长方体的拟合方法（精选十篇）
长方体的拟合方法 篇1
高程系统有大地高、正高和正常高系统。大地高系统是以地球椭球面为基准面的高程系统, 是地面一点沿参考椭球面的法线到参考椭球面的距离, 一般用符号H表示。正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统, 是地面点沿通过该点的铅垂线至大地水准面的距离, 用符号Hg表示。正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统, 是地面点沿通过该点的垂线方向到似大地水准面的距离, 用Hr表示。我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。
大地水准面到地球椭球面的距离, 称为大地水准面差距, 记为N, 大地高与正高之间的关系可表示为:
似大地水准面和参考椭球面之间的距离, 称为高程异常, 记为ζ, 大地高与正常高之间的关系可表示为:
2 目前的GPS高程拟合方法
目前的GPS高程拟合方法有:等值线图示法、多项式曲面拟合法、多面函数法、曲面样条拟合法、非参数回归曲面法和高程异常变化梯度法、Shepard曲面拟合法、移动曲面法、加权平均法、平面拟合法。
3 几种拟合方法的算例分析
1) 多项式曲面拟合法。多项式曲面拟合法需要6个未知系数, 因此, 需要至少6个已知高程异常的坐标点来进行求解 (见表1) 。
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由于拟合效果与坐标点的分布和坐标点之间的距离有关, 故制作CASS图生成图片, 如图1所示。
取C10~C15, 共6个点的数据进行拟合求解, 用MATLAB进行编程求解。对C16~C27进行拟合求出拟合高程异常并与其真实值求差得到残差, 可以看出, C16~C27依次分布距离拟合点越来越远, 其拟合精度越来越低, 误差越来越大。因此, 多项式曲面拟合法拟合出的高程异常值的精度与距离有关, 离拟合点的距离越远, 精度越低。
当前解决这种距离问题的方法有两种: (1) 取两端的6个点作为拟合点进行拟合; (2) 取中间的6个点进行拟合。从两端取点C10~C12、C25~C27, 中间取点C17~C22;用相同的方法进行拟合可知: (1) 两端拟合得到的残差比较稳定、精度较高; (2) 中间拟合得到的误差浮动比较大, 个别点的误差比较小, 一些点的误差过大。因此, 对于此类数据进行的多项式拟合来说, 两端拟合精度相对较高, 在应用中可考虑采用。
2) 移动曲面拟合法.移动曲面法与多项式拟合法相同采用二次曲面的数学模型, 在多项式拟合法的基上加入了权, 理论上其精度比多项式拟合法要高。运用MATLAB语言进行编程运算可以看出, 前9个拟合点的误差比较小, 从C19开始逐渐超出误差可接受范围, 呈现粗差趋势。从图1可以看出, 从C19开始拟合点距离拟合区域越来越远。综上所述, 移动曲面法拟合点的拟合精度与其跟拟合区域的距离有关, 内拟合精度高于外拟合精度, 且距离拟合区域越远拟合精度越低。取源数据的两端6个点C10~C12、C25~C27对中间点C21取权, 用移动曲面法进行拟合, 通过MATLAB进行编程运算, 可以看出, 对于两端拟合, 多项式曲面拟合法与移动曲面拟合法差别不大。
3) 平面拟合法。平面拟合法采用的拟合公式比较简单, 用MATLAB进行编程运算, 得到结果见表2。
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由表2可以看出, 平面拟合法得到的数据从C13~C16误差为1~3 cm, 从C17开始误差逐渐变大, 从C22开始逐渐呈现粗差趋势。由此可知, 平面拟合法拟合点距离已知点越远拟合精度越低。采用两端取点内符合模型取点C10~C12、C25~C27进行拟合, 采用同样的MATLAB编程程序运算, 得到的结果见表3。
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由表3可知, 两端取点内符合模型在一定程度上提高了平面拟合法拟合的高程异常精度, 值得考虑。
4 结论
由上述研究给出多项式曲面拟合方法、移动曲面拟合方法和平面拟合方法的比较结果, 移动曲面拟合法明显比多项式拟合精度要高得多, 平面拟合法比多项式曲面拟合法和移动曲面拟合法精度普遍要高, 在此研究的数据基础上, 平面拟合法要优于多项式曲面拟合法和移动曲面拟合法。此研究的源数据呈带状模型, 而移动曲面法是已知点在周围半径范围内4个象限均匀分布时精度最高, 用此类数据对移动曲面法进行验证不够合理。移动曲面是用户所规定一个有限区域, 该区域的位置将随着拟合点的位置变化而移动。选择这种模式的主要原因是, 这么做可以更好地模拟似大地水准面, 而不至于远距离已知点的负面效应损害其精度。经过拟合验证表明, 移动曲面法在GPS水准拟合中具有计算简单、精度较高等特点, 当测区不断有新的已知点加入时, 所得模型的精度还会不断提高。此外, 因为没有结点选取问题, 该方法的自适应计算程度较高。
综上所述, 在带状已知数据且精度要求不是特别高的情况下, 建议采用平面拟合法或多项式拟合法进行拟合, 方便快捷;若精度要求稍高, 可采用内符合模型进行拟合。在条件允许且对高程精度要求较高时, 可采用移动曲面拟合法进行拟合。本论文研究的源数据较为单一, 并不能全面的阐述各种拟合方法的优缺点, 研究成果仅供参考。
参考文献
[1]徐绍铨, 张华海, 杨志强, 等.GPS测量原理及应用[M].武汉:武汉大学出版社, 2006.
