九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划（精选12篇）

篇1：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

教学目标

【知识与技能】

使学生理解并掌握函数y=a（x—h）2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a（x—h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

【过程与方法】

让学生经历函数y=a（x—h）2+k性质的探索过程，理解并掌握函数y=a（x—h）2+k的性质，培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力。

【情感、态度与价值观】

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

重点难点

【重点】

确定函数y=a（x—h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a（x—h）2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a（x—h）2+k的性质。

【难点】

正确理解函数y=a（x—h）2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a（x—h）2+k的性质。

教学过程

一、问题引入

1。函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系？

（函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的。）

2。函数y=—（x+1）2的图象与函数y=—x2的图象有什么关系？

（函数y=—（x+1）2的图象可以看成是将函数y=—x2的图象向左平移一个单位得到的。）

3。函数y=—（x+1）2—1的图象与函数y=—x2的图象有什么关系？函数y=—（x+1）2—1有哪些性质？

（函数y=—（x+1）2—1的图象可以看作是将函数y=—x2的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，开口向下，对称轴为直线x=—1，顶点坐标是（—1，—1）。）

二、新课教授

问题1：你能画出函数y=—x2，y=—（x+1）2，y=—（x+1）2—1的图象吗？

师生活动：

教师引导学生作图，巡视，指导。

学生在直角坐标系中画出图形。

教师对学生的.作图情况作出评价，指正其错误，出示正确图形。

解：（1）列表：

xy=—x2y=—（x+1）2y=—（x+1）2—1

…………

—3——2—3

—2—2——

—1—0—1

00——

1——2—3

2—2——

3——8—9

…………

（2）描点：用表格中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点;

（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y=—x2，y=—（x+1）2，y=—（x+1）2—1的图象。

问题2：观察图象，回答下列问题。

函数开口方向对称轴顶点坐标

y=—x2向下x=0（0，0）

y=—（x+1）2向下x=—1（—1，0）

y=—（x+1）2—1向下x=—1（—1，—1）

问题3：从上表中，你能分别找到函数y=—（x+1）2—1，y=—（x+1）2与函数y=—x2的图象之间的关系吗？

师生活动：

教师引导学生认真观察上述图象。

学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识。教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充。

函数y=—（x+1）2—1的图象可以看成是将函数y=—（x+1）2的图象向下平移1个单位得到的。

函数y=—（x+1）2的图象可以看成是将函数y=—x2的图象向左平移1个单位得到的。

故抛物线y=—（x+1）2—1是由抛物线y=—x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=—（x+1）2，再将抛物线y=—（x+1）2向下平移1个单位得到的。

除了上述平移方法外，你还有其他的平移方法吗？

师生活动：

教师引导学生积极思考，并适当提示。

学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识。

教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充。

抛物线y=—（x+1）2—1是由抛物线y=—x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=—x2—1，再将抛物线y=—x2—1向左平移1个单位得到的。

问题4：你能发现函数y=—（x+1）2—1有哪些性质吗？

师生活动：

教师组织学生讨论，互相交流。

学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识。

教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充。

当x—1时，函数值y随x的增大而增大;当x—1时，函数值y随x的增大而减小;当x=—1时，函数取得最大值，最大值y=—1。

三、典型例题

【例】 要修建一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？

师生活动：

教师组织学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言。

学生积极思考、解答。

指名板演，教师讲评。

解：如图（2）建立的直角坐标系中，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a（x—1）2+3（0≤x≤3）。

由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a（3—1）2+3，

解得a=—，

因此y=—（x—1）2+3（0≤x≤3），

当x=0时，y=2。25，也就是说，水管的长应为2。25 m。

四、巩固练习

1。画出函数y=2（x—1）2—2的图象，并将它与函数y=2（x—1）2的图象作比较。

【答案】函数y=2（x—1）2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的，再将y=2（x—1）2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2（x—1）2—2的图象。

2。说出函数y=—（x—1）2+2的图象与函数y=—x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

【答案】函数y=—（x—1）2+2的图象可以看成是将函数y=—x2的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是（1，2）。

