逆向思维与顺向思维的区别和哲理故事

逆向思维与顺向思维的区别和哲理故事（通用4篇）

篇1：加强培养和训练学生的逆向思维

传统教学中, 只注重正向思维, 局限于“顺推”, 把学生分析问题、解决问题的思路束缚在正向思维的胡同中, 不能灵活地转换思维的方向, 一旦遇到需运用逆向思维解决的问题便束手无策。例如:有一个中考题:在边长为9和6的长方形中, 如果, S1=S2=S3+S4, 求S4。评卷时发现一般学生都能正向解出, S1=S2=S3+S4=18, 此时求S4则可求S3 (即求AC与BC) , 而在已知S1=S2=18和长方形边长时, 利用逆向思维很容易求得AC与BC, 问题便可解决。但是, 由于学生逆向思维能力差, 不能灵活转换思维方向, 结果多数学生解题失败。

认真分析其失败的原因, 这里除逆向思维本身具有难度以外, 最主要的是教学中忽视培养和训练逆向思维的人为原因。教学中只习惯从正向分析, 缺乏从逆向分析的习惯。久而久之, 形成思维定势, 束缚了学生的思路, 降低了学生思维的转换能力, 使学生不能灵活地从正向思维转换到逆向思维。

怎样培养和训练学生的逆向思维, 才能使之具有灵活的思维转换能力呢?这就需要作较为长期、持久的努力, 需要从感知教材、理解教材、巩固知识、运用知识的整个教学过程入手。

一、利用教材的可逆知识, 加强逆向训练是培养和训练逆向思维的基础。一般概念都有前提、条件、结论, 当得出结论后还要适时地从结论向条件反认, 即从逆向角度进行反馈再认。

二、合理恰当地处理好教材是培养训练逆向思维的重要方面。教材的先后顺序如何安排, 突出什么, 怎样突出, 都和培养学生的逆向思维有关。例如:如果重点讲授乘法公式, 使学生明确公式右边的结果是怎样得来的, (a+b) (a-b) =a2-b2各自有何特点, 那么当学习因式 (a±b) 2=a2±2ab+b2分解时利用公式的逆向便是因式 (a±b) (a2±ab+b2) =a3±b3分解的公式, 这不但避免了公式的一个个推导讲解的繁琐过程, 而且能节省大量课时, 便于把时间集中在综合运用公式进行因式分解的难点上, 这些问题通过恰当处理教材可以得到解决, 使逆向思维得到重视, 得到发展。

三、从教材的系统性出发, 揭示知识的内在联系是培养和训练逆向思维的重要途径。数学知识是有严格组织的系统性知识, 教材的各部分知识不是孤立的, 而是互相联系的。教学中要揭示知识的内在联系, 有意识地利用可逆知识进行逆向训练。例如:小学数学中有关圆、圆柱、圆锥等相互间存在着密切联系。学生对正向思维很容易掌握, 如:已知半径R求直径D, 周长C, 面积S或已知半径R和高h求S侧、S表、V柱、V锥等正向思维问题都较容易, 对已知周长C和高h求S侧也较容易, 但求S表或V柱、V锥就困难的多了, 因为求底面积S时增加了一个求半径R的逆向思维过程。这类问题, 在小学教学中虽然超出课本的深度, 但这类知识并不超越学生的实际, 如果指明正逆, 把知识的这些内在联系搞清楚了, 既能扩充知识面, 又能培养逆向思维, 提高分析问题、解决问题的能力, 提高思维的灵活性。

教育心理学研究表明:学生分析问题的能力主要指对事物之间关系的觉察, 这种觉察越敏锐, 越容易产生正迁移, 反之学生对事物之间的关系觉察就越迟钝, 产生正迁移也越困难。利用知识的系统性揭示知识的内在联系有利于学生从“正”“逆”两个方向去觉察、认识知识和了解各部分知识之间的联系, 为产生正迁移奠定良好的基础。

篇2：逆向思维与顺向思维的区别和哲理故事

一、原电池和电解池的学习比较

原电池和电解池是电化学知识的两个重要组成部分, 二者是相互独立的, 又是相对和相互联系的, 采用对照的方法是理解掌握好这部分知识的一个行之有效的方法。

(一) 原电池

1. 定义:将化学能转化为电能的一种装置。

2. 原理:将氧化-还原反应中的氧化反应和还原反应分开在两极进行从而在外电路中产生电流的过程 (自发进行) 。

3.构成条件: (1) 两个活泼性不同的电极; (2) 电解质溶液; (3) 形成闭合回路 (或在溶液中接触)

