初中几何证明题辅助线

2024-06-29

初中几何证明题辅助线（共14篇）

篇1：初中几何证明题辅助线

平面几何证明题的基本思路及方法

中考几何题证明一般思路

初中数学辅助线的添加类型

初中几何基本图形辅助线添加七字歌诀

初中几何基本图形辅助线添加七字歌诀完全解读

第一章简单空间图形的认识

第二章三角形与全等三角形

§2.1全等三角形的判定定理歌诀§2.2巧用角平分线判定三角形全等§2.3巧用某边中点判定三角形全等§2.4巧用垂直平分线判定三角形全等

第三章四边形

§3.1平行四边形

§3.2梯形

第四章解直角三角形

第五章图形的相似

§5.1相似三角形

§5.2比例线段

第六章与圆相关的知识

§6.1弧、弦、圆心角、圆周角§6.2垂直于弦的直径

§6.3圆的切线性质定理的应用

第七章

第八章

第九章 §6.4圆的切线的判定 §6.5圆中直角三角形的构造 §6.6多边形与圆 §6.7两圆相切性质定理的应用 §6.8两圆相交性质定理的应用初中数学抛物线与几何专题揭密中考数学动态几何专题集结号中考实验与操作专题强化营

篇2：初中几何证明题辅助线

三角形辅助线做法

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

常见的辅助线做法

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等

（一）例题讲解

例

1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DEDA，连接BE

又∵BDCD，BDECDA

∴BDECDASAS，BEAC3

∵ABBEAEABBE(三角形三边关系定理)

即22AD8

∴1AD4

经验总结：见中线，延长加倍。

篇3：初中几何证明题辅助线

(1) 求证:AB∥FG; (2) 若∠B=62°, 求∠2的度数; (3) 若∠2=∠CEF, 求证AD平分∠BAC。

这是重庆市渝中区2013—2014学年度七年级下期数学期末考试题的第25题, 它的 (2) 、 (3) 两问其实比较简单。而且, 考试时, 即使考生没能证出第 (1) 问, 但如果敢于继续思考, 利用第 (1) 问继续解决第 (2) 、 (3) 问, 也是比较简单的。但我在考场上监考时看到很多学生在解决第一问时无从下手, 直接导致整个题无法完成, 或者由AD⊥BC, EF⊥BC推出AD∥EF就不知怎么办, 或者直接又因为∠1=∠2, 所以AB∥FG, 当然也有少数学生由三角形内角和定理或其推论, 结合∠1=∠2以及等角的余角相等推出∠B=∠GFC, 或者推出∠BAC=∠FGC, 或者推出∠B+∠GFB=180°, 从而推出AB∥FG. 但是, 按知识的发生发展顺序来讲, 最后一种证明方法应该算是循环论证 (因为七下人教版教材没有学习三角形, 其内角和为180°在小学只是用操作的办法验证过而已) ?

其实, 这是一道好题, 特别是把它放在试卷的第25题这样的位置上尤其显示它的价值。

事实上, 如下图2, 延长BA与FE, 交于点H, 那么, 在由AD⊥BC, EF⊥BC推出AD∥EF后, 在推出∠1=∠H, 问题显而易见。

当然, 也可以如上图3延长AD与GF, 使它们相交于点H后, 用同样的思路使问题得证。

现在的问题是:1.此时可不可以使用三角形内角和定理来解决此题?2.在平时的教学中如何训练学生“自然而然”地添加辅助线?

