：老师这里有四道计算题：（1）（x+2）(x-2)

（2）(1+3a)(1-3a)

（3）(x+5y)(x-5y)

（4）(2y+z)(2y-z)谁会做？谁能到黑板上做一下？

同学们大部分都举起了手，很多同学几乎拿出了百米冲刺的架势，我随机点了4名同学上来做题。其他同学不约而同遗憾的“哎”了一声，然后就趴在自己的练习本上“刷刷”的做了起来。

师：看谁做得又快又准确？

师：同学们观察这几个算式，看看等式的左边有什么特征？等式右边的结果有什么特征？

生1：等式左边的多项式都是两项。

生2：等式左边多项式的两项有的项完全相同，有的项只是符号相反。生3：结果是平方差的形式。

生4：右边结果中相同的项的平方都是写在前面，符号相反项的平方都是写在后面。

师：同学们能不能直接口答（a+b）（a-b）结果？ 生：能！结果一定是a2-b2 师：嗯，很好！同学们很棒！那么我们就把（a+b）（a-b）= a2-b2叫做整式乘法的平方差公式。

师：同学们想一下，什么样的两个多项式相乘时用平方差公式？ 生5：两个多项式中有完全相同项。生6：两个多项式中有符号相反项。

生7：一个多项式是两数和，另一个多项式是这两个数的差。

师：那么当我们遇到两数和乘以这两个数的差的时候，就可以直接运用公式，把结果写成这两个数的平方差，但是同学们一定要注意：结果必须是相同项的平方减去相反项的平方。

师：老师相信同学们已经会用刚学的新公式做题了，下面我们小试牛刀，做3道题：

（1）（5+6x）（5-6x）

（2）（x-2y）（x+2y）（3）（-m+n）（-m-n）

选3个“小老师”到黑板上做。

师：同学们有没有注意到，在运用公式时我们还要注意什么？为什么第二个同学做错了？

生8:他没有给2y加上括号。应该是（2y）2

而他写成了2y2 师：第三个题，应该注意什么？

生9：给-m带上括号，不然会写错变成-m2.师：说得很好，希望同学们不但要有勇气、胆量、信心，还更要仔细！“彩虹风雨后，成功细节中”，很多时候“细节决定成败”！

在老师的点拨引导下，同学们在做题的时候大大减少了失误。在后来的当堂检测中，合格率超过了百分之九十。从而做到了“高效课堂-堂堂清”

篇3：平方差公式教学案例

师:我们已经学过了多项式的乘法, 哪个小组能告诉我, “两个二项式相乘, 在合并同类项之前应该有几项?”

生A (抢答) :我认为应该有四项.

师:我也同意A同学的说法 (教师给这个小组加上一颗五角星) .

但不知同学们有没有注意到我刚才说的是合并同类项之前, 那么在合并同类项之后会出现什么情况呢?

(教师多媒体给出问题串:两个二项式相乘, 在没有合并同类项之后, 有没有只有三项的?有没有只有两项的?举例说明.独立完成后, 今天的小组长组织小组成员交流, 记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上)

……

师:哪个组来回答? (话一说完就有很多组的同学站了起来, 最后决定用剪刀石头布的方式来确定哪个组来回答)

生B:我回答第一个问题, 我组分别写出了以下四种情况. (通过实物投影展示, 接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来, 教师对学生的回答进行及时有效的评价, 并对相应的组打上星)

生C:我回答第二个问题, 我们组写出了以下四种情况:

1. (x+1) (x-1) =x2-x+x-1=x2-1;

2. (x+2) (x-2) =x2-2x+2x-4=x2-4;3. (x+y) (x-y) =x2-xy+xy-y2=x2-y2;4. (x-3) (x+3) =x2+3x-3x-9=x2-9.

(通过实物投影展示, 接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来, 教师对学生的回答进行及时有效的评价, 并对相应的组打上星)

……

师:从上面的例子可以看出两个二项式相乘, 合并同类项后积可以是二项式, 那么具备什么样的特征时积才会是二项式呢?它们的积有什么特征? (媒体给出问题串, 要求学生独立完成后, 小组长组织小组成员交流, 记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上)

……

生D:我们组交流后, 认为两个因式的两项中分别有一项相同, 而另一项互为相反数, 积一定是二项式.

生E:我们组交流后认为, 当乘式是两个数之和以及这两数之差相乘时积一定是二项式.

