数学中的数形结合教学

数学中的数形结合教学（精选十篇）

数学中的数形结合教学 篇1

关键词：数学,教学,数形结合

几何直观能够启迪思路, 帮助理解。因此, 借助几何直观学习和理解数学, 是数学学习中的重要方向。著名数学家华罗庚也说过:“数缺形时少直观, 形少数时难入微”。这就要求我们在数学教学中, 学生解题中, 充分运用数形结合的思想。数形结合有助于将抽象思维和形象思维有机结合起来思考, 其效果往往比进行纯数学理论的抽象、烦琐甚至于枯燥的推演要好得多。下面结合具体实例谈谈数形结合思想在数学解题中的运用。

1 运用数形结合, 直接得结论

例1、设函数y=f (x) 是最小正周期为2的偶函数, 它在区间[0, 1]上的图象为如图1所示的线段AB, 则在区间[1, 2]上f (x) =-----

分析:根据函数y=f (x) 是最小正周期为2的偶函数以及它在区间[0, 1]上的图象为线段AB, 我们依次作出f (x) 在区间[-1, 0]和[1, 2]上的图象。

如图2 B (1, 1) , C (2, 2) BC线段就是区间[1, 2]上的图象所以f (x) =x

例2、判断函数y=1gx图象与函数y=sinx交点个数

分析:本题无法通过求解值得到答案。但如果在同一个坐标系中作出函数y=1gx与y=sinx的图象如图3, 交点3个就在图形中。

2 运用数形结合, 解题中便于分类讨论

是否存在实数c, 使之满足 若存在, 请求出它的取值范围, 若不存在, 请说明理由。

分析:本题如果不画图形, 要找到分类的标准是一个难点。但如果数形结合, 作出该分段函数的图象, 如图4即可知f (x) 的值域为[0, 1], 故

b.当 时, 不等式不成立, 满足条件的c不存在。

c.当 时, 可求得直线l :与函数f (x) 图象的交点的横坐标为 。由图4可知满足不等式的条件为

评析:在本题我们看到, 在解决某些分类讨论的问题时, 分类的标准并不明显, 而通过数形结合就可以很轻松地找到分类的依据和标准, 有助于我们理解为什么这样分类, 对解题起到了非常好的辅助作用。

3 借助数形结合, 能巧解数列问题

例4、等差数列{an}中, d>0, 前n项和为Sn。满足条件S14=S28, 当Sn取得最小值时, n=______

分析:本题可以从多个角度解决, 但若利用 的图象来处理。

如图5有S14=S28, 可知n=31为对称轴。

例5、某厂2004年生产利润逐月增加, 且每月增加的利润相同, 由于企业发展需要, 还需改造建设, 1月份投入建设资金恰好与1月的利润相同, 随着投入资金的逐月增加, 且每月增加投入的百分率相同, 到12月投入的建设资金又恰好与12月的生产利润相同, 问全年该企业的总利润W与全年总投入N的大小关系是 () A、W>NB、W

分析:本题实质是一个等差数列和一个等比数列的部分和大小的比较问题, 每月生产利润构成等差数列{an}, 公差d>0;每月投入资金构成等比数列{bn}公比q>1。已知a1=b1, a12=b12的条件下, 比较与的大小, 如果利用代数方法处理, 比较烦琐且没有必要。但如果数形结合, 有an=a1+ (n-1) d, bn=b1qn-1, 则由一次函数及指数函数的图象如图6可知:a1=b1, a2>b2, a3>b3, …a11>b11, a12=b12, 所以W>N。

评析:上面两例, 我们就是应用了等差, 等比通项公式可看成一次函数和指数型函数, 等差求和式看成二次函数, 从而利用这些函数的图象, 简单得出结论。

4 运用数形结合, 探索解题的途径

例6、已知关于x的方程2x-1+2x2+m=0有两个实数根, 则实数m的取值范围是 ()

分析:该方程既有指数型, 又有幂函数型, 通过代数方法无法找到突破口。若把方程变形为4x2+2m=-2x令f1 (x) =4x2+2m, f2 (x) =-2x结合图形如图7, 分析可知2m>-1, 故

例7、设a, b为正数, 并且a+b=1, 求证:

分析:本题证明过程写起来比较难理解, 但如果我们构造图形来证明。如图8, ABCD和BEFC是两个并排着的边长为1的正方形, P是边BC上的点, Q是边EF上的点, 设BP=a, QF=b, 由平面几何知道AP+PF≥AF, 其中等号当且仅当P与边BC的中点重合, 即 时成立。

初中数学教学中的数形结合法 篇2

覃斗中学徐慧贤

数学课程标准总体目标明确提出：“让学生获得未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。数学知识本身那固然重要，但是对于学生的后续的学习，生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。初中数学常用的数学思想思想方法有：化归思想方法，分类思想方法，数形结合的思想方法，函数思想方法，方程思想方法，模型思想方法，统计思想方法，用字母代替数学的思想方法，运动变换思想方法等。

初中数学的两个分支——代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究”形“的。但是研究代数要借助于“形”，研究几何要借助于“数”，几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法。数学家华罗庚说的好“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。

数学史中的数形结合：“中国的儒家传统文化和教育统一贯重“一”或整体的价值”,这种注重“一以贯之”的整体性和直觉性的思维模式，是“数形结合”思想产生的本源。《九章算术》中所给出的各种筹算运演规则，如开方术、方程术、割圆术、阳马术、盈不足术等，从命名上就可以发现这些“程序”性法则（类似于算法）的直观性。现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。

