K-L变换算法

K-L变换算法（精选三篇）

K-L变换算法 篇1

K-L变换 (Karhunen-Loeve Transform) 是建立在统计特性基础上的一种变换, 也称特征向量变换、主分量变换或霍特林 (Hotelling) 变换。K-L变换的突出优点是去相关性好, 它根据具体的图像统计特性 (图像的协方差矩阵) 来决定它的变换矩阵, 对图像有最好的匹配效果, 能将信号在变换域的相关性全部解除, 是最小均方误差意义下的最佳变换。K-L在数字图像压缩技术中占有重要地位。

(一) K-L变换理论基础

如果一个离散信号由N个样值组成, 则它可以表示为一个N维向量, 设以X表示它, 即

对X进行正交变换

其中, Y是变换后的向量 (变换系数向量) , T是变换矩阵。Y也是一个N维向量, 表示为:

由图像样值序列组成的随机向量的协方差矩阵定义为:

协方差矩阵主对角线上的元素是各随机变量的方差, 它反应了各随机变量的能量大小, 而主对角线以外的各个元素则是表示两个变量ix和xj之间相关程度的协方差。

变换系数矩阵Y的协方差矩阵

变换矩阵T是由X协方差矩阵ΣX的特征向量{Φi}组成, 可知ΣY为对角线矩阵, 即变换后向量Y的各个分量yi是完全不相关的。

(二) K-L变换应用于图像压缩及实验结果

K-L变换应用于由N个样值组成的图像X的有损压缩时, 通常将对应于ΣX最小的 (N-M) 个特征值的特征向量置为O, 由其余的特征向量组成逆变换矩阵, 此时变换后矩阵Y有 (N-M) 个分量被舍弃。由此造成的均方误差为 (iλi=M, M+1, L, N-1为ΣX的 (N-M) 个最小的特征值) 。

K-L变换应用于图像压缩编解码框图如图1所示。

编码后恢复原图像需要保存的数据为:数据信息 (包括原始图像的大小、表示颜色要用到的位数等) 、逆变换矩阵、变换后的系数矩阵、熵编码表。其中逆变换矩阵和变换后的系数矩阵是经过熵编码后的数据。

1. K-L变换矩阵选取

对一幅M×N的图像进行K-L变换, 其变换矩阵T大小为MN×MN, 该矩阵大小远远大于原始图像数据矩阵。而要在解码时恢复原图像, 不但需要变换后的系数矩阵Y, 还需要知道逆变换矩阵TT, 这样不但达不到任何数据压缩的效果, 还极大的增加了数据量。即使仅保留一个最大的特征值, 此时Y中不为零的元素个数为1, TT中不为零的元素个数M×N, 这样仍达不到压缩数据的要求。另外, 当ΣX太大时, 变换矩阵求解非常困难, 甚至无法求解。

要解决上述问题, 可以考虑将图像分成若干个小块, 对每个小块分别进行K-L变换。如何确定每个图像块的大小呢?从统计学上来说, 在15~20个像素之后, 像素间的相关性开始下降, 因此每个数据块选为16×16的大小最为合适。但是综合考虑计算量与系统复杂性, 以及系统实现的难易程度, 最终选择8×8块。

将图像X分成若干个不重叠的8×8数据块 (当图像垂直和水平方向的像素数不是8的倍数时补0, 使之均为8的倍数) , 对任一数据块

此时有

如果分别对Xi进行K-L变换, 变换矩阵个数为N个, 每个矩阵大小为64×64, 该数据量还是远大于原图像。可以将K-L变换进行适当的变形, 达到数据压缩的目的。

取

可求出ΣX为一个64×64的矩阵, 进而很容易求出变换矩阵T。从ΣX的求解过程可以看出, 该变换矩阵对于该图像的任意一个数据块都适用。

经实验表明, 图像数据经这样的变换矩阵T变换后虽不能完全消除各系数之间的相关性, 但也能起到很好的去相关性效果。

2. 量化编码

经对K-L变换的变换矩阵及变换后系数矩阵的数据研究表明:

(1) 变换矩阵系数均在-0.5~+0.5之间;

(2) 变换后系数均在-2048~+2047之间, 并且大部分数据都在100以内, 大于100的系数极为分散。

由以上数据规律可以看出, 可以将变换矩阵系数都以1/250为量化间隔进行均匀量化。刚好每个量化后的系数可以用7位有符号二进制数表示, 再加上符号位, 正好一个字节。