五、课堂小结

本节知识点如下：

一般地，抛物线y=a（x—h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（或下）向左（或右）平移，可以得到抛物线y=a（x—h）2+k。平移的方向和距离要根据h、k的值来确定。

抛物线y=a（x—h）2+k有如下特点：

（1）当a0时，开口向上;当a0时，开口向下;

（2）对称轴是x=h;

（3）顶点坐标是（h，k）。

教学反思

本节内容主要研究二次函数y=a（x—h）2+k的图象及其性质。在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a（x—h）2+k与y=ax2有密切的联系，我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a（x—h）2+k的图象。由y=ax2得到y=a（x—h）2+k有两种平移方法：

方法一：

y=ax2

y=a（x—h）2

y=a（x—h）2+k

方法二：

y=ax2

y=ax2+k

y=a（x—h）2+k

在课堂上演示平移的过程，让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系，这里利用几何画板软件效果会更好。

篇2：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

23.2二次函数y=ax2的图象和性质

教学目标：

.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

3.能根据二次函数y=ax2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）。

教学重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质

教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系

教学方法：自主探索，数形结合 教学建议：

利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数性质的真正理解。

教学过程：

一、认知准备：

．正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么？

2．画函数图象的方法和步骤是什么？（学生口答）

你会作二次函数y=ax2的图象吗？你想直观地了解它的性质吗？本节课我们一起探索。

二、新授：

（一）动手实践：作二次函数

y=x2和y=-x2的图象

（同桌二人，南边作二次函数

y=x2的图象，北边作二次函数y=-x2的图象，两名学生黑板完成）

（二）对照黑板图象议一议：

.你能描述该图象的形状吗？

2.该图象与x轴有公共点吗？如果有公共点坐标是什么？

3.当x<0时，随着x的增大，y如何变化？当x>0时呢？

4.当x取什么值时，y值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

5.该图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点。

（三）学生交流：

.交流上面的五个问题（由问题1引出抛物线的概念，由问题2引出抛物线的顶点）

2.二次函数y=x2和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点？

3．教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2

和y=-x2图象，根据图象回答：

（1）二次函数y=x2和y=-x2的图象关于哪条直线对称？

（2）两个图象关于哪个点对称？

（3）由y=x2的图象如何得到y=-x2的图象？

（四）动手做一做：

1．作出函数y=2x2

和

y=-2x2的图象

（同桌二人，南边作二次函数y=-2x2的图象，北边作二次函数y=2x2的图象，两名学生黑板完成）

2．对照黑板图象，数形结合，研讨性质：

（1）你能说出二次函数y=2x2具有哪些性质吗？

（2）你能说出二次函数y=-2x2具有哪些性质吗？

（3）你能发现二次函数y=ax2的图象有什么性质吗？

（学生分小组活动，交流各自的发现）

3．师生归纳总结二次函数y=ax2的图象及性质：

（1）二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

（2）性质

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下[

b:顶点坐标是（0，0）

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧（X＜0)，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而增大，a〈0时，在对称轴的左侧（X＜0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而减小。

4．应用：（1）说出二次函数y=1/3x2

和

y=-5x2

有哪些性质

（2）说出二次函数y=4

x2和

y=-1/4x2有哪些相同点和不同点？

三、小结：

通过本节课学习，你有哪些收获？（学生小结）

．会画二次函数y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线

2．知道二次函数y=ax2的性质：

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下

b:顶点坐标是（0，0）

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

篇3：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

一、二次函数的图象与性质的学习, 学生经常会出现方向判断错误问题

二次函数是初中数学教材的重点教学内容, 也是中考出题的考点之一, 它综合考查了学生的实践操作能力和空间想象能力。但是, 学生在学习这一板块的内容时, 经常会出现方向判断错误的问题。

