简易逻辑

简易逻辑（精选十篇）

简易逻辑 篇1

在简易逻辑知识的学习中, 因为教材上呈现的知识比较简单, 同学们往往对一些基本概念的认识不够精确, 在知识的应用过程中, 常常对自己的错误毫无觉察.我们应加强对一些典型错误的辨析, 从而加深对简易逻辑知识的理解.

例1 已知:p:|5x-2|>3, q:$\frac{1}{x{}^2+4x-5}\ge 0$, 问p 是q 的什么条件?

分析:一般地, 对于 q 的非命题常有这样的看法, q 即$\frac{1}{x{}^2+4x-5}＜0$,

解得-5<x<1.

其实, q 即 q 不成立, 除有$\frac{1}{x{}^2+4x-5}＜0$之外, 还有 x2+4x-5=0, 解得-5≤x≤1.

所以正确的q 应是q:-5≤x≤1.

而p 即|5x-2|≤3,

解得p:$-\frac{1}{5}\le x\le 1$.

因此p 是q 的充分不必要条件.

例2 判断下列命题是简单命题, 还是复合命题:

(1) 3≥2;

(2) 对边平行且相等的四边形是平行四边形;

(3) 不等式 x2-x-6>0的解集是{x|x<-2, 或 x>3}.

分析:判断一个命题是简单命题还是复合命题, 不能仅看命题中是否含有文字“或”、“且”、“非”.对于含有“或”、“且”、“非”的命题, 要看“或”、“且”是否联结两个命题, 也就是能否写成“p 或 q”、“p 且 q”的形式;含“非”的命题, 要看是否是对整个命题的否定.同时, 表面上不含“或”、“且”、“非”的命题, 如果能改写成“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的命题, 同样认为是复合命题.

命题 (1) 的实际意义为“3>2, 或3=2”, 是一个复合命题.命题 (2) 中的“且”及命题 (3) 中的“或”都不是逻辑联结词, 命题 (2) (3) 都不是复合命题.

例3 指出下列命题的真假:

(1) 1是偶数或奇数;

(2) 2是偶数或质数;

(3) 苹果长在苹果树上或教室黑板上.

分析:生活用语中的“或”一般指“或此或彼”, 必居其一, 但不兼有, 而且不允许有矛盾现象.生活中, 语句 (3) 往往让人啼笑皆非.而逻辑中的“或”具有“或此或彼或兼有”三种情形.其实, 命题 (1) (2) (3) 皆为真命题.

注记:只有命题 p 和命题 q 都为假命题时, “p 或 q”形式的复合命题才为假命题.

例4 已知命题 p:若 (x-1) (x-2) =0, 则 x=1或 x=2.试写出“非 p”命题, 并判断它的真假.

分析:“非 p”是对命题 p 的整个意义的否定, “非 p”命题与命题 p 的真假必须相反.因此, “非 p”命题为:若 (x-1) (x-2) =0, 则 x≠1 且 x≠2.命题 p 为真命题, “非 p”命题为假命题.这里, 我们不能把“非 p”命题写成:若 (x-1) (x-2) ≠0, 则 x≠1且 x≠2.

应该注意“若 (x-1) (x-2) ≠0, 则 x≠1且 x≠2”是命题 p 的否命题.

走进简易逻辑 篇2

一、 四种命题及其真假

【例1】 (课本题改编) 将下列命题“对顶角相等”改写成“若p则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.

分析 首先分清条件p和结论q,然后写成“若p则q”的形式.

解 原命题：若两个角是对顶角,则它们相等；

逆命题：若两个角相等,则它们是对顶角；

否命题：若两个角不是对顶角,则它们不相等；

逆否命题：若两个角不相等,则它们不是对顶角.

点评 把一个命题写成“若p则q”的形式,有时可以加入字母或文字,以便叙述更清楚.

【例2】 (市高三调研试题)判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.

分析 可以直接进行逻辑推理判断,可以从逆否命题直接判断,也可以先判断原命题的真假,然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解.

解法1 ∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0.

∴方程x2+x-m=0的判别式

Δ=4m+1>0,∴x2+x-m=0有实数根.

∴原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.

又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.

解法2 原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.

∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0,∴m<-14≤0,

∴“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.

解法3 p：m>0,q：x2+x-m=0有实根,

 p：m≤0,

 q：x2+x-m=0无实数根,

∴

 p：A=mm≤0,

 q：B=mm<-14.

∵BA,∴“若

 q则

 p”为真,即“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.

点评 解法1是直接进行逻辑推理判断的；解法2是从逆否命题入手直接判断；解法3是利用原命题与逆否命题等价关系判断的.

二、 判断充分条件与必要条件

(一) 利用集合关系

【例3】 (07年辽宁高考题)p,q是两个命题：p:log12(|x|-3)>0,q:x2-56x+16>0,则p是q的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).

分析 用“集合”观点处理“条件”判断问题,具有可操作性,更能看清问题的本质.

解 设A=｛x｜0<|x|-3<1｝=｛x｜-4<x<-3或3

点评 设满足条件p和结论q的对象构成的集合分别为P,Q,

1. 若PQ,则p是q的充分条件;

2. 若PQ,则p是q的必要条件;

3. 若P=Q,则p是q的充要条件;

4. 若PQ且QP,则p是q的既不充分也不必要条件.

(二) 使用定义

【例4】 (2011年全国高考题)下面四个条件中,使a＞b成立的充分而不必要的条件是 (填序号).

(1) a＞b+1 (2) a＞b-1

(3) a2＞b2 (4) a3＞b3

分析 紧扣定义,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项．

解 由条件,寻找命题P使Pa>b,a>b推不出P,逐项验证可填(1).

点评 定义法是判断充要条件的最重要的方法.判断一个命题成立时,必需作严密的证明；判断一个命题不成立时,只需举出一个反例.

(三) 巧用逆否命题

【例5】 (2011年山东高考模拟题) 设p:b2-4ac>0a≠0,q:关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0有实根,则“非q”是“非p”的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)

分析 若直接判断,还需求出“非q”是“非p”命题,太繁；可巧用逆否命题,合理转化.

解 ∵判别式大于0,关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；但关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,判别可以等于0,

∴p是q的充分但不必要条件,

∵一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性,

∴“非q”是“非p”的充分不必要条件.

点评 原命题和它的逆否命题、逆命题和否命题是两对等价命题,应用它们,可实现命题间的相互转化.

（四） 妙用传递性

【例6】 (07湖北高考题)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题：

①r是q的充要条件；

②p是q的充分条件而不是必要条件；

③r是q的必要条件而不是充分条件；

④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；

⑤r是s的充分条件而不是必要条件．

则正确命题的序号是．

分析 本题比较复杂且具有一定的连锁关系,一般同学会陷入困境.此时若联想到“充分与必要条件也具有传递性”(如若p1p2p3…pn,则p1pn),则问题解决.

解 由已知有pr,qr,rs,sq由此得rq且qr,①正确,③不正确；pq,②正确；④等价于ps,正确；rs且sr,⑤不正确.所以正确命题的序号是②③⑤.

点评 对于较为复杂的且含有多个条件的命题,可妙用传递性,复杂问题简单化,令人拍案叫绝.

三、 充要条件的证明

【例7】 (自编题)求证:方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3,这个条件是其充分条件吗？为什么？

证明 ∵方程x2+ax+1=0(a∈R)有两实根,则Δ=a2-4≥0,

∴a≤-2或a≥2．

设方程x2+ax+1=0的两实根分别为x1、x2,

则x1+x2=-a,

x1x2=1.

x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2＞3．

∴|a|＞5＞3．

∴方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3;但a=2时,x21+x22=2≤3,因此这个条件不是其充分条件．

点评 充要条件的证明首先要明确条件和结论分别是什么,证明时要明确充分性是条件推结论,必要性是结论推条件.

