声辐射模态

2024-06-20

声辐射模态（精选三篇）

声辐射模态篇1

而对于板结构振动声辐射, 低频时采用隔声、吸声控制效果较差, 进行结构声学优化设计显得尤为重要。Lee［３］应用拓扑的方法进行了结构声学优化;Du和Olhoff［４］进行了辐射声功率最小化的双材料结构拓扑优化, 并与动态柔度最小化的优化结果进行了对比分析。逯怀通, 陈可安等［５］在结构上加载动力吸振器进行辐射声功率最小化的安静结构优化设计;邓晓龙, 张宗杰等［６］用遗传算法进行平板冲压筋的振动致声优化。上述研究主要通过结构拓扑优化、加质量块和改变筋尺寸来抑制结构声辐射, 涉及加筋位置的声辐射研究较少。本文利用有限元振动模型处理结构振动, 利用声辐射模态模型处理声辐射环节, 提出了两种板加筋位置优化模型, 分别采用遗传算法对板进行加筋位置优化的数值计算, 分析加筋位置优化对各阶声辐射模态的声功率影响, 并采用声功率灵敏度进一步分析优化了筋结构参数, 为板结构的加筋声学优化问题提供参考。

1结构有限元振动模型

不考虑阻尼时结构受简谐激励力下的有限元方程为

式 (1) 中:Μ 为质量矩阵;Κ 为刚度矩阵;F０为激励力幅值;ω 为激励力的频率。

根据有限元方程可解得该激励下的位移响应为

将式 (2) 代入式 (1) 中得到结构的频域有限元方程:

由此求得位移表达式:

结构的振速可以用位移响应对时间求导并舍去时间因子, 得到:

2声辐射模态模型

利用声辐射模态［７，８］, 板的辐射声功率可以表示为关于声辐射模态展开系数的二次型:

式 (6) 中:Wｋ为第k阶声辐射模态的声功率;λｋ为辐射算子的特征值, 物理意义为第k阶声辐射模态的辐射效率;yｋ为板法向振速关于声辐射模态的展开系数, 可由振速展开式:

求得各阶声辐射模态的展开系数:

式 (8) 中:Qｋ为第k阶声辐射模态;U为板结构的法向振速, 由结构有限元振动模型求得。

由声辐射模态理论可知:

(1) 在中低频时, 声辐射模态的辐射效率差别很大, 随着模态阶数增加辐射效率迅速减小, 说明声辐射主要集中在低阶声辐射模态上, 则辐射声功率可用前几阶声辐射模态的声功率之和来表示:

式 (9) 中:ΜΡ 为模态截断数。

(2) 声辐射模态和声辐射模态的辐射效率只与辐射体的几何形状和激励频率有关, 而与辐射体自身材料特性无关。进行板的加筋声学优化设计, 辐射声功率仅与结构的法向振速有关。

设影响辐射声功率的设计变量为h = (h１, h２, h３, …, hｎ) , 设计变量可为筋的厚度、筋的宽度、弹性模量等参数。声功率灵敏度为声功率对设计变量h的导数, 由式 (9) 求得辐射声功率W关于设计变量h的灵敏度:

式 (10) 中yｋ＊为yｋ的复共轭, 且:

即声功率灵敏度与结构法向振速的灵敏度有关, 根据结构有限元振动模型中的式 (4) 和式 (5) 求得结构表面法向振速的灵敏度:

分析研究声功率灵敏度可为低噪声结构优化设计提供参考。

3加筋位置优化模型

通过加筋位置优化可改善结构振速分布使得辐射声功率降低, 本文提出了两种加筋位置优化模型, 分别采用遗传算法获得满足约束条件的加筋分布。

根据有限元振动理论结构被离散为有限多有限元单元, 本文通过增加有限元单元的厚度在板上加筋, 令厚度增加的有限元单元为加筋单元。在加筋位置优化时, 若以有限元单元位置为加筋单元位置, 采用遗传算法进行位置优化时加筋单元数过多, 求解耗时且易产生未成熟收敛现象。可组合多个有限元单元为一个加筋单元, 取组合后的加筋单元位置为设计变量, 根据实际工程中对筋质量和厚度的要求, 约束加筋单元数, 进行声功率最小化的加筋位置优化。