现就第二个问题谈谈个人浅见。

就此题来讲, 辅助线的作法应该是比较自然的。因为在七下这一个几何证明的起始阶段, 我们可以引导学生如此地思考:由AD⊥BC, EF⊥BC推证出AD∥EF后, 当我们觉得不知何去何从时, 我们应当再次去阅读题目, 看看接下来的条件与推出的结论有什么联系, 以及要证明的结论需要些什么条件 (也就是我们经常讲的综合分析法) 。那接下来的条件是∠1=∠2, 有什么作用呢?或者说该如何使用呢?如果我们想同时把AD∥EF与∠1=∠2结合起来使用, 这个比较不好办, 要么就像开始提到的个别同学那样“蒙混过关”, 直接来一个又因为∠1=∠2, 所以AB∥FG。

这里我觉得, 我们应当引导学生学会这样思考:在得到明显正确的结论AD∥EF后, 接下来的条件∠1=∠2, 我们先将∠1与AD∥EF结合起来思考, 看看它们有什么联系. 事实上∠1的两边AB、AD, 以及结论AD∥EF中的EF正好就是“两条平行线被第三直线所截”的不完整图形, 所以, 如果我们把BA与FE“补全”, 自然地, ∠H这一重要角色就通过∠1这一“介绍人”与∠2认识了 (延长AD与GF, 使它们相交后是同样的道理) .问题解决显得“自然而然”, 顺理成章, 一气呵成. 这其中有一重要的地方就是, 引导学生不始终非得把∠1=∠2“完整的”与AD∥EF结合起来使用, 这类似于“傻子扛竹竿进城, 横着进不去, 竖着也进不去, 于是就放弃”一样的道理, 办法就是“让竹竿的一头先进去”。

当然, 如果学生对“等量加等量, 其和相等”这一等式性质比较熟悉, 那么, 把∠1=∠2“完整的”与AD∥EF

结合起来使用也是可行的, 这就是学生联想到本试卷23题的推理填空时可得到的思路, 如上图, 连接AF, 在证得AD∥EF后, 问题就自然解决了。

篇4：浅谈几何证明中如何添置辅助线

添置辅助线的方法虽然千差万别，但总会有规律可循的，并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”，连“关键线”，作“关键线”

平面几何图形中，常有不少具备一定特征的点，如：线段的交点、线段的中点、圆心、直线与圆相切的切点、两圆的交点等.这些点经常是证明的“关键点”.如圆的辅助线的作法规律是：弦与弦心距，亲密紧相连；两圆相切，公切线；两圆相交，公共弦；遇切点，作半径；圆与圆，心心连；遇直径，想直角；直角相对（共弦）点共圆.

已知切线的“作”（过点D作DG⊥OB，垂足为G）.只要证明DE=DG（角平分线上的点到其两边的距离相等），从而得证.

二、移出图形，添补图形

有时，为了找到较好的证明或解题的方法，可以添置辅助线或添补一部分图形.如在三角形中，常延长中线一倍，构造成平行四边形或新三角形.有时，利用等底等高的三角形面积相等，等底（两底）等高的梯形面积相等的方法解题.

图3【例3】如图3，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点.求证：弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

分析：求不规则图形的面积时，往往采用化不规则图形为规则图形的方法，利用它们的面积相等求解.弦AC、AD和弧CD围成的图形是不规则图形，是无法用已知条件来计算的，但它的面积S刚好等于扇形OCD的面积，即等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分，截长补短

平面几何证题千姿百态，因而添置辅助线的方法也变化多端.有时同一问题可以找出几种添置辅助线的方法，而使一题多解.

（责任编辑钟伟芳）

若有一条河横在你面前，阻断你的去路，而在你苦于无法顺利过河时却发现有一座桥，心里肯定万分高兴，因为若没有这座桥，你可能要绕一个大圈子才能到达河的彼岸，甚至过不去.同样，添置辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作用，通过添置辅助线，把已知元素和未知元素联想起来，在证明或解题时，就能如鱼得水，得心应手.

添置辅助线的方法虽然千差万别，但总会有规律可循的，并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”，连“关键线”，作“关键线”

已知切线的“作”（过点D作DG⊥OB，垂足为G）.只要证明DE=DG（角平分线上的点到其两边的距离相等），从而得证.

二、移出图形，添补图形

图3【例3】如图3，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点.求证：弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分，截长补短

平面几何证题千姿百态，因而添置辅助线的方法也变化多端.有时同一问题可以找出几种添置辅助线的方法，而使一题多解.