四、 正确应用逻辑联结词

【例8】 (课本题改编)分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题,p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等；

解 “p或q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等,

“p且q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等,

“非p”：方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.

点评 正确理解逻辑联结词“且”、“或”、 “非”是解题的关键,应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,进行命题结构的判断.

一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—维尔斯特拉斯

【例9】 分别指出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假,p：函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q：方程x2+3x-4=0没有实根.

分析 首先确定组成复合命题的每个简单命题的真假,然后再根据复合命题的形式,对照真值表进行判断.

解 ∵p假q假,∴“p或q”为假,“p且q”假,“非p”为真.

点评 判断复合命题真假的依据：p∨q有真则真；p∧q有假则假；

 p与p相反.

五、 命题的否定与否命题

两个概念的区别：(1) 概念：命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后组成的命题.(2) 构成：对于“若p,则q”形式的命题,其命题否定为“若p,则

 q”,也就是不改变条件,而否定结论；而其否命题则为“若

 p,则

 q”.(3) 真值：命题的否定的真值与原来的命题相反；而否命题的真值与原命题无关.

两个概念的联系：它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”等)

【例10】 (自编题)写出命题“若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b全为零.”的否定形式及否命题

解析 命题的否定：若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b不全为零.

否命题：若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零.

点评 分清题设和条件,命题的否定只否定结论,而否命题既否定题设,又否定结论.

【例11】 (07年山东高考题)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是．

解析 对全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等,对“≤”的否定为“＞”,所以命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1＞0”．

点评 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词.

纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。—怀德海

牛刀小试

1. 判断命题“已知a、x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.

2. 已知命题p：函数f(x)=log05(3-x)定义域为(-∞,3)；命题q：若k＜0,则函数h(x)=kx在(0,+∞)上是减函数,对以上两个命题,下列结论中正确序号为．

(1) 命题“p且q”为真

(2) 命题“p或

 q”为假

(3) 命题“p或q”为假

(4) 命题“

 p且

 q”为假

3. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的  条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)

4. 命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为  ．

【参考答案】

1. 解法1：逆否命题：已知a、x为实数,如果a<1,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式

Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a<1,

∴4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,

∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.

解法2：∵a、x为实数,且关于x的不等式

x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,

∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7≥0,

∴a≥74.∵a≥74>1,∴原命题为真,

又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真.

解法3：利用集合的包含关系求解.

命题p：关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集, 命题q：a≥1.

∴p：A={a关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有实数集}

={a(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=aa≥74,

q：a≥1.∵AB,∴“若p,则q”为真,∴其逆否命题“若

 q,则

 p”为真,∴原命题的逆否命题为真.

2. 由3-x＞0,得x＜3,所以命题p为真,所以命题

 p为假.又由k＜0,可知函数h(x)=kx在(0,+∞)上是增函数,命题q也为假,所以命题

 q为真.所以命题“p且q”为假,命题“p或

 q”为真,命题“p或q”为真,命题“

 p且

 q”为假,故正确命题的序号为(4)．

3. 当m=12时,两直线斜率分别为-53与35,其乘积为-1,从而可得两直线垂直；当m=-2时,两直线一条斜率为0,一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此m=12是题目中给出的两条直线垂直的充分不必要条件．

简易逻辑考点例析 篇3

一、命题真假的判断

基本题型：以几何与代数中基础的知识点为载体，综合考查同学们对知识点的正确理解能力、运算能力和推理能力.

例1.判断下列命题的真假性：

(1)一个整数不是奇数就是偶数;

(2) x+y是有理数, 则x, y也都是有理数.

解析: (1) 是真命题.

(2)是假命题。如当时，x+y是有理数，但x, y都不是有理数.

点评：通过构造反例，否定一个命题的正确性，是判断一个命题为假命题的常用方法.

趁热打铁：设α，β为两个不同的平面，l, m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：(1)若α∥β，则l∥m; (2)若l⊥m，则α⊥β，那么这两个命题的真假性是%%.

答案：均为假命题.

二、充分必要条件的判断

基本题型：此类题目结合的知识点比较多，以数学各部分的相关知识为载体，综合考查同学们对基本知识的掌握及逻辑推理能力.

例2.(2006，山东)设p:x2-x-20>0, ，则p是q的%%条件.

解析：p:x2-x-20>0，解得x>5或x<-4.

，解得x<-2或-12.作数轴得p圯q，但q≠>p，故p是q的充分不必要条件.

点评：对于充分和必要的理解，有时用集合的方法来处理，既方便又直观，应用时记住几个常用结论：若A是B的充分不必要条件，则A奂B;若A是B的必要不充分条件，则B奂A;若A是B的充要条件，则A=B;A是B既不充分又不必要条件，则A∩B=Φ或A与B既有公共元素又有非公共元素.

趁热打铁:(2006，湖南)“a=1”是函数f (x)=|x-a|在区间[1，+∞)为增函数的_____________条件.

答案：充分不必要.

三、命题的四种形式

基本形式：写出原命题的逆命题，否命题或逆否命题，并判断真假.在判断真假时，要学会用互为逆否命题的真假性一致来进行转化.

例3.下列四个命题中真命题的是：

(1) “若xy=1, 则x, y互为倒数”的逆否命题;

(2) “面积相等的三角形全等”的否命题;

(3) “若m≤1, 则方程x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;

(4) “若A∩B=B, 则A⊆B”的逆否命题.

解析：(1)中命题的逆否命题是“若x, y互为倒数，则xy=1”，是真命题;

(2)中命题的逆否命题“全等的三角形面积相等”，它是真命题，故原命题的否命题也是真命题;

(3)中命题的逆否命题为“若方程x2-2x+m=0无实根，则m>1”，显然是真命题;

(4)中命题的原命题是假命题，故原命题的逆否命题也是假命题.

故选(3).

点评：命题“若p则q”的否命题是“若┐P则┐q”，逆命题是“若q则P”，逆否命题是“若┐q则┐P”，依据“互为逆否的两个命题真假性一致”，借助于其等价性，可以判断出相应命题的真假.

趁热打铁：(2005，江苏)命题“若a≤b则2a>2b-1”的否命题是__________.

答案：若a>b，则2a≤2b-1.

四、全称量词与全称命题

基本题型：主要以考查命题的否定出现，书写命题的否定时，一定要抓住决定两种命题性质的量词，从量词的相反表述形式入手.

例4.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(2) q:至少存在一个实数x, 使x3+27=0.

解析：(1)┐P:埚x∈R, x2+x+1<0.

点评：首先弄清楚各命题是全称命题还是存在命题，再针对不同的形式加以判断.全称命题p:坌x∈A, p (x)的否定形式为┐q：埚x∈A，┐p (x).存在命题q:埚x∈A, q (x)的否定形式为┐q：坌x∈A，┐q (x).这种问题关键处理好前半句的量词及后半句的否定.

趁热打铁：“Ǝx∈R, x2+2x+5>0”的否定是________.

