方阵问题

方阵问题（精选6篇）

篇1：方阵问题

方阵问题

【知识要点】

1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题 2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8 3.方阵问题的解题思路是：

（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数

每层数÷4＋1＝每边数（每边数－1）×4＝每层数

（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数

（每边数－层数）×层数×4＝总数

【典型题解】

天津市晟嘉培训中心 例1.四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？

分析：方阵中的任何1人，既是其中一排中的人，也是其中一列中的人。去掉一行一列，不管去掉哪一行哪一列，总有1人被去掉了两次，因此，求去掉一行一列去掉多少人，就是求比原来方阵中2行的人数少1人是多少人

解：82115（人）881549（人）答：要去掉15人，还剩49人

例2.菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？

天津市晟嘉培训中心 分析：正方形空心花坛是空心方阵，依题意，四个角上的1盆在横、竖排中各计算了一次。求李师傅共要用多少盆，就是求这个空心方阵的总数，可以4个5盆中减去重复计算的4个1盒 解：541416（盆）

答：李师傅摆这个花坛共要用16盆菊花

例3.某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？ 分析：在三层空心方阵中，外层比中层多8，中层比内层多8，如果中层、内层的人数与外层同样多，需要加上3个8人，这样总人数180就多了83人，平均分成3份，就可求出最外层有多少人，然后求外层每边多少人

解：180833204368（人）684117118（人）

答：这个方阵外层每边有18名学生

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例4.某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？

分析：排成一个实心方阵多7人，增加一行一列后少4人，说明增加一行一列的总人数是74人，就可先求出原来方阵中一排的人数，然后求出抽出学生总数 解：74121025（人）55725732（人）答：共抽出学生32人 【能力训练】

A 卷

1.同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？ 2.同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？

3.小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？

4.一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？

5.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？ 6.同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？ 7.沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。问每边栽多少棵树？

8.一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？

9.一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。增加后共有战士多少人？

10.由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？

B 卷

1.一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？ 2.由252名学生组成一个三层的中空方阵，求最外层共有多少名学生？ 3.有72人排成一个三层的实心方阵，求最外层每边有多少人？

4.用32棵围棋子在棋盘上组成一个两层中空方阵，如果在方阵外再围3层，还需要多少颗围棋子？

天津市晟嘉培训中心 5.小明用棋子摆成一个实心方阵，小刚用13颗棋子使这个方阵增加一行一列，求小明摆的实心方阵共用多少颗棋子？

6.苗圃正中是块石头，外边的树苗形成一个由520棵树苗组成的10层方阵，若移开石头种树苗，这个苗圃一共有多少棵树苗？

7.一个方阵花坛，共5层，最内层有20株花草，这个花坛共有多少株花草？ 8.设计一个团体操表演队形，想排成一个中空方阵，最内层要24人，最外层要48人，这个表演队形一共需要多少人？

9.某班抽出一些学生参加团体操表演，如果排成一个正方形实心方阵就差7人，如果每行每列减少1人，就多4人，这个班共抽出多少人？

10.聪聪用棋子摆空心方阵，最外面一层每边摆20个，共摆了三层，一共用了多少个棋子？

C 卷

1.一个围棋爱好者，用围棋子组成一个正方形实心阵，最外层用白子，共92颗，里面全部用黑子，共多少颗？

2.一个游行方阵，外层每边30人，共10层。中间5层留给20人抬标语，这个方阵共有多少人？

3.团体操表演时，同学们先排成每边16人的实心方阵队形，后来又变成一个四层空心方阵，求这个空心方阵最外层共有多少人？

4.一队战士排成三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又差28人。这队战士共有多少人？

5.某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。这个小学四年级的学生一共有多少人？

6.一个方阵花坛，共20层，最内层有20株花草，这个方阵花坛一共有多少株花草？ 7.红红用棋子摆空心方阵，最外层每边摆20颗棋子，一共摆了5层，一共用了多少颗棋子？

