高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第11课时 数系的扩充教学案 苏教版选修

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第11课时 数系的扩充教学案 苏教版选修（精选5篇）

篇1：高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第11课时 数系的扩充教学案 苏教版选修

第三章 数系的扩充与复数的引入

第1课时 数系的扩充

教学目标：

1.理解数系的扩充是与生活密切相关的； 2.了解复数及其相关概念.教学重点：

复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系 教学难点：

复数及其相关概念的理解 教学过程： Ⅰ.问题情境

1.N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

2判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：

（1）x23x40（2）x24x50（3）x22x10（4）x210

Ⅱ.建构数学

1.虚数单位

2.复数的概念

3.复数的分类

Ⅲ.数学应用

例1：写出复数4，3－2i，0，14i，5+2i，6i的实部与虚部，并指出那些 23是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.练习：写出复数27，2－3i，0，是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2：实数m取什么值时，复数zm(m1)(m1)i是

25i，5+3i，7i的实部与虚部，并指出那些 3（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

练习：实数m取什么值时，复数zm2m2(m21)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

例3： 已知xy(x2y)i2x5(3xy)i，实数x，y的值.练习：已知复数abi与3(4k)i相等，且abi的实部、虚部分别是方程x24x30 的两根，试求：a,b,k的值.Ⅳ.课时小结: Ⅴ.课堂检测 Ⅵ.课后作业

书本P60 习题1，2

篇2：高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第11课时 数系的扩充教学案 苏教版选修

第4课时 复数的几何意义

Ⅰ.问题情境

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

Ⅱ.建构数学

1.复数的几何意义、复平面、实轴、虚轴

2.复数的向量形式

3.复数的模

4.复数的加法、减法的几何意义

Ⅲ.数学应用

例1：在复平面内描出复数4,2i,i,13i,32i分别对应的点.练习：在复平面内描出复数23i,42i,13i,4i,30i分别对应的点.例2：在复平面内画出4,2i,i,13i,32i所对应的向量.练习：在复平面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量.例3：设zC，满足下列条件的点z的集合是什么图形.（1）z2；（2）2z

3练习：设zC，满足下列条件的点z的集合是什么图形.（1）z3；（2）1z

5Ⅳ.课时小结: Ⅴ.课堂检测 Ⅵ.课后作业

书本P70 习题1，2，3 教学目标：

1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的； 2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.教学重点：

理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 教学难点：

根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 教学过程：

1.分别写出下列各复数所对应的点的坐标，并求出它们的模： 23i,84i,80i,6,i,29i21,7i,0.3

篇3：高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第11课时 数系的扩充教学案 苏教版选修

数系的扩充与复数的引入是复数的基础内容，它是数学发展史上的一个重要的里程碑，也是高等代数的基础.全国各地每年高考的试卷中基本上都有一道复数题，考查复数的基本概念及其几何意义、复数的代数运算，题型是选择题或填空题，分值4分或5分，难度比较容易.综观历年全国各地高考卷，主要考查复数、纯虚数、共轭复数、复数的模、复数相等、复数的几何表示，考查复数的四则运算.

湖北近几年的高考情况，考查了复数的加法、乘法、除法、[in]的运算，考查了共轭复数、复数相等的概念，考查了复数的几何表示.文科与理科不同，考查了复数的加法、乘法运算、复数的几何意义，难度低于理科.

命题特点

经过认真分析近几年的湖北高考卷和全国各地省市高考卷，我们发现，数系的扩充与复数的引入在近年来高考命题中主要围绕三个方面展开，一是围绕复数的概念及几何意义；二是围绕复数的四则运算及几何意义；三是围绕复数与其他知识交汇.

1. 概念及意义考查重基础、重应用

复数的概念包括：复数定义、复数的实部与虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的模，对复数概念的考查仍然注重对考查概念的理解，考查方式不会直接考概念，往往是通过简单的运算来考查概念的应用，以检测学生对概念的理解程度.