为了降低结构辐射声功率, 可直接以辐射声功率最小为目标进行加筋位置优化。其数学模型可简化如下。

设计变量:

目标函数:

约束条件:

优化模型中:设计变量h为加筋单元位置;目标函数为辐射声功率;Νｍａｘ为最大加筋单元数;hｉｄ和hｉｕ分别为第i个加筋单元的位置上下限约束。在加筋单元数和位置的约束下, 通过遗传算法搜索辐射声功率最小时一组加筋单元分布。

辐射声功率为各阶声辐射模态的声功率之和, 可分别优化各阶声辐射模态的声功率来优化总声功率。因此, 以声辐射模态的声功率最小为目标逐阶进行加筋位置优化, 并根据结构轻量化准则对加筋单元进行取舍, 获得最终加筋分布。其数学模型可简化如下。

设计变量:

目标函数:

约束条件:

优化模型中:设计变量h为加筋单元位置;目标函数分别为各阶声辐射模态的声功率;Νｋ为优化第k阶声功率的加筋单元数;hｉｄ和hｉｕ分别为第i个加筋单元的位置上下限约束。

合理分配优化各阶声功率的加筋单元数, 针对性地降低各阶声功率显得尤为重要。根据辐射声功率的表达式 (9) 和对辐射效率的分析可知, 声辐射模态的辐射效率能够反应各阶声功率对总声功率的贡献。因此, 取声辐射模态的辐射效率作为优化各阶声功率的加筋单元数权重, 则优化各阶声功率的加筋单元数可表示为

求得优化各阶声功率的加筋单元数后, 采用遗传算法逐阶搜索声辐射模态的声功率最小时的加筋单元分布, 分析加筋单元对各阶声功率的影响, 根据结构轻量化准则保留降低声功率效果好的加筋单元, 获得最终的加筋单元分布。

本文通过MATLAB编写遗传算法程序, 实现上述两种优化模型的加筋位置优化, 该算法是基于自然选择和自然遗传的全局优化算法［９］, 基本原理是依据各自的适应度函数, 通过选择、交叉、变异操作的循环执行, 最后收敛到一群最适应环境的个体, 从而求得满足约束条件下的加筋分布。

4算例分析研究

本文选取0.3mm×0.2mm×0.004m的四边简支的金属板作为研究对象, 板材料的弹性模量 Ε =2.1×10１１Ρa, 泊松比ν=0.3, 密度ρ=7 800 kg/m３, 筋材料属性与板一致。板结构被离散为24× 24的有限元单元, 板中点处受幅值为10Ν, 频率为500Ηz的单点激励力。为了简化优化模型, 组合2 ×2格有限元单元为一格加筋单元, 板被重新划分为12×12加筋单元形式, 任一加筋单元分布如图1。

4.1加筋位置优化分析

根据一些研究表明［１０］, 中低频时辐射声功率只需取前3阶 (即 ΜΡ =3) 声辐射模态的声功率之和便可达到很好的精度, 本文只对前3阶声辐射模态进行研究。在加筋位置优化中, 取筋厚为0.004m, 表1为频率500Ηz时前3阶声辐射模态的辐射效率, 在一定筋质量约束下, 取加筋单元总数为Νｍａｘ= 44, 根据公式 (19) 分别求得优化前3阶声功率的加筋单元数 (Ν１=36, Ν２=6, Ν３=2) 。图2 (a) 列出采用遗传算逐阶搜索前3阶声辐射模态的声功率最小时的加筋位置优化结果, 图中黑色区域为加筋单元。

图3为逐阶加筋位置优化前后各阶声辐射模态的声功率的比较柱方图。观察图可以清楚地看到, 第1阶声辐射模态的声功率远大于第2、第3阶声功率, 这与优化第1阶声功率的加筋单元数大于高阶的相符。优化第1阶声功率后, 第1阶声功率相对于优化前减少量较大达15dB, 而对第2、第3阶声功率的影响不大。优化第2、第3阶声功率后, 第2、第3阶的声功率相对于各自优化前的声功率减少量较大, 说明了加筋位置优化能够使得目标函数对应的声功率得到优化, 但是由于第2、第3阶声功率远小于第1阶声功率, 使得优化第2、第3阶声功率在降低总声功率的效果上很小, 根据结构轻量化准则保留降低声功率效果好的加筋单元, 因此取优化第1阶声功率的加筋分布为最终优化结果。

