高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结（通用14篇）

篇1：高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结

1.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征

⑴棱柱：①有两个互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。

⑵棱锥：①有一个面(即底面)是多边形，②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。

2.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

3.线线平行常用方法总结

(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。

(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(3)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

(4)线面垂直的性质：如果两条直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。

(5)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，那么两条交线平行。

4.线面平行的判定方法。

(1)定义：直线和平面没有公共点。

(2)判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

(3)面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

(4)线面垂直的性质：平面外于已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面。

5.判定两平面平行的方法。

(1)依定义采用反证法;

(2)利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。

(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。

(5)平行于同一个平面的两个平面平行。

6.证明线线垂直的方法

(1)利用定义。

(2)线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。

7.证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义。

(2)线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么，这条直线与这个平面垂直。

(3)线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面。

(4)面面垂直的性质：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

(5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么这条直线必定垂直于另一个平面。

8.判定两个平面垂直的方法

(1)利用定义。

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

9.其他定理

夹在两平行平面之间的平行线段相等。

经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。

10.空间直线和平面的位置关系

直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行

直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作aα包括a∩α=A和a∥α

11.空间平面与平面的位置关系

垂直于同一个平面的所有直线(即平面的垂线)互相平行;

垂直于同一条直线的所有平面(即直线的垂面)互相平行。

篇2：高中立体几何知识点总结

平面

通常用一个平行四边形来表示。

平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC。

在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

a) A∈l―点A在直线l上;Aα―点A不在平面α内;

b) lα―直线l在平面α内;

c) aα―直线a不在平面α内;

d) l∩m=A―直线l与直线m相交于A点;

e) α∩l=A―平面α与直线l交于A点;

f) α∩β=l―平面α与平面β相交于直线l。

平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线;

公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

根据上面的公理，可得以下推论，

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面;

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。

拓展阅读：高中数学立体几何解题技巧

1.平行、垂直位置关系的论证的策略:

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的.频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2.空间角的计算方法与技巧:

主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算。

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式。

3.空间距离的计算方法与技巧:

(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

篇3：高中立体几何知识点总结

高中新课程的《立体几何》教材知识严格遵照“直观感知”、“操作确认”、“思辨论证”、“度量计算”4个层次的认识过程展开实施教学.纵观几年来各省自主命题,“立体几何”的考查不外乎:空间几何体的结构及其三视图、空间直线与平面的位置关系、空间向量在立体几何中的应用等3种主要形式,而且其考查结构与难度大多 维持基础、温 和稳定.为此,很多老师为了帮助学生应对高考,往往就上述主要题型反复 操练、拼命灌 输.久而久之,立体几何教学逐渐走向模式化、程序化、功利化的误区,导致有的学生连最起码的空间想象、作图识图、逻辑推理等能力都出现不同程度的缺失,而表达混乱、运算出错、基础失分、思维僵化等现象大有人在.因此,我们作为高中数学老师不得不反思《立体几何》的教学现状:丢弃学科知识的教育价值,舍本求末,片面追求升学率,未能充分挖掘学科知识的教育功能,停留在就题讲题、搞题海战术,学生疲于奔命、苦不堪言,根本无从感知学科知识的价值所在,更谈不上形成良好的情感态度和价值观.

2课题内涵

数学教育价值就是数学教育对人的发展的价值.数学教育是一个有机的整体,是科学思考与行动的基础,它作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志,缜密周详的推理以及对完美境界的追求,它发挥着其独特的作用与价值,推动人们探求内部真理与获取综合能力.我们正处在一个创新变化的时代,需要数学教育超越传统意义去认识和发挥自身的价值,数学教育工作者能否卓有成效,依赖于对数学教育价值的理解.数学课程的发展变化是数学教育适应时代需要的必然趋势,数学教育价值的发展变化也是数学教育与教学课程改革在新时 代的必然 体现.《考试说明》也明确指出:“根据以能力立意命题的指导思想,命题应把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的知识和方法作为切入点,从测量学生的发展性学力和创造性学力着手进行,突出能力考查,发挥数学科考试的选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用”.下面就立体几何的文化价值、认识价值、实践价值、德育价值和美育价值等方面结合高考典例来阐述数学教育的价值.

3实证研究

3.1立体几何的文化价值

中学数学教育的根本目的是使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、基本的数学思想方法和必要的应用技能,具有作为未来公民所必需的数学素养.因而数学教育本质上就是一种素质教育,是对数学文化的认识与传承,实施数学素质教育就是要充分发挥数学文化的价值.在立体几何教学中引入数学知识的背景介绍,了解数学知识的发生和发展,可以使学生感受到数学不仅仅是一门知识体系,还是一种与自然社会联系的工具、是一种思想方法,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型解决问题,直接为社会创造价值.

例1(2014年高考湖北卷)《算数书》竹简于上世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈1/36L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈2/75L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为().

(A)22/7(B)25/8(C)157/50(D)355/113

评析本题根本目的并非仅求π的近似值,更为重要的是通过阅读数学史料知识,学会古代先人求圆锥体积的简易近似方法,掌握快捷方便的实用技术,深刻理解其中奥妙:设圆锥的底面圆半径为r,底面积为S,则L=2πr,由题意得1/3Sh≈1/36L2h,代入S=πr2化简得π≈3;类似地,若V≈2/75L2h,则π≈25/8,故选B.另外,从中令我们惊叹的还是古人的聪明智慧,这样的考题让我们做而不厌、受益匪浅,体现古代数学文化精髓和现代立体几何知识自然融入、和谐渗透.因此,透过数学史料有利于我们对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的评价与解释,进而探索数学科学发展的规律与文化本质.

例2(2013年高考上海卷(理))在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图1中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为___ .

评析本题源于教材阅读材料“祖暅原理与几何体体积”,改变传统的提供现成的特殊几何体,套用公式求体积的考法.要求我们首先熟悉古代重要经典原理的内涵:根据提示条件和截面面积为的数字特征,如图2构造几何体Ω(其由底面半径为1、高为2π的圆柱和长、宽、高分别为4,2,2π的长方体拼成),易得Ω的体 积值为2π2+16π.从立体几何教学角度来看,该题的强烈信号就是要求我们教师不能只停留在传递知识和方法上,还应让学生经历重要思想方法的产生、发展过程,让学生感受经典知识方法的重大应用及价值传播.

传统的中学数学教育已基本上形成了重知识的双基教学和能力培养,轻知识的素养教育和文化熏陶;重形式体系和逻辑推理,轻人文意义和算理算法的惯性,这也就造成了不少学生能求解千奇百怪的数学难题,能记住种种解题的模式,而不了解最基本的原理,忘掉了数学的本和源.通过数学文化传播和史料学习,弥补了数学课程上的空白,为学生构建一个了解数学的产生和发展 历程的平台,也给学生提供了了解若干重要数学事件、数学人物和数学成果的机会,这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知 识大有益处,有助于学生认识和建立丰富多样的数学联系,包括不同数学知识之间的联系,数学及其应用之间的联系,数学与其他学科之间的联系,而且这些联系往往承载着不同的时代,超越了不同的文化,也跨越了不同的领域.

3.2立体几何的实践价值

所谓数学的实践价值,是指数学对认识客观世界,改造客观世界的实践活动所具有的教育作用和意义.任何一门科学,其教育价值都是建立在它的实践价值基础之上的,如果一门科学不具备任何方面的实践价值,这种知识对教育来说可以认为是没有多大价值和意义的.三维空间是人类生存的现实空间,它为我们学习立体几何提供大量 现实的素材,在学生观察的基础上抽象出空间图形,然后归纳出它们的结构特征,把握图形的特点,从而增强学生的几何直观能力与学习兴趣.

例3 (2010年高考福建卷)如图3,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1 被平面EFGH截去几何 体EFGHB1C1 后得到的 几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结 论中不正确的是().