《义务教育初级中学课本 (试用) 第五册A数学》通过画几个二次项系数相同的二次函数图象, 如:y=2x2, y=2 (x+1) 2和y=2 (x+1) 2+3的图象, 归纳总结y=a (x+m) 2+k的图象可以由函数y=ax2平移得出平移法则:“一般地, 函数y=a (x+m) 2+k的图象可以由函数y=ax2的两次平移得到, 当m>0时, 向左平移m个单位, 当m<0时向右平移|m|个单位;当k>0时, 再向上平移k个单位, 当k<0时, 向下平移|k|个单位。”

由于这条法则环节比较多, 学生很容易忘掉, 而且提醒过后, 再次用时, 还是会出错, 平移法则加上“正左负右, 正上负下”的口诀依然不能解决根本的问题, 原因在于法则与“正向上, 负向下”的内容有别, 还与x轴y轴移动法则不同, 若是单凭对法则的机械记忆, 而不能够通过有效的办法让数和形结合起来, 很难得出正确的结论。

二、运用数形结合的数学思想来解决二次函数的问题行之有效

笔者在讲授这一板块时, 也遇到了很多的问题, 在实践中也想了很多种办法。笔者觉得运用数形结合的方式来研究方程与二次函数图象的关系更易理解。即在教学时先令x+m=0, 得x=-m;当x=-m时, y=k.即顶点 (0, 0) 到 (-m, k) 的移动, 从而在直角坐标平面内获得图象的移动, 这种方法简称为“方程-图象相结合”法。

经过笔者多次的实践经验总结, 方程和图象相结合的方法比常规的移动图象的法则更易掌握。因为用方程与图象相结合的思想是同化, 易于理解和掌握。学生们都对一元一次方程的知识很熟悉, 且掌握得非常好, 在讲一元一次方程时, 也可以用到数形结合的思想, 运用顶点坐标的知识, 让学生运用方程与图形相结合的平移图形与方程和顶点知识发生联系, 温故而之新, 让学生运用旧的知识与新的知识相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结构中去, 这样学生由学会的知识过渡到新学的知识, 自然会感觉到易于接受。而教材中的平移法则只是注重了记忆的东西, 让学生先熟记法则, 再加以运用, 增加了难度, 增大了出错的机会, 且与坐标平移的方法不统一, 极易出错。笔者认为学生单纯地记法而忽略法则本身是从具体的函数图象中平移总结出来的, 这就给学生的学习造成了障碍。

笔者认为用数形结合的思想学习图象的平移是回归本质, 再加上我们找的又是关键点的平移, “点”在图象上也是图形之一, 关键点的移动情况就可以代表整个图形的移动走向, 这样可以减少法则的记忆, 降低出错的机率。我们以点带面地来分析二次函数, 就简化了整个图象向左向右、向上向下移动的情形, 因为每做一道题把整个图形都画出来是不符实际又浪费时间的。

三、在教授二次函数时需注意的方面

很明显, 按照二次函数画出整个图形来做判断是不可行的, 过于麻烦, 而运用数形平移知识简化教学程序, 运用解方程的方法求出顶点坐标, 再以顶点的动态来确定整个图形动态的方法简单易理解, 易操作。学生比较喜欢且容易找到做题的突破口, 因其是之前学习并熟练掌握的内容。运用方程求出顶点坐标, 可以不涉及图象平移的法则, 这样会减少出错, 在今后的数学教学过程中, 教师也可以不用再补充这段法则, 完全按着简化的思想来解题就可以了。

综上所述, 我们可以看出, 二次函数与图象是动态的问题, 它对学生的综合能力要求非常高, 解题的方法也多种多样, 其中所含的数学方法有数形结合思想、函数思想、分类讨论思想、数学建模思想等等。这一类题型是考查学生图形变换、动静结合、有条理地分析和解决问题的能力, 可以提高学生的观察能力、空间构建能力、总结归纳能力、验证推理能力等, 让学生动静互转, 化繁为简, 还要善于抓住运动过程中的某一特殊位置的等量关系及变量关系, 探究一下试题内在考查的知识点, 对于学生的数学能力提升非常有帮助。笔者认为解答二次函数的问题一定要做到静中取动, 或在动中求静, 在静中求解, 抓住解题关键点。

参考文献

[1]马复.义务教育课程标准试验教科书数学七年级上册[M].第3版.北京:北京师范大学出版社, 2003.

