修正B-S模型

修正B-S模型（精选三篇）

修正B-S模型 篇1

石油工业作为国民经济的基础产业, 直接关系到国家的政治、经济和社会的发展。然而要想将金融期权的思想合理地运用到石油勘探项目投资中来, 就需要把实际存在的不确定因素联系起来进行综合评价。因此在原有基础上, 对B-S模型中的波动率进行了修正, 并最终得到适用于石油勘探项目投资决策中的B-S模型, 结合实例进行分析, 具有一定的应用价值。

实物期权是金融期权在实物资产期权上的扩展。它是一个投资方案产生的现金流量所带来的利润, 来自于现在所拥有资产的使用, 以及对未来投资机会的判断[1]。

石油企业参与开发、经营石油、天然气勘探开发项目的商业决策时间次序表示一个期权行为[2]。石油企业获得勘探权后, 根据实际的勘探情况, 决定是否继续钻探或放弃。

本文在前人研究的基础上, 做了以下研究: (1) B-S模型中波动率的修正。根据蒙特卡罗原理, 对产量、国际石油价格和人民币兑美元的汇率这3个参数进行随机抽样, 通过计算折现现金流量, 最后得到修正后的波动率值。 (2) 修正后的B-S模型实例应用。通过实例, 验证了修正后的B-S模型的可行性。

2 实物期权法与净现值法的对比

2.1 净现值法的缺陷

许多企业都以净现值衡量项目所能带来的价值, 由于净现值法规定, 应放弃净现值小于零的项目, 接受净现值大于零的项目。但从长远考虑, 企业不能只考虑项目所带来的的价值, 也要重视其战略价值, 所以即使净现值小于零也可能为企业的未来带来很大的价值。同时在项目的分析阶段, 企业通常采用稳定的预期未来资金流和贴现率来计算, 往往忽略其他选择机会的价值, 造成计算结果偏低, 导致错误的决策影响收益。

2.2 实物期权法的优势

实物期权法具有不可逆性和可延缓性, 一经投资资金就转化为不可收回的成本, 同时项目会由于市场环境变化而存在许多不确定性, 其中不确定性程度越大, 其投资机会的价值就越高, 即投资项目的总价值包括了实物期权的价值。此外考虑了管理柔性, 实物期权法具有灵活性强的特点, 管理者处于主动的地位, 有权根据不断变化的市场条件对项目经营管理进行调整, 也可决定项目的继续执行与否[3,4]。

3 石油勘探项目实物期权定价模型及其修正

3.1 B-S期权定价模型的不足

传统的B-S模型期权价值表示为[5]:

其中:

式中Ct—未开发的石油资源价值, 万元;

St—先期开发石油资源的现值, 万元;

X—开发成本, 万元;

r—无风险利率, %;

σ—已开发石油资源价值的波动率;

T—开发总期限, 年;

t—先期开发期限, 年;

N (x) —均值为0, 标准差为1的标准正态分布变量的累积概率分布函数。

国内外学者在计算中, 将波动率代入一个界于15%~20%的常数。但由于期权价格和回报率都是不确定的, 所以计算出来的波动率不能是常数, 应是变动的。

3.2 B-S期权定价模型的修正

在B-S模型中, 波动率σ是惟一需要建立模型进行估算的参数, 它是对标的资产投资回报率变化程度的度量, 期权价格对波动率的变化非常敏感。因此对B-S模型的修正, 主要也是针对波动率的修正。

在石油勘探项目中, 产量、国际石油价格、人民币兑美元的汇率这3种不确定因素对波动率的影响是非常明显的。由于折现现金流量是指企业拥有的现金流量总和, 所以折现现金流量VD值的计算可用下式表示:

式中VD—折现现金流量, 万元;

P—国际石油价格, 元/t;

Ci—年度单位可变现变动成本, 元/t;

Qi—年度产量, 万t;

Li—人民币兑美元的汇率;

Ti—当年所得税。

分别对产量、国际石油价格、人民币兑美元的汇率进行随机抽样, 代人公式 (4) 中, 计算出VD的算术平均数和均方差SD。

最后, 由于波动率是对标的资产收益不确定性程度的度量, 即VD数据序列在平均值水平附近的波动情况, 即可表示为[6]:

