三角函数诱导公式教案

三角函数诱导公式教案（精选10篇）

篇1：三角函数诱导公式教案

1.3 三角函数的诱导公式

贾斐

三维目标

1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点

教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时 教学过程 导入新课

思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能2不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究 提出问题

由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1 讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β180a,[90,180],=180a,[180,270], 360a,[270,360],提出问题

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与180°+α呢? 活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:

sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题

①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考: 任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即: sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果: ①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题

①下一步的研究对象是什么? ②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:

sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四: α+k²2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;

②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用

例1 利用公式求下列三角函数值:

(1)cos225°;(2)sin11;(3)sin(16);(4)cos(-2 040°).33 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=(2)sin11=sin(4π322;

3)=-sin=33;23(3)sin(16)=-sin16=-sin(5π+)33=-(-sin)=33;2(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6³360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=1.2点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练

利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(17π).3解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′ =cos(360°+150°15′)

=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2;(2)sin(17π)=sin(-3³2π)=sin=3333.2例2 2007全国高考,1 cos330°等于()A.1 B.1 C.223 2D.3 2答案:C 变式训练 化简:解:==12sin290cos430sin250cos790

12sin290cos430sin250cos790

12sin(36070)cos(36070)sin(18070)cos(72070)12sin70cos70|cos70sin70| sin70cos70cos70sin70sin70cos701.=cos70sin70例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°

=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)

=cos(-45°)1-sin45°+cos120°

2=cos45°1=221222222+cos(180°-60°)

-cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练

求证:tan(2)sin(2)cos(6)tan.(cos)sin(5)分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=tan(2)sin(2)cos(6)

(cos)sin(5)=tan()sin()cos()

(cos)sin()cossin=tansincos=tanθ=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练

课本本节练习1—3.解答:1.(1)-cos4;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6′.95点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)1;(2)1;(3)0.642 8;(4)2232.点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sinαcosα;(2)sinα.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结

本节课我们学习了公式

二、公式

三、公式四三组公式,24这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业

课本习题1.3 A组2、3、4.

篇2：三角函数诱导公式教案

1.教学目标

1、知识与技能（1）识记诱导公式．

（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．

2、过程与方法

（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．

（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．

（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．

3、情感态度和价值观

（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．

（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．

2.教学重点/难点

1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

3.教学用具

多媒体

4.标签

三角函数的诱导公式

教学过程

（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题 I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

1、提问：试叙述三角函数定义

2、提问：试写出诱导公式

（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征

4、板书诱导公式

（一）及结构特征：

（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）

6、引导学生观察演示

（一），并思考下列问题一：

课堂小结

课后习题

篇3：巧记三角函数诱导公式

三角函数诱导公式是初等数学教学中的重难点. 在平时的教学工作中发现, 学生总是记不住、或者记错. 因此, 寻求一种易于记忆的方法显得颇为必要.

2. 分析与准备

由于余割、正割、余切分别是正弦、余弦、正切的倒数, 从而符号也分别一致, 因此本文只研究正弦、余弦、正切这三种函数的诱导公式记忆办法.

设k∈Z, 先给出四组诱导公式:

观察这四组公式发现, 同名三角函数通过诱导公式转化后得到的仍然是同名三角函数, 并且除公式 (2.1) 符号保持不变外, 公式 (2.2) 、 (2.3) 、 (2.4) 与转化前相比只有符号的区别.也就是说, 掌握三角函数诱导公式的关键在于记住公式 (2.2) 、 (2.3) 、 (2.4) 的符号.

下面给出正弦、余弦、正切的定义:设P (x, y) 为角α终边上的一点, 为P到原点的距离, 则

由上述定义可见, 要判断三角函数的符号, 只需判断x, y或xy的正负, 其中正弦看纵坐标、余弦看横坐标、正切看横纵坐标的乘积.