数形结合的具体应用：

函数数形结合的应用

1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。

例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。

请结合图像，回答下列问题：

（1）根据图中信息，请你写出一个结论；

（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？

（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。

分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。

解：（1）略

（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），当x＞2时，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同学接完水需5.5分钟。

（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。

若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水，当0＜t≤2则8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

当t＞2时，则8×2÷4=4（分）

即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。

所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。

初中数学中的数形结合思想 篇3

关键词：初中数学 数形结合 应用

初中数学是初中教学的重点内容，同时也是教学的难点。初中数学知识与小学数学知识相比，知识量更大、难度也大大增加，加之数学知识的片面性和抽象性，学生在学起来具有一定的难度。但是，数学作为一门研究数量关系和空间形态的学科，它所有的理论知识均是围绕着数与形来展开的。而数形结合的解题思想则正是充分运用这一点来对数学问题进行分析和解决。所谓的数形结合思想实际上就是利用“形”来直观地表达和反应数学问题的本质，再用“数”来对“形”的各种性质和变化规律进行分析和探究。下面就数形结合思想在初中数学中的主要应用进行了探讨。

有理数中的“数形结合”

有理数是初中数学学习的入门知识，是学生后期数学学习的理论基础。在有理数的教学过程中，如果教师可以引导学生合理地运用数形结合的思想，则有利于学生分析和理解所学的数学知识，拓展学生的数学思维，提高学生数学分析能力。而就有理数的学习阶段，数形结合思想主要表现在数轴的应用上，学生如果可以掌握数形结合思想，就可以借助数轴来解决教学过程中所遇到的各种数学问题，如有关倒数、相反数和绝对值等类型的数学问题。此外，教师还可以借助生活中常见的物体作为研究对象，来为学生讲解有关的数学知识。例如，教师可以用温度计来帮助学生理解数轴的概念，然后对数轴上的数和点的关系进行明确，让学生掌握用图形来分析数学问题所涉及的数量关系，从而达到提高学生数学解题能力的目的。

例1：已知实数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，试化简下式：

解析：该道例题是数形结合思想的最好体现，从数轴上我们可以明显地得看出实数的正负性、各数之间的大小关系，从而有利于式子中绝对值跟根号的化简，而只要将式子中的绝对者和根号化简掉，就可以明显地得出有关的结论。下面就该道例题的具体解题步骤进行阐述。

解：由题目所给数轴可知：b<0，c<0，a大于0，且b-c<0，a+b<0，则可得：

，由此即可得到最简的化简形式。

函数中的“数形结合”

函数是初中数学教学中一个重点内容，同时也是一个涉及的知识面最广的内容，尤其是二次函数问题更是教学的重点内容。二次函数问题通常比较抽象，学生学习的过程中会有一定的困难，所以，大多数学生不愿意接触与二次函数有关的问题，甚至对其有一种莫名的恐惧感。这样致使学生形成了一种不正确的数学解题观念，非常不利于学生数学能力的提高。由于二次函数本身的特性，它与图形之间具有紧密的联系，学生只需要建立直角坐标系，并对题目中函数的关键点进行定位即可做出有关的图形，从而更加直观、形象地分析问题，这样将大大地降低学生解题的难度。理论上来讲，在二次函数定义式子（y=ax2+bx+c）中，参数a决定二次函数图形的开口方向，c决定二次函数图形与y轴的交点，而二次函数图形的对称性则由参数a和b所共同决定。因此，如果可以将数形结合思想合理地运用于数学教学中，则可以有效地提高学生解决二次函数问题的能力。

例2：已知点（-1，y1）、（-3，y2）和（2，y3）均在二次函数y=3x2+6x+2的图像上，则y1、y2、y3之间的大小关系为________。

解析：该道例题是一个与二次函数有关的大小判断题，如果学生不懂得利用数形结合的思想，则必须要将每个点的x值反代入二次函数中，分别求出相应的y值，这样将大大增加工作量。而如果学生可以借助数形结合法来做出y=3x2+6x+2的图形，则可以很快得出y1、y2、y3之间的大小关系。下面就该道例题的具体解题步骤进行阐述。

解：由二次函数式y=3x2+6x+2，我们可以将其化简得出一般的形式，可以得到y=3（x+1）2-1，则可以画出其对应的简图，如下图所示。

通过图形我们可以很容易地知道，当x=-1的时候，y值最小，当x=2的时候所取的数值要比x=-3的时候所取的值大，所以y1、y2、y3之间的大小关系为：y2>y3>y1

结束语

数形结合思想作為一种解题思想，在初中数学学习中扮演着重要的“角色”。它可以使抽象的数学问题直观化、形象化，有利于学生理解和认识，从而为学生解决数学问题奠定坚实的基础。因此，在开展数学教学的过程中，教师要引导学生树立数形结合的解题思想，从而达到提高学生数学解题能力的目的。

探析小学数学教学中的数形结合 篇4

在小学数学教学过程中, 教师应该抓住小学生的年龄特征, 巧妙地将一些比较抽象的数学问题转化成形象和具体的图形, 激发他们的学习兴趣和热情。要想培养小学生对数学知识的认知, 教师不仅要注意在讲课过程中使用各种教学工具辅助教学, 使学生能够在观察实物的基础上加深对数学中的数学问题的理解, 而且应该培养学生勤动手、爱动手的习惯, 引导学生独立思考, 将数学中的数字内容用笔画出来, 将其转化成可以看得见的图形[1]。

