运用排列组合思想巧解同分异构问题

运用排列组合思想巧解同分异构问题（共2篇）

篇1：运用排列组合思想巧解同分异构问题

运用排列组合思想巧解同分异构问题

摘要

同分异构的本质是原子重排，考查学生的有序思维，是教学的难点和重点。通过多年的研究，将化学规律与数学工具相结合，用分类计数原理、分步计数原理、排列和组合思想来分析，并用算式来表达，异常的简洁明了。启发同学们去思考、迁移、借鉴，充分地掌握同分异构的本质。

关键词

分类计数原理

分步计数原理

排列和组合

有机化学中的同分异构问题是近年高考热点之一，在考查学生对化学学科基本知识掌握程度的同时，结合一些信息，有效地考查了学生思维的有序性和逻辑性等，使学生的综合素质和能力得到比较真实的体现。

数学是一门工具学科，高二数学教材中的“排列、组合”正好与有机化学内容同步。在高二数学教材第十章“排列、组合和概率”章引言中有这样一句话“排列、组合是计算有关完成某项工作的方法种数的知识”。而判断有机物同分异构体的种数，并进一步书写正是有机化学知识中的难点和重点，也是学生困难较大的一部分知识。

用数学方法来解决相关的化学问题，除了能体现出数学学科的工具作用外，对于化学学科教学来讲，学生在必须深刻理解化学基本知识和规律的前提下才能正确地应用数学方法来解题。可以说，运用数学方法来解决化学问题对于两门学科来讲是相得益彰的事情。

我们结合一些实际问题讨论运用数学方法来解决有机化学中同分异构问题的方法，主要涉及到的数学方法有：分类计数原理、分步计数原理、排列和组合（分类计数原理、分步计数原理是排列组合方法的理论基础）。

1．用数学思维来解释常见的判断同分异构体数目的方法

1．1基团连接法和等效氢原子法

这些方法比较直观，直接使用化学方法思维更加有效。比如：苯的二氯取代产物有几种？根据化学知识“2个取代基在苯环上可有邻、间、对3种不同的相对位置”得出产物为3种。

也可以用数学方法，先用分步计数原理，2个取代基，可以先确定一个取代基的位置，因无取代基的苯环上6个碳相对位置完全相同，因此一氯代苯只有C11种；再确定第二个取代基的位置，在一氯苯中，只有3个不同的H，因此第二个取代基的位置可以有C13种；因此二氯苯的同分异构体数为C11×C13=1×3=3种。

二者相较，显然我们在解决比较简单的一取代和二取代问题时，直接运用化学规律解决会方便快捷得多

1．2

换位思考法

例如，二氯苯和四氯苯同分异构体数目的问题：

根据苯的分子式C6H6，6个氢原子中选2个被氯原子取代为组合数C26（此C26并非指数学上的真实值，C46同理），6个氢原子中选4个被氯原子取代为组合数C46，根据组合数的性质C26=C46，因此，二氯苯有3种，四氯苯也有3种。

这样的分析方法言简意赅，直击问题的本质，非常透彻，且学生学起来尤觉醍醐灌顶般酣畅淋漓。

2．复杂题型中运用数学方法

[例1]（2000年广东）在C3H9N中，N原子以3个单键与其他原子相连接，它具有的同分异构数目为（）

A．1 B．2 C．3

D．4

篇2：巧解排列、组合问题

总的原则——合理分类与准确分步.即按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.

两种思路——直接法，间接法.

三种途径——以元素为主，先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素；以位置为主，先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.

一、人或数的问题

对排列组合问题的考查，多以人或数的问题出现，内容基础，题型常规，注重考查通性、通法.

例1 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（ ）个.

解法1（元素优先法） 根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有[C12A34]=48（个）；②含5不含0，共有[C13A34]=72（个）；③含0也含5，共有[C12C12A24]=48（个）；④不合0也不含5，共有[A44]=24（个）.所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192（个）.

解法2（位置优先法） 根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有[C14]种方法；第二步；排首位，有[C14]种方法；第三步：排中间两位，有[A24]种方法.所以符合条件的四位数共有[C14][C14][A24]=192（个）.