师:我也同意他们的意见.他们从不同的角度分析了乘式的特征, 用两数和及这两数的差表达乘式的特征既简单又确切 (教师给这两组打上星) .那么它们的积有什么特征呢?

生G:积等于乘式中这两数的平方差.

师:我也同意他们的意见.这组同学特别是用了“这两个数”四个字实在是太好了, 说明他观察得很仔细, 表达也很贴切 (教师给这组打上一颗星) .

师:我们再看一下, 为什么具备以上特点的两个二项式相乘, 积会是两项呢?

生F:具备这样特点的两个二项式相乘时, 积的四项中会出现互为相反数的两项, 而这两项合并后为零, 所以就剩下两项了.

师:很好, 假如我们用a, b来表示这两个数, 你能用这两个字母表达出刚才我们所说的等式吗?

生H: (a-b) (a+b) =a2-b2.

师:非常好, 这就是我们今天要学习的平方差公式.

师:你们能算出下面两图中第Ⅰ块和第Ⅲ块的面积之和吗? (几何画板给出)

二、案例评析

1.设置疑问, 引入课题

鲁宾斯坦说过, 思维通常总是开始于疑问或者问题, 开始于惊奇或者疑惑, 开始于矛盾.适当的悬念, 巧布某种卡壳, 引起学生的好奇, 能激发学生的学习兴趣和动机, 而学习兴趣能使学生的主动性积极性剧增, 产生良好的效果.本案例将“两个二项式相乘, 积可能有几项”的问题作为课题引入, 目的是激发学生的学习兴趣.

2.突出了数学课堂教学中的探索性

通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳, 得出为什么有的两个二项式相乘其积为两项, 因为其中两项是两个数的平方差, 而另两项恰是相反数, 合并同类项时为零.让学生经历前人发现这个概念的“浓缩”过程, 让学生尝到了成功的喜悦, 激发了学生发现思维的火花.从而培养了学生的观察、概括能力, 发展学生的符号感和推理能力;

3.引进了计算机 (“几何画板”) 技术

通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释, 目的是使学生对此公式有一个更直观的认识.

4.恰当地处理自主、探究、合作的关系

自主探究合作学习是新课程改革中追求的一种学习方法, 但合作学习必须建立在学生的独立探索的基础上, 否则合作学习将会流于形式, 不能起到应有的效果, 所以我在上课时强调学生先独立思考, 再由当天的小组长组织进行, 并由当天的记录员记录小组成员的活动情况.

5.把竞争机制引入课堂, 同时进行恰当地评价

让学生在合作中学习, 在竞争中收获, 及时对各小组的发言进行恰当地评价, 能调节课堂的气氛, 同时也是时代对我们的要求.

6.充分发挥课堂教学的民主

在课堂教学中多次用到“你们同意吗?”、“我同意”的话语, 让学生体验到他们才是学习的主人, 教师是他们平等的合作者.

摘要：初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“创设问题情境、建立知识的模型”的模式展开.特别对于抽象的概念教学, 要关注概念的实际背景与形成过程, 帮助学生克服记忆概念的学习方式.本文以“平方差公式的概念”为例, 阐述如何“创设问题情境、建立知识的模型”的过程.

篇4：平方差公式教学案例

第一环节：问题导入之“故事导入”

根据初一年级学生的心理特点和教学内容的结构特点，在本环节，我们决定用趣味“案情”导入新课，创设了一个发生在“狼大和羊二”之间的土地租赁事件，以激发学生的探究欲望和学习情趣，让学生跃跃欲试争当“断案高手”，同时暗含“知识就是力量”、用知识帮助弱小的价值观引导.

[片段实录]

师：欢迎来到变式大课堂！今天我们要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.（课件出示故事和“问题1”）

一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！不过，估计你也听不懂.我就画两幅图给你看看吧！（见图1、图2两个示意图）

羊二看了，连忙对狼大说道：老爷，我听您的！

问题1：羊二吃亏了吗？

师：羊二吃亏了吗？

生：（异口同声）吃亏了！

师：谁能为这个案子当个“断案高手”吗？（学生纷纷高举着手）

在本环节教学中，我们用故事中的问题情境导入新课，自然地将实际问题抽象为数学问题；运用数形结合思想，将土地面积问题转化为几何图形问题，突出了数学直观，生动易懂，也为接下来的新知探究提供了方法和思路.

第二环节：新知探究之“数形结合探究”

教师采用数形结合思想，引导学生进行新知探究，并为此设计了三个逐层递进的变式题.