4 实证分析

某石油公司对某块含油气盆地进行勘探开采, 预计此项目勘探期为6 a, 勘探期各阶段年限分别为:预探1 a, 初探2 a, 详探3 a。计划对盆地的勘探开发分为三个阶段进行:第一阶段, 用1 a时间进行预探, 并获取地质数据, 预计投资750万美元;第二阶段, 进行2 a的初探和3 a大规模的详探, 此过程准备投资1 000万美元;最后, 进入稳定的开发阶段。

勘探过程中, 得到以下数据:Qi的变化范围分别是24.67~35.85万t、29.79~51.25万t;Qi的可能均值和正态分布方差分别为 (35万t, 0.02) 、 (40万t, 0.03) ;Ci分别为105美元/t、110美元/t;P的变化范围是440.26~555.14美元/t;P的均值和正态分布方差为 (500.98美元/t, 0.02) ;Li在6.505 0~6.926 5之间, r=8%。

预探阶段投资750万美元, 假设各年回收资金所产生的现金流分别为150万美元, 180万美元、190万美元、120万美元、120万美元、110万美元, 折现率为10%, 如表1所示。

万美元

在进行预探之后, 该石油公司根据经济效益做出决策, 如果决定执行期权, 那么就需要追加投资, 否则将暂时停止勘探, 等待一段时间。这里假设该公司选择执行期权, 在第二阶段回收资金的现金流量如表2所示。

万美元

4.1 用净现值法计算

根据表1所提供的数据, 用净现值法的公式可计算出第一阶段投资收益的现值[7]:

式中, T为该项目年限, 6 a;I0为第一阶段投资, 750万美元;R为折现率, 10%。

经计算得:NPVI=-104万美元

按照净现值法, 净现值小于零的项目应该放弃, 净现值大于零的项目应该接受, 本案例计算到此, 就应该计算完毕了。而事实上, 许多投资决策不仅仅取决于该项目所带来的价值增加, 还与该项目给企业所带来的战略价值密切相关, 不急于放弃一个净现值小于零的项目有时可能给企业的未来带来更大的价值。

4.2 用实物期权法计算

根据公式 (4) 计算得出:

VD=139 755.3万元, SD=41 244.5

由此计算得到波动率σ=0.208 7

此波动率是在同时考虑石油产量、国际油价以及人民币兑美元汇率3种不确定因素波动条件下得到的, 因此比较符合市场实际情况。

再根据表2所提供的数据, 可知追加投资的时间为1 a, 无风险利率r=8%, 用实物期权定价模型公式可计算出该石油勘探项目隐含的期权价值Ct。

石油投资收益现值

经计算为933.9万美元

石油期权的执行价格X=1 000万美元

先期开发石油资源的现值St=Ae-δt式中, δ为现金流年度折损率, 近似认为δ=r=8%。

又由上面的计算可知波动率σ=0.208 7, 经计算可得:

查正态分布表, 可得:

将各个参数数值代入 (1) 式计算得:

Ct=462.4万美元

因此该投资项目隐含的期权价值为462.4万美元, 则勘探这个含油气盆地的风险价值为:

NPVT=NPVI+Ct=-104+462.4=358.4万美元

由于此项目的风险价值大于0, 故对此含油气盆地进行勘探开发投资是可以执行的。

用净现值法计算此实例, 得到的结论是应该放弃此项目, 而用实物期权法计算此实例, 得到了与其截然相反的结论。由于净现值法的局限性, 已经不再适于石油企业进行科学决策了, 取而代之的实物期权法更能说明项目的真实价值。

5 结论

通过对实物期权理论在石油勘探项目投资决策中的应用进行了研究和分析, 主要得出以下结论: (1) 传统的净现值法在石油勘探项目投资决策中, 可能会导致决策者漏掉不明确的期权价值, 做出错误判断; (2) 对于石油勘探项目, 实物期权法是一种更理想的投资决策分析方法, 实现更精确的预测; (3) 传统的B-S实物期权模型中, 波动率代入的是常数, 但由于期权价格和回报率都是不确定的, 所以计算出来的波动率不能是常数, 应是变动的。

因此本文在原有基础上, 对B-S模型中的波动率进行了修正, 将原油产量、国际原油价格以及美元对人民币的汇率这3个不确定因素结合在一起, 确定了相对合理的波动率, 并最终得到修正后的适用于石油勘探项目投资决策中的B-S模型, 然后结合实例分析, 得到预期的效果, 具有一定的应用价值。

参考文献

[1]凌春华, 杨克.油气勘探经济评价新方法的研究-实物期权法[J].中国软科学, 2003 (7) :138-141

[2]贾承造, 杨树锋, 张永峰, 等.油气勘探风险分析与实物期权法经济评价[M].北京:石油工业出版社, 2004

[3]杨雪雁, 罗洪.油田开发经济评价及实物期权新方法[M].北京:石油工业出版社, 2007

[4]匡建超.石油勘探开发集成化经济评价指标体系的构建[D].成都:成都理工大学, 2006

[5]黄卫华.实物期权模型波动率参数度量研究[J].现代商贸工业.2008, 20 (6)

[6]张永峰, 杨树锋, 陈汉林, 贾承造.石油勘探领域期权波动率参数阶段性估算[J].石油大学学报, 2004 (5)

修正B-S模型 篇2

提出了一种修正颗粒模型,并以该模型为基础用稀释法求得了水/span-80+异戊醇/环己烷W/O型微乳液体系的结构参数,包括水内核半径Rw、颗粒有效半径Re、界面层厚度le、表面活性剂平均聚集数ns、颗粒总数Ne等;并求出了异戊醇从连续相(C)转移到界面层(i)的自由能变化ΔG0c→i.计算结果表明,微乳液颗粒有效半径随着水与有效表面活性剂的物质的量的.比w的增加而线性增加.

作 者：琚行松 赵红丽 芮玉兰 梁英华 JU Xing-song ZHAO Hong-li RUI Yu-lan LIANG Ying-hua 作者单位：琚行松,JU Xing-song(唐山师范学院,化工新材料与技术研究所,河北,唐山,063000)

赵红丽,ZHAO Hong-li(唐山师范学院,化工新材料与技术研究所,河北,唐山,063000;河北理工大学,化工与生物技术学院,河北,唐山,063000)

芮玉兰,梁英华,RUI Yu-lan,LIANG Ying-hua(河北理工大学,化工与生物技术学院,河北,唐山,063000)

基于B-S分布的加速退化模型 篇3

在很多长寿命高可靠性产品的退化失效问题中, 退化量随时间的变化极其缓慢。有时在很长的测量周期内, 退化量的变化微乎其微。因此, 在常应力水平下进行退化试验通常需要的时间很长, 测量次数很多, 试验样品个数也很多。这样不仅需要大量的试验费用, 用所测退化数据对模型作统计推断的精度也难以得到保证。针对这种情形, 需考虑提高某些应力的水平, 使其性能加速退化, 并建立科学合理的加速退化模型, 进而有效地估计常应力下产品的性能退化趋势和可靠性水平。

目前, 国外在加速退化方面进行较多的研究。Boulanger[1]等提出分两步建立退化量与时间和应力的关系的模型, 通过加速退化试验设计得到使用条件下退化量的区间估计;Loon Ching Tang[2]等描述了利用非破坏性加速退化数据进行可靠性评估的概念框架, 建立了模型参数与应力水平的关系, 并利用B-S分布建立电源单元的失效分布模型。G. A. Whitmore[3]等利用含时间变换的Wiener扩散过程对加速退化数据建模, 给出了模型参数的估计方法, 并以电缆电阻的退化受温度影响为例验证了模型的有效性。Jyh-Jen Horng Shiau[4]等利用非参数方法分析加速退化数据, 并应用到发光二极管的寿命估计中。E.A.Elsayed[5]等提出了基于几何布朗运动的加速退化率模型, 并由此对发光二极管的可靠性进行评估。W.J.Padgett[6]等建立了基于Gaussian过程的综合加速退化数据和寿命数据的加速退化模型, 对模型参数进行了有效的推断。Chanseok Park[7]等研究了基于几何布朗运动和Gamma过程的加速退化模型, 讨论了模型参数的估计问题, 并应用到碳膜电阻等实际案例中。在文献[8]中, 接着讨论了多个加速变量情形下的加速退化模型, 并对多种退化轨道的加速退化模型进行了对比分析。国内对加速退化模型的研究很少, 赵建印[9]在提出加速退化因子和加速退化方程的基础上, 结合强激光装置所用某型金属化膜脉冲电容器的加速退化失效分析, 研究了基于记数过程的离散随机加速退化失效问题。李晓阳[10]等提出了基于加速退化模型的卫星组件寿命与可靠性评估方法。本文在分析一般退化模型的基础上, 试图利用B-S分布对常见的几种退化轨道 (布朗运动、几何布朗运动和Gamma过程) 建立一种较为一般的加速退化模型, 通过对加速应力下试验数据的分析估计模型参数, 进而得到常应力下产品的寿命估计。