（责任编辑钟伟芳）

添置辅助线的方法虽然千差万别，但总会有规律可循的，并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”，连“关键线”，作“关键线”

已知切线的“作”（过点D作DG⊥OB，垂足为G）.只要证明DE=DG（角平分线上的点到其两边的距离相等），从而得证.

二、移出图形，添补图形

图3【例3】如图3，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点.求证：弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分，截长补短

平面几何证题千姿百态，因而添置辅助线的方法也变化多端.有时同一问题可以找出几种添置辅助线的方法，而使一题多解.

篇5：初中几何证明题辅助线

初中数学培优训练题

补形法的应用

班级________姓名__________分数_______

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；

证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证：

2.补成等腰三角形

例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助

线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。

略证：

3.补成直角三角形

例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别

是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。

分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

图

34.补成等边三角形

例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。证明：EC＝ED

分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采

用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。

略证：

二、补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边

形GEHF是平行四边形。

略证：

2.补成矩形

例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角

形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

略解：

图6

3.补成菱形

例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面积

分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。

略解：

4.补成正方形

例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果

从题设∠BAC＝45°，AD⊥BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方

形的信息，那么问题立即可以获解。

略解：

5.补成梯形

例9．如图9，已知： G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、图8

图7

C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形

来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中

位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。

略证：

篇6：初中几何证明题辅助线

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；

证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

2.补成等腰三角形

例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE

3.补成直角三角形

例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。

4.补成等边三角形

例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连

结CE、ED。证明：EC=ED

二、补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

图

32.补成矩形

例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。

3.补成菱形

例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面积

4.补成正方形

例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面积。

5.补成梯形

例9．如图9，已知： G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、图8

图7

图6

C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝4(2AA1＋BB1＋CC1)。

篇7：初中数学几何做辅助线方法技巧

几何证明题，要使用几何语言，这对于刚学几何的学生来说，仅当又学一门“外语”，并努力尽快地掌握这门“外语”的语言使用和表达能力。

首先，从几何第一课起，就应该特别注意几何语言的规范性，要让学生理解并掌握一些规范性的几何语句。如：“延长线段AB到点C，使AC=2AB”，“过点C作CD⊥AB，垂足为点D”，“过点A作l∥CD”等，每一句通过上课的教学，课后的辅导，手把手的作图，表达几何语言;表达几何语言后作图，反复多次，让学生理解每一句话，看得懂题意。

其次，要注意对几何语言的理解，几何语言表达要确切。例如：钝角的意义是“大于直角而小于平角的叫钝角”，“大于直角或小于平角的角叫钝角”，把“而”字说成了“或”字，这就是学习对几何语言理解不佳，造成的表达不确切。“一字之差”意思各异，在辅导时，注重语言的准确性，对其犯的错误反复更正，做到学习之初要严谨。

规范推理格式

数学中推理证明的书写格式有许多种，但最基本的是演绎法，也就是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求证的结论来。这种证题格式一般叫“演绎法”，课本上的定理证明，例题的证明，多数是采用这种格式。它的书写形式表达常用语言是“因为…，所以…”特别是一开始学习几何证明，首先要掌握好这种推理格式，做到规范化。

积累证明思路

“几何证明难”最难莫过于没有思路。怎样积累证明思路呢?这主要靠听讲，看书时积极思考，不仅弄明白题目是“如何证明?”，还要进一步追究一下，“证明题方法是如何想出来的?”。只有经常这样独立思考，才会使自己的思路开阔灵活。随着证明题难度的增加，还要教会学生用“两头凑”的方法，即在同一个证明题的分析过程中，分析法与综合法并用，来缩短已知与未知之间的距离，在教学安排时，要给其足够的时间思考，而且重复证明思路，提高对解题思路的理解和应用能力。

篇8：浅谈几何证明中如何添置辅助线

添置辅助线的方法虽然千差万别, 但总会有规律可循的, 并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”, 连“关键线”, 作“关键线”

平面几何图形中, 常有不少具备一定特征的点, 如: 线段的交点、线段的中点、圆心、直线与圆相切的切点、两圆的交点等.这些点经常是证明的“关键点”.如圆的辅助线的作法规律是:弦与弦心距, 亲密紧相连;两圆相切, 公切线;两圆相交, 公共弦;遇切点, 作半径;圆与圆, 心心连;遇直径, 想直角;直角相对 (共弦) 点共圆.