8.某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层每边站了9个同学。若让这个班同学在一条250米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔5米站一人，则站满之后还剩下几人？

9.正方形广场的边界上共插有48面黄旗和红旗。每条边上的棋子数目相同，且每两面红旗间的黄旗数目也相同。如果四个角上都插有红旗，每条边上的红旗比黄 天津市晟嘉培训中心 旗少5面，那么每2面红旗间有多少面黄旗？

10.一个六边形广场的边界上插有336面红旗和黄旗。六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗。已知每条边上黄旗的数目比红旗的2倍还多12面，那么每两面红旗间插有几面黄旗？

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篇2：方阵问题

例

1、远动会上，一些学生排成一个方阵，最外层共56人，这个方阵共有多少人？

例

2、参加团体操表演的同学组成了一个正方形的队列。如果使这个正方形队列减少一行和一列需要减少27人，参加团体操表演的同学有多少人？

例

3、小亮用棋子排成一个四层空心方阵。最外边一层每边有10个棋子。小亮摆这个空心方阵共用了多少个棋子？

例

4、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层有56人，最内层有24人。这对学生共有多少人？

例

5、用160个棋子摆成每边4层的空心方阵，最外层每边有多少个棋子？

巩固练习

1、在一个正方形草坪的四周装彩灯，四个角都装一盏，共装80盏，平均每边装多少盏？

2、小明用棋子排成一个最外层每边6枚的正方形的实心方阵，这个方阵的最外层共有多少枚棋子？这个实心方阵共用了多少枚棋子？

3、参加运动会的同学排成正方形队列进行体操表演，如果这个队列横竖各增加一排，则要补充21个同学。参加体操表演的同学有多少个？

4、在运动会上，同学们组成了一个6层的大型方阵，最外层每边有30人，这个方阵共由多少名同学组成？

5、春节前夕，在广场中心一个雕像的四周，用鲜花摆成了5层的空心方阵，最内层每边摆了16盆，雕像的四周共摆了多少盆鲜花？

篇3：巧用Excel解魔方阵难题

魔方阵是一个非常有趣的数学问题，是指由自然数1—N2 (N为奇数)构成的方阵，其各行、各列，以及对角线元素之和均相等(如下图所示)。魔方阵的数学排列算法很复杂，若不懂得排列规律，很难排出魔方阵。笔者在此介绍一种简单的排列方法，并巧用Excel中的单元格和宏代码的结合将其排列过程动态地呈显出来(速度由用户自己控制)，呈现出来之后可借助Excel中的求和函数对各行、各列进行求和验证。更不可思议的是宏代码只有25行，简练程度胜过任何编程工具。

一、算法简介

先将所有单元格清空，读取阶数N之后把1放入第一行的中间一列，此后依次寻找2到N2这些数放入的位置，基本算法是：下一个数放在前一个数的上一行的下一列(第一行的上一行是最后一行，最后一列的下一列是第一列);如果此位置已被占用(单元格的内容非空)，则将它放在前一个数的下面。

注：任一单元格(H行L列)的地址可表示为Chr (L+64)&H，其中Chr是取字符的函数。

二、用Excel实现的方法

1. 界面设计

启动Excel，通过“视图”菜单打开“窗体”工具栏，在第一行添加一个按钮控件，并在弹出的对话框中单击“新建”按钮，进入宏代码编辑窗口。

2. 录制宏

在宏代码编辑窗口中输入以下代码：

3. 运行

关闭宏代码窗口，进入Excel后先单击任一单元格或按Esc键，以取消按钮的编辑状态;然后单击前面添加的按钮就可运行：在弹出的对话框中先输入要显示的魔方阵的阶数，后输入显示整个魔方阵所用的时间;最后就可看到魔方阵中元素的动态排列过程。感兴趣的读者可借助Excel提供的函数进行求和验证。

