数学逆向思维的例子

数学逆向思维的例子（精选18篇）

篇1：数学逆向思维的例子

图形变换的反问题

△ABC中，AB

分析：我们曾经把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180°，本题正好相反。由此得到启发，再应用等腰梯形的性质，得到如下做法：

作AD⊥BC，垂足为D点，在BC上截取DE=BD，连结AE，则∠AEB=∠B.

过AC中点M作MP∥AE，交BC于P，MD就是所求的剪切线。剪下△MPC，可以拼成等腰梯形ABPQ.

篇2：数学逆向思维的例子

解这一题目，假设买来的100张都是2角邮票，那么总钱数应为：2×100=200(角)=20(元)。

可实际上小远只花了17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票。若有一张1角邮票，总钱数就相差1角。

由此可求出1角邮票张数为：3元=30角，30÷1=30(张)。

篇3：数学逆向思维的例子

一、在课堂数学命题教学中不断发展学生的逆向思维

数学命题是数学知识的主体, 数学命题的教学是数学教学的一个重要组成部分。数学命题包括定义、公式、公理、定理、法则等, 数学命题教学的基本任务是使学生认清命题的题设与结论.如果把命题的题设与结论交换, 那么所得到的命题就是它的逆命题, 但一个正确命题的逆命题不一定正确, 在课堂教学中可根据具体的教学内容进行正逆向思维训练, 帮助学生正确地理解与运用命题来解决问题。

(一) 运用定义来进行逆向思维训练.

作为定义的数学命题, 其条件与结论是等价的, 可互相推出, 即定义可以正用, 也可以逆用.

例:“互为余角”的定义教学中, 可采用以下形式:

∵∠A+∠B=90°

∴∠A、∠B互为余角 (正向思维)

∵∠A、∠B互为余角

∴∠A+∠B=90° (逆向思维)

如“方程的解”这一概念, 它就包含了以下两方面的特征:“凡使方程左右两边的值相等的未知数的值, 就是方程的解”与“方程的解就是使方程左右两边的值相等的未知数的值”.

例: (1) a、b是方程x2+3x-7=0的两个根, 求a2+b2的值.

(2) 已知a≠b, 且a2+3a-7=0, b2+3b-7=0, 求a2+b2的值.

(2) 由方程根的定义知, a、b是方程x2+3x-7=0的两根, ∴a+b=-3, ab=7, ∴a2+b2= (a+b) 2-2ab=23.

这两题运用一元二次方程根与系数的关系不难求得, 但就其思维过程来说: (1) 是逆用定义, (2) 是正用定义.

(二) 运用公式进行逆向思维训练.

数学中的许多公式、法则都可以用等式表示, 等式具有双向性, 既可以用左边的式子替换右边的式子, 又可以用右边的式子替换左边的式子。在代数中公式的逆向应用比比皆是, 但大多学生只会从左到右顺用公式, 对于逆用, 尤其是利用变形的公式不习惯.因此, 当讲授完一个公式及其应用后, 紧接着举一些公式的逆应用的例子, 可以给学生一个完整、立体的印象, 开拓思维空间.事实上, 如果能够灵活地逆用这些公式, 解题时就能得心应手, 左右逢源.

例:幂的运算性质am·an=am+n, (am) n=amn, (ab) n=anbn, am÷an=am-n这几个公式, 如果能够反向运用它们, 就能达到简化运算的目的.

(1) 若am=2, an=7, 则am·an=2×7=14

(2) 已知3m=6, 9n=2, 则32m-4n= (3m) 2÷ (32n) 2=62÷22=9

这样不但培养了学生的逆向思维, 而且使学生对所学知识有一个完整的印象, 避免学生所学知识的呆板和单一化.

例:平方差公式: (a+b) (a-b) =a2-b2从左到右属于整式的乘法, 从右到左属于因式分解.

逆向运用平方差公式 (因式分解) , 不仅提高了运算的速度, 而且准确率高, 使问题简单化.

(三) 运用定理进行逆向思维训练.

数学中的定理有的不可逆, 如“对顶角相等”, 其逆命题“相等的两个角是对顶角”就是假命题.但许多定理的逆定理也是成立的.例如, 平行线的性质定理与判定定理, 勾股定理及其逆定理, 平行四边形的性质及判定定理, 等腰三角形的性质及判定定理, 等等.在教学中, 对某些重要定理的可逆性进行探讨, 有利于加深对知识的理解, 也有助于逆向思维能力的提高.

例:如图, 在四边形ABCD中, AB=3cm, AD=4cm, BC=13cm, CD=12cm, ∠A=90°.求四边形ABCD的面积.

解:联结BD

在Rt△BAD中, 由勾股定理得:BD=5cm

本题运用了勾股定理与它的逆定理, 这两个互逆的定理体现了数形之间的联系, 在课堂教学中应作为典型例题进行分析讲解.

二、在课堂中利用“逆向变式”训练强化学生的逆向思维

“逆向变式”即在一定的条件下, 将已知和求证进行转化, 变成一种与原题目似曾相识的新题型.

例:不解方程, 请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况.可变式为:已知关于x的方程2x2-6x+k=0, 当k取何值时, 方程有两个不相等的实数根?经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练, 创设问题情境, 对逆向思维的形成起着很大作用.

例:如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于D, 求证:AC2=AD·AB.

对于此题, 我们可以反过来, 在△ABC中, CD⊥AB于D, 且AC2=AD·AB, 求证:∠ACB=90°.

三、教学中通过各种数学运算的训练不断地促进学生的逆向思维

数学中的各种运算总是正逆交替成对出现的, 而且可以相互转化.如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方, 等等.加强正逆运算的转化训练, 不但可以简化思维过程, 准确理解各种运算的实质, 还可培养学生的逆向思维.

分析:由结构特征发现每一个分数可逆用分数的加、减运算法则分裂为两个分数的差.