[片段实录]

师：怎么判断羊二是否吃亏呢？（相对于问题1的“变式题1”）

生1：计算S1与S2，比较它们的大小.S1=a2，S2=（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-32=a2+（-3+3）a-9=a2-9.

师：若向东增加5米，向北减少5米呢？（“变式题2”）

生1：还是一样地计算、比较，羊二还是吃亏.

师：若向东增加b米，向北减少b米呢？（“变式题3”）

生1：也是一样的.

师：同学们同意吗？

生：（大声，整齐）同意.

师：我们是不是可以借鉴刚才这位同学的方法推导一下，这样才好推广吧？（师课件出示图3示意图，并带领学生进行计算）

S3=（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2+（-b+b）a-b2=a2-b2

师：我们通过计算，进一步验证了一般情况下，正方形边长一增一减会导致面积减少.可羊二没文化，他不会算，我们有没有更直观的方法，让羊二一看就明白呢？

生2：我们可以先在这块地的南部向北裁掉一个如图4所示的矩形，再向东增加一个如图5所示的矩形，由图我们很容易看出，原来的正方形面积少了一个如图6所示、边长为3的小正方形.同样的，若正方形边长向东增加b向北减少b，则面积减少b2.

老师竖起大拇指；其他同学对这一直观的方法非常佩服，报以热烈掌声.

师：我们从两个角度，一是从代数的角度进行了精准的计算，二是从几何的角度进行了直观的验证，都得出了（a+b）（a-b）=a2-b2这个恒等式.通常二项式乘二项式展开以后得四项，为什么这组二项式相乘展开以后才有两项呢？

生：（齐声）因为有两项是同类项，互相抵消掉了.

师：为什么能互相抵消呢？

生：（齐声）因为b与-b互为相反数.

师：那么这个等式的左右两边究竟有哪些特点呢？

生3：等式左边是两个二项式的乘积，且只有a、b两项，一个二项式是a+b，一个二项式是a-b，等式右边是a与b的平方差.

师：看来同学们都是“说理大师”啊.（生笑）

在这个教学环节，教师通过激励学生对“案情”进行推理、演算，引导学生从代数和几何两个角度来验证自己的结论，再进一步追问，启发学生对平方差公式的结构进行深层次剖析，使学生得以自主发现并归纳出平方差公式这个新的知识点.

第三环节：变式应用之“代数变式的主线设计”

从一道基本题切入，运用代数的“式子变式”沿“系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变”的思维路径进行变式设计，使问题设计由浅入深、层层推进.根据平方差公式的结构特点，引导学生对公式进行多角度的变式应用，可以使学生对平方差公式有更深的理解，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.

[片段实录]

师：我们已经认识了平方差公式，接下来我们将——

生：（齐声）应用.

师：（调侃）看来你们很了解呀！（生喜形于色）

课件出示平方差公式基本模型及基本题“问题2”.

nlc202309090405

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

问题2：计算（+3）（-3）

师：问题2是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？

生4：完全符合平方差公式的结构特点，公式中的a就是a，公式中的b就是3.

师依次出示以下变式题组中的每一个变式，要求学生一题一题地说一说：该题是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？比较这一题与上一题发生了什么变化？依次问答毕，师板写变式题组的变式过程如下.

问题2：（a+3）（a-3）

系数变↓

变式1：（2a+3）（2a-3）

符号变↓

变式2：（-2a+3）（-2a-3）

位置变↓

变式3：（3-2a）（-2a-3）

指数变↓

变式4：（3-4a2）（-4a2-3）

因式变↓

变式5：（3b-4a2）（-4a2-3b）

项数变↓（相对于公式而言）

变式6：（a+b+c）（a-b+c）

师：结合以上变式题组，你认为平方差公式中的a、b可以表示什么？

生5：公式中的a、b可以表示数，可以表示单独的一个字母，也就是说既可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式.

师：你的理解非常到位！公式中的a、b可以代表我们已经学过的任意一个整式，当然还可以推广到代数式.

师：仔细观察以上变式题组，你对代数中的变式方法有了哪些了解？

生6：我们可以从系数、指数、项数、因式、符号、位置等角度进行变式，其实就是抓住整式中的基本元素进行变式.