(A)EH∥FG

(B)四边形EFGH是矩形

(C)Ω是棱柱

(D)Ω是棱台

评析这是一道源于教材的应用题改编而来,着重考查直线与平面平行、垂直的判定与性质,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,同时也检阅了学生的应用意识和实践经验.

例4(2012年高考上海卷)如图4,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是__.

评析结合生活经验不难想象:假定棱AD与BC分别是两支给定长度 的细木棍,另外两条相等长度的细绳ABD,ACD分别系在细木棍AD的两端,细木棍BC的两端分别在这两条撑直的细绳上滑动、且AD与BC保持相互垂直.凭直观感知可得当AB=BD,AC=CD时,该四面体ABCD的体积最大.从该例可以看出:数学与生活实践的作用是互动的,生活实践是数学发展的源泉和动力;同时,数学也影响了人们思考问题和改造世界的方式.

例5(2013年高考福建卷)如图5,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥CD,AA1=1,AB=3k,AD =4k,BC =5k,DC=6k(k>0).

(1)求证:CD⊥平面ADD1A1;

(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为6/7,求k的值;

(3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式(直接写出答案,不必说明理由).

评析这里最值一提的是第3小题凸现新课标下的立体几何考查:强调学生的动手操作和主动参与,让学生在观察、操作、想象等活动中认识几何体,提升空间想象能力和运算求解能力.本题共有4种不同的拼接方案(如图6),依次计算四棱柱的表面积得到:

显然S2,S3,S4三者中S4最小.现只要比较S1,S4的大小.

在立体几何复习教学中,要涉及大量的空间图形、平面图形,以及它们之间的相互转化.我们始终注意与实物模型的紧密联系,使得具体与抽象有机结合.要求学生能从实物抽象出空间图形,从空间图形联想实物模型;能从空间几何体的直观图画出它的三视图,从三视图画出它的直观图等等,这些数学活动是促进学生寻找数学模型和提高识图、作图能力的有效途径.

例6 (2014年新课标全国卷Ⅰ)如图7,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为().

评析此题的 命题角度极具挑战性,学生刚开始接触该 三视图可 能会一时无从下手,但若借助正方体这 一基础模 型作为三视图的投影载体,依托正方体 便可还原 该多面体实为三棱锥(如图8,答案选C).

本题的考查方式符合教材所提倡的:以长方体为学具,注重发挥长方体的功能作用.又如以下两道高考题仍充分说明这一点.

例7(2014年北京理卷)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,21/2),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().

(A)S1=S2=S3

(B)S1=S2 且S3≠S1

(C)S1=S3 且S3≠S2

(D)S2=S3 且S1≠S3

例8(2008年高考宁夏卷)某几何体的一条棱长为71/2,在该几何体的 正视图中,这条棱的投影是长为61/2的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值 为().

数学家拉普拉 斯曾说:“数学是一 种手段,而不是目的,是人们为解决科学问题而必须精通的一种工具.”这种工具的作用还表现在:数学是科学的语言.任何科学都有自己的语言,这种语言能高度准确地描述科学所固有的特性,使得我们可用少量的语言和公式来描述不同质的问题.例如在立体几何中用大量集合的符号语言来表示空间中点、直线、平面的位置关系,包括画图实际上就是将文字语言和符号语言转化为图形语言,对图形添加辅助图形或从复杂图形中分离基本图形或对图形进行各种变换就是检验学生的图形语言转换能力.

例9(2013年高考浙江卷)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则().

(A)平面α与平面β垂直

(B)平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°

(C)平面α与平面β平行

(D)平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

评析本题创造性地用函数对应的语言简明扼要地描述“过空间中的一点作某一平面的垂线,确定其相应的垂足”的过程.在充分阅读理解基础上,结合4个选择支所提供的模型状态逐一验证可得答案选A.这样的例子生动地表明:数学是科学抽象的工具,运用数学抽象的工具,结合形象具体的数学模型,在理想状态下分析最纯粹的数学问题,是研究立体几何的重要手段.

例10(2014年高考湖北卷)在如图9所示的空间直 角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为1,2,3,4的4个图(图10),则该四面体的正视图和俯视图分别为().

(A)1和2(B)1和3

(C)3和2 (D)4和2

评析答案选D.这种题目难度不算太大,但学生在思维过程中必需经历不同的语言场景变换:先由题目的文字背景→空间直角坐标系→回归正方体(母体)→找作相应投影→还原三视图平面图形,这一系列实质上就是各种图形语言的转换化解过程,对空间形式的观察、分析、抽象以及作图、识图能力的考查跃然纸上.

《考试说明》指出:数学语言是数学化了的自然语言,是数学特有的符号体系.语言是思维的载体,依靠数学语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来.另外使用数学语言符号的能力也是抽象概括能力的重要体现.所以立体几何教学中务必准确规范地使用各种数学名词、术语和数学符号,清晰流畅地表达解决问题的过程,充分展现立体几何在发展学生空间观念,以及观察、操作、实验、探索、推理、表达等“过程性”方面的教育实践价值.

3.3立体几何的认识价值

所谓数学的认识价值,是指学习和掌握数学科学知识及其过程在发展人的认识能力上所具有的教育作用和意义.认识价值是评价一门科学是否具有教育价值的最根本的标准和出发点,数学是锻炼思维的体操,启迪智慧的钥匙.但是,思维能力作为一种潜能,必须通过刻苦的训练才能显现出来,才能转化为一种认识能力,而立体几何在认识能力的训练中具有突出作用.立体几何不仅是培养空间想象能力的主要载体,而且也是锻炼推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力等的重要阵地.立体几何问题的解法一般有“几何”与“代数”两种不同的角度,向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”,是联系几何与代数的桥梁.用空间向量处理空间几何问题,空间几何元素间的位置关系就转化为数量关系,形式逻辑证明就转化为数值运算.由于其解法思路清晰,思维难度降低,因此空间向量就成为处理空间几何问题的重要工具.

例如例5中的第1小题证明线面垂直关系,主要考查学生的推理论证能力,而且这一步也为第2小题建立空间直角坐标系埋下伏笔,通过空间向量处理线面角问题,转化为代数方程的求解问题,体现对学生运算求解能力的考查.从本题可以看出:空间线面位置关系证明作为培养学生推理论证能力的重要内容,一直以来是各地高考考查的重点,即便在引入“空间向量及坐标运算”后,其不管在教学上,还是在高考中,也未降低难度和要求.下面我们再来品赏近年高考中一组矩形的翻折问题:

例11将长、宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,得到四面体A-BCD,则四面体A-BCD的外接球的表面积为.

例12(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD,AB=1,BC=21/2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中().

(A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

(B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

(C)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

(D)对任意位置,3对直线“AC与BD”,

“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直

例13(2009年高考浙江卷)如图11,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是___.

评析此题可采用极端位置法,即当F无限接近E的中点时,t→1;当F点无限接近C点时,可证得AD⊥BD,于是有t→1/2,故t取值范围是(1/2,1).

例14(2010年高考浙江卷)如图12,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=2/3FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF.

(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值;

(Ⅱ)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A′重合,求线段FM的长.

评析本题可充分发挥空间向量处理问题的优势:(如图13)建立空间直角坐标系A-xyz,则,C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).再求得相应法向量即可解决第1小题;第2小题只要设FM=x,则M(4+x,0,0),由CM=A′M解得FM =x=21/4.

其表明:简单、经济的纸张材料就是提高学生思维能力、发展空间认识能力的训练素材.但立体几何的训练价值不能仅停留在学生的被动接受问题,更应为学生营造发现问题、提出问题、分析问题、探索解决问题的数学空间.实质上,数学教育的重点就在于培养学生如何用数学的眼光、数学的方法去透视事物本质,用数学思维策略去认识和探索客观世界.

