函数单调性与导数教案

函数单调性与导数教案（精选8篇）

篇1：函数单调性与导数教案

课后反思

1.本节课的亮点：

教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广到一般这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想方法,培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

2.不足之处：

教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧； 在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时，列举的函数有点多；学生对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练。

3.改进的思路：

①选取函数时应简单，易懂

②在引导学生提问时，问题要简明扼要 ③多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力。

篇2：函数单调性与导数教案

恩平一中谭青华

本节课郑凯老师运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动。成功的地激发了学生的学习兴趣。下面我谈谈我的几点看法：

一、教学目标

本节课的教学目标简明扼要、具体，便于实施，便于检测，注重数学思想、能力的培养、兼顾情感态度与价值观的教育。广度和深度都符合数学课程标准和教材的要求，符合学生的实际情况。教师准备的也比较充分，清楚的知道学生应该理解什么、掌握什么、学会什么。本堂课很好的完成了预定的教学目标。

二、教学内容

执教者因材施教，充分考虑到该班学生的实际情况，把本节课分为两个课时进行。教学内容紧紧围绕教学目标展开。准确的确定了本节课的教学重、难点：探究函数的单调性与导数的关系，并在处理时，分为三个层次进行，层层递进，化难为易。学生易于理解、掌握。很好的处理了新旧知识的结合点，抓住知识的生长点，讲授具有启发性，层次详略得当。对于课后作业的布置分必做题、选做题、思考题。很好的照顾到了不同知识水平的学生，鼓励学生不断努力、挑战自我，体现了分层教学思想。

三、教学方法

教师本堂课主要采用启发式、探究式的教学方法，并对学生进行学法的指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习，从而达到会学的目的。让学生参与尝试、猜想、试验、探索与发展的过程，培养学生良好的思维习惯与思维品质。充分发挥教师的主导作用，学生的体作用。最大限度地提高了课堂效率。主要体现在以下几个方面：

1、情境引入：引发学生对函数的单调性与导数关系的思考。

2、探究关系：引导学生从图像、切线、定义三个不同的角度去探究。

3、规律总结、课堂总结：都先是学生思考回答，老师再补充完善，体现教师主导、学生的主体作用。

四、教学基本功

教师的教态自然、评议清晰富有启发性，在语言表达方面还可以简练些，使学生感到我们的老师的语言不是罗嗦。使我们的学生在我们的语言中感觉到学习的乐趣、领受知识、训练思维。板书设计合理；组织教学，驾驭课堂的能力较强。

五、教学效果

本堂课在规定的时间内完成了教学任务，知识的传授、能力的培养、思想与道德教育等方面都实现了教学目标的要求；从学生的情况来看学生注意力集中、积极参与本堂课的学习，课堂气氛非常活跃。教学效果良好。

篇3：导数与函数的单调性

一、导数与函数的单调性的关系

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性.下面以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y=f (x)在某个区间内可导.

（一）f′（x）>0与f (x）为增函数的关系.

f′(x)>0能推出f (x)为增函数，反之则不一定.如函数f (x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)>0是f (x)为增函数的充分不必要条件.

（二）f′（x）≠0时，f′（x）>0与f (x）为增函数的关系.

若将f′(x)=0的根作为分界点，因为规定f′(x)≠0，即抠去了分界点，此时f (x)为增函数，就一定有f′(x)>0.∴当f′(x)≠0时，f′(x)>0是f (x)为增函数的充分必要条件.

（三）f′（x）≥0与f (x）为增函数的关系.

f (x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，反之则不一定，因为f′(x)≥0，即为f′(x)>0或f′(x)=0.当函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f (x)为常数，函数不具有单调性.∴f′(x)≥0是f (x)为增函数的必要不充分条件.

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性.因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题.但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理.

对于f′(x)<0与函数单调递减关系，仿照上面的三点即可得到答案.

二、单调区间的求解过程

已知函数y=f (x)，其单调区间的求解过程如下：

(1)分析函数y=f (x)的定义域;

(2)求函数y=f (x)的导数y′=f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间;

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间.

三、函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数f (x)在(a, b)单调递增，在(b, c)(其中a

四、应用举例

例：求下列函数单调区间

注意:此题的单调递增区间不能表示为

(2) ∵∴当x≠0时都有y′>0,

令y′>0，解得x<-k或x>k;

篇4：第2讲 函数单调性与最值

函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时是一个重要手段，函数最值在处理函数综合问题用途很多. 高考中经常以一道小题直接考查，就是5分，当然，还会在综合题中用到相关知识，那样，分值就更大.

