非线性动态特性

2024-06-21

非线性动态特性（精选八篇）

非线性动态特性篇1

关键词：数控工作台,非线性动态特性,软弹簧,硬弹簧,跳跃现象,自激振动,极限环

0 引言

数控工作台是数控机床的主要组成部分之一, 一般由驱动控制单元、驱动元件、机械传动部件、执行件、检测反馈环节和工作台等组成, 而且具有多个驱动轴, 是一个复杂的系统。各部件之间的间隙、摩擦、弹性变形等引起的动态特性的复杂性已成为提高数控工作台定位精度、跟踪精度和动态性能的瓶颈。

已有的研究用解析方法建立进给伺服系统的数学模型, 通过用集中参数代替分布参数, 用定量参数代替时变参数, 用等效线性特性代替非线性特性, 用单自由度力学系统代替多自由度力学系统等手段对数学模型进行简化, 对于研究系统的稳定性、快速性和准确性的影响因素和变化趋势具有一定的指导意义。但是, 简化手段的过分简单化, 扼杀了部分影响系统性能的主要因素, 致使实际检测得到的数控工作台的动态表现与理论仿真得到的相去甚远[1,2,3,4,5,6,7]。

本文以非线性动力学的观点, 通过理论分析和试验验证, 着重研究非线性弹簧力和摩擦力对数控工作台动态特性的影响, 以期找出规律, 为数控机床动态系统辨识提供依据。

1 理论分析

1.1 工作台的动力学模型

滚珠丝杠驱动系统如图1所示, 由驱动电机、联轴器、两端轴承、轴承座、滚珠丝杠、螺母、螺母支座、工作台和导轨构成。

其动力学方程为

$m \ddot{x} + F_{c} + F_{s} + F_{f} + F_{L} = F_{d}$ (1)

式中, m为工作台质量;x为工作台位移;Fc为系统阻尼力;Fs为弹性力;Ff为摩擦力;FL为负载;Fd为驱动力。

1.2 非线性弹簧力

1.2.1 滚珠丝杠的支承方式

滚珠丝杠的轴向刚度因其安装方式的不同而不同。丝杠的支承通常由止推轴承和向心轴承组合, 其支承方式有4种:①双推—自由式;②单推—单推式;③双推—简支式;④双推—双推式。它们的支承简图和力学模型简图如表1所示[8]。

1.2.2 滚珠丝杠的刚度和变形

滚珠丝杠副的刚度表示滚珠丝杠副及其支承部件抵抗其弹性变形的能力。其中滚珠丝杠为细长零件, 在工作台工作过程中同时承受拉压、扭转和弯曲载荷, 而且载荷所引起的变形随工作台的位移而变化, 呈现非线性特征。因此本文着重讨论滚珠丝杠的刚度。根据表1所列的4种支承方式和相应的力学模型, 把滚珠丝杠作为长轴, 把切削力、导轨摩擦力和滚珠丝杠与导轨副互为过约束引起的轴向力和横向力作为滚珠螺母上所受的集中力来处理, 滚珠丝杠的轴向拉压刚度和扭转刚度如表2所示, 丝杠的弯曲挠度和自重挠度如表3所示[9]。

表2和表3中:A为丝杠截面积 (mm2) , E为材料弹性模量 (MPa) , x为螺母位移 (mm) , l为丝杠长度 (mm) , G为材料抗剪弹性模量 (MPa) , JP为极惯性矩 (mm4) , I为惯性矩 (mm4) , F为横向力 (N) , q为丝杠单位长度质量 (kg/mm) , g为重力加速度 (m/s2) 。

1.2.3 弹簧力的非线性特征

分析滚珠丝杠的轴向刚度、扭转刚度、弯曲挠度和自重挠度发现, 其值均与工作台的位移和运动方向有关。根据表2计算出的轴向刚度的变化规律如图2所示。4种支承方式的扭转刚度正向运动和反向运动的规律分别与曲线1和曲线3的趋势一致。

1.支承方式1、3, 正向运动 2.支承方式2、4 3.支承方式1、3, 反向运动

根据表3计算出的弯曲挠度规律如图3所示, 自重挠度规律也基本与图3一致, 图中数字对应支承序号。可以看出, 支承方式1的挠度随位移变化快, 仅适用于粗短丝杠。其正向运动和反向运动时的刚度变化规律分别与图2的曲线1和3一致;支承方式2、3和4的挠度曲线形状相似, 挠度大小不同, 不同支承方式下的刚度好坏按降序排列, 而刚度的变化规律都与图2中的曲线2一致。

图2曲线1表示刚度随工作台移动而逐渐变小, 呈软弹簧特性;曲线2表示以丝杠中点为分界点, 随着工作台移动, 前半段刚度逐渐变小, 呈软弹簧特性, 后半段刚度逐渐变大, 呈硬弹簧特性;曲线3表示刚度随工作台移动而逐渐变大, 呈硬弹簧特性。

令y=x-v0t, 为在工作点 $(x = v_{0} t, \dot{x} = v_{0})$ 处的振幅。弹簧弹性势能Ep具有对称性, 即

$E_{p} = \frac{1}{2} k_{1} y^{2} + \frac{1}{4} k_{3} y^{4}$ (2)

故弹簧力可以表达为

$F_{s} = \frac{d E_{p}}{d y} = k_{1} y + k_{3} y^{3}$ (3)

其中, k3<0时为软弹簧, k3>0为硬弹簧[10]。

1.3 非线性摩擦力

图4所示为体现摩擦力与速度关系的Streibeck曲线。曲线分4个区域, 区域Ⅰ属静摩擦状态, 区域Ⅱ为边界润滑状态, 区域Ⅲ为部分液体润滑状态, 区域Ⅳ为液体润滑状态[11]。

令 $\dot{y} = \dot{x} - v_{0}$ , 将摩擦力 $F_{f} (\dot{x})$ 在工作点 $(\dot{x} = v_{0}, F_{f} (\dot{x}) = F_{f} (v_{0}))$ 展成泰勒级数, 并令 $\frac{d F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}} = c^{'}, \frac{1}{2!} \frac{d^{2} F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}^{2}} = c^{″}, \frac{1}{3!} \frac{d^{3} F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}^{3}} = c^{‴}$ , 得

$F_{f} (\dot{x}) \approx F_{f} (v_{0}) + c^{'} \dot{y} + c^{″} \dot{y}^{2} + c^{‴} \dot{y}^{3} + \dots$ (4)

可见, 摩擦力是非线性的, 式 (4) 的系数随工作点在Streibeck曲线上所处区段不同而异。

1.4 非线性动态特性

据上述分析, 系统动力学方程 (式 (1) ) 在工作点 $(x = v_{0} t, \dot{x} = v_{0})$ 的特性可表达为

$\begin{array}{l} m \ddot{y} + c \dot{y} + (c^{'} \dot{y} + c^{″} \dot{y}^{2} + c^{‴} \dot{y}^{3}) + (k_{1} y + k_{3} y^{3}) = \\ F_{d} - F_{L} - F_{f} (v_{0}) = F (5) \end{array}$

式 (5) 右边是驱动力、切削负载和工作点处摩擦力的合力, 具有周期性, 是系统的激振源。

1.4.1 非线性弹簧力的作用

忽略摩擦的非线性因素, 集中研究非线性弹簧力对动态特性的影响, 式 (5) 可整理为有阻尼的Duffing方程:

$m \ddot{y} + c_{L} \dot{y} + k_{1} y + k_{3} y^{3} = F$ (6)

cL=c+c′

式中, cL为线性阻尼系数。

式 (6) 的幅频特性如图5所示, k3<0时为尾部左偏曲线, k3>0时为尾部右偏曲线, 均将在不稳定区发生“跳跃现象”。阻尼的大小决定了振幅的大小[12]。

Duffing方程在相平面上有3个定点 (图6) :鞍点S (0, 0) 、稳定焦点 $F_{1} (\sqrt{- k_{1} / k_{3}}, 0)$ 和稳定焦点 $F_{2} (- \sqrt{- k_{1} / k_{3}}, 0)$ 。不同初始条件决定系统在两个流域之一内以螺旋线形式趋于两个稳定焦点之一。当外加周期力 (F≠0) 时, 系统便有可能穿过流域分界线, 在不同流域之间来回跳动, 从而形成复杂的震荡状态, 既可能做周期运动或准周期运动, 也可能做混沌运动[13]。

1.4.2 非线性摩擦力的作用

忽略弹簧的非线性因素, 集中研究非线性摩擦力对动态特性的影响。

(1) 当工作点在图4区域Ⅳ时, 为液体润滑状态, 摩擦力特性是线性的, 此时

$\frac{d F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}} = c^{'} > 0$

$\frac{d^{2} F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}^{2}} = c^{″} = 0$

$\frac{d^{3} F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}^{3}} = c^{‴} = 0$

$F_{f} (v_{0} + \dot{y}) - F_{f} (v_{0}) = c^{'} \dot{y}$

其自由振动方程为

$m \ddot{y} + (c + c^{'}) \dot{y} + k y = 0$ (7)