根据上述优化模型获得的加筋分布, 在取相同加筋单元数的约束下进行以辐射声功率最小为目标的加筋位置优化, 优化结果如图2 (b) 。对比图2中加筋位置优化结果发现, 图2 (b) 的优化结果与优化第1阶声功率的优化结果一致, 加筋单元都分布在板的中间和四角。通过以上分析可知:加筋位置优化主要是进行以第1阶声辐射模态的声功率最小为目标的加筋位置优化。

4.2筋的结构参数优化分析

在加筋位置优化的基础上, 为了进一步分析不同位置的筋结构参数对声功率的影响, 采用声功率灵敏度对筋结构参数进行优化分析。根据上文加筋位置优化结果, 得到两种加筋形式:四角区域加筋和中间区域加筋。选取加筋厚度作为设计变量, 对这两种加筋形式进行声功率灵敏度分析。根据公式 (10) 分别求得声功率对板四角加筋和中间加筋关于厚度的灵敏度, 得到图4所示结果。

由图4可以看出:随着加筋单元厚度的增加, 声功率的灵敏度急剧变化, 加筋厚度对声功率的影响明显, 但当厚度达到一定值时声功率灵敏度曲线趋于平缓, 即辐射声功率的变化不再明显。对比板四角加筋和中间加筋时声功率的灵敏度曲线, 中间区域加筋时声功率灵敏度曲线比四角区域加筋时变化要大。当板中间筋厚达到0.004 m时声功率灵敏度曲线平缓趋向于零, 而四角加筋厚达到0.01 m时声功率灵敏度曲线才平缓趋向于零, 说明了不同位置的筋对声功率的影响不同, 中间加筋时声功率关于筋厚度的灵敏度比较大。

5结语

以声辐射模态理论为基础, 提出了两种加筋位置优化模型。通过算例, 采用遗传算法分别求得了板声功率最小时的加筋分布, 分析了加筋位置优化对各阶声辐射模态的声功率的影响, 可知:加筋位置优化主要是进行以第1阶声辐射模态的声功率最小为目标的加筋位置优化。

在加筋位置优化的基础上, 采用声功率灵敏度对筋的结构参数进行优化分析。算例表明:随着加筋单元厚度的增加, 声功率的灵敏度急剧变化, 当厚度达到一定值时声功率灵敏度基本不变。不同位置筋的厚度对声功率的影响是不一样的, 板中间加筋比四角加筋时声功率关于筋厚度的灵敏度大。通过以上的加筋位置和筋的结构参数优化分析可以为筋板结构的声学优化设计提供一定的参考。

参考文献

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[4] Du Jianbin, Olhoff N.Minimization of sound radiation from vibrating bi-material structures using topology optimization.Struct Multidiscipl Optim, 2007;33:305—321

[5] 逯还通, 陈克安, 李双.基于辐射声功率最小化的安静结构设计.应用声学, 2007;26 (3) :143—150

[6] 邓晓龙, 张宗杰, 张彩香.用遗传算法进行平板冲压筋的振动致声优化.三峡大学学报, 2004;26 (5) :441—444

[7] Cunefare K A, Currey M N.On the exterior acoustic radiation modes of structures.Soc Am, 1994;96 (4) :2302―2312

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[9] 雷英杰, 张善文, 李续武, 等.遗传算法工具箱及应用.西安:西安电子科技大学出版社, 2005

声辐射模态篇2

水中脉冲放电的电特性与声辐射特性研究

对水中脉冲放电等离子体通道电阻与放电参数之间的关系作了研究,得到了等离子体通道电阻与电容量、初始电压、电极间距离的关系,以及通道电阻随时间的变化规律.还对冲击波的峰值压力与放电参数间的关系作了研究,并对冲击波压力的功率谱作了分析,结果表明水中脉冲放电所产生的`冲击波的声辐射频率在几十赫兹到几万赫兹之间,覆盖了所有水声设备的工作频率,且在低频段具有很强的声功率,是一种理想的水下声源.