命题特点

结合这几年高考题，函数单调性主要有如下一些命题特点：（1）考查求函数单调性和最值的基本方法. （2）利用函数的单调性求单调区间. （3）利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. （4）函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题. （5）结合具体函数单调性求最值.多以选择填空题形式出现，也有与最值，参数范围等结合在解答题中出现.下面以例题来体现高考特点.

1. 单调性的判断是基础

例1 下列函数中，在[0，+∞]上为增函数的是 （ ）

A. [y=lnx+2] B. [y=-x+1]

C. [y=12x] D. [y=x+1x]

解析 直接利用基本初等函数和复合函数单调性来判断.

答案 A

例2 求函数[y=log12（x2-3x+2）]的单调区间.

解析 令[u=x2-3x+2]，则原函数可以看作[y=log12u]与[u=x2-3x+2]的复合函数.

令[u=x2-3x+2>0]，则[x<1]或[x>2].

∴函数[y=log12（x2-3x+2）]的定义域为（-∞，1）∪（2，+∞）.

又[u=x2-3x+2]的对称轴[x=32]，且开口向上.

∴[u=x2-3x+2]在（-∞，1）上是单调减函数，

在（2，+∞）上是单调增函数.

而[y=logu]在（0，+∞）上是单调减函数，

∴[y=log12（x2-3x+2）]的单调减区间为（2，+∞），

单调增区间为（-∞，1）.

点拨 复合函数单调性必须注意两点：（1）定义域优先；（2）分清内外层函数的结构及各自的单调性. 要熟悉基本初等函数性质，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，还要注意优先考虑定义域.

2. 利用单调性求参数范围

例3 若函数[fx=x2+ax+1x]在[12，+∞]上是增函数，则[a]的取值范围是（ ）

A. [[-1，0]] B. [[-1，+∞）]

C. [[0，3]] D. [[3，+∞）]

解析 通过求导转化为导数非负恒成立，再分离变量求解.

答案 D

例4 已知函数[f（x）=logax （x≥1），-ax2+（2a+1）x-3（x<1），][（a>0]且[a≠1）]，如果对任意[x1≠x2]，都有[（x1-x2）[f（x1）][-f（x2）]>0]成立， 则[a]的取值范围是 .

解析 分段函数的单调性要注意每段单调和端点处比较，即[loga1>-a+（2a+1）-3].

答案 [1

点拨 分段函数是高考重点，另外本题还给出了单调函数的其它表示形式[（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0].导数与单调性结合是高考热点，尤其是和求参数范围结合的题目更是高考“宠儿”，分离参数这一常见方法更应重视.

3. 与不等式结合是常见题型

例5 已知偶函数[f（x）]在区间[[0，+∞）]上单调递增，则满足[f（2x-1）

解析 （1）当[x>1]时.由[f（x）]在[[0，+∞）]上增函数及[f（2x-1）

解得，[x<23]，所以[12

（2）当[x<12]时.由偶函数[f（x）]在[[0，+∞）]上是增函数知，[f（x）]在[（-∞，0）]上是减函数，

所以[f（2x-1）-13].

解得[x>13]，故[13

综上，[x]的范围是[（13，12）∪（12，23）]

答案 [（13，12）∪（12，23）]

点拨 本题将原不等式等价为[|2x-1|<13]，更为方便.函数型不等式通常就是利用单调性去掉函数符号，转化为一般不等式求解.

4. 函数单调性与最值

例6 已知函数[f（x）=x2+2x+ax]，[x∈][1，+∞）.

（1）当[a=12]时，求[f（x）]的最小值；

（2）若对任意[x∈[1，+∞），f（x）>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解析 （1）当[a=12]时，[f（x）=x+12x+2].

设[x1>x2≥1]，则[f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+12x1+12x2]

=[（x1-x2） ·2x1x2-12x1x2].

∵[x1>x2≥1]，

∴[f（x1）>f（x2）]，

∴[f（x）]在[1，+∞）上为增函数.

∴[f（x）≥f（1）=72]，即[f（x）]的最小值为[72].

（2） ∵[f（x）>0]在[x∈[1，+∞）]上恒成立，

即[x2+2x+a>0]在[1，+∞）上恒成立，

∴[a>[-（x2+2x）]max].