4. 电极判断:负极发生氧化反应, 是电子流出的一极, 一般是比较活泼的一极;正极发生还原反应, 是电子流入的一极, 一般是较不活泼的一极。

5. 电极方程式的书写: (如氢氧硫酸燃料电池)

负极:2H2—4e-=4H+ (氧化反应) ;

正极:O2+4H++4e-=2H2O (还原反应) ;

总反应方程式:2H2+O2=2H2O

(二) 电解池

1. 定义:把电能转变为化学能的装置。

2. 原理:在直流电的作用下, 电解质 (或电极) 在阴、阳两极上分别发生还原反应和氧化反应的过程 (非自发) 。

3. 构成条件: (1) 直流电源; (2) 两个电极; (3) 电解质溶液形成闭合回路

4. 电极判断:阴极发生还原反应, 与电源负极相连, 是电子流出的一极。

阳极发生氧化反应, 与电源正极相连, 是电子流入的一极。

5. 电极方程式的书写: (如用铂电极电解NaCl溶液)

阴极:2H2O+2e-=2OH-+H2↑ (还原反应)

阳极:2Cl--2e-=Cl2↑ (氧化反应)

二、逆向分析, 难点突破

原电池是将自发进行的氧化还原反应中的化学能转化为电能的过程;而电解池是利用低压直流电的强制作用使非自发进行的氧化还原反应的得以发生, 从而使电能转化为化学能的过程。在一定的条件下, 二者具有可逆性, 解题时利用这一性质, 可以化难为易, 顺利求解。

例1:天津是我国研发和生产锂离子电池的重要基地, 锂离子电池正极材料是含锂的二氧化钴 (LiCoO2) , 充电时LiCoO2中Li+迁移并以原子形式嵌入电池负极材料 (C6) 碳中, 以LiC6表示, 电池反应为, 下列说法正确的是:

A.充电时, 电池的负极反应为LiC6-e-=Li++C6;

B.放电时, 电池的正极反应为Li++CoO2+e-=LiCoO2;

C.羧酸、醇等含活泼氢的有机物可用作锂离子电池的电解质;

D.锂离子电池的比能量 (单位质量释放的能量) 低。

解析:充电时蓄电池起电解池的作用, LiCoO2中Li+迁移到阴极得电子并与C6结合形成LiC6, 阴极反应为Li++e-+C6=LiC6, A错;放电时形成原电池, 电极反应式与电解时恰好相反, 在正极CoO2得电子与Li+结合, 反应式为Li++CoO2+e-=LiCoO2, B正确;锂为活泼金属, 易与羧酸、醇等含活泼氢的有机物反应, 故不能用作锂离子电池的电解质, C错;锂的相对原子质量很小, 在金属中密度最小, 故单位质量释放的能量高, D错;答案选B。

篇3：逆向思维与数学解题

关键词：逆向思维,数学解题,思维

逆向思维是指与常规正向思维方向相反的思维过程,即通常所说的“倒着想”或“反过来想一想”,是一种创造性的思维方式,体现了思维的灵活性、敏捷性.

1.逆转运算 ,提高解题技巧

数学中有众多定理、公式,并且形式多样,若能对其作恰当的变形或逆用公式等逆转运算, 则不仅有利于深入领会知识,而且能达到解题灵活、迅速,提高解题技巧的目的.

例1:设x,y∈R,且|x|<1,|y|<1,求证:(第19届莫斯科竞赛题).

分析与证明:初看题目,感觉条件简单,似乎与结论联系不大,但仔细观察结论的结构,又具有内在的规律.

因为|x|<1,|y|<1,故|xy|<1,

上述证明中逆用了无穷递缩等比数列求和公式, 过程自然、简洁,凸显了逆转运算的重要性和魅力.

例2:化简.

分析与解答:本题涉及复杂的运算,若作顺向运算,无从下手,问题不易解决,但作逆向思考,却能取得良好的效果.

对于方程,由于判别式△=1-4×4<0,因此方程没有实数根 , 于是方程 有且只有 一个实根 , 即1.