3.4立体几何的德育价值

所谓数学的德育价值,是指数学在人们的科学世界观,道德色彩和个性品质的形成和发展过程中所具有的教育作用和意义.现行立体几何教材仍保留诸如祖暅原理、《九章算术》等有代表意义的中国古代数学成就的宣传教育.通过阅读学习数学史料可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的民族自豪感.然而爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上,还应该培养学生的“钻研合作意识”,在科学发现研究上应该刻苦钻研、互相借鉴、共同提高.作为教师应重视数学教育对学生的道德品质和个性特征形成所具备的教育作用:“诚信求实”是数学理性精神的本质特征.从立体几何中的推理论证过程可以体会到,数学语言的精确性使得数学中的结论不会出现模棱两可的情况,任何定理、结论的推理猜想,都必须经过严格的证明才能确定.故在一定程度上,立体几何教学有助于培养学生坚持原则、忠于真理、严格自立的人格.“勤奋自强”是数学真理追求的真实写照,从上述立体几何的众多例子可以看出,像长方体、矩形翻折等的探索活动永无止境,不断创新,可激发学生自觉投身数学探究,逐渐养成勤奋 进取、务实钻 研的科学 精神.“严谨周密”是数学科学研究的基本态度,数学中不允许有半点马虎和轻率行为,任何一点粗心也可酿成严重的错误,如画几何体的三视图要严格遵照“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”的要求.又如利用空间向量法求有关空间角时,点的坐标、法向量的求法等都容不得半点闪失,否则就前功尽弃.因此立体几何问题可锻炼学生缜密、有条理的思维方式,有助于培养学生一丝不苟、专心致志的学习精神.另外辩证唯物主义是德育体系中世界观教育的核心所在,学习立体几何有助于提高学生透过现象把握本质的能力、抽象与概括能力,以立体几何模型为载体融入整合其他数学知识,将表面迥异、毫不相干的知识交汇建立巧妙的联系等等,恰好印证了“矛盾统一、普遍联系”等辩证唯物主义观点.只要我们老师留心日常教学生活,便可发现立体几何中蕴含着丰富多彩的辩证思想,经过日积月累、潜移默化,学生不仅获得数学知识方法,而且逐渐形成正确的人生观、世界观和情感态度价值观.

3.5立体几何的美学价值

所谓数学的美学价值,是指数学在培养发展学生审美情趣和能力方面所具有的教育作用和意义.数学知识之所以给人以美的感受和力量,就在于其秩序、和谐、对称、整齐、简洁、奇异等,这些都是人们产生美感的客观基础.另一方面,人们对数学的统一美、简洁美、奇异美等的追求,在很大程度上又促进了数学教育价值的提升.数学对自身发展所具有的创造性审美价值,要求我们在教育过程中必须善于鉴赏引导,培养学生感受数学美的能力,这是数学教育价值的一个重要指标.立体几何中从内容到形式以及解题方法,到处充满着美的氛围.结合立体几何的教学融入审美教育,不仅能陶冶学生的审美情操,更重要的是对学生的知识增长、智力发展和学科素养都有着重大促进作用.

比如在“空间几何体的结构及其三视图、直观图”这部分内容中,不仅要引导学生学会欣赏多面体的结构美、旋转体的流畅美,还要鼓励学生自觉投身数学美的创造,学生动手作出几何体的三视图、直观图,实质上是学生自身对图形美的鉴赏、修正过程,其精确整洁的作品能给予自身心灵醉美的感受和自我价值的肯定;由三视图还原几何体的过程,在学生的脑海里萦绕着空间美和平面美的转换,空间想象不论是有图想图还是无图想图,都给人的大脑留下美的遐想;再来台体的表面积和体积公式更是将锥体和柱体的表面积和体积公式和谐推广,由此让学生深刻领会数学公式的通用、统一美.

例15(2013年高考辽宁卷)已知三棱柱ABC-A1B1C1 的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为().

评析该题是球内接直三棱柱的问题,我们的思维在组合体对称美的“召唤”下,将其补形回归到球内接长方体这一经典模型,从而轻易实现问题的化解(答案选C).所以几何体的结构不仅能带给我们感性之美,而且在解题中也让我们嗅到理性美的香味.

在“空间直线和平面的位置关系”这部分内容中,关于“平行”“垂直”的转化思路上,“面面平行(垂直)线面平行(垂直)线线平行(垂直)”有着“形”的相似美、“质”的统一美;在推理论证的表达过程中,充满着数学符号语言的简洁美、严谨美,精炼简洁之处恰恰蕴含丰富多彩的内涵和意境,严谨规范带给人一种庄严典朴、精致高雅之感;两者相得益彰,在这样数学美的熏陶下,学生的思维品质和学科素养自然获得提升.

在“空间向量在立体几何中的应用”这部分内容中,用空间向量的坐标运算来描绘空间元素的位置关系和有关空间量的求法,洋溢着“代数”和“几何”在方法和思路上的统一美;由于向量法无需作繁难的辅助线、复杂的论证推理,只需通过坐标运算来即可解决,甚至连立体几何中有关存在性问题的探索,也常通过向量的坐标运算转化为方程是否有根或不等式是否成立来解决,彰显向量法在解题思路方面的简洁美、奇异美和在解法上的绝对优越性.

例16(2012年福建高考)如图15,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E为CD中点.

(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1.

(Ⅱ )在棱AA1上是否存在一 点P,使得DP∥平面B1AE? 若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1 的大小为30°,求AB的长.

评析由于本题考查的载体就是长 方体,可直接建立空间直角坐标系用向量法解答,做到“一系三用、多步一系”,极大地提高了解题效率,给人干净 利落、一马平 川的感觉,而且在运算求解过程中上不偏不怪、不烦不燥,自然顺畅之美油然而生.

当前学生课业的繁重,他们受阅历水平、基础知识、数学训练等影响,很难将各色的数学美都品味出来.这就要求教师需要精心研究,不断从相对枯燥的教学中去发现美的素材,并不失时机的加以引导和培养.展望未来的教育趋势,美育教学和数学教学的结合是必要的、必然的,其不仅仅为了唤醒学生日益减弱的数学兴趣,更是为了提高学生的审美能力和创造美的能力.

篇4：高中数学中几何知识的应用探究

【关键词】高中数学 几何知识 应用探究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）05-0096-01

社会的快速发展进步，使得社会各个领域范畴都在创新。教育方面在高中数学中占有重要地位的几何知识也要进行进一步的应用探究。在高中学习中绝大部分学生对学习数学有着一定的苦恼，尤其对具有繁琐公式的几何知识题解答更是忙得头焦烂额，由点线面组合成的巨大的网成为在读高中生的心头病，有的学生甚至对其产生厌烦心理，学习成绩也大打折扣，在如此严峻情况下，如何在复杂繁琐的公式与图像中突出重围，找到可以让我们在生活中联系到几何知识，在乐趣中学习几何知识的方法是我们应当关注的重点，我们将在本文中探究几何知识的应用，以此激发我们对学习几何数学主动性与积极性。

一、几何知识的实际应用意义

（一）激起学生的研究探索意识，改善传统教学模式的缺陷

在高中几何应用创新中，其乐融融的学习氛围与学习环境会大大提高我们对探究性学习的热情，我们在整个探索过程中要积极热情，提出合理的问题、分析问题的原因、找到解决问题的方法，使之形成一系列套路。身处在积极探索的环境中，有利于帮助我们加深对几何知识探究的乐趣，促进学习的积极性和主动参与性的提升。改善传统教学模式中的“老师灌输-学生输出”的单一模式，长久以来，习惯依赖教师课堂讲解，我们缺少独立思考的能力与创新意识。现在，老师创造出合理的空间，提出准备的问题，让我们互相交流，探索问题，让我们对学习几何知识的探究学习更具主动性，积极性。