[2]王殊伟, 陈正阳.基于移动曲面模型的GPS高程拟合[J].海洋测绘, 2005, 25 (5) :16-17.
[3]聂桂根.MATLAB在测量数据处理中的应用[J].测绘通报, 2001, 47 (2) :39-40.
长方体的拟合方法 篇2
讨论了一种新型静力水准系统--以CCD为核心传感器的`静力水准系统的标定方法和数学拟合过程.标定分为两个阶段:一是对其核心部件CCD进行标定,确定其线性符合程度;二是对整个钵体传感器进行标定,并用数学拟合方法得到传感器输出数据与被测目标实际变形的最佳拟合量,保证其测量精度.该方法的可行性和技术要求已经在实际运用中得到验证.
作 者：何晓业 黄开席 陈森玉 刘祖平赵营海 He Xiaoye Huang Kaixi Chen Senyu Liu Zuping Zhao Yinghai 作者单位：何晓业,刘祖平,He Xiaoye,Liu Zuping(中国科学技术大学,合肥,230029)
黄开席,陈森玉,Huang Kaixi,Chen Senyu(中国科学院高能物理研究所,北京,100039)
赵营海,Zhao Yinghai(中国地震局地壳应力研究所,北京,100029)
大地水准面拟合方法分析 篇3
关键词：大地水准面；拟合；分析
大地水准面是获取地理空间信息的高程基准面，在高精度、高分辨率的大地水准面模型下，利用相关测量技术可以直接测定正高或正常高。本文对于测量所得大地高、正常高数据，在处理时采用不同的数据拟合方法，以拟合精度为指标，通过相互对比进而得出各种不同的方法的使用条件及其优缺点。大地水准面拟合的方法有零次多项式拟合法、一次多项式拟合法、二次曲面拟合法等。
1. 零次多项式拟合法
零次多项式拟合法在较小的区域内可以认为高程异常是一个常数，如下图
即认为： （1）
其中H为大地高，为正常高。为高程异常。
图1大地高、正常高及高程异常关系
此方法在地势平坦且区域较小的范围可以使用，但其有明显不足就是精度较低。
由于测区在某大学校内，相对于整个大地水准面而言是非常小的，因此可以用本方法。把实测的高程异常平均值作为常数，用Matlab程序计算，可以的到其高程异常与高程异常平均值之间的差值（表1）。
表1 高程异常与其平均值之间的差值
点号 I03I04I05I06I07I08I09I10
差值 -0.0023-0.0674-0.00410.02430.0527-0.0372-0.05640.0359
高程异常平均值为-4.4956，拟合精度为0.0391。此方法在地势平坦且区域较小的范围可以使用，但其有明显不足就是精度较低。
2.一次多项式拟合法
一次多项式拟合法可表示为：
（2）
在地势平坦且区域较小的范围内，可以考虑平面逼近似大地水准面，其中b0、b1、b2为模型参数，如果公共点的个数大于三个，可以列出相应的误差方程。
用Matlab程序计算可得，拟合高程异常值（异常值）与高程异常差值（差值）如下表：
表2 高程异常与其平均值之间的差值
点号 I03I04I05I06I07I08I09I10
异常值-4.4905-4.4992-4.5083-4.5085-4.5021-4.5040-4.4941-4.4854
差值0.00740.0638-0.0086-0.0372-0.05920.02880.0579-0.0257
其拟合精度为0.0378。在地势平坦且区域较小的范围内，可以考虑平面逼近似大地水准面，拟合精度较小表明此处可以考虑平面逼近大地水准面。该方法是数据的近似处理，是以所测点高程异常的平均值作为测区的高程异常，这与实际情况是不符合的，可以看出这种方法的不足之处。
3. 二次多项式拟合法
二次多项式拟合法也成为六参数法，二次曲面要求有六个未知数，在测区内要求至少6个均匀分布的点，多余观测越多，观测精度相对也会越高。可表达为：
（3）
若共存在n个这样的公共点，则可列出n个方程，由此可列出误差方程：
（4）
利用GPS结合实测数据的水准资料，以二次曲面拟合确定高程异常其精度主要取决于高程的精度，以及已知GPS点的数量和其在测区内的分布情况。通过增加已知高程点数，提高已知点的几何水准精度，并使已知点在测区内均匀分布能提高曲面拟合的精度。