式 (7) 仍然为线性方程, 摩擦力的作用增加了系统的阻尼。

(2) 当工作点在图4区域Ⅱ或区域Ⅲ时, 摩擦力特性是非线性的。在工作点附近

$\frac{d F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}} = c^{'} < 0$

$\frac{1}{2!} \frac{d^{2} F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}^{2}} = c^{″} \to 0$

$\frac{1}{3!} \frac{d^{3} F_{f} (v_{0})}{d \dot{y}^{3}} = c^{‴} \geq 0$

其自由振动方程为

$m \ddot{y} + (c + c^{'}) \dot{y} + c^{‴} \dot{y}^{3} + k y = 0$ (8)

可以整理为

$\ddot{y} - ε \dot{y} (1 - δ \dot{y}^{2}) + ω_{n}^{2} y = 0$ (9)

$ε = - \frac{c^{'} + c}{m} δ = - \frac{c^{‴}}{(c^{'} + c)} ω_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

式中, ωn为固有频率。

当|c′|>c时, ε>0, δ>0, 式 (9) 是Rayleigh方程。将方程各项对t求导, 将 $\dot{y}$ 作为新变量仍记为y, 参数3δ以δ代替, 化为

$\ddot{y} - ε \dot{y} (1 - δ y^{2}) + ω_{n}^{2} y = 0$ (10)

式 (10) 是与Rayleigh方程等价的van der Pol方程。求解van der Pol方程的周期解、分叉与混沌已有成熟的理论与方法。Rayleigh方程和van der Pol方程都存在极限环, 如图7所示。

式 (10) 的特征根为

$λ_{i} = \frac{ε}{2} \pm \sqrt{(\frac{ε}{2})^{2} - ω_{n}^{2}} i = 1, 2$ (11)

分析式 (11) , 当ε>0时, 工作点是不稳定的平衡点, 从工作点近旁出发的轨线是发散的, 但局限于极限环的范围 (图7) ;当ε<0时, 工作点是稳定的平衡点。

可见, 工作在图4区域Ⅱ或区域Ⅲ的系统, 当|c′|<c时, 是稳定的;当|c′|>c时, 摩擦力作用的效果是产生具有极限环的自激振动。

(3) 当工作点在图4区域Ⅰ时, 工作速度v0→0时, $\dot{x} = v_{0} + \dot{y}$ 在零点邻域内振动, 摩擦力在 $\dot{x} = 0$ 处跃迁, 摩擦因数具有随机性和跳跃性 (图5) , 系统为具有随机系数的van der Pol方程。

1.4.3 非线性弹簧力和非线性摩擦力的耦合

由上述分析可知, 弹簧力非线性的作用可以用有阻尼的Duffing方程描述;摩擦力非线性的作用可以用Rayleigh方程或van der Pol方程描述。

进一步研究发现, 若不考虑外加周期力 (F=0) , 同时考虑弹簧力和摩擦力的非线性作用, 耦合系统具有Lienard方程的形式:

$m \ddot{y} + f (y, \dot{y}) \dot{y} + g (y) = 0$ (12)

$f (y, \dot{y}) = {\begin{cases} ε (1 - δ \dot{y}^{2}) \\ ε (1 - δ y^{2}) \end{cases}$

g (y) =k1y+k3y3

式中, $f (y, \dot{y})$ 为阻尼力;g (y) 为恢复力。

相关文献[14,15,16,17]研究了Lienard方程在g (y) 和 $f (y, \dot{y})$ 满足不同条件时, 有存在周期解、不存在周期解、存在极限环和不存在极限环等不同解的形态, 说明正是由于非线性因素的作用, 造成了数控工作台动态特性的复杂和多变。

2 试验验证

2.1 数据采集与处理

在ZJK7532型数控钻铣床工作台上, 设计不同工况, 进行动态测试, 采集振动加速度信号, 用MATLAB 7进行辅助处理, 机床采用燕尾式滑动导轨, 步进电机驱动, x轴采用支承方式3 (双推—简支式) ;y轴采用支承方式1 (双推—自由式) 。图8～图13所示分别展示了x轴向移动 (速度50mm/min) 、y轴向移动 (速度100mm/min) 并发生共振、跳跃现象相轨迹曲线、极限环相轨迹图、直线插补时y轴爬行时域图和FFT频谱图。在图8、图9、图12、图13中, 从上至下3个波形分别代表x、y、z 3个方向的信号。

2.2 动态特征分析

图8是工作台在x轴向以速度50mm/min从前轴承出发向中点正向移动的时域波形。移动过程中丝杠刚度的变化规律如图2曲线2的前半段, 刚度值由大变小, 呈软弹簧特性。固有频率 $ω_{n} = \sqrt{k / m}$ 也由大变小, 而步进电机驱动的激振频率ω基本不变, 系统相当于经历了一个ω/ωn由小到大的扫频过程。其频响特征对应图5左偏曲线所在的低频段“跳跃现象”。从图8可以看出, x轴振幅随工作台位移而发生变化, 而且振幅的变化规律由大到小和图5的趋势一致。说明刚度随位移变化引起响应振幅的变化, 并且发生了软弹簧特性引起的跳跃现象。

图9为y轴向移动 (速度100mm/min) 工作台发生共振时的时域波形。从y轴方向的振幅变化规律看, 整个过程振幅大小并不相等。主要原因是运动过程中经历了ω/ωn的扫频过程, 只有当ω/ωn→1时发生共振, 振幅最大, 越过这个点振幅会变小, 还有丝杠支承悬臂式结构、导轨摩擦力变化导致阻尼系数变化等原因。

图10是信号的跳跃现象相轨迹图。从相轨迹中可以看出信号的非周期性和混沌特性, 说明系统存在非线性。相轨迹曲线围绕的不动点多于两个, 说明跳跃现象的存在, 符合图6的Duffing方程解的特征。

图11是极限环相轨迹图, 与图7的van der Pol极限环相似。

图12和图13是直线插补运动y轴方向发生爬行现象时的时域波形和FFT频谱图。此时|c′|>c, 系统发生了自激振动。时域波形y轴方向出现突变信号, 说明系统失稳, 突变信号振幅不相等, 说明存在跳跃现象。频谱图y轴方向峰值多, 表现为一定程度的有色噪声, 说明存在摩擦自激振动。

3 结论

(1) 数控工作台运动过程中, 数控工作台受滚珠丝杠轴向力、横向力、扭矩、摩擦力和切削力等多种载荷的作用, 滚珠丝杠各类刚度的大小与滚珠丝杠的支承方式密切相关。各类刚度随着工作台位移和运动方向的变化而变化, 呈现出软弹簧特性或硬弹簧特性等非线性规律;摩擦力变化规律服从Streibeck曲线, 低速运动区段呈现出非线性规律, 速度接近零时摩擦因数取值具有随机性和跳跃性, 高速区段呈线性规律。

(2) 弹簧力的非线性作用可以用有阻尼的Duffing方程来描述, 其软弹簧特性和硬弹簧特性决定了有阻尼的Duffing方程频响峰值尾部的弯曲方向, 阻尼的大小决定了峰值的大小。

(3) 系统摩擦力的非线性作用随工作点在Streibeck曲线上所处区段不同而异, 在液体润滑区, 摩擦力线性变化, 其效果增加了系统的阻尼;在部分液体润滑区和边界润滑区, 减小了系统的阻尼, 有可能使系统变成负阻尼系统, 产生自激振动, 自激振动存在极限环, 其响应特性可以用van der Pol方程来描述;在静摩擦区, 摩擦因数取值具有随机性和跳跃性, 系统可以归结为具有随机系数的van der Pol方程。

(4) 同时考虑弹簧力和摩擦力非线性作用的耦合系统具有Lienard方程的形式。

(5) 数控工作台是一个非线性动力学系统。弹簧刚度的非线性规律使运动过程中系统固有频率不恒定。弹簧软硬特性的跳跃现象又使系统响应稳定区域变得复杂。非线性摩擦力引起的负阻尼有可能引起系统失稳而产生自激振动, 使工作台产生爬行现象。上述这些都对数控加工产生负面影响。这些负面影响的产生有其发生的条件, 弹簧刚度变化规律的影响主要发生在激励频率与固有频率的值比较接近的区域, 而摩擦力非线性的影响主要发生在低速润滑条件不良的情况, 是可以控制的。极限环的存在表明非线性因素是限制失稳状态无限发展的稳定因素, 因此应该辩证地看待系统的非线性。

非线性动态滤波的迭代算法篇2

非线性动态滤波的迭代算法

阐述了标称状态的线性化方法和扩展的卡尔曼滤波公式及迭代卡尔曼滤波,探讨了非线性动态滤波的近似处理方法,围绕标称状态将非线性模型进行线性化,将标准的卡尔曼滤波扩展到非线性模型,得到扩展的`卡尔曼滤波公式,研究了迭代滤波计算方法.扩展的卡尔曼滤波方法已经有效地用于非线性模型.