篇4：二次函数的图象和性质

对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。

1.图象的识别

【例1】 （2006 福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（ ）。

【分析】 依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]2<0，∴抛物线对称轴在y轴的左侧。

解：B.

【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题。二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与x轴有两个交点。

【例2】 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac-b2[]4a=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.

正确的序号是.

【分析】 从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c，由图象知（-1，a-b+c）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确。

解：正确的序号为①②③④.

【小结】 我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。

【例3】 （2006 武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且00；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数是（ ）.

【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 00正确；∵-b[]2a=-1，∴ b=2a，∴ b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ∴ ③正确；故答案为2个.

【小结】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。

2.性质的应用

【例4】 （2006 山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]2，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

【分析】 解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断。

解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2，b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1[]2=-m2-2<0，

∴ 此函数的图象与x轴没有交点。

对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+2[]2,b2-4ac=(-m)2-4×1×(-m2+2[]2)=3m2+4>0，

∴ 此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-m2+2[]2

（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0，整理得m2-2m=0，∴ m=0或m=2.

当m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此时B点的坐标是（1，0）.

当m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此时B点的坐标是（3，0）.

（3）当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，

∴ 当x<0时，y随x的增大而减小.

当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，

∴ 当x<1时，y随x的增大而减小。

篇5：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教

师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】 你能独立完成问题2吗？。

问题2:试作出二次函数的图象。

要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

（学生稍作思考）

师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所

在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

（二）师生互动、探究新知

在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

例

1、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：按照解析式----性质----推断函数图象的过程来探讨，【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：

（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。

根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：（1）单调性的分析：

在=时，自变量越小，中当

就越大，时，就越大，即

取得最小值-2，当就越大；当就越大； 时，自变量越大，就越大，就越大，即这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。（2）对称性的分析：

在=时，即，=

也就是，则

中当和时，如果

成立。

时，一定有也就是因此可以令成立，这就是说二次函数应的点为对称中心的两个点对应的两个数的自变量在轴上取两个关于-4对和

时，函数值

对称。总是成立的，这就说明函数的图象关于直线在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数任意都有

成立，则函数

对定义域内的对称。的图象关于直线在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题：

练习：试用以上结论来概括函数___________________________.应该满足的结论是在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

【设计意图是：学生自主探究、小组讨论、发现知识间的内在联系．教师针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，让学生真正实现知识的迁移，形成较为完整的新的认知体系。鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．】

各学习小组再次探讨后，请学习小组代表回答，教师引导完成图象：

在这个过程中，考虑到各学习小组的水平可能有所不同，有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线等问题，教师要说明其实这也是研究函数要考虑的一个重要的性质，是函数的凹凸性，后面我们将要给大家介绍，有兴趣的同学可以阅读课本第110页的探索与研究。

【设计意图是：为后面的探索与研究打下伏笔，同时也给学生留下一个思考与探索的空间，培养学生课外阅读、自主研究的能力，增强学生学习数学的积极性．】

【学情预设：有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线的质疑。】 在得到函数的图象之后，教师再请同学们以学习小组为单位，分析讨论利用二次函数解析式结合图象分析性质和利用解析式分析性质然后推断函数图象的两种研究过程的流程图.学习小组代表回答，教师引导完成以下内容：

【设计意图是：①把具体的数学问题进一步梳理并加以提炼、抽象、概括，使问题得以升华，拓宽学生的思维，形成新的认知。

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

在学生形成认知的基础上，为了让学生抓住问题的本质，把这种方法真正的内化，拓宽学生的认知结构，教师再次提出问题：

教师提出问题：研究函数（比如今天的二次函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？特别是：如果用函数的性质推断函数的图象时需要研究分析函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

在教师的引导中得出结论：可以根据具体的函数从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

【设计意图是：在教师的组织引导下通过合作交流、共同探索,使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．最终寻求到解决问题的方法。】