作者：卢新培潘垣张寒虹作者单位：卢新培,潘垣(华中科技大学电力工程系,武汉,430074)

张寒虹(中国科学技术大学力学与机械工程系,合肥,230026)

刊名：物理学报 ISTIC SCI PKU英文刊名：ACTA PHYSICA SINICA 年，卷(期)： 51(7) 分类号：O4 关键词：水中脉冲放电等离子体

声辐射模态篇3

气动声学是一门研究气体运动产生声音以及声音在运动气体中的传播过程的一门科学。由于气动声学方程复杂, 要解析地描述复杂几何形体的气动声学场 (包括声的辐射与传播) 几乎是一件不可能的事。计算气动声学 (computational aeroacoustics, CAA) 的出现为打开气动声学的神秘大门提供了神奇的钥匙。一些简单几何形体的气动声学问题, 相对较容易求出解析解或者进行实验验证, 这类问题对验证CAA方法的准确性提供了素材, 如CAA的一系列基准问题[1]。有平均流的圆环管道中的声传播问题就属于这类相对简单的问题, 引起了大量学者的兴趣[2,3,4,5]。有平均流的圆环管道中的声传播的研究意义不仅在于给CAA提供论据, 更重要的是它为研究更复杂的问题提供了思路。如人们用圆 (环) 管道近似代替涡扇发动机进气道, 然后研究吸声材料添加方法[4,6,7,8]。本文将由线性欧拉方程出发, 推导有均匀平均流的情况下圆环管道内的声传播、声功率的解析表达式, 利用单个声模态来模拟涡扇发动机进气道的声传播现象。

1 有平均流的管道声模态

圆环管道的模型如图1所示, 假定其轴向无限长, 内外径分别为Di和Do, 管壁都是刚性硬壁, 管道内的平均流场均匀, 其马赫数为Ma。对于圆环管道, 自然坐标应该选用柱坐标, 本文以 (x, r, ϕ) 代表柱坐标在轴向、径向和旋转方向上的分量。管道内声波的控制方程为线性欧拉方程, 表述为

式中, ρ、u、v、w、p分别为流体 (气体) 的密度、x方向速度、r方向速度、ϕ方向速度、压力;γ为气体绝热指数;撇号“′”表示声学扰动量, 上横线表示平均流。

为了便于计算, 所有变量都采用以下基准进行量纲一处理:长度基准为管壁外径D (即图1中的Do) ;速度基准为管道中的音速a0;密度基准为管道中空气密度ρ0。时间为D/a0, 故压力为ρ0a $_{0}^{2}$ 。

量纲一处理后, 管道的外径为1。用σ代表圆环管道内外径之比, 即σ=Di/Do, 从而管道的内径Di=σ。所以管道外半径Ro=1/2, 内半径Ri=σ/2。

由等熵关系知

p/ργ=const=p0/ργ0 (2)

式 (2) 可以改写为

p=ργ (p0/ργ0) (3)

将p看成是ρ的函数, 然后式 (3) 两边同时对ρ求导可得

dp= (p0/ρ $_{0}^{γ}$ ) γργ-1dρ (4)

由于dp和d ρ表示密度变化的小量——声学扰动量, 所以p′=dp, ρ′=d ρ。同时,

$\frac{p_{0}}{ρ_{0}} = \frac{1}{γ}, ρ \approx 1$ (5)

将式 (5) 代入式 (4) , 可得

p′=ρ′ (6)

由于管中的平均流只沿着x方向且流场均匀, 所以 $\bar{v} = \bar{w} = 0$ , 且所有平均流的导数项等于零, 略去高阶小量并联立式 (6) , 则式 (1) 变为