变换后的系数由于数据比较分散, 且大数据量较少, 故可以提高小数据的精度, 适当降低大数据的精度, 将其按照A律13折线压扩特性进行7级非均匀量化], 每个系数也可以表示为7位有符号二进制数。

量化后数据经过熵编码进一步对图像数据进行压缩, 这是一个无损压缩编码过程。在本课题中, 熵编码采用Huffman编码。

3. 实验结果与分析

对大小为256×256×8 bit的Lena灰度图像进行压缩编码。当特征值保留个数分别为1、2、4、8、16时, 经K-L变换压缩编码的压缩比CR和峰值信噪比PSNR如表1所示。

峰值信噪比定义为:

σe2为均方误差, 定义为:

式中, M和N分别为图像垂直和水平方向的像素数;S (i, j) 和S' (i, j) 分别为原始图像和编解码后重建图像在 (i, j) 点的像素值。

Lena原图 (未压缩BMP格式) 为大小为65KB, 转换成JPEG图片的大小为5.4KB, 压缩比为12.0, 峰值信噪比为35.68d B, 比保留16个特征值的压缩性能[8]稍差。

Lena原始图像和保留特征值个数为1、2、4、8、16的编解码后重建图像如图1所示。

由图2可以看出, 当保留8个特征值时, 还原图像在视觉效果上和原始图像没有什么分别。

(三) 结论

K-L变换由于变换矩阵过大, 并不能直接应用于普通数字图像的压缩编码。必须经过适当的变形, 才能应用到实际的压缩编码中。

本文采用的K-L变换, 并不是完全的K-L变换, 并不能全部消除变换后系数间的相关性, 各数据块之间相关性没有消除, 数据块内也可能存在极弱的相关性。即使如此, 该方法应用于图像的压缩编码中效果也极其明显。在相同的压缩比时, 图像质量高于JPEG图像, 或在相同的图像质量下, 有更大的压缩比。

K-L变换要根据图像的统计特性来决定它的变换矩阵, 对图像有高度的依赖性, 没有快速算法。并且求协方差矩阵的特征向量的运算量比较大, 因此编码速度比较慢。K-L变换比较适合实时性要求不是很高的应用。

参考文献

[1]张春田, 苏育挺, 张静.数字图像压缩编码[M].北京:清华大学出版社, 2006.

[2]华中理工大学数学系.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[3]求是科技.Visual C++音视频编解码技术及实践[M].北京:人民邮电出版社, 2006.

[4]樊昌信, 徐饼祥, 吴成柯, 等.通信原理 (第五版) [M].北京:国防工业出版社, 2001.

K-L变换算法 篇2

关键词： 图像复原； LucyRichardson算法； 小波变换

中图分类号： TN 911.73文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2012.06.006

引言

图像复原又叫图像恢复，就是利用一些客观标准以及图像的某些先验知识，去恢复被退化的原始图像的过程。图像退化的因素有很多，人们根据不同的退化过程提出了许多较为有效率的复原算法，如频域复原算法（经典的逆滤波、维纳滤波），基于贝叶斯分析图像的复原算法[1]，以及目前热门的小波域复原算法[2]。其中（1）经典逆滤波法在有噪声的情况下，复原效果欠佳，维纳滤波法虽然在一定程度上克服了逆滤波法的缺点，但需要较多的有关图像的先验知识；（2）作为基于贝叶斯分析迭代图像复原算法中的代

表LucyRichardson（LR）算法[34]，图像复原效果好且所需先验知识少，但是存在噪声放大的缺点，为了抑制噪声放大的缺点再加上算法本身的迭代性，LR算法往往耗时长；（3）热门的小波域复原算法则利用了小波的多分辨力特性[5]，在变换域的高频和低频部分分别采用不同的复原算法[6]，以达图像复原的目的。

针对LR算法和小波域算法的不足，提出将LR算法和小波域算法结合的图像复原算法（即联合算法），实现了在提高LR算法效率的同时抑制图像的噪声问题。

1图像退化原理简介

图像退化[7]的过程可以简单地描述为：一幅原始图像f（x，y）经过一个退化函数或者退化系统H的作用，再叠以噪声n（x，y），形成退化图像g（x，y）。其空间域的表达式可以表示为