师：你的理解太深刻了，你能很好地抓住问题的本质，问题虽然可以千变万化，但都遵循一定的变化规律.我们不妨把以上变式方法叫做变式策略.你可以说是我们这节课的“变式大赢家”！（生喜形于色）

引导学生对变式题组中的变式题进行解答，可以使学生逐步学会分析式子结构，认清公式中的a和b分别代表什么，能够准确运用公式进行计算，同时了解代数中变式的基本策略，认清变化的规律，抓住不变的本质.

第四环节：总结升华之“思维导图归纳法”

用问题3的三个小问为思维支架，引导学生对本节课所学内容进行梳理，帮助学生自主建构知识体系，厘清知识之间的联系，并在锻炼解题的过程中训练学生的语言表达能力.最后引导学生运用“思维导图”归纳本课的知识、方法和蕴含在其中的数学思想，以此培养学生的综合素质.

[片段实录]

师：同学们的表现非常出色！那么谁又能成为本节课的“归纳之王”呢？（课件出示“问题3”）

问题3：（1）对于平方差公式，你有哪些认识？（2）本节课你印象最深的是什么？（3）你还存在哪些疑惑？

生7：我认为平方差公式的结构很特别.它是a、b两项的和与a、b这两项的差的乘积，结果等于a、b的平方之差，而且是符号相同的项a的平方减去符号相反的项b的平方，前后不能颠倒.

生8：本节课我学到的知识概括起来有两点.第一点，运用平方差公式一定要准确地找出公式中的a和b；第二，对于因式中出现三个项或以上，一定要观察各项的符号，再结合，构造出平方差公式的结构.

两名学生对平方差公式的应用做出了非常全面的概括，这让在场的老师和同学们都听呆了，继而爆发出雷鸣般的掌声.

师：好，她们都是“归纳之王”！

接下来，师课件出示本课知识思维导图（见图8）.

教师从学生的角度，启发他们思考对平方差公式有怎样的认识，鼓励他们说出这节课中印象最深的是什么，激励他们反思心中的疑惑，独立思考，小组讨论，班级交流，充分尊重学生在学习中的主体地位.

本节课将问题主线和情境主线相互交融，知、情、意有机结合.问题主线从数学学科的特点出发，设计出了一条条理清晰、逻辑严谨的问题链，问题设计抓住了本节课的核心知识即平方差公式，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次依次设计出了一个个问题串，将本课的核心能力、发散思维能力、创造能力等渗透其中，体现了数学的理性美.情境主线主要从情感态度价值观角度出发，将“授人以鱼不如授人以渔”进化为“授人以渔不如授人以欲”，从问题情境“羊二吃亏了吗？”开始，层层设疑、层层追问、步步为营，带领学生逐渐展开本课的“探索发现与应用之旅”，并运用心理暗示将学生置身于“断案高手”“说理大师”“变式赢家”“归纳之王”的角色中，引领着学生自主解决了一个个预先设定好的情境任务，让学生在挑战自我的过程中实现了自身价值，这也正是执教者想通过情境主线来开启和激励学生自主探索、自主发现的教学艺术所在.

（责编 白聪敏）

篇5：平方差公式教学反思

教学中时间把握还是不足，在设计的题目中不怎么合理，应按题目的难度从易到难。

有些题目的归纳可放手给学生讨论后由学生说出，而不是教师代替。小组评价做的不够，没有足够的小组的活动，没有小组的竞赛。

篇6：《平方差公式》教学反思

1、把数学问题“蕴藏”在游戏中。

导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，首先是一个智力抢答，学生通过抢答初步感知平方差公式，接下来，采用小组合作学习的方式，利用“四问”让学生进行试验操作，学生选择的字母有很多种，让它们都有其共性。由此,学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程,得出(a+b)(a-b)=a2-b2.经过不断的尝试小组合作学习方式的教学，我发现也真正体会到，只要我们给学生创造一个自由活动的空间，学生便会还给我们一个意外的惊喜。

2、充分重视“自主、合作、探究”的教学方式的运用。

把探究的机会留给学生，让学生在动脑思考中构建知识，真正成为教学活动的主体。使他们在活动中进行规律的总结，并且通过交流练习、应用，深化了对规律的理解。学生对知识的掌握往往通过练习来达到目的。新授后要有针对性强的有效训练，让学生对所学知识建立初步的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性认识到理性认识的升华。在此设计了三个层次的有效训练，让学生体会平方差公式的特点：第一层次是直接运用公式，第二层次是将式子进行适当变形后应用公式，第三个层次是平方差公式的灵活应用。通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧。