上述解法将要求化简的量看做已知量,逆转了运算,经过变形、整理、化简,简单明了地得到了问题的解答,出奇制胜,别开生面.

2.逆转结构 ,寻找解题方法

数学解题中,有些题目结构甚为复杂,直接求解很难(解题繁琐、思路难觅、解题很慢),倘若作逆向思考,可运用关系映射和反演对其结构进行逆转,从问题结构的调整、简单化中去打开思路,寻找到解决问题的方法,从而使解题过程化繁为简,化难为易,变慢为快.

例3:求函数的极值.

分析与解答: 本题的常规做法是利用三角恒等变换或判别式直接求解,但均繁琐冗长.现在我们将代数、三角问题转变成平面几何,解析几何问题,通过结构的逆转,心算即可得出结果.

例4:a是实数,若二次方程无实数根,则实数a应满足什么条件?

分析与解答:若按题意,用复系数一元二次方程的相关知识作答很繁难.若将其逆转结构,将复系数方程结构转化为实系数方程结构较易得到解决.

上面两个例子的解法均打破常规思路, 在逆转结构中找到解题思路,一目了然.

3.逆转主元 ,探索解题途径

数学中部分问题构思巧妙,若按常规思路,思考集中在某些显然的“主元”上,往往陷入僵局.这时不妨调换“主”与“客”的地位,即变“主元”为“客元”,“客元”为“主元”,往往能取得不错的效果.

例5:已知k为正整数,当且仅当k取什么值时,方程kx2-2(1-2k)x+4k-7=0的根中至少有一个为整数 ?

分析与解答:若按常规思路,一般先求出方程的根

再对参数k分情况进行讨论,找出满足条件的k值.由于搜索范围很大,讨论十分繁琐.如果对换原方程中的x和k的地位,把k视为“主元”,用x表示k,可简化讨论.

原方程经整理得(x+2)2k=2x+7. 经检验 ,x=-2不是原方程的根,则可得

由k为正整数,有,即x2+2x-3≤0;所以-3≤x≤1,由此知x的整数值只可能是-3,-1,0,1,所以只要对 (5.2)式进行讨论:

当x=-3时k=1;当x=-1时k=5;当x=0时k=7/4;当x=1时k=1

所以,符合题意的k值是1或5.

上述解法另辟蹊径,通过逆转主元,找到了解题捷径.

4.逆 转角度 ,另辟解题捷径

“横看成岭侧成峰 ,远近高低各不同”,说明从不同角度出发,看到的事物就不同.同理,在数学解题中,也不能局限于单方面考虑问题,多方面、多角度分析才能认清问题的本源,开辟新的解题捷径.尤其是人们思维的习惯大多是正面的、顺向的,而部分题目顺向难以认清问题的本质,此时不妨逆转思考的角度 ,转换思维 的切入点 ,也许会柳 暗花明 ,收获意外 的惊喜.

例6:整数1,2,…,n的排列满足:每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数. 试问有多少个这样的排列? (1989年加拿大竞赛题)

分析与解答1:本题的常规做法是通过建立递推关系来计算.设所求的排列个数为an,则an=1.

如果n排在第i位,则它之后的n-i个数完全确定,只能是ni,n-i-1,…2,1.而它之前的i-1个数 :n-i+1,n-i+2,…n-1,有ai-1种排法,令i=1,2,…,n得递推关系.

题目是解出来了,但无论是分析还是运算都复杂化了,也不易被掌握.下面转换角度,从末尾位置作分析,也许会深入问题内部,开辟新的解题捷径.

分析与解答2:由于每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数,则最末一位数字只有两种排法n或1,否则不符合题意.如此类推,从后往前,每位都有两种排法,直到最后一位只剩一个数字只有一种排法,所以可知an=2n-1.

对比上述两种解法,虽顺向思维也可解答该题,但转变分析的角度后,能更清晰地反映问题的本质,即序列长度每增加1排列个数就变为原来的2倍 , 也充分挖掘了题目中所渗透的递归思想,而这恰恰是顺向思维缺失的.多角度分析问题,在解题的同时达到锻炼思维的目的, 不仅有利于今后的数学解题,还能培养计算机编程中所需的思维方法.

篇4：逆向思维与问题解答

一、在概念和性质中贯穿逆向思维能力

数学的本质是研究现实世界的数量关系与空间形式的一门学科,而概念是经过长期实践积累在人们头脑中反映出来的客观事物的本质属性.因此,数学课程中的所有概念都是人们头脑中形成的现实世界的数量关系和形式的本质属性.概念通常是一句话的总结形式,很多时候,教师在讲解概念时,会直接把概念的内容写在黑板上,让学生凭着理解去记忆,这种常用的方式可以帮助学生记住一个概念的文字意义,但很多时候对学生的思维能力根本锻炼不了.那么,在认识数学概念的时候,不妨从“逆向”的角度去思考,挖掘概念中所包含的隐性条件和性质,能更深层次地理解概念的本质.

比如,我们在学习“映射”这一概念时,教师可以这样引导学生:假设A→B是集合A到集合B的映射,则集合A与集合B中的各个元素的对应情况会是什么样?经过老师的引导,学生就可以得出这样的结论,即集合A中所有的元素没有剩余,其中的每一个元素对应到集合B中都有唯一存在的一个象,而集合B中的元素还可能有剩余,即集合B中的元素在集合A中找不到原像;因此,映射的对应的形式可能是“一对一”,或者“多对一”,但绝不会是“一对多”的形式.

在概念知识的学习中融入逆向思维能力的锻炼时,教师的引导作用很重要,在引导过程中,既要注意由此及彼,也要注意由彼及此,让学生对概念本质的辨析更加清楚,能更加透彻地理解概念,从而使学生培养双向考虑问题的习惯.

二、在公式中融入逆向思维能力的锻炼

数学教材中的公式数量很多,能不能对数学公式熟练掌握并且运用到解题过程中,是学习数学的核心问题,对公式进行正向思维的理解运用是教学中常见的模式,除此之外,还要加强学生对公式的逆向运用.

要灵活地运用公式,首先要对公式有深刻的印象,在记忆公式时,不仅要从正面角度去记忆,还要学会进行“逆记”和“逆写”.其实,无论是记忆数学概念,还是数学公式,都要理解记忆,而不是单纯地死记硬背.对于一个公式,要学会从左到右找出特点,也要学会从右到左进行思考.比如常见的一些三角公式,余弦变正弦、升幂等,都是从左往右进行变化得到的;而正弦变余弦、降幂等,都是从右往左进行公式的推导过程.学生在学习过程中只有熟悉公式正向逆向变化的特点和作用,才能得心应手地运用各种数学公式进行习题解答.

多进行公式的练习是巩固数学知识的重要方面,在公式的应用中,不仅要做一些公式的正向练习,也要作相应的逆向练习.

如,已知方程.当m为何值时,方程两根之差的绝对值最小?最小值是多少?

学生常用的方式是将两个根解出来,根据具体的数值进行问题的解答,这种方法可以解决问题,但很明显增加了运算量,使解题过程变得更加复杂.但是如果我们学会逆用公式,问题就可以很快地解决.

解答过程如下:

因为x2-2x-(m2-m+1)=0

所以α+β=2,α·β=-(m2-m+1)

因为

所以当m=时,|α-β|有最小值.

相应的例子有很多,比如,若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2,求a的值.

若根据不等式的性质3,从逆向进行分析则可以得到:a-1<0,且a2-2=2(a-1).因此可以得出a的值为0.

学生在学习过程中常常遇到这样的情况,一个公式从左至右往往能很熟练地应用,但是反过来运用时,就会比较生疏和陌生,甚至不知道该从何下手.这给数学教学提出一个重要的方向,就是进行逆向教学是十分必要的.

三、加强反例的应用

构造反例是教学过程常用的一种推理方法.当我们解决一个数学难题时,就可以举一个简单的例子进行一下必要的验证,再验证思路是否正确,这也是思维严密的一种体现.当然,利用反例法不是只为了去验证一个命题是为真还是为假,更重要的是让学生学会用相反的方向思考问题,让学生了解一种思考的方式,从而能在以后的解题过程中举一反三,得到更多的锻炼.

比如,一个命题如下:若x、y为无理数,则xy也为无理数.要看这个命题是不是成立,最简单的方法就是举出一个反例,例如,当,但此时xy=2,为有理数.

在数学教学的过程中,反例数不胜数,课堂上的任何阶段都可以进行反例的证明.例如一个命题:如果直线a平行于平面α,则直线a平行于平面a内的任何一条直线.要证明这个命题为假,只需要在平面a内找出和直线a为异面直线就可以推翻这个命题.