第一章 集合与简易逻辑1 篇4

第一章 集合与简易逻辑第一教时 教材：集合的概念目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。过程：一、引言：(实例)用到过的“正数的集合”、“负数的集合” 如：2x-1>3 x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。如：自然数的集合 0，1，2，3，……如：高一(5)全体同学组成的集合。结论： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。二、集合的表示： { … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员} ，b={1，2，3，4，5}常用数集及其记法：1.非负整数集(即自然数集) 记作：n2.正整数集 n*或 n+3.整数集 z4.有理数集 q5.实数集 r集合的三要素： 1。元素的确定性; 2。元素的互异性; 3。元素的无序性(例子 略)三、关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就说a属于集a 记作 aîa ，相反，a不属于集a 记作 aïa (或aîa)例： 见p4—5中例四、练习p5 略五、集合的表示方法：列举法与描述法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来。例：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{-1，1}例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1，3，5，7，9}2.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。① 语言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再见p6例② 数学式子描述法：例 不等式x-3>2的解集是{xîr| x-3>2}或{x| x-3>2}或{x:x-3>2} 再见p6例六、集合的分类 1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合 例题略3.空集 不含任何元素的集合 f七、用图形表示集合 p6略八、练习p6小结：概念、符号、分类、表示法九、作业 p7习题1.1

简易逻辑 篇5

集合部分几乎是高考必考内容，而函数部分则是高考的重点，不等式或者单独命题或者与其他相关知识相结合综合考查考生的分析问题、解决问题的能力.集合部分如果单独考查，主要考查集合与集合之间的关系以及集合的基本运算.函数相关性质的考查，是高考考查的重点.而且通常会与集合、不等式、方程、数列等知识结合，考查考生的综合能力.不等式部分具有一定的特色，其中线性规划部分是考查的重点，而解不等式以及基本不等式也不能轻视.

从题型上来讲，集合部分的考题主要以选择填空题的形式出现.就基本初等函数题目而言，考查范围涉及到函数的方方面面，难度覆盖面也很广，但也基本以选择填空题的形式出现.不等式部分的考题大致也是以选择填空题出现.

从难度上来讲，如果单纯考查集合的概念以及相关运算，属容易题.但是如果将集合与排列组合、数列等知识相结合，则难度变大，属难题.高考对函数知识要求是很高的，考查函数单一性质的简单题目不多；大都是函数性质之间的综合考查，例如图像与解不等式结合、周期性、单调性、奇偶性相结合等等，较难题的比例较大.而不等式部分的题目由于知识点的限制，以及素质教育的需求，难度有所下降，属中等难度题.

本专题全国高考客观题主要考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数的零点、导数的几何意义、定积分（仅限理科）等为主，也有可能与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题.

理科在“函数导数与积分”的考查：利用定积分求面积，利用导数研究函数的性质，以求函数的单调性、极值、最值为主，考查不等式的相关问题.

函数、导数选择题考查函数单调性与奇偶性、定积分求面积、由解析式找图像、利用导数求切线、距离最值问题、利用导数研究函数的单调性等，填空题考查基本的初等函数与函数的性质.

文科在“函数导数”的考查：函数的基本性质主要考查函数的单调性、奇偶性等，难度通常为中等，基本初等函数通常考查指数函数与对数函数，有时候会与函数的图像、函数与方程等相结合，考查数形结合思想的灵活应用，有时候也会融入导数的应用等，这类题目通常难度偏大，一般作为选择题或填空题的压轴题出现.

对导数的考查通常以函数的单调性、函数的极值或最值、不等式的证明或不等式恒成立问题为载体，考查导数的综合应用.在解决这类问题时，有时候需要对问题进行转化或构造相应的函数，因此对等价转化、数形结合的数学思想也有较高的要求，正确求出函数的导数，并灵活应用导致与单调性的关系是解题的关键.从这几年的命题规律来看，这一部分通常出现在第20题或21题的位置，题型比较稳定. 小题中主要考查基本初等函数、函数的性质等，而解答题中主要考查导数在解决函数问题中的综合应用，且ex或lnx总会出现其一，小题中有时候也会对导数进行考查.

函数与导数版块，是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识.《考纲》是这样诠释：这是因为函数的基础知识在现实生活及其他学科中有着广泛的应用，运用函数的思想方法可以构造描述客观世界的一些重要数学模型，而且函数的基础知识和思想方法又是进一步学习数学和其他学科的重要基础，因此对函数知识和思想方法的考查是高考的一个聚焦点.高考考纲对集合、简易逻辑、函数、导数的考查要求：

“了解”层次的知识

（1）集合、映射的概念；

（2）指数函数模型的实际背景；

（3）对数在简化运算中的作用；

（4）指数函数与对数函数互为反函数；

（5）幂函数的概念；

（6）函数零点与方程根的关系；

（7）指数函数，对数函数，幂函数的增长特征；

（8）函数模型的广泛运用；

（9）定积分的基本思想与概念；

（10）微积分基本定理的含义.

“理解、掌握”层次的知识

（1）集合的含义与表示，集合间的基本关系和集合的基本运算；

（2）理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义；

（3）理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；

（4）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点；

（5）理解对数的概念及其运算性质；

（6）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.

“会用”层次的知识

（1）会求一些简单函数的定义域与值域；

（2）会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）能简单应用不超过三段的分段函数；

（4）会用基本初等函数的图像分析函数的性质；

（5）能求简单函数的导数，能求简单复合函数（内为一次函数）的导数；

（6）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）；

（7）会用导数求函数的极大值，极小值，会求闭区间上函数的最大值，最小值（其中多项式函数不超过三次）.

二、高考怎么复习

以下重点谈谈函数与导数的复习：

（一）调整复习策略，重新定位

根据近几年全国课标卷以两小一大的题量、进行比较全面的考查，关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，重视对函数的图像与性质问题的考查，常以初等函数为背景设计综合题，一般以压轴题的形式出现的特点.因此函数与导数的复习应突出基础性和综合性，要准确理解概念，掌握通性通法，学会融会贯通，要会利用函数解决某些简单的实际问题.

尤其要关注以下几个问题：

一是关注函数的图像与性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值等基本内容，强化化归与转化、分类与整合、函数与方程、数形结合等数学思想方法在解题中的作用.

【例1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）

A. f（x）g（x）是偶函数 B. f（x）g（x）是奇函数

C. f（x）g（x）是奇函数 D. f（x）g（x）是奇函数

【解析】设F（x）=f（x）g（x），则F（-x）=f（-x）g（-x），∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴F（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），F（x）为奇函数，选C.

【点评】本题主要考查函数性质.要求熟练掌握函数常见性质和解题的常见方法.

二是关注函数与方程、不等式、数列等相结合的综合问题，要发挥导数的工具性作用，如应用导数研究函数的单调性、极值和最值以及不等式的证明等.

【例2】设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（ ）

【点评】导数的综合应用，函数图像是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现.

三是关注实际生活中的应用问题，掌握解决这类题型的一般步骤.

（二）从四个方面突破函数与导数复习难关.

1. 突出函数概念、性质的基础作用

①函数概念性强，函数性质是数学解题的重要工具，尤其是函数定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等是高考的重点.这些性质在具体问题的解决中有着重要的基础作用，因此在复习中对每一个概念、性质必须让学生正确地理解与掌握，只有对每一个概念的内涵外延全面的把握，准确的理解，才能在应用时得心应手.

【点评】本题对互为反函数的图像的特征提出了一定要求.全国卷的考察有时会涉及反函数的基本知识，这点要引起重视.

②尤其要重视函数的概念、图像及变换的复习，分段函数、绝对值函数蕴含着分类讨论与数形结合思想要引起足够重视.二次函数的最值讨论、二次不等式解的讨论与二次函数零点分布是导数题基础，要过好关.平时多训练利用函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的关系描绘函数图像，掌握图像的平移、翻折、对称变换，能够自觉运用图像解题（数形结合法），其中对称性蕴含着从特殊到一般的数学思想要重点加强.

【例4】已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0若f（x）≥ax，则a的取值范围是（ ）

A. （-∞，0] B. （-∞，1] C. [-2，1] D.[-2，0]

【解析】

当a>0时，y=ax与y=f（x）恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x>0，则f（x）≥ax恒成立.

若x≤0，则以y=ax与y=-x2+2x相切为界限，

由y=ax，y=x2-2x，得x2-（a+2）x=0.