$\begin{array}{l} \frac{\partial u^{'}}{\partial t} + Μ a \frac{\partial u^{'}}{\partial x} + \frac{\partial p^{'}}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial v^{'}}{\partial t} + Μ a \frac{\partial v^{'}}{\partial x} + \frac{\partial p^{'}}{\partial r} = 0 \\ \frac{\partial w^{'}}{\partial t} + Μ a \frac{\partial w^{'}}{\partial x} + \frac{1}{r} \frac{\partial p^{'}}{\partial ϕ} = 0 \\ \frac{\partial p^{'}}{\partial t} + Μ a \frac{\partial p^{'}}{\partial x} + γ \bar{p} (\frac{\partial v^{'}}{\partial r} \frac{v^{'}}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial w^{'}}{\partial ϕ} + \frac{\partial u^{'}}{\partial x}) = 0 \end{array}} (7)$

也即

其中V= (u, v, w) 为速度矢量。消去式 (8) 中的速度矢量, 可得

$(\frac{\partial}{\partial t} + Μ a \frac{\partial}{\partial x})^{2} p^{'} -$ ∇2p′=0 (9)

或者展开写成

$\begin{array}{l} (\frac{\partial}{\partial t} + Μ a \frac{\partial}{\partial x})^{2} p^{'} - (\frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial r^{2}} + \\ \frac{1}{r} \frac{\partial p^{'}}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial φ^{2}} + \frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial x^{2}}) = 0 (10) \end{array}$

式 (9) 或式 (10) 就是有平均流的情况下圆环管道的声传播控制方程。为了得到式 (10) 的解, 还需添加适当的边界条件。对于刚性壁, 应该添加无穿透边界条件, 即

$\frac{\partial p^{'}}{\partial r} = 0 (r = R_{o} = \frac{1}{2}$ 及 $r = R_{i} = \frac{σ}{2})$ (11)

对于圆环管道里传播的声音, 可以认为其由很多个Fourier模态组成, 而单个Fourier模态的形式为

$p^{'} = \tilde{p} (r) e^{i (m φ + k x - ω t)}$ (12)

式中, $\tilde{p} (r)$ 为实数;m为周向模数 (为整数) ;k为轴向波数;ω为角速度。

而对于其他流体变量, 也可以作相似的假设。将式 (12) 代入式 (10) 可得

$\frac{d^{2} \tilde{p}}{d r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d \tilde{p}}{d r} \tilde{p} + [(ω - k Μ a)^{2} - k^{2} - \frac{m^{2}}{r^{2}}] \tilde{p} = 0 (13)$

式 (13) 是一个典型的贝塞尔方程, 其通解为

$\tilde{p} = A J_{m} (β_{m n} r) + B Y_{m} (β_{m n} r)$ (14)

β $_{m n}^{2}$ = (ω-kMa) 2-k2

式中, A、B为常数;Jm、Ym分别为m阶的第一类和第二类贝塞尔函数;下标n为径向模数。

从式 (13) 可以看出, 如果βmr为其解, 那么-βmn也是其解, 因此可以只考虑非负的βmn。从而在式 (14) 中, m和βmn有以下几种组合方式:

(1) m=βmn=0。由于第二类贝塞尔函数在0处趋于-∞, 为了保证解有界必有B=0, 此时解退化为一个常数, 也就是 $\tilde{p} = A$ , 这个解就是平面波。

(2) m>0且βmn=0。此时 $\tilde{p}$ 为零, 我们只关注非零解, 所以可以排除此类情况。

(3) m≥0且βmn>0。此时根据边界条件式 (11) 可得

式 (15) 中, 为了使A和B有解, 必须让左边矩阵的行列式等于零, 即

$\dot{J}_{m} (\frac{1}{2} β_{m n}) \dot{Y}_{m} (\frac{σ}{2} β_{m n}) - \dot{Y}_{m} (\frac{1}{2} β_{m n}) \dot{J}_{m} (\frac{σ}{2} β_{m n}) = 0$ (16)

式 (16) 就是圆环管道内声波的色散关系式, 求βmn的根的方法将在下一节讨论。找出了βmn的值, 也就确立了波数k和角速度ω的关系。将β $_{m n}^{2}$ = (ω-kMa) 2-k2改写为

(1-Ma2) k2+2ωMak-ω2+β $_{m n}^{2}$ =0 (17)