再注意到应用公式 (2.1) , 可将任意角的三角函数转化为[0, 2π) 区间内角的三角函数;此时再应用公式 (2.2) 、 (2.3) 、 (2.4) , 又可将[0, 2π) 区间内角的三角函数转化为区间内角的三角函数.由此在暂不考虑界限角0和π2的情况下, 可设, 位于第一象限, 于是, , 分别位于第二、三、四象限.又因为在确定的象限中, x, y或xy的正负是确定的, 所以可借助象限来记住诱导公式的符号.

3. 记忆方法

设.由于在第一象限中横/纵坐标均为正值, 从而sinα, cosα, tanα均为正值, 于是只需判断π-α, π+α, -α所对应的正弦、余弦、正切的正负, 最后再对应添上sinα, cosα, tanα即可, 见表3-1.

由表3-1 所示最后三列与公式 (2.2) 、 (2.3) 、 (2.4) 的一致性可知, 利用象限记忆三角函数诱导公式是切实可行的. 具体步骤整理如下:

1) 设, 为第一象限角;

2) 正弦看纵坐标、 余弦看横坐标、 正切看横纵坐标的乘积, 根据 π - α, π + α, -α 所在象限确定横/ 纵坐标符号.

例化简: (α为第三象限的角) .

然后, 设, 则-α在第四象限, 余弦看横坐标, 横坐标为正, 因此cos (-α) =cosα.

最后又因题目告诉α为第三象限的角, 正弦看纵坐标, 纵坐标为负, 因此sinα<0, 从而,

注例题中先假设, 为第一象限角, 只是为了弄清楚cos (-α) 是等于+cosα还是-cosα, 这与题目要求α为第三象限的角并不矛盾;另外, 这里详细写出这一步骤是为了强调记忆诱导公式的过程, 在实际做题时不必写出.

4. 小结

通过观察正弦、余弦、正切函数的四组诱导公式发现掌握诱导公式的关键在于记住公式的符号;再由正弦、余弦、正切的定义知, 判断三角函数符号的关键在于确定横 纵坐标的正负;又因利用此四组诱导公式可将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 (在暂不考虑界限角的情况下) , 且锐角属于第一象限角, 于是利用确定象限横/ 纵坐标正负来记忆诱导公式. 实现了将难记之诱导公式转化为易记之象限坐标正负, 化难为易. 体现了转化思想的重要性及指导性.

摘要：为使常用三角函数之诱导公式简单易记, 且因掌握诱导公式的关键在于记住公式的符号, 而确定三角函数符号的关键在于判断在确定象限中横纵坐标的正负, 于是借助象限记忆诱导公式.实现了将难记之诱导公式转化为易记之象限坐标正负, 化难为易.

篇4：第14讲 三角函数及诱导公式

任意角的三角函数、同角关系及诱导公式是整个三角函数的基础，是解决三角函数所有题目的基本工具.这一讲需要学生掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求[y=Asin（ωx+φ）]的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.任意角的三角函数、同角关系及诱导公式是高考的重要内容之一，应熟练掌握.一般一个大题一个或两个小题，分值在5分到15分左右，多以选择、填空的形式单独考查，也可以同角三角函数图象和性质、解三角形、向量、参数方程等内容相结合，以解答题为主，重点考查的是公式的熟练运用，难度不大.同时也可考查数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想.

命题特点

从近几年高考看，本讲考小题重基础，考大题难度低，考应用融于三角函数之中，考综合体现三角的工具作用.趋势是：①试题的题型及难度将基本保持稳定，不会出偏题、怪题，一般会在选择填空题的靠前位置出现.②主要基础题型还是集中在考查三角函数定义、知值求值、知值求角、知角求值等.③新教材比较重视实际应用，所以要重视利用任意角的三角函数、同角关系及诱导公式解决其他相关三角函数综合题型，比如解三角形、立体几何、向量等.

备考指南

复习该节内容时应注意：

1. 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

2. 在求值与化简时，常用方法有：

（1）弦切互化法：主要利用公式[tanα=sinαcosα]化成正、余弦.（2）和积转换法：利用[（sinθ±cosθ）2=1±][2sinθcosθ]的关系进行变形、转化.（3）巧用“1”的变换：[1=sin2θ+cos2θ=cos2θ（1+tan2θ）=tanπ4=…].