3、 自置悬念，享受成功

以四人小组为单位，各小组出两道具有平方差公式的结构特征的题目，看谁出得有水平。学生每人都设计了题目，任意叫了四位学生在黑板上写，经评价结果都对了。这种方法，不仅令人耳目一新，而且把学生引入不协调——探究——发现——解决问题的一个学习过程，使学生获得思维之趣，参与之乐，成功之悦。

4、切实落在实效上

本节课在采用小组学习之后，为了让学生的巩固有效果，采用了学生上台讲解、作业实物投影的方式来进行，多种方式的选择，让学生暴露出自己的问题，然后通过生生互动、师生互动解决问题，实现问题及时处理，学习效果不错。

5、值得注意的是：

1、节奏的把握上

这一节我觉得不是很顺，尤其在从几何角度解释平方差公式、例2⑵的其他计算方法等问题上，花了不少时间，节奏把握的不是很好。

2、充分发挥学生的主体地位上

篇7：《平方差公式》教学反思

在例题展示环节中，我通过2道例题的运算，训练学生正确应用公式进行计算，体会公式在简化运算中的作用。实践练习的设计，使学生从不同角度认识平方差公式，进一步加强学生对公式的理解。在运用公式时，学生基本掌握运用平方差公式的步骤：首先要判断算式是否符合平方差公式特征，然后再寻找算式中的a,b项，最后运用平方差公式运算。拓展延伸环节中，学生通过寻找算式中的a,b项，慢慢发现a,b项不仅可以代表数，也可以代表单项式、多项式等代数式，这样设计可以进一步深化学生对字母含义的理解。在学生独立完成练习和堂测中，经过巡视，我发现近三分之一的学生对较复杂的多项式不能准确找出a,b项，特别是b项代表多项式时，负数去括号时出错较多。

最后通过设计递进式的问题串，引导学生自己一步步总结出本节课所学的知识内容，从而培养他们的归纳总结和语言表达能力。

篇8：平方差与完全平方公式的教学策略

一、学生出错的主要原因

1.类比错误

在学习这两个公式之前, 学生已经掌握了分配律和幂的性质, 知道2 (a+b) =2a+2b, (ab) 2=a2b2, 因此学生容易依据经验类比出 (a+b) 2=a2+b2, (a-b) 2=a2-b2等错误性的结论.

2.思维的定向性

学生在思维上有一种追求简易对称的倾向, (a+b) 2=a2+b2与 (a-b) 2=a2-b2, 当然比 (a+b) 2=a2+2ab+b2与 (a-b) 2=a2-2ab+b2要简易对称.

3.用特殊代替一般

(a+b) 2=a2+b2与 (a-b) 2=a2-b2, 并非永远不能成立, 在特殊情形下有可能成立, 如当a≠0, b=0时就成立, 这就是学生常犯的将特殊结论一般化的错误.

4.不理解相关代数式的意义

对出现在公式两端中几个整式的意义未能细加分辨, 即和的平方不同于平方和, 差的平方不同于平方差.

5.缺乏验证意识

验证意识的缺乏缘于两个方面, 一是由于字母无确定的指定数值, 给验算验证带来了困难, 学生无法从数值上来发现错误;二是由于学生有一种只注重结论而忽视过程的倾向, 尽管在引入公式时以整式乘法和图形面积两种方法作了验证, 但在运用公式时并非时时处处都能联想到这个验证过程.

6.心理环境因素

在实际教学中发现, 并非学习较差的学生发生上述错误, 即使数学学习较好者也经常出现类似错误, 其主要原因在于注意力不集中, 受知识背景和客观环境的影响等.

二、如何有效地实施两个公式的教学

1.熟练公式

熟练公式是运用公式的前提, 在初学阶段, 不仅要使学生理解用整式乘法和图形验证公式的方法, 凸现知识背景, 加深印象, 而且要强制记忆, 记忆可以采用歌诀的形式, 务必使学生掌握特征, 烂熟于心.

2.从意义和算理上帮助学生辨识

(1) (a±b) 2的意义是和的平方或差的平方, (a2±b2) 的意义是平方和或平方差, 意义不同, 其结果不可能相同.

(2) (ab) 2=a2b2的依据是积的乘方, 2 (a+b) =2a+2b的依据是分配律, (a+b) 2=a2+b2与 (a-b) =a2-b2无所依据, 其正确性须经过推敲.