（三）独立探究，巩固方法

师：既然通过上面的学习使我们认识到学习研究函数的性质与图象可以从不同的角度完成，那么同学们是否可以按照例1的方法---先分析性质再推断图象来独立完成下一个问题呢？由此将带领学生进入本节课的第三个环节——独立探究，巩固方法，这也是本节课所要突破的一个难点。

例

2、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：每位同学都按照从解析式出发、分析研究性质从而推断图象。最后将研究所得到的结论写出来以便交流。

【设计意图：例2在题目的设置上变换二次函数的开口方向，目的是一方面使学生加深对知识的理解，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．学生在例1的基础上从极值点，零点，单调区间，对称性等方面目标明确地研究性质再比较准确的画出图象，使新知得到有效巩固．强化方法的同时训练学生灵活应用的意识和能力。通过自主探索、不仅让学生充当学习的主人更可让学生充分经历知识的形成过程，从而加深每位同学对所得到结论的理解和认识。形成自己对本节课难点的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力。让学生上台汇报研究成果，是让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。】

【学情预设：考虑到各位同学的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别同学可做适当的指导。】

在学生分析解决的过程，教师巡视，帮助有困难的同学，之后进行交流总结。师：下面我们分享各位同学的研究成果!教师选择一些具有代表性的同学上台展示研究成果。对于从解析式、性质推断函数图象的研究，某些同学可能对于某些环节仍有问题，需要老师进一步引导完善。

通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课的相关知识，教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。但对二次函数的奇偶性的分析，有同学可能提出质疑，教师可利用奇偶性的定义同时借助于几何画板的演示，得出一般性结论。为此我将带领学生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本节课的下一个环节——强化训练，加深理解。

（四）强化训练，加深理解

例

3、求函数的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？它的奇偶性如何？

学生独立完成，教师最后做出点评分析。

【设计意图是：把教科书的例3进行改变．在教学过程中，利用函数奇偶性的定义，借助于多媒体的演示，引导学生分析函数中的参数b对奇偶性的影响，既解决了学生对二次函数的奇偶性的质疑，也强化了学生对函数的奇偶性的理解及运用，同时也把具体的函数问题推广到一般模式，使学生巩固了新知识，灵活运用了所学知识，培养了学生思维的深刻性和灵活性．】 【学情预设：①首先对于函数的值域、对称轴及单调性的确定问题不会太大；

②对二次函数的奇偶性的分析，有同学可能提出质疑，教师可借助于几何画板演示，得出一般性结论。】

通过本例题的探讨，学生不仅对二次函数的奇偶性有个新的认识，对本节课所强调的借助于函数解析式研究性质进而推断函数图象的研究方法基本内化，同时对函数奇偶性概念也会有更为深刻的理解。本节课的教学目标基本完成，紧接着我将带领学生进入下一个环节----小结归纳，拓展深化

（五）小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下几个方面进行小结：

师：通过本节课的学习，你对二次函数有什么认识？研究二次函数的方法有哪些？你有什么收获？

师生共同总结二次函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

在收获方面教师强调拓展今天所学习的方法实际上是研究函数性质图象的一般方法，对于一些陌生的或较为复杂的函数只要借助于合适的方法得到相关的性质就可以推断出函数的图象。

【设计意图：①让学生再一次复习条理对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】

【学情预设：学生可能只是把二次函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】

（六）布置作业，提高升华

作

业：课本62页习题2．2A组第4、5题。

探究作业：已知抛物线的对称轴

（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。

【设计意图是：作业分层落实.巩固题让学生复习解题思路，完善解题格式，以便举一反三．探究题通过对教材例题的改编,供学有余力的学生自主探索，提高他们分析问题、解决问题的能力．】

七、教学反思

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到二次函数的性质，更

重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出二次函数的系数的动态过程，让学生直观观察系数对二次函数单调性、对称性、奇偶性的影响。

篇6：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

教学目标:

1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.

3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.

教学重点：

1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.

教学难点：

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.

教学过程：

一、学前准备

我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.