从而

$k_{\pm} = \frac{- ω Μ a \pm \sqrt{ω^{2} - (1 - Μ a^{2}) β_{m n}^{2}}}{1 - Μ a^{2}}$ (18)

式中, k+、k-分别为声波向下 (游) 和上 (游) 传播。

声波在传播过程中应该既不被衰减也不被放大, 因此k必须为实数, 并且必须有ω2≥ (1-Ma2) β $_{m n}^{2}$ 。ω2= (1-Ma2) β $_{m n}^{2}$ 对应的频率称为截止频率, ω2> (1-Ma2) β $_{m n}^{2}$ 对应的声模态称为传播声模态, ω2< (1-Ma2) β $_{m n}^{2}$ 对应的声模态称为截止声模态。

在式 (18) 中, 声波的角速度ω一般为已知数, 也可以通过声波的频率求得, 即ω=2πf。但需要注意的是, 由于这里所有物理量都是量纲一单位, 频率也应该为量纲一单位。频率为f0 (Hz) 的声波对应的量纲一频率为

$f = \frac{f_{0} D}{a_{0}}$ (19)

通过式 (16) 求得βmn, ω也已知, 则可通过式 (18) 求得波数k, 从而式 (14) 中声压的解变为

$\tilde{p} (r) = A_{m n} [J_{m} (β_{m n} r) - \frac{\dot{J}_{m} (\frac{1}{2} β_{m n})}{\dot{Y}_{m} (\frac{1}{2} β_{m n})} Y_{m} (β_{m n} r)] (20)$

式中, Amn为声压幅值, 由声功率决定。

将式 (20) 代入式 (12) 可得

$p^{'} = A_{m n} [J_{m} (β_{m n} r) - \frac{\dot{J}_{m} (\frac{1}{2} β_{m n})}{\dot{Y}_{m} (\frac{1}{2} β_{m n})} Y_{m} (β_{m n} r)] e^{i (m φ + k x - ω t)}$ (21)

将式 (21) 代入式 (7) 中, 可以得到声波各个变量的表达式:

2 求解βmn的方法

为了求解圆环管道中的声模态, 必须首先通过式 (16) 才能得到βmm。然而, 此方程为超越方程, 不可能得到简单的解析解, 所以需要利用数值解法, 如牛顿迭代法求解。在利用牛顿迭代法求解的过程中, 需要给定初值。为了得到这些初值, 可用薄管近似方法。假定 $\frac{D_{o} - D_{i}}{D_{o}}$ 非常小, 然后用 $R_{c} = \frac{R_{o} + R_{i}}{2}$ 代替式 (13) 中的r, 可得

$\frac{d^{2} \tilde{p}}{d r^{2}} + \frac{1}{R_{c}} \frac{d \tilde{p}}{d r} + (β_{m n}^{2} - \frac{m^{2}}{R_{c}^{2}}) \tilde{p} = 0$ (23)

令 $\tilde{p} = e^{λ r}$ , 则式 (23) 变为

$λ^{2} + \frac{λ}{R_{c}} + β_{m n}^{2} - \frac{m^{2}}{R_{c}^{2}} = 0$ (24)

从而

$λ_{\pm} = - \frac{1}{2 R_{c}} \pm i \sqrt{β_{m n}^{2} - \frac{1}{R_{c}^{2}} (m^{2} + \frac{1}{4})}$ (25)

式 (23) 的解为

$\tilde{p} = A e^{λ_{+} r} + B e^{λ_{-} r}$ (26)

将边界条件式 (11) 代入式 (26) , 可得

为了得到非零解, 式 (27) 中系数矩阵的行列式必须为零, 即

e (λ+-λ-) (Ro-Ri) =1 (28)

将式 (25) 代入式 (28) 可得

$2 (R_{o} - R_{i}) \sqrt{β_{m n}^{2} - \frac{1}{R_{c}^{2}} (m^{2} + \frac{1}{4})} = 2 n π, n = 0, 1, 2, \dots$

从而

$β_{m n} = \sqrt{\frac{n^{2} π^{2}}{(R_{o} - R_{i})^{2}} + \frac{1}{R_{c}^{2}} (m^{2} + \frac{1}{4})} =$