例1 设[m∈R]，[z=（m2+m-2）+（m2-1）i]，其中[i]是虚数单位，当[m]为何值时，[z]是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？

解析 由于已知[z]是标准的复数的代数形式，所以由复数为实数、虚数、纯虚数、0的充要条件可得.（1）当[m2-1=0]即[m=±1]时，[z]是实数.（2）当[m2-1≠0]即当[m≠±1]时，[z]是虚数.（3）当[m2+m-2=0]且[m2-1≠0]，即[m=-2]时，[z]是纯虚数.（4）当[m2+m-2=0]且[m2-1=0]，即[m=1]时，[z]是0.

例2 设复数[z=x+yi]，若[i（y+3i）=x+4i]，则[z]=_________.

解析 由条件得[-3+yi=x+4i]，由复数相等定义得[x=-3，y=4]，即[z=-3+4i]，所以[z=-3-4i]，从而[z=（-3）2+（-4）2=5].

答案 5

点拨 复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等，复数共轭的充要条件是实部相等且虚部相反.复数的模是指表示复数的向量的模，若复数[z=a+bi]，则它的模[z=a+bi][=a2+b2]，显然任意复数的模都是非负数，只有零的模为零.

例3 设z是复数， 则下列命题中的假命题是 （ ）

A. 若[z2≥0]， 则z是实数

B. 若[z2<0]， 则z是虚数

C. 若z是虚数， 则[z2≥0]

D. 若z是纯虚数， 则[z2<0]

解析 法一：设[z=a+bi，a，b∈R][?z2=a2-b2+2abi]. 对选项A： 若[z2≥0，]则[b=0?z]为实数，所以[z]为实数真.对选项B： 若[z2<0，]则[a=0]且[b≠0?z]为纯虚数，所以[z]为纯虚数为真.对选项C：若[z]为纯虚数，则[a=0，]且[b≠0?z2<0]，所以[z2≥0]为假.对选项D：若[z]为纯虚数，则[a=0]且[b≠0?z2<0]，所以[z2<0]为真.

法二：经观察，C和D选项可能互相排斥. 取[z=i]，则[z2=-1<0]，所以C为假命题.

答案 C

点拨 实数扩充到复数以后，实数的四则运算法则仍然成立，但实数的有些性质不再成立.如复数的平方不一定非负，复数之间不一定有大小关系，只有实数的平方非负，实数之间才有大小关系.复数的几何意义是近年来高考命题的热点，主要考查复数在复平面内对应点的位置，有时也考查相反复数、共轭复数在复平面内的几何性质.

例4 复数[z1]，[z2]在复平面内对应点[A]，[B]，[z1=3+4i]，将点[A]绕原点[O]逆时针旋转[90°]得点[B]，则[z2=] （ ）

A. [3-4i] B. [-4-3i]

C. [-4+3i] D. [-3-4i]

解析 由复数几何意义得，[A（3，4）]，由[OA⊥OB]，且[B]在第二象限，从而[B（-4，3）]，所以[z2=-4-3i].

答案 B

点拨 复数的几何意义有两种，一是复数[z=a+bi]与复平面内的点[Z（a，b）]是一一对应的；二是[z=a+bi]与平面向量[OZ]是一一对应的.实数可用实轴上的点表示，虚数只能用实轴外的点表示，纯虚数用虚轴上除原点外的点表示.相反复数的对应点关于原点对称，共轭复数的对应点关于实轴对称.

2. 运算考查重基础、重综合

近年来复数的四则运算命题注重基本运算与基本概念综合，在考查基本运算能力的同时考查复数概念的理解水平.四则运算的考查特别注重复数乘法和除法法则以及方程思想.

例5 设复数[z1=1-i]，[z2=3+i]，其中[i]为虚数单位，则[z1z2]的虚部为 （ ）

A. [1+34i] B. [1+34]

C. [3-14i] D. [3-14]

解析 因为[z1z2=1+i3+i=（1+i）（3-i）3+1=3+14+3-14i，]所以[z1z2]的虚部为[3-14].

答案 D

点拨 复数的乘除运算要注意复数乘法法则和除法法则的不同之处，特别是除法法则的分子.复数的实部与虚部都是实数，特别是复数[z=a+bi]的虚部是[b]而不是[bi].

nlc202309032007

3. 与其它知识交汇考查重创新

例6 已知集合[M={1，2，zi}]，[i]为虚数单位，[N={3，4}]，[M?N={4}]，则复数[z]= （ ）

A. [-2i] B. [2i]

C. [-4i] D. [4i]

解析 由[M?N={4}]得[zi=4]，所以[z=-4i].

答案 C

点拨 本题考查集合的运算、复数的运算，由于在未引入复数之前，学生所见的数集都是实数集，因此此题命题有一定的创新，但新而不难，属容易题.对于含虚数的数集运算，本质上与实数集的运算没有区别，还是依据集合运算定义来解题.

例7 设[a，b∈R]，[i]是虚数单位，则“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的 （ ）

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

解析 法一：因为[a+bi=a-bi]，[a，b∈R]，所以复数[a+bi]为纯虚数的充分必要条件是[a=0]且[b≠0]，由[ab=0]得[a=0]或[b=0]，所以“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的必要不充分条件，选B.

法二：若[a=b=0]，则[a+bi=0]，排除A，C项；若[a=0，b=1]，则[a+bi]为纯虚数，排除D项.

答案 B

例8 设[a]是实数，若复数[a1-i+1-i52]（[i]为虚数单位）在复平面内对应的点在曲线[x2+y2=1]上，则[a]的值为 （ ）

A. 1 B. 2

C. [±1] D. [±2]

解析 因为[a1-i+1-i52=a（1+i）2+1-i2=a+12+][a-12i]，所以[（a+12）2+（a-12）2=1]，解得[a=±1].

答案 C

点拨 本题是在复数的几何意义和曲线方程的交汇处设计，考查复数运算及几何表示、曲线与方程关系，属容易题.复数共有三种表示代数表示、几何表示和向量表示，几何表示、向量表示提供了复数与解析几何、复数与平面向量融合的依据，因此复数在解析几何、平面向量中有足够的展示舞台.

例9 设复数[x=2i1-i]（[i]是虚数单位），则[C12013x+C22013x2]

[+C32013x3+…+C20132013x2013=] （ ）

A. [i] B. [-i]

C. [-1+i] D. [1+i]

解析 ∵[x=2i1-i=i（1+i）=-1+i]，

∴[C12013x+C22013x2+C32013x3+…+C20132013x2013]

[=（1+x）2013-1=][i2013-1=i-1].

答案 C

点拨 课本上的二项式定理，是指在实数集内的二项展开问题.但引入复数后，它的适用范围可以扩大到复数集. 本题易错点是对二项式展开式的项数出现记忆错误.从上可得知，复数也可以作为数学中的活跃元素，自然地加入到其它知识之中，这就给复数考题的命制提供了更大的空间，但由于高考对这部分内容的要求不高，所以创新题不会太难.

备考指南

数系的扩充与复数的引入是高考必考的内容，在复习备考过程中，一定要认真研读考试大纲和考试说明，把握复习的度.不可穿新鞋走老路，拔高高考要求，补充特殊复数的运算性质、复数模的运算性质、复数的三角形式、实系数一元高次方程，加大学生的课业负担，劳而无功.

复习的重心应放在复数相等的充要条件和复数的四则运算上，其中特别要注意近几年的热点问题，也就是在复数的基本概念、几何意义与复数的四则运算相互交织的问题，应加强这方面的训练. 另外还要注意高考的冷点，近几年的湖北卷一直没有考查共轭虚数、复数的模和复数的加法、减法的几何意义，有可能在今后的高考中出现，所以在备考中要覆盖这些知识点.

限时训练

1. 若复数[z]满足[iz=2+4i]，则在复平面内，[z]对应的点的坐标是 （ ）

A. [（2，4）] B. [（2，-4）]

C. [（4，-2）] D. [（4，2）]

2. 已知[i]为虚数单位， 则复数[i2-i]的模等于 （ ）

A.[5] B.[3]

C.[33] D.[55]

3. 在复平面内，复数[z]（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 （ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

4. 若复数[z]满足[（3-4i）z=|4+3i|]，则[z]的虚部为 （ ）

A. [-4] B. [-45]

C. 4 D. [45]

5. [i]为虚数单位，则[（1+i1-i）2013]= （ ）

A. [-i] B. -1

C. [i] D. 1

6. 设[i]为虚数单位，若复数[z=m2+2m-3+m-1i]是纯虚数，则实数[m=] （ ）

A. [-3] B. [-3]或[1]

C. [3]或[-1] D. [1]

7. 若[z∈C]且[|z|=1]，则[|z-2-2i|]的最小值是 （ ）

A. [22] B. [22+1]

C. [22-1] D. [2]

8. 已知复数[z1=m+2i，z2=3-4i]，若[z1z2]为实数，则实数m的值为 （ ）

nlc202309032007

A. [83] B. [32]

C. [-83] D. [-32]

9. 设[z1，z2]是复数，则下列命题中的假命题是 （ ）

A. 若[z1-z2=0]，则[z1=z2]

B. 若[z1=z2]，则[z1=z2]

C. 若[z1=z2]，则[z1?z1=z2?z2]

D. 若[z1=z2]，则[z12=z22]

10. 设复数[z=（1-i）n]，其中[i]为虚数单位，[n∈N*].若[z∈R]，则n的最小值为 （ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

11. 已知复数[z1]满足[（z1-z2）（1+i）=1-i，]复数[z2]的虚部为2，且[z1?z2]是实数，则[z2]等于______.

12. 已知[a，b∈R]，[i]是虚数单位.若[（a+i）（1+i）=bi]， 则[a+bi]= .

13. 在复平面内，[O]是原点，[OA]，[OC]，[AB]表示的复数分别为[-2+i，][3+2i，1+5i]那么[BC]表示的复数为 .

14. 若[z=2]且[z+i=z-1]，则复数[z]=________.

15. 已知复数[z=（2m2+3m-2）+（m2+m-2）i][（m∈R）]根据下列条件，求[m]的值.

（1）[z]是实数； （2）[z]是虚数；

（3）[z]是纯虚数； （4）[z=0].

16.已知复数[z1=3a+2+（a2-3）i，z2=2+（3a+1）i][（a∈R，i是虚数单位）].

（1）若复数[z1-z2]在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

（2）若虚数z1是实系数一元二次方程[x2-6x+m=0]的根，求实数m值.

17. （1）把复数[z]的共轭复数记作[z]，已知[（1+2i）z=4+3i]，求[z]及[zz].

（2）求虚数[z]，使[z+9z∈R]，且[z-3=3].

18. 设[z]是虚数，[ω=z+1z]是实数，且[-1<ω<2].

（1）设[u=1-z1+z]，求证：[u]是纯虚数.

（2）求[ω-u2]的最小值.

篇4：高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第11课时 数系的扩充教学案 苏教版选修

安阳市第三十八中学 付娟

本节为人教A版选修1-2，第二章第一节第一课时

一、《课程标准》对本节课的学习要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、教材内容和学生情况分析：

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

三、教学目标：

根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为：

1、通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部。

2、通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题。

3、通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目。

篇5：数系的扩充教学反思

根据学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：为什么要引入i？如何引入？i是什么？为此，本节主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用．

2.教学流程

从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质．基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成以下几个环节来进行：创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究。

3.可取之处

（1）重视问题的设置。无论是课题的提示，还是知识的生成、规律的总结，都能以一个个的问题为切入点，设置好适当的梯度，让学生在体验成功中提升能力。

（2）注重数学的人文价值。本节课一开始并未直接给出虚数的定义，再用机械重复的运算去巩固知识，而是通过对数系扩充过程的回顾，让学生感受人类理性思维在数学发展中作用，认识到数学发展既有来自外部的实际需求也有来自数学内部的逻辑规律，帮助学生更好地体会数学理论产生与发展的过程，形成正确的数学观。

4.待改进之处

（1）问题设置不够生动。如何使问题更能激发学生的课堂积极性。

（2）培养学生的学习能力，特别是自主学习的能力，做得不够。课前我已经准备了一些数学发展史的材料，这些材料如果能让学生自己去搜集，那么学生对这一部分知识会有更深刻的了解，但迫于平时自主学习的时间较少，扼杀了学生的能力。