3.提高验证意识, 掌握验证方法

学生之所以出现上述错误并且不能发现错误, 主要原因是由于缺乏验证习惯, 为了强化验证意识, 一要经常要求学生回顾或重做公式的验证过程, 二要教会学生用特值法来判断错误.

4.加强运用

学生对知识的真正理解掌握是在运用中完成的, 加强运用是掌握公式的根本方法, 对公式的运用训练要分层进行, 首先要加强基本训练, 使学生对初级运用 (指一次性运用公式) 达到熟练无误的程度;其次提高运用的层次, 在拓展训练中, 深化对公式的理解, 能够将多项和或差的算式化归为两项和或差的形式, 如 (a+b+c) 2, (a+b-c) (a-b+c) 等, 还有变形训练, 能够将公式进行适当的变形, 例如由完全平方公式求a2+b2或ab等, 在这样的化归、变形和运算中, 学生能够对公式中字母的指代对象, 公式结构及其相互区别达到透彻理解.另外, 还要注重应用, 要跳出单纯计算的死圈子, 向学生提供一些具有知识背景和实际情景的问题, 如连续奇数的平方差, 绳子绕圆周等问题, 使学生感受公式的完整性及所得到的结论的奇妙性, 增加学习的趣味性和自觉性.

篇9：完全平方公式与平方差公式

（a+b）2= a2 +2ab+b2

（a-b）2= a2 - 2ab+b2

完全平方公式的文字叙述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.

你能根据图1中和图2的面积说明完全平方公式吗？

图1 图2

完全平方公式 的几何意义

和的完全平方公式

（a+b）2= a2 +2ab+b2

差的完全平方公式：

（a-b）2= a2 - 2ab+b2

公式特征：（a+b）2= a2 +2ab+b2 （a-b）2= a2 - 2ab+b2

1、积为二次三项式；

2、积中两项为两数的平方和；

3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍放中央 .

4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.

想一想： 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？

（1）（x+y）2=x2 +y2 错 （x +y）2 =x2+2xy +y2

（2）（x -y）2 =x2 -y2 错 （x -y）2 =x2 -2xy +y2

（3） （-x +y）2 =x2+2xy +y2 错 （-x +y）2 =x2 -2xy +y2

（4） （2x+y）2 =4x2 +2xy +y2 错 （2x +y）2 =4x2+4xy +y2

例1、运用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

解： （4m+n）2= （4m）2 +2·（4m） ·n +n2 =16m2 +8mn +n2

（2）（x-2y）2

解： （x-2y）2= x2 -2·x ·2y +（2y）2 =x2 -4xy +4y2

例2、运用完全平方公式计算：

（1）1022

解： 1022 = （100+2）2 =10000+400+4 =10404

（2） 992

解： 992 = （100 –1）2 =10000 -200+1 =9801

思考

（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ （a-b）2与a2-b2相等吗？ 为什么？

拓展练习：

1. =_______；

2.若 是一个完全平方公式， 则 _______；

3.若 是一个完全平方公式， 则 _______；

观察等式

两数和与这两数差的积等于这两数的平方差

概括总结

公式中的字母的意义很广泛，可以代表常数，单项式或多项式

平方差公式的特征：

（1）等号左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差.

（2）等号右边是这两个数（字母）的平方差.

注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式

练一练

（a+b）（a-b）= a2-b2

阅读算式，按要求填写下面的表格

能力提高

篇10：平方差公式教学案例分析

一、设计理念

新课程的一个基本理念就是：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，从而提高课堂教学的效率．

把握知识核心是教师课堂设计的前提，只有教师本身对这节课的知识点吃得透，把握得准，然后在围绕着这个中心进行教学设计，这样的教学设计才能为学生创设更加真实的数学学习环境，也能激发学生积极参与的欲望，从而引起学生的兴趣和共鸣． 二 教材分析

（一）教学内容

本节属于《数学课程标准》（修改稿）中“数与代数”领域的内容，是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再一次应用乘法公式对多项式乘法进行简便运算的知识．平方差公式不仅是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础．