（二）知识结构全面完善，学习能力得到提高

在几何知识的探究过程中，教师给出问题，我们形成小组对问题展开讨论，进行大胆猜测，大胆对给出的图像进行分析，然后通过举例证明其相关概念，并得出结论对其加以利用，在这一系列过程中，我们了解了几何知识产生的又同时深刻掌握了相关几何知识。在参与实践中知识已悄然获取，构建形成起对几何的新的认知，在几何探究过程中有较为直观的经验是有效实践的基础，让我们在探索中找到对几何知识的乐趣的同时、学习的能力也得到大大提高。基本的探索过程也铭记于心。

（三）养成积极向上思维品质，提高非智力因素

在探索应用过程中，我们思维的宽度和深度都得到了很大程度的提高，找寻出了“不变”与“变”的规则，也找到了“不变”中“变”的原因。在非智力因素（意志、动机、情感、兴趣）的潜移默化的影响下，更进一步锻炼了创造性和灵活性，提高了解析几何的积极性、主动性，形成了积极向上的思维品质。与此同时，我们和老师之间、与同学之间的相互沟通、交流、探讨也一定程度上让班级更加有团结凝聚意识，形成更良好的沟通。

二、几何知识实际应用到课题中的案例

（一）范围性问题的求解方法

范围性问题的解题并不少见，解题方法却存在一定差异，我们来解析一道关于范围性的问题。依据下图，三棱锥P-ABC中，已知PA垂直于BC，PA等于BC等于n，PA与BC的公垂线ED等于h，求证三棱锥的P-ABC的体积V等于六分之一n的平方的高。

三、结语

几何知识是我们学习生涯中必不可少的知识，又是高考的重点与难点，所面临的问题也较难，都要求我们要细心认真研究，熟记相关几何公式，对图像的理解也较为重要，所以就要求我们充分了解几何知识、在脑海中形成对几何更具体，生动的概念，老师对我们加以指导，形成良好的学习与教学模式，让我们在探究式学习中得到更多真实情感呈现，更加有探索实验精神。

参考文献：

[1]罗双.高中数学中几何知识的应用分析[A].北京中外软信息技术研究院.第二届世纪之星创新教育论坛论文集[C].北京中外软信息技术研究院，2015（1）.

[2]韦兴洲.高中数学解析几何高考试题分析与教学策略研究[D].广西师范大学，2014.

篇5：高中数学超几何分布知识点总结

高中数学二项分布知识点总结: 二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

高中数学离散型随机变量的方差知识点总结: 离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。

高中数学正态分布知识点总结: 正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。

高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。

篇6：高中数学立体几何知识点

1.空间几何体的三视图：

定义：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右);俯视图(从上向下)。

注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽带;侧视图反映了物体的高度和宽带。

球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形。

2.空间几何体的直观图——斜二测画法

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

篇7：高中立体几何知识点总结

数学学习方法

再次回归课本。题在书外，但理都在书中。对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是将课本题目进行引申、拓宽和变化。通过看课本系统梳理高中数学知识，巩固高中数学基本概念。看课本，有三个建议，一是打乱顺序按模块阅读，二是要注意里面的小字和旁白以及后面的“阅读与思考”，三是对于基础较弱的学生，可把书后典型习题再做一遍。

利用好错题本(或者积累本)。要把自己常犯的错或易忽略的内容在高考之前彻底解决，给自己积极的心理暗示。限时强化训练，全真模拟训练。除了强化知识，还要学会非智力因素在考试中的应用，适当的懂得放弃。

答题时要有强烈的“功利心”——多得一分是一分。例如，考试时遇到不会做的选择题，若不择手段(验证法、估算法、数形结合、特例法等方法)还是做不出来，此时绝不提倡钻研精神，要暂时跳过去答后面的，回头有时间再来打这只拦路虎，切不可因为这一道5分的题，影响后面20分甚至更多会做的题因没时间做而拿不到分。

高考数学必考知识点之解析几何

1用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?

2到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

3线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

4定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?

5不重合的两条直线

(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)

6线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

7决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。)

8种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?

9圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?

10圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?

11是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)

12锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).

篇8：高中立体几何知识点总结

一、“太阳直射点南北移动”的形成过程

由于地球存在两种运动形式 (自转和公转) , 就形成两个平面 (赤道平面和黄道平面) , 而且这两个平面并不重合, 实际上还存在一个交角 (黄赤交角, 目前认为是23°26′) 。那么在地球绕日公转的过程中, 就导致太阳直射点在地球表面的南北移动。如图1所示, 太阳位于黄道平面上, 我们可以把这一平面看作是太阳光线 (一束平行光, 如c) , a为地平面 (和圆上某点相切) , b可以看作是半径。由初中几何知识可知:a垂直于b (过圆上某点的切线垂直于过该点的半径) , 而b和c是同一直线 (黄道平面) , 所以c垂直于a。也就是说, A点此时的太阳高度角为90°。再根据黄赤交角的定义和纬度的定义 (地球上某点的纬度就是过该点的铅垂线和赤道平面的夹角) , 我们可以得出A点的纬度为23°26′N, 也就是说这一天太阳直射点位于23°26′N上。

地球不停地绕太阳公转, 当地球位于太阳另外相反的一侧, 我们可以换一种角度思考:把太阳移到地球的相反一侧。如图1, 可以得出相同的结论, B点位此时的太阳直射点。只不过这一天太阳直射在23°26′S这条纬线上。也就是说, 随着地球不停地绕太阳公转, 太阳直射点也在地球表面不停地南北移动, 受黄赤交角的限制, 它只能在23°26′S和23°26′N之间来回移动, 这也是南、北回归线的由来。我们在南、北回归线之间找出四个特殊位置 (直射点位于最南、最北、两次赤道) , 定义出二分二至日。同样“回归年”的问题也得到了解决。

二、正午太阳高度计算公式的推导

对于选修地理的高三同学来说, 高考中有时涉及到正午太阳高度的计算, 那么就有必要掌握正午太阳高度的计算公式, 即H=90°─│A±B│。其中“A”的含义是“当地的地理纬度”, 也就是所求地点的地理纬度;“B”的含义是“太阳直射点的地理纬度”;“H”表示正午太阳高度。那么这个公式应该如何得来的呢?

1.当所求地点 (A点) 与太阳直射点 (北回归线) 处在同一半球时 (如图2) , 由于太阳光是一束平行光, 即AC//OB.由初中几何知识很容易得到:∠DAC=∠DOB;∠DAC=90°-∠CAE;而∠DOB就是A点和直射点的纬度差, ∠CAE就是所求地点 (A点) 的正午太阳高度高度。所以, 当所求地点与太阳直射点位于同一半球时, 正午太阳高度的计算公式为:H=90°─ (A-B) 。

2.当所求地点 (A点) 与太阳直射点 (北回归线) 处在不同半球时 (如图3) , 由初中几何知识同样可以得到:∠DAC=∠DOB;∠DAC=90°-∠CAE;而∠DOB就是A点和直射点的纬度之和, ∠CAE就是所求地点 (A点) 的正午太阳高度高度.所以, 当所求地点与太阳直射点位于不同半球时, 正午太阳高度的计算公式为:H=90°─ (A+B) 。我们知道, 正午太阳高度小于90°, 把上述两种情况综合得出:H=90°─│A±B│。

三、正午太阳高度的实际应用

对于高一学生而言, 我们教师只应该运用初中几何知识解释“太阳直射点南北移动”的形成过程。但是对于选修地理的高三同学, 在平时的练习或是高考试题中, 还会经常用到正午太阳高度的计算, 如果学生没有理解、掌握其计算公式, 学生往往会感觉无从下手, 这时我们同样可以依据已有的初中几何知识进行解答。

例:某日正午, 当悉尼某饭店 (34°S) 主楼影长与楼高相等时, 太阳直射于______。

分析如下:题目中“正午主楼影长与楼高相等”隐含一个重要知识, 即H=45°。如图4, 由初中几何知识可得:45°=90°─│34°±B│。B=11°N或B=79°S (不符合)

像太阳能热水器倾角计算也是属于同类问题, 只要掌握其中原理, 这类问题学生会迎刃而解的。

篇9：立体几何核心知识点梳理

1.平面；平面的基本性质；平面图形直观图的画法.