作者：赵长胜 Zhao Changsheng 作者单位：徐州师范大学测绘学院,徐州,221116刊名：数据采集与处理 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF DATA ACQUISITION & PROCESSING年，卷(期)：22(4)分类号：P207.2 P228.41关键词：卡尔曼滤波非线性模型动态滤波迭代法

金属橡胶非线性隔振系统混沌特性篇3

关键词：金属橡胶,非线性隔振系统,李雅普诺夫指数,动力学特性,混沌

0引言

金属橡胶是一种具有重要工程应用价值的新兴材料,被广泛应用于航空航天、汽车、船舰等工业领域,对延长设备的寿命、提高可靠性有较大的作用[1]。

金属橡胶隔振系统是一个典型的具有迟滞非线性性能的系统,在工程中的应用表现出明显的非线性动力学特性,但金属橡胶非线性隔振系统能否产生混沌响应,其产生混沌响应的参数条件怎样确定,是本文试图研究的问题。目前对金属橡胶非线性隔振系统混沌响应特性的研究成果很少,文献[2]通过数学方法推导了金属橡胶隔振系统产生混沌的解析条件,但该推导建立在预设系统的一次谐波解上,而非线性系统的响应却存在多谐波频率成分[3],仅用一次谐波解来分析系统混沌容易产生较大的误差。尽管对金属橡胶隔振系统混沌振动的研究成果很少,但对非线性隔振系统的混沌研究已有许多成熟的理论可以借鉴。例如,金俐等[4]针对非光滑动力系统,研究了Lyapunov指数谱的计算方法,为lyapunov指数判定混沌运动打下了理论基础; 叶建军等[5]研究了含二次项和三次项的非线性系统的次谐轨道和异宿轨道; 楼京俊等[6]研究了多频激励软弹簧型Duffing系统中的混沌运动; 李鸿光等[7]研究了带间隙的双线滞回系统的非线性振动; 唐果等[8]从理论上研究了单自由度被动隔振体产生混沌的参数条件; 牛玉俊等[9]研究了非光滑周期扰动与有界噪声联合作用下受迫Duffing系统的混沌预测; 刘树勇等[10]对准周期激励下的非线性隔振系统进行研究,应用Melnikov方法确定了系统的参数区域; Yu等[11]研究了多自由度非线性隔振系统的混沌及分岔; 浣石等[12]用数值计算的方法证明了随着系统从周期分岔逐渐进入混沌运动状态, 线谱也由单一频谱变为宽频谱结构; 黄志伟等[13]采用数值积分法分析了双层隔振系统产生混沌运动的频率范围。从上述对非线性隔振系统的混沌研究成果可以看出,对非线性隔振系统混沌的研究主要是通过理论或数值的方法展开分析,主要针对产生混沌运动的条件进行讨论,以得到非线性系统产生混沌的判据及其激励参数或隔振器参数的选取范围。许多文献指出,混沌状态下系统的振动具有单频输入宽频输出的特性,可以大幅度隔离结构噪声中的线谱成分,在消除线谱激励方面具有明显的优势,对提高船舰的隐身性能具有重要的意义[12,13,14],因此,在船舰减声降噪技术研究领域,诸多学者对非线性系统混沌特性进行了研究。

本文针对单自由度金属橡胶非线性隔振系统的动力学特性展开研究。

1金属橡胶非线性隔振系统模型

金属橡胶材料具有良好的可塑性,可以根据工程需要制备成不同形状的元件,因此,金属橡胶隔振器的种类也多种多样[15]。但本文只针对图1a所示的单自由度隔振器结构组成的隔振系统展开研究,这类系统结构简单,但最具有代表性, 是研究金属橡胶隔振系统混沌振动的最基本类型。

对于单自由度金属橡胶隔振系统,一般作以下假设: 1刚性设备被单向金属橡胶隔振器支撑; 2仅有垂直方向的单个自由度的振动,且激励为作用在刚性设备质心的简谐激励F( t)= F0cos ωt( F0为激励幅值,ω 为激励频率,t为时间) 。因此,可将系统简化为一个单自由度的简单模型,如图1b所示。

图1b中,m为被隔振设备的质量; x( t) 为设备随时间变化的位移,与在刚性基础上隔振器的变形量相等; 金属橡胶隔振器有明显的迟滞非线性特性,其本构关系为

其中,G( t) 为隔振器的恢复力,k01为一次线性刚度系数,k3为三次非线性刚度系数,c01为黏弹阻尼系数,c3为三次非线性黏弹阻尼系数,它们形成与位移有关的弹性力和与速度有关的黏性阻尼力,通常被认为是无记忆恢复力; z( t) 是金属橡胶变形过程中干摩擦引起的记忆恢复力,由于该记忆恢复力的存在,金属橡胶隔振系统一般表现出明显的滞后非线性性能,其中,zs表示滑移极限, ks表示滑移刚度,且有ks= zs/ xs,xs是开始滑移时的变形量。将记忆恢复力用双折线模型表示[16], 如图2所示。

图2中,xm是最大变形量。为了简化分析,用等效线性化法对干摩擦滞迟环节进行等效线性化,可得

将记忆环节进行线性等效,即包含变化的线性刚度项keq和变化的黏性阻尼项ceq,则金属橡胶隔振器在隔振系统中的本构关系可表示为

令k1= k01+ keq,c1= c01+ ceq,并假设隔振器的质量很小,可以忽略不计,则图1b所示的单自由度金属橡胶非线性隔振系统的微分方程可写成

化简式( 4) ,得

2Lyapunov指数判定系统的混沌振动

由于混沌运动对系统的初始条件具有敏感性,即使原来相互之间比较接近的两条相轨迹,它们之间的距离也会随着时间的增加而变得越来越大。因此,可以用能够刻画这种相邻相轨迹逐渐远离特征的数值来识别系统的混沌运动。Lyapunov指数能够描述系统相邻相轨迹之间距离的发散性。为判定金属橡胶非线性隔振系统的混沌运动,本文首先计算系统的Lyapunov指数[6],以判定系统能否产生混沌振动。

设x2= 1,x3= ωt,可以把非线性方程 ( 式 ( 5) ) 表示成状态方程形式:

则由式( 7) 可确定一个三维非自治系统,即

其中,x = [x1x2x3]T是三维状态变量。给定两条相轨迹,它们对应的初始条件分别是x0和x0+ Δx0,Δx0为初始条件的微小差异。则在某一时刻t,两条相邻相轨迹之间的距离可以用变分 ‖δx‖ 来表示,即

将式( 8) 在x0处线性化,得

其中,常数矩阵A是3 × 3雅可比矩阵,其元素ai j为

可得

将得到的 δx表示成线性方程:

式( 13) 的解为

式( 14) 两端取范数后,再取自然对数得到Lyapunov表达式:

由于在3维状态空间中,‖δx‖ 可以分为3个状态分量,一般情况下,这3个分量的增长率不相同,且各自对应一个Lyapunov指数,因此,可以求出3个不同的Lyapunov指数。对于式( 7) 中的量纲一参数,分别预设 ξ1= 0. 01,ξ3= 1,μ1= 0. 05,μ3= 0. 001,f = 7. 5,并令 ω = 0. 84 rad / s, 初始条件x0= 3 mm,x·0= 4 mm / s,步长 Δx0= 0. 01 mm,Δx·0= 0. 01 mm / s。用数值方法计算Lyapunov指数的值分别为 λ1= 0. 15, λ2= - 0. 21,λ3= 0。有一个Lyapunov指数为正数,这说明在以上预设的参数条件下,该隔振系统处于混沌运动状态[6]。

基于以上预设的参数,采用四阶龙格-库塔法求解式( 6) ,可得被隔振设备的位移时间历程( 即系统的响应) 图和相轨迹,分别如图3、图4所示。

由图3可知,该系统在初始值为x0= 3 mm, 0= 4 mm / s及x0= 3. 01 mm,0= 4. 01 mm / s时的响应随着时间的推移有较大的差异,说明该系统的响应具有初值敏感性、貌似随机性及长期行为不可预测性。由图4可看出,该系统振动是一种往复的、有限的并且周期无限长的运动,且当初始条件有细微变化时,系统的相轨迹有明显的差异。

对初值为x0= 3 mm,0= 4 mm / s的时间历程曲线进行Fourier变换,并绘制其归一化的频谱,如图5所示。从图5可以看出,系统响应的频谱是连续的,进一步说明了该金属橡胶非线性隔振系统在给定的参数和初值情况下产生了混沌运动。

由于被动声呐在现代水声对抗中发现、跟踪和识别水下装备的主要特征和水下装备声隐身性能的主要考核指标就是结构振动的线谱,故改变水下装备的线谱成分,使其转化为类似于随机振动的线谱成分,以提高在传播过程中的衰减程度, 增大声呐探测难度是国内外学者的研究热点。而本节证明金属橡胶非线性隔振系统具有混沌响应特性,使金属橡胶在舰艇等水下设备及其他需要控制系统线谱的特殊装备的减声降噪技术领域具有重要的推广应用价值。