3. （1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负[→]脱周[→]化锐.特别注意函数名称和符号的确定.（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

限时训练

1. 已知点[P（sin3π4，cos3π4）]落在角[θ]的终边上，且[θ∈[0，2π）]，则[θ]值为 （ ）

A. [5π4] B. [3π4]

C. [7π4] D. [π4]

2. 如果[1]弧度的圆心角所对的弦长为[2]，那么这个圆心角所对的弧长为 （ ）

A. [1sin0.5] B. [sin0.5]

C. [2sin0.5] D. [tan0.5]

3. [sin2cos3tan4]的值 （ ）

A. 小于[0] B. 大于[0]

C. 等于[0] D. 不存在

4. 计算[2sin（-600°）+3tan（-855°）]的值为 （ ）

A. [32] B. 1

C. [23] D. 0

5. 已知函数[f（x）=cosωx（x∈R，ω>0）]的最小正周期为[π]，为了得到函数[g（x）=sin（ωx+π4）]的图象，只要将[y=f（x）]的图象 （ ）

A. 向左平移[π8]个单位长度

B. 向右平移[π8]个单位长度

C. 向左平移[π4]个单位长度

D. 向右平移[π4]个单位长度

6. 已知[tanα]，[1tanα]是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根，且[3π<α<7π2]，则[cosα+sinα]= （ ）

A. [3] B. [2]

C. [-2] D. [-3]

7. 若[sin（π3-α）=14]，则[cos（π3+2α）=] （ ）

A. [-78] B. [-14]

C. [14] D. [78]

8. 已知函数[f（x）=cos（π2+x）+sin2（π2+x），][x∈R，]则[f（x）]的最大值为 （ ）

A. [34] B. [54]

C. [1] D. [22]

9. 已知锐角[α，β]满足：[sinβ-cosβ=15，tanα+tanβ][+3tanα?tanβ=3]，则[α，β]的大小关系是 （ ）

A. [α<β] B. [β<α]

C. [π4<α<β] D. [π4<β<α]

10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数，其中“同簇函数”的是 （ ）

①[f（x）=sinxcosx]；

②；[f（x）=2sin2x+1]

③[f（x）=2sin（x+π4）]；

④[f（x）=sinx+3cosx].

A. ①② B. ①④

C. ②③ D. ③④

11. 已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为 cm2.

12. 已知[α∈（π2，π），sinα=35]则[tanα]=_______.

13. 设集合[M=αα=kπ2-π3，k∈Z，][N={α|-π<α][<π}]，则[M∩N=] .

14. 已知[α]为钝角，[sin（π4+α）=34]，则[sin（π4-α）=] .

15. 已知[tan（π4+α）=2].

（1）求[tanα]的值；

（2）求[2sin2α+sin2α1+tanα]的值.

16. 如图，在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α，β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点. 已知[A，B]的横坐标分别为[210]，[255].求：

（1）[tan（α+β）]的值；

（2）[α+2β]的值.

17. 已知函数[fx=tan2x+π4].

（1）求函数的定义域与最小正周期；

（2）设[α∈0，π4]，若[fα2=2cos2α]，求[α]的大小.

18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=[12]（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为[2π3]，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

篇5：三角函数诱导公式

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

篇6：三角函数诱导公式

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

篇7：三角函数诱导公式-教学反思

《三角函数的诱导公式(一)》讲课教师:詹启发

根据学校教务处和数学教研组的教学工作安排,我于12月22日在高一(8)班讲授了一节《三角函数的诱导公式》公开课。现将本节课做得好与不好的地方总结如下: 本人自己感到满意之处有: 1.教学目标明确,符合新教材的教学要求和学生的认知水平及认知心理,目标设计体现了学科素养。

2.教学内容的设计上抓住了主干知识,把握了重点,突破了难点,注重了教学的条理性。情境导入方面,通过三个设问,激发学生的学习兴趣,鼓励和引导学生积极参与诱导公式的探索发现过程。演板题目设计典型,难度适中,有一定的效度。