表3检核点坐标
点号Northing（m）Easting（m）H（m）海拔高（m）
I014076007.2430587929.909432.06336.5004
I024075997.4715588089.546331.55036.0634
I034075973.8284588352.345931.81936.0775
I144075904.3336589118.388231.65335.8732
I194076531.3519588832.012030.12734.4301
由程序计算得拟合精度为0.0242，由此可知采用一定密度及分布合理的GPS水准高程联测点，在地势比较平坦的区域选择二次曲面函数拟合区域大地水准面，是平坦地区确定正常高与大地高之差的一种行之有效的方法，具有一定的实际意义和使用价值。对测区内五个GPS点进行拟合结果检验，计算的拟合精度为0.0242，证明采用的数学模型有较高的精度，完全可以应用于具有相应地理特征的工程测量。在测区内任意给定一个GPS点的坐标都能利用该理论求出该点的正常高，从而使GPS大地高测量成果更加趋于实用化，其精度可以取代传统的等级几何水准测量。
4.结论
无预估函数模型的数据拟合方法 篇4
1 已知函数模型的数据拟合
以材料力学电阻应变测量实验为例。在实验中通过应变片中电阻的变化,可以现场采集到输出的模拟信号——电压(或电流),记录下来,该电压信号我们称为:现场采集信号xi;通过应变仪进行数据处理获得应变yi。这些获得的数值都是离散的数据,需要通过拟合的方法获得应变和电压之间的函数关系。实验的数据采用文献[1]中所用数据,如表1所示。
采用Excel方法进行拟合,Excel中的拟合步骤主要分为两步:(1)获得原始数据的散点图,结果如图1所示。图1的散点图可以看出:随着xi的增大,yi增大,(2)采用线性拟合和多项式拟合两种模型并添加趋势线,结果如图2(a)、(b)所示。
图2(a)、(b)中分别为线性拟合和多项式拟合的结果。通过对相关系数平方R2的比较,得出多项式拟合优于线性拟合。详细操作步骤可参考文献[2]。
采用Excel进行拟合,简单、明了。同样也可以采用Matlab、Origin等软件实现拟合,但这些软件对拟合的初值要求较高。若要拟合的数据较复杂,无法预先确定其函数模型,则难以采用以上方法进行拟合。
2 无预估函数模型的数据拟合
对于以上规律明显的离散数据进行拟合时,较容易预估其拟合函数的形式,但是对复杂的多参数拟合一般难以确定其拟合函数的具体形式,即需要对无预估函数模型的离散数据进行拟合。采用1stOpt软件可以实现无预估函数模型的数据拟合,且无初值要求。其拟合流程如图3所示。
以圆轴承数据为例,介绍其拟合过程。拟合数据引自文献[3],如表2所示。表2中l/d为轴承宽径比,ε为轴承偏心率,f为轴承无量纲摩擦力。
在软件中编程拟合,结果如图4所示。软件中的拟合函数以字母z表示因变量、x、y表示自变量。变换成实际对应的函数后,表2中的数据组的拟合结果为:
其中:
其相关系数平方R2为0.99996,表明其拟合结果较优。
3 结语
在工程中获得的离散的实验或计算数据往往需要通过拟合获得函数式,这些数据有两类:一是可以根据其散点预估其函数模型,二是无法预估其函数模型。对于第二类数据的拟合,我们常用的Excel、Matlab以及Origin等软件实现起来有一定难度,采用带有拟合函数数据库的1stOpt软件则能实现,并且该软件无初值要求,具有实用性。
摘要：以离散数据作为研究对象,介绍了两类离散数据的拟合:一是可预估函数模型的数据拟合,二是无预估函数模型的数据拟合,其方法具有实用性。
关键词：数据拟合,函数模型,拟合方法
参考文献
[1]张永强,刘道文.材料力学应变实验的数据拟合方法研究[J].微计算机信息,2006,22(3):260-261.
[2]艾自胜,张长青,单连成,等.Excel在曲线拟合中的应用[J].苏州大学学报,2008,28(5):759-762.