1 一般退化模型

假设产品性能退化是不可逆过程, 可表示为

$X{}_{n+1}=X{}_n+D{}_{n}h(X{}_n)(1)$

式 (1) 中Xn为tn时刻产品性能参数的累积退化量, Dn为 (tn, tn+1]内产品性能退化量, h (·) 为损伤模型函数, 模型 (1) 可推广为更一般的退化模型

$c(X{}_{n+1})=c(X{}_n)+D{}_{n}h(X{}_n)(2)$

式 (2) 中c (·) 为累积损伤函数。对很多产品而言, 其退化过程可假设为连续过程, 则式 (2) 可表示为

dc (Xu) =h (Xu) dDu。

则在 (0, t]时间内, 产品的累积退化量为

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{h(X{}_u)}}\text{d}c(X{}_u)={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\text{d}}D{}_u=D{}_t-D{}_0$。

函数c (·) , h (·) 及随机过程{Du:0≤u≤t}的不同选择将得到不同的退化模型。若h (·) =1, 当u=0时, 对随机过程{Xu:0≤u≤t}, X0=x0, 对随机过程{Du:0≤u≤t}, D0=d0=0, 则到时刻t

Dt=c (Xt) -c (X0) 。

假设Dt～N (μD (t) , σD2 (t) ) , 则

$\begin{array}{l}{\rm P}(X{}_t\le x)={\rm P}(D{}_t\le d)=\\ {\rm P}(D{}_t\le c(x)-c(x{}_0))=\\ \Phi \left(\frac{c(x)-c(x{}_0)-\mu {}_d(t)}{\sigma {}_d(t)}\right)(3)\end{array}$

2 基于B-S分布的加速退化模型

2.1布朗运动

假设某产品性能与应力S相关, 取c (u) =u, h (u) =1, {Du:0≤u≤t}为参数为α>0, β2的布朗运动。其中α描述应力对产品性能的影响, 而β2描述随机因素对产品性能的影响。而在建模过程中一般不考虑这些随机因素受到应力因素的影响, 比如环境因素、人为因素、材料的细微差异等。所以这里假设α与应力相关, β2与应力无关 (下文同) 。设α=T (S) , 则

μD (t) =ατ (t) =T (S) τ (t) ,

σD2 (t) =β2τ (t) 。

由于α与应力相关, β2与应力无关, 则产品在加速应力下的失效机理不变, 故由式 (3) 知

${\rm P}(X{}_t\le x)=\Phi \left(\frac{x-x{}_0-{\rm T}(S)\tau (t)}{\beta \sqrt{\tau (t)}}\right)$。

若取τ (t) =t, C为产品的退化阈值 (下文同) , 则

$\begin{array}{l}{\rm P}(X{}_t\ge C)=1-\Phi \left(\frac{C-x{}_0-{\rm T}(S)t}{\beta \sqrt{t}}\right)=\\ \Phi (\frac{\sqrt{C-x{}_0}}{\beta }(\frac{\beta }{\sqrt{C-x{}_0}}\times \\ \frac{{\rm T}(S)t-(C-x{}_0)}{\beta \sqrt{t}}))=\\ \Phi \left(\frac{\sqrt{C-x{}_0}}{\beta }\left(\frac{{\rm T}(S)\sqrt{t}}{\sqrt{C-x{}_0}}-\frac{\sqrt{C-x{}_0}}{\sqrt{t}}\right)\right)。\end{array}$

令$\alpha {}^{*}=\frac{\beta }{\sqrt{C-x{}_0}}‚\beta {}^{*}=C-x{}_0$,

${\rm P}(X{}_t\ge C)=\Phi \left(\frac{1}{\alpha {}^{*}}\left({\rm T}(S)\sqrt{\frac{t}{\beta {}^{*}}}-\sqrt{\frac{\beta {}^{*}}{t}}\right)\right)(4)$

2.2几何布朗运动

假设产品性能退化轨道为几何布朗运动, 取c (u) =lnu, h (u) =1, {Du:0≤u≤t}为参数为α>0, β2的布朗运动, 2.1可知

$\begin{array}{l}{\rm P}(X{}_t\ge C)=1-\Phi \left(\frac{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0-{\rm T}(S)t}{\beta \sqrt{t}}\right)=\\ \Phi (\frac{\sqrt{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0}}{\beta }(\frac{\beta }{\sqrt{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0}}\times \\ \frac{{\rm T}(S)t-(\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0)}{\beta \sqrt{t}}))=\\ \Phi (\frac{\sqrt{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0}}{\beta }(\frac{{\rm T}(S)\sqrt{t}}{\sqrt{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0}}-\\ \frac{\sqrt{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0}}{\sqrt{t}}))。\end{array}$