3.运用课件讲授诱导公式,做到图文并茂,让学生能轻松地认知诱导公式,基本达到了预期的教学效果。

4.使用普通话教学,语言精练准确,不说废话。

5.学生学习兴趣浓厚,答题踊跃,自主、合作、探究学习的态度得以体现,获得了积极的情感体验。

但在教学过程中仍存在一些遗憾:上课时因为紧张没有在黑板上书写课题;教学中一下细节打磨不够,强调不够;板书较少;对做得好的学生缺少表扬等

篇8：三角函数诱导公式教案

新的一轮课改在我省已经开展有几个年头, 《数学课程标准》为数学教学树立了新的理念、提出了新的要求, 如何正确理解新课程理念, 正确把握教学观念的转换, 成为课堂教学中首先要思考和解决的问题.下面这个案例是在我校优质课评比中开设的一节公开课, 在教法、学法上我们做了大胆的尝试, 力求体现新课程理念和符合本校实际情况的一节课.

二、学情分析

知识方面

(1) 学生知识方面的优势

初中加强了对图形运动变换的认识, 理解图形平移、旋转的基本性质以及图形之间的变换关系 (轴对称、平移、旋转及其组合) .

(2) 学生知识方面的不足

学生的整体素质不高, 对于学习的态度和方法有待提高.

能力方面

(1) 学生能力方面的优势

具有一些较好的数学思维品质, 初中数学课程内容的学习, 强调学生的数学活动, 学生通过观察、实验、猜想、验证、推理等数学活动获取经验与知识.在学习方式上, 则强调学生动手实践, 自主探索与合作交流.问题设置则强调开放性、探索性和应用性.因而学生的思维具有较好的灵活性和广阔性.

(2) 学生能力方面的不足

运算能力薄弱.初中数学课标大幅度降低了对数与式的运算的要求, 对数值较复杂的运算大都采用计算器, 学生产生依赖心理对于简单的运算也采用计算器, 所以计算准确性差、速度慢.

三、教学过程

创设问题情境, 引入新课

(1) 课前小题训练:

设计理由: (1) 在我们学校数学组对于引入这一环节推行的是“小题引入, 逐渐过渡.学生动手, 教师引导”.

(2) 课前小题难度不大, 学生容易上手, 给学生一个施展的空间.引导学生对于数学的学习不产生畏惧心理.

(3) 小题能做到“前挂后连”, 即既能复习以往的内容, 又对本节课的学习有所帮助.

(4) 小题的有一定的拓展空间, 如, 第一小题可以接着问学生角α, β的终边还有那些特殊关系?角α、β之间又有着怎样的等量关系?第二小题要让学生知道任意三角函数值和点选取的位置无关只和终边所在的位置相关.第三小题实际是第二小题的反过程, 让学生清楚单位圆上的点的坐标可以用角的三角函数值表示.这些对本节课的学习都有着很大的帮助.教师:三角函数刻画了单位圆上点的变化规律, 我们可以想象, 它的基本性质和圆的几何性质有着内在的联系.我们知道圆有着重要的性质是对称性, 例如, 圆以圆心为对称中心的中心对称图形, 以任意直径为对称轴的轴对称图形等.这种对称性反映了三角函数的什么性质呢?这就是我们今天所要研究的问题.

学生活动, 尝试探索问题

问题1:已知α和β为任意角.如果α的终边与β的终边重合, 那么它们有什么关系?它们的三角函数又有什么关系?

学生2:如果α的终边与β的终边重合, 则α和β相差的只是“转的圈数不同”所以β=2kπ+α (k∈Z) .

教师:不错, 这实际是终边相同角的表示, 那三角函数有什么关系?