3激励及系统参数对系统的动力学影响

由于系统产生混沌的本质是系统输入项和耗散相互竞争的结果[12],故在系统混沌振动产生与否应视激励和隔振器的参数而定: 即在一定的激励环境下,要使系统产生混沌就必须选择合适的非线性隔振系统参数; 对于一定的非线性隔振系统,要使系统产生混沌响应就必须调整激励的频率或幅值。因此,需要对激励参数及隔振器参数对系统的动力学影响展开讨论。

3.1激励频率与幅值对系统动力学特性的影响

简谐激励通常用激励和幅值两个参数来表示,而一般的非简谐激励也可以通过Fourier级数展开后用多个谐波成分叠加来近似表示。因此, 本文主要讨论简谐激励的幅值和频率对金属橡胶非线性隔振系统动力学特性的影响。

由于上节已经证明,在预设的参数下已经确定系统发生混沌振动,故可按上节参量数值分别给定其他参数,再单独研究激励频率 ω 或激励幅值参量f的变化对系统动力学特性的影响,并结合式( 7) 讨论激励实际的频率和幅值的影响。采用数值方法分别绘制系统随激励频率和幅值变化的分岔图,如图6、图7所示。

从图6可以看出,激励频率 ω 在0 ~ 15 rad / s,Δω = 0. 1 rad / s范围内出现多次分岔现象,且在不同频率段有不同的响应特性: 在2 ~ 4. 5 rad / s,7. 6 ~ 8. 2 rad / s范围内只存在周期振动,而在0 ~ 2 rad /s,4. 2 ~ 7. 5 rad /s范围内出现混沌现象,8. 2 rad /s以上出现多种周期成分的振动现象。从图7也可以看出,系统随激励幅值参量 ( f = F0/ m) 在0 ~ 10,Δf = 0. 1范围内,出现多次分岔: 在0 ~ 4. 6范围内只存在周期振动或多种倍周期振动,在4. 6 ~ 8. 5范围内出现混沌现象,在8. 5以上存在多种周期振动。

可见,对于已定的金属橡胶非线性系统,激励的频率和幅值只有在某一较小的范围内产生混沌振动。因此,在利用系统混沌状态进行隔振时,应当首先通过数值仿真计算,确定激励参数的大概范围,然后进行多次试验,挑选合适的激励幅值和频率,使系统处于混沌状态。

3.2隔振器参数对系统动力学特性影响

在某一指定的环境下( 激励一定) ,其激励的频率和幅值已经固定,如果利用金属橡胶隔振器进行隔振,则需要讨论隔振器参数对系统动力学特性的影响。按照以上分析,同理可分别单独讨论隔振器一次刚度、三次刚度,一次阻尼和三次阻尼的变化对系统动力学特性的影响。结合式( 7) 分别调整参数范围,利用数值方法绘制系统随各参数变化的分岔图,如图8 ~ 图11所示。在每讨论完一个量纲一系数产生混沌的最优取值后,讨论下一个参数时预先设定的参数取值根据讨论过的最优取值而重新设定。

从图8、图9可以看出,对于一次刚度参量 ξ1( ξ1= k1/ m) ,当f = 7. 5,ω = 4. 8 rad / s,ξ3= 1, μ1= 0. 05,μ3= 0. 001时,ξ1取0 ~ 0. 1,Δξ1= 0. 0001数值范围内,系统响应产生多次分岔,出现了周期、多种倍周期振动,且在 ξ1取0. 05 ~ 0. 063范围内的值时系统产生混沌现象; 对于三次刚度参量 ξ3( ξ3= k3/ m) ,当f = 7. 5,ω = 4. 8, ξ1= 0. 055,μ1= 0. 05,μ3= 0. 001时,ξ3取0 ~ 0. 1,Δξ3= 0. 001数值范围内,系统响应产生多次分岔,出现了周期、多种倍周期振动,且在 ξ3取0. 25 ~ 0. 45、0. 85 ~ 1. 15、1. 3 ~ 1. 42等范围内的值时系统产生混沌现象。

从图10、图11可知,当f = 7. 5,ω = 4. 8 rad / s,ξ1= 0. 055,ξ3= 1,一次阻尼参量( 三次阻尼参量) μ1( μ1= c1/ m) 和三次阻尼参量 μ3( μ3= c3/ m) 仅在较小的数值范围内 ( μ1< 0. 3,μ3< 0. 012) 产生分岔和混沌现象, 在取较大的数值时,系统为周期振动,且可以看出,一次阻尼参量和三次阻尼参量越小,系统响应分岔越明显,因此,为使系统进入混沌运动状态, 应该减小隔振器的阻尼。

由于图8 ~ 图11中讨论的参数均为相对应的隔振器物理参数与被隔振设备质量的比值,对于固定质量的被隔振对象,隔振器的实际物理参数仅需要根据式( 7) 换算即可获得; 若被隔振设备质量可以调节,隔振器的参数整体有所偏差,难以找到合适的产生混沌的参数区间时,改变隔振器质量( 增加配重质量或减小设备质量) 也可能使系统进入混沌振动状态。

4结语

叠层板状结构的非线性振动特性分析篇4

工程实际中存在着大量的流固耦合振动现象,是设计和应用时必须考虑的重要因素。流固耦合力学的重要特征就是固—液两相介质之间的交互作用,并通过其耦合面的变形和协调关系体现于控制方程中。

1 模型的建立

核反应堆中的叠层板元件是由多层薄窄板叠合而成,相邻板间一般仅有毫米级的间隙供冷却剂流过。本文采用一个置于刚性矩形槽的两端简支板状结构模型进行模拟,并在板的中间位置设置弹簧支承。如图1所示,板只在xoz平面内振动。

流体以平均流速U0,从A端流入,B端流出。并假设:

1)各板的长宽比足够大,因此可以考虑为板状梁结构;

2)各板在流场中自由振动时横向振型完全相同;

3)流体为x和z方向流动的二维不可压缩无粘性流体。

2 理论分析

若假定各板具有相同的相位和振幅,根据经典小薄板弹性理论可得到流体动压力的表达式:

$p = - E Ι \nabla^{4} y - m \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}$ (1)

其中,EI为单块板的抗弯刚度;y为板的横向位移;m为单位面积上板的质量;p为板上、下表面的压力差。

考虑势流理论,流致振动的运动方程可表示为:

$p = Μ_{c} (\frac{\partial}{\partial t} + U \frac{\partial}{\partial x})^{2} y$ (2)

其中,Mc为流道内流体单位长度的质量;U为流体沿叠层板状结构长度方向的流速。

将式(2)代入式(1),流致振动控制方程可表示为:

$E Ι \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}} + (m + Μ_{c}) \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} + 2 Μ_{c} U \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial t} + Μ_{c} U^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = 0$ (3)

受振荡流的影响,假定速度U为:

U=U0(1+εcosvt) (4)

其中,ε为微小量;v为频率参数。

在板的中间支承处添加弹簧支承,并考虑阻尼系数的影响,则板状结构的流致振动控制方程为:

其中,EI为板的抗弯刚度;m为板的单位长度质量;c0为结构阻尼系数;δ为DIRAC函数;K0为弹簧的线性刚度系数;K1为非线性刚度系数;y为板的共同振幅。运用RITZ-GALERKIN离散化方法,将式(5)离散化,可假设:

$y (x, t) = \sum_{j = 1}^{Ν} ϕ_{j} (x) q_{j} (t)$ (6)

其中, $ϕ_{j} (x) = A \sin (j Л / L) ‚ j = 1 ‚ 2 ‚ \dots ‚ Ν ‚ A = \sqrt{2 / L}$ 。

考虑模态的对称与反对称性,取两个自由度,即N=2。将式(6)代入式(5),再利用主振型的正交性,在方程两边同时乘以ϕj(x)=Asin(jЛ/L),j=1,2,并沿板长取(0,L)进行积分,将式(4)代入方程,整理得到:

其中,d1=m+Mc;c1=c0/d1;d2=16McU/(3Ld1);d3=EIЛ 4/(L4d1);K2=2K1/(Ld1);d4=McU $_{0}^{2}$ Л2/(L2d1)。当结构阻尼和刚度系数较小时,可设:c1=ε×c,K2=ε×K3。

根据多尺度理论方法,首先假设考虑基本参数共振:

$w_{1} = \sqrt{d_{3} - d_{4}} = \frac{v}{2} + ε σ_{1}$ (8)

$w_{2} = \sqrt{16 d_{3} - 4 d_{4}} = \frac{v}{2} + ε σ_{2}$ (9)

其中,σ为调谐参数,只取一阶近似值。令T0=t,T1=εt,并同时引进算子:

$\frac{d}{d t} = \frac{\partial}{\partial Τ_{0}} \frac{d Τ_{0}}{d t} + \frac{\partial}{\partial Τ_{1}} \frac{d Τ_{1}}{d t} + \dots = D_{0} + ε D_{1} + \dots$ (10)