【例2】如图2, 已知OC平分∠AOB, 点D是OC上任意一点, ⊙D与OA相切于点E.求证: OB与⊙D相切.

分析:在此图中, 可以说有两个关键点E、G, 两条关键线:切线OA、OB, 因为求证的是OB与⊙D相切, 而题材中已知切点和切线, 就可以采用已知切点的“连” (连DE) ;已知切线的“作” (过点D作DG⊥OB, 垂足为G) .只要证明DE=DG (角平分线上的点到其两边的距离相等) , 从而得证.

二、移出图形, 添补图形

有时, 为了找到较好的证明或解题的方法, 可以添置辅助线或添补一部分图形.如在三角形中, 常延长中线一倍, 构造成平行四边形或新三角形.有时, 利用等底等高的三角形面积相等, 等底 (两底) 等高的梯形面积相等的方法解题.

【例3】如图3, 已知半圆的直径AB=40cm, 点C、D是这个半圆的三等分点.求证:弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

分析:求不规则图形的面积时, 往往采用化不规则图形为规则图形的方法, 利用它们的面积相等求解.弦AC、AD和弧CD围成的图形是不规则图形, 是无法用已知条件来计算的, 但它的面积S刚好等于扇形OCD的面积, 即等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分, 截长补短

在平面几何证明中, 有一种类型题:证明一条线段是另外两条线段的和 (或差) , 或者证明一条线段是另一条线段的几倍 (或几分之几) .其证法有时可通过延长短线段或截长线段后再证线段相等.

【例4】如图4, 已知在△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD是∠A的平分线, 求证:AB= AC+CD.

分析:延长AC到点E, 使CE =CD, 则有AE=AC+CE=AC +CD.所以只需证AE=AB即可.考虑到AD是∠A的平分线, AD是公共边, 连接DE, 则△ABD≌△AED, 这可由∠E=∠B=45°证得.

篇9：巧添辅助线，妙解几何题

一、翻折构造

例1 在等腰直角[△ABC]的斜边AB上，取两点M和N，使∠MCN=45°，记AM=m，[MN=x]，[BN=n].则以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状是（）.

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.随x，m，n变化而变化

【分析】首先，要明确判断以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段集中到同一个三角形中；其次，用好∠MCN=45°这一已知条件，并及时联想到∠ACM+∠BCN=45°；最后，为将长为x，m，n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折，使点A与点P重合（如图1），这样可将长为m和x的两条线段集中在一个角中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x，m，n的三条线段就集中到了△PMN中.

解：∵∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∠ACM=∠PCM，

∴∠BCN=∠PCN，可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n，

∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°.

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°.

∴以x，m，n为边长的三角形的形状是直角三角形，故答案为B.

【小结】当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造.

二、旋转构造

例2 已知O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB，∠BOC和∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA，OB，OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数分别是多少？

【分析】首先，解决此题的关键依然是要将OA，OB和OC三条线段集中到同一个三角形中；其次，考虑到等边三角形的特点，若将△AOB绕A点逆时针旋转60°（如图2），此时，AB与AC重合，点O与点M重合，可得到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA，OB和OC就集中到了△COM中.故求OA，OB，OC三边所对的角即为求△COM的三个内角.

解：由∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x.

则有6x+5x+4x=360°，x=24°，∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°，

∵∠AOM=∠AMO=60°，

∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=96°-60°=36°；

∠OMC=∠AMC-∠AMO=144°-60°=84°；

∠OCM=180°-（∠MOC+∠OMC）=180°-36°-84°=60°.