学生3:根据三角函数的定义知角的三角函数值与点的选取无关, 只和终边所在的位置有关, 所以角α和角β的三角函数值应该相等, 所以有sinβ=sinα, cosβ=cosα, tanβ=tanα

教师:问题1解决了若角α和β的终边相同, 它们的三角函数值之间的关系, 那么请学生思考角α和β的终边还有什么样的特殊关系?它们的三角函数值又有着什么样的关系?

学生4:关于y轴对称、关于x轴对称、还有关于原点对称.

教师:还有吗?

学生5:还有关于一三象限角平分线对称、二四象限角平分线对称

教师:好, 两位学生回答的都很好, 我希望其他的学生向他们学习, 下面我就给大家一个机会, 来展示一下你的实力.

教师:刚才我们研究了角α和β的终边相同有一组公式, 那你能根据角α和β的终边关于y轴对称、关于x轴对称、关于原点对称能得到什么样的公式?

教师:在探索之前, 你不妨猜猜有公式吗? (留给学生1-2分钟的思考时间再找学生回答)

学生6:应该有吧.

教师:形式是什么样的呢?

学生7:我还没有看出来, 但是应该能求出吧

教师:怎么求, 学生思考了一会 (教师并没有打断学生的思考) .

学生8:应该和第一个差不多吧

教师:那么大家按照这位学生说的求求看, 先研究角α和β的终边关于y轴对称, 所以我们得到问题2.

问题2:已知α和β为任意角.如果α的终边与β的终边关于y轴对称, 那么它们有什么关系?它们的三角函数又有什么关系?

学生9:α和β的关系应该是β=2kπ+ (π-α) , 这可以根据课前小题1得到.至于三角函数值有什么关系我没看出来.

教师:“其实, x=cost和y=sint是单位圆的自然的动态 (解析) 描述, 所以三角函数中的正弦、余弦是刻画了单位圆上点的变化, 我们是否可以借助单位圆来研究α和β的三角函数值之间的关系吗?

已经有学生在下面动手画了单位圆.

教师:角的终边的对称可以转化成什么的对称?

学生10:根据你刚才的提示和课前练习, 我知道了单位圆上的点可用角的三角函数值表示, 所以我选取了角α和角β的终边与单位圆的交点记为Ρ, P', 则P (cosα, sinα) , P' (cosβ, sinβ) , 又因为角α和角β的终边关于y轴对称可以得到

教师:很好, 大家给他点鼓励, 学生鼓掌.

教师:那正切函数呢? (有的学生在下面已经小声议论了, 并且有的说我知道)

教师:我们把这组公式称为诱导公式二.

教师:我们来回顾一下这个过程和步骤.

学生12:我觉着有这样几步 (1) 根据角的对称关系找到角的代数关系 (2) 作出单位圆求出角的终边与单位圆的交点坐标 (3) 利用对称找到坐标之间的关系经过化简即可.

教师:回答的很不错, 既然是这样学生按照刚才这位学生说的我们来看看关于x轴对称、关于原点对称能得到什么样的诱导公式, 等一会我们进行展示. (留5-6分钟, 让学生讨论)

教师:好的, 经过我们的共同努力得到了四组公式这也是本节课的教学内容——————诱导公式.大家再仔细回顾得到的过程.

教师:虽然我们得到了四组公式, 但是我还觉着好像还有点东西可能比公式本身更重要. (学生立刻静了下来) .

学生15:是不是过程和方法.

教师:当然过程方法很重要, 但是公式的本质是什么大家知道吗? (学生思考)

学生16:看不出来.

教师:大家想一下在公式得到的过程中我们用了谁的性质?

学生一起回答:单位圆的对称性.

教师:准确的说是圆的旋转对称性和轴对称 (用课件展示) .

教师:实际上诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述.这点希望大家知道.

教师:对于关于一三象限角平分线对称、二四象限角平分线对称的问题课后大家可以自己来探究方法大致一样.因为时间关系我们不在课堂上讨论.下面我们来看公式的运用.

设计理由: (1) 基于对于诱导公式的本质的理解, 诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述.也就是说, 它是三角函数的一条性质———对称性, 其几何背景是圆的旋转对称性. (2) 培养学生如何能够依据特定情境提出适当的数学问题, 所以对于问题3和问题4都完全交给学生自己提出问题并解决问题.