4. 说明

如果将宏代码及界面保存成Excel文件，下次打开时将提示：该文件中包含宏，宏可能会携带病毒等信息。自己编写的这段宏是安全的，选择“启用宏”即可。本代码在Excel 2000和Excel 2003中运行通过。

三、结语

随着计算机教育的不断普及，我们感到了现代科技给我们带来的方便。我们平时要不断地学习专研，来改造我们现实生活中的一系列难题。这也是新背景新时代素质教育的要求。现在我国正处在国际大环境的激烈竞争之中，要想在各个方面处于世界的前列，教育应该勇挑重担，而动手动脑又是当前素质教育的重中之重。

摘要：魔方阵是一个非常有趣的数学问题, 是指由自然数1—N2 (N为奇数) 构成的方阵, 其各行、各列, 以及对角线元素之和均相等。本文介绍了一种简单的排列方法, 并巧用Excel中的单元格和宏代码的结合将其排列过程动态地呈显出来。

关键词：Excel,魔方阵难题,巧解

参考文献

[1]朱明.Excel数据透视表应用大全[M].北京:人名邮电出版社, 2009.

[2]李世贤.实用计算机应用[M].北京:人名邮电出版社, 2005.

篇4：《方阵中的数学问题》课堂实录

师：首先请同学们欣赏一段短片，这个队伍是如何排列的，行数和列数有什么关系？

生：行数=列数。

师：像这样行数和列数相等的队伍就叫做方阵。

出示课题：今天就要来研究一下方阵中的数学问题。 师：怎样求这个方阵的总人数呢？

生：小结实心方阵的总数求法。每边人数×每边人数=实心方阵的总人数。

[设计意图：从学生的生活经历引入，找准生活和数学的切入点，拉近数学和生活的距离。]

二、自主探索研究

1.了解空心方阵。

师：哪几行哪几列是最外层呢？请同学们用右边的矩形圈出哪些是最外层的人.。

学生在机器上操作，了解最外层的含义。

（2）学生圈出的如下图形。

（3）机器上中间部分的人物渐渐隐去，呈现空心方阵. （如上图）。

[设计意图：将信息技术作为认知工具与数学课程的整合，有利于呈现数量关系，建立数学模型，]

2.小组自主探究5x5的方阵中最外层人数的计算方法。

师：怎样计算这个方阵最外层的人数呢？我们一起来研究一下。

研究要求：（1）用一個算式表示最外层的人数。

（2）不同的算式请用不同的圈法。

（3）看哪个小组的方法又多又好。

（4）要求自己表述每一种算法与圈法的含义。

师：请同学们在屏幕上圈一圈，画一画，填一填，并把圈法及算法保存在屏幕左侧 ，然后继续寻找其他解决方法，屏幕。

生：电脑上操作。

[设计意图：动手操作在学生的认知过程中是不可缺少的，在圈一圈，画一画，填一填的过程中，加深学生对解决问题方法的感悟为之后建立表象作好铺垫。数与形结合，独立思考与合作研究相结合，运用多种策略解决问题。利用信息技术，动态地呈现学生分析的过程，在直观演示中突破难点。让学生在具体情境中充分动口、动手、动脑，培养了学生的自主学习能力和科学探究精神。]。

3.小组交流。

师：把你的想法和小组同学交流一下。（用语言表述每一种算法与圈法的含义）。

生A： 每边圈5个，有4个5，4个顶点的人数重复了.列式：4*5-4=16。

生B： 每边圈4个，有4个4.列式（5-1）*4=16。

生C： 每边圈3个，有4个4，还有4个顶点的人没数，列式：4*3+4=16。

生D： 先圈2个5，再圈2个3，合起来就是总人数。列式：5*2+3*2=16。

[设计意图：通过生生之间的交流培养学生合作意识使学生从数学问题，升华为思维展示的过程，培养学生的语言表达能力。同时利用信息技术中的监控手段，使听课教师随时监控到学生学习情况。]。