长方体的拟合方法 篇5
为了叙述方便，我们先给出“拐点”一词的定义：在正方体平面展开图中，两个正方形仅有一个公共顶点的点称作平面展开图中的“拐点”.
例如图1中，N、Q、D是拐点.
图1
如何判断正方体平面展开图中的重合点呢?其方法可以归纳成两句话：“拐点”两旁各自站，重合点后对应排.
下面我们来看两个实例.
图2 图3
例1 如图2，是一个正方体的平面展开图，找出图中各点对应立体图形的重合点.
分析 1.拐点为A、B、C.
2.拐点两旁各自站. (在两个拐点之间的点)
如拐点A两旁的点分别为：一旁为M、N、S、P；另一旁为：D、E、F、L.
3.重合点后对应排.
拐点A与自身重合. 则M与D、N与E、S与F、P与L重合.
同理：P与T、H与G重合. (注意P、T、L为三点重合)
解 正方体共有8个重合点，分别为：
A、D(M)、E(N)、F(S)、P(T、L)、B、G(H)、C.
例2 如图3，是一个正方体的平面展开图，找出图中各点对应立体图形的重合点.
分析 1.由A、B、C、D四个点为拐点，G、M、N重合一点；H、K、P重合一点.
2.重合点后对应排.
G、M、N重合后，与其相邻的点分别为F与S，F与S重合. 同理，E与T重合.
解 本题中对应立方体的重合点为：A、B、C、D、G(M、N)、H(K、P)、F(S)、E(T).
为帮助同学们加深理解，请做以下两个练习. 如图4、5，请分别写出对应的立体图形的重合点.
图4 图5
参考答案 图4：B(D)、A(E、T)、S(N、F)、M(G)、C、H、P、Q；图5：D(F)、C(G)、B(H)、M(K)、N(J)、A(I)、L、E.
拟合曲线光顺方法的研究 篇6
曲线曲面的光顺处理一直是CAGD中的一个研究热点, 它在航空、航天、汽车、船舶等众多领域中占据着重要的位置, 因此对它的研究具有重要的理论及应用价值。
关于曲线的光顺处理方法, 大致可以分为两类:整体光顺法和局部光顺法。曲线的整体光顺方法常用的有能量法、小波法和最小二乘法。能量法是普遍被采用的一种方法, 它属于整体优化方法, 即在给定的容差条件下, 使曲线的应变能函数E达到最小, 通过优化问题进行求解从而实现对曲线的光顺。但是采用能量法光顺所得到的曲线往往趋近于直线, 这样虽然保证了曲线的绝对曲率较小, 却不能保证曲线的曲率变化均匀。小波法则是通过对曲线进行分解, 丢弃曲线的细节部分实现曲线光顺。它的优点是分解算法和重构算法速度快, 光顺的同时也具有数据压缩的作用, 特别适合具有大数据量的曲线光顺[1]。最小二乘法是将样条的剪力跃度平方和作为目标函数进行优化, 使其达到最小值从而实现光顺[2]。但是后两种方法都不能保证曲线的曲率变化均匀。曲线的局部光顺方法有选点修改法和节点去除法等。选点修改法的基本思想是曲线的几何外形在大多数型值点处是光顺的或比较光顺的, 只是在少数型值点处不光顺, 逐次找出这些不光顺点也即“坏点”, 修改这些“坏点”, 使曲线达到光顺的要求。在曲线局部选点光顺中, Kjellander[3]提出了一种交互光顺方法, 即由用户识别曲线上的坏点并对其做出微小调整从而拟合出一条新曲线;Farin[4]在Kjellander的基础上提出了一种节点去除法, 它是将一部分坏点去除后, 重新计算出B样条曲线的控制定点以实现曲线光顺。这种局部光顺法的优点是计算速度快, 局部修改能力强, 但“坏点”较多时, 光顺效果就比较差。
作者在着重研究了整体光顺方法的基础上, 深入分析了曲线的光顺性准则, 针对整体光顺法光顺后曲率变化不均的现象, 提出了一种加权均值曲线光顺方法, 该方法不但能保证很好的整体光顺效果, 使曲线的曲率变化趋于均匀, 而且也避免了较为繁琐的程序, 使程序的运行速度大大加快。