技能目标：掌握平方差公式，会运用平方差公式进行多项式的乘法运算及简便运算．

（二）、核心知识表述

平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．(三)、核心解析

平方差公式是基于多项式乘以多项式的法则而提出的特殊情况下的简便计算的法则，它是一种特殊的多项式乘以多项式．

（四）、教学重点及难点

（1）重点：平方差公式

（2）难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力

（五）、学情分析

学生刚过多项式的乘法，学生在解题时由于思维定势，往往还是用多项式乘法的方法来作这节课的题目，因此在教学中要让学生体验应用平方差公式计算多项式乘法的简便性．

三、教学设计

（一）、创设问题情境引入新课 猜一猜：

（1）在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字（10以内）；（2）计算100与这个数的和，乘以100与这个数的差的积（屏幕打出，给学生半分钟思考、计算的时间）

师：同学们算得很投入，只要告诉我，你运算的结果，我就能马上说出你的幸运数字是几，信吗？并请两位学生来试验．

师：等我们学了今天的知识以后，大家也 能像老师一样，马上猜出其他同学的幸运数字了． [设计意图] 通过游戏使学生产生对新知识的强烈求知欲．在游戏的过程中，学生的思维是活跃的，注意力是高度集中状态，在游戏中能让学生获得知识，发展能力，提高学习兴趣．学生的兴趣和情境一下子被调动起来了，有4—5名已经预习过新课的学生，马上能够摸到题目中的门道，迅速的报出答案． 新课讲解

（二）、新课讲解

引出并推导公式

还记得多项式乘法吗？下面让我们运用多项式的乘法来进行计算：（如果有同类项进行合并）

通过观察思考相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？

（学生归纳，老师补充）

期望得到结论：1）多项式均为两项；2）这两项有一项相同，有一项互为相反数；3）它们乘积的结果都是这两个数的平方差．

归纳平方差公式： ．

（板书课题：5.4乘法公式——平方差公式）

师：请大家在自己的纸上利用多项式乘法的法则，推导一下这个公式．（学生到黑板上板演推导过程）下面老师这里有4块纸片，下面按图拼成两个不同的图形，我们分别计算出它们的面积：（指导学生通过拼图的方法推导平方差公式）

由左右两个图形面积相等，得 ．通过具体的图形验证，让学生了解和体验公式的几何意义． [设计意图] 通过具体问题，归纳总结出平方差公式

平方差公式是一种特殊的多项式乘以多项式，它可以用多项式乘以多项式的方法来证明．让学生通过推导公式来体验：原来两个二项式相乘他们的积有四项，而现在这两个特殊的二项式相乘，他们的积经过整理以后只有两项，这样大大降低了计算的量．

通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解．同时给学生渗透数形结合的思想．

1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：

与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．

2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如

在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，两个数就可以看清楚了．

3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．

（三）、教法建议

1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．

2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即

(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．

3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑

(a + b)(a-b)=a2-b2．

这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．

另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．

=1-4x2．

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

例2 计算(b2+2a3)(2a3-b2)．，变形为

解：(b2+2a3)(2a3-b2)

＝(2a3+b2)(2a3-b2)

＝(2a3)2-(b2)2

＝4a6-b4．

教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

课堂练习

运用平方差公式计算：

(l)(x+a)(x-a)；

(2)(m+n)(m-n)；

(3)(a+3b)(a-3b)；

(4)(1-5y)(l+5y)．

例3 计算(-4a-1)(-4a+1)．

让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

解法1：(-4a-1)(-4a+1)

=[-(4a+l)][-(4a-l)]

=(4a+1)(4a-l)

=(4a)2-l2

=16a2-1．

解法2：(-4a-l)(-4a+l)

=(-4a)2-l

=16a2-1．

根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

课堂练习

1．口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)；

(2)(a-b)(b+a)；

(3)(-a-b)(-a+b)；

(4)(a-b)(-a-b)．

2．计算下列各题：

(1)(4x-5y)(4x+5y)；

(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

三、小结

1．什么是平方差公式？

2．运用公式要注意什么？

(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

四、作业

1．运用平方差公式计算：

(l)(x+2y)(x-2y)；

(2)(2a-3b)(3b+2a)；

(3)(-1+3x)(-1-3x)；

(4)(-2b-5)(2b-5)；

(5)(2x3+15)(2x3-15)；

(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

2．计算：

篇11：平方差公式教学设计

张锐

一、内容和内容解析

九年义务教育数学《课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。”

代数是一门基础的数学学科，整式的运算是代数运算的基础，为培养学生归纳能力和抽象思维提供了良好的契机.在前面的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，通过类比他们会产生“式是否也有相应的运算，如果有的话该怎样进行”等问题.为此本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用，为今后的学习打下坚实的基础.随着新课程的不断深入，每位教师有责任用好教材，不可教死书，死教书。根据《课标》精神，数学课不仅是数学知识的学习，更要体现知识的认知发展过程，关注学生学习的兴趣，引导学生参与探索，在探索中获得对数学的体验与应用。

