虚拟法在竞赛辅导中的应用

很多参考书上都提到这样一道题目:

由1 2根电阻均为R的导线组成一立方体网络, 如右图1, 求RA G。

解:A、G之间加上一假想电压 (虚电压) 产生电流I (虚电流) 从A端流入, G端流出, 由对称性可知, A B、A D、A E和C G、F G、H G支路的电流必须都等于I/3, 其它各支路的电流均为I/6。取A G间的任意一条支路来考虑, 如取A E H G支路其两端的总电压降,

所以A、G之间的等效电阻

这里用到的就是典型的虚拟法, 称虚电压法或虚电流法, 因限于篇幅, 下面仅以力学中的例子来说明虚拟法在竞赛辅导中的应用。

1 虚刚体法

例1:半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳A D和A C E悬于同一点A, 并处于平衡 (如右图) , 已知悬点A到球心O的距离为L, 不考虑绳的质量和绳与球的摩擦, 试求悬挂圆球的绳A D与竖直方向A B的夹角。 (第十届全国竞赛题)

[分析与解]:本题中两根细绳只受到沿其轴线向外的拉力, 细绳被张紧了, 细绳的柔性不显了, 从而柔绳亦可当作刚体来处理, 相当于两根可绕A点为轴转动的刚性体, 假若选A点为支点, A D、A C两绳子的张力所产生的力矩就可以不考虑, 只需考虑重球的重量力矩及TC E的力矩即可, 再注意到A D的延长线必过球心O, 有:

2 虚状态法

例2:用一根细线悬挂一根长度为L的细木杆, 置于水桶内水面上方, 如图所示, 当水桶缓慢上提时, 细木杆逐渐浸入水中, 当木杆浸入水中超过一定深度L`时, 木杆开始倾斜, 求L`。已知木杆密度为ρ, 水的密度为ρ0 (第一届全国竞赛题)

[分析与解]本题是求杆开始倾斜的临界值L`, 初看无从下手, 但只要虚拟一个状态即可, 虚拟因偶然的扰动而使杆倾斜一个很小的角度θ, 而处于平衡状态, 受力图如下, 选转动轴过A点, 杆的横截面积为S, 浸入水部分所受的浮力为F, 则:

3 虚质量法:

例3:在质量均匀分布的半径为R的圆形薄板的右半边挖出一个半径为R/2的小圆, 求剩余部分的重心。

[分析与解]设薄板质量面密度为ρ, 剩余部分的重心在C点, 令 阴影部分可虚拟成原来整个圆形薄板与一个质量为“负”的小圆板的合成, 那么假如在C点支起, 薄板处于平衡状态, 是大圆力矩与负质量小圆的力矩相平衡,

得X=R/6亦即剩余部分的重心在圆心O左面R/6处。

4 虚功法

用所谓虚功法, 即是理论力学中“虚功原理”的思想在中学物理中的应用, 只是不牵涉到微积分, 此法运动得当的话, 有些用一般方法去解相当繁琐, 甚至很难解决的题目, 也能轻松地解决。

例4:右图所示A O、O C、A D、B C、B O″、D O″为均匀钢片, 可绕O、A、C、O′、B、D、O″转动。由它们组成如右铰链, A、B、与C、D两端分别用绳连接, 下挂重物M, 若已知钢片A O、C O、B O″、DO″的质量为, A D、BC的质量为2, 问静止时绳子的张力为多大?

[分析与解]:设A B、C D中绳子张力为T, 虚拟绳子因某种原因稍微收缩, 则拉力所做的功 —— (1) 又O′上升△L有话, 那么根据结构对称O″应上升2△L, 故整个系统引起的重力势能的增量为: ——功能原

此题明明是平衡问题, 拉力并没有做功, 但虚拟绳子稍缩, 虚拟O′有一位移, 从而拉力也做了功, 成功地求得了解。只要稍微留意一下, 力学中有相当一些题目可以用虚功法来解, 尤其对一些竞赛练习题, 更显特色, 使人有耳目一新、干脆利落之感, 通过这样的方法介绍, 学生解题的兴趣也大为提高。

5 虚过程法

当物体的真实运动过程比较复杂时, 我们虚拟一个简单的物理过程, 使这虚拟过程与实际过程的始末状态相同, 然后对这虚拟过程进行严密的逻辑推理或根据有关规律求出相应的结果或结论, 这同时也是实际过程的结论。

例5:总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进, 其末节车厢质量为m, 中途脱节, 当司机发现时, 机车已行驶了位移S0, 于是立即停车, 若车受到的阻力与车重成正比, 机车牵引力是恒定的, 求两辆车都停止时, 它们之间距离S′为多少?

[分析与解]本题中若虚拟这样一个过程:就是当末节车厢脱钩时, 机车同时撤去牵引力F, 因为机车和车厢的初速度, 加速度都相同, 故两车将同时停下来, 相互间距离S=0, 现在机车比车厢多运动S′的位移, 就要多克服阻力做功 ,

6 虚实验法

虚拟实验也称得理想实验或思想实验, 整个实验过程全在脑中完成, 不需要任何真实的仪器, 故称“虚实验法”。历史上最著名的就是伽利略的理想斜面实验。这种实验的优点在于能把实际问题抽象化, 排除了各种次要的, 无关的因素影响, 在真正理想化的条件下进行, 在中学课本中也好像出现过。

例6:在某一高度, 以相同的初速度V0同时向各个方向抛出若干个小石块, 求这些小石块在运动过程中所构成的图形。

[分析与解]本题若借用数学中解析几何知识来处理的话, 相当麻烦, 我们可以在脑子中做这样一个实验:假设小球刚被抛出时重力突然消失, 则每个小球将都做速度为V0的匀速直线运动, 各石块将都在半径为V0t的一个球面上, 然后再恢复重力的话, 那么各石块将在原来的匀速直线运动基础上增加一个自由落体运动。所以本题的实际图形是, 在运动过程各石块都在同一个球面上, 只不过这个球面同时在作自由落体运动而已。 (其中球面半径V0t要随时间增大)

虚拟法的应用实际上是相当广泛的, 又如热学中应用它可把变质量转化为定质量、电学中可虚拟一物理模型把不对称的转变成对称结构而求电势, 光学中的虚像实物原理……等等。即使在运用其他方法解题时往往有虚拟法的参与 (如等效法、端值法、对称法、反正法……) 。只不过在那里并非占主导地位而已, 这种“以虚求实”的虚拟法, 确有沟通问题之间的“桥梁”功效, 确是一种好方法。

摘要：在解决复杂问题时, 往往会受一些条件限制和许多因素的制约而陷入困境, 我们常常根据题意而对所给条件、状态、物理量、物理过程或模型进行适当的虚拟, 从而使问题复杂变简单, 无规变有规, 使一些表面上看起来无从着手的题目也“柳暗花明”, 这就是“虚拟法”。

关键词：虚刚体法,虚状态法,虚质量法,虚功法,虚过程法,虚实验法