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} = D_{0}^{2} + 2 ε D_{0} D_{1} + ε^{2} D_{1}^{2} + \dots$ (11)

将式(8)～式(11)的关系方程代入式(7),整理并消去违背保守系统机械能守恒的物理定律的永年项后,得到自治微分方程:

由式(12)可见,非线性刚度项没有直接作用在振幅上,而是通过相位间接影响振幅。另若假定a=ψ1=b=ψ2=0,可得其一阶振幅的定常解为:

式(13)中由于幅值必须是一个大于零的实数,只需考虑振幅a满足条件,即要求d $_{4}^{2}$ ≥c2ω $_{1}^{2}$ 。即:ε≥c1ω1/d4,并且得到式(13)的非零解:

$a_{1, 2} = \pm \sqrt{\frac{1}{3 Κ_{3}} (2 σ_{1} w_{1} \pm \sqrt{d_{4}^{2} - c^{2} w_{1}^{2}})}$ 。

令E=εσ1=v/2-ω1,E为一阶振动的频率差,表示激励频率的1/2与线性频率的差。则式(13)变为:

$a^{2} = \frac{1}{3 Κ_{2}} (2 E w_{1} \pm \sqrt{ε^{2} d_{4}^{2} - c_{1}^{2} w_{1}^{2}})$ (14)

由式(14)可知,当a=0时,得:

$E = \pm \frac{1}{2 w_{1}} \sqrt{ε^{2} d_{4}^{2} - c_{1}^{2} w_{1}^{2}}$ (15)

图2为E—ε的关系图。在E—ε平面内,3条曲线 $E = \pm \frac{1}{2 w_{1}} \sqrt{ε^{2} d_{4}^{2} - c_{1}^{2} w_{1}^{2}} ‚ ε = c_{1} w_{1} / d_{4}$ ,将空间划分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个区域。在区域Ⅰ中,a无实根;在区域Ⅱ中,a只有一个实根;在区域Ⅲ中,a有两个实根。同时,观察到Ⅱ,Ⅲ区域的边界是与非线性系数K1有关的,而只有区域Ⅰ的边界与K1无关。

另外,由式(15)可看出,当系统共振时,即各阶模态不存在相位差(E=0)时,振幅a与微量ε和参数d4成正比,与频率参数v和参数c1成反比,其中d4=McU $_{0}^{2}$ Л2/(L2d1),c1=c0/(m+Mc);若取Mc/(m+Mc)为质量比,则振幅a还与质量比、流速U0成正比关系,而与阻尼系数c0、板长L成反比;且振幅随相位差E的增大而不断增大。

3 结语

1)利用多尺度的分析方法,发现非线性刚度对振幅的影响,体现为通过相位间接的影响振幅。

2)系统共振时,即各阶模态间不存在相位差(E=0)时;振幅a与微量ε、参数d4、质量比和流速U0成正比,而与频率参数v和参数c1、阻尼系数c0以及板长L成反比;且振幅a随相位差E的增大而不断增加。

摘要：采用振荡流作用下的两端简支板状结构为研究对象,引入多尺度的方法分析,得到非线性刚度通过相位差间接影响振幅的增加,同时振幅与质量比和流速成正比,与阻尼系数和板长成反比的结论。

关键词：板状结构,多尺度,非线性,相位,振幅

参考文献

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供电网典型非线性负载谐波特性分析篇5

1 工业领域典型非线性负载

工业领域的非线性负载主要包括电弧炉、中频炉、电焊机、油田抽油机、单晶炉等。近年来,太阳能光伏发电发展迅速,在全球范围内掀起了太阳能开发利用的“绿色能源热”,单晶硅电池作为太阳能光伏发电的基本元件,有着巨大的市场和广阔的发展空间,出现了许多以生产单晶硅为主的新兴企业。因此,对单晶炉谐波特性的研究具有重要的意义。

1.1 单晶炉直流电源的基本原理及建模

单晶炉直流电源主要为单晶硅生产加热炉提供稳定的直流电源,其典型电路模型如图1所示[2,3],主要包括整流变压器、整流部分、平衡电抗器、滤波电容等部分。其中整流部分采用的是12脉波可控硅整流电路,利用变压器一次绕组接法的不同,使2组三相交流电源间相位错开30°,从而使输出整流电压在每个交流电源周期中脉动12次,通过大电容滤波得到稳定的直流电源,供单晶炉加热。

图2为该单晶炉直流电源输入电流波形及其频谱分析。可见,输入电流谐波次数为12k±1(k=1,2,3,…),且11次和13次为主要谐波。较之6脉波整流电路,虽然基本消除了5次和7次谐波,但仍然有不少11次及以上谐波会注入到电网中。

因此,实际应用中,一般采用12脉波整流+无源LC滤波器的结构,即在输入侧加装无源滤波器,来吸收谐波和提高功率因数。无源滤波器电路如图3所示。由滤波电感和滤波电容组成谐振滤波电路,分别对11次和13次谐波呈低阻抗特性。

图4为加装谐波滤波器后输入电流波形及其频谱分析图。可见,当技术参数设计得当时,可有效抑制11次和13次谐波,但存在高次谐波。

1.2 单晶炉直流电源现场测试

对某半导体公司的单晶炉直流电源进行现场测试,其使用的单晶炉直流电源为杰英电气有限公司生产的12脉波谐波治理型单晶炉直流电源,采用图1所示的电路结构,输入侧设计了一套滤波装置,可消除11次和13次谐波,并提高了功率因数。采用PV440谐波监测仪器对设备进行谐波测试,并使用Dran-View6软件对结果进行分析。图5为实际测得的输入侧电流波形及其频谱分析,与图4仿真分析结果一致。输入侧电流总畸变率为3.10%。

2 商业领域典型非线性负载

随着商业现代化和电气化以及信息、控制等诸多新技术的应用,商业建筑中用电负荷必须进行谐波评估。在商业领域(如商场、写字楼、宾馆等)中大部分用电负荷都是属于非线性负载,主要分为3类:电子电源模块、节能灯和应用在大功率鼓风机和空压机的交流调速驱动装置。它们大都使用晶闸管、小功率的整流装置等电力电子元件,虽然单个容量小,但数量较多且分布很广,产生的高次谐波也会对电力系统造成影响,加重电网的谐波污染。

2.1 节能灯的基本原理及建模

在照明用电中,绝大部分采用电感式镇流器的日光灯,但其存在许多缺点。以高频电子技术为代表的电子镇流器的应用,克服了传统的电感式镇流器的缺点。电子镇流器的工作原理是经二极管整流电路进行整流,再通过大电容滤波,变成平滑的直流电压,经高频逆变电路将低频交流电转化成高频交流电。高频交流电加到与灯连接的LC串联谐振电路,加热灯丝,同时在电容器上产生谐振高压,加在灯管两端,使灯管“放电”变成“导通”状态,再进入发光状态,此时高频电感起限制电流增大的作用,保证灯管获得正常工作所需的灯电压和灯电流[4]。

节能灯模型包括EMI滤波电路、整流电路、PFC电路、逆变电路、节能灯模块。节能灯仿真模型如图6所示[5],选择参数:VAC=220 V,Rlamp=289Ω,L1=2.2 m H,C1=C2=0.01 m F,C4=0.01μF,C5=C6=0.1μF,运行时的工作频率frun=30 k Hz。仿真结果如图7所示。图7表明,节能灯输入侧电流主要含有3次、5次、7次、9次等奇次谐波,谐波电流总畸变率高达36.3%。

2.2 现场测试

对某商场进行谐波调查,该商场为综合性负载,主要负荷设备是照明、空调、计算机等,负荷波动小,且较为稳定。在商场电源进线端二次侧测得的电流波形及其频谱分析如图8所示。从图8可以看出,电流中含有3次、5次、7次等奇次谐波,其中5次谐波的含量最高,与节能灯、空调等负荷特性相一致。

3 市政服务领域典型非线性负载

非线性负载在通信、自来水公司、医院、路灯管理处等市政服务领域应用广泛,如计算机、医疗仪器和设备、开关电源等,它们产生的谐波电流也会对电力系统造成影响,加重电网的谐波污染。以移动通信公司为例,对市政服务领域的非线性负荷进行研究。

3.1 高频开关电源的基本原理及建模

通常,大型通信设备和计算机等专用设备采用直流供电,对通信电源的要求越来越高,传统的相控稳压电源已不能满足现代通信对通信质量的要求,而逐渐被性能更优良的高频开关电源取代。通信电源系统大多采用弱电直流(48 V)供电。

高频开关电源的仿真电路如图9所示[6,7],三相交流输入电源经三相全桥整流、滤波变换成直流,全桥变换电路再将直流电变换成高频交流电,然后经高频变压器变压隔离,经整流器整流,滤波后转换成稳定的48 V直流输出。