∵[t（x）=-（x2+2x）]在[1，+∞）上为减函数，

∴[t（x）max=t（1）=-]3， ∴[a>-]3.

nlc202309032056

∴[f（x1-x2）<0]，即[f（x1）

∴[f（x）]在[R]上为减函数.

点拨 求函数最值通常利用函数单调性求，在处理时必须先判断函数单调性，再确定最值点.函数最值和值域是高中考查重点，利用单调性求最值是重要方法，遇到这类问题，可以先判断一下函数单调性，再直接求其最值.

备考指南

（1）函数单调性的定义与判断是解决单调性的基础，要求熟练掌握基本初等函数的单调性、复合函数单调性判别方法.

（2）重点理解单调性的意义，注意单调函数的等价性，即函数[f（x）]单调增有[f（x1）>f（x2）?x1>x2]，[f（x）]单调减就有[f（x1）>f（x2）?x1

（3）会利用转化与化归思想解决恒成立问题，注意分离变量等常见处理方法.

限时训练

1. 已知函数[f（x）=loga|x|]在（0，+∞）上单调递增， 则 （ ）

A. [f（3）

C. [f（-2）

2. 下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数是 （ ）

A. [y=x2] B. [y=|x|+1]

C. [y=-lg|x|] D. [y=2|x|]

3. 函数[f（x）=ln（4+3x-x2）]的单调递减区间是 （ ）

A. （-∞， [32]] B. [[32]，+∞）

C. （-1，[32]] D. [[32]，4）

4. 设函数[fx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0，][g（x）=x2?f（x-1）]，则函数[g（x）]的递减区间是 （ ）

A. （-∞，0] B. [0，1）

C. [1，+∞） D. [-1，0]

5. 若函数[f（x）=loga（x+1）（a>0，a≠1）]的定义域和值域都是[0，1]，则[a]等于 （ ）

A. [13] B. [2]

C. [22] D. 2

6. 定义在[R]上的函数[f（x）]在区间（-∞，2）上是增函数，且[f（x+2）]的图象关于[x=0]对称，则 （ ）

A. [f（-1）f（3）]

C. [f（-1）=f（3）] D. [f（0）=f（3）]

7. 设函数[y=f（x）]在（-∞，+∞）上有定义，对于给定的正数[K]，定义函数[fK（x）=f（x），f（x）≤K，K，f（x）>K，]取函数[f（x）=2-|x|]，当[K=12]时，函数[fK（x）]的单调递增区间为 （ ）

A. （-∞，0） B. （0，+∞）

C. （-∞，-1） D. （1，+∞）

8. 已知函数[f（x）]的导函数为[f（x）=4+3cosx，][x∈（-1，1）]，且[f（0）=0]，如果[f（1-a）+f（1-a2）<0]，则实数[a]的取值范围是 （ ）

A. （1，[2]） B. （0，1）

C. （-∞，1）∪（2，+∞） D. （-∞，-2）∪（1，+∞）

9. 已知函数[f（x）=log2x-2log2（x+c）]，[c>0]. 若对任意的[x∈（0，+∞）]，都有[f（x）]，则[c]的取值范围是 （ ）

A. [（0，14]] B. [[14，+∞）]

C. [（0，18]] D. [[18，+∞）]

10. 已知函数[fx=x2-2a+2x+a2，gx=-x2][+2a-2x-a2+8.]设[H1x=maxfx， gx， H2x=][minfx，gx，maxp，q]表示[p，q]中的较大值，[minp，q]表示[p，q]中的较小值，记[H1x]得最小值为[A，][H2x]得最小值为[B]，则 （ ）

A. [a2-2a-16] B. [a2+2a-16]

C. [-16] D. [16]

11. 函数[f（x）=2xx+1]在[1，2]上的最大值和最小值分别是 .

12. 设函数[y=x2-2x，x∈[-2，a]]，若函数的最小值为[g（a）]，则[g（a）]= .

13. 已知[t]为常数，函数[y=|x2-2x-t|]在区间[0，3]上的最大值为2，则[t=] .

14. 已知函数[f（x）=e-x-2，x≤0，2ax-1，x>0，][a]是常数且[a>0]. 对于下列命题：①函数[f（x）]的最小值是-1；②函数[f（x）]在[R]上是单调函数；③若[f（x）>0]在[12，+∞]上恒成立，则[a]的取值范围是[a>]1；④对任意的[x1<0，x2<0]且[x1≠x2]，恒有[f（x1+x22）

15. 已知[f（x）=xx-a（x≠a）].