4.班级汇报：展示成果。其他小组补充不同的算法。

师：谁愿意把你的方法展示给同学们看？其他同学要求认真倾听，看自己同别人的想法有不同，再进行补充？。

生汇报方法一：4×5-4=16（人） 师：4×5表示什么？为什么要减4？重复的在哪儿？

生小结算理：每边5人，4边共有20人。4个顶点的人横行数了，竖数行也数了，数了两次，所以要减去数重复的。明确重复的在4个顶点，。

师评价：先直面重复，然后减去重复的部分。

生汇报方法二：（5-1）×4=16（人） 师：为什么减1？减1减去哪儿？

生明确算理：这个人横行数了，竖行就不数了，也就是数头不数尾。（每行（5-1）个人，减1就是把最后的一人减去了，而在竖行里数了.可以看出把16个人平均分成了4份。

师评价：避免了重复，把重复抛开。 生汇报方法三： 4×3+4=16（人） 师：4×3表示什么？为什么加4？（4×3表示什么每行只数中间的3个人，再加上4个顶点的人.）。

师：也是避免重复了。

生汇报方法四： 5×2+3×2=16（人） （ 横行有2个5，竖行有2个3）。

……

师根据学生的回答书写板书。（板书方法一：4×5-4=16（人） 方法二：？？（5-1）×4=16（人） 方法三： 4×3+4=16（人） 方法四： 5×2+3×2=16（人））并对其进行简要评价。

5.优化方法：

师：求最外层有多少人，同学们想出了这么多巧妙的方法，真了不起，这么多方法，你比较一下，在计算方法上有什么共同点？

生：乘4，乘2都是先分组。

师：你最喜欢哪种方法？为什么？

生： 指出分法既没有重复，又分成了完全相等的四部分，算法的好处，并提倡学生在计算中积极使用。

师小结：在解决类似这样问题的时候可以从这些方法中选择，你最喜欢的方法。

三、实践应用：

1.师：方阵问题不光存在队列中，生活中还有呢！你知道在哪吗？老师这里有一条谜语你猜到了就会知道：谁来读一下谜面？

生读：①猜谜语：十九乘十九， 黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。

（打一棋类名称） 师：谁猜到了？

生：围棋。

师：课件出示围棋格子图。问：围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，最外层一共可以摆放多少个棋子？

③生：口答算式及算理。（算式：4×19-4=72（个） （19-1）×4=72（个）？）师板书。

④师：如果改为每边站200人，1000人，一周最少需要多少人？通过观察，你发现了什么相同之处？

⑤生总结规律：每边人数×4-4=方阵最外层的总数（每边人数-1）×4=方阵最外层的总数。

师随着学生的回答板书：

[设计意图：用谜语导入练习，从学生的已有生活经验出发，激发学生的学习兴趣，培养学生良好的兴趣爱好。]

2.师：课件出示： 儿童节就要到，学校为了迎接同学们的节日，举行团体操表演。四年级的学生排成下面的方阵，最外层一共有多少名学生？整个方阵有多少名学生？

生：在方框内完成，并汇报：求确最外层一共有多少名学生是求空心方阵的总数，也就是15×4-4=56（人）； 求整个方阵有多少名学生，是求整个实心方针的总人数也就是15×15=225（人）。

3.乐山之行。

师：本学期我们同学都第一次离开家长，跟着老师和同学到外面度过非常有意义的一周还记得去了哪里吗？（乐山）下面我们就一起回忆一下令人难忘的乐山之行吧！下面有包饺子、勇敢者之路、芭比娃娃、挾豆子4个活动区学生自由选择，进入自己最感兴趣的活动区！ 并完成相应的习题。