例如, 在讲授小学数学中“鸡兔同笼”的问题时, 这个内容, 我们就可以利用数形结合思想。题目是这样的:鸡和兔子在同一个笼子中, 它们一共有8个头, 22条腿, 那么问鸡和兔子分别是有多少只? 单看这个文字和数字的内容, 小学生理解起来可能有点吃力。用算术方法解答鸡兔同笼问题, 还可能会使有些学生不完全理解, 而借助画图, 就能一步一步地总结出方法和规律, 并能加深学生的理解。对于这样的问题, 我们首先可以画出8个圆, ○-○-○-○-○-○-○-○, 表示8只动物, 假设这8只动物全是鸡, 则给每个圆画上2条腿用“丨”表示, 可以直接画在○下方。可以知道一共画了8×2=16条腿。还有22-16=6条腿没有画上, 在把剩下的6条腿画上, 这样每个圆还要再加上2条腿, 6条腿就可以加6÷2=3只。这样从画好的图形中, 我们就可以看出来, 画有4条腿的是兔子, 共有3只;而画有2条腿的是鸡, 共有5只。

二、数形结合思想有利于增强学生的思维能力和创新意识

在分析问题的过程中, 如果能把数字和图形结合起来进行考查, 并且根据具体情形, 把具体的问题转化成数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化成图形的问题, 就可以使复杂的问题简单化, 抽象的问题具体化, 从而化难为易, 事半功倍[2]。例如, 一辆汽车从甲地开往乙地。若把车速提高20%, 则可以比原来提早1小时到达;若以原速行驶120千米之后, 再将车速提高25%, 则可以提前40分钟到达。问两地距离多少千米?我们可以利用长方形的长表示速度, 宽表示时间, 则长方形的面积表示总路程, 因为不管是以原速度原时间行, 还是以变化后的速度和时间行, 总路程都不变, 即长方形的面积不变, 那么减少的面积=增加的面积, 即两阴影部分的面积相等。

三、数形结合思想可以使算式形象化, 加深学生对知识的理解

在小学数学中, 有很多内容都是和计算相关的。如果在计算过程中, 学生能够理解计算算式的道理, 就会很快做出计算题, 不明白其中的道理是很难得出结论的, 这就要求学生在理解算术的基础之上掌握计算的方法, 达到“知其然, 还要知所以然”的效果。数形结合可以帮助学生正确理解算术的道理, 是一种比较好的方式。比如, 当我们解答数学中的“分数乘以分数”的问题时, 假设一个小区想要铺设一块绿地, 每个小时铺设这块地的1/2, 按照这个速度铺设下去, 1/4小时能铺这块地的几分之几? 我们学习了乘法公式以后, 就可以很容易地写出算式1/2×1/4, 那么, 为了加深学生理解, 这样带有分数的算式应该画出怎样的图形呢? 这就要求学生能够独立思考, 更好地理解1/2×1/4这个算式所表示的意义。

又如“植树问题”, 有这样的一道问题:村民们要在长30米的小路一边进行植树, 如果每个间隔5米, 两端也要种上树, 那么一共需要多少颗树苗? 对于这样的问题, 我们可以先和学生玩手指的游戏, 也就是让学生进行观察从而发现问题, 有几个手指几个间隔? 比如, 两个手指的话是一个间隔, 表示为:% %, 三个手指的话是两个间隔, 表示为:% %% %。如此下去就可以得出手指和间隔数之间的关系是:手指数=间隔数+1。学生还可以根据自己的理解, 用画线段的方式进行说明。通过验证就可以知道:植树的总棵数=间隔数+1。像这样, 把算式形象化, 学生看到算式就可以联想到图形, 看到图形就能联想到算式, 这样数形结合的思想就可以使学生对知识加深印象[3]。

四、结语

在小学数学教学中, 我们应该把数形结合思想贯穿教学始终。多创设贴近生活实际、具体形象的问题, 充分发挥学生的主体作用, 才能提高学生分析问题、解决问题的能力, 达到事半功倍的效果。应用这种方法的过程其实质是从具体到抽象, 再从抽象到具体的循环过程。如何正确、合理、适时地应用它是一个值得研究的课题。它作为一种数学方法和思想, 必须引起教学者和学习者的足够重视, 这种方法的技巧性强, 构图方法比较灵活, 难度较大。数学问题能否都用图形解, 是一个值得研究的课题。

参考文献

[1]王自鑫.浅谈数形结合思想在初中数学教学中的运用[J].学周刊, 2014, (9) .

[2]任小雁.如何在小学数学教学中渗透数形结合思想[J].吉林省教育学院学报 (中旬) , 2013, (10) .

