例析处理椭圆中的最值问题的方法与策略

椭圆中的有关最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目, 是解析几何中具有代表性的、高考常考的题型。它的求解常常涉及到函数、不等式、方程、三角、以及平面几何等方面的知识, 综合性较强, 是高考的一个难点问题。

椭圆中的这些最值问题, 往往可通过回归定义, 结合几何知识, 建立目标函数, 利用函数的性质或不等式知识, 以及观形、设参、转化、代换等途径来解决。

一、椭圆中的常用最值结论

设F1, F2为椭圆的左右焦点, P为椭圆上任意一点, B为短轴的顶点, 则有下面的结论成立:

1、椭圆中过中心的最长弦为长轴长2a, 最短弦为短轴长2b;

2、椭圆中最长的焦点弦为长轴长2a, 最短的焦点弦为通径;

3、椭圆中最长的焦半径为a+c, 最短的焦半径为a-c;

4、椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2的最大值为∠F1BF2, 且S△F1PF2的最大值为bc

二、几何法

若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形的性质来解决。

例1已知点P (1, 2) , F为椭圆的右焦点, 点Q在椭圆上移动, 则的最小值为_______

分析:注意到式中的数值“2”恰为, 则由椭圆第二定义, 即转化为椭圆上的点Q到右准线的距离, 结合平面几何的性质问题就迎刃而解了。

解析:由椭圆方程可知椭圆右准线l:x=8

如图:过点Q作QQ′垂直于直线l于点Q′

由几何性质易知, 当P、Q、Q′在同一条直线上时, 才取得最小值, 此时, 最小值为8-1=7

例2:已知椭圆内有一点A (2, 1) , F为椭圆的左焦点, P是椭圆上一动点, 求的最大值与最小值。

解析:设椭圆的右焦点为F′且F′ (3, 0)

可知, 当P为AF′的延长线与椭圆的交点时, 最大, 最大值为, 当P为AF′的延长线与椭圆的交点时, 最小, 最小值为。故的最大值为, 最小值为

点评:以上两列解决了形如:的最值问题。事实上, 在椭圆中凡涉及到焦点、准线、离心率的问题时, 灵活地利用椭圆的定义, 再结合平面图形的几何性质, 往往能起到化繁为简、柳暗花明的作用。

例3:E、F是椭圆的左右焦点, P是椭圆右准线l上一动点, 求∠EPF的最大值。

解析:如图, 因为当过E、F、P三点的圆与准线l相切时, ∠EPF最大。设以点O1 (0, m) 为圆心, 以为半径的圆O1与直线l相切于点p, 则∠EPF为所求的最大角。联立x2+ (y-m) 2=2+m2与x=2,

由余弦定理可得∠EPF=30°即为所求

三、代数法

若题目的条件和结论难体现一种明确的函数关系, 则可建立起目标函数求其最值。

例4:设实数x、y满足, 求3x+4y的最大值和最小值.

解析1: (三角换元法) 由已知条件联想到三角中的同角平方关系sin2α+cos2α=1。设x=4cosθ, y=3sinθ, θ∈[0, 2π], 则

解析2: (判别式法) 利用直线与椭圆相切时, 截距取最值.

设3x+4y=t, 再代入方程9x2+16y2=144, 整理得18x2-6tx+t2-144=0

由判别式△= (-6t) 2-4×18 (t2-144) =0, 解得t=±

点评:一般地, 对于椭圆上一动点到定直线或定点的距离最值问题, 都是比较有效的方法。比如, 上式条件不变, 将“3x+4y”换成“”求其范围, 就可以看成椭圆一动点 (x, y) 与定点 (3, 4) 连线的斜率问题, 从而转化为三角函数或直线与椭圆相切来处理。

例5:已知椭圆C:的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为。 (1) 求椭圆C的方程;

(2) 设直线l与椭圆C交于A、B两点, 坐标原点O到直线l的距离为, 求△AOB面积的最大值.

解析: (1) 设椭圆的半焦距为c, 依题意

所求椭圆方程为

(2) 设A (x1, y1) , B (x1, y2) (1) 当AB⊥x轴时;

(2) 当AB与X轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=kx+m

点评:在解析几何中, 尤其是解答综合题, 当已知某些点或直线是处在运动变化之中, 这就会引出一些相互制约的量, 它们之间构成函数关系时, 不妨考虑建立目标函数, 然后运用求函数最值的方法 (函数单调性、二次函数、均值不等式、三角换元、导数等) 确定最值。总之, 当我们在处理椭圆中的最值问题时, 要注意观察、分析图形的特征, 将数和形结合起来。这样有利于我们能快速地准确地找到解决问题的有效方法。