椭圆及其标准方程免费

2024-07-01

椭圆及其标准方程免费（精选8篇）

篇1：椭圆及其标准方程免费

椭圆及其标准方程教案

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考

4、布置作业：课本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

篇2：椭圆及其标准方程免费

湖北郧阳中学

梁学文

教学目标:

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程

培养学生运用坐标解决集合问题的能力

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律和用规律解决问题的能力教学重点：

椭圆的定义及标准方程的推导教学难点：

椭圆定义的理解教学方法;探索法教具准备：

细绳一根教学过程：

课前引入部分：

一、明确教学目标：告诉大家开始新的章节：圆锥曲线，思考：为什么这三类曲线叫做圆锥曲线？

二、教具演示：在黑板用细绳演示到定点距离和等于定长的点的轨迹，请同学帮忙。分三类：绳长小于两点距；等于；大于。

三、探索总结：师生共同归纳得到：绳长等于点距，得到线段；绳长大于点距，得到椭圆；绳长小于点距，不能得到图形。

定义及方程推导：

一、定义引导：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有粉笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．即两定点的距离。

二、方程推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结 1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

篇3：椭圆及其标准方程教学设计

关注学生的发展, 构建有效课堂。站在学科的高度, 从整体和联系的观点, 渗透新课标理念设计本节课, 根据高中数学教学实际及本节课的内容特点, 本课时的教学先从日常生活中的实例入手, 返璞归真, 展现了“数学源于生活, 又高于生活”的本色。教学中, 教师要树立正确的教学观, 处理好教学中预设与生成的关系, 体现了数学逻辑推理的高度抽象性, 让学生初步感知数学的简约与奇异美, 实现学生主动学习数学的美好愿望。

二、学情分析

根据学生已掌握了“圆及其标准方程”的知识, 针对高二学生认知特点和接受能力及思维发展规律的特点, 本课先介绍”椭圆及其标准方程”的内容, 再给出除课本上推导椭圆标准方程的方法外。另探究了三种方法, 最后引出椭圆的第二、三种定义, 使学生可以达到“跳一跳摘到桃子”的良好教学效果, 培养学生的探究能力, 防止只重结果而轻过程的现象发生。经调查、研究此设计是合理可行的。

三、教学目标

(一) 知识与技能的目标

1. 掌握椭圆的画法和定义;2.会推导椭圆的标准方程;3.正确理解椭圆的标准方程。

(二) 过程与方法的目标

通过本节课的教学, 渗透类比化归等重要的数学思想, 有助于加强学生的数形结合意识, 有益于提高学生的逻辑推理与分析探究能力。

(三) 情感态度价值观目标

通过由圆类比椭圆, 动手操作, 让学生亲自体验数学的简约, 感受数学的和谐, 奇异美, 有利于培养学生用联系和发展的辩证观点看待问题, 有利于激发学生“学好数学”的情趣, 增强“玩好数学”的信心, 培养学生发现规律, 寻求规律, 认识规律并利用规律认识事物运动的本质。

四、教学重点

椭圆的定义及其标准方程。

五、教学难点

椭圆的标准方程的推导以及比较复杂的根式的化简。椭圆是圆及其标准方程的延伸, 又是求曲线的方程应用, 对双曲线、抛物线及其标准方程具有引领作用。因而本节课起承上启下的重要作用, 所以务必要做好过渡。

六、教学方法

讲授法与探究法相结合

七、教具准备

多媒体课件两个: (一) 第八章章头图:先做两个圆锥 (顶对顶, 上面的圆锥是倒立的, 且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线) , 然后用于圆锥曲线成不同角度的平面截圆锥, 得到椭圆、双曲线、抛物线等, 给学生一个直观的印象, 是学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识。 (二) 倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线、油罐车横断面轮廓、手表的表面、眼镜片等。同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条 (约10cm长, 两端各结一个套) , 图钉两个。教师准备一个无弹性的细绳一条 (约50cm, 两边各结一个套) 图钉两个, 一人准备一张硬投影片一张。

八、教学过程

(一) 创设问题情境引入新课

1. 观察课件。

举例:油罐车横断面的轮廓、眼镜片等。上述例子是从学生刻印在脑海中的原有直观材料出发, 得到“椭圆”的直观定义。下面再看一下圆锥形水杯的水面界线是椭圆, 可数学化地提出问题, 即:为什么这些边界线是椭圆?

2. 我们以前学过圆, 请同学们回忆一下圆的定义。

学生1:“平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。”教师:“怎么画圆的呢?”同学们画画。学生动手画圆 (用预先准备好的材料) 。教师:“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹。”说成“圆是动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。”行不行?学生: (齐声) “行。”教师:“现在把这根绳子的两端分别系在两颗图顶上, 并分开固定在两个点上, 并保持拉紧状态移动铅笔, 请你们再画一画会是什么样的曲线?”学生:椭圆。教师:“看椭圆正是一个压扁的圆。”演示课件:花卉的瓣, 倒影在水面上的拱桥, 地球的运功轨迹等, 请同学们画你们日常生活中见到椭圆的实际例子。

数学教学的本质是:学生在教师的引导下能动地建构数学的认知结构, 并使自己得到全面的发展, 动手画图及其操作过程中的整个视角意象。这样可以促进学生良好的数学认知结构的形成, 满足后续学习需要。

(二) 定义椭圆写其方程, 体会数学的严谨、简洁

据上述画椭圆的过程, 同学们自己创造“椭圆”的定义, 出现了以下两种情形。

情形1:与两定点F1、F2距离的和等于常数 (=|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆。

情形2:空间内与两定点距离和等于常数 (>|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆。

对情形1的否定, 学生很容易想到“线段F1F2上的任意点的集合”的特例。对情形2可以联想到椭球面, 从而经修改上述两种情形, 从而准确给出椭圆的定义。定义:椭圆是平面上到两定点距离之和为常数 (>|F1F2|) 的点的轨迹, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。教师黑板板书:请同学们思考为什么上面的常数大于|F1F2|? (答略)

师生共同总结:设椭圆上的任意点为P记, |PF1|+|PF2|=2a, |F1F2|=2c则当2a>2c时, 轨迹是椭圆;当2a=2c时, 轨迹是一条线段;当2a<2c时, 无轨迹;当c=0时, 轨迹是圆。

拓展思考:大小与椭圆的扁圆程度有何关系? (分当a不变, 变c和当c不变, 改变a……)

回忆圆的标准方程, 如何给出椭圆的标准方程, 先引导同学们看如何建系, 求其方程, 可能出现如下三种情况。1:以F1为原点, F1F2为x轴, 过F1垂直于F1F2的直线为y轴。2:以F1F2为x轴, 线段F1F2的中垂线为y轴。3:以F2为原点, F1F2为x轴, 过F2垂直于的直线为y轴。

三种情况哪种优呢?请同学们感觉一下, 大多数同学认为第三种好, 能体现数学的对称美, 猜得好, 下面以第二种情形求其方程, 看到底方程美在哪里?写出点P的集合, (按求曲线方程的一般步骤求解) , 设P (x, y) 是椭圆上任意一点, 它的集合是M=|PF1|+|PF2|=2a写出方程将这个方程移项后两边平方, 得整理得上式两边再平方, 得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2-c2) x2+a2y2=a2 (a2-c2) 由椭圆的定义可知, 2a>2c, 即a>c, 所以a2-c2>0令a2-c2=b2, 其中b>0, 代入上式, 得b2x2+a2y2=a2b2, 两边同除以a2b2, 得这个方程叫做椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上, 焦点是F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) , 这里c2=a2-b2, 如果使点F1, F2在y轴上, 点F1, F2的坐标分别为F1 (0, -c) , F2 (0, c) , a, b的意义同上, 那么所得方程变为这个方程也是椭圆的标准方程。下面请同学们思考:a2-c2=b2的几何意义, 并画图说明。 (略)

九、作业布置

课本120页习题8.3 1, 2, 3, 4【板书设计】 (略)

【教学反思】

篇4：《椭圆及其标准方程》说课设计

关键词：解决问题；引导；巩固

教材内容的分析

1．教材内容

本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.

2. 教材的地位及作用

“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.

3. 教学的重、难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．

难点：椭圆的标准方程的推导．

因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．

疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．

教材目标的确定

1. 教情、学情分析

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.

2. 教学目标

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.

知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.

能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.

情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.

教法与学法

1. 教法

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.

2. 学法指导

在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.

教学过程的设计

1. 创设情境，复习引入

以“嫦娥奔月”引入

2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？

图1

设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.

2. 动手实验，归纳概念

教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．

设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.

3. 启发引导，推导方程

由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.

（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标

引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.

（2）写出动点M满足的集合

根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.

（3）化简

带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.

（4）归纳小结

这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.

设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

拓展引申，对比分析

引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.

设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.

运用拓展、提高能力

例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.

例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.

（1）+=1；

（2）+=1；

（3）3x2+4y2=1；

（4）x2+=1.

例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.

例2求适合下列条件的椭圆标准方程.

（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.

例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.

课堂练习

（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；

（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；

（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.

回顾反思，提升经验

总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.

（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；

（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；

（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；

（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.

说课总结

篇5：椭圆及其标准方程教学反思

椭圆及其标准方程这节分为两课时，第一课时主要讲解椭圆定义及标准方程的推导；第二课时主要介绍椭圆定义及其标准方程的应用。

在第一课时中我从书中的小实验出发给学生演示并重点讲解动点在运动的过程中始终保持不变的几何特征即到两个定点的距离之和为定值（绳长）并通过改变两个定点的距离让学生直观体会椭圆的圆扁度与定点距离的关系，并提出思考若绳长和定点的距离相等及大于绳长时动点的轨迹又是什么？随后通过对学生分组进行讨论及总结给出定义；我在此时结合图形强调这个定值一定要大于两个定点的距离的理由，随后提出坐标法的基本思想并带着学生回顾动点轨迹方程的一般求法然后提出问题：椭圆的方程是什么引入第二部分即标准方程的推导；在推导椭圆标准方程时重点讲清楚坐标系的建立过程，并让学生总结建系的方法及原则；在椭圆标准方程的推导过程中由于是带有两个根式的方程化简对于我们学校的学生来说基础比较弱可能从来没遇到过，因此主要通过我在黑板上的推导及演算让学生看清过程，掌握推导方法并及时对动点轨迹方程的一般求法步骤再次进行学习引导并进一步深入总结。

得到椭圆标准方程后，让学生重点分析两个问题，第一个就是课本中的探究活动，让学生在图形中找到b的几何意义，并强调a>b>0;a>c>0b,c大小关系不确定；第二个就是提出方程的建立与坐标系有关，不同的坐标系方程是不同的，引出学生对焦点在y轴上的椭圆标准方程的推导产生兴趣，并自我完成推导过程，并通过分组讨论总结完成对椭圆标准方程推导。最后通过课本例1让学生初步体会椭圆定义及标准方程的应用。

篇6：《椭圆及其标准方程》教学设计

山西省太原师范学院附属中学薛翠萍

一、教学内容解析

椭圆的定义是一种发生性定义，教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点

学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识

但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受

所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象

圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位

通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础

学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

二、教学目标设置：

1．知识与技能目标

(1)学生能掌握椭圆的定义明确焦点、焦距的概念．

(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．

(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．

2．过程与方法目标：

(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．

(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．

(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．

（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．

三、学生学情分析

1．能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．

2．认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法．

3．情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．

四、教学策略分析

教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历 “创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用” 的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．

课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：

1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．

2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．

这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．

在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．

五、教学过程：

（一）复习引入

1．说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．

意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．

（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；

2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．

意图：

(1)通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性

(2)多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象．

（二）讲解新课由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义．椭圆定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

练习1：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离

之和等于8，则P点的轨迹是

练习2：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离

之和等于6，则P点的轨迹是

通过两个练习思考：椭圆定义需要注意什么（2a大于

意图：让学生通过练习反思画图，归纳定义，理解定义，突破了重点．

（1）、当2a>|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a<|F1F2|轨迹不存在．）

2．根据定义推导椭圆标准方程：

要求

（1）学生在画板上建立适当的坐标系，（2）根据定义推导椭圆的标准方程．

同时引导学生类比圆回顾解析几何研究问题的特点及求轨迹方程步骤

意图：让学生自己去建系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美”为“发现简洁美”．教师结合猜想加以引导．化简无理方程为难点通过发现问题解决问题突破难点．

正确推导过程如下：

解：取过焦点

设

则，又设M与

距离之和等于

（）（常数）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是

（）．的直线为轴，线段的垂直平分线为

轴，化简，得

由定义义）

令代入，得，,（学生通过自己画图建系的过程找到的几何意，两边同除得

此即为椭圆的一个标准方程

它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是程

学生思考：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换

轴）焦点则变成，中心在坐标原点的椭圆方,只要将方程

中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程

请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；过程中要渗透数学对称美教学．

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在个轴上即看与这两个标准方程中，都有分母的大小的要求，因而焦点在哪3．精心设计课堂练习使学生在实际应用中进一步巩固知识，运用知识突破重难点：

（1）判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值 ① ；②；③；④

意图：学生感悟椭圆标准方程的结构特点．

（2）椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为）

A．5

B．6 C．4

D．10

意图：学生理解椭圆定义与标准方程关系．

（3）椭圆的焦点坐标是（）

A．(±5，0)

B．(0，±5)C．(0，±12)

意图：学生感悟椭圆标准方程中焦点位置以及a，b，c的关系．

（4）化简方程：

意图：培养学生运用知识解决问题的能力．



篇7：椭圆的定义及其标准方程教案

一、教材分析

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

二、教学目标

（一）知识目标

1、理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；

2、掌握椭圆的标准方程；

（二）能力目标

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（三）德育目标

1、使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的；

2、使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。

三、教学重、难点及关键

1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

2、难点：椭圆标准方程的推导。

3、关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。

四、教学方法

主要采用探究实践、启发与讲练相结合

五、教具

主要采用多媒体课件

六、教学过程

1、创设情景、引入概念

（多媒体演示）展示相应的图片，让学生在感受美的同时也了解到本节课所要研究的图形——椭圆。

提问：这些图片中的实物的形状是什么的图形？学生回答：椭圆

请同学再列举一些椭圆形的例子，教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习----椭圆（给出课题）。

教师指出：通过前面的学习知道，圆是平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹，那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。

2、新知探究、形成概念

利用多媒体演示椭圆的画法。

依据多媒体演示的画法，请学生思考：图中哪些量是不变的，哪些量是可变化的，试着用自己的语言说一说怎样形成椭圆？

让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，根据自己得出的椭圆画法，试着用手中的工具画出椭圆。让学生动手，使其尝试到成功的喜悦，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。

教师启发、提问，并由学生归纳出椭圆的定义。定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。

提问：若令M为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？

学生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教师指出：此式称为定义式，其应用非常广泛。

3、标准方程的猜测与推导

依据多媒体的动态数据来猜测椭圆的方程

问：请你猜测一下椭圆的方程？

x2y2学生:（221，a>b>0）

根据一般的求轨迹方程步骤推导椭圆的方程。

(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系。

(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上任意一点，因|F1F2|=2c，则F1(-c,0)，F2(c,0)（学生回答）

(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并将其坐标化后得：xc2y2xc2y22a

(4)化简：(过程可以简略，不作要求)

x2y2教师指出：方程221ab0叫做椭圆的标准方程，其焦点

ab在x轴上，焦点坐标为F1(-c,0)，F2(c,0)且a2b2c2 启发：若把坐标系中的x轴、y轴的位置互换，椭圆的焦点位置如何？方程形式又如何？

y2x2让学生合理猜想，得出：221

ab教师指出此方程同样可用上述方法进行推导。思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？

学生观察后可得出：含x2，y2的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。

五秒快速练习：判断下列椭圆的焦点位置？

x2y2y2x21、

12、1

152053y2x2x2y23、

14、1

111825244、知识应用

例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求椭圆的标准方程.先给学生提示，再让学生自己动手做，并抽取两位同学所做的进行讲评,最后课件给出标准答案。例2:求下列椭圆的焦点和焦距

x2y2(1)1；

（2）2x2y216

54分析：解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上。学生先做，然后课件给出正解。

分组练习：求椭圆的焦距与焦点坐标？

x2y2①1 156x2y21 ②251693,0，焦距2c6焦点坐标为0,12，焦距2c24焦点坐标为请学生给出结果，体会成功的喜悦。同时给出练习③9x225y2225让学生独立完成，并对学生所做的进行讲评。

5、归纳小结

（1）知识小结：引导学生归纳，最后教师给出知识结构图。（2）方法小结：（教师小结）

①用坐标法研究曲线；

②用运动、变化的观点分析问题；

篇8：椭圆及其标准方程免费

1．椭圆及其标准方程的教材地位及学习价值

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，在高中数学选修2-1中，圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容．“椭圆及其标准方程”具有承前启后的重要作用:首先，“椭圆及其标准方程”中标准方程的推导需借助“曲线与方程”中的知识，是对上一节知识的有效巩固;其次，椭圆位于三种曲线之首，对这三种曲线而言，研究的问题基本一致、研究方法相似，若能够掌握好研究椭圆的基本方法，学习其余两种曲线时就会得心应手．故掌握好椭圆及其标准方程对学生学习具有极大的促进作用．

2．椭圆及其标准方程的教学状况及学生的掌握情况

椭圆及其标准方程如此重要，对于学生的学习及教师的教学均是一种挑战．因而，迫切需要科学合理的教学设计，将知识有效地教授给学生，使其养成良好的数学品质．

圆锥曲线在高考中所占分值较大，这给教师、学生带来了较大的压力．在时间紧任务重的情况下，多数的教师没能很好的利用教材及辅导资料，不进行增减直接照搬资料，常常忽视学生的主体地位，没能充分调动学生积极性，缺少探究学习知识的过程．

例如:教授椭圆及其标准方程时，多数教师按照教材编排，在一个课时内对其进行讲解，导致课堂内容过多，讲解时间增加，学生只能被强迫着将知识装入脑子中，靠死记硬背掌握知识，造成概念理解不到位，进而难以处理相应的问题．因此，本文教学设计中将其分两个课时进行教授．

二、设计依据

1．新课程下的教学要求

通过研读《普通高中数学课程标准(实验)》针对圆锥曲线教学内容的要求后，归纳出以下几点关于椭圆及其标准方程的教学要求:

(1)借助丰富的实例，让学生从探究中抽象出椭圆的定义，并体会其在现实中的实际应用;

(2)椭圆标准方程的推导中，首先从典型的几何特征入手，选取合适的坐标系，其次利用轨迹问题的本质(抓住不变量)，创建适当的方程．

(3)明确用代数研究几何的方法，渗透数形结合的思想．

2．教学方法

对于椭圆的标准方程来说，它没有明确的教学类型分类，可以说是椭圆定义的一种应用，也可以说是一种命题，还可以说是一种求解标准方程的数学题，没有较为明确的教学设计依据，但可以汲取著名教育家曹一鸣编写的《数学教学论》一书中的经典教学方法，完成教学设计．

三、教学设计

1．椭圆定义的教学设计

(1)情景引入

用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到不同的截口曲线，分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(多媒体展示图片便于直观理解)．