数学运用, 深化认识

设计理由: (1) 让学生理解公式并清楚利用公式可将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2) 熟悉求值的过程、步骤、原则———“负化正、大化小”. (3) 加强学生对特殊角的三角函数的记忆.

练习:

例2判断下列函数的奇偶性

解: (1) 因为函数f (x) 的定义域是R, 且f (-x) =1-cos (-x) =1-cosx=f (x) , 所以f (x) 是偶函数.

(2) 因为函数g (x) 的定义域是R, 且g (-x) =-xsin (-x) =-x+sinx=- (x-sinx) =-g (x) , 所以g (x) 是奇函数.

设计理由: (1) 复习函数的性质———奇偶性, 并复习判断奇偶性的方法和步骤. (2) 帮助学生巩固诱导公式.

练习:

回顾反思, 巩固拓展

教学小结

(1) 研究了什么问题

直角坐标系下角α, β角终边具有上面特殊关系, α, β角的三角函数值之间的关系.

(2) 采用了什么样的方法

将几何问题代数化 (“坐标法”思想的运用) , 用代数语言描述几何要素及其关系, 帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.

(3) 三角函数的诱导公式的本质是什么

是对称性的代数体现.

巩固拓展

拓展探究:上述问题可以归结为以下变换:

(1) 关于x轴的轴对称变换T1:θ→-θ, 单位圆上的点 (x, y) 经T1变换为 (x1, y1) , 有 (x1, y1) = (x, -y) , 也就是

在上述两种变换下, 我们可以得到所有诱导公式.

其余可以类推.显然, 在单位圆定义下, 用对称变换的思想研究诱导公式, 确实使问题简单了.事实上, 所有三角公式都可以这样来认识:终边相同的角的三角函数就是旋转2π的整数倍的旋转变换;诱导公式就是变换T1, T2及其合成;和 (差) 角公式就是旋转任意角的旋转变换.

设计意图:

(1) 基于教学小结的任务:一个是回顾、总结、反思所学习的内容与方法;另一个是拓展、深化、提出新的问题.

(2) 有助于学生站在新的高度认识本节课学习的内容, 有利于学生读数学本质的认识, 有利于对一节课有整体的认识.

四、总结与反思

本案例中主要以问题的形式串联课堂教学, 通过对问题的解决, 深入了解学生在数学学习过程中的真实思维活动.

本案例注意讲授式教学与探究式教学的有机结合.由于教学时间、教学进度、教学内容等条件的限制, 每堂课都进行探究式教学不太可能, 但是整节课采用“满堂灌”的方法显然我们是反对的, 因此在课堂上能探究的问题我们还是要坚持的.

篇9：诱导公式教法新理念

关键词： 三角函数 诱导公式 象限角 数形结合

三角函数在高中数学中占有非常重要的地位，也是高考的必考题型之一，而且大部分以中低难度的选择、填空或解答题形式出现，解答题一般与向量综合排在第十六至第十八题，这题的解题效率对后面的解题起到至关重要的作用.新课标中三角函数部分虽去掉了余切、正割、余割，但诱导公式依然是每次考试的点，准备无误地记住诱导公式是学好三角函数的必要条件。如何让学生快速高效地记住这些公式并灵活应用，以下是我在教学中总结出来的方法，事实证明，这种方法是行之有效的.

大多数老师会在给出诱导公式之后要求学生记忆，学生大都死记硬背，对数学而言，这是最不可取的记忆方法，而且诱导公式大多只是正负的差异，这种方法极易造成混淆.我认为诱导公式的记忆前期的铺垫工作是非常必要的，首先，引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义，进而用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数，由此得出三角函数所在象限的符号：正弦一、二象限正，三、四象限负；余弦一、四象限正，二、三象限负；正切一、三象限正，二、四象限负，图示为：

此时要求学生必须记住这三个三角函数所在象限的符号至滚瓜烂熟，采用的方法应该多样，比如定义法、图像法、不断重复等，也可用符号判断口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，第三象限内只有正切是“+”，第四象限内只有余弦是“+”.

记住了象限角的三角函数的符号，就等于记住了所有诱导公式.这个部分多花点时间，对后面公式的记忆可以起到事半功倍的作用.这时，可以让学生判断“当α为锐角时，2kπ+α、π+α、-α、π-α、π/2+α、π/2-α、3π/2+α、3π/2-α分别是第几象限的角？”到熟练为止.

其次，诱导公式部分，除了公式（一）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα由定义直接得到外，还有诱导公式（二）sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tanα

（三）sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα

（四）sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα，tan（π-α）=-tanα

（五）sin（2π-α）=-sinα，cos（2π-α）=cosα，tan（2π-α）=-tanα

（六）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=-sinα

抓住诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线y=x、原点等的对称性出发研究诱导公式，这样不仅与象限角的符号相呼应，而且让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式（数）与单位圆（形）紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且有利于学生对公式的记忆，减轻了学生的记忆负担，其中公式（五）由公式（一）与（三）结合得到，之所以给出，是因为其常用，而且掌握记忆方法之后公式再多都不是问题.当然，推导出这五个诱导公式后，还要将左边的α当成锐角，让学生判断左边的角属于哪个象限，结合相应象限角的三角函数符号，由学生自行得到右边的符号，看看是否一致，这样就更进一步加深对公式的理解与记忆.

学完五个诱导公式后，再给出“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，余弦变正弦；“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·（π/2）±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.

接下来，用口诀验证诱导公式（七）sin（π/2-α）=cosα，cos（π/2-α）=sinα；

再用诱导公式推导出公式（八）sin（3π/2+α）=-cosα，cos（3π/2+α）=sinα；

公式（九）sin（3π/2-α）=-cosα，cos（3π/2-α）=-sinα；用口诀验证.

接着，给出由诱导公式的变形填空题（只要在原公式上填上符号即可）.

（右边填正负号）

1.sin（-π+α）=sinα，cos（-π+α）=cosα，tan（-π+α）=tanα

2.sin（-π-α）=sinα，cos（-π-α）=cosα，tan（-π-α）=tanα

3.sin（-π/2+α）=cosα，cos（-π/2+α）=sinα

4.sin（-π/2-α）=cosα，cos（-π/2-α）=sinα

5.sin（-3π/2+α）=cosα，cos（-3π/2+α）=sinα

6.sin（-3π/2-α）=cosα，cos（-3π/2-α）=sinα

这些都可以在课内及时完成，用时不多，完成后同桌互改，或者用小测的形式老师收回，以分数的形式发还，这两种方法都能收到很好的效果.接下来让学生做有关诱导公式的练习，学生做起来便能得心应手，不用再做一道题目翻一次书，顺手了兴趣自然就来了，有了兴趣学习自然就不是问题了.

最后，用诱导公式的各类型练习题检验学生的灵活掌握程度.

1.tan690°的值为（A）

A.-■ B.■ C.■ D.-■

解：tan690°=tan（-30°+2×360°）=tan（-30°）=-tan30°=-■，此题主要是诱导公式（一）的应用.

2.已知sinα=■，α∈（■，■），则cos（π-α）等于（D）

A.-■ B.-■ C.■ D.■

解析：∵sinα=■，α∈（■，■），∴cosα=-■，

∴cos（π-α）=-cosα=■，故选D.此题是诱导公式（三）的应用及象限角正负号的判定.

3.若tan110°=k，则sin70°的值为（A）

A.-■ B.■ C.■ D.-■

解：解法一：k=tan110°=-tan70°，∴tan70°=-k>0，

∴cos70°=-■sin70°代入sin■70°+cos■70°=1中得，sin■70°=■，

∵k<0，sin70°>0，∴sin70°=-■.

解法二：∵k<0，sin70°>0，∴排除C、B，又|sin70°|<1，故排除D，此题是诱导公式（三）及三角函数平方和关系的应用，解法一直接，解法二快捷，其中排除法是选择题中常用的一种方法，可以适当培养学生这方面的解题思路.

4.若cos（2π-α）=■且α（-π/2，0），则sin（π-α）=（-■）.

解：由知cos（2π-α）=cosα知cosα=■，又α∈（-■，0），

故sin（π-α）=sinα=-■=-■.此题是诱导公式（三）（五）应用及象限角符号的判断.

5.若P（-4，3）是角α终边上的一点，则cos（α-3π）tan（α-2π）/Sin■（π-α）=（-■）.

解：由已知得sinα=■，原式=■=■=■=-■.

此题是三角函数定义及各诱导公式的综合应用.

6.化简■

■=■=■

=■=|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°

此题是诱导公式（二）（四）的应用.

7.求sin■1°+sin■2°+sin■3°+…+sin■8°+sin■89°+sin■90°值

解：∵sin■1°+sin■89°=sin■1°+cos■1°=1，

sin■2°+sin■88°=sin■2°+cos■2°=1，

sin■x°+sin■（90°-x°）=sin■x°+cos■x°=1，（1≤x≤44，x∈N）

∴原式=（sin■1°+sin■89°）+（sin■2°+sin■88°）+…+（sin■44°+sin■46°）+sin■90°+sin■45°=45+■■=■.此题是诱导公式（七）与三角函数平方和关系的综合应用.

8.（2012年福州质检）已知cos（α+■）=■，则sin（■-α）的值等于（A）

A.■ B.-■ C.■ D.±■

解析：sin（■-α）=sin[■（α+■）]=cos（α+■）=■，

此题通过诱导公式（七）的巧妙应用，化未知为已知.

9.若■=2，则sin（θ-5π）sin（■-θ）=（■）.

解析：由已知得■=2，∴tanθ=3，∴sin（θ-5π）·sin（■）=sinθcosθ=■=■=■.

此题充分利用三个三角函数之间的关系，再利用诱导公式（一）（三）（九），化繁为简，得解.

通过以上练习，大部分学生能灵活准确地掌握诱导公式，为后面的学习打下坚实的基础.

篇10：《三角函数的诱导公式》教学反思

本着培养学生学习数学的兴趣，逐步消除学生对数学的恐惧心理，让每个学生在课堂均有收获的原则，本节课设置的`内容相对容易，。本节课的学习目标是理解三角函数的诱导公式，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明;学习重点是掌握诱导公式，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式;学习难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

在课题研究阶段，为了培养学生对数学的兴趣，在课堂教学中尽量让学生成为课堂的主体，充分发挥学生学习的主动性，我们根据学生现状设置了导学案。导学案的知识预习和回顾部分设置以填空题为主，逐步引导学生了解本节课的重难点;课前小测部分设置的习题针对知识点设计一些较简单的习题，大部分学生通过自学就可以轻松完成，逐步树立学生的自信心，克服对数学的恐惧;合作探究部分这对本节课的教学重难点设置一些题目，学生通过自己的思考可以解决部分内容，然后通过小组合作探究完成全部内容，有部分难点解决不了的部分教师给于适当提示。通过本节课可以看出，经过一段时间的训练，大部分同学已经基本适应了这种模式，同学的积极性也慢慢调动起来，能够在小组交流活动中大胆发言，表明自己的观点，敢于在黑板前展示本组的探究成果，语言的表达能力和数学语言的准确性也得到了很大的提高;结合班级的加分制度，增强了小组之间的竞争意识，活跃了课堂气氛，调动了学生学习数学的积极性，学生成了课堂的主宰。

但在教学过程中仍存在一些遗憾：上课时因为紧张没有在黑板上书写课题，教师基本没有板书，没能对学生起到示范作用，这对高一学生来说是非常不利的;教师在授课过程中受传统思想的影响，不能做到真正放权，还是讲的多，对学生的评价不够及时到位;学生的板书不够规范，安排不够合理，在板演过程中有的小组没能写清题号和组名。