2.两条直线的位置关系；平行公理；等角定理；异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念.

3.直线和平面的位置关系；直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影.

4.两个平面的位置关系；平面平行的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质.

5.（理科）空间向量共线、共面的充分必要条件，空间向量的加法、减法及数乘运算，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量的共线与垂直，直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量求立体几何中的角.

二、考试要求

1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）.

2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆.

3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图.能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.

4.（理科）会用空间向量计算线线角，线面角，面面角.

三、考点简析

1.空间元素的位置关系

空间由点，线，面3个元素构成，立体几何主要研究线和线，点和面，线和面，面和面之间的关系.

两条直线关系包括相交，平行，异面；直线和平面之间的关系包括线在面内，线面相交（包括斜交和垂直），线面平行；面面关系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.

2.平行、垂直位置关系的转化

立体几何中的证明只要围绕着平行和垂直展开.线线平行，线面平行，面面平行证明是相互依赖的，线线垂直，线面垂直，面面垂直也是相互依赖.需要对每一种关系的判定定理和性质定理充分理解，证明过程中，需要列出相应的条件，得出结论.

3.棱柱、棱锥、棱台、球等空间几何体

篇10：高中物理知识立体化复习法

。物理复习中实现“知识立体化”主要有两个方面：一是以大纲要求，突破教材原有的章节顺序，根据知识成份、结构以及它们的内在联系，巧妙地把知识进行重新梳理和组织，从全貌到单个、从外延到内涵、从理解到掌握以使灵活运用，形成多层次的知识立体感;二是精心设计具有单项针对性和综合运用性的`立体习题，适时检查对知识的理解和掌握的程度，训练灵活运用知识的能力，强化知识立体模型，使学生对知识的理解和运用达到尽善尽美的程度。

第一方面：形成知识立体模型复习中使学生形成知识立体模型，主要是采用分析比较，归纳演绎、渗透联想等思维方法，尊重知识发展规律和相互依存的关系的基础上进行以下三个程序：1.分析知识的内在联系，抽出知识主线组成主骨架，分析现行高中物理教材，它构成的知识体系的主骨架是三条主线：一是力和运动;二是冲量和动量;三是功和能;如果有目的地按这三条主线去安排复习教材、组织讨论、寻找各部分之间的联系和发展，就容易把握知识的主要方面。例如功和能，可以根据：教材中哪些部分含有功和能的概念?哪些规律是功和能的运用和发展?从同一信息来源出发沿力学、热学、电磁学、光学、原子物理学等不同方向去分析探索，明白功和能在各部分知识中的主导作用，使其自然地把握住功和能这条主线。一旦理解掌握教材中的知识主线，就会有的放矢地去认识现象，掌握规律，巩固旧知识，启迪新知识，这实际上掌握了探求问题真谛的金钥匙。

篇11：初中数学几何知识点总结

1、掌握最基本的五种尺规作图

⑴、作一条线段等于已知线段。

⑵、作一个角等于已知角。

⑶、平分已知角。

⑷、经过一点作已知直线的垂线。

⑸、作线段的垂直平分线。

2、掌握课本中各章要求的作图题

⑴、根据条件作任意的三角形、等要素那角性、直角三角形。

⑵、根据给出条件作一般四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等。

⑶、作已知图形关于一点、一条直线对称的图形。

⑷、会作三角形的外接圆、内性病

⑸、平分已知弧。

⑹、作两条线段的比例中项。

⑺、作正三角形、正四边形、正六边形等。

二、几何计算

(一)、角度与弧度的计算

1、三角形和四边形的角的计算主要依据

⑴、三角形的内角和定理及推论。

⑵、四边形的内角和定理及推论。

⑶、圆内接四边形性质定理。

2、弧和相关的角的计算主要依据

⑴、圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

⑵、圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

⑶、弦切角的度数等于所夹弧度数的一半。

3、多边形的角的计算主要依据

⑴、n边形的内角和=(n-2)180°

⑵、正n边形的每一内角=(n-2)180°÷n

⑶、正n边形的任一外角等于各边所对的中心角且都等于

(二)、长度的计算

1、 三角形、平行四边形和梯形的计算

用到的定理主要有三角形全等定理，中位线定理，等腰三角形、直角三角形、正三角形及各种平行四边形的性质等定理。关于梯形中线段计算主要依据梯形中位线定理及等腰梯形、直角梯形的性质定理等。

2、 有关圆的线段计算的主要依据

⑴、切线长定理

⑵、圆切线的性质定理。

⑶、垂径定理。

⑷、圆外切四边形两组对边的和相等。

⑸、两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，两圆内切时圆心距等于两半径之差。

3、 直角三角形边的计算

直角三角形边长的计算应用最广，其理论依据主要是勾股定理和特殊角三角形的性质及锐角三角函数等。

4、 成比例线段长度的求法

⑴、平行线分线段成比例定理;

⑵、相似形对应线段的比等于相似比;

⑶、射影定理;

⑷、相交弦定理及推论，切割线定理及推论;

⑸、正多边形的边和其他线段计算转化为特殊三角形。

(三)、图形面积的计算

1、 四边形的面积公式

⑴、S□ABCD = a·h

⑵、S菱形 = 1/2a·b (a、b为对角线)

⑶、S梯形 = 1/2(a + b)·h = m·h (m为中位线)

2、 三角形的面积公式

⑴、S△ = 1/2· a·h

⑵、S△ = 1/2· P·r(P为三角形周长，r为三角形内切圆的半径)

3、 S正多边形 = 1/2· P n·r n = 1/2·n a n·r n

4、 S圆 =πR2

5、S扇形 = nπ= 1/2LR

篇12：小学几何图形知识点总结

(1)特征

对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。

(2)计算公式

c=2(a+b) s=ab

2.正方形

(1)特征

四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

(2)计算公式

c= 4a s=a

3.三角形

(1)特征

由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。

(2)计算公式

s=ah/2

(3)分类

【按角分】

锐角三角形：三个角都是锐角。

直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

【按边分】

不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。

4.平行四边形

(1)特征

两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。

(2)计算公式

s=ah

5. 梯形

(1)特征

只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。

(2)公式

s=(a+b)h/2=mh

6. 圆

(1)圆的认识

平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。

(2)圆的画法

把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径);

把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;

把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

(3)圆的周长

围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。

(4)圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

(5)计算公式

d=2r r=d/2 c=πd c=2πr s=πr2

7.扇形

(1)扇形的认识

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

扇形有一条对称轴。

(2) 计算公式

s=nπr/360

8.环形

(1) 特征

由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

(2) 计算公式

s=π(R-r)

9.轴对称图形

1)特征

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴

长方形有2条对称轴

等腰三角形有2条对称轴

等边三角形有3条对称轴

等腰梯形有一条对称轴

圆有无数条对称轴

菱形有4条对称轴

扇形有一条对称轴

篇13：高中立体几何知识点总结

尽管对于知识生产者, 知识溢出意味着利益的损失, 但是对于全社会而言, 知识溢出则让全社会的总体福利增加, 其结果主要表现在经济增长、知识创新 ( R&D) 和社会进步三个方面。正因为如此, 对知识溢出的测度就成为了从新经济增长理论经济学家到技术创新理论研究者共同关注的问题。

1 知识溢出效应测度研究综述

目前, 学术界比较流行的几种知识溢出效应的测度方法主要有: 知识生产函数法 ( KPF) 、全要素生产率法 ( TFP) 、极值边界分析法 ( EBA) 、成本函数法、技术流量法和文献跟踪法。