为什么截口曲线会出现不同情形?学习圆锥曲线定义之后依次进行解答(设置问题，激发学生的好奇心)．

设计意图:采用总分的教学手段:先提出圆锥曲线再引入椭圆，便于学生总体感知，且由熟悉场景引人新课，易于接受，引起兴趣，激发求知欲．

(2)新课教授

之前就已接触过圆，现研究第二种圆锥曲线———椭圆．

生活中处处可发现椭圆的影子:圆柱形水杯倾斜时水面的边界，阳光下圆球的影子，地球绕太阳运行时的轨道等(展示图片，数学来源于生活)．

问题1:观察以上曲线，它们和圆有那些相识之处———似乎圆被“压扁”后就得到了椭圆．

问题2:那么可否借助圆从“到定点距离等于定长”的角度来定义椭圆?

设计意图:将椭圆与圆作类比，借助定点、定长得出椭圆定义顺理成章，培养学生敏锐的观察及类比能力．

师生活动:取一段长为2a的细绳，将两端点分别固定在图板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，画出的轨迹又是什么———椭圆．

设计意图:以圆为基础，学生在教师的带领下，通过自己观察、猜想、动手检验得到椭圆的定义，由教师灌输式转变为学生自主探究式，加深对椭圆定义的理解，极大的提高了课堂学习效率．

问题1:画出椭圆的过程中哪些量不发生变化(即椭圆上的点有何特征)———在笔尖移动过程中，细绳的长度不变，即笔尖到两定点的距离和为常数(设计问题，让学生从动中找静，培养其对事物的敏感度)．

得出椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．记为2c(给出椭圆准确定义，将文字语言转化成为符号语言)．

若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a.

问题2:将学生分成小组再次作图并讨论:如果细绳的长度小于或等于两定点的距离，作出的图形又怎么样

通过实践得到当且仅当2a>2c时才可作出椭圆．

设计意图:改变以往教师直接告知学生:2a>2c为椭圆定义中的关键，使学生分组操作，对比讨论，自我总结得出结论(加深对概念的理解，避免遗漏定义中的注意事项，注重数学的严谨性)．

(3)概念巩固

现在解决课堂开始的问题:用一个与圆锥轴线夹角为锐角的平面去截圆锥，得到的截线是椭圆．

用教具模拟平面去截圆锥(使用教具直观展示便于理解，可激发学生的动手能力)在圆锥内放大小不同的两个球，使其分别相切于圆锥的侧面、截面，切点为E,F，现在截口曲线上任取一点A，过点A做圆锥的母线，使其分别与两个球相切于B,C，那么，据椭圆定义，只需求证A与E,F的距离之和为常数即可，为此，需回忆球的切线长定理:过球外一点做球的两条切线，切线长相等．

由图1，不难发现AE与AC为小球的两条切线，AF,AB为大球的两条切线，因而AE=AC,AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

这样，就得到截口曲线上任意一点A到两定点E,F的距离之和为常数，即满足椭圆定义，故截线为椭圆．

设计意图:学习椭圆的概念之后，解决教师们常常忽视的截线是椭圆的问题，既要让学生知其然又要知其所以然(培养学生善于发现问题，并且利用已学知识解决问题的能力)

2．椭圆标准方程的教学设计

(1)复习引入

回顾求轨迹方程的一般步骤:建系设点→抓住不变量→创建方程→化简

例如求圆方程的步骤，即:求到定点的距离等于常数的点的集合

设计意图:知识具有连贯性，课前及时回顾，有助于提前进入课堂;

以圆为例，有两处妙用:(1)用具体的例子帮助识储备不足的学生，回顾求动点轨迹的方法;(2)圆作为圆锥曲线的一种，与椭圆联系紧密，可以类比圆的对称性，利用椭圆的对称性，建立坐标，避免了无规则地乱建系．

(2)新课教授

类比圆的方程求法，可否求出椭圆的标准方程(明确要解决的问题、可利用的知识，培养学生严密的解题思维)

椭圆定义:平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(着重强调2a>|F1F2|不可或缺)．