二、探究活动

(一)、作函数y=x2的图象.

回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)

下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.

(1)列表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.

(二)、议一议

对于二次函数y=x2的.图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?

(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?

(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.

下面我们系统地总结：

(三)y=x2的图象的性质.

二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.

大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.

当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.

y=-x2的图象如右图，并让学生总结：

形状是___________，只是它的开口方向____________，它

与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可

以看成是__________对称.

试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.

并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.

不同点：

相同点：

联系：

(四)课堂练习： 随堂练习(P47)

三.学习体会

1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?

2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?

3.预习时的疑问解决了吗?

四.自我测试

1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.

2.下列函数中是二次函数的是 ( )

A. y=2+5x2 B.y= C.y=3x(x+5)2 D. y=

3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标

4、已知函数y=mxm2+m.

(1)m取何值时，它的图象开口向上.

(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.

(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.

篇7：二次函数的图象和性质教案

（一）梅

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．

3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．

二、重点、难点

1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 3．难点的突破方法

（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，ABBCCA每个比的前

ABBCCA项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；

（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；

（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；

（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比ABBCCAk，那么△A′B′C′∽△ABC

ABBCCA的相似比就是ABBCCA1，它们的关系是互为倒数．这

ABBCCAk一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

三、例题的意图

本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．

例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．

四、课堂引入

1．复习引入

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCAk．

ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA．

ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】

三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

五、例题讲解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有ADAE，又由AD=EC可求出AD的长，再根据DEAD求出DE的长．

ABACBCAB解：略（DE103）．

六、课堂练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形

C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD= 10）

七、课后练习

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

篇8：§3.5 二次函数的图象和性质

主要知识点

1. 二次函数的概念

一般地，称y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）表示的函数为二次函数.

2. 二次函数的图象和性质

（1） 二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k（a≠0），它的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.

（2）图象特征：① 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.② 对称轴为直线x=h.③ 顶点坐标为（h，k）.

（3） 增减性：当a＞0时，如果x≤h，那么y随x的增大而减小；如果x≥h，那么y随x的增大而增大.当a＜0时，如果x≤h，那么y随x的增大而增大；如果x≥h，那么y随x的增大而减小.

（4） 最值：若a＞0，当x=h时，y最小值=k；若a＜0，当x=h时，y最大值=k.

练习题

1. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，并且经过点 （-1，2），（1，0）.下列结论正确的是（）.

A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大

B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C.存在一个负数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

D.存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

2. 当-2

3. 二次函数y=x2-2x-3的最小值是?摇 ?摇?摇.

4. 求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标.

第2课时二次函数与一元二次方程

主要知识点

一、二次函数的解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）.

2. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

如果已知二次函数的图象经过一般的三点，可设解析式为一般式y=ax2+bx+c；如果所给条件中有顶点（或对称轴、最值等），应设解析式为顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）.

二、二次函数图象的平移

任何抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）都可转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）.这时，抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，因此任何抛物线都可由抛物线y=ax2经适当平移得到，具体平移方法如图：

三、 二次函数图象与一元二次方程

1. 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0就有两个不相等的实数根x1，x2.

2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系.

（1） 如果图象与x轴有两个不同的公共点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（2） 如果图象与x轴只有一个公共点，那么对应的一元二次方程有两个相等的实数根.

（3） 如果图象与x轴没有公共点，那么对应的一元二次方程没有实数根.反之，根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图象与x轴的位置关系.

3. 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解的步骤.

（1） 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象.

（2） 根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在哪两个相邻整数之间.

（3） 利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似解.

经典例题

例 1 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4），且抛物线在x轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式.

解析：由于抛物线是轴对称图形，因此抛物线在x轴上截得的线段被抛物线的对称轴垂直平分，从而可求得抛物线与x轴的两个交点坐标.

∵ 抛物线的顶点为（1， 4），

∴ 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4.

∴ 抛物线的对称轴为直线x＝1.

又∵ 抛物线在x轴上截得的线段长为4，

∴ 抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0）.

