高中数学二次函数内容

高中数学二次函数内容（共9篇）

篇1：高中数学二次函数内容

二次函数

一、知识回顾

1、二次函数的解析式

（1）一般式：顶点式：双根式：求二次函数解析式的方法：

2、二次函数的图像和性质

二次函数fxax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴的方程为。

（1）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

（2）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

（3）二次函数fxaxbxc(a0)2b2a时，函数有最值为b2a时，函数有最为。

当时，恒有 fx.0，当时，恒有 fx.0。

2（4）二次函数fxaxbxc(a0)，当b4ac0时，图像与x轴有两个交点，2

M1(x1,0),M2(x2,0),M1M2x1x2a.3.常见的实根分布情况设x1x2为f(x)=0（a>0）的两个实根。

（1）当x1m,x2m时，则有___________________

（2）当在区间（m,n）有且只有一个实根时，则有：__________________________

(3)当在区间（m,n）有两个实根时，则有：_________________________________

(4)当在两个区间中各有一个实根mx1npx2q时，——————————

二、基础训练

1、已知二次函数fxaxbxc(a0)的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值2

为，最大值为。

22函数fx2xmx3，当x(,1]时，是减函数，则实数m的取值范围是3函数fxx2axa的定义域为R，则实数a的取值范围是（4已知不等式xbxc0 的解集为11），则bc23

5若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则6 设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则7已知二次函数f(x)x4ax2a6(xR)的值域为[0,),则实数a

三、例题精讲

例1 求下列二次函数的解析式 2

(1)图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；

(2)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x；

(3)f(2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).例2 已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(3,2)时，f(x)0,当x(,3)(2,)时，f(x)0。（1）求f(x)在[0,1]内的值域。

（2）若axbxc0的解集为R，求实数c的取值范围。

例3 已知函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根，（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]？如果存在，求出m,n的值；若不存在说明理由。

2例4已知关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0①若存在正根，求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围

四、巩固练习

1.2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为不等式ax2+bx+c＞0 的解集为（x1,x2）(x1 x2<0),则不等式cxbxa0的解集为

223 函数y2cosxsinx的值域为x

axb4 已知函数f(x)(a,b为常数且ab0)且f(2)1，f(x)x有唯一解，则yf(x)的解析式为

225.已知a,b为常数，若f(x)x4x3,f(axb)x10x24，则5ab26.函数f(x)4xmx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的取值范围是

7.函数f(x)=2x-mx+3, 当x∈[-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2]时是减函数，8.若二次函数f(x)axbxc满足f(x1)f(x2)(x1x2)则f(x1x2)9.若关于x的方程ax2x10至少有一个负根，则a的值为

10.已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m的范围。

11.若函数f(x)=x+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m的取值范围是

12.设f(x)=lg(ax-2x+a)(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。222222

篇2：高中数学二次函数内容

浙江省新昌县知新中学张云云

【摘要】二次函数是高中数学的重要部分，学好二次函数对于提高数学的综合能力及数学成绩有着重要的作用。进入高中后，二次函数相对于初中来说难度明显加大，内容的覆盖程度也逐渐扩大。如何寻找有效的教学方法，提升高中生学习二次函数的效率，是高中数学教师的重要工作内容。

篇3：二次函数在高中数学中的应用

初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素X在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

类型1:已知f (x) =2x2+x+2, 求f (x+1)

这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

二、二次函数的单调性, 最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞, -b/2a]及[-b/2a, +∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图象的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型2:画出下列函数的图象, 并通过图象研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图象。

类型3:设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) 。

求:g (t) 并画出y=g (t) 的图象

解:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈[t, t+1]即0≤t≤1, g (t) =-2

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2

首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化, 为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6 (-3≤x≤-1) , 求该函数的值域。

三、二次函数的知识, 可以准确反映学生的数学思维

类型4:设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程f (x) -x=0的两个根x1, x2满足0

(Ⅰ) 当X∈ (0, x1) 时, 证明X

(Ⅱ) 设函数f (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明x0

解题思路:

本题要证明的是x

(Ⅰ) 先证明x

因为00, 又a>0, 因此f (x) >0, 即f (x) -x>0.至此, 证得x

根据韦达定理, 有x1x2=c/a∵0f (0) , 所以当x∈ (0, x1) 时f (x)

即x

函数f (x) 的图象的对称轴为直线x=-b/2a, 且是唯一的一条对称轴, 因此, 依题意, 得x0=-b/2a, 因为x1, x2是二次方程ax2+ (b-1) x+c=0的根, 根据韦达定理得, x1+x2=- (b-1) /a,