高频开关电源输入侧电流波形及FFT分析如图10所示,存在5次、7次、11次等奇次谐波。

3.2 高频开关电源现场测试

对某市移动通信配电房的高频开关电源输入侧进行谐波测试,测试结果如图11所示。由图可以看出,实际波形与仿真结果接近,以5次、7次、11次谐波为主,总电流畸变率达到36.23%。

4 结束语

文中对3种供电网中典型非线性负载用电特性进行分析,涵盖了工业、商业和市政服务领域。建立了仿真模型,研究其谐波电流的特征,并进行现场调研。仿真分析和测试结果表明,供电网中非线性负载的电流谐波含量较高,谐波电流不仅污染电网,影响其他用电设备的正常运行,而会导致输入电源的输入功率因数下降,无功功耗增大,降低电能的可利用率,阻碍电网的安全、高效运行。可采用有源电力滤波装置对供电网谐波进行治理。对需要进行无功补偿的用户,可采用动态消谐补偿综合电力装置,装置包括有源电力滤波装置APF动态治理谐波和电容柜补偿基波无功两部分。此外,对非线性负载的电路模型进行改善,也是降低谐波电流含量的有效方法。

参考文献

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非线性动态特性篇6

电荷耦合器件(CCD)是一种广泛应用的光电检测器件,它能将入射到其光敏面上的光信号转换成电荷信号,并且在一定的时序驱动下,将这些电荷信号按照像元的顺序依次输出。这样,每个像元的输出信号就代表了入射至光敏元上的光信号。在CCD的工作范围内,它有着线性的光电响应特性[1],但是当光照很强时,CCD像元中存储的电荷就会饱和,过多的电荷会溢出到相邻的像元和CCD基底中,CCD的光电响应就不再是线性,从而影响光电测量。

为了准确地应用CCD进行光电检测,就必须要弄清楚它的光电响应特性。到目前为止,测量CCD光电响应特性的方法主要有尖劈法、双缝衍射法、小孔衍射法。尖劈法是将入射至尖劈上的光,经过两个表面的多次反射形成一列光强分布相似能量逐级递减的子光束[2],并且递减的倍数就是两个表面的反射率相乘。这种方法可利用的点太少,比如递减的倍数为0.9,反射20次之后也就只剩下原来的0.12倍了;双缝衍射法是利用双缝夫琅禾费衍射的原理,将衍射后的光强用CCD接收,由衍射的光强公式结合像元位置可以测得光电响应[3]。这种方法虽然可利用的像元点多,但是出现了CCD的像元与衍射条纹对不准的问题, 从而影响测量。小孔衍射法是对双峰衍射法的改进,很好的解决了像元对不准的问题[4],但是由于衍射之后的图像是个圆斑,圆斑的中心位置不容易找到,只能通过算法来寻找中心点。目前利用CCD进行光电测量的研究很多[5,6],用CCD进行光电测量是建立在CCD的输出是与积分时间成线性关系的基础之上的。但是在曝光量很大的时候,CCD的输出不再与积分时间成一个线性关系[7]。本文提出一种利用LED的发光来研究CCD的光电响应特性曲线,并且做了CCD的输出与积分时间的相关实验。对比实验结果,从理论上分析了实验现象,为更好地利用CCD进行光电检测提供了参考。

1LED发光法测量CCD的光强响应曲线

当CCD的电源电压一定的时候,有光照射在CCD的像元上,CCD的有效输出电压就是曝光量的函数, 可用响应函数f描述为

其中:V表示CCD输出的有效电压,E表示CCD像元接收的照度,t表示积分时间,E t表示曝光量[8]。可见,如果保持曝光量中一个因数不变,CCD的有效输出电压就是另一个因数的函数。我们所做的这两个实验就是基于这种原理,分别来探究CCD的输出与光强和积分时间的函数关系。实验中用自己设计的CCD数据采集系统,CCD是采用东芝公司的TCD1304DG线阵CCD,它有3 648个有效像元,暗电流低,灵敏度高,光谱响应范围为350800 nm,已被广泛应用于光谱仪器中。并且对CCD的输出信号进行处理,最后用12位的模数转换器(ADC)采集,并用通用串行总线(USB 2.0)将数据发送到上位机中。

一般来说,评价LED性能的好坏,光通量是一个很重要的因数,在其额定工作范围内,LED的光通量与前向电流成正比,随着电流增加,LED光通量随之增大[9]。实验中所采用的LED是Ga N材质的,它的典型的光通量电流(L-I)输出特性如图1中曲线所示,图1中虚线表示线性关系。加在Ga N LED上的前向电流越大,光通量就越大,在一定的范围内,光通量与前向电流成正比。但是,当前向电流增加到足够大之后,光通量逐渐出现饱和,这种现象称为droop效应[10]。图中可以看到在前向电流小于10 m A时,L-I的线性很好。

1.1实验

在实验中,采用的是 Ф5的单色Ga N LED,正常工作电流20 m A,而实验使用的电流范围为0到5 m A, 在这个范围内,LED的L-I有很好的线性。实验就是基于这个原理来对CCD的光强响应进行测量。

实验装置示意图如图2所示,实验采用一个500 的电阻串联一个LED灯,通过改变电阻和LED灯的电压值就可以改变流过LED的电流,同时用我们设计的CCD数据采集系统采集光信号,最后得出电流与光强的关系。为了保证测量结果的正确性,先测量在没有光照时CCD的输出,结果在423左右,这个背景在CCD输出时应该减掉。实验都是在暗室中进行的,以防止外部光对测量结果的影响。由于CCD属于高灵敏的光电检测器件,如果将LED发出的光直接照射到CCD的光敏面上,CCD的输出很可能就饱和, 所以在LED与CCD之间加了一个光阑,这样就可以使光线不至于直接照射在CCD上。由于所用的LED正向导通电压在2 V左右,实验就将供电电压从2 V开始,每次增加0.1 V,直到电压达到5 V。在每个电压值下记录CCD的读数,同时测量流过LED的电流。

1.2实验结果

由于LED的光斑是圆形的,光强是从圆心向外逐渐递减,所以实验取固定的10个像元数据,将这10个像元的平均值作为真值。得到的实验结果如图3所示,从图中可以看出,在LED的电流小于4 m A时, CCD的输出随电流的增加变化较大,而当电流大于4 m A时CCD的输出随电流的增加变化相对较小。如果将CCD的输出与电流进行线性拟合,得到的结果为

相关性系数R2为0.992。如果去掉4 m A以上的数据再进行拟合,R2为0.997,可见4 m A以上的数据影响了CCD响应的线性。对比与其他测量CCD光电响应特性的方法,我们的实验装置简单,不需要来回调节光路,操作方便。由于使用的像元固定,也避免了由于像元差异引起的误差。同时由于LED发光成像是一个圆斑,圆斑上在小范围内发光强度差别很小,就可以取相邻的几个像素点的均值作为拟合真值,减小了实验误差。本实验所采用的是线阵CCD,但是分析方法同样适用于面阵CCD,并且由于面阵CCD的单个像元面积较小,相对于线阵CCD来说,每个像元接收到的光信号差别更小,所以实验效果可能更好。

2CCD积分时间响应曲线

2.1实验

CCD的光电响应特性还与另一个因素有关,也就是光积分时间,这个实验就来探讨CCD的响应与积分时间的关系。实验示意图如图4所示,主要部件有标准灯,光栅分光系统,CCD数据采集系统以及上位机。实验中采用晶飞公司的D1001标准灯,由光纤将光信号导入自制的光栅分光系统中,用CCD接收色散之后的光信号,这样CCD的像元上就会依次响应不同波长的光信号。由于D1001标准灯是汞灯,有多条特征谱线,综合考虑CCD的波长响应率和汞灯的光谱强度,为了使测量的范围大而且容易观察,实验选择它在404.66 nm处的特征谱线作为实验的数据采集点。实验观察到,在积分时间为8 ms时,在像素点2 377(对应波长404.66 nm)刚有输出,而在积分时间为22 ms时,输出接近饱和,所以实验的积分时间选择在8 ms到22 ms之间。实验中分别在每个积分时间采集5组数据,用均值作为CCD输出有效值。

2.2实验结果与分析

图5所示为实验实际测得CCD的积分时间响应曲线,横坐标表示积分时间,纵坐标是CCD的输出信号经AD转换后的值。很明显可以看出,在积分时间8 ms到17 ms之间CCD的输出增加得比较快,而积分时间在18 ms到22 ms之间由于CCD的输出接近饱和,输出增加的较慢,这个现象与第一个实验结果相似。从实验结果可以看出,CCD的光电响应可以分为两个部分来考虑[11],即积分时间18 ms以下和18 ms

以上两个部分,第一部分CCD的输出随曝光量的增加快而第二部分相对较慢。

CCD的成像原理是内光电效应,随着曝光量增加内光电效应越明显,为了防止像元饱和后过多的电荷溢出到相邻像元中,目前CCD广泛采用垂直溢漏技术,其光电响应可用一个NPN型耗尽基底的晶体管模型来分析[12],N层相当于发射极,P层相当于基极和N型基底相当于集电极,在基底电压不变的时候,击穿电流IPT是晶体管N层电势的函数:

式中:β=q/k T,I0取决于基底电压工艺参数,η 为非理想性因数,VN表示晶体管N层电势。VN的变化:

其中:I是总电流,CPN是晶体管等效电容。当VN很小时,击穿电流IPT几乎为零。由式(4)可推导出:

其中T为积分时间。而当VN很大的时候,IPT约等于I,则可由式(3)推导出:

可以看出,CCD的输出前一部分与曝光量成线性关系,后一部分与曝光量成一个对数关系,将其分别称之为线性区和非线性区。将积分时间为18 ms以下的数据和18 ms以上的数据分别进行拟合得到图6。

图6(a)横坐标是积分时间,图6(b)横坐标是积分时间的对数,纵坐标都是CCD输出电压,拟合曲线为

相关性系数R2分别为0.993和0.995,可以看出拟合的效果较好。在实际测量中,由于采用的是12位的AD,电压范围为03.3 V,所以采样误差最大为±LSB,也就是在0.8 m V左右;同时由于采用的是标准汞灯,谱线准确度和强度有了保证。

根据以上分析可见,当曝光量过大时,CCD输出与曝光量不再是线性关系,所以建议在使用CCD时尽量不要使曝光量过大。当然也可以使用补偿的方法来实现精确的测量,用线性区的延长线作为校准线,来补偿所测到的结果。同时为了验证实验效果,本文把校准后的结果与Maya2000Pro光谱仪作比较。对比图形如图7所示,横坐标为积分时间,纵坐标为归一化的CCD输出,可以看见经过校准之后,CCD的输出在18 ms以上有了很大的改善。经过拟合,在积分时间8 ms到19 ms之间实验测量结果线性度为0.998 1(校准之后积分时间22 ms已经饱和),已经非常接近Maya2000Pro的0.999 9,效果非常好。

3结论

非线性动态特性篇7

电能计量是发电、供电、用电之间经济结算的依据, 其准确性与合理性直接影响三者的利益。基于此, 提高电能计量精度对发、供、用电三方都是十分必要, 使得非线性电能计量问题成为电力系统中涉及经济、技术等多方面问题的重要课题[1,2]。

1 电流互感器与电能计量

电流互感器作为测量器件广泛应用在电子式电能表中, 其工作原理为通过交流电压与电流相乘, 求得表征信号周期内的平均功率, 最后对其做积分, 得到一段时间内的电能。该计量原理方法可分为模拟相乘法和采样计算法, 采用乘法器实现功率测量的工作原理如图1所示[3,4]。

测量的高电压U, 大电流I经变换器经转换后送至乘法器M, 完成电压和电流瞬时值相乘, 输出与该段时间平均功率成正比的直流电压U0, 利用电压/频率转换器, 转换成相应脉冲频率f, 对该频率分频, 并通过计数器在该段时间内的计数, 显示出相应的电能。

现在主流电子式电能表已实现集成化数据处理模块, 整个电能表通过互感器对电流电压采样, 再通过转换电路将电能转换为脉冲输出到显示电路。随着电能计量技术的发展, 已经有相对成熟的算法用在电能计量上, 而器件本身误差已成为电能计量的主要误差。由器件带来的计量误差一直被计量领域所忽略。电流互感器作为前端隔离元件和信号采集器件, 而计量模块的数据基础是互感器采集的电流信号, 其误差是构成电能计量器件误差的主要部分。

2 电流互感器误差分析

电流互感器误差分为稳态误差和暂态误差。当输入信号中无非周期分量、衰减周期分量、高频信号时, 电流互感器的误差为稳态误差。相反, 当输入信号中含有非周期分量时, 互感器工作在暂态, 误差较大。

2.1 电流互感器稳态误差

电流互感器的误差定义为互感器在测量电路时所产生的误差, 它是由实际电流与额定电流比不相等造成的, 百分比用下式表示:

式中:K为额定变比, I1为实际一次电流, I2为一次电流为I1时的实际二次电流。

当互感器的非线性特性使励磁电流和二次电流出现高次谐波, 则互感器误差采用复合误差来定义。复合误差定义为稳态下, (a) 一次电流瞬时值和 (b) 当一、二次电流正方向与端子标志一致时, 实际二次电流瞬时值乘以额定电流比, 两者之差的均方根值。

式中, IP为一次电流方均根值, T为一个基波周期。

2.2 电流互感器的暂态误差

电流互感器的暂态误差主要由互感器铁芯特性决定, 当铁芯磁密度超过某一特定值后, 铁芯进入饱和状态, 呈非线性励磁特性, 励磁阻抗急剧减小, 励磁电流增大。根据式2) , 3) 励磁电流的增大使得输出信号减小, 电流互感器的电流误差增大, 同时铁芯的饱和也会引起二次侧信号相位变化, 造成相位误差。

电流互感器铁芯磁化理论是分析其暂态误差的关键, 根据磁通守恒和基尔霍夫电流定律可得:

用四阶龙格-库塔法或隐式梯形公式求解上述微分方程, 得到励磁电流。

3 电流互感器频率特性分析

现代电子式电能表主要采用电能计量芯片来实现对电压、电流采样, 然后相乘对时间求和, 即电能积分方式离散算法。非工频信号的大量出现, 使互感器误差增大, 同时影响传变精度。因此有必要针对电力信号的频率特点, 开展电流互感器频率特性研究。

3.1 电流互感器频率特性分析

为方便分析, 给出电流互感器T型等值电路如图2所示。其中, i1′为一次侧换算到二次侧的电流, Re和Le为励磁阻抗, R2和L2、Rb和Lb分别为二次绕组阻抗和负载阻抗。

由基尔霍夫电压定律有

由式6) , 7) 推得:

对上式进行变换后可得, 电流互感器的比差为

3.2 频率特性改善及频带拓宽

式8) 、10) 给出了互感器相频特性与幅频特性的关系式, 由两式可看出, 电流互感器频率特性与其励磁阻抗、二次侧线圈参数以及负载有关, 并集中体现在关系式f (ω) 中。其中, 导磁材料与线圈参数是影响互感器频率特性的关键。

通过以上分析, 采用高导磁材料, 减小励磁阻抗, 改善二次侧线圈参数, 减小线圈阻抗可有效的改善电流互感器的频率特性, 拓宽其频带。然而实际中, 通过改变互感器设计实现参数优化, 例如采用铁基纳米晶合金材料作为铁芯, 是目前综合性能最好的材料, 具有高饱和磁感应强度、温度稳定性好、高初始磁导率、频率特性优异等特点, 是电流互感器铁芯的理想材料。二次侧线圈参数可通过减少线圈匝数、改变绕制方式等方式实现。不仅可以调整电流互感器本身参数, 改善其相频、幅频特性、拓宽频带, 还能改善电流互感器的频率特性。

4 结论

随着电力信号日趋复杂化, 以及智能电网对电能计量精度的更高要求。本文从器件性能出发, 针对电能计量精度提高的需求, 从频率特性的传变特性对电流互感器的非线性特性进行了分析, 明确了互感器非线性特性带来的电能计量误差, 有助于改善电流互感器性能, 建设高精度的现代电能计量系统。

参考文献

[1]刘钢, 付志红, 侯兴哲, 郑可, 欧习洋.外部恒定磁场对电流互感器传变特性影响分析[J].电力自动化设备, 2013.

[2]李胜芳, 刘钢, 赵福平, 付志红.非周期分量下电流互感器的相位特性研究[J].电测与仪表, 2012.

[3]陈黎来.电流互感器对电能计量的影响[J].电力自动化设备, 2011.

温度检测系统的非线性动态补偿研究篇8

温度是工业对象中主要测试参数, 在许多工程应用中, 温度测量结果用于预测控制是重要的输入信号, 而且可能直接影响到控制是否成功[1]。很多场合都需要进行高精度温度测控, 一般来讲, 测控系统运用温度传感器自动完成温度信号的检测, 但由于传感器动态特性时间滞后, 以及其他一些非线性因素, 在动态情况下, 动态测量的结果与真值之间会存有严重的偏差, 从而影响了测控精度和质量。

本文针对温度检测和控制系统进行研究, 使用扩展卡尔曼滤波方法对温度信号进行有效地滤波和预测, 该方法对于温度调节具有较强的鲁棒性, 且响应速度较快。

2 温度传感器动态补偿原理

由于现实传感器存在一定的响应滞后, 因此被测参量Xr经过传感器转换为输出信号Y后, 两者之间会存在一定的动态测试误差, 特别是当被测参量快速变化时, 动态误差尤为显著。为提高测试精度可将传感器输出通过一个补偿器, 用补偿器的输出YC替代Y从而达到修正动态误差的目的[1,2], 其基本原理如图1 所示。

3 补偿器的设计原理

一种基于模型参考的动态补偿器设计原理如图2所示。图中:x (k) 为输入激励信号, k=0, 1, ... , M-1, M为输出信号的序列长度; y (k) 、yc (k) 和yd (k) 为传感器、补偿器和参考模型的输出信号;θ 为补偿器的W (z) 待辨识的参数。W (z-1) 在理想情况应采用高通滤波器, 但是, 高通滤波器引起更严重的噪声放大, 因此, 本文采用带通滤波器[1]。另外, 为了减少设计W (z-1) 时对传感器动态特性的数学模型的依赖, 可采用模型参考的系统辨识方法得到补偿器的W (z -1) [3], 该方法将W (z -1) 的设计问题转化为一个最优化问题。补偿器的输出可用一个线性差分方程表示:

取白化滤波器为1/A (z -1) , 补偿器的输出可写为

补偿器对应的传递函数W (z-1) 为

式中, yc (k) 为k时刻动态补偿器的输出, y (k) 为k时刻传感器的输出和动态补偿器的输入, ε (k) 为白噪声, m为传感器动态模型的阶次, n为补偿后传感器系统动态模型的阶次。补偿器的参数为:

补偿器的设计是通过实验数据对W (z-1) 系统辨识的最优化过程, 即使

通过扩展卡尔曼滤波方法进行离线辨识, 得到参数θ

4 卡尔曼滤波算法[3,4]

4.1 基本卡尔曼滤波方程

对于下面一个线性的动态方程:

式中X (k) 为n维的随机状态向量序列;Z (k) 为n维的随机测量向量序列;W (k) 、V (k) 为零均值的正态 (高斯) 白噪声序列。

W (k) 和V (k) 满足

假设初始状态的统计特性为

假设在k时刻已测量到Z (1) 、Z (2) 、…、Z (k) 等向量, 并已推出估计状态向量X (k) 。现在要求进一步在测量到第k+1 时刻的测量向量Z (k+1) 出该时刻的状态估计向量X (k+1) , 估计的准则状态向量的误差方差最小:

由式 (1) 可以得到上述线性系统的卡尔曼滤波方程为[5]

4.2 扩展卡尔曼滤波方程

对于时变系统, 可以首先线性化为离散系统。非线性离散系统及时变系统都可以用下面的非线性差分方程表示。

式中, F () 为n维的函数;h () 为m维的向量函数;W (k) 、V (k) 为高斯白噪声序列。

对于非线性离散系统.可以用近似的线性化处理方法。类比基本卡尔曼滤波方程, 经过数学变换后可得线性化以后的系统卡尔曼滤波方程为[6]:

应用扩展卡尔曼滤波方法进行系统参数辨识。所谓系统辨识是根据系统的输入、输出数据辨识“灰色系统”或“黑色系统”。系统辨识中比较常见是最小二乘法。卡尔曼滤波主要用于系统状态估计, 但经过变换后也可以进行参数辨识[7], 是一种新型的辨识算法。卡尔曼滤波又称最小方差线性递推滤波, 在实时测量的信息中消除随机干扰和无用信息, 滤出可靠的有用信息。将卡尔曼滤法应用于系统辨识具有很多优点, 如能得到参数的最小方差估计, 递推充分多的步数, 参数及方差阵的估计不依赖于它们的初值, 且具有良好的稳定性。扩展卡尔曼滤波辨识参数方法是将需要辨识的参数看成是新增加的状态向量。并定义一新的增广状态向量, 这样参数辨识的问题就转化为滤波问题, 计算式同 (13) 。

5 仿真实验

本文所采用的温度传感器为T-818-B-6 型热电偶温度检测传感器。设其基本的动态特性的数学模型的传递函数为:

式中:ω0为传感器系统的固有频率;ξ0为传感器系统的阻尼比。之所以采用二阶系统的传递函数模式作为传感器的传递函数, 是传感器数学模型的精度要求和实际处理复杂程度的妥协结果。

增加补偿环节是为了扩大传感器频率响应的带宽。为使补偿器的输出快速达到传感器稳态值, 参考模型选用较大固有频率的二阶低通滤波器的传递函数为

式中: 阻尼比ξ1= 0.52; 固有频率ω1=32 π rad/s。远大于传感器的固有频率, 但也不能够选取得太大.盲目地拓宽传感器的通频带, 测量中存在的高频噪声信号会被放大, 使补偿失去意义.

在实际使用中, 动态补偿环节采用带通滤波器, 其传递函数可构造为如下的形式:

式中:ξ1和ω1分别为补偿后系统的谐振频率和阻尼比. 经过双线性变换, W (s) 的脉冲响应传递函数为:

这样, 补偿器要确定的参数为:

采用ξ1和ω1为参考模型参数, 并选用一种温度传感器, 其ξ0=0.32, ω0=5 π ;通过系统辨识的方法得到补偿器的W (z-1) , 这样可以减少补偿器设计时对传感器动态特性的数学模型的依赖. 以参考模型对阶跃响应的输出作为补偿器的W (z-1) 辨识的希望输出数据, 用计算机数据采集系统采集阶跃输入及其响应的数据, 经预处理, 得到样本值y (k) , 并通过对参考模型的计算得到yd (k) 。按照图2 所示的原理, 用扩展卡尔曼滤波的参数辨识法对W (z -1) 进行离线辨识 (本文使用MATLAB7.2 的M语言对卡尔曼滤波法参数辨识算法进行编程实现系统参数的辨识与仿真) , 使得式 (4) 成立[8]. 通过辨识过程得到补偿环节的脉冲响应传递函数为

在实际测量时, 用补偿器温度传感器的输出y (k) 进行数字滤波, 产生实际测量值yc (k) 同时, 因为对温度传感器进行补偿的同时也对噪声进行了放大, 所以这里应用参考模型建立扩展卡尔曼滤波器的数学模型进行递推滤波计算, 消除高频噪声干扰. 温度传感器补偿前和补偿后滤波的阶跃响应曲线由图3 可见。图中, 为补偿前的阶跃响应曲线, Tg为补偿后的阶跃响应曲线, 从图中可以看出, 补偿后传感器的动态性能得到明显改善。同时采用扩展卡尔曼滤波有效地消除了高频噪声干扰由图4 对比可见。

6 温度检测与控制的系统构成

6.1 系统硬件构成

在本文的温度检测系统中, 控制系统的C P U选择Samsung公司的ARM S3C44BOX系列的芯片作为硬件平台。该芯片是16/32 位RISC结构低成本高性能芯片。配置8 kB高速缓存 (Cache) 、片内SRAM, LCD控制器两路带握手功能的UART (通用异步收发器) , 4 路DMA控制器、系统管理功能 (片选逻辑, FP/EDO/SDRAM控制器) 、带PWM (脉宽调制) 的定时计数器、vo接口, RTC (时钟) , 8路10位A/D转换器、IIC总线、IIS总线、同步SIO接口和为系统提供时钟而设的P比 (锁相环) 倍频电路等。时钟为66 MHz, 比例值为9, 则转换时间为: ( 66MHz/2 ) ( 9 + 1) / 16 (完成转换至少需要16个时钟周期) 二205.25 kHz (相当于4. 85 μ s ) 。ARM芯片与A/D功能相关的引脚中, AIN[7:0]为8 路模拟采集通道, AREFT为参考正电压, AREFB为参考负电压, AVCOM为模拟工作电压。相关的电路图如图5 所示。

6.2 系统软件构成

由于本温度检测系统的硬件选用了A R M单片机, 所以其软件开发平台配置有嵌人式μ CLinux操作系统, 该系统具有高精度多路采集, 更简单的软件设计, 方便的软硬件功能修改、扩充、升级等优点, 满足了系统实时性需求, 为有效地解决了温度采集及控制系统中的问题提供了必要的保障。

系统软件主要完成数据处理的算法任务, 以及对系统的控制策略的实现。其核心代码如下:

主函数调用获取转换结果子函数, 在启动指定通道后, 延迟一段时间等待该通道数据转换结束, 如果A/D转换结束, 就把转换结果送主函数中规定的内存空间.再行采集转换。

7 结束语

通过对温度传感器的动态测量的补偿器设计, 在预设参考模型的情况下应用扩展卡尔曼滤波进行补偿器参数的辨识从而得到补偿器, 辨识精度 (较于最小二乘法在此运用中有相对更好的辨识精度) 达到了0.00001。同时辨识误差也使 (4) 式充分成立。在补偿器的滤波下, 温度传感器的测量值误差小了, 但是同时测量中存在的高频噪声信号被放大了 (由图3 可见) , 又利用参考模型和扩展卡尔曼滤波去除放大的高频噪声信号。通过分析计算可得, 没有经过扩展卡尔曼滤波消除噪声的输出信号的标准差S=0.1684, 而经过滤波消除噪声的标准差S=0.1376。因此, 经过扩展卡尔曼滤波后, 信号的噪声水平被明显减小。通过大量测温试验证明上述的补偿、滤波操作后温度传感器的动态测量的误差大大的减小。这样得到更加精确的温度检测结果后, 就可以让温度测控系统更加精确的进行测量控制。

参考文献

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