从整式乘除的地位和作用可知，如果掌握不好这部分内容，将会给以后的学习带来极大的困难。因此要有针对性地加强练习，务必使学生对整式的乘除运算，特别是其中运用乘法公式进行计算达到熟练的程度。

根据以上分析，本节课的重点是：掌握公式的结构特征及正确运用公式。

二、目标和目标解析

1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力。

2．了解公式的几何背景，体会数形结合的思想方法，并能运用公式进行计算。

3．通过乘法公式的运用，掌握公式的结构特征，培养学生运用公式的计算能力。

4．通过从多项式的乘法公式再运用公式计算多项式乘法，培养学生从特殊到一般，从一般到特殊的思维能力。

三、教学问题诊断分析

对于数与代数的学习来说，重要的是让学生学会探求模式、发现规律、而不是死记结论，死套公式和法则。只有经过自己的探索，才能不仅“知其然”，而且知其“所以然“，才能真正获得知识，懂得公式的意义，掌握公式的应用。而且通过探求若干公式的活动，可以提高探索能力，也有利于掌握数与代数的运算和规律。因此通过创设情境来激发学生的学习兴趣，引导学生探究在大正方形内截取一个小正方形后剩余的面积,在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力,对学生想到的有效方法都及时给予充分评价，学生通过探究演示讨论归纳得出。

在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用。自主探究、单一反

三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习。

在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心。在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境。(2)促进学生发展是活动的目的。数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点。因此，本节课我组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展。

根据以上分析，本节课的难点是：灵活运用公式。

四、教学支持条件分析

使用多媒体课件辅助教学，并且借助实物展示台展示学生的课堂练习。

五、教学过程设计

（一）、获取新知识 问题一：（算一算）

同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则。今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘。下面请同学们应用你所学的知识，自己来完成下面的问题：

(1).(x1)(x1)(2).(m2)(m2)(3).(2x1)(2x1)

（设计意图：复习前面学过的的知识，让学生初步了解这些题目和以前做过的有些不一样。唤起学生们的求知欲望。便于进行下一步的教学。

活动方式：学生自己解决，然后回答或者利用展示台展示。）

问题二：（猜一猜）

不计算，你来猜一下下面的式子的结果。

(x6)(x6)(a2)(a2)

(xy)(xy)

（设计意图：让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明。）

问题三：（说一说）

从上面的运算中你发现什么规律？

(ab)(ab)a2b2

（设计意图：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互

相补充，教师不急于概括。让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础。）

问题四：

你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？

a b a a-b b

（设计意图：(1).重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题。(2).此处将教科书的图15.3－1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式。）

（二）、巩固新知识

问题五：（用一用）

1.辨别下列两个多项式相乘，那些可以使用平方差公式？

（1）.(2m3n)(3m2n)（2）.(2m3n)(3n2m)（3）.(5xy4z)(4y5xz)（4）.(3p2q)(3p2q)（5）.(4a1)(4a1)

2.下列各题的计算有没有错误？错的如何改正？

2(x9)(x9)x9（×）（1）.2(x9)(x9)x81 改正：

222(x5)(x5)x25（×）（2）.224(x5)(x5)x25 改正：111(ab1)(ab1)a2b2124（3）.2（√）

3.再举几个这样的运算例子。(1).(3x2)(3x2)(2).(b2a)(2ab)(3).(x2y)(x2y)

（设计意图：此处先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路。需要注意：1.正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键。设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式。2.在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第(3)小题，此时可以通过学生合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养。3.上例第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解。问题六：扩展应用

计算：

(1).10298

(2).(y2)(y2)(y1)(y5)

22(xy)(xy)(xy)(3).（设计意图：此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的。要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强

调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行。）

六、目标检测设计

（一）、练习：

1．必做题：教科书习题第1题 2．选做题：计算：

2x(1).(yx)(yx)2(2).200820092007

(3).(0.25x2y)(0.25x2y)

(4).(a12b)(a12b)(3a2b)(3a2b)

（设计意图：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。）

（二）、作业：

完成练习册的《平方差公式》一节 问题七：人人有总结、个个有收获

请谈谈这节课你有什么收获？

1．什么是平方差公式？

2．运用公式要注意什么？

(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；