（1）若[a=-2]，试证[f（x）]在（-∞，-2）上单调递增；

（2）若[a>0]且[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求[a]的取值范围.

16. 已知函数[f（x）]在（-1，1）上有定义，[f12]=-1，当且仅当[0

（1）[f（x）]为奇函数；

（2）[f（x）]在（-1，1）上单调递减.

17. 函数[f（x）=x2+x-14].

（1）若定义域为[0，3]，求[f（x）]的值域；

（2）若[f（x）]的值域为[-12，116]，且定义域为[[a，b]]，求[b-a]的最大值.

18. 定义：已知函数[f（x）]在[[m，n]（m

（1）判断函数[f（x）=x2-2x+2]在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由.

（2）若[f（x）=x2-ax+2]在[[a，a+1]]上具有“DK”性质，求[a]的取值范围.

篇5：函数单调性与奇偶性教案

教学目标

1。了解函数的单调性和奇偶性的概念，把握有关证实和判定的基本方法。

(1)了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念。

(2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性。

(3)能借助图象判定一些函数的单调性，能利用定义证实某些函数的单调性;能用定义判定某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程。

2。通过函数单调性的证实，提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从非凡到一般的数学思想。

3。通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度。

教学建议

一、知识结构

(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系。

(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像。

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与熟悉。教学的.难点是领悟函数单调性， 奇偶性的本质，把握单调性的证实。

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证实是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证实，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证实自然就是教学中的难点。

三、教法建议

(1)函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，，二次函数。反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性熟悉出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢。如可以设计这样的问题：图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中对一些关键的词语(某个区间，任意，都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中，将概念的形成与熟悉结合起来。

(2)函数单调性证实的步骤是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，非凡是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律。

篇6：函数单调性与导数教案

教学过程： 【引 例】

1、确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

322、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

（2）（多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x－6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x－6x+7的图象吗？

1、研究二次函数yx4x3的图象；（1）（2）（3）（4）（5）学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数yx的图象；（几何画板演示）

（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

∴y=x－9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 32.∴y=x－9x+24x的单调减区间是(2，4)322(2)解：y′=(3x－x)′=3－3x=－3(x－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.3∴y=3x－x的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.3∴y=3x－x的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】

32对于函数f(x)=2x－6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2x76x在区间（0，2）内有几个解？ 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

篇7：利用导数求函数的单调性解读

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数． 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

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A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

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篇8：利用导数解决函数的单调性问题

热点题型一:直接利用导数研究函数的单调性

【例1】设函数f (x) =ln (2x+3) +x2, 求f (x) 的单调区间.

思维拓展:已知函数f (x) =ln (2x+3) +x2, 求f (x) 在上的极值与最值.

热点题型二:利用导数求含参函数的单调性

【例2】已知函数f (x) =ax-lnx, x∈ (0, e], 判断函数f (x) 的单调性.

热点题型三:已知函数的单调性, 求参数的范围

【例3】已知向量a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) , 若f (x) =a·b在区间 (-1, 1) 上是增函数, 求r的取值范围.

解析:f (x) =x2 (1-x) +t (1+x) =-x3+x2+tx+t, 则f′ (x) =-3x2+2x+t.

若函数f (x) =a·b在区间 (-1, 1) 上是增函数, 则f′ (x) ≥0在区间 (-1, 1) 上恒成立, 即t≥3x2-2x在区间 (-1, 1) 上恒成立.记g (x) =3x2-2x, 则t≥g (x) 在区间 (-1, 1) 上恒成立, 等价于t≥g (x) max成立.由于二次函数g (x) =3x2-2x的对称轴是x=31, 所以g (x) 在区间[-1, 1]上的最大值为g (-1) =5, 因此t≥5.

思维拓展1:已知向量a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) , 若f (x) =a·b在区间 (-1, 1) 上是单调函数, 求t的取值范围.

解析:f (x) =a·b在区间 (-1, 1) 上是单调函数, 则f′ (x) ≥0或f′ (x) ≤0恒成立.

点评:已知函数在某区间上单调, 即f′ (0) ≥0或f′ (x) ≤0恒成立, 其中f′ (x) 不恒为0.

思维拓展2:已知向量a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) , 若f (x) =a·b在R上存在单调递增区间, 求t的取值范围.

解析:f (x) =a·b在R上存在单调递增区间, 转化为f′ (x) >0在R上有解, 即-3x2+2x+t>0在R上有解, 即t>3x2-2x有解.