数学中的数形结合教学 篇5

数学课程标准提出了“通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。

数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。

一、数形结合思想的概念

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：

1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；

2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。

二、数形结合的三种应用方式

一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。

（1）以数化形

由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习数的加减乘除法；而高年级有些数量也较复杂，我们难以把握，于是就可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。画线段图的方法是每一个数学老师都把它当作学生学习数学的一项基本技能加以训练的，大家都知道，在教学应用题时，常可以借助形象的画线段图的方法，将问题迎刃而解。特别是行程问题的应用题，老师们总是不忘借助线段图进行讲解；还如我们在教五年级“时间的计算”这一课，虽然很多同学通过计算就能解决问题，但知其然还要知其所然，我们就可以把时间点、时间段通过线段图来表示，学生就更容易理解，这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。

（2）以形变数

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算，最典型的就是二年级教材中的“点图与数”，那正方形点图所表示的就是每行与每列的圆点个数都相同，写成算式是两个相同的因数，于是它们的乘积就是平方数；由此在高年级拓展三角形数时有这么个小故事：古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类，如：1、3、6、10、„„这些数叫做三角形数（如下图）。

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· · · · · · · · · · 那么，判断一下45、456、1830、5050这四个数中，哪一个不是三角形数。中高年级学生通过观察，可以利用等差数列求和的方法可以找出这个数；也可以发现如果把一个三角形数去乘2，就可以写成两个相邻自然数的积，那么高年级的同学就可以利用分解素因数的方法来判断一个数是否是三角形数了。如此以形变数，提高了学生的思维能力。

（3）形数互变

形数互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以数变形或以形变数，而是需要形数互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密，还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的形数互变。一般方法是看形思数、见数想形。实质就是以数化形、以形变数的结合。例如，“近似数”一课中，让学生掌握用“四舍五入法”求一个数的近似数是本节课的教学重点。通常我们会直接告诉学生“四舍五入法”这一概念，然后通过大量的练习强化求近似数的方法。那么我们不妨反思：学生做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法”的含义呢？是否有部分学生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入”的意义呢？我们可以想到把直观的数轴引进这节课，在数轴上找最近的路，把四舍五入放到数轴上展开学习，利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型，从而加深了学生对“四舍五入法”的理解。

又如在解决问题过程中，经常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想，即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。最常用的如“鸡兔同笼”一课：鸡兔同笼，有10个头、28条腿，鸡、兔各几只?本课的解决问题教学策略书上采用列表尝试法。如果采用数形互译的画图法解，二年级的学生都能解答，并且可以从画图法引出数量关系，列式解答。有几个头就画几个圆（表示动物的头），然后每个头下加两条腿（表示鸡有两条腿），剩余几条腿就再添在小动物身上，每个添2条（原来的鸡就变成了兔）。这样从图上可知兔有4只，鸡有6只。引导学生理解数量关系：首先假设10只全是鸡，每只鸡身上长2条腿，共10×2＝20（条）腿，还剩余28-20＝8（条）腿，鸡身上再长2条腿变成兔子，直到8条腿长完为止。这样就得到兔子有8÷(4-2)＝4（只），鸡有10-4=6（只）。而对高年级学生借助于画示意图来分析数量之间的关系，是我们经常使用的办法。由此不难看出：“数”“形”互译的过程，既是问题解决的过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要且巧妙。

所以，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、知识应用能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

三、发挥数形结合思想方法对知识获得的引领作用

1、要善于挖掘教材中含有数形结合思想的内容

教师在教学中要有渗透数形结合思想的意识，引导学生主动有效地利用课本中的图形，从图中读懂重要信息并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题，即让学生通过“形”找出“数”。在小学“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”这四个学习领域中，都能应用数形结合思想进行教学，我们通过对教材的分析，初步整理了小学数形结合思想方法在各教学领域的渗透点：（1）“数与代数”：数的认识及计算，都能借助小棒图、计数图来理解算理、法则和方法；（2）“空间与图形”：可以借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长和面积的计算；（3）“实践与综合应用”：从所给问题的情境中辨认出数与形的一种特定关系或结构，运用画线段图、画分析图、画示意图等方法分析理解；（4）“统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。

2、教学时让学生在探索中感受数形结合思想

布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本的数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”在教学中，要让学生自主探索，感受数形结合思想，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学知识形成的意义。如果教师在教学中教师充分利用学生形象思维的特点，大量地用“形”解释、演现，经常引导学生将数与形结合起来，借助形象的图形理解算理，提炼算法，就能降低学习难度，有效地改善突破教学难点的方法，提高课堂教学效率。

3、课后延伸时让学生在解决问题中体验数形结合思想

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，而数形结合思想贯穿于整个数学领域，我们可以将复杂的数量关系和抽象的数学概念通过图形、图像变得形象、直观。同样，复杂的几何形体可以用数量关系、公式、法则等手段，转化为简单的数量关系。在课后的知识延伸中，经常引导学生通过数形结合来解决生活中的实际问题，从而体验数形结合的好处。

向量：大显身手的数形结合体 篇6

1.向量与函数问题

例1．求函数f(x)＝3x＋2＋4 4－x2的最大值．

分析：观察其结构特征，由3x＋2＋4 4－x2联想到向量的数量积的坐标表示．设向量a＝(3，4)，b＝(x， 4－x2)，则f(x)＝a?b＋2．利用f(x)≤|a|?|b|＋2＝12，得到f(x)的最大值是12，进而使问题得到解决．

拓展题：若 x＋1＋ y－2＝5，求x＋y的最小值．

说明：对于某些复杂的函数值域问题，如y＝p x＋a＋q y＋b等，可通过构造相关向量来解决．向量是数量的概念在二维空间的拓展，其运算和性质与代数内容之间有着紧密的联系，借助向量解决代数问题，往往可以收到化繁为简、变难为易的效果．

2.向量与三角函数问题

例2．已知cosα＋cosβ－cos(α＋β)＝32，求锐角α，β的值．

分析：本题作为三角求值的一个“极端”问题（一式含两个未知数），需要进行“模式识别”，为此利用和角公式化简得(1－cosβ)cosα＋sinα?sinβ＝32－cosβ，构造向量m＝(1－cosβ，sinβ)，n＝(cosα，sinα)，由m?n≤|m|?|n|，得32－cosβ≤ 2－2cosβ，即(2cosβ－1)2≤0，所以cosβ＝12，得β＝π3，从而α＝π3．

拓展题：已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝2 55．①求cos(α－β)的值；②若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值．

说明：作为数形结合体的向量，与三角函数在“角”之间存在着密切的联系，具体表现为：一是利用平面向量的知识（如向量的模、数量积、向量的夹角等），通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图像与性质等解决问题；二是从三角与向量的关联点（角与距离）处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．

3.向量与平面几何问题

例3．已知平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD，求证：M、N、C三点共线．

分析：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，由此联想平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．本例可通过向量运算得NC→＝2MN→，即表明M、N、C三点共线．

拓展题：正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，（1）求证：OB⊥DE；（2）求cos∠DOE．

说明：运用向量法解决有关平面几何问题，应注意三点：一是建立平面几何与向量的联系，用向量表示涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；二是通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；也可以借助建立直角坐标系，通过坐标法寻找解决问题的方法，简化思维过程；三是把运算结果转化为几何表征．

4.向量与立体几何问题

例4．在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值．

分析：因为BC→＝AC→－AB→，利用OA→?BC→的有关公式计算向量OA→与BC→的夹角的余弦值，即得OA与BC的夹角的余弦值为3－2 25．

拓展题：四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

说明：运用向量法解决有关立体几何问题，方法与平面几何类似，建立几何问题与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素．对于一些特殊的几何体还可以借助建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，运用向量法解决有关证明和计算问题，比如研究空间几何中的平行、垂直的证明，以及对于空间角、长度的计算等，是传统的方法无法替代的．这种通过引入空间向量，为解决立体图形的形状、大小及位置关系等增添了一种理想的代数工具，有助于提高学生的空间想象能力和学习能力．

5.向量与解析几何问题

平面向量的坐标法，还可以用于解决平面解析几何的直线问题，避免讨论．如直线l1：ax＋(a2－1)y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0平行且不重合，求a的值．我们需要讨论直线的斜率是否存在两种情况，但是如果利用平面向量，根据两条直线的方向向量共线，就可以避免讨论．若题目改成两直线垂直，方法亦然．

例5．求过圆(x－5)2＋(y－6)2＝10上的点M(6，9)的切线方程．

分析：设N(x，y)是所求切线上的任意一点，由MN→?O′M→＝0（其中O′为圆心），可求切线的方程是(x－6)＋3(y－9)＝0，即x＋3y－33＝0．

拓展题：设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴，证明：直线AC过原点O．

说明：在解析几何中，把逻辑证明转化为数值的计算，体现了向量法解题的简单美和结构美．向量法成为解决问题的一种重要手段和方法，它为学生提供了新的视角．

6.向量与不等式问题

例6．已知a，b，x，y为正实数，M＝ax＋by，N＝a2+b2?x2+y2，比较M和N的大小．

分析：比较大小，常用的方法是作差比较法，这道题可采用的方法很多，现构造向量p＝(a，b)，q＝(x，y)，则M＝p?q＝|p|?|q|cos，N＝|p|?|q|，所以M≤N．过程简单之至，巧妙自然．

拓展题：已知a，b＞0，a＋b＝1，求证：2a＋1+2b＋1≤22．

说明：运用构造平面向量的方法解题，不但可以深化对向量的有关性质的认识和理解，而且可以沟通数学中不同知识内容之间的内在联系．运用向量法的关键在于合理地构造出相应的平面向量，并利用平面向量的相关性质来实现问题的转化．

7.向量和与物理问题

例7．一条河的两岸平行，河宽d＝500 m，一艘船从A出发航行到河的正对岸B处．航行的速度|→v1|＝10 km/h，水流的速度|→v2|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？

分析：→v＝→v1＋→v2，→v⊥→v2，利用向量知识得|→v|＝ |→v1|2－|→v2|2＝ 96 km/h，由t＝d |→v|，可以求出时间t的近似值为3.1 min．

拓展题：日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体，如果绳子的最大拉力为F，物体受到的重力为G．你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大小与两绳之间的夹角θ的关系？（1）当θ逐渐增大时，F1的大小怎样变化，为什么？（2）当θ为何值时，F1最小，最小值是多少？（3）θ为何值时，F1和G的大小相同？

说明：向量的物理背景有力、加速度、速度、位移等，在学习过程中要结合这些实际背景来理解向量的概念与运用．利用向量来解决物理问题时，应注意四点，一是问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；二是模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；三是参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；四是问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，成为承载数形结合思想方法的良好媒介，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合．向量法简化了原本利用其它数学工具解题的步骤，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密，因而在问题解决中大显身手．

初中数学教学中的数形结合思想浅谈 篇7

一、数形结合思想的重要性

数学是培养学生思维能力、逻辑能力和图形分析能力的重要学科。图形是数学问题中经常遇见的对象, 相比文字, 图形更加形象, 如何将数学问题和图形结合在一起, 是一个永恒的话题。数形结合思想是培养学生利用图形解决问题的重要思路, 鼓励学生理论联系实际, 开拓思维, 培养更强的思维逻辑性。

二、数形结合思想的具体案例分析

(一) 数轴上点和实数之间的关系

数轴是学生初一数学学习过程中的重要概念, 也是对学生图形运用能力的启蒙课。巧妙地运用数轴可以帮助学生建立起点与实数之间的对应关系, 对学生理解实数和数轴结构有重要作用。初中数学一种典型的题型就是让学生对一系列负数、相反数、绝对值、有理数进行大小排序, 学生可以借助数轴实现直观的分析, 以行为纽带, 加深对数的认识。

例如, 笔者曾经给学生讲解过这样一道例题:a、b、c在数轴上的位置如图所示, 其中|a|=|b|, 化简算式|c-a|+|c-b|+|a+b|。

要想正确解出这道题, 必须具备将图形语言转化为文字语言的能力, 因为题干信息全部包含在数轴上, 没有任何文字叙述。通过数轴我们可以根据原点相对容易地确定a、b、c的正负号, 然后根据其绝对值大小关系进行比较。根据数轴我们不难得出以下信息:a是负数, b和c是正数, 题干要求化简的算式可以根据正负号及相应绝对值大小进行简化, 可以得出c-a是正数, c-b是负数, a+b为零, 因此化简算式为b-a。相反数、绝对值等数学概念在初次向学生讲解时很多学生反馈理解比较模糊, 对概念理解停留在表面, 通过数轴可以帮助学生更加直观地通过零点和数轴刻度理解数学概念, 只要将数轴记在心里, 各种数的概念理解就十分容易了。

(二) 数形结合思想在代数问题上的运用

代数运算是学生从小学数学便开始训练的最基础最重要的计算能力, 在初中数学中, 代数运算是学生最熟悉、掌握最牢固的计算, 即使是初中才会学习的几何学, 也可以借助代数简化计算。学生在初次接触角、线段、射线等几何概念时, 会学习求解同位角、内错角等重要几何数值。对于图形的理解也最终转化为用代数工具进行求解。例如, 在学习直角三角形相关知识时, 最重要的解题工具就是勾股定理以及其他三角函数知识, 这就是典型的用代数思想解决几何问题, 通常借助于数形结合的思想可以大大简化几何问题的复杂程度, 转变为更加直观和熟悉的代数问题。

笔者曾经借助于数形结合的思想向学生讲解了如何把复杂的几何问题转变为代数问题。具体案例是这样一道题::已知关于x的二次函数y=-x2+bx+c (c>0) 的图像与x轴相交于A、B两点 (点A在点B的左侧) , 与y轴交于点C, 且OB=OC=3, 顶点为M。①求出二次函数的关系式;②点P为线段MB上的一个动点, 过点P作x轴的垂线PD, 垂足为D, OD=m, △PCD的面积为S, 求S关于m的函数关系式, 并写出m的取值范围。这是一道有一定难度的函数与几何相结合的题目, 题干信息量较多, 题目设问由浅及深, 通过随堂练习后学生普遍反映图像对于解决此类问题的重要性。笔者通过此题的讲解向学生展现了数形结合思想的独特魅力, 让学生能够切身地体验到数形结合思想简化解题思路的重要作用。

(三) 用生活中数形结合思想的运用

数学是一门在生活中无处不在的工具, 数形结合的思想也不应当拘泥于轴线、坐标轴, 将数学用图像来展现, 或者把图形语言转变为文字语言都是数形结合思想。学生在解决数学问题时要善于借助生活中的实物帮助分析问题, 化抽象为具体。例如一种典型的考查学生数学空间思维能力的题型:将一个正方体纸盒六面都标有数字, 请问5对面数字是多少?

该问题对学生空间想象能力是很大的考验, 学生在练习过程中正确率不高, 说明学生的空间立体想象能力还有待提升。但是要想解决得出问题的正确答案并不难, 因为学生都有橡皮擦, 完成此题时只需按照图所示把数字标在相应的面上即可轻松得到答案。这也是数形结合思想的实际运用。总之, 学生应当将数形结合思想渗透到整个数学思维体系里, 通过不同的具体题目加深对数形结合思想的认识深度, 善于使用折纸、三角板等物体实现数形结合思想的运用, 化繁为简, 简化具体的数学问题, 从更高的思维高度优化解题步骤, 真正体会到数形结合思想的美妙之处。

除了上述分析外, 统计图表也是重要的数学工具, 是将数据集中在图表中, 学生可以通过图表更加全面地对数据发展情况进行分析预测, 这也是数形结合思想的重要运用。

数形结合思想的教学应当分阶段进行, 通过渗透期、尝试期和发展期逐渐加强学生对数形结合思想的理解, 学生应当意识到数形结合思想的重要性, 借助这个重要工具把抽象的数学问题具体化、形象化, 更加直观地理解相应知识, 从更高的层面优化解题过程, 简化思维, 提高学习效率。

摘要：在初中数学教学中, 数形结合思想这一比较典型而且十分重要的数学思想, 对于解决数学问题、提高分析能力起到直观效果, 简化了学生思维难度, 提高解题效率。在本文中, 笔者根据初中数学教学中一些具体案例对数形结合思想进行分析。

关键词：数形结合,思维能力,图形分析

参考文献

[1]李金芳, 马维政.数形结合思想在初中数学教学中的作用[J].考试周刊, 2011 (25) .

[2]程燕.浅析“数形结合”在初中数学教学中的应用[J].数学学习与研究, 2010 (10) .

浅析初中数学中的数形结合思想 篇8

一、建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）

1. 列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图.这里隐含着数形结合的思想方法.例如，在初一教学中，在行程问题方面，作为老师，我们应渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点.

例：一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时.一天小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时?(2)救生圈是在何时掉入水中的?

解此类应用题多采用图示法，教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口.学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义.

2. 新人教版第九章《一元一次不等式组》教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，结合数轴表示解集很直观.

教师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无数个解，其中蕴藏着数形结合的思想方法.

3. 函数及其图像内容突显了数形结合的思想方法.教学时注重数形结合思想方法的渗透，这样会收到事半功倍的效果.

在教学二次函数的应用时，设计这样的问题：

例：桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA, O恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.

(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外?

(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)?

根据此实际问题中数量变化关系的图像特征，用相关的二次函数知识解决实际问题.可安排学生活动：(1)分析实际问题中的量，分清常量、变量及变量的变化范围;(2)探索量与量之间的关系，变量的变化规律，确定函数关系;(3)根据函数关系式，求二次函数的最大值或最小值;(4)考查所得到的二次函数的最大值或最小值是否符合实际问题的意义，明晰结论.引导学生从探索具体问题中的函数关系的经历中，体验将实际问题数学化的过程，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型，进而获得相应的数学思想、方法和技能，感受数学的价值.

二、建立几何模型（或函数图像）

例1:A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米，2时后甲距A地40千米.问：经过多长时间两人相遇?

分析：可以分别作出两人s与t之间的关系图像，找出交点的横坐标即可.

例2：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(0, 2)，且ac=1.

(1)若该函数的图像经过点(-1，-1).

(1) 求使y<0成立的x的取值范围.

(2) 若圆心在该函数的图像上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标.

(2)经过A (0, p)的直线与该函数的图像相交于M, N两点，过M, N作x轴的垂线，垂足分别为M1, N1，设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为s1, s2, s3，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有s22=ms1s3成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.

不少同学一看如此多的文字且语言抽象，还没有图形，就放弃了，其实在分析此类问题时，应该将抽象的语言结合条件画出图形(不一定很标准)，然后结合图形观察出(1) (1) 使y<0成立的x的取值范围. (2) 更是如此，再求得的抛物线上尽量多画些圆，最终从你的圆中找到与x轴、y轴都相切的条件.(2)重新构造抛物线，画出草图，标出s1, s2, s3，画出经过A (0, p)的直线，表示出s1, s2, s3，即可求解.

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生掌握数形结合的思想方法，使学生在初中学段，做到“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学效果.

摘要：本文主要从两方面 (一) 建立适当的代数模型; (二) 建立几何模型 (或函数图像) 揭示了数形结合思想在初中数学解题中的具体应用.

关键词：数形结合思想,初中数学,代数模型,几何模型

参考文献

[1]全日制义务教育课程标准 (实验稿) .

浅议中学数学中的数形结合思想 篇9

一、应用数形结合思想应注意的几个问题

数与形是中学数学研究的两类基本对象, 相互独立, 又互相渗透.尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密, 而且在数学应用中若就数而论, 缺乏直观性, 若就形而论缺乏严密性, 当二者结合往往可优势互补, 收到事半功倍的效果.

(1) 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;

(2) 要恰当设参、合理用参, 建立关系, 由数思形, 以形想数, 做好数形转化;

(3) 要正确确定参数取值范围的作用.

二、数形结合在中学数学中的主要应用

数形结合思想贯穿于高中数学的始终, 它是数学思想方法的核心, 中学数学中的多项内容都用到数形结合, 教师要引导学生对此加以灵活应用.

1.数形结合在集合中的应用

在新课标必修1的《集合》中, 对于集合的各种运算和关系, 如果能借助韦恩图, 便能使问题直观、具体, 从而更好的解决问题.

例1 有48名学生, 每人至少参加一个活动小组, 参加数理化小组的人数分别为28, 25, 15, 同时参加数理小组的8人, 同时参加数化小组的6人, 同时参加理化小组的7人, 问同时参加数理化小组的有多少人?

分析 我们可用圆A, B, C分别表示参加数理化小组的人数 (如图) , 则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素, 则有n (A) +n (B) +n (C) -n (A∩B) -n (A∩C) -n (B∩C) +n (A∩B∩C) =48, 即28+25+15-8-6-7+n (A∩B∩C) =48, ∴n (A∩B∩C) =1, 即同时参加数理化小组的有1人.

2.数形结合在函数中的应用

函数是高中数学的主要内容, 它在高中数学中的地位和作用毋庸言表, 在这章, 数形结合思想的应用尤为广泛.利用二次函数图像解二次方程、二次不等式, 有关指数函数、对数函数单调性应用, 方程和不等式问题等都需结合两类函数的图像;近几年加大对三角函数图像的考查, 顺利解决这类问题最主要就是看识图画图能力.

如一些数值大小的比较, 我们可转化为对应函数的函数值, 利用它们的图像的直观性进行比较.

例2 试判断0.32, log20.3, 20.3三个数之间的大小顺序.