师：谁来汇报一下你选择了哪个区？是什么题？怎样做的？。

生汇报：

生1：我选择的是挟豆子，计算方法是8×4-4=28，所以选C。

生2 ：我选择的是包饺子，求确最外层有多少个饺子，算式是（9-1）×4=32（个）； 求一共包多少个饺子， 9×9=81（人）。

生3 ：我选择的是芭比娃娃，第一小组围坐方桌旁，每边坐4人，4个顶点都坐人，求每组有几人？也就是用4×4-4=12（人）。

生4：我选择的是勇敢者之路，算式是 48÷4+1=13 （人）或（48+4）÷4=13（人）。

师追问为什么+1？为什么+4？。

[设计意图：整个练习从现实生活出发提出数学问题，设计学生感兴趣的习题，使数学和生活紧密相连；同时利用信息技术中操作手段，让学生自主选择，独立完成，使数学与信息技术紧密结合，和谐发展。]

四、拓展延伸

1.师：为了美化校园，学校在正五边形的花坛周围摆上漂亮的鲜花.要在五边形的花坛边上摆上花盆，使每边都有5盆花，可以怎样摆放？最少需要几盆花？

生：机器上操作。

师：你先放在哪里？此时每边有几盆？还需放几盆？再口述算式。

生：先放五个顶点的，此时每边2盆，每边还要放3盆。5*3+5=20

2.拓展到曲线情况：

师：老师觉得这种摆法不够美观，我换了一种形式，你能算出我摆了几盆吗？

生：20盆。

师：你为什么算得这样快？

生：我发现摆放的位置变了，但每边的盆数没变，所以总数就没有改变。

[设计意图：借助信息技术手段，让学生独立操作，不但解决了数学问题，更能通过一目了然的对比感受到最简洁的方法，体现数学的简洁性以及数学的美。]

五、总结提升

师：同学们你们能说一说今天我们研究了一个什么问题？你是用什么方法来解决的吗？

生：我们学习了有关方阵中的数学问题，研究了如何求空心方阵最外层的总数，可以用方阵每边人数×4-4 ，或者用（每边人数-1）×4等多种方法求出最外层的总数。

师：其实在我们的生活中还有许多和这问题有关的知识和现象，只要你用心观察和体会，你就会发现数学就在我们身边，数学的美无处不在！。

六、课后延伸

1.学生展示课前收集的生活中的方阵。

师：我们班有几个同学非常想自己收集到的信息展示给同学们看看，下面我们来欣赏一下。

生：演示

2.教师提供博客延伸学生的课外学习。

师：同学们收集得那么美，我都按捺不住了，可由于时间关系，没办法展示出来了。请同学们登陆老师的博客欣赏。

篇5：方阵问题教案

湖南省岳阳市岳阳楼区朝阳小学 高远望

教材版本：人教版义务教育课程标准实验教科书

教学内容：小学数学四年级下册《数学广角》“围棋中的植树问题”。教材分析：

新课标人教版教材专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法，加强学生综合运用知识的能力，逐步提高解决问题的能力。本册教材主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。

这部分内容有三道例题，本堂课学习的是例题3。例3是植树问题的另一种情况——关于一个封闭图形的植树问题。教材中结合学生下围棋的生活情境提供教学素材。教材这里没有给出解决关于封闭图形植树问题的规律，而是用直观的方式来解决问题，体现了不同的学生在数学学习上有不同的发展。教学思路：

现代数学教学观认为数学教学是学生在教师的指导下，在师生共同组成的“共同体”中，利用自己已有的知识和经验（认知结构），主动建构新知识（自己对数学知识的理解），扩大认知结构，学会思考，发展能力，完善人格的活动。

本堂课着重体现“知识在做数学中自主建构，思维在交流互动中提升拓展”。通过学生在练习纸上把自己的想法圈一圈，画一画的学习方式，使每一个学生都能经历数学学习的全过程，让他们结合自己独特的学习体验感受数学知识，建构对数学知识的认识，从而将知识内化为自己的能力。通过小组同桌交流、全班学生互动，学生之间的思维发生碰撞和融合，各汲所长，每位学生既收获自己的方法，又能理解他人的做法。学生深刻体会到解决问题方法的多样性，并在比较和应用的过程中对众多方法进行优化，感受到具体问题具体分析，依据实际情况灵活地选择方法。