∵Δ=（a+2）2=0，∴a=-2.作出函数图像，利用数形结合易知答案选D.

【点评】抓住函数的图像翻折和单调性并发现“临界点”是快速解不等式的重要依据，如果把式f（x）≥ax具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高.

③导数应用中求函数单调区间、极值、最值求解是基础，讨论函数单调区间、极值、最值是热点，特别是函数在区间上单调与不单调问题解决思想方法丰富应受到重视.函数零点问题有多种转化形式也是热点，多训练应用函数与方程思想解决零点问题.

2. 强化导数在函数问题解决中的工具作用

①近几年函数高考题型发生的明显的变化，多为可利用导数知识求解的问题.为适应新高考需要，函数解题必须充分发挥导数的工具作用，根据新的教材特点改变解题方法和途径，避免复习时把函数与导数等知识分割开来.应在复习中互相渗透，尽可能利用导数等知识居高临下的研究函数的性质及图形变化特征，发挥导数在解题中的应用.特别要关注导数的几何意义以及性质的内涵，能熟练应用结合意义和性质灵活处理函数问题.导数几何意义与切线相关问题基本是必考点，熟练导数运算.

②关注利用导数破解函数图像的特征、研究方程根及其性质.有些函数直接难作出图像，但利用导数性质得到函数一些特征后再做草图则容易奏效.

3. 把握函数作为高中数学知识中的主干知识

① 函数作为高中数学的重要基础知识，历来是高考的重热点问题，它内容丰富、应用广泛、贯穿于高中教学的始终.函数与导数还经常与常用逻辑用语进行交汇，考查逻辑推理论证能力.

②特别是函数与方程、不等式、数列、向量、最值、求参数的取值范围等知识之间都有密切联系，以这些交汇知识进行命题是命题改革的一种趋势，又由于导数的工具作用，解答题都是把函数与导数连成一体，因此必须予以重视.由不等式恒成立问题求解参数范围是常考题型，要重视对不等式恒成立问题解决方法的总结.

③导数与不等式恒成立问题、不等式证明问题是难点，新课标近几年此类问题的共同特点是避免整体对待，强调讨论分解函数，化归转化为一个相对简单函数或两个函数来突破，这是这类问题解决的一个思维方向.

【例6】已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e2（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2时， f（x）≤kg（x），求k的取值范围.

【解析】（Ⅰ）由已知得 f（0）=2， g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，

而f′（x）=2x+b，g′（x）=ex（cx+d+c），∴a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），

设函数F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2（x≥-2），

F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1），

有题设可得F（0）≥0，即k≥1，

令F′（x）=0，得x1=-lnk，x2=-2.

（1）若1≤k0，即F（x）在（-2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，故F（x）在x=x1取最小值F（x1）， 而F（x1）=2x1+2-x21-4x1-2=-x1（x1+2）≥0，

∴当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，

（2）若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex-e2），

∴当x≥-2时，F′（x）≥0，∴F（x）在（-2，+∞）单调递增，而F（-2）=0，

∴当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，

（3）若k>e2，则F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，

∴当x≥-2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立，

综上所述，k的取值范围为[1，e2].

【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题.

研究不等式f（x）>0在区间A上恒成立，求其中参数a的取值范围问题，一般有两种方法：

第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y=f（x）在区间A上的最小值.由于函数y=f（x）带有参数，它在区间A上的单调性会由于参数a的不同而变化，因此需要分类讨论.由于函数y=f（x）的单调性和其导函数在区间A上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y=f′（x）在区间A上的零点个数进行分类讨论.

第二种方法，是将不等式f（x）>0作变形，将参数a和变量x进行分离，将不等式转化为h（a）>g（x）（或h（a）

4. 重视函数知识在实际中的载体作用

函数的广泛应用近年越来越受到重视，以函数知识为载体的实际应用题在近年高考中经常出现，学会建立函数模型，应用所学知识解决应用题是数学能力的体现，必需重视和加强.

（三）以思维能力为核心，全面提升能力.

1. 应注重数学思维能力的训练，合理利用有关材料，在知识交汇处设置问题，培养观察、分析、解决问题的能力，特别要培养思维意识，审题中能抓住思维起点，结合有关知识能够合乎逻辑地准确表述推理过程，训练推理论证能力.

2. 高考提倡“多思少算”，但并不意味着不要运算.复习中应关注运算能力的训练，培养合理、准确的运算能力.

3. 重视数学思想在函数与导数解题中的应用.复习中要始终渗透函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然、有限与无限等思想，要注意通性通法的训练，淡化特殊技巧.复习时要注意知识的交叉、融合和渗透，帮助学生进行归纳、梳理、总结和提升，从中把握规律，领会本质，掌握数学思想方法，提高学科素养

（四）复习中在全面复习的同时关注课本例习题、发挥典型问题的作用，在精选与挖掘上下工夫，落实提高复习效益.

关键在于如何按照国家《考试大纲》和《考试说明》中的考查内容与要求，提高高三数学复习效益，在有限的时间获得最大的复习效益，高三复习例题的选择与挖掘应有教学价值是提高复习效果的关键，要充分发挥课本例、习题和一些典型问题的作用，通过对例、习题的研究，发挥其应有的价值，再通过引变式、引伸，充分挖掘课本例习题的应有作用，以不变应万变，同时可以帮助学生归纳、提炼必要的数学知识精华，让知识简单化、通俗化、条理化.略举一例以其引起重视.

总之，函数与导数是高考重要考点， 复习中应以全国考试大纲为依据，以考试说明为指导，以函数的基本概念和性质为主线，引导学生利用导数的“工具”作用，培养用导数分析函数性质的意识，渗透数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想方法，提高解决问题能力，以适应高考改革对复习的新要求.

浅谈《简易逻辑》中的命题的否定 篇6

《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型:单称命题的否定即简单命题的否定, 存在性命题的否定, 全称性命题的否定, 复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述:

一、简单命题的否定

在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。

例1:写出下列命题的否定。

(1) 是有理数。

(2) 菱形的对角线互相垂直。

(3) N{x R︱x>·2}.

(4) 方程=1没有实数根。

解: (1) 的否定:不是有理数。或者是并非是有理数。

(2) 的否定:菱形的对角线不互相垂直。

(3) 的否定:N{x R︱x>·2}。

(4) 的否定:方程=1有x≠3的实数根。

二、复合命题“P且q”;“P或q”形式的否定

给定命题P、q, 用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题 (也叫联言命题) 。记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q的析取命题 (也叫选言命题) 。记作P q。它的否定可以通过真值表来: (“1”表示真, “0”表示假)

从表可知:┓ (P q) 与┓P┓q的真值相同;┓ (P q) 与┓P┓q的真值相同, 故它们分别是等价命题, 因而我们认为“P且q“的否定为:“非P或非q”;“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示:

从而知命题“P q”和“P q”的否定:既否定命题P, q;又改变联结词。

例2:写出下列命题的否定。

(1) a=±5。

(2) f (x) =0既是奇函数又是偶函数。

(3) 5是10的约数且是15的约数。

(4) 2+2=5或3<2。

(5) AB∥CD

(6) a, b都是0。

解 (1) 的否定:a≠5且a≠·5。 (原命题属于P或q型)

(2) 的否定:f (x) 不是奇函数或不是偶函数。 (原命题属于P且q型)

(3) 的否定:5不是10的约数或5不是15的约数。

(4) 的否定:2+2≠5且3≥2。

(5) 的否定:AB∥CD或AB≠CD。

(6) 的否定:“a, b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。

可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。

三、复合命题“若P则q”形式的否定

“若P则q” (记作P q) 型命题的否定实质上较复杂, 但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题, 是具有真假性的命题, 不能区分真假性的命题不作研究。

当语句P和q能判断其真假时就成为命题, 那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系, 其否定形式不妨用真值表来解决。 (用“1”表示真, “0”表示假)

从表可知, “若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同, 故是等价命题。我们就此认为:命题”若P则q”的否定为“P且非q”, 且习惯表达为“虽然P, 却非q”的形式, 或是“尽管P, 然而非q”.用符号语言表示:

例3:写出下列命题的否定。

(1) 若x2+y2=0, 则x, y全为0。

(2) 若x=2或x=·1则x2-x-2=0.