知识生产函数的概念最初是由Griliches ( 1979) 在测度R&D和知识溢出对生产率增长的影响时提出的。他认为, R&D活动的产出是过去和现在R&D要素投入及投资 ( 资金和劳动力) 共同作用的结果[2]。Jaffe ( 1989) 发展了Griliches的模型, 使之更适合实用[3]。Anselin, Varga&Acs ( 1997) 提出了基于空间计量经济学的知识生产函数模型[4], 发展了Griliches - Jaffe的知识生产函数。

全要素生产率法 ( TFP) 将TFP作为评价知识溢出的主要指标, 主要应用于测度国际间知识溢出对于一国的影响。该方法最早由Griliches提出。Griliches ( 1994, 1998 ) 测度了产业部门R&D对TFP的影响, 发现TFP随着R&D收益的增加而增加[5 - 6]。Coe&Helpman ( 1995) 研究了22 个国家的面板数据, 发现国际间的研发资本存量与各国的TFP呈正相关性, 从而肯定了知识存量对于知识溢出的重要作用[7]。

极值边界法 ( EBA) 主要以经济增长率为评价知识溢出的主要指标, 建立知识溢出及其他变量对经济增长率的影响。代表文献为Leamer ( 1985) [8]、Levine&Renelt ( 1992) [9]。成本函数法的前提假设是知识溢出将带来成本的削减, 于是通过分析知识溢出导致的企业投入、产出品的成本下降幅度来测度知识溢出的强度。代表文献是Bernstein ( 1988) [10]、Bernstein&Nadiri { 1988 }[11]。技术流量法 ( TFA) 主要是用于研究R&D从生产企业到使用企业的溢出, 通过使用投入产出关联或以投入产出关系为基础构建的技术流动矩阵, 确定一个企业或产业在空间中的位置, 考察从进行R&D投入的企业或产业到其他企业或产业的技术溢出模式 ( Terleckyj1974, 1980) [12 - 13]。一般来说, 实证分析会得到产业间知识溢出的增加导致要素投入 ( 资本和劳动) 减少的结论。

文献追踪法即直接测度知识溢出的效果, 如专利和专利引用情况, 通过分析专利使用的地理分布情况来跟踪知识扩散路径的方法。Jaffe ( 1986) 最早用专利数据来研究知识创新和知识溢出, 研究证明同行对于R&D投入越大, 越能激发企业在R&D上投入更多资源, 从而产生更多的专利[14]。

这些方法各有特点, 但是, 大多只是将知识溢出效应以某一个指标加以衡量, 而不去考虑其他指标, 并且, 也没有考虑知识溢出在社会进步、民生改善方面的效应; 这样会有失偏颇, 不能全面反映知识溢出的总效应。本文通过构建知识溢出效应的立体几何模型, 能将描述知识溢出的经济、知识创新 ( R&D) 和社会三方面效应的若干指标综合成单一指标加以表示, 不仅有利于全面反映知识溢出的总效应, 也有利于对比不同地区知识溢出效应的强度。

2 基于知识溢出三方面效应的立体几何模型

2. 1 知识溢出的三方面重效应

目前的各种知识溢出模型多以某单一指标作为知识溢出的衡量标准, 如经济产出、TFP、经济增长率、专利等; 而且, 这些模型只是评价知识溢出单一方面的影响, 如知识溢出产生的经济效应或是知识创新 ( R&D) 效应等, 这必然导致这些方法无法综合评价知识溢出的全部影响。因为, 知识溢出的外部性是全面的、多角度的、发散式的影响过程。其影响领域不仅局限于经济方面, 还体现在知识创新 ( R&D) 方面和社会进步方面。知识溢出的创新 ( R&D) 效应是指知识溢出所引起的新知识生产和扩散效应。因为, 任何知识的产生都不是凭空得来的, 而是研究者综合该领域及相关领域以前知识的基础上不断总结创新的结果, 这就是知识溢出诱发的生产效应的前提。而知识的扩散将会使知识在更广大区域内得到普及应用, 这也是知识溢出的创新 ( R&D) 效应的重要组成部分。

知识溢出的经济效应和知识创新 ( R&D) 方面的效应已为众多学者所验证。但知识溢出的社会效应则长期受到忽视。知识溢出的社会效应即知识溢出引起的社会的进步和居民生活水平的提高, 如居民在教育、医疗、居住环境、生活质量等方面的改善。事实上, 知识创新的最终目的不是经济的增长和知识的扩大再生产, 归根结底还是要促进社会进步、提高人民生活水平。经济增长和知识的不断创新也是为这个目的服务的。即便是刚出现时看起来跟社会进步毫无直接关联的科学新发现, 在若干年后, 也会被找到其有利于社会进步、民生改善的用途。如电磁学最初只是少数知识分子的学术探索, 却为以后通信领域的革命性突破奠定了理论基础; 为战争发展的核技术, 现在是重要的民用能源来源; 看似毫无实用意义的太空探索, 却催生了相关产业、如太空育种、新材料、远程通信等领域科技的发展, 这些产业的众多技术已应用于提高人民的生活质量。所以, 知识溢出对于社会进步和民生方面的影响, 是知识溢出效应不可忽略的重要方面, 与知识溢出的经济效应和知识创新 ( R&D) 效应同等重要。基于此, 本文提出了基于立体几何模型的知识溢出的三方面效应评价方法, 来全面评价知识溢出的外部性影响。三方面效应即知识溢出在经济、知识创新 ( R&D) 和社会方面的影响。在每一个方面, 需要选择若干评价指标来反映知识溢出的影响, 最后, 在立体空间中以线段距离长短的方式表示知识溢出效应的强度。该建模方法最早为Carroll ( 1979) 在评价企业绩效时所采用[15]。温素彬 ( 2008) 将其应用于企业的绩效的评价领域[16]。

2. 2 评价指标体系

本文根据知识溢出在经济、R&D和社会进步方面影响的具体体现建立的知识溢出三方面效应评价指标体系为 ( 见表1) :

假设区域内的劳动生产率、TFP、高新技术产值和新产品研发的提高等等均是知识溢出的直接或间接的结果。例如, 知识集聚程度高的地区, 其人均寿命和受教育年限通常都比较长、污染治理情况较好、上网普及率较高。因而, 以上所有指标都能反映知识溢出效应的强度。

这里值得说明的是知识溢出的社会效应, 每10万人中具有大学程度人数、上网普及率反映的是社会发展水平的指标; 人均寿命、城市居民户均教育文化娱乐支出占总消费支出比重是反映人民生活质量的指标; 万元GDP能耗、工业 “废水”处理达标率是反映生态环境类的指标。

2. 3 知识溢出效应的立体几何模型

知识溢出的立体几何模型的核心内容是建立一个效应立方体, 该立方体的横、纵、高坐标轴分别表示知识溢出的经济、R&D和社会效应。该效应立方体有一个效应最优点和一个效应最劣点。每一个待评价区域知识溢出的三方面效应都可转换为该区域知识溢出的横、纵、高指标。这样, 每一个待评价区域的知识溢出效应强度在效应立方体中都表示为一个点。该点离最优点越近, 表明该待评价区域受到的知识溢出效应影响越显著; 反之, 离最劣点越近, 表明该待评价区域受到的知识溢出效应影响越微弱。

第一步, 原始指标的预处理。正向指标直接使用下面公式, 如果是逆指标, 如万元GDP能耗, 需要先将逆指标正向化后, 再使用下面公式将原始数据无量纲化:

其中, Xij为无量纲化后的指标; Xij为评价指标的原始数据; Xmin为同类指标最小值; Xmax为同类指标最大值。

第二步, 计算知识溢出对待评价地区的经济、R&D和社会效应。公式为Pi'=∑WijXij。式中i=1, 2, 3分别代表的知识溢出的经济、R&D和社会效应;Wij为各评价指标的权重, 用AHP法得出。

第三步, 测算知识溢出的总效应。此时, 知识溢出效应的所有可能点P' ( P1', P2', P3') 都落入一个边长为4 的效应立方体中。立方体的上方顶点U ( 4, 4, 4) 是理想化的知识溢出效应最优点, 原点O ( 0, 0, 0) 是知识溢出效应可能达到的最劣点, 如图1 所示。

显然, P'点离U点的线段距离越近, 知识溢出效应越显著, 。为了与正常思维习惯相符, 将溢出效应的距离公式正向化, 且, 则溢出效应距离PU的正向化计算公式为:

PU既某地区的知识溢出效应。PU∈[0, 6.928], PU值越大, 知识溢出效应越显著。

第四步, 在完成综合效应评价后, 还应进行溢出效应平衡协调程度评价。所谓溢出效应平衡协调程度评价, 就是通过计算协调度来测评各地区知识溢出的经济、R&D和社会效应的协调性。如果某地区单一方面的知识溢出效应过于突出, 而其他两方面的效应偏低, 或某一方面效应较其他两方面溢出效应明显偏低, 都属于平衡协调度失衡, 说明该地区的R&D发展水平并不均衡, 其知识溢出效应没有同步惠及到经济、社会的各个方面。

平衡协调度计算公式为效应点到主对角线x = y= z的距离di, 即:

显然, 。为了符合人们思维观念, 将上述公式正向化, 正向化公式为:

Pd即为各地区知识溢出效应的平衡协调程度。一般来说, Pd∈ [0, 0. 25) , 说明协调程度差; Pd∈ [0. 25, 0. 5) , 说明协调程度一般; Pd∈ [0. 5, 0. 75) , 说明协调程度较好; Pd ∈ [0. 75, 1 ], 说明协调程度很好。

3 实证分析

3.1大陆各省区知识溢出效应测度为测度我国大陆各省区的知识溢出效应, 选取大陆各省区相应各指标2010年的数据进行测算。因西藏部分指标数据缺失, 计算结果不包括西藏。数据取自2011年《中国统计年鉴》、《中国科技统计年鉴》、《第六次人口普查统计公报》和《第27次中国互联网络发展状况统计报告 (2010) 》。其中, 国外主要检索收录我国科技论文篇数 (X22) 和各地区研究与开发机构R&D课题数 (X24) 为2009年数据。计算结果见表2。

从计算结果可以看出, 东部地区省市的知识溢出效应十分明显, 不仅总效应排名居前, 其经济效应、R&D效应和社会效应都十分显著。这说明知识溢出对于东部地区省市的经济发展、科技创新和社会进步的拉动作用都十分明显。其他省市对比, 中部省区的知识溢出效应又明显领先于西部省区, 这种梯形分布与我国经济总体发展情况相符。

在各省区中, 三大直辖市的各项指示遥遥领先, 显示了其雄厚的科技实力。值得注意的是, 北京知识溢出的R&D效应和社会效应均排名第1, 但经济效应仅排名第5, 说明北京市为数众多的高等院校和科研院所承担了大量基础性研究, 这些研究对于全国的科技进步十分重要, 但是, 基础性科学研究难以在短期内转化为经济效益, 因此, 经济效应排名相对偏低。类似的情况也出现在安徽和湖南, 这两个省知识溢出的R&D效应和社会效应排名明显高于经济效应排名, 说明这两个省的科研能力相对发达, 如安徽拥有中国科技大学, 湖南拥有中南大学、湖南大学和国防科技大学, 这些大学承担着国家大量基础性科研项目。所以, 尽管其科研能力较强, 但较强的科研能力并没有立即转化为相应程度的生产力。与之相反, 广东知识溢出的经济效应排名高于其总效应、R&D效应和社会效应排名, 说明广东的经济发展超前于科技和社会, 强大的经济实力并没有带动科技研发和社会进步水平的同步发展。

测度结果还反映出, 各省区市知识溢出的总效应排名基本与各地的经济实力发展水平 ( 人均GDP) 排名相同或相近, 这说明各省区的经济发展与科技发展总体来讲是均衡的, 基本呈现出相互促进、同步增长的态势。

3. 2 溢出效应平衡程度测度

经测算, 各省区2010 年知识溢出的平衡程度见表3。

从上表可见, 我国各地区知识溢出效应总体的平衡协调程度性较好。但是, 一些经济发达省市的知识溢出平衡协调程度并不是很好, 反倒是一些经济落后省市的知识溢出的各效应得到了均衡发展。例如, 北京、安徽、湖南的排名都较低。这印证了前面的分析, 即这些承担大量基础性科研项目的地区, 由于基础性科研转化为生产力的时效性较长, 因而, 知识溢出效应协调程度并不均衡。与之相反, 天津的知识溢出的经济效应远远好于知识溢出的R&D效应, 导致天津协调性排名最后, 这说明天津的知识生产水平相对落后于R&D对经济的拉动效应, 或者说天津更多地依靠外来技术而不是本地技术拉动本地经济发展。

3.3各省区溢出效应聚类分析

为了进一步分析各地区知识溢出情况, 本文将知识溢出效应评价指标原始数据带入SPSS19.0中进行聚类分析, 选择系统聚类分析方法, 依照各地区在树状图上的先后合并顺序, 得到分类结果 (见表4) 。

由上表可见, 各省区的知识溢出效应聚类分析与立体几何模型的测算结果相一致, 排名相近的省区基本分在同一个类别中, 从而从不同角度印证了立体几何模型的准确性。

聚类结果显示京、津、沪三大直辖市的知识溢出效应效果明显, 说明这三座城市的科技研发不仅居于全国领先地位, 而且, 知识的生产还深深地影响到社会经济的各个方面, 并对这些领域的革新起到十分重要的作用。紧随其后的是经济十分发达的江苏、浙江、广东等省, 这些省区的科技对经济、社会等方面促进作用明显。其他一些经济较为发达的省市如山东、辽宁、福建等组成了第三集团, 这些省市的科研能力和经济实力较强, 或在某一方面有突出表现。剩余的省区组成第四集团。而内蒙古由于属于典型的资源依赖型经济区域, 其知识溢出效应的作用形态较为特殊, 因而单独构成一类。

4结语

知识溢出效应的立体几何模型, 能全面测度知识溢出的三方面效应;避免了以往评价方法只考虑知识溢出的单一指标或单一方面效应的偏颇性。该方法可以根据实际需要灵活调整评价指标体系, 还可以通过调整权重的方式突出某一评价指标的影响, 且建模方法直观, 计算简便。该方法尤其适用于多个地区之间知识溢出效应的横向比较。该方法还可推广到社会科学其他评价领域, 有着广阔的应用前景。

摘要：目前知识溢出效应测度方法多是以单一指标来度量溢出效应强度, 且都偏重于观测知识溢出的单一方面效应, 并且没有将知识溢出对于社会进步的影响纳入到知识溢出的测度范围。为克服这些缺陷, 给出基于立体几何模型的知识溢出效应测度方法, 可用来同时测度知识溢出在经济、R&D和社会三方面的效应。利用该模型测度2010年我国各省区市的知识溢出效应并结合聚类分析, 结果发现知识溢出效应与各地区经济发展水平相符。

篇14：论立体几何知识迁移能力培养

关键词： 立体几何 能力培养 空间想象能力 知识迁移能力

1.引言

立体几何在高中数学中所占的比重是很大的，无论是在人们日常生活中的应用还是在高考中的地位，都是非常重要的。

依据《普通高中数学课程标准》，新课标中立体几何是以图形结构为主线，依照从整体到局部的方式展开几何内容的[1]。这是不同于以往教材的由局部到整体的一种图形的位置关系为线索的内容安排。知识点虽然没多大变化，但这样更符合人们的认知过程，人类认知世界中几何物体都是由整体印象到局部分析的。