二次函数, 它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

篇4：高中数学二次函数内容

关键词：初高中数学；二次函数；基础

众所周知，函数是贯穿于整个数学教学过程中的内容，是培养学生数学素养的重要组成部分。而且，二次函数是初三阶段的主要内容，也是中考中不可缺少的内容；又是高一阶段的必修内容，是学生进行其他知识学习的基础。因此，本文就对如何从二次函数的相关知识入手来做好初高中数学教学的衔接工作进行论述，以为高效数学课堂的顺利进行打下坚实的基础。

一、为什么要用二次函数做衔接的桥梁

二次函数是初三阶段的主要内容，也是高一阶段最初接触的内容，所以，这就成为保护学生学习兴趣的关键点，也就成为提高学生高中数学课堂参与度的重要内容。再者，二次函数所要学习的内容为：定义、定义表达式、图象、单调性、最值、奇偶性等相关的知识，而初中阶段大部分内容已经学过，只是高中阶段对每项都进行了深入。所以，用“二次函数”作为连接初高中数学教学的桥梁是非常恰当的。

正所谓万事开头难，良好的开端是成功的一半。对于教学来说也是一样，对于高一阶段的学生来说，如果刚开始就让学生学习全新的知识，比如，后面的指数函数、对数函数或者是将双曲线的相关知识放在这个位置，学生就会心存畏惧，就会对这些相对初中阶段复杂的知识产生恐惧，进而逐步失去学习的兴趣。而二次函数放在这些知识前面学习，不仅符合学生的认知规律，而且也能让学生以饱满的信心走进课堂，进而为保护学生长久的学习兴趣打下坚实的基础。

总之，以二次函数作为桥梁来衔接初高中数学的教学是正确的选择，也是端正学生的学习态度，提高学生高中数学课堂参与度的重要方面。所以，在新课程改革下，教师要借助二次函数来进行衔接工作，以为高中数学教学质量的提高做好保障工作。

二、如何借二次函数做好初高中数学的衔接

1.从图象上做好衔接工作

图象是二次函数教学中的重要内容之一，所以，在实际教学过程中，我们要有意识地从图象入手来做好二次函数的衔接工作，以帮助学生理解函数单调性以及最值的相关内容。因此，在高中数学衔接工作中，我们要充分发挥二次函数图象的特点，来帮助学生理解相关的数学知识，进而也为高效数学课堂的顺利实现打下基础。因此，在教学时，我首先向学生展示了最简单的y=x2的图象，引导学生自己动手画出来，然后引导学生思考：y轴左边的x值与y值之间的关系，y轴右边x值与y值之间的关系，并在学生思考得出结论之后，顺势将二次函数的单调性引入课堂，即：y轴左边y值随着x值的增大而减少，y轴右边y值随着x值的增大而增大。之后，再引导学生对其他的函数的图象进行分析，以帮助学生正确理解函数的单调性。这样的衔接不仅符合学生的认知规律，而且对帮助学生理解函数单调性的概念也有着密切的联系，同时对提高本节课的学习质量也起着非常重要的作用。

2.从应用上做好衔接工作

借助二次函数的相关知识解决问题在初高中数学考试中已经涉及，只不过二次函数的应用题对初中生来说是难点，对高中生来说是基本知识。所以，这也就成为我们借助二次函数进行初高中数学衔接的点。比如，某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元之间的关系为y=-+162x-21000，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？虽然初高中二次函数在应用上题的难度不同，但考查点是相同的，目的就是让学生找到对应的关系之后，对函数进行最值的求解。当然，在高中数学习题中，有时限制比较多，会考虑定义域的问题。所以，在教学时，我们要做好这方面的衔接工作，以帮助学生在高中学习时找到熟悉感，进而能自主地投入到课堂活动中，同时，也为高效课堂的实现做好保障工作。

作为新时期的数学教师，我们要从思想上清楚，二次函数作为衔接点的重要性，这样才能从二次函数的相关知识中找到衔接的方面，才能确保高效数学课堂的顺利构建。但是，在整个衔接的过程中我们还要注意学生主体性的发挥，要有意识地给学生搭建自主学习的平台，引导学生自主去发现初高中二次函数知识的异同点，这样才能真正提高学生的知识应用能力，进而确保学生在高效数学课堂中获得良好的发展。

参考文献：

[1]彭兴健.以二次函数为切入点做好初高中数学衔接教学[J].数学教学通讯，2009（36）

[2]黄秋芬.如何做好初高中二次函数的衔接教学[J].新课程学习：下旬，2014（7）.

篇5：高中数学二次函数内容

一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时，达到最大高度4m（B处），设篮球运行的路线为抛物线。篮筐距地面3m.

①问此球能否投中？

②此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功？

其中第2个问题中，由y=3.19可求得x=1.3m或x=6.7m.

篇6：高中数学二次函数内容

宁波市武岭中学

杨建军 315502 yjianjunls@163.com 一个实际问题的解决方案应该是有多种的，因此本课采用“预设和生成”的教育理念，兼容多种方案，使学生真正能够在利用函数模型来解决实际问题的同时，如何来处理与采纳某种方案。本教学设计注重了学生的探究能力的培养，突出了学生的主体地位，体现了新课程的其它新的理念。

本课是在学习了初中一次、二次及反比例函数与高中基本函数模型的基础上，通过建立和运用函数基本模型，体验数学建模、拟合等数学基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识。本授课班级双基能力较强，但是由于学生刚刚接触对数型函数等新知识点，有可能对于建立这些函数模型比较困难。1 教学三维目标、重点、难点、准备。1．1教学三维目标

（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。

（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。

（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。

1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。

1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。2 教学过程。

（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：

把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。数学建模的形式是多样的。解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。

运用建模思想解函数应用题的一般步骤是： 读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；

建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)； 求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；

还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。

一.由变量之间的依存关系建立函数关系；

二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。

例：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件。由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好，为使推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？

（学生）：画散点图。（学生们接下来画散点图，过1分钟。）板书：画散点图

图1（教师）：（打开几何画板），如图1所示各点：把4个点分别记为A、B、C、D。观察这4个点有何联系？

（学生）：这4个点基本上在同一条直线上。（学生）：应该是一次函数，是yaxb,(a0)。

板书：由图可知：①用一次函数f(x)axb,(a0)拟合，把B、C坐标值代入，得 2 f(2)2ab1.2a0.1，故f(x)0.1x1。f(3)3ab1.3b1∴f(1)1.1与实际的误差为0.1，f(4)1.4与实际的误差为0.03（教师）：（打开几何画板），如图1蓝线所示：

（教师）：我们仔细地观察图形，发现A、D都在直线的下方，我们可以——（学生）：二次函数可以吗？（有点不肯定）

板书：②用二次函数g(x)ax2bxc,(a0)拟合，把A、B、C坐标值代入，得g(1)abc1a0.052g(2)4a2bc1.2b0.35，故g(x)0.05x0.35x0.7 g(3)9a3bc1.3c0.7∴g(4)0.05420.3540.71.3与实际误差为0.07（教师）：（打开几何画板），如图1黑线所示。

（教师）：观察这些数据，我们可以发现随着自变量的增加函数值也在增加，但是增加的速度是越来越慢的，那我们可以——

（学生甲）：对数函数。（学生乙）：幂函数。（学生丙）：指数函数。（教师）：要求掌握的是可以用

11次的幂函数，从经过的点来看不是次的幂函数，但是我们221次的幂型函数来拟合。212板书：③用幂型函数q(x)axb,(a0)拟合，把A、B坐标值代入，得

1q(1)ab1a0.48，故q(x)0.48x20.52 q(2)2ab1.2b0.52∴q(3)1.35与实际误差为0.05，q(4)1.48与实际误差为0.11，（教师）：（打开几何画板），如图1红线所示：

（教师）：因为图象不经过(0,1)这个点，可以肯定不是指数函数。

（学生）：课本上有个例子是用yab来拟合的，是不是这个也可以的？（学生基本上已经开始打开思路）

板书：④用指数型函数s(t)abc,(a0)拟合，把A、B、C坐标值代入，得

xx 3

(1)s(1)abc12s(2)abc1.2(2)，s(3)ab3c1.3(3)ab2ab0.2a0.8（2）-（1）、（3）-（1）得，∴c1.4 3b0.5abab0.3故s(x)0.80.5x1.4。∴s(4)1.35与实际的误差为0.02

（教师）：（打开几何画板），如图1绿线所示：

（学生）：（议论，基本能想到在整个函数式子后面加一个常数，很少想到图象的左右平移，即在x后边加一个常数）

（教师）：同学们都能想到在整个式子后加一个常数，我们知道这是图象的上下平移；难道同学们就不能想到图象的左右平移，那这样的式子应该是——

（学生）：x后边加一个常数。

板书：⑤用对数型函数t(x)loga(xb)c,(a0且a1)拟合，把A、B、C坐标值

t(1)loga(1b)c1(1)loga代入，得t(2)loga(2b)c1.2(2)，（2）-（1）、（3）-（1）得t(3)log(3b)c1.3(3)logaa0.22ba1b(4)2b33b2)()，∵(a0.2)3(a0.3)2，∴(3b1b1b(5)a0.31b2b520.38250.25)()123，∴b0.382，a(a)(1b10.382,b0.382代入（1）得c1.100，把a1232b0.21b，3b0.31b故t(x)log123(x0.382)1.100，∴t(4)1.367与实际的误差为0.003（教师）：刚才我们算了一个比较小的误差，现在这个误差是更小的。（教师）：（打开几何画板），如图1墨绿线所示：

（教师）：从图象中我们可以看到D点更加接近于曲线，所以说假如你们作为厂长的话，你们选择的函数模型应该是t(x)log123(x0.382)1.100，以这个函数模型作为依据来估计以后几个月的需求量。由实际的趋势我们也可以知道当一种新的产品投入市场后的一段时间内，假如产品好的话，肯定会比较畅销。过了这段时间由于市场饱和及工厂设备或另一 4 种新的产品出现等情况，必定要导致原来产品的平稳期。所以说我们也应该选择这一函数模型。在刚才的函数模拟中有同学提出是否可以在式子前乘上一个系数，这是完全可以的。由于时间的关系我们就不继续展开了，同学们可以在课后去研究一下是否可行。

实际上对于这样一个具体的问题，我们假如继续去模拟新的函数模型有可能会更加吻合。这里只能说没有最好的，只有更好的，所以说答案也是不一定唯一的。马尔萨斯人口增长模型也是在他经过无数次的拟合后得到的一个模型。

下面我们来看一下我们刚才的基本过程：（打开PPT）（如图2）（说明：各方块在PPT中是逐一出现的）

图2 实行了新的课程之后，我们要学习的一门重要学科就是《研究性学习》。刚才的过程给了我们一个比较好的实例，如何来解决实际的问题，对于同学们搜集到的数据如何进行处理。

（打开PPT）小结：（1）（2）（3）（说明：小结部分可由学生自己总结得到）作业：某厂生产一种机器的固定投入为0.5万元,但每生产100 台,需要另投入0.25万元.市场对此产品的需求量为500台,销售收入函数为1R(x)5xx2(万元),其中x是产品售出的数量(单位:百台).2(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?(3)年产量是多少时,工厂才不会亏本?

3 板书设计

函数建模： ③ 小结： 步骤： ④ 解：① ⑤ 作业：

② 4 教学反思。

作为新课改下的一节研究性的课堂教学，主要有以下几个理念的体现：（1）“预设和生成”的教育理念

一个问题摆上讲台，首先要有自己的一份思想，同时人与人的思想都不相同，总是有许多学生能够提出新的问题，这时我们要学会去引导与解决。

（2）导积极主动、勇于探索的学习方式

新课程里倡导的是学生的主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。这节课里的5种函数模型基本上都是学生在主动探索中来发现，这样有助于发展他们的创新意识。

（3）提高学生的数学思维能力

同学们在运用所学的数学知识解决问题时，不断地运用了直观感知、数据处理、观察发现、归纳类比、反思与建构等思维过程。

（4）发展学生的数学应用意识

越来越多的学生认为高中数学的学习已经是越来越没用了。实际上数学越来越多地在生活、经济、政治、文化等领域中发挥了不可替代的作用。

（5）与时俱进地体现“双基”

我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。新课改要求着我们继续发扬这种传统，但也要适当的改变。例如一些计算可以由计数器来完成，不加入一些人为性的计算技巧等。

（6）注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。本节课中的散点图以及各函数图象如果不是在几何画板中来完成就会影响了时间又影响了各函数拟合效果。

篇7：二次函数数学教学方案

教学目标：

1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

3.能根据二次函数y=ax2的图象，探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。

教学重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质

教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系

教学方法：自主探索，数形结合

教学建议：

利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数性质的真正理解。

教学过程：

一、认知准备：

1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么?

2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)

你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。

二、新授：

(一)动手实践：作二次函数y=x2和y=-x2的图象

(同桌二人，南边作二次函数y=x2的图象，北边作二次函数y=-x2的图象，两名学生黑板完成)

(二)对照黑板图象议一议：(先由学生独立思考，再小组交流)

1.你能描述该图象的形状吗?

2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么?

3.当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢?

4.当x取什么值时，y值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

5.该图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。

(三)学生交流：

1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的.概念，由问题2引出抛物线的顶点)

2.二次函数y=x2和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点?

3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2和y=-x2图象，根据图象回答：

(1)二次函数y=x2和y=-x2的图象关于哪条直线对称?

(2)两个图象关于哪个点对称?

(3)由y=x2的图象如何得到y=-x2的图象?

(四)动手做一做：

1.作出函数y=2x2和y=-2x2的图象

(同桌二人，南边作二次函数y=-2x2的图象，北边作二次函数y=2x2的图象，两名学生黑板完成)

2.对照黑板图象，数形结合，研讨性质：

(1)你能说出二次函数y=2x2具有哪些性质吗?

(2)你能说出二次函数y=-2x2具有哪些性质吗?

(3)你能发现二次函数y=ax2的图象有什么性质吗?

(学生分小组活动，交流各自的发现)

3.师生归纳总结二次函数y=ax2的图象及性质：

(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

(2)性质

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下[

b:顶点坐标是(0，0)

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧(X<0)，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧(x>0)，y随x的增大而增大，a〈0时，在对称轴的左侧(X<0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧(x>0)，y随x的增大而减小。

4.应用：(1)说出二次函数y=1/3x2和y=-5x2有哪些性质

(2)说出二次函数y=4x2和y=-1/4x2有哪些相同点和不同点?

三、小结：

通过本节课学习，你有哪些收获?(学生小结)

1.会画二次函数y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线

2.知道二次函数y=ax2的性质：

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下

b:顶点坐标是(0，0)

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

篇8：二次函数在高中数学中的应用

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c (a, b, c为常数，a≠0)，与二次函数在初中阶段理解的不同，高中阶段的二次函数在集合和映射的基础之上进行认识理解的，主要以映射的知识重新认识了函数的定义：二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0)与集合A的元素X对应，记作：(x)=ax2+bx+c (a≠0)，这里面的这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.

二、二次函数的单调性，最值，图像

将一元二次函数配方得:顶点坐标为, 对称轴是

(1)当a>0时，函数在区间(-∞，)上是减函数，在区间上是增函数, 函数图像开口朝上, f (x) min=, 无最大值.

(2) 当a<0时, 函数在区间是增函数, 在区间上是减函数, 函数图像开口朝下, 无最小值.

三、二次函数在不等式中的应用

由二次函数的图像可知：若一元二次方程ax2+bx+c=0有2个不相等的实数根x1, x2 (x1

当a>0时，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>x1或x

不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1

当a<0时，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x1

不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>x1或x

例：函数f (x)=(4-3a) x2-2x+a，若0≤x≤1, x为变量，a为常量，求证：

(1)当a>时，f (x)≤a;

(2)当1

证明：(1)当a>时，4-3a<0，则当x≤<0时，f (x)单调递增，

当x≥时，f (x)单调递减，�≤x≤1, f (x)单调递减，

(2)当10，则当x≥>1时，f (x)单调递增，

当x≤时，f (x)单调递减，�≤x≤1, f (x)单调递减，

四、二次函数在数列中的应用

例：等差数列{an}的首项a1>0，前n项和Sn，当l≠m时sm=sl，问n为何值时sn最大?

分析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件.

解析：由题意知，因为a1>0，当l≠m时，sm=S1，故d<0，即此二次函数开口向下，故由f (l)=f (m)得当x=时f (x)取得最大值，但由于n∈N+，故若l+m为偶数，当n=时，sn最大.

若l+m为奇数, 当n=时, sn最大.

小结：数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题.特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如sn=an2+bn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和.此时由=an+b知数列中的点(n, )在同一直线上，这也是一个很重要的结论.此外形如前n项和sn=can-c所对应的数列必为一等比数列的前n项和.

五、二次函数在导数中的应用

例：函数y=f (x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，求a, b的值.

分析：易知f′(1)=0, f (1)=10，从而求出a, b的值，但f′(1)=0是函数在该点取得极值的必要不充分条件，故应进行检验.

解:由题意得是函数的极值, 且极值为10, 则有:

当a=4, b=-11时

x>1时，f′(x)>0;-

当a=-3, b=3时,

此时f (x)在R上单调递增，x=1不是函数的极值点，故应舍去.

小结:函数存在极值的充要条件是有两个不相等的实数根, 即

六、二次函数在解析几何中的应用

例:讨论直线y=kx+1与双曲线的公共点的个数.

解:由消去y得:

当1-k2=0，即k=±1时，有一个公共点，并且是交点;

当1-k2≠0，即k≠±1时，D=8-4k2,

由D>0得，时，有两个交点，

由D=0得，k=±时，有一个交点，并且是切点，

由D<0得，时，无交点.

综上所述：k∈(，-1)∪(-1, 1)∪(1，)时，有两个公共点;

k=±时，相切于一点;

k=±1时，相交于一点;

k∈(-∞，-)∪(，+∞)时，无公共点.

小结：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

参考文献

[1]王后雄.教材完全解读高一数学 (上学期) , 2006.

篇9：二次函数在高中数学中的应用浅探

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.