数学知识源于生活，本堂课通过具体生动的生活情境激发学生的学习兴趣，拉近数学知识与学生之间的距离，感受数学知识魅力。学生既在生活情境中探讨方阵问题的规律和解决方法，又能将这些方法和思想更灵活地应用到更广阔的生活实际问题中去，进一步提高了学生的创新意识和解决问题的能力。教学目标：

1、在问题情境中自主探讨方阵问题；了解求方阵最层总数的方法；会选择比较简便的方法解决问题。

2、初步培养学生从问题解决中探索规律的意识，提高解决问题的能力。

3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生对数学学习的兴趣。

4、通过小组合作交流，培养学生认真倾听他人意见，乐于与人合作，从不同角度欣赏他人的良好心态。

教学重点：在自主探究、合作交流中理解方阵问题的解决方法，发现其中的规律。教学难点：掌握方阵问题的解决方法，并能灵活地解决实际问题。教具准备：课件，练习纸 教学过程设计：

一、谈话引入，激发兴趣：

2008年里你印象最深刻的一件事是什么? 北京奥运会开幕式上你最难忘的片段是什么？

播放视频：北京2008奥运会开幕式《灿烂文明:文字》,出示相关资料： “北京2008奥运会开幕式《灿烂文明:文字》一段,摆出来一个23×44的方阵。” 引导学生理解23×44的含义，提出问题：你知道这个方阵中一共有多少人吗？。课件演示生活中的方阵，让学生感受数学知识就在自己身边。

二、体验交流，获得方法 课件出示一个漂亮的方阵图。

看到这个方阵，你能提出什么数学问题？

出示问题一：用蓝灯围成一个正方形，四个角上都有一个，每边有8个，一共有（）个蓝灯。

先估一估，有多少个灯。数一数验证一下，对不对呢？ 学生在练习纸上用自己的方法数一数，算一算，画一画。想一想用什么方法数得准，算得快，并把算式写下来。

把你的想法跟你的同桌说一说，互相交流，看看有没有不同的解决问题的方法。指名学生当小老师，汇报自己的方法，在黑板上展示。你们喜欢哪种方法？你认为哪种方法更容易解决问题？ 板书：（每边数—1）×4=一层总数。

问题二：用红灯围成一个正方形，四个角上都有一个，每边有10个，一共有（）个红灯。

学生口答，说说你是怎么想的？你用的那一种方法？ 问题三：绿灯有多少个？要算出绿灯一圈共有多少个需要先知道什么？ 说说你怎么算的。你有什么发现？（相邻两层的总数相差8，相邻两层每边数相差2）

快速口答：“灰灯，黄灯各有多少个？”说说你是怎么想的？

说明：解决问题的方法多种多样，我们可以根据实际情况灵活地选择方法。

三、应用知识，拓展练习

1、我来当老师

学校举行团体操表演。四年级学生排成下面的方阵，最外层每边站了15个人，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 指名板演，说说你是怎么想的？

2、我来当花匠

要在五边形的水池边上摆上花盆，使第一边都有4盆花，可以怎样摆放？最少需要几盆花？

你能试着在练习纸上设计一下吗？看看怎样摆让花盆最少？ 学生独立设计，展示。比较谁的方案摆的花盆最少，为什么？

说明：我们可以运用方阵问题的解题方法来解决更多的问题，做到知识活学活用。

3、我来当士兵 排兵布阵，智退强盗。

讲述故事：在一个正方形城堡上驻有八个兵站。原先，守城的是这样布置的。一天，一群强盗前来攻城。他们先派出几名探子从城堡四周侦查。探子们回来报告，每个方向都有7名士兵。海盗头子一算：城里有共二十八名士兵，不太好对付。明天我把我三十几名手下全叫来再攻不迟。