(3) 若集合B真包含集合A, 则集合A包含于集合B。

解: (1) 的否定:虽然x2+y2=0, 但是x和y不全为0。

(2) 的否定:虽然x=2或x=·1, 但x2-x-2≠0.。

(3) 的否定:尽管集合B真包含集合A, 然而集合A不包含于集合B。

但在教学中发现有些师生把例3的答案写成: (1) 若x2+y2=0, 则x, y不全为0。 (2) 若x=2或x=·1, 则x2-x-2≠0.是不对的。它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变, 结论q否定, 且联结词不变的命题”。即为┓ (P q) =P (┓q) 。实际上, 原命题与否定命题应属于矛盾命题, 而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题;另方面从真值表可知, 当P为假时, 它们的真值都为真, 故不可成为矛盾命题, 因此┓ (P q) ≠P (┓q) 例如“若2是奇数, 则7是奇数”与“若2是奇数, 则7不是奇数”都为真命题。希教学中切实注意它们的区别。

四、含量词命题的否定

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语, 在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词 (用符号分别记为“”与“”来表示) ;由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样?

一般地, 全称命题P:x A, 有P (x) 成立;其否定命题┓P为:x A, 使P (x) 不成立。存在性命题P:x A, 使P (x) 成立;其否定命题┓P为:x A, 有P (x) 不成立。用符号语言表示:

非 ( (x) p (x) ) = (x) 非p (x) 非 ( (x) p (x) ) = (x) 非p (x)

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词, 存在性的量词改成全称性的量词, 并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在, 否定存在得全称, 否定肯定得否定, 否定否定得肯定.

例4:写出下列命题的否定。

(1) 所有自然数的平方是正数。

(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

(3) 对任意实数x, 存在实数y, 使x+y>0.

(4) 有些质数是奇数。

解; (1) 的否定:有些自然数的平方不是正数。

(2) 的否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根。

(3) 的否定:存在实数x, 对所有实数y, 有x+y≤0。

(4) 的否定:所有的质数都不是奇数。

但解题中会遇到省略了“所有, 任何, 任意”等量词的简化形式, 如“若x>3, 则x2>9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式, 再依据法则来写出其否定形式。

例5:写出下列命题的否定。

(1) 若x2>4则x>2.。

(2) 若m≥0, 则x2+x-m=0有实数根。

(3) 可以被5整除的整数, 末位是0.。

(4) 被8整除的数能被4整除。

(5) 若一个四边形是正方形, 则它的四条边相等。

解 (1) 的否定:存在实数x0, 虽然满足x02>4但x0≤2.。或者说:存在小于或等于2的数x0, 满足x02>4。 (完整表达为对任意的实数x, 若x2>4则x>2)

(2) 的否定:虽然实数m≥0, 但存在一个x0, 使x02+x0-m=0无实数根。 (原意表达:对任意实数m, 若m≥0, 则x2+x-m=0有实数根。)

(3) 的否定:存在一个可以被5整除的整数, 其末位不是0。

(4) 的否定:存在一个数能被8整除, 但不能被4整除. (原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

(5) 的否定:存在一个四边形, 虽然它是正方形, 但四条边中至少有两条不相等。 (原意表达为无论哪个四边形, 若它是正方形, 则它的四条边中任何两条都相等。)

由此看来, 要准确表达含量词命题的否定, 就要求我们掌握好一些词语的否定如下表:

简易逻辑在数学中的应用 篇7

一、逻辑的方法

逻辑的方法主要有比较法、分析与综合、抽象与概括。比较法是用以确定客观的事物与现象的相似之处与不同之处的逻辑方法。分析是在思想中分解着一个物体或一个对象, 将它的个别部分特征和性质分辨出来;综合则是在思想中把对象的各个组成部分、特征联合起来成为一个整体。抽象是在思维中仅只区分出对象的本质特征, 而将其余非本质的、不重要的特征抽象开去的方法, 抽象的结果叫做抽象化。概括是在思维中将同一种类的对象的本质属性集中起来, 结合为一般的类的属性。抽象与概括是一个统一的、不可分割的过程。一般多用于对概念的学习和理解, 如学习等差数列的概念时先给出几组数列:10, 8, 6, 4, 2…;2, 2, 2, 2, 2…观察这些数列得到共同特点:每个数列相邻两项之差都是相等的。这样就抽象概括出等差数列的定义。

二、逻辑的规律

形式逻辑的基本规律是:同一律、矛盾律、排中律与充足理由律。这些规律是数学证明的基础。

同一律的形式就是“甲是甲”。它的基本内容是:在进行论断和推理的过程中, 每一个概念都应当在同一意义上来使用。

矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是:同一对象在同一时间和同一关系下, 不能具有两种互相矛盾的性质。矛盾律和同一律是直接联系的。“甲不是非甲”乃是“甲是甲”的否定形式, 也就是说它们是同一种思想的两种不同表现形式, 矛盾律用否定的形式表现, 同一律以肯定的形式表现。

排中律的形式是“或者是甲, 或者是非甲”。它的具体内容是:同一对象在同一时间和同一关系下, 或者具有某种性质, 或者是不具有某种性质, 不存在第三种情况。

充足理由律的形式是“所以有甲, 是因为有乙”。它的基本内容是:特定事物之所以具有某种性质, 是因为它有着现实的根据, 为一定的先行于它的条件所决定的。这个规律要求在进行思维时, 必须有充分的根据, 任何判断或论证, 只有当它有充足的理由时, 才能是正确的、合乎逻辑的, 才能具有论证和说服的力量。

三、逻辑推理

逻辑推理是逻辑学习中的主要部分, 也是数理逻辑的主要内容, 主要有演绎推理和归纳推理。

1. 演绎推理

演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理, 有三段论、假言推理和选言推理等形式。

三段论指由两个简单判断做前提和一个简单判断做结论组成的演绎推理。由三部分组成:大前提、小前提和结论。大前提是一般性的原则, 小前提是一个特殊陈述。在逻辑上, 结论是应用大前提于小前提上得到的。运用三段论, 前提必须真实, 符合客观实际, 否则就推不出正确的结论。

假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。即在三段论中, 大前提是一个假言判断, 小前提是一个定言判断, 这种论式就叫做假言判断。假言推理体现在反证法中居多。

选言推理是以选言判断为前提的演绎推理。选言推理分为相容的选言推理和不相容的选言推理。相容的选言推理的基本原则是:大前提是一个相容的选言判断, 小前提否定了其中的一个选言肢, 结论就肯定剩下的一个选言肢。不相容的选言推理的基本原则是:大前提是一个不相容的选言判断, 小前提肯定了其中的一个选言肢, 结论就否定其他的选言肢。小前提否定除其中一个之外的语言肢, 结论则肯定剩下的那个语言肢。

2. 归纳推理

归纳推理, 就是从个别性知识推出一般性结论的推理, 具有从特殊到一般, 从具体到抽象的认识功能, 所得的结论未必是正确的, 但是对于数学家的发现、科学家的发明, 归纳推理却是十分有用的。通过观察, 实现对有限的资料作出归纳推理, 提出带有规律性的猜想。

归纳推理的一般步骤是:通过观察个别情况发生某些相同性质和规律, 从已知的相同性质中推出一个具有一般性结论的命题, 即猜想。

总的来说, 学习简易逻辑, 重要的是培养学生的一种逻辑思维能力, 教师应该教给他们一种方法和思路, 而不是简单地给出答案。

参考文献

[1]寿望斗.逻辑与数学教学[M].北京:科学出版社, 1979.