四、在几何命题的证明教学中教会学生逆向思维

数学的基本方法是教学的重点内容, 其中的几个重要方法:如逆推分析法、反证法等都可看做是培养学生逆向思维的主要途径.

(一) 加强分析法教学, 培养学生的逆向思维.

分析法是一种执果索因的逆向思维方法, 其推理方向是由结论到题设, 论证中步步寻求使其成立的充分条件, 如此逐步归结到已知或已成立的事实, 命题便获证.该方法分析问题时要求学生养成“要证什么, 需证什么”的思维方向, 用它可以缩短已知和未知间的距离, 便于寻找解题的途径.在数学证明中, 按逻辑推理顺序和要求来说, 应从题设条件出发, 根据已知的定理和事实逐步推得要证明的结论.但从解题策略的角度来看, 除了简单的情形, 这种方法并非上策.因为在一定的已知条件下, 由已知的概念、定理和法则出发, 可以推出的结论往往很多, 要从中找到我们所需要的结论, 往往很难, 而且还易节外生枝, 误入歧路。若反其道行之, 从要证明的结论出发, 往回追溯题设条件, 一般情况下, 都比较容易找到通往题设条件的途径, 再反过来依此途径便可完成一个由条件到结论的相应证明.这就是建立在逆向思维原则上的分析法的精神实质.

例:已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, 以AC为直径的圆O交BC于D.求证:BD=CD.

分析:本题可由结论来寻找条件, 由于AB=AC, 若BD=CD, 由等腰三角形的性质 (等腰三角形的三线合一) , 可知道AD就是△ABC底边上的高或顶角的平分线, 从而考虑联结AD, 由条件AC为⊙O直径即可证明.

例:已知:如图, 梯形ABCD中, AD∥BC, AC与BD相交于O点, 过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E.求证:OC2=OA·OE.

(二) 加强反证法教学, 培养学生的逆向思维.

反证法是一种假设结论的反面成立, 在已知条件和“否定结论”这个新条件下, 通过推理得出与题设、公理、定理矛盾的结论, 从而断定假设不成立, 原命题的结论一定正确的证明方法.很多直接证明很困难的题目, 用反证法可以得到很好的解决.适当地运用反证法, 既能提高解题的灵活性, 又能培养思维的活跃性, 促进思维的发展.

例:求证:两条直线相交只有一个交点.

已知:两条相交直线L1与L2, 求证:L1与L2只有一个交点.

分析:想从已知条件“两条相交直线L1与L2”出发, 经过推理, 得出结论“它们只有一个交点”是很困难的, 因此可以考虑用反证法.

证明:假设L1与L2不止一个交点, 不妨设L1与L2有两个交点A和B, 因为两点确定一条直线, 即经过点A和B的直线只有一条, 与已知两条直线相矛盾.所以两条直线相交只有一个交点.

综上所述, 在初中数学教学中, 根据不同的教学内容有目的、有计划地对学生实施逆向思维训练, 逐步培养和发展学生的逆向思维能力, 掌握解题的技巧, 能使学生轻松应对数学学习, 学习能力也会逐步提高.

摘要：逆向思维法是指为实现某一创新或解决某一因常规思路难以解决的问题, 而采取反向思维寻求解决问题的方法。逆向思维是数学思维的一个重要组成部分, 是进行思维训练的载体。在初中数学课堂教学中注重并加强学生从正向思维转向逆向思维的培养, 能有效地提高学生思维能力和创新意识。本文作者从数学命题 (概念、公式、定理) 的教学中不断发展学生的逆向思维, 在“逆向变式”习题训练中强化学生的逆向思维, 在数学运算教学中促进学生的逆向思维, 在几何命题证明的教学中教会学生逆向思维等方面, 阐述了课堂教学中如何加强数学逆向思维能力的培养。

关键词：初中数学,课堂教学,逆向思维,培养

参考文献

[1]罗吉尔, 冯奥赫.创造学思想录.

篇4：数学中的逆向思维

在这个事情中，小明的做法之所以得当巧妙，就是因为小明没有依照常规的程序拍照，因为这样操作后必定会产生大家不希望见到的结果，于是小明运用逆向思维反其道而行之，让大家把睁着眼睛等待变成闭着眼睛等待，从而巧妙回避了眼睛因疲劳而产生的不良结果。同样在数学解题中，逆向思维是我们经常用到的一种重要策略，当一些问题按照常规思路解答不是很顺利时，我们自然就会想到正难则反，就是不妨把问题倒过来想，这样往往会有柳暗花明、眼前一亮的效果。

同学们，运用数学中的逆向思维，你能回答下面的问题吗？

某市为进一步推进全民健身运动的发展，特组织了有2007名男女运动员参加的乒乓球单打比赛，比赛采用淘汰制，最后分别产生男、女单打冠军，问共需安排多少场比赛？

篇5：关于逆向思维的例子

孩子不愿意做妈妈留的课外作业，于是妈妈灵机一动说：“儿子，我来做作业，你来检查如何?”