∴以OA，OB，OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°，36°，84°.

【小结】旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合、旋转角度能构成特殊角等两个条件.

三、轴对称构造

例3 ∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边OA，OB上有点Q，R（均不与点O重合），则△PQR的周长的最小值是多少？

【分析】首先，要确定△PQR的周长的最小值，关键是确定Q，R的位置，而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值；其次，已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形（如图3）.

解：分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接MN，与OA，OB交于点Q′，R′，由轴对称性质可知PQ′=MQ′，同理PR′=NR′.

因为线段MN的长度等于MQ′+Q′R′+NR′，即MN的长度正好等于△PQ′R′的周长.

由两点之间线段最短这一定理，易得出△PQ′R′是点P与∠AOB两边上的Q，R两点构成的三角形中周长最小的三角形.所以问题中的Q，R与Q′，R′重合时△PQR的周长值最小，而其值正等于线段MN的长度.

连接OM，ON，由轴对称性质可知，OM=OP=ON=10，且∠MON=90°，

∴ MN=[102]，

∴△PQR的周长的最小值是[102].

【小结】一般来说，求几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称点，将折线段转化为直线段.

四、特殊构造

例4 在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求证：BD2=AB2+BC2.

【分析】首先，由所求证的关系为平方形式，联想到勾股定理，进而思考如何构造直角三角形求证.如图4，已知∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角形BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2+BC2转化为直角三角形ABE中的AB2+BE2.这样只需证明AE=BD即可.其次，由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形.易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD.

解：略.

【小结】当题设的条件中出现特殊角时，利用其再构造特殊图形如等边三角形、直角三角形、正方形等，这也是几何证明中常用的辅助线作法.

篇10：初中几何证明题

证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点

延长LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。

∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交

AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ

取BC中点为H

连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即证得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123

41234

已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。

设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；

则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。

设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。

由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

设OM和圆O相交于点D，连接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA

过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH

∴四边形AHPD是平行四边形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四边形PHBC是平行四边形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四点共圆

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）

只说左边2式子其他一样

OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG．易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．

从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．

篇11：初中数学几何证明题

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。

一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可龋我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。

二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单)，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。

四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。

篇12：初中几何基础证明题(初一)

1.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：AB∥CD。

2.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。

2BG BE

3.已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD∥OB。

PC 3D /2 BO

4.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP。

D P

CBO

5.已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD∥EB。

C3D / BOE6.如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。

/3BA

DC42

7.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。

CG F ED

8.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。

cd a

b32

9.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED。

EBC

10、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l1∥l2，l3∥l5，l3l2∥l4。

l11

l22

344 l5

11、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB∥CD。

BA 12

E CD

12、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB∥CD。

13、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D。

GHC

14、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=900，求证：AE⊥DE，AB∥CD。

CEB

15、如图，已知，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，求证：BC∥AE。

16、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF⊥CD，求证：∠3=∠B。

AD1

E3F

BC17、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠B=∠3，AC∥DE，求证：AD∥BC。

DA 312

篇13：辅助线在几何题中的重要性

一、作辅助线的思路

在几何教学中,辅助线的添设对几何题的解答起着至关重要的作用,而如何巧设辅助线是解题中必不可少的一个条件.由于综合法和分析法是证明几何题时用到的两种基本方法.因此,在作辅助线时便有了两条思路可供选择,第一条是从综合法的方面考虑作辅助线.在使用综合法证题时,由于通过已知条件推证结论而思路受到阻断,此时便可以根据图形的特征巧妙地添加辅助线,从而利用图形特有的性质为后续推证提供便利.第二条是从分析法的方面考虑来作辅助线.而使用分析法的证题,则是从结论逆推条件,当形成结论的条件在推理中受到阻碍时可添设恰当的辅助线,从而使这一过程继续进行下去.无论是从命题给出的已知条件还是结论作分析时都应该结合图形的特点完成,不同的图形特点所要添设的辅助线位置也是不一样的,而正确位置的辅助线有利于我们快速简便地完成解题.