四、证明求解过程中运用反证法

反证法是逆向思维的一种重要应用,在实际证明求解过程中常常用到反证法进行解答.反证法的步骤是提出一个与结论截然相反的假设,然后对这个假设进行推导验证,最终得到这个假设与现有的公理、定义、题设或定理内容是矛盾的,这样,就可以证明新的假设是不成立的,从反方向肯定了原先得到的结论是正确的.

比如,证明正弦函数的最小正周期是2π这一问题上,假设有一个正数T是正弦函数的周期,T小于2π.由于周期函数具有的性质可以得到,在定义域内,都有sin(x+T)=sinx,若取,可以得到,即cosT=-1.另外,由余弦函数的定义可以得到,当r=(2k+1)π(k∈Z)时上述等式成立,也就是说,无论k取任何整数,都有T=(2k+1)π(k∈Z),这与假设的条件中T的范围有冲突,因此,就可以证明原先的答案是正确的,即正弦函数的最小正周期是2π.

在习题的教学中,教师若能有意识地在课堂上讲解一些与学生原本所具有的认知相冲突的范例,则可以打破根深的思维定式的消极影响,从而积极开拓学生逆向思维的思路.

举个实例,某市有100名学生参加围棋比赛,采用输一场就被淘汰的比赛制度,轮空的选手就是胜者,每场比赛都需要分出胜负,问题是:共需要进行多少场比赛,才能选出最终的冠军?

拿到这个题目,若从正面去直接求解,计算过程很繁复,极其容易出错.但换个思路,若从目标的反面着手就容易得多,也就是要计算产生99名被淘汰者的所需要的比赛场数.由此可以得到这样的解题思路:按比赛规则,每比赛一场一定产生一名被淘汰者,以巩固有100人参赛,冠军只有一人,因此,相当于要产生99名被淘汰者,由此可以计算出共需要比赛99场.

在解题过程中,一般都是由所给条件直接向结论逼近,但有些问题,特别是几何问题,需要改变思考的角度,经常要从反面去考虑,或者从结论要成立所必须具备的条件去考虑,以获取解题的突破和简捷的方法.

五、对教学问题的逆向转换

数学课程中,任何一个顺向的问题都可以转变成为逆向问题,而且一个问题的条件越多,也就能改变成为更多的逆向问题.比如,学校的体育室有23副跳棋,倘若借出15副,同时又新添12副,请问这时体育室里还有几副跳棋?这是一个简答应用题,按顺向的解题思路可以得出相应的数量关系,即原有的-借出的+新添的=现有的.但同时也可以将原先的问题进行转化,转化成为:学校体育室里有一些跳棋,借出15副,同时又新添12副,此时体育室里有20副跳棋,问:体育室里原来有几副跳棋?同样的解题方式,可以得到问题转换之后的数量关系,即原有的-借出的+新添的=现有的.回归到新的问题上,数量关系也需要进行转换,变为:现有的-新添的+借出的=原有的,才能真正将问题解决.

在教学过程中,不失时机地组织学生进行数学问题的逆向转换,有助于扩展他们的认知领域,培养思维的灵活性.

六、重视反常规运算

很多时候,以退求进,反而容易取得成功.例如,在代数的化简求值应用中,进行运算的手段有很多,比如合并同类项,约分、通分相加减,分母有理化,和差化积等,这些都是常见的解题方法.一般都能将问题解答清楚.但是有的问题如果能反过来思考解题,比如单项式分项,乘除因式和分子有理化等手段,也能使问题得到很快的解决.在教学过程中要加强这些方面的训练,这也是培养学生的逆向思维的重要手段.例如,在复数范围内解方程x3+6x-7=0.对x3+6x-7=0进行分解因式时可以引导学生从另外的思维角度去思考,从合并同类项相反的方向去思考,将-7分裂为两个数的和.即:x3+6x-7=x3+6x-1-6=(x3-1)+(6x-6).同时,这道题也可以将6x进行分裂成一个正项和一个负项的代数和,即x3+6x-7=x3-x+7x-7.

这两种不同的分裂方法经过因式分解和提取公因式,都可以得到同样的结果.即:(x-1)(x2+x+7)=0.这样就可以得到该题的正确答案.即x=1,