新课标下的立体几何内容“立体几何初步”和“空间向量和立体几何”即是几何发展的两个主要方向的体现。与传统立体几何问题的思辨论证和计算不同，新课标下的立体几何，重视空间观念、几何直觉基础之上的逻辑推理，探究，重视“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”的全过程[2]。

就目前的新课标的变化，我们应该怎么学好立体几何的这些知识点，怎么解决各种立体几何的问题，以及怎么在学习过程中培养学生的各种思维能力，这些是本文着重探讨的课题。

2.立体几何能力培养

2.1培养空间想象能力

立体几何的关键性问题是使学生真正建立起空间观念，教师在教学中必须注意直观教学，有计划、有步骤地培养和发展学生的空间想象能力。

爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”所以我们需要收集具有代表性的建筑实物图，比如金字塔、钟楼、北欧的房屋、中国古塔等，并且用多媒体展示出来，让学生一起探讨一些这些建筑每个部分的形状及其美感[3]。例如讲到钟楼时就可以引导学生熟悉几何图形，让学生感知一下这个建筑是由哪些几何图形构成的，从而让学生认识到学习这些知识的重要性和必要性，因为生活中到处都是几何图形。这样可以激发学生的学习兴趣，充分调动学生的积极性，为以后的学习打下坚实的基础。

作图和识图有着密切的联系，如果学生识图能力差，就很难画出所需要的图形。在立体几何的学习中，应利用实物和模型帮助学生弄清点、线、面之间的关系，增强感性认识，加深学生对理论知识的理解。学生的识图能力提高了，画图能力自然就提高了，也就说明学生的空间想象能力有所提高了。例如：在讲解异面直线的时候，我们可以将教室作为实物模型进行讲解，然后让学生用自己的笔作为模型摆出两条直线之间的集中关系。

我们还可以利用各种材料，如橡皮泥、硬纸片等，自己动手制作一些主体图形的模型。让学生在制作过程中发现圆与棱，柱体与椎体、球体的异同点，从而形成正确的空间图形概念。学生通过动手操作，对自己的想象加以验证，以自己的经验为基础逐步地发展空间观念。立体几何是源于生活中的实物并且也是高于生活的，我们需要将实物图形抽象出来，用几何线条在平面上描绘出来，这对于发展空间想象能力是有很大帮助的。

2.2培养学生知识迁移能力

学习的迁移是指在一种情境中获得的知识、技能或形成的态度对另一种情境中知识、技能的获得或态度形成的影响。迁移能力是学习能力的重要方面，按照过去形成的知识、技能、态度对新的学习产生的效果，可将迁移分成正迁移和负迁移。前者对新的学习产生积极的影响，后者对新的学习产生消极的影响，如何促进正迁移、防止负迁移是教学活动的一项重要课题。

2.2.1创设情境培养学生知识迁移能力

《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。”在立体几何教学中要积极挖掘现实生活中的几何素材，促使学生将具体形象的直观材料迁移成抽象的逻辑关系。在每一节课中，展示较多的几何图片：正方体、长方体、四面体、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等，让学生对图形平视、俯视、侧视、静止着看、旋转着看、翻折着看。同时要求每一个学生必须自制一个正方体、一个长方体、一个正三棱锥学具，多观察、多猜想、多推理、多验证、多概括、多归纳了解它们的结构特征，加强空间几何体与平面图形的联系与迁移。新知识的引入是实现旧知识向新知识迁移的有利时机，在这个过程中要创建有利于迁移问题的情境，使学习情境具有相似性，激活那些与新知识相关的已有知识的感情体验，逐步启发学生完成知识的迁移[4]-[5]。

例如在讲二面角的定义时。问题一：角是由一点所引出的两条射线所构成的平面图形，要定角，就应先找点，然后作线。点取在何处时才能合理地构造出一个平面角来度量一个二面角的大小？（点取在棱上）

问题二：前面我们求异面直线所成角和线面所成角的时候，都是化归成一个平面角而且数值是唯一的、确定的，那么要作出二面角的平面角，点取在棱上，两条线应该怎样画？

问题三：角的大小通常是利用三角函数值来度量，如何利用所学的三角函数知识计算二面角的平面角呢？（解三角形）

阶梯形、层次性的问题设计，形成一个强有力的迁移情境，将学生牢牢吸引住，从而实现了思维的转化。

2.2.2动手实践培养学生知识迁移能力

体验是指学生主动地经历和虚拟地经历学习过程并获得相应知识和情感的直接经验活动。《数学课程标准》特别强调学生学习的过程性原则和体验性原则，倡导学生自主的特纳所、动手实践、合作交流等积极主动的学习方式，这样的学习方式有助于学生在原有知识结构的基础上建立新的知识结构，克服以前形成的平面几何思维定势对空间思维发展产生的干扰和抑制，并进行知识的重组与优化，实现知识与方法的迁移。

如把一张菱形的纸片沿对角线折起来，就能否定“四条边相等的四边形是正方形”；把一张三角形的沿高线折起来，就发现直线与平面垂直的判定方法；把一张矩形的纸沿中间折起成直二面角，就能探求两个平面垂直的判定定理和性质定理。一张小小的纸片蕴含着丰富的几何知识和迁移型思维方法。

再如将把一摞书摆成棱柱形状，把直棱柱推成斜棱柱，把斜棱柱推成直棱柱，通过变化研究空间几何体中的线面关系，使问题背景与概念相匹配。让学生感受到“如果两个相交平面同时与第三个平面垂直，那么它们的交线垂直于这个平面”，纠正了“如果棱柱底面上的一条边与侧面垂直，那么它是直棱柱”的错误认识。在师生互动中，学生的认识得到了深化，思维得到了拓展和延伸。

2.2.3论证猜测培养学生知识迁移能力

《数学课程标准》强调要发展学生的数学应用意识。数学的应用实际上包含两个方面：一方面，利用已有的数学知识观察、猜测，探求解决数学学科或其他学科中尚未解决的问题。另一方面，直接应用数学知识解决实际问题，通过数学建模活动体验实际问题与数学模型的内在迁移性，发展学生的创新意识和实践能力。

在对现有知识结构有准确理解的基础上，通过观察感知、大胆猜测、小心论证、反思构建等过程，可以使学生形成思维定势，促进正迁移。在教学中，当学生理解了“升维与降维”后，实时引导学生由平面几何中“垂直于同一条线的两条直线平行”通过拓展、变式提出猜想“垂直于同一个平面的两条直线平行”，“垂直于同一条直线的两个平面平行”，“垂直于同一个平面的两个平面平行”，然后引导学生进行证明或否定。这样既培养了学生的学习迁移能力，又培养了学生的思维能力和创新精神。

3.结语

新课标中立体几何的学习是从整体到局部的一个框架，因此在学习立体几何过程中我们应先建立一种空间立体图形的感知，整体感受它的存在，而后进行逻辑分析。在这个过程中我们可以在脑海中想象它的存在。

立体几何知识点和概念的理解要综合起来理解，结合实际的图形，前后知识联系起来理解，知道其出处，那么这个知识点、概念你就彻底理解透彻了。另外，立体几何各种题型的思考方式、思考点、迁移方向都是在我们理解概念定理的过程中潜移默化地形成的，平时做题我们应该多思考、多总结、多归纳，才能将每个题型都完全掌握。学生的学习是立足于现实的，因此在学习过程中结合实际，将图形迁移到实际生活中才能学以致用。在平常的学习和做题过程中结合方法有意识地培养立体几何能力，才能使自己得到全面提升，从而在立体几何部分就不会遇到棘手的问题。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]蔡有福.高中立体几何教学重点的探讨[J].华章，2012，（5）：229.

[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2004.

[4]黄武略.谈高中立体几何能力之培养[J].广东教育，2005，（5）：29-30.