令$\alpha {}^{*}=\frac{\beta }{\sqrt{\text{l}\text{n}C-\text{l}\text{n}x{}_0}}‚\beta {}^{*}=\ln C-\ln x{}_0$,

${\rm P}(X{}_t\ge C)=\Phi \left(\frac{1}{\alpha {}^{*}}\left({\rm T}(S)\sqrt{\frac{t}{\beta {}^{*}}}-\sqrt{\frac{\beta {}^{*}}{t}}\right)\right)$。 (5)

2.3Gamma运动

假设产品性能退化轨道{Du:0≤u≤t}为参数为α>0, β的Gamma运动, 取c (u) =u, h (u) =1。设α=T (S) , 则

μD (t) =αβτ (t) =T (S) βτ (t) ,

σD2 (t) = αβ2τ (t) = T (S) β2τ (t) ,

由2.1, 式 (3) 知

${\rm P}(X{}_t\le x)=\Phi \left(\frac{x-x{}_0-{\rm T}(S)\beta \tau (t)}{\sqrt{{\rm T}(S)}\beta \sqrt{\tau (t)}}\right)$。

若取τ (t) =t, 则

$\begin{array}{l}{\rm P}(X{}_t\ge C)=1-\Phi \left(\frac{C-x{}_0-{\rm T}(S)\beta t}{\sqrt{{\rm T}(S)}\beta \sqrt{t}}\right)=\\ \Phi (\sqrt{\frac{C-x{}_0}{\beta }}(\sqrt{\frac{\beta }{C-x{}_0}}\times \\ \frac{{\rm T}(S)\beta t-(C-x{}_0)}{\sqrt{{\rm T}(S)}\beta \sqrt{t}}))=\\ \Phi (\sqrt{\frac{C-x{}_0}{\beta }}(\frac{\sqrt{{\rm T}(S)}\sqrt{t}}{\sqrt{\frac{C-x{}_0}{\beta }}}-\\ \frac{\sqrt{\frac{C-x{}_0}{\beta }}}{\sqrt{{\rm T}(S)}\sqrt{t}}))。\end{array}$

令$\alpha {}^{*}=\sqrt{\frac{\beta {\rm T}(S)}{C-x{}_0}}‚\beta {}^{*}=\frac{C-x{}_0}{\beta }$,

${\rm P}(X{}_t\ge C)=\Phi \left(\frac{1}{\alpha {}^{*}}\left({\rm T}(S)\sqrt{\frac{t}{\beta {}^{*}}}-\sqrt{\frac{\beta {}^{*}}{t}}\right)\right)$。 (6)

由式 (4) —式 (6) 可知, 针对退化轨道为布朗运动、几何布朗运动和Gamma过程的情形建立了形式统一的基于B-S分布的加速退化模型, 这对产品的加速退化分析以及加速退化试验设计提供了良好的基础。

3 自控温伴热电缆加速退化分析

自控温伴热电缆是一种典型的高可靠产品, 其电阻值与温度密切相关, 在正常使用温度下, 其电阻值的退化比较缓慢;但当温度升至其临界值时, 电阻值将趋向于无穷大。因此需考虑选择在合适的加速条件下测量其电阻值的变化。文献[3]讨论了某型自控温伴热电缆, 其额定工作温度为175 ℃, 临界温度为262 ℃, 分别选择在200 ℃、240 ℃和260 ℃下对一批电缆的电阻退化进行了测量, 其累积退化数据如图1所示。

假设电缆电阻值的退化轨道为参数为α>0, β2的布朗运动, 利用Arrhenius模型建立α与温度的关系

$\alpha ={\rm T}(S)=\exp \left(a+\frac{b}{273+S}\right)$,

则由2.1的模型可知

$\begin{array}{l}F(t;S)={\rm P}(X{}_t\ge C)=\\ \Phi \left(\frac{1}{\alpha {}^{*}}\left({\rm T}(S)\sqrt{\frac{t}{\beta {}^{*}}}-\sqrt{\frac{\beta {}^{*}}{t}}\right)\right)=\\ \Phi (\frac{1}{\alpha {}^{*}}(\exp \left(a+\frac{b}{273+S}\right)\times \\ \sqrt{\frac{t}{\beta {}^{*}}}-\sqrt{\frac{\beta {}^{*}}{t}}))。(7)\end{array}$

式 (7) 中$\alpha {}^{*}=\frac{\beta }{\sqrt{C-x{}_0}}‚\beta {}^{*}=C-x{}_0$。

假设在应力水平为S1, S2, …, SK时, 第i个试验产品第j次采样的性能退化值为xkij, 对应采样时刻tkij, k=1, …, K;i=1, …, m;j=1, …, n。令

Δdkij=xkij-xkij-1, Δtkij=tkij-tkij-1。

根据布朗运动的独立增量特性:

Δdkij～N (αkΔtkij, β2Δtkij) 。

则似然函数为

$\begin{array}{l}L(a,b,\beta )={\displaystyle \prod _{k=1}^{{\rm K}}{\displaystyle \prod _{i=1}^m{\displaystyle \prod _{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\text{π}\Delta t{}_{kij}}\beta }}}}\times \\ \exp \left(-\frac{(\Delta d{}_{kij}-\alpha {}_k\Delta t{}_{kij}){}^2}{2\beta {}^2\Delta t{}_{kij}}\right)=\\ {\displaystyle \prod _{k=1}^{{\rm K}}{\displaystyle \prod _{i=1}^m{\displaystyle \prod _{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t{}_{kij}}\beta }}}}\times \\ \exp \left(-\frac{\left(\Delta d{}_{kij}-\exp \left(a+\frac{b}{273+S{}_k}\right)\Delta t{}_{kij}\right){}^2}{2\beta {}^2\Delta t{}_{kij}}\right)。\end{array}$

从而

$\begin{array}{l}\ln L(a,b,\beta )=\\ -{\displaystyle \sum _{k=1}^{{\rm K}}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\frac{\left(\Delta d{}_{kij}-\exp \left(a+\frac{b}{273+S{}_k}\right)\Delta t{}_{kij}\right){}^2}{2\beta {}^2\Delta t{}_{kij}}}}}+\\ \ln \sqrt{2\text{π}\Delta t{}_{kij}}\beta 。\end{array}$

根据极大似然估计原理有

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \text{l}\text{n}L(a,b,\beta )}{\partial a}=0\\ \frac{\partial \text{l}\text{n}L(a,b,\beta )}{\partial b}=0\\ \frac{\partial \text{l}\text{n}L(a,b,\beta )}{\partial \beta }=0\end{array}.(8)$

则将试验数据代入式 (8) 求解, 可得到a、b和β的值。

取200 ℃、240 ℃和260 ℃下测量间隔时间为168 h的5组测试数据, 加速退化数据图如图2。

图2中, 各应力水平下的电阻值退化量即对应Δdkij, k=1, 2, 3, i=1, …, 5;j=1, …, 5。将其代入式 (8) , 利用Matlab, 采取数值方法迭代求解得到

(a, b, β) = (18.297, -13 444, 0.000 934 9) 。

取S=175 ℃为正常使用时的应力水平, 假设其初始电阻值x0=0.5, 失效阈值为C=2, 代入式 (7) 得

$\begin{array}{l}F(t)=\Phi \left(\frac{1}{\alpha {}^{*}}\left(\exp \left(a+\frac{b}{273+S}\right)\sqrt{\frac{t}{\beta {}^{*}}}-\sqrt{\frac{\beta {}^{*}}{t}}\right)\right)=\\ \Phi (1310(\exp \left(18.297-\frac{13444}{273+175}\right)\times \\ \sqrt{\frac{t}{1.5}}-\sqrt{\frac{1.5}{t}}))=\\ \Phi (0.0088\sqrt{t}-1604.4\sqrt{1/t})。\end{array}$

得到该型电缆在正常应力下的失效概率图为:

下面列出文中模型估计得该型电缆工作1×105到1.5×105小时 (约11.4～17.1年) 后的可靠性水平如表1。

4 结论

文中针对长寿命高可靠性产品的性能退化问题, 利用B-S分布对布朗运动、几何布朗运动和Gamma过程等几种随机过程退化轨道建立形式统一的加速退化模型, 并给出模型参数的估计方法, 并将该模型应用到某型自控温伴热电缆的加速退化分析中, 取得了较好的效果, 对建立长寿命高可靠性产品的加速退化模型和加速退化试验设计具有较强的指导意义。

参考文献

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[6] Padgett W J, Tomlinson M A.Inference from accelerated degradationand failure data based on gaussian process models.Lifetime DataAnalysis, 2004;10:191—206

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