分析 这三个数我们可以看成三个函数:y1=x2, y2=log2x, y3=2x, 在x=0.3时, 所对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像 (如图) , 从图像可以直观地看出当x=0.3时, 所对应的三个点P1, P2, P3的位置, 从而可得出结论:20.3>0.32>log20.3.

3.数形结合在向量部分的应用

向量的加法、减法可以通过平行四边形法则解决, 由此很多向量问题可以转化为几何问题, 借助几何图形快速解决.

4.数形结合在数列中的应用

等差数列、等比数列都可以看做关于n的函数, 特别是等差数列.通项公式an是关于n的一次函数, 前n项和Sn是关于n缺常数项的二次函数, 在解决等差数列中的最值问题时尤为好用.

5.数形结合在解析几何中的应用更无须多言

解决这类问题首先要画图定位.华罗庚曾指出:“三角与解析几何有极多的数形结合处.”可见数形结合思想在这章的重要性.

三、如何在课堂教学中渗透数形结合思想

1.渗透数形结合思想要有层次地进行

数学思想方法的内容相当丰富, 任何一种数学知识的讲解及数学思想的渗透都要注意学生的接受能力, 认真钻研课标和教材, 结合学生实际, 配备不同的例题, 调动全体学生的学习积极性, 由易到难, 由浅入深, 渗透数形结合这一数学思想.

2.调动学生的积极性, 提高渗透的自觉性

数学概念、公式等知识都明显地写在教材中, 是有形的, 而数学思想却隐含在数学知识体系里, 是无形的, 并且不成系统地分散于教材各章节中.因此, 作为教师首先要更新观念, 从认识和思想上不断提高在数学课堂教学中渗透数学思想方法的重要性, 把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标, 把数学思想方法的渗透要求融入教学设计中.其次要深入钻研教材, 努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素, 对于可以应用数形结合的每一章每一节, 都要考虑如何结合具体内容进行这一思想的渗透.同时要让学生明白数形结合这一数学思想的重要性, 在学习过程中提高自我学习的意识.

3.反复训练, 不断总结反思, 确保学生掌握数形结合这一数学思想

数学中的数形结合教学 篇10

例1.(2010江苏高考)在平面直角坐标系xoy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线l:12x-5y+c=0的距离为1, 求实数c的取值范围.

设计意图:在学习了直线和圆的位置关系后,更深一层次地解决问题.本题的关键是让直线动起来,在动态过程中寻找满足题意的位置.通过数形结合解决这个问题,同时也让学生发现直线在运动的过程中有三个点、两个点和一个点时的c的取值范围,让学生自己动手动脑解决这个问题,以利于以后解本类题型的变式.

解析:由于圆上的点到直线的距离1恰好是半径2的一半,当直线l介于直线l1与l2之间时, 在直线l的两侧各有一条与l平行的直线l到的距离为1,故而有四个点, 即 -13<c<13.

通过这道题提高学生的识图及分析问题的能力.

变式1.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有几个?

解析:将圆的方程化为标准方程(x+1)2+(y+2)2=8,圆心 (-1,-2) 到直线x+y+1=0的距离则与直线x+y+1=0的距离为的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求. 由于圆的半径为, 因此与直线x+y+1=0的距离为的平行线一条过圆心,另一条与圆相切,故这两条直线与圆有两个公共点.

变式2.设圆C:(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0),直线l:4x-3y-2=0:

1圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1, 求圆C的半径r的取值范围;

2圆C上有且仅有两个点到直线l的距离等于1, 求圆C的半径r的取值范围;

3圆C上有且仅有三个点到直线l的距离等于1, 求圆C的半径r的取值范围;

4圆C上有且仅有四个点到直线l的距离等于1, 求圆C的半径r的取值范围.

例2.如果x,y实数满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求 :

(1)y/x的最值;

(2)x+y的最值 ;

(3)的最值;

(4)|3x+4y-36|的最值.

设计意图:类比在线性规划中解决此类问题的方法,先将所求的代数表达式赋予几何意义, 把问题转化为求此几何量的最值问题,再从几何直观出发,根据图形的几何性质观察最值出现的时机和位置,从而解决代数表达式的最值问题.

解析:(1)设P(x,y),则P点的轨迹是已知圆C:(x-3)2+(y3)2=6.而y/x的几何意义就是直线OP的斜率k,依题可知当OP与圆C相切时斜率取得最值.

(2)设x+y=b,则y=-x+b,将问题转化为直线运动过程中的纵截距的最值,依题可知当直线与圆相切时b取最值.

(3)的几何意义是圆上的点到定点(2,0)的距离,圆心到(2,0)的距离加半径、减半径即为最大和最小值.

(4)|3x+4y-36|的几何意义是圆上的点到直线3x+4y-36=的距离的5倍的最值.根据题意圆心到直线的距离加减半径再乘5即为所求最值.

变式:已知实数x,y满足x2+y2=9 (y≥0), 试求的取值范围.

设计意图:通过上道例题,很多学生认为都是在直线与圆相切时取得最值,故而做错了.设计这道题让学生明白在解决问题时要注意看图及直线的运动情况再结合几何意义给出结论,要真正地理解此类题的转化和数形结合思想.

解析:这道题是易错题.此题的圆是一半圆,根据圆上动点及m,b的几何意义可知m的取值范围是(-∞,3/2)∪[3/4,+∞)