多蠢的强盗头子啊。城堡里应该有多少名士兵呢？强盗为什么会算错的。同时，守城的侦查兵也打探到了海盗的消息，这可怎么办呢？一个聪明的士兵站出来说：别担心，我让来排兵布阵，一定会吓退强盗的。他们不慌不忙地排兵布阵，作好了准备。第二天，强盗头子带着三十几名手下来到了城墙下，结果，真的被士兵们的阵势吓退了。

你知道士兵们是怎样排兵布阵的吗？

四、回顾总结

篇6：行测方阵问题详细总结

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)

2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2

4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

A.256人 B.250人 C.225人 D.196人(2002年A类真题)

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16(人)

整个方阵共有学生人数：16×16=256(人)。

所以，正确答案为A。

例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?

分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：

去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)÷2=17

方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289(人)

下面几道习题供大家练习：

1.小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：

A.1元 B.2元 C.3元 D.4元(2005年中央真题)

2.某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少?答案：1.C 2.500人

(1)方阵总人(物)数＝最外层每边人(物)数的平方；

(2)方阵最外一层总人(物)数比内一层总人(物)数多8(行数和列数分别大于2)；(3)方阵最外层每边人(物)数＝(方阵最外层总人数÷4)＋1；(4)方阵最外层总人数＝[最外层每边人(物)数－1]×4；(5)去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 【例1】（国家2002A类-

9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1）^2＝（60÷4＋1）^2＝256（人）。【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。A.600人 B.615人 C.625人 D.640人

［答案］C［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)^2＝（96÷4＋1）^2＝625（人）。［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）A． 441 B.400 C.361 D.386 ［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)^2＝（80÷4＋1）^2＝441（人）。【例4】（国家2005一类-

44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

［答案］C［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组： N=4x－4 N=3y-3N=60

y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。

［注释］ 这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。A.576 B.625 C.676 D.2401 ［答案］B［解析］重叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有25^2=625人。【例7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（）A.128棵 B.132棵 C.153棵 D.157棵

［答案］C［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。边长为48米，每横行相距3米，共有48÷3+1=17行；边长为48米，每横行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可种树苗153棵。

【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形阵共有（）人。A.196 B.225 C.256 D.289 ［答案］B［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行，（x+10）列。x^2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，选择B。【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2008盆花围成了一个两层的空心方阵。则外层有（）盆花。A.251 B.253 C.1000 D.1008［答案］D ［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：m-n=8。则： m-n=8 m+n=2008m=1008 n=1000 ［解二］设该方阵外层每边x盆，根据“逆向法思维”：x^2-（x-4）^2=2008x=253，外层每边有253盆，根据公式：外层共有253×4-4=1008。【例10】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。A.296人 B.308人 C.324人 D.348人

［答案］B［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44×2－68＝20人（成等差数列）。因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44×7＝308。

［解二］中间一层共44人，总人数是＝44×层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。

【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有（）人。A.120 B.144 C.176 D.194［答案］B

［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式： 4x-4=48 4y-4=24x=13 y=7 因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维”：共有132-52=144人。［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是36的倍数，直接锁定B。

［解三］根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。

【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵。现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人。A.160 B.1296 C.640 D.1936 ［答案］C［解析］设调整前最外层每边x人，调整后每边y人，根据“逆向法思维”： x-y=16 x^2-（x-8）^2=y^2-（y-16）^2x=44 y=28 因此：44^2-（44-8）^2=640（人）。容斥原理解题技巧

在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生带来一定的帮助。

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B

快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有()

A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A、15B、25C、35D、40【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。（曾凡稳）

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下： A∪B=A+B－A∩B 快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有()

【答案】C【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15 B、25 C、35 D、40【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

文氏图如下：

其中各区域含义分别为：1区域代表只属于A集合；2区域代表只属于A和B；3区域代表只属于B集合；4区域代表只属于B和C；5区域代表三集合公共部分；6区域代表只属于A和C；7区域代表只属于C集合；2+5区域代表A∩B； 4+5区域代表B∩C；5+6区域代表A∩C；1+2+5+6区域代表属于A集合；3+2+5+4区域代表属于B集合；4+5+6+7区域代表属于C集合。

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备

只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字，得下图：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上术含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人 B.28人 C.30人 D.36人【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字，得下图：

根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。容斥原理题目巧解

容斥原理是公务员考试中较难的一类题目，一般的解题思路有两种：

1、公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；

2、文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。

一般而言，能够直接代入公式的题目较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。如果大家能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。

【例题】某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？

A.15 B.16 C.17 D.18

对于这个题目，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：

(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，从而得到x+y+z=15，即为所求。

该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：

【解法1】文氏图与三集合标准型公式相结合。

三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。“AB+AC+BC”中包含三个ABC，因此要减去两个，即AB+AC+BC-2ABC=20，即为至少选两个小组的人数，因此，得到只参加一个小组的人数=总人数(AUBUC=35)减去至少选两个小组的人数(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。

该方法将文氏图与三集合标准型公式结合使用，避免了求解不必要要素的过程，这需要各位考生对于基本公式和文氏图各部分的意义有深刻理解。对于这道题目而言，还有更加快速的解题方法，如下：

【解法2】通过读题，我们可以发现，英语小组、语文小组、数学小组在题目中都是同时出现，即这三个小组是并列关系，对于这三个小组的人数，即17、30、13三个数字只能用加法处理，等于60。这样原题五个数字(35、17、30、13、5)就变为三个(35、60、5)，而这三个数字之间只能做加减，而不能做乘除，因此，得到结果的尾数必为“0”或“5”。

在得到这个结论之后，我们观察一下选项，发现只有A选项尾数为5，因此，本题答案确定无疑，就是A。本题成功实现“秒杀”。

关于容斥原理的考试题目千变万化，但是无论怎样变化都离不开基本公式和文氏图，考生在平时练习的时候一定要熟练掌握这两种方法，从而提高做题速度与正确率，并争取针对个性化的题目产生巧妙的方法。山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

一、知识点

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，„„，9}，其中0，1，2，„9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理(包含与排除原理)：

(用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3)原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起);第二步：减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行： 第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;第三步：再加上∣A∩B∩C∣。即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例题分析：

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

解1：A={2，4，6，„20}，共有10个元素，即|A|=10 B={3，6，9，„18}，共有6个元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地用图示法解答

如图，其中，圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体，其中阴影部分的数6，12，18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?

解：设A={数学成绩90分以上的学生} B={语文成绩90分以上的学生}

那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

解：设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)

例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个?

分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

解：设A={100以内的5的倍数} B={100以内的7的倍数} A∩B={100以内的35的倍数} A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数} 则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2 由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68(个)

点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。

例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?

解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-(4+5+7)+2 =54(人)山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5(人)。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3(人)。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为;

14+20+8+2+5+3+2=54(人)

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影?有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影(但不喜欢看戏剧)?(假定每人至少喜欢一项)

解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分(如图)这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内(图中阴影部分)，其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数(注意，有的部分的人数要经过简单的计算)其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即

16+4+6+(40-χ)+(36-χ)+12=100解得 χ=14只喜欢看电影的人数为36-14=22

解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18(这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种)，|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得：100=58+38+52-(18+16+х+12)+12解得：х=14∴36-14=22所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。

点评：解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出(未知部分设为х)各个部分(本题是7部分)的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。

例

7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?

解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68

例

8、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分)，丁一只做对了(1)、(2)、(3)三题得了16分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题，得了25分;王水只做对了(3)、(4)、(5)三题，得了28分，张灿只做对了(1)、(2)、(5)三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分?

解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是120÷3=40。所以李明得40分。

例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?