K-L变换算法在工程中的实践 篇3

伴随着输油管线中泄漏的时有发生，泄漏点处的压力会随之下降，这种压力下降会传播到管道首、末两端，这种压力的下降表现在压力波波形图上会有向下的突降。常规的基于负压波法的泄漏检测与定位是通过对首、末两端传感器采集到的压力数据进行分析，捕捉压力波形曲线上的突降拐点，然后进一步判断是泄漏的基础上求得压力降传播到管道首、末两端的时间差来进行泄漏定位。而准确捕捉压力波形曲线上的波形突降拐点是基于负压波法进行泄漏检测与定位的关键问题之一，捕捉波形突降拐点的问题就转化为寻找波形突降段的问题，将检测到的突降段的段起点定为波形突降拐点。由于并非所有的突降都意味着管道中的泄漏，因此需要进一步辨识，在判定突降是泄漏引起的基础上再进行泄漏点的定位，本文就此问题进行深入研究，探索实现管线泄漏准确检测的方法。

2、K-L变换的基本原理[1]

K-L变换 (Karhunen-LoeveTransform) 是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称为霍特林 (Hotelling) 变换。K-L展开式的最初提出是为了将非周期随机过程表示成系数互不相关的正交函数序列。后来的离散K-L变换被广泛应用于模式的特征抽取或维数压缩领域。K-L变换的突出优点是相关性好，是均方误差 (MSE, Mean Square Error) 意义下的最佳变换，它在数据压缩技术和模式识别特征提取中占有重要地位。通过K-L变换，可以实现从高维模式样本的降维，从N维降到M维，从而实现了高维模式样本的特征提取。

本文在基于对压力数据波形进行分段的思想基础上，将压力数据波段分成四种类型，即平稳段、上升段、下降段和平稳下降段，然后对压力数据中的每段进行类别的鉴别。对于本文所接触到的压力数据，可以选择对分段后的压力数据进行直接分类，也可以按提取到的每段的二次特征进行分类。一般泄漏过程会持续几分钟，而按照采样频率为20Hz来计算，一分钟内的数据将包含1200个数据点，这属于高维数据。鉴于此，研究使用基于K-L展开式来对数据波段进行特征提取，从而达到降维和特征提取的目的，再利用提取到的各个波段的二次特征为分类的依据。然后利用最近邻法对特征提取后的波段进行线性分类，以便识别压力波曲线上的各个波段的类别。

3、编程思想

当在对具体的压力数据文件进行检测时，先对压力数据文件进行分段，然后依次检测每个波段的类别，在具体的波段检测中，算法的思想如下：

第1步：加载原始压力数据文件，将压力数据存放到一个向量中，得到压力数据文件长度fileLenㄢ

第2步：数据预处理，对压力数据中值滤波，消除噪声，排除干扰。

第3步：初始化环境变量，如分段长度segLen，移动距离shiftDis等，这里segLen=1000, ShiftDis=500 (这表明前后两个分段有500个数据点是重合的) ，初始化文件位置指示器i，使其指向文件头，即i=lㄢ

第4步：加载训练后的降维矩阵U (即特征提取矩阵U) 和4类波段的均值向量m1、m2、m3、m4ㄢ

第5步：根据文件位置指示器i的值，提取i与i+segLen之间的波段数据，归一化后存放到向量f中，则根据式y=UTf对波段f进行特征提取。

第6步：对提取后的特征y分别求其与m1、m2、m3、m4的距离，根据最近邻判别原则，选出与y距离最小的，则该波段属于该类型波段，若判别该波段属于第1类或第2类，则转第7步，否则该波段属于第3类或第4类，则说明该波段是突降段，带有下降趋势，可能包含泄漏信息，记下该段的起点作为突降拐点，进行下一步处理或报警，处理结束后转下一步。

第7步：对下一波段进行判别，置文件位置指示器i=i+ShiftDis。若i+segLen>fileLen则结束，否则转第5步。

4、应用实例

下图1中为某压力文件中的压力数据所绘制的波形，文件长度fileLen=71000，图2为对图1的压力信号进行中值滤波后的结果。检测时对此滤波后的压力数据文件进行分段、特征提取和波段判别等工作，最终波段分类的结果如图3ㄢ

图3中，对于分段所属的类别用"+"表示，"+"所对应的纵坐标表示该段对应的段的类型，如某"+"对应的纵坐标为1就表示该段被判为第1类。算法中取ShiftDis为500 (即相邻的两段有500个重合点) ，segLen取1000，总分为142段，下降段分别定位到11000和19500处。对比图2和图3可以看出，波段的类型分类结果是正确的，与实际观察结果一致。从而也证实了K-L变换算法在管线压力检测中的适用性。

摘要：本文就K-L变换的基本原理进行研究, 并依据K-L变换的思想进行了编程及现场实践, 结果表明K-L变换算法在管线压力检测中的适用性, 对提高管线的准确检测具有一定的指导意义。

关键词：K-L变换算法,管线检测

参考文献