$\sqrt{\frac{4 n^{2} π^{2}}{(1 - σ)^{2}} + \frac{16}{(1 + σ)^{2}} (m^{2} + \frac{1}{4})}, n = 0, 1, 2, \dots$ (29)

当管道内外径之比σ比较大的时候, 这种薄管近似给出的初始值比较精确。然而当σ比较小的时候, 圆环管道和薄管有很大的差异, 如果用式 (29) 估计初值, 则会产生根的排列混乱和丢根的情况。此时可以采用多次薄管近似逐渐逼近的方法或者二分法来估计初值。设函数

$f (β) = \dot{J}_{m} (\frac{1}{2} β) \dot{Y}_{m} (\frac{σ}{2} β) - \dot{Y}_{m} (\frac{1}{2} β) \dot{J}_{m} (\frac{σ}{2} β) (30)$

则式 (16) 的根就是由式 (30) 确定的函数f (β) 的零点。m=22且σ=0.4时, f随β变化的曲线如图2所示。根据函数图像的形状, 完全可以用二分法求根的初值或者直接求根。

3 管道中的声功率

式 (22) 中与声学变量幅值相关的常数Amn由声功率决定。如果声功率为P, 则声功率级定义为

$Ρ W L = 10 \lg \frac{Ρ}{Ρ_{0}} (d B)$ (31)

其中P0为基准声功率, P0=10-12W。令 $\bar{Ρ}$ 为量纲一单位的声功率, 则

$| \bar{Ρ} | = \frac{| Ρ |}{ρ_{0} a_{0}^{3} D^{2}} = \frac{Ρ_{0} 10^{Ρ W L / 10}}{ρ_{0} a_{0}^{3} D^{2}}$ (32)

另一方面, 平均流的声强为[9]

$Ι_{x} = \frac{1}{Τ} \int_{t}^{t + Τ} (1 + Μ a^{2}) p u + Μ a (p^{2} + u^{2}) d t$ (33)

式中, p、u分别为声扰动的压力和速度的实部。

对单个的声模态有

所以管道中的声功率为

$\bar{Ρ} = \int_{R_{i}}^{R_{o}} \int_{0}^{2 π} Ι_{x} r d φ d r$ (35)

不难证明, 当T→∞时, 对于任意复数C和G有

$\frac{1}{Τ} \int_{t}^{t + Τ} Re (C e^{- i ω t}) Re (G e^{- i ω t}) d t = \frac{1}{2} Re (C G^{*})$ (36)

式中, G*为G的共轭。

因此

将式 (37) 和式 (35) 代入式 (33) 可得单个声模态的声功率:

$\begin{array}{l} \bar{Ρ}_{m n} = π \int_{R_{i}}^{R_{o}} [(1 + Μ a^{2}) | \tilde{p}_{m n} (r) \tilde{u}_{m n} (r) | + \\ Μ a | \tilde{u}_{m n} (r) |^{2} + Μ a | \tilde{p}_{m n} (r) |^{2}] r d r (38) \end{array}$

将式 (22) 代入式 (38) , 可得

$\begin{array}{l} \bar{Ρ}_{m n} = π Q_{m n} A_{m n}^{2} {(1 + Μ a^{2}) \frac{k}{ω - k Μ a} + \\ Μ a [1 + (\frac{k}{ω - k Μ a})^{2}]} (39) \end{array}$

$Q_{m n} = {\begin{cases} \frac{1}{2} (R_{o}^{2} - R_{i}^{2}) m = 0, β_{m n} = 0 \\ \frac{1}{2} (r^{2} - \frac{m^{2}}{β_{m n}^{2}}) [J_{m} (β_{m n} r) - \\ \frac{\dot{J}_{m} (\frac{σ}{2} β_{m n})}{\dot{Y}_{m} (\frac{σ}{2} β_{m n})} Y_{m} (β_{m n^{r}})]^{2} |_{r = R_{i}}^{R_{o}} m \geq 0, β_{m n} ＞ 0 \end{cases}$