一、例题分析辅助线的重要性

(一)构建桥梁

(二)简化图形

(三)明朗化隐含条件

例3:如图3所示,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,M、N分别是DE、BC的中点,求证:MN⊥DE.

在分析这一证明题时我们可以得出其中隐含了中线在直角三角形斜边上的性质,为了将隐含的条件转化为直接条件,那么此时就必须考虑使用添设辅助线进行解证.

三、结语

在几何证题中辅助线的添加没有法则能够遵循,其添设方法因题而定.学生要通过作好辅助线提高解证几何题的能力就必须在平时练习中仔细分析,反复探究,不断地积累解题经验并做好总结.

参考文献

[1]德力根仓.浅谈辅助线在几何证题中的应用[J].赤峰学院学报,2014(30).

[2]李淑华.浅谈辅助线在几何证题中的作用[J].承德民族师专学报,2009(29).

篇14：初中几何证明题辅助线

【关键词】立体几何题辅助线思想方法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）07-079-02

学好立体几何需要掌握一定的处理立体几何问题的基本思想和方法。而转化，化归的思想贯穿立体几何的始终。把立体几何问题化为平面几何问题，即立体问题平面化，它是解决立体几何问题的始终如一的原则。如异面直线所成的角，线面所成的角，二面角这三种空间角都是用平面定义的，在解决有关空间角的问题时，一般是将他们转化为平面角来处理，最终化归为解三角形。高三一轮复习的解题训练中，解立体几何问题通常有作、证、求三个环节。但是在高考中反映这方面的问题十分严重，不少考生对这三个环节交待不清，表达不够规范、严谨。尤其没找到添加辅助线的一般规律。下面就解立体几何中如何巧妙添加辅助线的思想方法作一下探讨。

解立体几何题添加辅助线有一定的规律性，结合平时的教学情况总结主要有如下几种情况：一是连中位线，二是连对角线或中线，三是做垂线。概括成口诀是：有的中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。下面就常见的三种情况加以说明。

一、方法之一添加平行线。

其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。

例1.把正方形ABCD，ABEF放置成如图所示的一个空间图形，M，N分别是AE，DB上的点，且AM=DN.

求证：MN∥平面EBC.

解析：过M作MM1⊥BE于M1，过N作NN1⊥BC于N1，连结M1N1，

则有MM1∥AB，且MM1AB=EMEA，NN1∥CD，且NN1CD=BNBD.

又AB∥CD，AB=CD，AM=DN，故MM1∥NN1，MM1=NN1，所以MN∥M1N1.

又MN 平面EBC，M1N1 平面EBC，

所以MN∥平面EBC.

点评：通过作平行线构造平行四边形来证线面平行。

点评：求异面直线所成角常采用平移法，把空间问题平面化，变成解三角形的问题。

二、方法之二向中心对称图形对称中心添加连线

对称中心是整个平面图形的几何中心，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形，矩形，正方形连对角线。

例3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。

（1）证明：PB∥平面ACM；

（2）证明：AD⊥平面PAC；

（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。

解析：（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O也为BD

的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO，因为PB 平面ACM

MO 平面ACM，所以PB∥平面ACM.

（2）因为∠ADC=45°，AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD所以PO⊥AD，而AC∩PO=O所以AD⊥平面PAC.

（3）取DO的中点N，连接MN，AN，

因为M为PD中点，所以MN∥PO，且MN=12PO=1.

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD.

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，

点评：通过连接平行四边形的对角线，连出中位线从而由线线平行证得线面平行，由平行线中的一条垂直于平面得到另一条也垂直平面。

三、方法之三添加垂线

立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。

例4.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

（1）求证：AD⊥PB；

（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论

解析：（1）如图，取AD中点G，连结PG，BG，BD.

∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A=60°，

AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

（2）连结CG，与DE相交于H点，易知H为CG的中点，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，易知F是PC的中点，

∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD，