乘法

乘法（精选十篇）

乘法 篇1

完全平方公式左边括号内是两个数或两个式子的代数和,右边展开式是一个二次三项式,且首尾两项分别是这两个数或两个式子的平方,中间是这两个数或两个式子的积的2倍.

平方差公式左边是两个二项式的积,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边是乘积式中两项的平方差,而且是相同项的平方减去相反项的平方.

学习乘法公式应注意:

1. 要注意观察、比较、分析每一个公式的特点,只有符合相关公式的条件,才可以应用相应的公式.

2. 注意灵活运用公式,乘法公式中的字母a、b具有一般性,它们既可以表示一个具体的数,也可以表示一个单项式或多项式,在实际运用时,需要认准a、b分别代表什么.

如计算:(x+y-z)(x-y+z),需先变形为:[x+(y-z)][x-(y-z)],其中(y-z)是整体,相当于公式中的字母b,注意括号不能少.

如计算:1032,可把103拆成100+3后再运用完全平方公式.

乘法结合律和乘法交换律 篇2

教学内容：

探索乘法结合律和乘法交换律，并会用它们来进行简便运算。在实际生活中，运用它们可以来口算，乘法交换律可用来验算。

教学目标：

1.通过探索活动，使学生进一步体会探索的过程和方法。2.通过具体事例，使学生发现乘法结合律，并懂得用字母进行正确的表示。

3.使学生在理解乘法结合律的基础上，会对一些乘法算式进行简便运算。

4.通过简单的事例，使学生发现乘法交换律，并会用字母表示，知道乘法交换律可用于乘法的验算。

教学重难点：

重：探索发现乘法结合律和乘法交换律，并初步理解运用乘法结合律和乘法交换律进行简便运算。

难：会对一些题进行拆、组合，运用乘法结合律和乘法交换律来进行简便算。

教学准备：

长方体模型，多媒体课件

教学过程：

一． 复习旧知

1.28×16×45 23×（52×34）=448×45 =23×168 =20160 =40664（用意：让学生复习两位数乘两位数，两位数乘三位数，并复习有小括号的运算，因为这节课主要讲乘法结合律，用到乘法，大多数题带小括号，复习前面的旧知防止在新课中出现错误。）

学生做完，提示在乘法算式中，不带括号的，谁在前面先算谁，而带括号的，应先算括号里面的。

二．讲授新课

1.用实例引出新课

我的朋友问我一个问题，想让咱班同学帮忙解决，出示一个长方体模型，出示问题：用了几个小正方块？

学生思考、讨论，老师提问不同做法的同学，共有多少种做法？然后老师出示自己的做法，并引导学生从上面看；从前面看得出的算式。

（3×5）×4 3×（5×4）有什么相同点，有什么不同点？

引导学生举出一些类似的例子，你发现了什么规律？

老师再举出例子，来验证学生发现的规律，针对不同错误纠错，再完善学生得出比较正确的结论，从而得出结论：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变。取名叫：乘法结合律。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）2.应用规律，解决问题。课本第45页的“试一试”

先让学生观察算式，引导提问：这里的数字有什么特征，你有什么体会？学生：“25×4=100,125×8=1000”应用乘法结合律会使计算简便。学生板演，下面的，老师巡视，然后学生反馈结果，呈现正确的板演过程，针对不同错误纠错，提出要注意的地方。

3.出示一些例子：4×5=5×4 12×10=10×12，让学生自己举例，发现等号左边和右边有什么相同点，你发现了什么规律。照着前面的如何用字母表示这一规律。学生总结，老师完善。呈现：两个因数交换位置，积不变。称为：乘法交换律 用字母表示：a×b=b×a 问：乘法交换律可用在哪？有什么好处？

（可用于简便运算，使运算简便，可用于验证乘法算式。）4.出示练习题，巩固新知（出一些乘法结合律和乘法交换律混用的习题）

5.拓展题 如25×16 看到25想到和4相乘，而16恰好是4×4再比如125×88看到125想到和8相乘，而88=8×11 提示：一定要记住5×2=10 25×4=100 125×8=1000 如果两个数相乘能凑成整十数，整百数„„那么就先把这两个数相乘，有些题要用乘法拆开。

三．布置作业

出示作业题

谭旭光：乘法演绎 篇3

中央电视台给“CCTV2005十大经济人物”谭旭光的颁奖辞如是说：“他驾驶动力升级的重型汽车，经营和资本双轮驱动，从容越过百亿大关，2005年，他出人意料地并购湘火炬，强力整合国内汽配市场。一个自信的实干家，习惯用加法计算国有资产。”

今天的谭旭光，已经不仅仅是用加法来计算国有资产，他要做的，是以更快的整合步伐发挥资源效应，完成潍柴动力(02338．HK)、法士特变速箱、陕汽重卡、汉德车桥这一目前中国重卡资源“黄金产业链”的整合，他要做的，是以乘法来演绎潍柴的辉煌明天。

股改透露整合玄机

“潍柴动力吸收合并湘火炬将能够有效地发挥协同价值。”谭旭光说，“合并前，公司管理链条过长，资源浪费很大；合并后，湘火炬的产业子公司将直接归属到潍柴动力公司下面，作为控股子公司，有利于各种资源的协同使用。”

谭旭光解释，潍柴动力作为一个产业投资者，收购湘火炬看重的不仅仅是其品牌、现有业务及资源，更重要的是潍柴动力和湘火炬业务间的协同效应。此次吸收合并最显著的效果是有利于产业资源的进一步整合。

潍柴动力、陕重汽、法士特、株洲火花塞等公司，过去在资本投资项下各自作战，合并后可以发挥协同作用，不必重复建设，资本的投入使用效率将得到极大提高。此前，无论从股权结构、公司管理以及湘火炬的利润构成等方面看，潍柴动力对陕西重汽和法士特等公司的影响都是有限的。吸收合并湘火炬之后，潍柴持有湘火炬的股权比例提高至51％，消除了中间环节，管理模式上也将更加有利于协作共赢。潍柴希望，以法士特齿轮为重要配件的变速箱和潍柴动力的发动机产品组成一个动力总成，构建中国最大、最好的动力系统制造、供应商，进一步提高产品开发能力、议价能力和获利能力。

合并吸收还将大大增强潍柴的国际技术合作能力和联合技术开发水平。据透露，潍柴今后将拓宽与国际先进汽车零部件、整车企业如MAN、EATON、康明斯等的技术合作，完成产品的升级换代和技术储备，迅速提升综合竞争力。而联合技术开发，将使其在提高重型卡车和动力总成的技术共享和产品品质方面有所作为。

销售体系的整合，则将保证公司在为消费者提供最优服务品质的同时降低成本。目前潍柴动力、陕汽、法士特等在全国已经共同构建了1500多家服务网点，这个中国最庞大的商用车服务网络，将以其销售和服务优势为潍柴的长期发展提供支持。

合并吸收之后，湘火炬的遗留问题也得到了良好解决。湘火炬集团目前管理费大约为1．5亿元，合并后会大幅下降；收益水平不良的非汽车产业投资也将整合和处理，不会影响公司未来发展。潍柴相对富余的资金实力和湘火炬旗下公司偏紧的资金状况之间的协调也将进一步降低财务费用。公司管理总部的高额费用将大幅压缩。

合并吸收后，发动机、变速箱、车桥构成重型车的动力总成，具有极强的核心价值和市场竞争力，可以增强潍柴在整个市场的强大话语权，垄断性的技术可以帮助公司进一步做大做强。

谭旭光说：“2006年上半年，此种战略协同效应已经初步凸现，陕汽重卡实现销售14936辆，增长率达71％，增长率全国第一。”

梦想超越整合之上

今天的谭旭光，已经超越了汽配市场，把目光投向了中国重卡产业。潍柴动力收购湘火炬后，潍柴动力、法士特变速箱、陕汽重卡、汉德车桥已经构成了目前中国重卡资源的黄金产业链，在动力系统、传动系统、车桥系统等基础零部件领域形成了中国规模最大、产品线最全、协同效应最佳的产业集群，具备了链合创新的优势和条件。

2006年，潍柴动力的订单同比提升超过30-40％，引起市场瞩目。上半年，潍柴销售发动机83207台，同比增长21％以上，远远高于同行业水平，公司业绩创下上市以来的最好水平。

谭旭光介绍，2006年1-8月，中国8吨以上重汽比上年增长15％左右，其中15吨以上重汽增长40％以上，以斯太尔发动机总成为主体的产品销售占8吨以上重汽的50％市场份额，各大重汽生产商普遍调整到斯太尔技术上。潍柴与中国重汽实施产权分离后，潍柴动力作为市场上的独立品牌，避免了单一经营风险，市场竞争能力加强，更有利于潍柴在市场上的配套。

2006年，潍柴不仅重型汽车市场做得好，在工程机械、发电、船用市场也都有良好表现，公司在8吨以上重汽行业占有率达到30％以上，5吨以上工程机械占有率达到78％。

“下一步我们要寻求与国际知名产业集团进行一些全面的合作，这种合作要有利于双方互利互惠，有利于民族品牌的发展，有利于参与国际市场竞争，能够给对方带来价值。”谭旭光说，“潍柴这些年一直致力于打造一个国际合作平台，沃尔沃、卡特、曼公司、道依茨等公司的总裁都多次来过潍柴，对我们的发展给予了很高的评价，特别是这次吸收合并的创新重组业务，更吸引了国际巨头的合作目光，他们从潍柴的身上看到了中国装备业未来的希望，我们也在积极探讨未来合作的可能性。同时，我们也与世界著名零部件集团进行合作，德国博世公司已经与潍柴签订了战略合作协议，这为我们提升零部件技术提供了条件。”

目前，潍柴已经与一汽建立了长期合作关系，开始为其配套340马力以上匹配潍柴发动机。潍柴和陕汽、福田、北方奔驰、红岩、柳工、龙工、临工、徐工等主要企业也都有市场化的合作。谭旭光认为：“除此之外，潍柴还要加快自主产品的研发。完全靠自己不行，完全靠别人也不行，要走一条借鉴别人的自主创新之路。”

有关资料显示，随着“十一五”期间中国经济的不断增长和工业化、城市化进程的不断推进，重卡产销量也将保持快速上升的态势。2005-2008年，国内重卡需求平均增速将达到15-20％，重卡(15吨以上)渐有替代中型卡车的趋势。与此同时，价格优势将成为国内重卡产品在国内、国际市场拓展的强大竞争力，中国重卡业已经初步具备了承接世界重卡产业梯度转移进而通过国际化战略称雄发展中国家市场的条件。

整合湘火炬、山东巨力后，潍柴旗下已经拥有H股和A股3家上市公司，谭旭光说：“一个企业家不会认为哪一件事情最有成就，因为企业家就是要不断挑战自我，超越自我。潍柴这几年能够迅速发展得益于三个方面：一是企业依靠一个好的产品，二是依靠一个好的团队，三是抓住一个好的机遇。这三句话说起来简单，干起来可能很困难。比如说，好的产品也要有好的创新机制。企业的运作是靠一个团队运作，形成一种合力才能创造今天的价值。”

乘法 篇4

一、完全平方公式应用中的错误

(一) 漏掉中间项

例1:计算: (a+4) 2

错解: (a+4) 2=a2+16

剖析:完全平方公式的结果有三项, 首平方, 尾平方, 积的两倍在中央.运用公式时不要漏项.

正解: (a+4) 2=a2+8a+15

(二) 中间项漏乘2

例2:计算: (2a-1) 2

错解: (2a-1) 2=4a2-2a+1

剖析:出现此类错误的原因是没有搞清楚中间项“2ab”中2的意义, 2a中的2是首项的系数, 不是乘积的2倍.计算时一定要找准公式中的“a”和“b”.

正解: (2a-1) 2=4a2-4a+1

(三) 符号处理错误

例3:计算: (-3a-1) 2

错解: (-3a-1) 2=9a2-6a+1

剖析:本题可看成首项“-3a”与尾项“-1”和的平方, 这两项同号, 因此中间项应为正.计算时要关注首项和尾项是同号还是异号.

正解: (-3a-1) 2=9a2+6a+1

(四) 系数未平方

例4:计算: (2a-3b) 2

错解: (2a-3b) 2=2a2-12ab+3b2

剖析:首项和尾项都应看成一个整体, 用积的乘方公式进行平方.

正解: (2a-3b) 2=4a2-12ab+9b2

(五) 与平方差公式混淆

例5:计算: (-x+y) (x-y)

错解: (-x+y) (x-y) =x2-y2

剖析: 两个括号中的第二项虽然相反, 但第一项并不相同, 不能用平方差公式进行计算, 应提取某一括号中的“-”号后再用完全平方公式.

正解: (-x+y) (x-y) =- (x-y) (x-y) =- (x-y) 2=- (x2-2xy+y2) =-x2+2xy-y2

二、平方差公式应用中的错误

(一) 相同项和相反项找错

例6:计算: (-x-y) (x-y)

错解: (-x-y) (x-y) =x2-y2

剖析:公式中, 相同项在前, 相反项在后, 但不是每道题目都是这样, 应该对比括号中的各项, 正确找出相同项和相反项.

正解: (-x-y) (x-y) = (-y) 2-x2=y2-x2

(二) 系数未平方

例7:计算: (2a-3b) (2a+3b)

错解: (2a-3b) (2a+3b) =2a2-3b2

剖析:与例4类似, 应将2a、3b看成整体分别平方.

正解: (2a-3b) (2a+3b) = (2a) 2- (3b) 2=4a2-9b2

三、综合运用中的错误

(一) 策略使用不当

例8:计算: (x+y) 2 (x-y) 2

部分同学的做法是用完全平方公式分别展开, 再进行多项式乘多项式的运算.

剖析:这样做固然可行, 严格来讲还不能算错, 但乘出来是9项, 繁琐且容易出错.较快捷的做法是先将两个底数相乘, 然后再平方.

正解: (x+y) 2 (x-y) 2=[ (x+y) (x-y) ]2= (x2-y2) 2=x4-2x2y2+y4

(二) 思维惯性导致的错误

例9:计算: (2a-1) (2a+1) (4a2-1)

错解: (2a-1) (2a+1) (4a2-1) = (4a2-1) (4a2-1) =16a4-1

剖析:前两个因式相乘用平方差公式, 和第三个因式相乘时应该使用完全平方公式, 但在思维惯性的影响下, 写成了平方差公式的结果, 解体时应把握住公式的结构特征, 克服思维惯性, 切不可想当然.

正解: (2a-1) (2a+1) (4a2-1) = (4a2-1) (4a2-1) =16a4-8a2+1

(三) 处理“-”号不当引起的错误

例10:计算:20132-2012×2014

错解:20132-2012×2014=20132- (2013-1) (2013+1) =20132-20132-1=-1

剖析:本题中的“-”号减去的是的2012乘以2014的积, 用平方差公式后应注意及时添加括号.该问题具有一般性, 两个代数式相减时, “-”号后的一般要用括号括起来.

正解:20132-2012×2014=20132- (2013-1) (2013+1) =20132- (20132-1) =1

乘法交换律和乘法结合律课后反思 篇5

吴家庄学校四年级张计荣

本课时的教学内容是义务教育课程标准实验教科书四年级下册第33—35页中的乘法交换律和乘法结合律。这部分内容是在教学了加法的运算定律及其相关简便运算后学习的。我主要是从下面几个环节展开教学的：

1、复习环节，我首先让学生共同回忆了加法交换律和加法结合律，因为本节课的教学内容是乘法交换律和乘法结合律，实际上加法交换律和乘法交换律、加法结合律和乘法结合律，它们的基本原理一样，只是所处的运算不同。我在教学中，就充分把握这一点，引导学生利用旧知迁移新知，自主探究出乘法的交换律和结合律。还进行了诸如“2×5，25×4，125×8，20×5，„„”这样的口算题训练，其目的之一是通过这组口算题的练习，明确这些题目的共同特点是都是乘法运算，而且积是整十或整百或整千数，为后面运用乘法的交换律和结合律进行简便计算奠定了基础，其目的之二是通过这一组乘法口算，揭示今天的学习内容。

2、探究新知环节，我主要是通过引导学生对主题图的观察，让学生探究解决“负责挖坑、种树的一共有多少人？”和“一共要浇多少桶水？”这两个问题，找出解决问题的相关信息，并会用不同的方法解答。在此基础之上，再引导学生通过对两种方法的比较，归纳总结出乘法交换律和乘法结合律。随后还引导学生学会运用刚刚学到的乘法交换律和乘法结合律进行简便计算，培养了学生学以致用的能力。

3、巩固练习主要穿插在各个知识点的教学之后，及时反馈学生对各个知识点的掌握情况。注重引导学生经历解决问题的过程，让学生在体验过程的同时感受到了成功的喜悦。

当然，在教学过程中，也存在很多的不足，如：

1、在进行乘法结合律的教学时，放手不够，可以充分放手，让学生自主探究出规律，学会利用学过的加法结合律迁移进行新知的学习。

2、教学语言还要注意精炼，有时还是喜欢重复学生的回答。

“乘法”·“减法”·“加法” 篇6

【中图分类号】G710 【文献标志码】C 【文章编号】1005-6009（2016）09-0013-02

一、参与现代职教体系建设、提升教学质量的关键在于职校要积极做“乘法”

现代职业教育体系建设是江苏省积极探索技术技能型人才培养的一个新途径，它着眼于探索职业教育学生新的升学路径，更加注重过程中人才培养质量评价标准的建立。教育质量问题是学校发展的核心问题，直接关系到学校的生存和发展。在现代职教体系建设过程中，职校要充分利用自身的技能培训优势和高校的理论教学优势，积极与高校做“乘法”。职校最大的优势是教育性与职业性的紧密融合、与企业产业的高度吻合；高校最大的优势是理论研究的深度和广度。所以在合作过程中，职校与高校可以共同开展对课程标准、课程内容和教学大纲的修订，中职阶段的课程以打基础、重应用、强实践为主，强化学生专业认知，建立职业概念，重视实际动手技能和创新能力培养，鼓励学生在真实或模拟的工作场景中发挥主观能动性和实践性。要注重学生基础素质教育与职业素养培养，课程设置要由浅入深，教学内容要衔接有序。这样学生到了本科阶段，在专业资质、技能和职业素养的提升方面才会有更大的空间，更有利于学生的可持续发展。

二、规范教学管理、提升教学质量的基础在于职校要擅长做“减法”

教学质量是学校生存和发展的生命线，直接关乎人才培养的质量。教师、学生、教学内容、教学方式是教学活动的重要组成部分，教师是教学的主导，教师教的质量是教学质量保证的源头。

主管部门关于教学的规范很多，也经常会不断地检查、督导。这些检查、督导无非就是强调教师教学过程的规范化，强调正确处理教师的教和学生的学。在强化教育规范管理的过程中，学校不妨做做“减法”：面对众多的规范、条例，不是一味地增加再增加规定和要求，用条条框框束缚住教师的手脚，而是将管理规范简化为教学基本常规，要求教师在授课过程中精细化执行，鼓励教师积极探索教学改革，调动教师的积极性。将课堂教学基本要求明确化、简洁化，要求教师理解并熟练运用于教学过程中，通过教务处和系部两级管理，强化教师日常授课准备、授课过程、作业布置、教学考核等教学基本环节的规范性，注重对整个教学过程的管理与监控。这样执行后，教学效果会事半功倍。同时充分发挥督导工作在教学常规把控中的独特作用，坚持以导为主，以督为辅，促进教学过程的规范和教学质量的提升。这些简明扼要、具备很强的可操作性的要求和规范被教师正确理解、完全执行，必然会持续改进教学效果，提高人才培养质量。

三、创新人才培养模式、提升教学质量的特色在于职校要推动做“加法”

学校特色是学校教育质量的载体，也是学校教育质量的重要体现，学校特色建设的过程也是学校教学质量不断提升的过程。

职业学校的特色自然与行业企业紧密相连，能服务地方经济发展的才是真特色。由于企业介入不深，职校从课程体系到课堂教学内容等各方面均有着浓郁的学科色彩，反映职业需求和企业实际业务流程的课程改革不够深入。职校在提升教学质量的过程中，要积极推动学校与行业、企业的合作，积极做“加法”：学校+企业+行业+政府+……当更多的主体参与了办学，当职校的教学围绕着经济的发展、企业的需求时，培养出来的学生自然就成为受企业欢迎的人才。目前许多职业学校根据人才培养模式创新的要求开始实施现代学徒制。现代学徒制就需要学校积极做“加法”，主动联系行业企业，以校企合作为基础，以学校、企业的深度参与和教师、师傅的深入指导为支撑，通过学校与企业的深度合作、教师与师傅的联合传授，实现对学生技能的培养。例如我校正在实施的“四位一体”现代学徒制，由张家港地方政府、行业企业、德国职教集团、张家港中专校四方共同建设：政府提供资金保障，行业企业提供岗位用工标准与要求、岗位需求和实践机会，德国职教集团提供教学标准，学校根据行业企业要求，参照德方标准，改革教学方式、教学手段，组织实施教学。这样的“加法”，使得职教课堂在教学内容上实现专业对接产业、课程对接岗位、教材对接技能、人才培养对接用人需求；在教学师资上实现学校教师、企业能工巧匠互访互派，共同参与教学；在学习模式上实现学生既在学校学习理论与基础技能，同时还要到企业了解岗位职责和职业内容，学生学到真技能，成为与行业企业发展要求吻合的优秀劳动者。

乘法公式与名画《难题》 篇7

小芳首先打破了沉默:“这道题若先算平方, 再求和, 然后做除法, 挺麻烦的.有简便方法吗?”

“数学通”小亮见识广、思路宽, 他胸有成竹地说:“解本题易如反掌, 因为题中隐藏着五个连续自然数平方的某种关系.”他在黑板上写出:

他接着说:“由于102+112+122易用口算得出结果为100+121+144=365, 因而名画《难题》的答案等于2不就一目了然了吗?!”

看到这道“难题”的巧妙解答, 组长小明高兴地说:“这次活动的主题是寻求连续自然数的等幂和等式.我们现在已经知道的就有两个等式:32+42=52, 102+112+122=132+142.请大家观察一下, 它们有什么规律呢?”

小严善于观察, 他说:“第一个等式:32+42=52, 式中连续自然数是左边两个, 右边一个, 左边比右边多一个.”

未等小严说完, 性急的小婷便急忙说道:“第二个等式:102+112+122=132+142, 式中连续自然数是左边三个, 右边两个, 也是左边比右边多一个.我大胆猜想, 若有第三个等式, 应该是左边四个, 右边三个了.可如何寻找出这个等式呢?”

一声不响的小娜突然说:“老师讲过, 奇数个连续整数问题, 往往设中间的数为x.”接着她依照小婷的猜想在黑板上写了下面的等式:

她接着说:“这个方程我们可以用刚学过的完全平方公式来化简, 其结果为x2=24x, 显然x=0或x=24.

当x=0时, 32+22+12+0=12+22+32是个恒等式.

当x=24时, 212+222+232+242=252+262+272.”

看到大家非常兴奋, 小明严肃地说:“大家先别高兴, 能否迅速地写出这样的等式, 关键是找到中间的数.请大家观察这三个等式32+42=52, 102+112+122=132+142, 212+222+232+242=252+262+272, 中间数4、12、24有什么规律呢?”

小亮的数学功底的确深厚, 他在黑板上写了下面三个等式:

他说:“它们都可写成三个自然数的乘积, 其中一个为2, 其余是两个连续的自然数, 两数之和恰好分别是3、5、7, 对应着等式中连续自然数的个数.”

小严善于从具体的例子中找出规律来.他说:“由于奇数可用2n+1 (n为自然数) 来表示, 而2n+1=n+ (n+1) , 所以2n+1个连续自然数最中间的一个, 应该是2n (n+1) .”接着他在黑板上写出:

当n=1时, 2n (n+1) =2×1×2=4, 等式为32+42=52.

当n=4时, 2n (n+1) =2×4×5=40, 等式为362+372+382+392+402=412+422+432+442.

下面是2004年南昌市的中考试题, 读了这篇文章, 相信你能拿满分.

欣赏下面各等式: (1) 32+42=52; (2) 102+112+122=132+142.请写出下一个由7个连续正整数组成, 前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式_____.

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连用乘法公式技巧多 篇8

1.位置变形后连续运用乘法公式

分析:观察式子的结构特征, 若将﹙-n4-m4﹚变为-﹙m4+n4) 可连续运用平方差公式.

2.符号变形后连续运用乘法公式

分析:观察式子的结构特征, 发现将﹙-2-a﹚变为-﹙a+2﹚后, 连续运用平方差公式既简单又快捷。

3.指数变形后连续运用乘法公式

分析:先逆用幂的运算法则将各因式的指数位置变形, 然后再连续运用乘法公式.

4.增加因子后连续运用乘法公式

例4计算[3﹙22+1]﹙24+1﹚﹙28+1﹚-2]2018

分析:由于“1”乘以原式不变, 而“1”又可拆成“2-1”, 将“3”写成“2+1”, 从而增加因子﹙2-1﹚﹙2+1﹚可连续运用平方差公式.

分析:直接计算很繁, 但注意到3=2+1, 1=2-1, 用1乘原式值不变, 因而增加因子“2-1”后, 可连续运用平方差公式.

5.分组变形后连续运用乘法公式

例5化简﹙a+b+c﹚2

分析:此题是多项式的平方, 显然不能直接运用乘法公式, 若将括号内三项式中任意两项组合成一个整体, 转化为一个二项式的平方, 进而运用完全平方公式达到化简目的.

注:若将括号内三项变形为[a+ (b+c) ]2或[ (a+c) +b]2, 利用完全平方公式化简的结果完全相同.

本题的结果还是可以看作一个乘法公式﹙a+b+c﹚2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

在解题中使用.例如计算﹙a-b+c﹚2, 直接套用公式即可得到化简结果.

6.拆项变形后连续运用乘法公式

例6化简﹙-3x+5y+2﹚﹙-3x-5y+6﹚

分析:此题的两个因式不符合平方差公式的特征, 难以套用公式。但若把“2”拆为“4-2”, 把“6”拆为“4+2”, 再通过合理分组, 使之符合平方差公式的特征, 则可巧用公式, 简捷求解.

同步训练:

参考答案:

1.先逆用幂的运算法则, 将各因式的指数位置改变后, 再运用平方差公式和完全平方公式

《乘法估算》教学设计 篇9

教学目标:

1.使学生掌握乘法的估算方法, 在解决具体问题的过程中, 能应用符合实际的方法进行估算, 逐渐养成估算习惯。

2.培养学生灵活运用估算方法解决实际问题的能力, 逐步形成积极、主动的估算意识。

3.让学生体会到生活中许多问题的解决需要用估算, 感受数学和生活的联系, 培养学生学习数学的兴趣和信心。

教学重难点:根据实际情况选择合适的估算方法。

教学设计理念:《数学课程标准》对于第二学段的估算也明确要求:在解决具体问题过程中, 能选择合适的估算方法, 养成估算的习惯。它的着眼点在“结合实际情况, 选择合适的估算方法”。所以在本节课的教学中本着从生活中来到实践中去的原则, 整个课堂情境真实有趣, 融合几种不同的估算方法, 在教学中注重让学生自主解决, 学生在评价中逐渐建构起估算的方法, 学会运用数学的思维方式去观察、分析现实生活中的有关现象, 去解决日常生活的有关问题, 并体验数学的应用价值, 从而培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

教学过程:

一、联系生活, 谈话引入

(1) 我们四 (1) 班有多少名学生? (46)

你估计我们四年级4个班一共有多少人?

生1:差不多200人吧。46看作50, 50乘4得到200人。

生2:大约是180人, 把46看作45, 这样45和4相乘180人。

刚才你们的估算都有一定的道理, 我们四年级的实际人数是189人。祝贺你们!你们的估算和实际人数还是比较接近的。

(2) 开学初, 学校给我们四年级每名学生发放2本笔记本, 应该购买多少本比较合适呢?

生1:378本。

生2::400本。最好多准备几本。所以我用200和2相乘一共400本。

师:生活中, 有时我们要根据实际需要进行估算, 今天我们学习乘法估算。 (板书课题)

(评析:把学生身边最熟悉的数据引入课堂非常自然亲切, 既复习了两位数乘一位数的乘法估算方法, 又能够让学生切实体会到生活中估算的简便特点和必要性。)

二、探究方法, 学习新知

出示热带海洋世界公园的图片。 (千年塔、水上世界、蛙蛙跳游乐场等图片) , 这些风景和游乐项目大家喜欢吗?学校将要组织四年级同学去热带海洋世界公园秋游, 我们一起来看看秋游中将会遇到的一些问题吧!

情境一:从学校到热带海洋世界公园的车票和门票每人需要44元, 要购买189套门票和车票, 应该准备多少钱?

学生思考, 独立尝试。

(评析:个别学生不够理解“准备多少钱”和“应付多少钱”的区别, 所以出现方法一。也暴露出学生的估算意识不够, 但教师抓住这个生成资源, 引导学生和后面的估算方法比较, 丰富学生对估算必要性的认识。)

讨论交流:如果你是带队的老师, 你认为上面哪种计算结果更合理, 说说你的看法。

生1:我觉得第一种方法得到的计算结果最准确。

师:是呀, 笔算得到的钱数才是最准确的, 你们认为怎么样?

生2:我不同意, 虽然第一种答案最准确, 但如果钱准备的正好, 不能够应付一些紧急的情况, 从实际情况看还是多准备一点合适。而且笔算也麻烦, 不如后面的几种方法简便。

师:你从计算的简便性和是否符合生活实际两方面对第一种方法作出评价, 分析非常有道理。

生3:第二种和第三种估算应该比较合理, 估算时把一个因数或两个因数都估大一些, 这样得到的结果比实际钱数多一些, 钱准备得比较充分符合生活实际。

师:比较第二和第三种方法, 你们觉得哪个结果最接近实际得数?

生4:应该是第三种方法, 因为只把其中一个因数189看作200, 第二种方法两个因数都估大了一些, 这样估算结果比实际得数相差会大一些。

师:你们怎么评价后两种估算结果?

生5:这两种方法都是应用“四舍五入”法来估算的, 这样估算结果比实际得数还小, 准备的钱不够用, 当然就不符合实际情况了。

师:在解决这个问题中你对乘法估算有哪些新的认识?

生6:有些时候不能再按照以前的“四舍五入”法进行估算了, 可能要根据生活实际情况把数据估大一些, 这样更符合生活实际。

生7:估算比准确计算更简便。

师小结:经过大讨论我们知道第二, 第三种估算方法都是合理的, 生活中我们在做准备时, 一般都采用估算的方法, 同时为了使准备显得更充分, 在估算时不一定要采用“四舍五入”的方法, 可以将数字估计得大些。

情境二:在“海洋世界”的水上表演馆中, 观众的看台分成了12个区, 每个区有28个座位, 可以同时容纳四年级全体同学观看表演吗?

师:可以用估算知识来解决吗?

师:你们的估算方法与上一个问题相同吗?

生4:这三种方法都是应用“四舍五入”法进行估算的。

师:从哪个算式的估算过程你可以肯定座位的数量一定多于189个呢?

学生小组讨论

生5:第二个算式第一个因数不变, 第二个因数12估为10, 所以实际的得数一定比280还要大一些。

师:因为实际得数大于280, 所以看台可以同时容纳四年级189名同学观看演出了。

情境三:十点钟同学们来到“蛙蛙跳”游乐场地, 每次可供6个人同时参加, 每次需要5分钟。如果全体同学都参加, 十二点钟能够结束吗?

分钟, 说明十二点前不能结束。

生2小声质疑:把189估为180, 估小了一些可以吗?

师:你们也有这样的疑问吗?把189估为180可以正确解决问题吗?

生3:可以, 因为就算只有180人, 根据我们的估算时间已经不够, 189人所需的时间比150分钟还多一些, 2个小时更不够用了。

师:非常棒, 能够对我们估算的过程作出非常合理的解释, 看来并不是任何时候都要把数据估大一些。有时也可以把数据估小, 同样能够解决问题。所以我们一定要具体问题具体分析, 灵活地选择合适的估算方法。

(评析:学生一个个的质疑把问题引向深入, 教师引导学生对估算结果的合理性进行分析, 进一步提升学生的数学思维能力。)

师:你有更好的办法让每个同学都能玩一次“蛙蛙跳”游乐项目吗?

生:四个班的学生最好分组活动, 先安排一部分学生去玩其他游乐项目, 不要同时在这里等待, 可以节约时间。

情境四:热带海洋世界公园离学校22千米, 汽车每分钟行830米, 如果我们十二时半开始返回, 下午一时能准时回到学校吗?

所以可以在下午一时回到学校。

(评析:因为估算不同于准确计算, 结果可以多样, 但什么时候往大估, 什么时候往小估, 对学生是难点, 所以本环节老师结合几个具体事例, 让学生独立尝试后重点讨论估算方法、估算过程、估算策略的合理性。在交流碰撞中学生逐渐达成共识, 逐步认识到要结合生活实际情况估计才更合理, 如何估算才既简便又接近准确值。)

三、课堂总结, 归纳概括

师:今天我们学习用估算解决问题, 你们有哪些新的收获?

四、课后实践, 拓展延伸

1. 选择你阅读过的一本书, 估计这本书的字数, 并和同伴说说你估计的过程。

2. 调查一个滴水的水龙头一天浪费多少千克的水, 并估计一年大约要浪费多少千克的水。结合本班同学每天的喝水情况, 估算够一个班喝多长时间。

(评析:课外实践, 鼓励学生运用估算, 去思考、去解决一些实际问题, 以锻炼和提高学生的估算能力, 增强学生的估算意识, 使学生感受数学的趣味和作用, 增强学习和应用数学的信心。)

教学评析:

1.真实有趣的情境, 激发学生的探究兴趣。这节课教师设计一个完整而有效的情境, 从估算四年级学生人数到秋游过程中的种种问题, 融合估算的几种不同情况。真实鲜活的学习素材, 有效激发了学生的探究兴趣, 学生真正体会到数学的应用价值。

标量乘法的快速算法 篇10

1 标量乘法

定义1设p是一个素数，β∈Zp*, α是一个本原元，α∈Zp*, 已知α和β，求满足αw=βmodp的唯一整数w (0≤w≤p) 称为椭圆曲线上的离散对数问题。

对于有限域Fq上的椭圆曲线有限群E (Fq) ，我们可以构造一种特殊的加法运算，使得椭圆曲线上的点和无穷远点O构成一个Abel加法群。然后对于P, Q∈E (Fq) 和任一整数w (0≤w≤#E (Fq) ) ，假如P和Q之间存在关系式Q=w P时，由P和w计算Q是容易的，但是反过来由P和Q确定w却是困难的。即函数

w→w P是一个单向函数。

据此，可以构造各种公钥密码体制。椭圆曲线密码体制正是基于单向函数 (即基于椭圆曲线上的离散对数问题) 所构造的一类公钥密码体制。

定义2对点P(即E (Fq) 的循环子群

的生成元)，我们称之为

的一个基点。对任意的正整数w (0≤w≤#E (Fq) ) 其中#E (Fq) 是循环群的阶，和任意的点Q∈

称计算w Q的运算时对椭圆曲线E (Fq) 中的标量乘法。对基点P和标量乘法w P，称之为关于基点P的标量乘法。本文中，有时候称标量乘法w P是关于固定基点的标量乘法，而称w Q(这里Q为E (Fq) 重任一点)是关于随即基点的标量乘法。

计算标量乘法w P分为两个不同层次的运算。一个层次是首先将求w P的运算化简为椭圆曲线E中的一些点加运算和倍点运算，我们称这一层的运算时求w P的上层运算;另一层是对这些点加和倍点运算在定义椭圆曲线的有限域E (Fq) 上展开运算，称此层次的运算是求w P的底层运算。显然上层运算是椭圆曲线E上的一种运算，它的有那算对象是E中的元素，而底层运算时E (Fq) 上的一种运算，它的运算对象是E (Fq) 中的元素。

2 一般Abe l群上标量乘法的快速算法

定义3对任意α= (α0, α1, α2…αn-1) ∈Vn (Fq) ，我们定义W (α) 为α的不等于0的分量个数，即，我们把W (α) 叫做α的Hamming重量。简称α的重量，并把玛C中不等于0的码字的重量的极小值min{W (α) /α∈C, α≠0}叫做α的极小重量。

设G是一个有限的Abel群，G中运算用加法表示，即P∈G, #G≈0 (2n) , w∈[1, #G]是一整数，目前对标量乘法w P一般有下面三种快速算法：

2.1 二进制方法, 即“平方一乘”方法

设w的二进制表示是

其中αi=0或1, i=1, 2…l则对标量乘法w P，有

因此，利用“平方一乘”方法，对w P的计算共需l次椭圆曲线E中的倍点运算和W (w) -1次椭圆曲线E中的点加运算，l+1为w二进制表示中的比特位数。

2.2 m进制方法和改进的m进制方法

m进制方法：设r是某个正整数，取m=2r，并设w的m进制表示如下：

其中0≤αi≤m-1 (i=0, 1, 2…l)

由于0≤w≤#G≈0 (2n) , 在 (2) 中可设rl+1≤n即

由 (2) 可得w P的计算式如下:

利用与计算结果(分别计算P, 2P… (m-1) P，并将其列表，以期对(3)中的αiP直接查表求得。通过迭代方法，w P能够在l次m倍点和W (w) 次点加运算后求出。

改进的m进制方法：从(3)中看出，利用m进制方法对w P行计算时，基本的运算是对m Q+αiP=2rQ+αiP (4)的计算，因此可将αi中的2因子分离出来与2rQ中的一部分一同进行计算，即

假设αi=2sihi (i=1, 2…m-1) 时

(其中si

将(4)改成(5)，虽然总的倍点运算没有减少(仍然为r次)但是由于hi是奇数，这样可以减少预计算阶段的计算量，只需计算出k (k≤m-1) 为奇数时kP的值即可。

首先算出2P，然后由 (2i+1) P= (2i-1) P+2P即可计算出所有3P, 5P, 7P… (m-1) P的值。

2.3 滑动窗口方法

设w的2进制表示是

其中αi=0或1, i=l, 2…l，显然w的m=2r进制可通过(1)式右也从左到右将r项合并成一项后得到。

因此，计算出w P的m进制方法本质上也是在二进制方法基础上，按照每隔r项合并计算出一次的办法而得到的一种方法，但是(1)中的αi取0或1是随机的，这种按固定间隔合并计算的方法一定不会经按照αi取0或1的情况进行灵活处理后有效，由此产生了滑动窗口的计算方法，相对于这一方法，m进制方法可看作是窗口宽度为r的一种固定窗口计算方法。

3 椭圆曲线上标量乘法的快速算法

定义4整数w的一个扩展二进制表示是指将w写成形如(1)式时，允许αi取-1即αi{-1, 0, 1}, (i=l, 2…l) 称w的一个扩展二进制表示式(1)是全不连通的，若对所有i有αiαi+1=0(即α1, α2…αl中，任何相邻两个数中都至少有一个是零), w的一个不连通扩展二进制表示记为NAF。

定理1每一个整数k都有唯一的一个NAF表示，使其长度比k的二进制表示最多多1，并且在k的所有扩展二进制表示中，这个NAF表示的权重(即α1, α2…αl中非零元的个数)最小。

因此，我们对椭圆曲线E中的标量乘法w P，我们首先利用上述定理将w写成它的NAF表示式，然后再套用前面的m进制方法或滑动窗口方法，即可快速计算出w P。

4 结束语

在高科技发展的今天，人们对密码学的关注越来越多了。不光要求密码体制的安全性，还要求密码体制的快速实现，以便来提高实现效率。有了对w P的上层运算的快速计算，相信密码学在实际应用中将更有效。

参考文献

[1]万哲先.代数和编码[M].北京:高等教育出版社, 2007 (6) .

[2]王育民, 刘建伟.通讯网络的安全理论与技术[M]西安:西安电子科技大学出版社, 2007 (7) .

[3]白国强.椭圆曲线密码体制及其算法研究[D].西安:西安电子科技大学博士学位论文, 2000 (10) .