孩子高兴的答应了，并且把妈妈的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给妈妈讲解了一遍。

只是他可能不明白为什么妈妈所有作业都做错了。

篇6：逆向思维关于名人的例子小故事

爱迪生发明留声机

大发明家爱迪生一生发明了留声机，而留声机是他发明中颇有影响。是他发明最得意的作品之一，把声音留住、重放本身就是一种逆向思维。

篇7：逆向思维关于名人的例子小故事

据说，逆向思维可以使人年轻。每个人都要走向明年，明年会比今年大一岁，所以今年比明年年轻一岁。对于老年人，这样的逆向思维，可以让人越活越年轻;对于年轻人，则可以珍惜时间，更加努力。

我国古代有这样一个故事，一位母亲有两个儿子，大儿子开染布作坊，小儿子做雨伞生意。每天，这位老母亲都愁眉苦脸，天下雨了怕大儿子染的布没法晒干;天晴了又怕小儿子做的伞没有人买。一位邻居开导她，叫她反过来想:雨天，小儿子的伞生意做得红火;晴天，大儿子染的布很快就能晒干。逆向思维使这位老母亲眉开眼笑，活力再现。

在创造发明的路上，更需要逆向思维，逆向思维可以创造出许多意想不到的人间奇迹。

洗衣机的脱水缸，它的转轴是软的，用手轻轻一推，脱水缸就东倒西歪。可是脱水缸在高速旋转时，却非常平稳，脱水效果很好。当初设计时，为了解决脱水缸的颤抖和由此产生的噪声问题，工程技术人员想了许多办法，先加粗转轴，无效，后加硬转轴，仍然无效。最后，他们来了个逆向思维，弃硬就软，用软轴代替了硬轴，成功地解决了颤抖和噪声两大问题。这是一个由逆向思维而诞生的创造发明的典型例子。

传统的破冰船，都是依靠自身的重量来压碎冰块的，因此它的头部都采用高硬度材料制成，而且设计得十分笨重，转向非常不便，所以这种破冰船非常害怕侧向漂来的流水。前苏联的科学家运用逆向思维，变向下压冰为向上推冰，即让破冰船潜入水下，依靠浮力从冰下向上破冰。新的破冰船设计得非常灵巧，不仅节约了许多原材料，而且不需要很大的动力，自身的安全性也大为提高。遇到较坚厚的冰层，破冰船就像海豚那样上下起伏前进，破冰效果非常好。这种破冰船被誉为“本世纪最有前途的破冰船”。

由我国发明家苏卫星发明的“两向旋转发电机”诞生于1994年，同年8月获中国高新科技杯金奖，并受到联合国TIPS组织的关注。，丹麦某大公司曾想以300万元人民币买断其专利，可见其发明价值之巨大。说到“两向旋转发电机”的发明，也应归功于逆向思维。翻阅国内外科技文献，发电机共同的构造是各有一个定子和一个转子，定子不动，转子转动。而苏卫星发明的“两向旋转发电机”定子也转动，发电效率比普通发电机提高了四倍。苏卫星说，我来个逆向思维，让定子也“旋转起来”。这是他得以发明的思维基础，也是他对创造发明思想的一大贡献。

日本是一个经济强国，却又是一个资源贫乏国，因此他们十分崇尚节俭。当复印机大量吞噬纸张的时候，他们一张白纸正反两面都利用起来，一张顶两张，节约了一半。日本理光公司的科学家不以此为满足，他们通过逆向思维，发明了一种“反复印机”，已经复印过的纸张通过它以后，上面的图文消失了。重新还原成一张白纸。这样一来，一张白纸可以重复使用许多次，不仅创造了财富，节约了资源，而且使人们树立起新的价值观:节俭固然重要，创新更为可贵。

60年代中期，当时在福特一个分公司任副总经理的艾科卡正在寻求方法，改善公司业绩。他认定，达到该目的的灵丹妙药在于推出一款设计大胆、能引起大众广泛兴趣的新型小汽车。在确定了最终决定成败的人就是顾客之后，他便开始绘制战略蓝图。以下是艾科卡如何从顾客着手，反向推回到设计一种新车的步骤:顾客买车的惟一途径是试车。要让潜在顾客试车，就必须把车放进汽车交易商的展室中。吸引交易商的办法是对新车进行大规模、富有吸引力的商业推广，使交易商本人对新车型热情高涨。说得实际点，他必须在营销活动开始前做好小汽车，送进交易商的展车室。为达到这一目的，他需要得到公司市场营销和生产部门百分之百的支持。同时，他也意识到生产汽车模型所需的厂商、人力、设备及原材料都得由公司的高级行政人员来决定。艾科卡一个不漏地确定了为达到目标必须征求同意的人员名单后，就将整个过程倒过来，从头向前推进。几个月后，艾科卡的新型车，野马从流水线上生产出来了，并在60年代风行一时。它的成功也使艾科卡在福特公司一跃成为整个小汽车和卡车集团的副总裁。

篇8：数学教育逆向思维培养的研究

一、逆向思维的基本概念

逆向思维就是不按常规的针对某一问题, 按其反方向从结论开始进行思考的一种思维方式 (3) 。解题时, 我们一般都习惯采用正向思维进行思考和解答, 这是一种惯性思维, 当遇到非常规性的题目时便会束手无策, 不知道从哪里下手。这时, 运用正向思维方式无法解决问题时, 转换思维方式, 从其反面也就是逆向思维来思考则会出现不一样的结果。因此, 当对某个问题通过反复思考仍然无解时, 改变思维方式用逆向思维, 可让学生顿开茅塞, 绝境逢生。

在数学解题过程中, 尤其是在证明题的解答过程中, 逆向思维显得尤为重要, 可以起到事半功倍的效果。培养学生的逆向思维能力, 在数学教育中将具有积极的作用。

二、逆向思维的特点

逆向思维不是简单地将正向思维过程颠倒, 它属于发散性思维的一种, 是改变思维方向的思维方法。它具有以下特点:另辟蹊径, 从不同的方向思考, 多端输出, 灵活变化, 思路宽广, 考虑精细, 答案新颖, 它反映了思维的间断和突变性 (4) (5) 。在运用惯性思维方式——正向思维遇到困难时, 逆向思维能够帮助克服这些困难, 通过开辟思路, 转换方向, 变换角度, 开拓认识到新领域。在数学解题过程中将正向思维和逆向思维结合起来运用, 可大大提高解题速度。

三、逆向思维在数学教育中的应用

逆向思维在一定程度上可促使人们发现新的事物。例如, 数学家在研究思考加、乘、乘方、求导的逆运算——减、除、开方、求不定积分时, 由于这些逆运算结果具有不确定性和多值性, 也就是发散性, 因而有助于科学家发现新的事物 (6) 。比如由减法发现了负数, 由开方发现了无理数, 由负数开方发现了复数, 由不定积分找到了不是初等函数的原函数, 这些成果都是逆向思维的产物 (7) 。逆向思维的数学教学法是:指导学生进行逻辑推理时, 先从问题结论开始进行逆向分析, 在经过系统分析后推导出结论的中间结果, 然后找出这些中间结果和已知条件的相互关系, 最后对整个过程进行归纳总结得出结论。

四、如何培养学生逆向思维的能力

数学教学的重要目标之一是培养学生的创新意识和优秀的思维品质 (8) 。培养学生的逆向思维能力, 不仅有助于学生提高自身的创造性素质, 而且对学生良好的思维品质的形成也有一定的积极作用, 能够帮助学生开拓解题思路, 完善知识结构。培养学生的逆向思维能力的途径主要有以下三个。

(一) 唤起学生的逆向推理意识

在教学过程中, 教师应有意识地对学生进行逆向推理训练, 引导学生大胆猜想、理性分析, 让学生应用反向逆推, 独立思考, 通过逆向推理来质疑发问, 理清思路, 从而准确理解知识点。对定理和命题要多运用反证法进行推理, 反证法运用的就是典型的逆向思维。通过逻辑推理分析, 可增强学生对定理的理解, 培养学生的思维能力。

(二) 训练学生的逆向解题技能

对学生进行逆向思维能力训练, 应将主要精力放在习题训练上, 要着重于学生的思维过程, 活跃其逆向思维, 通过对习题进行一题多变, 变换已知条件和结论, 来打破学生的思维定势, 活跃他们的思维。

(三) 培养学生的逆向思维能力

逆向思维属于发散性思维, 在教学过程中没有固定的模式, 具有一定的开放性, 学生只有真正去思考, 思维能力才能得到提高。因此, 教师在教学过程中应调动学生的主观能动性, 设法提高学生对数学学习的兴趣, 引导学生独立思考, 让学生学会自己提出问题、假设结果、分析验证, 整理自己的思路, 得出正确的结论, 形成完整的思维过程。经过反复训练, 就能逐渐培养起学生的逆向思维能力, 进而提高学生分析问题和解决问题的能力。

五、结语

中小学数学教育对学生思维能力的形成发挥着重要作用, 教师对学生的逆向思维进行有意识、有目的、有计划的培养, 有助于提高学生的综合素质。

摘要：本文首先介绍了逆向思维的概念与特点, 接着从唤起学生的逆向推理意识、训练学生的逆向解题技能、培养学生的逆向思维能力三方面对如何培养学生的逆向思维能力进行了分析。通过分析可知, 这种思维方式有助于学生形成良好的思维品质, 提高学生分析问题和解决问题的能力, 在教学学习中可以起到事半功倍的作用。

关键词：逆向思维,培养,推理意识,解题技能

注释

11 王维花, 王永红.对小学数学教育几个问题的思考[J].课程教材教法, 2002 (7) .

22 方雪芬.例谈逆向思维在解题中的应用[J].宁波教育学院学报, 2006, Vol, 6 (No3) :79-81.

33 李新兴.逆向思维训练在数学教学中的应用[J].江苏教育学院学报, 2011, Vol, 27 (No1) :86-88.

44 张国发, 李日华.浅谈逆向思维法在数学中的应用[J].高等数学研究, 2006, Vol, 9 (No3) :13-14.

55 许丽华, 刘伟.逆向思维在数学教学中的应用[J].科技信息, 2010 (3) .

66 胡佑增.在高数教学中培养学生的逆向思维能力[J].交通高教研究, 1995 (2) .

77 郑忠阳.数学教学中逆向思维能力的培养[J].重庆职业技术学院学报, 2004 (4) .

篇9：浅议初中数学逆向思维的应用

初中学生的思维特点是以直观形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡。他们是在听到、看到、感受到的同时进行思维的，他们的思维一般要借助实物、图形或者头脑中的表象来形象思维是一种很好的思维方法，可以终生受用。但仅有具体形象思维是不够的，还必须掌握抽象逻辑思维的方法，以提高思维能力，所以在我们的教学中可以渗透一些抽象逻辑思维的因素，来培养学生的抽象思维，思考问题的能力，解决问题的能力。通过几年的初中数学教学在初中阶段由具体形象思维达到抽象逻辑思维是数学教学的关键一步。尤其在培养学生的分析解题能力，在“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理和初步的演绎推理能力”,中我应用逆向思维的教学取得了一定的收获，来培养学生的分析解题能力。

分析:如果要求的值需两种情况1. 求出x ，y的值 2. 求出xy的乘积值

⑵

可以构成方程组解出X,Y的值,进而求出的值.

通过分析解题思路是由结论入手逆向思考问题,逐步推到已知条件,利用已知条件求出所需.这种逆向思维方法实际教学过程中教师经常应用到,可以使学生形成缜密,严格的逻辑推理思维过程,培养学生解题思维的能力.象上述问题类型题还很多如: ,，等等都是可利用上述方法进行一些代数式的值。

再比如想这种逆推理思维方式在几何解题中也应用比较广泛更能显示这种方法的优势。

如图所示：AB是⊙O的直径，点P为BA的延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，垂足为D，交⊙O于E ，连结AC，BC，EC求证：

分析：先从结论出发要证明，观察结论是线段的乘积的关系，而且在△BDC与△ABC中。一般在三角形中证明线段的乘积，应找出两个三角形相似。

要证明

关键是由已知条件找出两对内角相等。在条件中AB是⊙O的直径，则有，PD⊥PC 则有 PC为⊙O的切线，C为切点，则有∠BCD=∠BAC

由此可知△BDC∽△ABC那么就有对应线段成比例，由此可证结论。思路分析清楚后怎么写出解答过程呢？

一般在利用逆向思维方法解答过程时，应从分析最终要证明什么出发，反写分析过程即可。如上述可写为：

证明：∵AB是⊙O的直径

∴∠BAC=90°

∵ PD⊥PC垂足为D

∴∠BDC=90°

∵PC为⊙O的切线，C为切点

∴∠BCD=∠BAC

在△BDC和△ABC中

∠BDC=∠BCA

∠BCD=∠BAC

∴△BDC∽△ABC

∴

∴

这样解题的思路比较明显，而且证明过程也比较清晰，学生也容易分析问题，解决问题，不至于遇到比较繁杂问题时不知从何下手。几年的初中教学经常使用逆向思维的方法，探求解题途径，使解题化难为易，明快，简洁，既克服了思维定势，又提高了学生的思维能力，解题能力，我觉得何不一试呢。

篇10：数学逆向思维的例子

Patagonia(巴塔哥尼亚)是美国一线的户外品牌，在户外界有Gucci之称，不论是产品设计，还是工艺、功能，还是企业责任，都有很好的口碑。这是一家注重产品质量而非产品销售数量的公司，因其让顾客在购买自己家产品前三思而出名。

在美国的黑色星期五(也就是传统意义上的销售高峰期开始的周五)，其他品牌都在大肆做营销活动。但是这个品牌却推出了一个“反黑色星期五”营销活动，鼓励他们的消费者去维修旧物而非购买新品。Patagonia也因为打出不要购买这件外套的广告而出名(如配图所示)。

看似劝导顾客不要购买新品，实则这个营销策略取得了巨大的成功。这个策略帮助这家品牌赢得了良好的社会口碑。随着环保低碳的理念深入人心，这个品牌所倡导的生活态度被越来越多的人接受和欣赏。Patagonia所提倡的“拒绝过度的消费”，一度让它成为与快时尚品牌H&M和Forever21一较高下的运动品牌。在2008年的时候，Patagonia的利润翻了三倍。

Patagonia的品牌理念为它树立了良好的品牌形象，所有Patagonia的粉丝相信这个品牌，欣赏这个品牌的理念，并且坚持这样的观念和生活方式。Patagonia表示，“我们设计和售卖商品必须是持久耐用的，这是为了环保，也是为了消费者少花冤枉钱。我们必须告诉消费者，不要购买自己不需要的产品，因为你浪费的不仅是自己的钱，更是地球的资源。我们从地球索取的资源远多于回馈给地球的。”

篇11：数学思维定势的例子

其积极的一面表现在知识技能的正迁移上，如快速掌握数学公式，在条件不变的情况下，可以更迅速对同类的题型做出正确判断，并顺利解决。

其消极的一面表现为知识和经验的负迁移，常常使学生不能及时适应问题的细小变化，对于新问题，越是信赖一种解题原则，就越会固执地用旧方法解题，而不去尝试用其他方法解题，造成解决问题的失误。

篇12：解数学题的逆向思维

解数学题的逆向思维

运用逆向思维方法,使一些较难解决的问题迎刃而解,如这篇文章中涉及的.三类问题,其解法都比较巧妙.

作 者：贺P 作者单位：邵阳市一中,湖南,邵阳,42刊 名：邵阳学院学报(自然科学版)英文刊名：JOURNAL OF SHAOYANG UNIVERSITY(SCIENCE AND TECHNOLOGY)年，卷(期)：1(2)分类号：B804.4 O141.3关键词：调:逆向思维 均分法 迭代

篇13：浅谈数学中的逆向思维

人的思维过程是可逆的。如果我们把A圯B的思维过程属于正向思维 (正向思考) 的话, 那么B圯A的思维过程则属于逆向思维 (逆向思考) 。人们习惯于正向思维, 但在有些时候, 逆向思维却更有利于问题的解决。从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。

那么, 什么时候考虑逆向思维呢?一般来说, 当顺推不行时考虑逆推, 直接解决不行时考虑间接解决, 探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性, ……所有这些都属于逆向思维的范畴。当我们反复考虑某个问题陷入困境时, 逆向思维往往能使我们茅塞顿开, 帮助我们找到解决问题的思路或办法。

2分析法、反证法都是逆向思维的方法

数学证明中的分析法、反证法都是逆向思维的方法。

在数学证明中, 按照逻辑推理本身的顺序和要求来说, 应该是从题设条件出发, 根据已知的定理条件逐步推出所要证明问题的结论, 这是我们证明中常用的综合法。然而在某些时候, 用综合法很难解决问题, 比如很多无理不等式的证明就是如此。若反其道而行之, 从要证明的结论出发进行倒推, 逐步推到已知条件或明显成立的事实, 从而得到结论的证明, 这就是我们证明中常用的分析法。显然分析法是一种逆向思维的方法, 这种方法在不等式的证明中占有重要的位置。另外, 我们常用分析法探索解题途径, 用综合法形式写出证明过程, 这是解决数学问题的一种重要思想方法, 也是训练逆向思维的一种途径。

反证法也是一种逆向思维的方法。当我们直接证明一个问题发生困难时, 常常考虑用反证法。反证法是先证明原命题的否定为假, 进而肯定原命题为真。也就是说, 反证法是考虑了两个方面, 即原命题的反面与真实 (成立) 的反面, 经过两次否定才完成整个证明的。虽然反证法的逻辑依据是排中律, 但其思想方法却可以说是双重的逆向思维。

3逆向思维方法运用举例

关于逆向思维方法的运用, 举下面几个例子:

例1求证:

证明: (用分析法)

因为和4都是正数, 所以为证明<4

只需证明<42

展开得8+<16

即

因为15<16成立, 所以 () 2<42成立,

即证明了

注:此题若用综合法就比较困难, 因为我们很难想到从“15<16”入手。事实上, 很多含有根式的不等式的证明, 用分析法比用综合法简便。

例2用0到9这10个数字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数。

解:从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310, 其中以0开头的排列数为A92, 所以它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的3位数的个数。所以所求3位数个数是:

答:可以组成648个没有重复数字的三位数。

注:此解法是一种逆向思维的方法。它不是直接求没有重复数字的三位数的个数, 而是先求不是三位数的3个不重复数字的排列数A92, 然后从所有不重复的三个数字的排列数A310中将它减去, 得到所求三位数的个数。

例3直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线就和这个平面平行。

已知:, 且a∥b (如图) , 求证:a∥α。

此定理若直接证明的话, 需证明直线a和平面α没有公共点 (线面平行定义) , 这是非常困难的。若用反证法证, 据已知条件, 只需证=P不可能, 这一点很容易做到。

证明: (反证法)

假设直线a和平面α不平行,

a∥b, 过a、b作平面β, 则

, 此与a∥b相矛盾。

例4有四位同学, 每人买1张体育彩票, 求至少有两位同学彩票号码的末位数相同的概率。

四位同学中至少有两位同学的彩票号码的末位数相同, 这包括其中恰有某两位同学彩票号码的末位数相同、恰有某三位同学彩票号码的末位数相同、四位同学彩票号码的末位数都相同等多种互斥情况, 逐一求其概率相当麻烦。若用逆向思维方法, 即先求四位同学所买彩票末位数号码各不相同的事件的概率。再求其对立事件———至少有二位同学彩票号码的末位数相同的概率就比较简单。

解:记“四位同学所买彩票号码的末位数字各不相同”的为事件A, 每人所买彩票号码的末位数均有0, 1, 2, …, 9共10种可能, 故基本事件总数为104个。若末位数字全部相同, 则第1位同学的末位数字有10种情况, 第2、3、4位同学分别只有9、8、7种,

所以

由于“至少有两位同学彩票号码的末位数相同”是事件A的对立事件。

根据对立事件概率公式, 得到:

答:至少有两位同学彩票号码的末位数相同的概率是

注:若事件B发生所包含的情况较多, 而它的对立事件A (B不发生) 所包含的情况较少,

利用P (B) =1-P (A) 计算B的概率则比较简便。这不仅体现了逆向思维, 同时对培养思维的灵活性是很有益的。

例5求Sn=1·3·5+3·5·7+5·7·9+…+ (2n-1) (2n+1) (2n+3) .

按照习惯的思维是将和式Sn中的通项展开, 把Sn分解成自然数与一个常数列之和。如果对自然数的立方数列与平方数列的求和不熟, 一切将从头做起, 十分麻烦。

现在考虑一个比Sn的数列更为复杂, 但结构与其相似的数列 (这是一个表面上与“简单化”方向完成相反的大胆做法)

由ak+1-ak=8 (2k+1) (2k+3) (2k+5) … (*) 可知, Sn*中每相邻两项之差的八分之一正好就是Sn中的各项, 于是令 (*) 中的k=1, 2, …, n, 得

将以上n个式子相加得

通过考虑一个比Sn中的数列更为复杂的数列与Sn间的关系, 反而简捷地求出Sn的值。

总之, 逆向思维方法的应用十分广泛, 用法灵活, 在数学中占有非常重要的位置。因此, 教师在教学过程中不仅要重视正向思维的培养, 还应重视逆向思维的训练。培养学生的逆向思维 (逆向思考) 贵在平时, 贵在坚持。只有这样, 才能更好地提高学生的数学素质, 提高学生分析问题、解决问题的能力。

摘要：本文对数学中的逆向思维方法及运用进行了简单论述。

关键词：逆向思维

参考文献

[1]《中学数学教学参考》.2007.5下期.高中.

[2]中等职业教育国家规划教材.《数学》 (.基础版) 第二册.邱维声主编.

篇14：数学教学中逆向思维的训练

一、定义教学中逆向思维的训练

教科书中，作为定义的数学命题，其逆命题往往是成立的。因此，学习一个新概念，如果能从逆向切入，学生不仅能对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且还能培养学生双向考虑问题的良好习惯。如在向量教学中，关于向量垂直定义为：

非零向量a、b，若a⊥b，则a·b=0。

反过来，对非零向量如果a·b=0，是否有a⊥b？

又如，逆用方程根的定义解下列两题，比用一般方法要简捷。

例1：①解方程（7-4√3）x2-7x+4√3=0。

因为7-4√3-7+4√3=0，所以1是此方程的一个根，设另一根为x2，则1·x2= ，故x2= 48+28√3。

②已知a、b为不相等的实数，且a2=7-3a，b2=7-3b，求

的值。显然，a、b是方程x2=7-3x的两根，由根与系数的关系即可解之。

二、公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式都是双向的，然而很多学生只会从左到右使用，对于逆用往往不习惯。在公式教学中，应注意强调公式的正用和逆用、聚合与展开。

例2：求sin（-3x）cos（-3x）-cos（+3x）sin（+3x）的值。

分析：该题基本符合sin（α+β）展开式结构，只是角度不符，但 -3x与 +3x、 -3x与 +3x恰是余角关系。

解：原式=sin（-3x）cos（-3x）-sin（-3x）cos（-3x)

=sin（ - ）=。

例3：已知 <β<α<，cos（α-β）=，sin（α+β）=-

，求sin2α的值。

分析：本题很自然地去逆向思考2α的来源，结合已知的两种复合角α-β与α+β，不难看出已知角与解题目标角间的关系：

2α=（α+β）+（α-β）

解：∵ <β<α<，∴0<α-β< ，π<α+β<。

∴sin（α-β）= √1-cos2（α- β）= ，cos（α+β）=- 。

sin2α=sin〔（α+β）+（α-β）〕=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-。

在公式的应用教学中，有意识地进行双向训练，可起到事半功倍之效。

三、运算法则在教学中逆向思维的训练

在运算法则教学中进行逆向思维训练，有利用学生对法则的掌握，在教学中要反复训练，如集合教学中：

如果A是B的子集，那么A∩B=A，A∪B=B，可列举一些逆向应用的例子。

例4：若集合A={1，2，3，4}，A∩B={1，2}，B=？答案唯一吗？A={1，2，3，4}，A∪B={1，2，3，4，5}， B=？答案唯一吗？

如此多角度、多向思考问题，对思维水平的提高很有益处。

四、解题教学中逆向思维的训练

解题能力是学生数学综合能力的体现，解题的首要环节是审题，只有审清了题设与题设、题设与结论间的内在联系，才能找到解题切入点，从而使解题顺畅。逆向思维在解题中具有举足轻重的作用，应予以重视。

例5：已知抛物线y=mx2-1上存在着以直线 x+y=0为对称轴的两个点，求m的取值范围。

分析：为了求得m的取值范围，逆向思考条件中“两个对称点”与直线、与抛物线的内在关系，即①关于直线x+y=0对称；②均在抛物线y=mx2-1上；③两点的存在性。

解：∵P，Q两点关于直线x+y=0对称，可设P（x0，y0）， Q（-y0，-x0），又∵P，Q

y0=mx02-1……（1）

-x0=my02-1……（2）

两式相减得：（x0+y0）[m（x0-y0）-1]=0。

又x0+y0≠0，∴m（x0-y0）-1=0，即 y0=x0- ，代入（1）得：

mx02-x0+ -1=0，又P，Q是抛物线上的两个不同点，故该二次方程有异根，则△>0，解得m> 。

评析：分析思路运用了“执果索因”即逆向思维方法，这种方法在数学解题中应用非常普遍，如平面几何和立体几何的证明题等等，教学中应予以重视。

五、定理教学中逆向思维的训练

不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命题是成立的，甚至有些是教科书中明确的，如三垂线定理及逆定理，而有些定理的逆定理虽然教材中没有明述，但作为逆定理在应用，如二次方程的根与判别式的关系定理及韦达定理等，这些都是很好的教学例子，应在教学中有意识地加以利用。

总之，在数学教学中，强化逆向思维训练，并通过类比、引伸、拓展、举反例等多种形式，引导学生从事物不同方向和不同联系上去思考问题，使之形成习惯，对培养学生的学习兴趣，拓宽思路，提高思维能力有着十分重要的意义。

篇15：初中数学逆向思维

反叛，是对常规的挑战。它能够克服思维定势，破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式。

3.新颖性

循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单，但容易使思路僵化、刻板，摆脱不掉习惯的束缚，得到的往往是一些司空见惯的答案。其实，任何事物都具有多方面属性。由于受过去经验的影响，人们容易看到熟悉的一面，而对另一面却视而不见。逆向思维能克服这一障碍，往往是出人意料，给人以耳目一新的感觉。

篇16：数学逆向思维的题目及答案分析

例1 若化简|1-x|--的结果为2x-5，求x的取值范围。

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-(4-x)=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-x≤0，且x-4≤0

篇17：考研数学 如何采用逆向思维

数学相对于政治、英语来说要难得多。考生在复习时最好把数学单列出一个阶段进行复习，不要和政治、英语抢时间。考研辅导专家提醒考生，数学要以研究基础题为重点，备考的时候不要扣难题怪题。

养成良好的做题习惯

复习一定要养成一个好的习惯，拿到的数学题一定要有始有终把它算出来，这是一种计算能力的训练，尤其是计算量大的时候，如果没有平常这样一个训练，在实际考试的时候在短时间内是很难心有余力也足的。考研辅导专家提醒考生，考试里不仅仅是考察我们基本概念、基本理论、基本方法的问题，还涉及到我们灵活运用知识的能力问题，所以仅仅是依靠教材很难把它这种考试命题的特点归纳总结出来，因此要了解考试，历年考试的真题作为准备去参加研究生考试的同学是必备的。考研辅导专家提醒考生，大家一定要学会“解”题，从了解的基础上慢慢掌握数学的出题方向，每一部分你都能够去归纳、总结或通过相关的辅导书帮助你归纳总结出自己的薄弱点，让复习变得更有针对性。

尝试逆向思维

对于每一个准备考研的学生来说，从小学到大学，学习数学的时间至少有十二年之久，内容也从简到繁，由易而难。在这十余年的学习中，每个人都养成了一些自己的方法习惯，而对于数学来说，思维习惯大大影响着学习效果。当进入考研数学复习备考的`时候，大多数人继承了以往的学习习惯，思维也基本上定型了，也就是进入了定势思维。习惯性思考方式在一方面有优势，另一方面也制约着大家学习成绩的提高，所以我们现在要做的就是打破自己的惯性思维。考研辅导专家认为，大家在读书的时候，惯性思维不会在脑神经中留下深刻的印象，而逆向思维会更大限度地发挥脑细胞的能量，考研数学中恰恰就有一部分题目考察大家的逆向思维能力，这就更加要求我们在平日的学习过程中加以训练。

篇18：浅谈数学中的逆向思维

人的思维过程是可逆的。如果我们把A圯B的思维过程属于正向思维 (正向思考) 的话, 那么B圯A的思维过程则属于逆向思维 (逆向思考) 。人们习惯于正向思维, 但在有些时候, 逆向思维却更有利于问题的解决。从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。

那么, 什么时候考虑逆向思维呢?一般来说, 当顺推不行时考虑逆推, 直接解决不行时考虑间接解决, 探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性……所有这些都属于逆向思维的范畴。当我们反复考虑某个问题陷入困境时, 逆向思维往往能使我们茅塞顿开, 帮助我们找到解决问题的思路或办法。

2分析法、反证法都是逆向思维的方法

数学证明中的分析法、反证法都是逆向思维的方法。

在数学证明中, 按照逻辑推理本身的顺序和要求来说, 应该是从题设条件出发, 根据已知的定理条件逐步推出所要证明问题的结论, 这是我们证明中常用的综合法。然而在某些时候, 用综合法很难解决问题, 比如很多无理不等式的证明就是如此。若反其道而行之, 从要证明的结论出发进行倒推, 逐步推到已知条件或明显成立的事实, 从而得到结论的证明, 这就是我们证明中常用的分析法。显然分析法是一种逆向思维的方法, 这种方法在不等式的证明中占有重要的位置。另外, 我们常用分析法探索解题途径, 用综合法形式写出证明过程, 这是解决数学问题的一种重要思想方法, 也是训练逆向思维的一种途径。

反证法也是一种逆向思维的方法。当我们直接证明一个问题发生困难时, 常常考虑用反证法。反证法是先证明原命题的否定为假, 进而肯定原命题为真。也就是说, 反证法是考虑了两个方面, 即原命题的反面与真实 (成立) 的反面, 经过两次否定才完成整个证明的。虽然反证法的逻辑依据是排中律, 但其思想方法却可以说是双重的逆向思维。

3逆向思维方法运用举例

关于逆向思维方法的运用, 举下面几个例子:

例1求证:

证明: (用分析法)

因为都是正数, 所以为证明

只需证明

注:此题若用综合法就比较困难, 因为我们很难想到从“15<16”入手。事实上, 很多含有根式的不等式的证明, 用分析法比用综合法简便。

例2用0到9这10个数字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数。

解:从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310, 其中以0开头的排列数为A92, 所以它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的3位数的个数。所以所求3位数个数是:

A103-A92=10×9×8-9×8=648

答:可以组成648个没有重复数字的三位数。

注:此解法是一种逆向思维的方法。它不是直接求没有重复数字的三位数的个数, 而是先求不是三位数的3个不重复数字的排列数A92, 然后从所有不重复的三个数字的排列数A310中将它减去, 得到所求三位数的个数。

例3直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线就和这个平面平行。

已知:a￠α, b Cα且a∥b (如图)

求证:a∥α。

此定理若直接证明的话, 需证明直线a和平面α没有公共点 (线面平行定义) , 这是非常困难的。若用反证法证, 据已知条件, 只需证a∩α=P不可能, 这一点很容易做到。

证明: (反证法)

假设直线a和平面α不平行, ∵a￠α∴a∩α=P

a∥α, 过a、b作平面β, 则a∩β=b

∴P∈b, 此与a∥b相矛盾。∴a∥α

例4有4位同学, 每人买1张体育彩票, 求至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率。

4位同学中至少有2位同学的彩票号码的末位数相同, 这包括其中恰有某2位同学彩票号码的末位数相同、恰有某3位同学彩票号码的末位数相同、4位同学彩票号码的末位数都相同等多种互斥情况, 逐一求其概率相当麻烦。若用逆向思维方法, 即先求4位同学所买彩票末位数号码各不相同的事件的概率。再求其对立事件———至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率就比较简单。

解:记“4位同学所买彩票号码的末位数字各不相同”的为事件A, 每人所买彩票号码的末位数均有0, 1, 2, …, 9共10种可能, 故基本事件总数为104个。若末位数字全部相同, 则第1位同学的末位数字有10种情况, 第2、3、4位同学分别只有9、8、7种, 所以, 由于“至少有2位同学彩票号码的末位数相同”是事件A的对立事件。

根据对立事件概率公式, 得到

答:至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率是

注:若事件B发生所包含的情况较多, 而它的对立事件A (B不发生) 所包含的情况较少,

利用P (B) =1-P (A) 计算B的概率则比较简便。这不仅体现了逆向思维, 同时对培养思维的灵活性是很有益的。

例5求Sn=1·3·5+3·5·7+5·7·9+… (2n-1) (2n+1) (2n+3)

按照习惯的思维是将和式Sn中的通项展开, 把Sn分解成自然数与一个常数列之和。如果对自然数的立方数列与平方数列的求和不熟, 一切将从头做起, 十分麻烦。

现在考虑一个比Sn的数列更为复杂, 但结构与其相似的数列 (这是一个表面上与“简单化”方向完成相反的大胆做法)

Sn*=1·3·5·7+3·5·7·9+5·7·9·11+… (2n-1) (2n+1) (2n+3) (2m+5) 记ak= (2k-1) (2k+1) (2k+3) (2k+5) … (*) , (k=1, 2, …, n)

由ak+1-ak=8 (2k+1) (2k+3) (2k+5) … (*) 可知, Sn*中每相邻两项之差的八分之一正好就是Sn中的各项, 于是令 (*) 中的k=1, 2, …, n, 得

将以上n个式子相加得

通过考虑一个比Sn中的数列更为复杂的数列与Sn间的关系, 反而简捷地求出Sn的值。

总之, 逆向思维方法的应用十分广泛, 用法灵活, 在数学中占有非常重要的位置。因此, 教师在教学过程中不仅要重视正向思维的培养, 还应重视逆向思维的训练。培养学生的逆向思维 (逆向思考) 贵在平时, 贵在坚持。只有这样, 才能更好地提高学生的数学素质, 提高学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献:

摘要：本文主要介绍了什么是逆向思维, 何时运用逆向思维。证法都是逆向思维的方法, 着重介绍了逆向思维方法的运用。

关键词：思维,逆向思维

参考文献

[1]《中学数学教学参考》.2007.5下期.高中.

[2]中等职业教育国家规划教材《数学》 (基础版) 第二册.邱维声主编.