高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案

高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案（精选4篇）

篇1：高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案

3.2 一般形式的柯西不等式

【学习目标】

1.掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件 2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】

1.三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？ 2.一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件

3.结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用.【自主检测】

1.已知a,b,c0，且abc1，则a2b2c2的最小值为＿＿＿＿ A.1B.4C.D.2.设a1,a2，an

R,1a

1b

1c

1314

a1a2

an

n的大小关系为＿＿＿

3.若a,b,c0,1，则abc的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】

例1.已知a,b,c0，求证：

1.

bcaabc

92.abca2b2c29abc abcbca



b2c2c2a2a2b2

abc 2.abc

n

n

例2.(1)已知a1,a2，anR.求证：ainai2

i1i1

（2）已知a1,a2，an0,a1a2（3）已知a1,a2，anR,b1,b2,a32an12an2a12a221

an1.

a1a2a2a3a3a4an1anana12

2222,bn0.求证：a1a2a3ana1a2an

b1b2b3bnb1b2bn

例3.（1）已知a12a22an21,x12x22xn21，求a1x1a2x2anxn的最大值

111

（2）设a,b,cR,abc1，求abc

abc



2的最小值

（3）若xyz19,求函数u

【课堂检测】

1.设a1,a2，anR,，则Pa1a2

nan与Qn

a1a2an的大小关系为()

A.PQB.PQC.PQD.PQ 11112.设a,b,c，dR，且Pabcd，则P的最小值为abcd

3.已知x4y9z1，则x2y2z2的最小值为4.把一条长为m的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？

【总结提升】

1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2.一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.

篇2：高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案

【学习目标】

1.会用数学归纳法证明贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN，了解当n n

为实数时贝努利不等式也成立

2.培养使用数学归纳法证明不等式的基本技能

【自主学习】

1.使用数学归纳法独立完成贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN的证n

明

2.自我感悟什么样的不等式易于用数学归纳法证明？

3.用数学归纳法证明不等式时要使用归纳假设进行放缩，如何放缩才能奏效，要积累经验，特别是出现二次式时要注意留心总结.4．对于两个数的大小的探究要提高警惕，一般探究要比较的丰富，才利于做出正确的猜测.【自主检测】

1.用数学归纳法证明1

12131*nnN,n1时，由n=k（k>1）时不等2n1

式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）

A.2k1B.2k1C.2kD.2k1

2.用数学归纳法证明11n1n2111nN*时，由n=k到n=k+1时，不nn2

4等式左边应添加的项是＿＿＿＿

3.当n=1，2，3，4，5，6

时，比较2n与n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿

【典型例题】

111例1.用数学归纳法证明：nN,n1 111352n1

例2.设数列an满足an1an2nan1nN*

1.a12时，求a2,a3,a4并由此猜想an的一个通项公式

2a13时，证明对所有n1有1ann2

2例3.已知函数gxx22xx1,fxabaxbx，其中a、bR,a1,b1,ab,ab4对于任意的正整数n，指出fn与g2n的大小关系，并证明之

x11 +1a11a211 1an

2【课堂检测】

1.设n为正整数，fn1nN，计算知11231n

357f2,f42,f8,f163,f32，据此可以猜测得出一般性结论为()222

2n1n2n2 A.f2nB.fn2C.f2nD.以上都不对 222

n0为验证的第一个值，2.欲用数学归纳法证明对于足够大的正整数n，总有2nn3，则()A.n01B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n02

3.用数学归纳法证明111241127，n的起始值至少应取为n126

44.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n，点n,Sn均在函数

ybxr(b0,b1，b、r均为常数）的图像上.(1)求r的值

(2)当b=2时，记bn2log2an1

nN*，证明对所有正整数n，不等式 b11b21b1b2bn1 bn

【总结提升】

1.数学归纳法依然是证明与正整数有关的不等式行之有效的方法.但在证明递推的依据是成立的时候常常需要放缩，故千万要注意不等式的基本性质和函数的单调性的作用.2.数学归纳法证明不等式时有时不能直接进行，常需加强命题，为此难度就比较大，且加强又不易完成.如证明1