将点（-1，0）或（3，0）代入，得0＝4a-4.解得a＝1.

∴ 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

评注：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形（图象及其位置）的条件得出数（相等和不等关系）的结论.同学们在复习时要加强对这种思想方法的理解和运用.

例 2 若抛物线y=a（x-h）2+k向下平移一个单位后，再向左平移3个单位，所得到新抛物线的顶点坐标为（-2，0），且a+h+k=4.求原抛物线的解析式.

解析：抛物线平移，主要抓住顶点的平移，由于平移中a不变，只要变动顶点就行了.对于这类已知平移后的顶点坐标，求原顶点坐标的问题，采用逆推法更易获解.

原抛物线顶点坐标（h，k）向下平移1个单位后为（h，k-1），再向左平移3个单位后为（h-3，k-1）.依题意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2.所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3.

评注：二次函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线，只要a值相同，抛物线的开口方向、大小和形状完全相同，只是位置不同，而且抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）都可通过配方转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其图象可以由y=ax2（a≠0）经过适当的平移得到.

例 3 已知二次函数y=x2+ax+a-2，求证：不论a取何值，总有抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q在x轴下方.

分析：要说明抛物线的顶点在x轴下方，由于抛物线的开口向上，只要说明Δ＞0即可.也可以验证顶点纵坐标小于0.

方法1：由Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，且抛物线的开口向上，可知抛物线与x轴有两个交点，所以顶点恒在x轴的下方.

第3课时二次函数的应用

主要知识点

1. 二次函数的应用常见题型

（1） 求最值.解决这类题要根据题意建立数学模型，利用二次函数性质求解，但应注意自变量的取值必须在实际生活中有意义.

（2） 与几何图形相结合的问题.运用几何图形的性质建立变量间的函数关系式，借用函数的性质求解.

2. 利用二次函数解决实际问题的步骤

（1） 找出等量列出等式.

（2） 引入变量，将等式转化为函数关系式.

（3） 利用二次函数的图象画出草图.

（4） 结合实际，找出符合实际问题的那部分图象.

（5） 抓住图象与坐标轴的交点、最高点或最低点这些特殊点，求出最后结果.

3. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好.某一天小迪有20 min时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x（单位：min）与学习收益量y的关系如图5所示，用于回顾反思的时间x（单位：min）与学习收益y的关系如图6所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式.

（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式.

（3）小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20 min的学习收益总量最大？

篇9：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

海洲初级中学 初三数学备课组

内容来源：初中九年级《数学（上册）》教科书 教学内容：二次函数图像与性质复习课时：两课时 教学目标：

1.根据二次函数的图象复习二次函数的性质，体会配方、平移的作用以及在解决相关问题的过程中进一步体会数形结合的数学思想。2.会利用二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。

3.在解决二次函数相关问题时，渗透解题的技巧和方法，培养学生的中考意识。教材分析：

二次函数是学生在中学阶段学习的第三种函数，是中考的重要考点之一，它与学生前面所学的一元二次方程有密切的联系，也是初中数学与高中数学的一个知识的交汇点。本节课通过二次函数的图象和性质的复习，从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题，加深学生对函数图象和性质之间的联系，构建知识网络体系，发展技能，归纳解题方法，让学生在练习中体会数形结合思想。学情分析

学生具有初步的、零散的关于二次函数的图象和性质的知识基础，但是还没有形成系统的知识体系，缺乏解决问题有效的、系统的方法，解决问题办法单一，较难想到运用函数的图象解决问题。本节课针对班级学生特点采取小组合作进行教学，通过小组的交流、讨论和展示，提高学生学习的积极性和有效性。通过本节课的学习使学生把函数的图象和性质紧密联系在一起，掌握解决一类问题的常用方法。教学过程