数学思想在集合与简易逻辑中的应用 篇8

集合与简易逻辑是高中数学的基础, 蕴含着丰富的数学思想方法.深入挖掘这些思想方法, 可使解题思路更清晰, 从更高的层次把握这类问题, 领会数学思想方法的奇妙之处.

一、数形结合思想

对数学问题的条件和结论, 既要分析其代数意义, 又要揭示其图形的直观性, 使数量关系的精确刻画与图形形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起, 充分利用这种结合寻找解题思路可使问题化难为易、化繁为简.

例1 (1) (2014年湖北卷) 设U为全集, A, B是集合, 则“存在集合C使得

(A) 充分而不必要的条件

(B) 必要而不充分的条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要的条件

(2) (2014年福建卷) 直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则“k=1”是“△OAB的面积为1/2”的 () .

(A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(C) 充分必要条件

(D) 既不充分又不必要条件

(2) 直线l过定点 (0, 1) , 它也在圆O上, 不妨设A (0, 1) .

评注:试题 (1) , 所给的条件较为抽象, 直接推理比较困难, 通过韦恩图, 将其直观化, 快速地得到了解决.对试题 (2) , 从数形结合思想入手, 作图时, 发现直线l过定点 (0, 1) , 这为解题打下了坚实的基础, 当k=1时, 发现B (-1, 0) , 心算即得S△OAB=1/2.反之, 当S△OAB=1/2时, 在图形的引导下, 考虑点B到OA的距离, 设为h, 通过列式算得h=1, 于是B (-1, 0) 或B (1, 0) , 也顺利地解决了试题.

在“数”“形”互化中觅得解决问题的方法, 这是数形结合思想的具体体现.

二、分类讨论思想

当所给问题对象不能进行统一时, 我们需根据对象的属性, 将研究对象分为不同形式的小问题, 将这些小问题逐一解决, 从而使整个问题得到解决.

例2对于函数f (x) , 若f (x0) =x0, 则称x0为f (x) 的“不动点”;若f[f (x0) ]=x0, 则称x0为f (x) 的“稳定点”.函数f (x) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B, 即A={x|f (x) =x}, B={x|f[f (x) ]=x}.

评注:“化整为零, 积零为整”是分类讨论思想的本质, 分类的实质就是为解题增设条件, 便于逐一解决问题, 然后再综合每一种情况, “积零为整”解决原来的问题.

三、函数与方程思想

用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想称为函数思想.从问题的数量关系入手, 将问题中的条件转化为方程、不等式, 然后通过解方程 (组) 或不等式 (组) 来解决问题的思想称为方程思想.在一定条件下, 可实现函数、方程、不等式间的互相转化, 为解决问题带来更广阔的思路.

例3 (1) (2014年天津卷) 设a, b∈R, 则“a>b”是“a|a|>b|b|”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

2) 设集合A={ (x, y) |y=x2+mx+2}, B={ (x, y) |y=x+1且0≤x≤2}, 若, 求实数m的取值范围.

四、补集思想

当考虑对象A较为困难时, 可转为考虑对象, 从而达到化难为易的效果, 称“补集思想”, 也叫“正难则反思想”.

例4证明:函数f (x) = (x-m) (x-2m) (x-3m) 在 (1, 3) 上存在零点的充要条件是1/3<m<3.

综上, 命题得证.

评注:在m>0下, 直接求m的取值范围较为困难, 需分有1, 2, 3个零点三种情况考虑, 而转为考虑其反面“f (x) 在 (1, 3) 上没有零点”, 便迅速地降低了难度.当正面解决问题较为复杂时, 通常考虑它的对立面且较为简便, 这正是补集思想的价值所在.

五、特殊与一般思想

通过对特例的认识与研究, 形成对事物由浅入深、由现象到本质、由局部到整体的认识与研究的思想称为特殊与一般思想.特例中常隐藏着一般性的特征, 但是在特例中更便于认识与研究, 再稍作推广即可解决问题.

六、转化与化归思想

通过某种转化过程, 把待解决的问题转化到已有知识范围内可解的问题或容易解决的问题, 称为转化与化归思想.通过不断的转化, 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化的问题, 即可解决问题.

例6 (2014年广东卷) 设函数, 其中k<-2.

(Ⅰ) 求函数f (x) 的定义域D (用区间表示) ;

(Ⅱ) 讨论f (x) 在区间D上的单调性;

(Ⅲ) 若k<-6, 求D上满足条件f (x) >f (1) 的x的集合 (用区间表示) .

评注:转化与化归思想是解决问题的一种重要思想方法, 它贯穿于整个数学学习之中, 前五种思想方法其实都属于转化与化归思想.解决数学问题的过程实际上就是一种转化的过程, 将不熟悉问题转化为熟悉问题, 将复杂问题转化简单问题, 将待解决问题转化为已解决问题, 这就是转化与化归思想的灵魂.

简易逻辑 篇9

关于命题, 初中的定义是:判断一件事情的语句叫命题;高中的定义是可以判断真假的语句叫命题。这两个定义都不严格。两个定义中使用的“判断”一词, 与语文中通常的意义不尽相同。在逻辑学上, 它的意义是:判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式, 判断有真有假。所以, 初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的:命题是这样一个语句, 这个语句能够判断真假。

二、关于“或”、“且”的含义

复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q, 既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件, 也不能用它们去联结两个命题的结论。

例1 (1) 已知p:方程 (x-1) (x-2) =0的根是x=1;

q:方程 (x-1) (x-2) =0的根是x=2, 写出“p或q”。

(2) p:四条边相等的四边形是正方形;q:四个角相等的四边形是正方形, 写出“p且q”。

错解: (1) p或q:方程 (x-1) (x-2) =0的根是x=1或x=2; (2) p且q:四条边相等且四个角相等的四边形是正方形。

分析: (1) (2) 两题中的p、q都是假命题, 所以“p或q”、“p且q”也都是假命题, 而上述解答中写出的两个命题却都是真命题。错误的原因是: (1) 联结了两命题的结论; (2) 联结了两命题的条件。

正确的答案是:

(1) p或q:方程 (x-1) (x-2) =0的根是x=1或方程 (x-1) (x-2) =0的根是x=2。

(2) p且q:四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形。

这两个命题都是假命题。

但是, 在不影响命题真值的情况下, 又可省略第二个命题的主语, 这是符合语言习惯的。

这个命题中括号内的部分可以省略。

三、关于“非”的含义

“非”的含义有下列四条:

3.1“非p”只否定p的结论。“非”就是否定, 所以“非p”也叫做命题p的否定, 但“非p”之“非”只否定命题的结论, 不能否定命题的条件, 也不能将条件和结论都否定, 这也是“非p”与否命题的区别。所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论。

例2 p:有些质数是奇数, 写出“非p”。

错解:有些质数不是奇数。

分析:因为p是真命题, 所以“非p”应为假命题, 上述命题不假, 故答案错。错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚。这个命题的条件是“质数”, 结论是“有些是奇数”, 正确的解法:先将p写成等价形式, 质数有些是奇数, “非p”:质数无奇数。