解法3（排除法） 数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数有[C15A35=300]（个），能被5整除的数有两类：个位数为0的有[A35=60]（个）；个位数为5的有[C14A24]=48（个）；故符合条件的四位数共有300-60-48=192（个）.

例2 6个人参加4×100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有（ ）种.

解析 本题为元素多于位置的情形，可按“含”或 “不含”某个元素进行分类：①甲、乙都不参加的安排方法有[A44]=24种；②甲参加而乙不参加时，可从余下4人中选3人有[C34]种选法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可从剩下的三人中选一人有[C13]种选法，余下三棒有[A33]种安排方法，共有[C34]·[C13]·[A33]=72种方法（或甲不跑第一棒时，可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有[C13]种方法，余下三棒有[A33]种安排方法）；③乙参加而甲不参加，同理有72种方法；④甲、乙都参加时，由题意有[C24]（[A33]+[A33]-[A22]）=60种方法（排除法）. 故共有24+72+72+60=228种安排方法.

解析（角色转换法） 将数字作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有[C29C37C44=1260]种不同的排法.

二、图形问题

此类问题主要有涂色、种植、共线、共面等.

例5 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点[A、B、C、A1、B1、C1]上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种.

解析 此例解法较多，在此用“分组”的方法求解.由于同一条棱的两端的灯泡不同色，故可将将六个顶点划分为四个“组”，然后再安装灯泡.由题意可分为九组：

例6 有3种不同种子种在如图所示的5块田中，每块种一种种子，为有利于作物生长，相邻两块田中种不同的种子，则有（ ）种不同的种法；如有6种不同种子，则又有（ ）种不同的种法.

解析 （1）按田块分类，可分为：1，24，35；13，24，5；13，25，4；14，25，3；14，35，2；15，24，3；135，2，4共七类，共有[7A33=42]种不同的涂法.

（2）按种子分类：种2种，可分为135、24两“块”，有[A26]种方法；种3种，由⑴知有[7A33]种方法；种4种，可分13，2，4，5；14，2，3，5；15，2，3，4；24，1，3，5；25，1，3，4；35，1，2，4六类，有[6A46]种方法；种5种，有[A56]种方法. 故有2952种不同种法.

三、工程问题

如分配、分组等问题.

例7 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种.

解析 分三种情形：甲、丙同去且乙不去，有[C25?A44]=240种选法；甲、丙同不去且乙去，有[C35?A44]=240种选法；甲、乙、丙都不去，有[A45=120]种选法.共有600种不同的选派方案.

例8 6本不同的书，按以下要求各有多少种分法.（1）平均分成三组；（2）分成1本、2本、3本三组；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）分给甲、乙、丙三人，一人拿1本、一人拿2本、一人拿3本；（5）甲得一本，乙得二本，丙得三本.

解析 （1）此为平均分组问题，共有[C26?C24?C223！][=15]种分法；（2）此为非平均分组问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法；（3）此为均匀不定向分配问题，先分组，再排序，共有[C26?C24?C223！·3！=90]种分法；（4）此为非均匀不定向分配问题，先分组，再排序，[C16?C25?C33?A33=360]种分法；（5）此为非均匀定向分配问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法.

四、其它问题

例9 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中，使得有一个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法有（ ）种.

解析 此例解法较多，此处用“隔板法”求解.先从4个盒子中选三个放置小球有[C34]种方法.注意到小球都是相同的，为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空挡中分别插入两个隔板，各有[C23]，[C24]，[C25]种方法.故共有[C34?C23?C24?C25]=720种不同的放球方法.

例10 设[ABCDEF]为正六边形，一只青蛙开始在顶点[A]处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到[D]点，则停止跳动，若在5次之内不能到达[D]点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）

A. 6 B. 8 C. 16 D. 26

解析 青蛙从[A]点开始，往相邻两个顶点[B]和[F]跳到[D]点的次数是相同的. 又青蛙第一次往[B]方向跳的跳法可用“树型图”表示如图. 由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）.

答案 D