为111223211222315nN*,n1，就可以加强2n3152nN*,n1再用数学归纳法.2n32n1

篇3：高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案

教科书对于教学质量的提高起着关键作用, 决定着教师的教和学生的学.随着普通高中数学新课程的逐步推进, 教科书出现了“一标多本”的现象.虽然不同版本教科书都以《普通高中数学课程标准 (实验) 》 (2003年) (以下简称《标准》) [1]为依据编写的, 但由于编者不同, 因此教材内容的组织、编写的风格等都有所不同.面临多个版本的教科书, 需要学校、教师了解不同版本教科书的编写特点, 再结合实际情况, 选择更合适的教科书.不等关系和相等关系都是客观事物的基本数量关系, 是数学研究的重要内容.《标准》重新设置了不等式内容, 将其分成两部分, 一部分放入必修5模块, 一部分放入选修4-5专题———《不等式选讲》, 整个不等式内容的设计采用螺旋上升.在实际教学中, 多数学校都选择学习选修4中“不等式选讲”这一专题.笔者以人教A版和北师大版两个版本普通高中数学课程标准实验教科书选修系列4中的4-5“不等式选讲”[2,3]专题作为研究对象, 采用比较法、内容分析法就教科书的体例结构、知识内容、例习题这3个方面进行比较研究, 以期准确把握两个版本教科书的异同及特色, 为教师的教学提供更好的建议.

2 两个版本教科书不等式选讲专题的比较

2.1 教科书体例结构的比较

两套教科书的编写虽然都以《标准》为依据, 但不同版本教科书在体例结构上却存在着较大差异.下面以框图形式表示两个版本教科书的内容结构.

由图可知, 两个版本教科书的共性是:都有引言、目录、各章节内容和后记 (说明) ;在章节内容中都设置有不同类型和数量的栏目、批注等, 起到引导、巩固和说明解释的作用.引言方面, 人教A版的引言主要介绍本专题的主要内容及学习方法, 针对性较强, 对不等式的学习起到画龙点睛的作用;北师大版的前言与人教A版不太一样, 更情感化、更具亲和力, 主要介绍学习数学的意义、思想方法、整套高中数学教科书的框架及教科书中的主要栏目.每本教科书中的前言完全一样, 对于激发学生的学习欲望, 树立学生的学习信心是很有帮助的.批注方面, 人教A版批注主要包括知识点提示、公式、例题解法、符号解释、概念、对证明中某一步骤的解释、问题引导、归纳递推方法注意事项8项内容, 而北师大版仅有向量共线概念的解释这项内容.两个版本教科书中的批注都主要是出现在新知识点和例习题相应内容的页面右侧.相对而言, 人教A版更注重批注的引用, 运用批注解释并引导教科书中的知识, 更有利于加深学生对所学知识的理解和掌握.小结方面, 两个版本教科书小结中都有学习总结报告, 并且要求的内容基本一致, 即知识总结、探究拓展、学习体会.

教科书中栏目的设计能够给教科书增添色彩, 在一定程度上也体现了教科书的编写特点.人教A版主要设置了思考、探究、观察、阅读与思考4个栏目, 其中, “思考”栏目的主要内容包括实数大小比较、不等式和绝对值、不等式的性质解法、基本不等式、柯西不等式、顺序和与反序和、数学归纳法及其思想作用8项;“探究”的主要内容有不等式的基本性质、基本不等式、绝对值不等式及其解法、柯西不等式及其向量形式、二维形式的三角不等式、一般形式的柯西不等式、顺序和、反序和、顺序和与反序和相等的条件、数学归纳法、均值不等式11项;“观察”主要是二维形式的三角不等式;“阅读与思考”主要是法国科学家柯西及柯西不等式的介绍.北师大版教材设置了思考交流、问题与思考2个栏目, 其中, “思考交流”主要内容包括不等式的基本性质、绝对值不等式、绝对值的意义及解法、平均值不等式及其几何解释、数学归纳法证明步骤的作用5项;“问题与思考”主要内容包括绝对值不等式、三个正数的均值不等式定理的证明2项.

图表语言是重要的数学语言之一.本研究所指的插图为教科书中出现的示意图、实物图、表格等, 即教科书中标有“图…”的部分和“表…”的部分, 而考虑到教科书习题中的图表都是用“第n题”标出, 一题有多个图并标出“图n”的按具体个数算, 没标出的则按一个算, 因此这里所指的习题插图即按这样的标准计算.由于图表所处的位置不同, 本研究将插图分为正文图表、例题图表、习题图表 (包括练习题、习题、复习题中的图表) .据统计, 人教A版中正文图表16个, 例题图表6个, 习题图表3个, 总占教科书总页数的45%;北师大版教材的正文图表4个, 例习题图表各7个, 总占教科书总页数的40%.

2.2 教科书知识内容的比较

《标准》提倡教科书编写的多样化, 各个版本教科书中对规定的教学内容的编排顺序可以做适当的调整.不同版本教科书编者不同, 在知识内容的划分、选取、呈现顺序等方面会存在着一定的差异.本研究主要针对两个版本教科书中章节划分、知识点的选取及知识点的呈现顺序进行比较.

章节划分方面, 两个版本教科书对“不等式选讲”专题相关内容的章节安排不同, 在专题知识划分上存在着较大差别, 部分知识内容在不同版本教科书中出现的位置有差异.整个“不等式选讲”专题内容在人教A版中分四讲, 而在北师大版中分两章, 其中第一章中包含了人教A版中的前两讲内容, 第二章包含人教A版第三、四讲的内容.知识内容选取方面, 两个版本教科书大同小异.在传统知识上, 两个版本都包含了不等式、绝对值不等式、不等式的证明方法和数学归纳法.在介绍不等式的证明方法上, 除了比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法, 北师大版还介绍了几何法, 这突出体现了数形结合思想.在现代知识上, 两个版本都包含了柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式.此外, 人教A版在二维形式的柯西不等式的基础之上, 引导学生在平面直角坐标系中根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系, 从几何意义上发现二维形式的三角不等式, 接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式, 符合《标准》中的要求.而北师大版中没有将三角不等式作为一个知识点在正文中介绍, 也没有在习题当中出现.知识点呈现顺序方面, 两个版本教材的不同点主要体现在:人教A版先介绍平均值不等式, 接着是绝对值不等式, 而北师大版正好相反.

2.3 教科书例习题的比较

例习题是数学教科书的重要组成部分, 是培养学生能力的重要载体.习题有助于学生对所学知识进行强化、巩固、复习.复习题位于章节的最后, 起到对整章内容的复习巩固作用.在统计“不等式选讲”专题例题、习题时, 本研究采用以下原则:例题统计以教科书中标有“例”或“例…”的题目为准.两个版本教科书对练习题、习题及复习题的标号是一致的, 大题都是用1、2、3、…编号, 小题都是用 (1) 、 (2) 、 (3) 、…编号, 数量按小题的个数计算, 如果一题有多问, 则按一题计算.据统计, 人教A版教材中例题总计36道, 占27%, 习题总计95道, 占73%, 密度2.34;类型主要包括:判断题5道, 占4%, 证明题94道, 占72%, 解答题32道, 占24%.北师大版教材中例题总计43道, 占20%, 练习题46道, 占22%, 习题94道, 占44%, 复习题29道, 占14%, 密度4.71;类型主要包括:证明题162道, 占76%, 解答题50道, 占24%.由此看来, 两个版本教科书中都是习题所占的比例最大, 北师大版中例习题数量以及密度都远大于人教A版.两个版本例习题设置各有侧重, 人教A版没有设置复习题;北师大版的例题所占比例较低, 在每一小节之后都设置有练习题, 每章后设置复习题;从复习题的设置上看, 北师大版更注重对学生所学知识的复习巩固.

3 研究的结论与建议

3.1 研究的结论

本研究通过对两个版本教科书“不等式选讲”专题的体例结构、知识内容和例习题的比较, 发现两个版本教科书都严格按照《标准》中的内容与要求进行编写, 在章节结构、知识内容选取上比较接近, 但同中有异, 各具特色.

(1) 从教材体例结构看, 内容结构和小结方面, 两个版本差别不大;引言方面, 人教A版针对具体知识内容, 北师大版正好相反, 内容比较笼统, 极具情感色彩;批注方面, 人教A版数量多、内容广, 而北师大版数量少且内容单一;插图方面, 人教A版数量多, 主要位于正文部分, 北师大版则主要分布在例习题方面;栏目方面, 人教A版类型较丰富, 有较强的可读性和趣味性, 北师大版类型较少, 内容只有人教A版的三分之一.

(2) 从教材知识内容看, 两个版本基本都符合《标准》的要求, 却各有侧重.章节划分方面, 人教A版的划分更加详细, 分为四讲, 而北师大版只有两讲;知识内容方面, 人教A版注重培养学生从特殊到一般的类比推理、化归等思想, 注重知识的铺垫及导入, 更利于学生理解, 而北师大版多以例题直接证明, 这种呈现方式比较突兀, 会增加学生的理解难度.知识点的选取上, 人教A版完全切合《标准》的要求, 北师大版教材中未涉及《标准》中要求会证明的“平面三角不等式”.此外, 人教A版将重要知识点用黑色或绿色字体明确标出, 而北师大版多数只是作为例题来证明, 并未明确标注.知识点呈现顺序方面, 人教A版和北师大版基本相同.

(3) 从例习题的编排看, 在例习题数量上, 北师大版分别设置了练习题、习题、复习题三种类型, 数量多于人教A版, 且针对学生不同的认知水平, 分别设计了A、B两类难度的习题, 给学生提供了更大的选择空间, 而人教A版只有习题这一种类型, 并未设置复习题.由此看来, 北师大版教材更加注重知识的复习巩固和教学目标的反馈, 并且这种习题设置形式为教师在课堂上随堂练习、布置课后作业提供了丰富的资源.从例习题的类型上看, 两个版本的教材主要都是证明题和解答题, 并且证明题的数量至少是解答题数量的3倍.两个版本的教材中, 证明题都主要集中在不等式的证明及数学归纳法上.

3.2 对教学的建议

通过对两个版本“不等式选讲”专题的比较分析, 笔者发现, 人教A版教材的特色主要有:重视展现不等式的几何背景, 力求让学生对重要不等式有直观理解, 重视数学思想方法的教学, 重视引导学习方式和教学方式的改进;北师大版教材的特色主要是:重视学生本位的思想, 重视知识的复习巩固, 注意增强数学应用意识.在此, 结合教科书的特色, 对教学有如下建议.

3.2.1 注意“定位”变化, 把握教学要求

在“不等式选讲”这个专题的教学中, 要特别注意把握好教学要求, 不要随意提高教学要求, 而应该按照《标准》的要求来控制教学的深广度.如在不等式和数学归纳法的许多问题中, 常常需要一些技巧性比较强的恒等变形.本专题的教学中则要控制这方面的教学要求, 不要使教学陷于过于形式化和复杂的恒等变形的技巧之中, 以免冲淡对于基本思想方法的理解, 也不要引入过于形式化和抽象化的数学语言.

3.2.2 抓住教学重点, 加强“过程性”, 落实思想方法

基本不等式、绝对值不等式和证明不等式的基本方法是本专题的重中之重, 因为这些知识的理解具有示范作用.而这些知识教学的核心在于利用数及运算的性质、绝对值的几何意义, 通过完整的探究过程, 在获得这些不等式的性质和方法的同时, 领悟相应的数学本质, 使数学思想方法落在实处.如柯西不等式, 最基本的是二维的情况, 核心的思想也是在二维的不等式中得到直接体现.为了使这一不等式的核心地位作用得到更好体现, 教学中应以教材提供的例题、练习题为基本载体, 使学生在探究其数学背景、建立与相关知识 (特别是平面几何、向量) 联系的过程中理解其数学思想.

3.2.3 作业布置应符合《标准》要求、突出教学重难点、兼顾学生层次性

作业布置是常规教学的重要环节, 既是课堂教学的补充和延伸, 也是学生对所学知识进行消化、吸收乃至进一步升华所必须的手段和教学信息反馈的重要途径.作业布置方面, 首先应符合《标准》的要求, 尤其是对某些不等式的证明问题要避免布置一些偏难、需要复杂变形技巧的题目;其次, 作业布置应适量、精要、突出教学的重难点;最后, 作业布置应注意学生层次性.对于部分学有余力的学生, 可以在作业布置中适当增加难度和拓广练习, 如增加重要不等式在实际生活中的应用习题, 此外, 除了课本上的习题, 还可引导学生应用所学不等式知识证明以前学过的公式.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[2]严士健, 王尚志主编.普通高中数学新课程标准实验教科书·数学选修4-5不等式选讲[M].北京:北京师范大学出版社, 2007.

[3]刘绍学主编.普通高中数学课程标准实验教科书·数学选修4-5不等式选讲[M].北京:人民教育出版社 (A版) , 2007.

[4]俞求是.人教A版高中数学课标实验教科书《不等式选讲》简介[J].中学数学杂志 (高中) , 2007, (2) .

[5]宋波, 何金明.人教A版与北师大版高中数学教材立体几何部分的比较研究[J].四川职业技术学院学报, 2011, (6) .

[6]韩瑞.高中数学新课程中“不等式选讲”专题的有效教学策略研究[D].西北师范大学, 2007.

篇4：高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式 学案

（一）【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.实数a，b，c不全为0的条件为（）

A.a,b,c均不为有B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0

2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求证：方程的两根的绝对值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a,b,c,d中至少有一个是 负数.【典型例题】

ama.例1.利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则 bmb

例2.若x, y > 0，且x + y >2，则

例3.设a3b32，求证ab2.例4.设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c,(2  b)a,(2  c)b不可能同时大于1

【课堂检测】

1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A．有一个解B．有两个解

C.至少有三个解D．至少有两个解

2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求证：a,b,c＞0.1y1x和中至少有一个小于2.xy

3.设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1.2

4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大1于 4

【总结提升】

1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；