一、旧知回顾

1、已知关于x的函数y=

2、已知函数y=-2x-2,化为y=a

+3x-4是二次函数，则a的取值范围是.+k的形式：

此抛物线的开口向，对称轴为，顶点坐标 ； 当x= 时，抛物线有最 值，最值为 ；

当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减少。

3、二次函数y=-3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到

抛物线的解析式为

4、若二次函数y=2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是

5、抛物线的顶点在（-1，-2）且又过（-2，-1），求该抛物线的解析式。

6、抛物线经过三点（0，-1）、（1,0）、（-1,2），求该抛物线的解析式。

思维导图：

二、例题精讲：

1、（2016.新疆）已知二次函数y=

+bx+c(a)的图

象如图所示，则下列结论中正确的是（）A、a＞0 B、c＜0 C、3是方程a+bx+c=0的一个根

D、当x<1时,y随x的增大而减小

2：二次函数图象过A,C,B三点，点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（4,0），点C在y轴正半轴上，且OB=OC.(1)求C的坐标；

(2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值。C

(3)一次函数的图象经过点C,B,求一次函数的解析式；

（4）根据图象，写出满足二次函数不小于一次函数值的x的取值范围；

（5）若该抛物线顶点为D,y轴上是否存在一点P，使得PA+PD最短？若存在，求出P点的坐标；

（6）若该抛物线顶点为D，x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短？若存在，求出P点的坐标；

篇10：二次函数的图象与性质教学反思

增城二中赖灶兰

这节课是人教版九年级数学下册的一节探究课。在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是前置性作业，前

2yax置作业是前一天发给学生的，主要涉及如何作图、复习二次函数性质等问

题。我的设计目的是让学生在复习这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质。应该说这样设计既让初三同学复习了旧知又使他们体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究能力。第二部分是学习探究，2yaxc的性质以及和二次函数yax只要是图象让学生感受2的联系与

区别。第三部分是通过练习和我的展示让学生锻炼了自我学习的能力和出题的能力。我的优点主要包括：

1、教态自然，能注重身体语言的作用，提问具有启发性。

2、教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。

3、能运用现代化的教学手段教学，尤其是能用几何画板等软件突破重难点

4、二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体的动态展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。我的不足之处表现在：

1、目标定位不好，本节课通过画图，由图象观察总结出对称轴、顶点坐标、开口方向等。

2、课堂上讲的太多。有些过程，让学生自主观察总结是完全能收到好的效果的，但是我都替学生总结了，学生还是被动的接受。其实这还是思想的问题，说明我没有真的放开手。真正让学生有了空间，他们也会给我们很大的惊喜。

3、有些内容偏离教学大纲，导致差生吃不好，优生吃不饱。课堂上有个别同学的学习态度不尽人意。

4、备课不够细心，“图象”两个字变成“图像”。

5、课堂应急处理不够老练，同学提出的问题没有及时解答

篇11：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

一次函数的图象和性质

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数?什么是正比例函数?

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x y=2x-1 y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的.图象时，采用先列表、描点，再连续的方法.现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点.(让学生想一想，为什么?)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k);

(2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k);

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线.

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

观察正比例函数 y=0.5x 的图象.

这里，k=0.5>0.

从图象上看， y随x的增大而增大.

再观察正比例函数y=-0.5x 的图象。

这里，k=一0.5<0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.

先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1>x2，由k=0.5>0，得

0.5x1>0.5x2

即yl>y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y=-0.5x 性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大;

(2)当k<0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

篇12：九年级下册数学二次函数的图象和性质教学计划

——香江中学黄布发老师

一、教学设计反思

1、教学目标有偏差，本节重点在描点法掌握函数，我自己把重点放在应用上

2、抬高了本节课的高度，要依据学生的基础而进行相关的教学设计

二、教学过程反思

1、在布置前置作业，学生挺配合，都把自己的想法写出来，为上课提供较好的平台

2、学生在展示的同时，鼓励学生多说，台下同学多观察，对比，这点有待提高

3、在习题巩固中，要多给时间思考和小组合作

三、存在问题反思

1、时间分配上，要把握好度

2、在进度分配上，要把握重难点突破

3、在师生关系中，要平等，和谐

四、改进措施反思

1、多听课，多与备课组集体备课

2、充分了解学情，让自己的课堂教学提高一个台阶