联立式 (32) 和式 (39) 可得

$\begin{array}{l} A_{m n} = \\ \sqrt{\frac{p_{0} 10^{Ρ W L / 10}}{ρ_{0} a_{0}^{3} D^{2} π Q_{m n} | \frac{(1 + Μ a^{2}) k}{ω - k Μ a} + Μ a [1 + (\frac{k}{ω - k Μ a})^{2}] |}} (40) \end{array}$

至此, 如果给定单个声模态的声功率、频率、周向模态m以及平均流的马赫数Ma, 则可以完全确定圆环管道中声波各个变量的解析表达式。

4 算例

下面利用有平均流的圆管声模态来模拟涡扇发动机进气道的噪声传播过程。某发动机进气道的结构如图3所示, 其中x代表进气道的轴向, r代表进气道的半径方向 (计算将在柱坐标中进行) 。发动机工作时风扇将气体由进气道吸入到内外涵道。风扇产生的噪声是发动机的一个主要噪声源, 这些噪声可以沿着气流或者逆着气流传播。这里仅研究风扇噪声逆着气流在进气道传播的过程。为了便于计算, 作如下简化:①整个进气道关于x轴对称;②将圆环管道中单个声模态作为输入的风扇噪声。从图3可以看出, 这个进气管道在风扇面附近近似为一个圆环形的管道, 因此可以认为, 风扇产生的噪声是由无数个圆环管道声模态叠加而成的。假定其中的单个声模态在周向解析 (m已知, 为输入参数) , 从而所有的声学量都可以写成如下形式:

其中带有上尖括号的量均为复数。

在以上简化下, 控制方程变为

从而将一个三维问题转化为二维问题。计算中先利用保形映射方法将物理空间 (x-r) 中转子和机匣的壁面曲线映射到计算空间 (ζ-η) 中的两条相互平行的直线上, 如图4所示。由于进气道满足轴对称条件, 所有计算只需要在第二象限进行, 所以图4中仅显示转子和机匣在第二象限中的像。映射后转子和机匣的像之间的距离为h。计算时首先在计算平面中设计网格, 然后再将网格逆变换到物理空间中。考虑到计算需求和效率, 计算区域在计算平面中的大小选为6h×4h, 这个区域对应在物理坐标中的范围如图5所示。

计算中时间和空间离散采用多网格尺度-多时间步色散关系保持 (DRP) 方法[10]进行。计算中采用如下边界条件:①A-B-C-D边界采用辐射边界条件[11], 使声波能无反射地穿过计算区间;②A-K采用轴对称边界;③机匣和转子壁面上采用滑移边界条件, 利用外伸点 (ghost point) 法[12]实施;④风扇表面 (E-H) 采用理想匹配层 (PML) 边界[13]输入声波并吸收反射声波, 保持数值稳定。

作为模拟算例, 这里仅计算输入频率为1614Hz, 声功率级为120dB, 周向模数m=22时n=1和n=4两种情况。在计算声场之前, 先计算平均流场, 使得风扇表面的马赫数为0.3。计算后的瞬时声压云图如图6和图7所示, 可以看出, 风扇面输入的不同声模态在进气道以及进气道附近的区域传播过程差别较大, 这也正是众多学者研究进气道噪声传播机理的原因。

5 结论

(1) 声波在平均流中的传播的控制方程为线性欧拉方程, 在均匀流的圆环管道中, 平均流只沿着轴向方向流动, 从而可以使方程大大简化。

(2) 传播中的声波可以看成是多个Fourier模态的组合。对于圆环管道中的单个Fourier模态, 其轴向波数k、周向模数m、角速度ω以及平均流的马赫数Ma等必须满足色散关系式。

(3) 在其他条件给定时, 圆环管道中的声波存在一个截止频率, 大于截止频率的声模态可以在管中传播, 而小于截止频率的声模态则不能在管中传播。

(4) 给定了声功率级, 平均流的马赫数, 入射声波的频率、旋转模数、径向模数和管的几何尺寸以后, 便唯一确定了单个Fourier模态的声波的解析表达式。

(5) 可利用圆环管道的声模态作为风扇产生的噪声来研究涡扇发动机进气到噪声传播规律, 非均匀流场对不同声波模态的散射效果不同。

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