不是用“不”否定“是”, 而是用“无”否定“有些是”。

3.2p与“非p”真假必须相反。

例3写出例1 (2) 中命题p的否定“非p”。

错解:非p:四条边都相等的四边形不是正方形。

因为p是假命题, “非p”必须是真命题, 而上述命题也是假命题, 所以上述命题不是“非p”。

正确答案为

“非p”:四条边都相等的四边形不都是正方形。

“是”的否定有时为“不是”, 有时为“不都是”, 要视“是”的含义而定, 此例的“是”, 其含义是“都是”, 故其否定为“不都是”。

3.3“非p”必须包含p的所有对立面逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集。假定p与“非p”的结论所确立的集合分别是A、B, 则A、B必须满足A∪B=U (全集) , A∩B=Ф。“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面。这一点如果不注意, 使用反证法证题时就可能发生错误。因为反证法的理论依据是欲证p为真, 可证“非p”为假, 如果“非p”不包括p的所有对立面, 反证法就站不住脚了。

例4 p:方程x2-5x+6=0有两个相等的实根。写出“非p”。

正像写一个集合的补集必须先搞清全集一样, 这个题目也面临类似的问题。因为实系数一元二次方程的解的情况有三种, 任何一种的否定都应该包含另外的两种, 所以p的对立面是“方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根或无实根”。但“非p”不能这样写, 而写成等价形式:方程x2-5x+6=0没有两个相等的实根。

3.4“非p”必须使用否定词语。写“非p”时还要注意, 必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定。

例5 p:方程x2-5x+6=0有实根。写出“非p”。

错解:方程x2-5x+6=0有虚根。

尽管“虚”是对“实”的否定, 但“虚”不是否定词, “方程x2-5x+6=0有虚根”仍是简单命题, 正确答案为:方程x2-5x+6=0无实根。

四、给定一个复合命题, 写出构成它的简单命题时应注意的问题

例6指出构成下列复合命题的简单命题:

(1) 实数的平方是正数或0; (2) 4的平方根是2或-2; (3) 方程 (x-1) (x-2) =0的根为1或2; (4) 四边相等且四个角相等的四边形是正方形。

解: (1) p:实数的平方可能是正数;q:实数的平方可能是0。

注:因为实数的平方只有正数或0两种情况, 所以由p、q构成的“p或q”中, “可能”一词就可省略而成为“实数的平方是正数或0”, 文[1]中认为它是简单命题, 这种认识是错误的。同样, 后三个小题的答案为:

(2) p:4的平方根可能是2;q:4的平方根可能是-2, (3) p:方程 (x-1) (x-2) =0的一个根是1;q:方程 (x-1) (x-2) =0的一个根是2。

(4) p:四边相等的四边形可能是正方形;q:四个角相等的四边形可能是正方形。

在由p、q写“p或q”、“p且q”时, 有些词语可以省略, 反过来由“p或q”、“p且q”写p、q时, 省略的词语必须补上。而由“非p”写p时, 必须先搞清“非p”的条件和结论。

简易逻辑 篇10

集合与简易逻辑是高中数学的根基, 前者的概念与基本运算贯穿于函数、数列、三角、向量、概率等重要内容之中, 后者更是高中数学思维方式的原型.在学习中, 若能在扎实地弄懂基本概念的基础上, 再站在数学思想的高度上思考与分析问题, 则能更全面、透彻地理解问题的本质, 顺利、自然地解决问题.

1.原始实用的列举法

列举法是一种借助于某一具体事物的特定对象从逻辑上进行分析, 并将其本质内容一一罗列出来的手段.它是处理集合问题的一种常用的方法.

例1 若集合${\rm M}=\left\{0,1,2\right\}‚{\rm N}=\{(x,y)|x-2y+1\ge 0$且x-2y-1≤0, x, y∈M}, 则N中元素的个数为 ( ) .

(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2

解: (1) 当x=0时, 由-2y+1≥0且-2y-1≤0, 得$-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}$, 而y∈M, 则y=0;

(2) 当x=1时, 由-2y+2≥0且-2y≤0, 得0≤y≤1, 而y∈M, 则y=0或1;

(3) 当x=2时, 由-2y+3≥0且$-2y+1\le 0‚\frac{1}{2}\le y\le \frac{3}{2}$, 则

$\begin{array}{l}y=1.\\ \therefore {\rm N}=\left\{(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)\right\}‚\text{故}\text{选}\text{C}.\end{array}$

评注:本题抓住x, y∈M, 从x∈M入手, 分三类 (x=0, x=1, x=2) 实施列举, 直击问题的本质, 迅速地解决了问题.用列举法处理问题时, 有时不一定要将所有的情形一一列举出来, 在列举前作一番同类的处理, 可大大提高列举的效率.

2.好用实用的分类讨论法

分类讨论是处理一些情形多样、关系复杂的问题的实用方法.分类, 便于逐一击破.

例2 (2011年江苏卷) 设集合$A=\left\{(x,y)|\frac{m}{2}\le (x-2){}^2+y{}^2\le m{}^2,x,y\in \mathbf{R}\right\},B=\left\{(x,y)|2m\le x+y\le 2m+1,x,y\in \mathbf{R}\right\}$, 若A∩B≠∅, 则实数m的取值范围是.

解:集合B表示两平行直线x+y=2m与x+y=2m+1之间的部分,

(1) 若m<0, 由A∩B≠∅知, 直线x+y=2m+1与圆 (x-2) 2+y2=m2有交点,

从而$\frac{\left|2+0-(2m+1)\right|}{\sqrt{2}}\le \left|m\right|$,

解之, 得$\frac{2-\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{2+\sqrt{2}}{2}$, 矛盾;

(2) 若$m=0,A=\{(2,0)\},B=\{(x,y)|0\le x+y\le 1\}$, 它们没有公共点, 不符合题意;

(3) 若m>0, 由A∩B≠∅知, A≠∅, 有$\frac{m}{2}\le m{}^2$, 解之, 得$m\ge \frac{1}{2}$, 这时集合A表示圆$(x-2){}^2+y{}^2=\frac{m}{2}$与圆 (x-2) 2+y2=m2围成的环形, 从而直线x+y=2m与直线x+y=2m+1中至少有一条与圆 (x-2) 2+y2=m2有交点,

$\therefore \frac{\left|2+0-2m\right|}{\sqrt{2}}\le \left|m\right|$

或$\frac{\left|2+0-(2m+1)\right|}{\sqrt{2}}\le \left|m\right|.$

解之, 得$\frac{2-\sqrt{2}}{2}\le m\le 2+\sqrt{2}$,

即$\frac{1}{2}\le m\le 2+\sqrt{2}.$

评注:分类, 就是更深入地挖掘题中所给的条件, 将隐含的东西一一暴露出来, 为解决问题提供更多的帮助.运用分类讨论思想解决问题时, 有时还需注意分层讨论.

3.应用广泛的数形结合法

对于一些具有较强几何意义的集合问题, 若能画出其对应的几何图形、韦恩图、数轴等, 可将抽象问题直观化, 一步到位地解决问题.

例3 (1) (2011年广东卷) 已知集合$A=\{\left(x,y\right)|x‚y$为实数, 且$x{}^2+y{}^2=1\}‚B=\{\left(x,y\right)|x‚y$为实数, 且$x+y=1\}$, 则A∩B的元素个数为 ( ) .

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

(2) (2011年辽宁卷) 已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩ (∁IM) =∅, 则M∪N= ( ) .

(A) M (B) N (C) I (D) ∅

(3) (2011年天津理) 设集合$A=\{x||x-a|<1,x\in \mathbf{R}\}‚B=\{x||x-b|>2,x\in \mathbf{R}\}$.若A⊆B, 则实数a, b必满足 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\left|a+b\right|\le 3(\text{B})\left|a+b\right|\ge 3\\ (\text{C})\left|a-b\right|\le 3(\text{D})\left|a-b\right|\ge 3\end{array}$

解: (1) A∩B的元素个数为圆x2+y2=1与直线x+y=1的交点个数, 故选C.

(2) 画出满足题意的韦恩图, 如图1所示, 故选A.

(3) 由题意可知,

$\begin{array}{l}A=\left\{x|a-1<x<a+1,x\in \mathbf{R}\right\}‚\\ B=\left\{x|x<b-2\text{或}x>b+2,x\in \mathbf{R}\right\}.\end{array}$

若A⊆B, 在数轴上画出A, B,

则a+1≤b-2或a-1≥b+2,

∴a-b≤-3或a-b≥3,

即$\left|a-b\right|\ge 3$, 故选D.

评注:我们可以借助图形将抽象问题直观化, 更可以用数量关系精确地描述图形的特征, 实现数与形的完美融合, 如第 (3) 小题.图形便于指明解题方向, 数量利于强化解题细节.

4.随处可见的方程思想

根据题意建立等量关系 (方程或方程组) , 通过研究方程或方程组的解来解决问题的情况是普遍存在的, 其关键在于建立方程或方程组, 然后解之.

例4 (1) 设a, b∈R, 集合$\left\{1,a+b,a\right\}=\left\{0,\frac{b}{a},b\right\}$, 则b-a= ( ) .

(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2

(2) (2011年湖北卷) 若实数a, b满足a≥0, b≥0, 且ab=0, 则称a与b互补, 记$\phi (a,b)=\sqrt{a{}^2+b{}^2}-a-b$, 那么φ (a, b) =0是a与b互补的 ( ) .

(A) 必要而不充分条件

(B) 充分而不必要条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解析: (1) 方法一:$\because \left\{1,a+b,a\right\}=\left\{0,\frac{b}{a},b\right\}‚$

∴必有a+b=0, 则$\frac{b}{a}=-1$, 即a=-1,

有b=1, 从而b-a=2, 故选C.

方法二:由$\left\{1,a+b,a\right\}=\left\{0,\frac{b}{a},b\right\}$,

得

解之, 得, 故选C.

(2) 由$\phi (a,b)=\sqrt{a{}^2+b{}^2}-a-b=0$, 得

$\begin{array}{l}\sqrt{a{}^2+b{}^2}=a+b‚\\ \therefore \{\begin{array}{l}a{}^2+b{}^2=a{}^2+b{}^2+2ab,\\ a+b\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}ab=0‚\\ a\ge 0,b\ge 0.\end{array}\end{array}$

反之也成立, 故选C.

评注:运用方程思想解决问题时, 依题意建立方程或方程组后, 需注意观察, 有时不一定需解出每个未知数才能得到结果, 如第 (1) 小题改为求a+b的值时, 可不解方程而得.

5.回归整体的函数思想

函数描述了自变量与因变量之间的对应关系, 体现了“联系和变化”的观点.函数思想即是构造函数从而利用函数的图象与性质 (单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值等) 解题的一种策略.有些问题若能回归到函数中去, 更便于整体地处理.

例5 (2010年辽宁卷) 已知a>0, 则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\exists x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}ax{}^2-bx\ge \frac{1}{2}ax{}_0^2-bx{}_0\\ (\text{B})\exists x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}ax{}^2-bx\le \frac{1}{2}ax{}_0^2-bx{}_0\\ (\text{C})\forall x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}ax{}^2-bx\ge \frac{1}{2}ax{}_0^2-bx{}_0\\ (\text{D})\forall x\in \mathbf{R},\frac{1}{2}ax{}^2-bx\le \frac{1}{2}ax{}_0^2-bx{}_0\end{array}$

解:当a>0时, x0满足关于x的方程$ax=b\iff x{}_0=\frac{b}{a}$.令函数$f(x)=\frac{1}{2}ax{}^2-bx$, 此函数图象的开口方向向上, 对称轴为$x=\frac{b}{a}$, 则f (x) 在$\frac{b}{a}$处取得最小值, 即$\forall x\in \mathbf{R},f(x)\ge f(\frac{b}{a})$, 也即C选项⇔f (x) 在$x{}_0=\frac{b}{a}$处取得最小值, $\therefore x{}_0=\frac{b}{a}\Rightarrow \text{C}$选项, 且C选项$\Rightarrow x{}_0=\frac{b}{a}.$

故选C.

评注:本题通过构造函数$f(x)=\frac{1}{2}ax{}^2-bx$, 考察其最值解决了问题.若直接对各选项进行变形判断, 难于从整体的高度上看清问题的本质.

6.正难则反的补集思想

有些问题从正面考虑较为繁杂时, 我们不妨先考虑其反面, 从而达到化难为易的效果.

例6 (2011年安徽卷) 设集合$A=\left\{1,2,3,4,5,6\right\},B=\left\{4,5,6,7\right\}$, 则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数为 ( ) .

(A) 57 (B) 56 (C) 49 (D) 8

解法一:由S⊆A且S∩B≠∅知, S是A的非空子集, 且与B存在公共元素, 即S中必含4, 5, 6中至少一个元素, 因此可考虑S∩B=∅的情形:因为集合{1, 2, 3}的非空子集合有23-1=7个, A的非空子集有26-1=63个, 故满足题意的集合S的个数为63-7=56个.

解法二:由题意知, S的元素由两部分组成, 集合M={4, 5, 6}中的元素, 集合N={1, 2, 3}中的元素, 且必含M的元素, N的元素可有可无, 因此, 由分步计数原理知, (23-1) ×23=56, 故选B.

评注:本题若直接由S⊆A且S∩B≠∅展开列举, 需考虑S中含有“4 (5或6) , 4和5 (4和6或5和6) , 4, 5和6”三种情况, 计算量大, 且容易出错, 而从它的反面S∩B=∅入手, 可快速求解.

7.以退为进的特殊化思想

当遇到一些较为陌生、抽象的问题时, 可采用以退为进的策略, 将其特殊化, 退到最熟悉、特殊的地方, 理解好题意, 摸清规律, 再加以推广即可.

例7 (2011年广东卷) 设S是整数集Z的非空子集, 如果∀a, b∈S, 有ab∈S, 则称S关于数的乘法是封闭的.若T, V是Z的两个不相交的非空子集, T∪V=Z, 且∀a, b, c∈T, 有abc∈T;∀x, y, z∈V, 有xyz∈V, 则下列结论恒成立的是 ( ) .

(A) T, V中至少有一个关于乘法是封闭的

(B) T, V中至多有一个关于乘法是封闭的

(C) T, V中有且只有一个关于乘法是封闭的

(D) T, V中每一个关于乘法是封闭的

解:若取T=Z-, V=N, 满足T∩V=∅, T∪V=Z, 且∀a, b, c∈T, 有abc∈T;∀x, y, z∈V, 有xyz∈V, 此时T不封闭, V封闭, 排除D;若取T={奇数}, V={偶数}, 满足题设, 此时T, V都封闭, 排除B、C, 故选A.

评注:将整数集Z分成两个非空子集T, V, 使其满足题设, 较容易想到的两种特殊情况为T=Z-, V=N, 与T={奇数}, V={偶数}, 这也恰好击中了本题的要害.其实对A可作如下的证明:假设满足题设的T, V均不封闭, 则必存在a, b∈T, 使得ab∈V, 也存在x, y∈V, 使得xy∈T.不妨设ab=z, xy=c, 则abc=xyz, 有T∩V中含有元素abc (或xyz) , 与T∩V=∅矛盾, 故T, V中至少有一个关于乘法是封闭的.

集合与简易逻辑问题在高考中常以“基础题”的身份出现, 着重考查集合与命题的概念、基本关系、基本运算等基础知识与基本方法, 但它是学习数学语言的基础, 其中蕴含着非常丰富的思想方法, 若能扎实地打好基础, 站在数学思想方法的高度领悟问题, 则可达到高瞻远瞩的境界.