1 光顺原理
给定n+1个控制顶点阵列di (i=0, 1, …, n) , 设为相邻两控制顶点连线的单位折线向量, li=‖di-di-1‖为相邻两控制顶点连线的折线长度, ‖ei+1-ei‖表示相邻两控制多边形折线di-1di和didi+1方向的变化量;
定义为曲线X的光顺度。
从上述定义可看出, 对于曲线上任一控制多边形, 如果值较大, 表明所对应的曲线段的法向曲率变化较大, 则曲面在该处的光顺性就差, 反之, 法向曲率变化较平缓, 曲面在该处的光顺性就好。据此, 本文提出的光顺方法的光顺准则为:如果EX
2 光顺算法
B-spline曲线的控制顶点分为内点、边界点 (如图1所示) 。根据上述光顺原理和光顺准则, 本文提出的光顺算法主要分两步进行:首先对内点进行光顺处理, 而后对边界点进行光顺处理。
2.1 内点的光顺处理B-spline曲线具有局部支撑性, 移动控制顶点di, 只影响定义在[ui, ui+k+1]上的那部分曲线形状, 对其余部分不影响。根据定义, 改变任意一个内点di的空间位置, 与其相连的控制多边形折线向量将会发生变化。内点di与其相连的前后两个顶点的关系较为密切, 见图1所示。因此, 可按下式进行加权平均处理, 求得新的内点di′,
式中:α、β为权系数, 0<α<β,
应满足。一般情况下, 取α=6, β=8。根据式 (1) 遍历所有参数域内的内点, 即完成了内点光顺。
2.2边界点的光顺对于边界点d0、dn, 应使其分别等于内点d1′、d2′、d3′和d′n-3、d′n-2、d′n-1所确定的抛物线及反向延伸直线的平均值, 则d0、d1′、d2′、d3′以及d′n-3、d′n-2、d′n-1、dn所构成的控制多边形是保凸的, 所对应的曲线段内不会有拐点, 同时能保证边界点处的切矢与相邻点的切矢变化是连续的, 这一点对于以后生成的表面模型的数控加工是非常有用的。因此, 边界点可按下式进行计算得到新的边界点d0′、dn′:
式中:a>0, 为边界点的权系数;b、c、f>0, 为抛物线插值方程系数, 这四个系数应满足a+b-c-f=1。三个抛物线插值方程系数b=2.0, c=1.75, f=0.25, 则a=1.0。根据式 (2) 计算两个边界点, 即完成了边界点的光顺。综合上述过程, 光顺算法步骤为:
步骤1:计算初始光顺度E0;
步骤2:while (循环)
步骤2.1:光顺控制多边形内点;
步骤2.2:光顺控制多边形边界点;
步骤2.3:计算光顺度E;
步骤2.4:循环终止条件:│Ei-1-Ei│
步骤3:利用得到的新控制顶点, 重新构造曲线。
当│Ei-1-Ei│
3 结论
如图2是经过能量法光顺后的曲线, 其对应的曲率分布如图3所示, 可以看出其曲率变化剧烈, 光顺性不好;再利用本文提出的加权均值光顺方法后曲线如图3 (此例光顺精度为epsilon=10-5) , 其对应的曲率分布如图4所示。由图中对比可以看出, 光顺后的插值曲线和曲率变化都有所平缓, 光顺度有很大的提高。
参考文献
[1]潘洋宇, 李东波.小波技术在自由曲面重构和光顺处理的应用研究[J].现代制造工程, 2005, (7) .
[2]王莹莹, 刘德平.基于曲率均化的B样条曲线能量光顺方法[J].机床与液压, 2010, (3) .
[3]Kjellander J A P.Smoothing of Cubic Parametic Splines[J].Computer-Aided Design, 1983, 15 (3) :175-179.
基于曲线拟合的测向误差分析方法 篇7
远距离传播的短波信号极易受到电离层等自然环境的影响, 通常需要多个监测站进行联网测向, 才能比较准确地定位短波发射源。参与交会定位的监测站给出准确示向度是定位发射源的关键, 但是实际示向度与真实发射源的方位角之间存在误差。找到频率与测向误差的函数关系, 对分析影响测向精度变化的因素具有重要意义。
2 测向误差的来源
根据无线电波的传播特性, 利用测向设备确定电波的来波方向, 称为无线电测向。假设测向机位于A点, 0°参考线就是经过A点正北方向的子午线, 无线电信号辐射源位于B点, 辐射源相对于测向机的方位角就是从0°参考线至A和B的大圆连线的夹角, 如图1所示。
B点相对于A的方位角具有惟一性。实际测向得出的示向度与发射机B相对于测向点A的真实方位角之差就称为测向误差。短波测向误差一般来源于测向系统本身、噪声、干扰信号、观察或处理过程、信号特性、测向天线阵周围的二次辐射体、测向天线阵周围地形、海岸效应和多径传播等。另外, 人为因素对测向准确度会产生重大的影响;比如不断加快的城市化进程, 公路建设, 都会造成测向天线阵周围环境的巨大改变, 从而降低测向精度, 甚至不得不选址重建。
3 测向误差分析方法
国家无线电监测中心哈尔滨监测站测向天线阵南侧, 正在建设一条沿江公路, 而随之而来的就是路边越来越多的铁皮房, 其间距不满足在测向天线阵中心200米以内, 地形起伏高度应该小于1米和测向天线阵附近远离金属的要求。自从这条公路开工建设, 哈尔滨监测站就制定了相应的监测方案, 在不同方向上, 选取了监测点, 并在该公路建设前期、中期、后期, 进行了多次测向准确度测试, 获得了实测数据。以2007k Hz的测试结果为例, 如表1所示, 为了减小随机测量误差, 在示向度相对稳定时, 选取3个示向度值, 然后取平均值作为最终示向度, 采用这种测量方法, 可以计算出该频率在这一方向的均方根测向误差。
由于测向天线阵处于一个开阔的自然环境, 极易产生随机误差, 很难通过观察测试数据找到测向误差的规律。实际上, 我们无法对整个短波频段, 对所有方位进行连续测试, 而只能测试在某些方位上, 某些频率的测向误差。所以, 我们必须借助数学工具来分析这些离散数据之间的关系, 函数逼近、曲线拟合是研究用简单函数逼近复杂函数的方法, 本文采用曲线拟合方法来找出频率与测向误差的函数关系。当一个函数由给定的一组可能不精确表示函数的数据来确定时, 使用曲线拟合的最小二乘法是最合适的。
4 曲线拟合的最小二乘法
若y只由离散点集{xi, i=0, 1, …, m}给出, 即工程实验中经常出现的实验数据{ (xi, yi) , i=0, 1, …, m}的曲线拟合, yi=f (xi) (i=0, 1, …, m) , 要找到一个逼近函数y=S (x) 与所有数据{ (xi, yi) , i=0, 1, …, m}拟合, 误差Δi=S (xi) -yi (i=0, 1, …, m) , Δ= (Δ0, Δ1, …, Δm) , 设z0 (x) , z1 (x) , …, zn (x) 是C[a, b]上线性无关的函数族, 在z=span{z0 (x) , z1 (x) , …, zn (x) }中找到一个函数S (x) , 使误差平方和[S (xi) -yi]2最小, 这里S (x) =a0z0 (x) +a1z1 (x) +…+anzn (x) (n<m) 。这就是一般的最小二乘逼近, 在数学中称为曲线拟合的最小二乘法。
5 选择逼近函数
其实曲线拟合的最小二乘法就是一种使误差平方和最小的多项式拟合, 所以我们首先要根据实验数据的函数图形找到符合要求的基本函数, 即确定了多项式的基本函数项, 然后再确定多项式的各项系数。
通过对表2均方根误差数据的分析, 选择拟合频率与均方根误差的逼近函数为:y=axb+c, 我们可以直接将数据代入方程求出待定系数a, b, c, 也可以先对方程进行线性化处理, 两边取以自然数为底的对数, 然后再求出待定系数。将a, b, c代入y=axb+c后, 得出逼近函数。
6 结果分析
按照频率计算所有测试点实测测向误差数据的均方根值, 利用曲线拟合的最小二乘法得出逼近函数, 绘制沿江公路建设对测向误差影响的函数, 如图2所示。
从图2中可以看出, 沿江公路的建设以及路边不断增加的建筑物使测向误差增大, 尤其对6MHz以下的频率影响较大, 所以下一步的重点工作, 就是要对测向结果进行修正, 以降低测向天线阵周边环境变化对测向准确度的影响。
7 结束语
在很多应用领域, 人们必须借助实际数据来拟合各变量间的关系, 从而找出各变量间的内在联系。本文采用曲线拟合的最小二乘法拟合实测数据, 确认了公路建设对测向误差的影响确实存在, 通过实验, 证明该方法是一种有效的测向误差分析方法。
参考文献
[1]沈剑峰, 朱斌, 李永寿.一种分析无线电测向准确度的方法[J].北京:中国无线电, 2012
[2]李庆杨, 王能超, 易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社, 2001
长方体的拟合方法 篇8
利用GPS高程拟合的方法来求定GPS点正常高, 主要是通过在合理布设实测网的同时联测一定数量GPS点水准高程, 利用相关的软件先解算出各点的大地高, 再通过选择最佳拟合模型来解求我们所要的正常高。因此影响GPS高程拟合误差的主要有:GPS大地高精度、重合点几何水准精度、公共点的密度与分布情况、GPS高程拟合模型的选择等。下面我们将从这几个角度来探讨一下影响GPS水准拟合精度的主要误差来源及主要的误差。
(1) GPS测量本身的影响
(2) 大地水准面模型的影响
(3) 高程基准面方面的影响
用GPS高程拟合求定正常高的误差主要包括以下几种:
(1) GPS自身测定大地高误差m1
一般情况下, 可认为此项误差是GPS测定相邻点基线误差的两倍左右。若按接收机测定基线的标定精度为±10mm+2ppm×D, 当平均边长为2km时, 则该项误差为m1= (±10mm+2ppm×2km) ×2=±28.0mm。
(2) GPS外业观测时仪器高量取误差m2
此误差直接影响GPS点大地高, 可采用合适的仪器高量取方法, 取测前和测后的仪器高中数作最终结果, 来有效减弱仪器高量取误差对大地高的影响。一般认为m2≤±2mm。
(3) 固定点几何水准联测误差m3
其取决于联测固定点的几何水准等级和测量精度, 可用式来估算, L为GPS网平均边长, mL为水准路线每公里中误差, 当用三等水准联测固定点时, 若取L=2km时, m3=±8.5mm。
(4) 坐标转换误差m4
GPS测出的大地高属WGS-84系统, 需转换成我国1954年北京坐标系或1980年国家大地坐标系, 转换时一般只考虑两种坐标系之间的平移参数和椭球的差别, 我国境内, 当两点间距为10km时, m3最大值约为±7mm。若m0=±2m, 则m3约为±3mm。可见由坐标转换产生的误差, 对局部GPS网中水准精度影响是很小的。
(5) 拟合模型误差m5
据有关资料, 采用平面、曲面、多面函数拟合, 只要有足够密度和精度的固定点, 可以认为m4≤±2.0mm。但由于似大地水准面不是一个规则的曲面, 不同地区变化规律完全不同, 大量试验已表明:同一测区, 不同数量的已知点, 或已知点不同分布, 拟合精度就不同;有时, 采用不同模型其结果也不相同, 故拟合计算产生的误差有待于进一步研究。
2 提高GP S高程拟合精度的方法与建议
从理论研究和实践经验可知, 提高GPS高程拟合精度, 应注意以下几个方面:
2.1 提高大地高测定的精度。
大地高测定的精度是影响GPS水准精度的主要因素之一。因此, 要提高GPS水准的精度, 必须有效地提高大地高测定的精度, 其方法主要有:
(1) 精确量取仪器高;
(2) 提高局部GPS网基线解算的起算点坐标的精度;
(3) 改善GPS星历的精度;
(4) 选用双频GPS接收机;
(5) 观测时应选择最佳的卫星分布;
(6) 减弱多路径误差和对流层延迟误差。
2.2 提高联测几何水准的精度。
据分析, 采用四等几何水准联测的, 约占GPS水准总误差的30%。因此, 尽量采用三等几何水准来联测GPS点。对有特殊应用的GPS网, 用二等精密水准来联测, 以利有效地提高GPS水准的精度。联测的水准点应均匀分布于GPS所控制的整个测区, 这一点尤为重要, 待定点精度在很大程度上取决于已知点的分布状况。当已知点均匀分布于整个测区时, 待定点精度高。
2.3 提高GPS水准计算的精度。
(1) 当参与计算的数据含有粗差或某些点的精度不高时, 就应该采用抗差的方法, 使得粗差数据不“污染”模型。有时还得对模型参数进行显著性检验, 求得最佳模型;
(2) 选择模型的时候应优先考虑综合性的模型;
(3) 要保证适当数量的已知点数, 选择合适的拟合方法当己知点均匀分布于整个测区时, 其点数越多, GPS水准高程拟合的精度越高。但当已知点达到一定数量时, 再增加已知点数, 既不能显著地提高待定点的精度, 又要增加成本开支。己知点数过少, 常常会给高程拟合带来一定的系统偏差。已知点数多少合适, 取决于测区的面积和形状。一般对于小测区来说, 已知点数以4-5个为宜, 采用平面拟合法。对于较大测区, 己知点数以6-10个为宜, 采用二次曲面拟合法。对于狭长或线状测区, 在确定己知点数时, 不能仅看面积, 主要看其长度。对于线状测区, 宜选择多项式曲线拟合法。在进行GPS水准高程拟合时, 应把其中的1-2个已知点先不作为已知点, 而作为检查点, 以检查拟合效果。在检查合格后, 再让检查点作为己知点参与拟合。
(4) 已知点应均匀分布于整个测区这一点尤为重要, 待定点精度在很大程度上取决于已知点的分布状况。当已知点均匀分布于整个测区时, 待定点精度高。在进行GPS水准高程拟合时, 一定要使己知点均匀分布于整个测区, 并具有一定的代表性。宁可已知点数少, 也不能因凑数而使已知点分布不均匀, 更不能使己知点集中在测区的一侧。要是整个测区比较大, 可以考虑分区的方法进行高程转换。
结束语
需要指出的是要提高GPS高程拟合的精度, 必须确保GPS网图形布设合理, 精确地测定控制点的大地高;选择数量足够、点位分布合理的水准已知点进行联测, 并提高联测几何水准的精度;选择合适的拟合模型, 解算GPS控制点的高程异常, 进而解算正常高;其结果基本达到四等水准的精度要求。
摘要：在GPS定位中高程的精度通常较差, 这也是造成高程信息没有得到广泛应用的一个重要原因, 所以为了能充分利用GPS定位中的高程信息, 还必须设法挖掘GPS测高的精度潜力, 必须对影响GPS测高精度的原因进行分析, 进而提出消除, 削弱上述各种误差影响的方法和措施。
关键词：GPS定位,高程信息
参考文献
[1]潘柏龙, 潘自立.GPS高程拟合模型确定.中国报刊杂志大全.
长方体的拟合方法 篇9
关键词：移动目标跟踪,视轴指向序列,曲线拟合,视轴切换,STK
移动目标的动态跟踪是对移动目标进行实时精确的探测, 以确定被观测目标的形状、尺寸和运动轨道参数等重要目标特性, 预测目标的移动路线。随着科学技术的发展, 移动目标监视技术已被广泛应用于各个领域。军事方面如导弹、航母战舰、战斗机等的预警;民用方面如海洋应急搜救、科考船只状态监视、汽车动态跟踪等。
与固定目标不同, 移动目标每个时刻的位置速度都在发生变化, 卫星载荷视场范围有限, 在综合考虑卫星位置速度变化的情况下, 计算卫星对移动目标实时指向的滚动角和俯仰角有一定的难度, 需要构建卫星指向目标的空间几何关系。由于星地时钟误差和人为等因素的影响, 卫星对移动目标的初始观测时刻点比较难以确定。把预定的观测初始时刻和实际的观测初始时刻之间的差叫做时统误差。时统误差的存在使卫星指向移动目标的角度和实际指向之间存在较大的误差, 要保证观测效果需要对卫星的指向进行修正。
目前, 国内外针对移动目标的跟踪已有一些相关的研究, 研究成果主要集中在对移动目标的搜索和成像任务规划方面[1—3], 对移动目标的动态跟踪方法研究较少。文献[4—6]研究了空间预警系统对移动目标的探测能力和可见性, 建立了可探测模型, 但就具体的跟踪测量方法, 未做介绍。本文分析研究了卫星对移动目标进行动态跟踪的全过程;计算了卫星载荷对移动目标的指向序列;将指向序列进行了曲线拟合, 计算了拟合误差;并构建了在时统误差存在的情况下, 卫星跟踪移动目标的视轴指向切换约束模型。
1 移动目标跟踪过程分析
在卫星对移动目标的动态跟踪过程中, 卫星和移动目标的位置、速度都随着时间在不断更新变化, 因此要求卫星不断调整指向以保证目标在其视场范围内, 跟踪过程如图1所示。
我们把卫星遥感器每个时刻的指向组成的集合称为卫星的指向序列, 用卫星的滚动角和俯仰角来描述。在移动目标的跟踪过程中, 卫星根据指向曲线计算跟踪过程中各个时刻卫星的指向和角速度, 并生成相应的卫星控制指令, 直到跟踪过程结束。由此可知, 卫星对移动目标的跟踪可以分解成四个主要过程:指向序列计算、指向曲线拟合、拟合参数上注、生成实时控制指令, 如图2所示。
由于存在时统误差, 移动目标被跟踪的初始时刻点T0可能发生变化。如图3所示, 卫星从原T0时刻开始, 按原曲线进行跟踪, 移动目标从T1时刻才开始运动, 此时卫星并不指向移动目标, 移动目标也可能不在卫星的视场范围之内。因此, 当T1确定之后, 地面控制系统需要重新计算卫星对移动目标的指向曲线并上注至卫星, 使卫星能从T2时刻开始沿新曲线对目标进行跟踪, 从T1到T2这段时间称为反应时间。
由于是对移动目标的跟踪, 卫星具有一定的角速度, 转动惯量的耦合作用比静态条件下大, 卫星不能在一个控制周期内就从原曲线切换到新曲线上去, 在这个切换过程中指向角度和角速度的变化都有相应的约束, 切换过程的指向计算就是计算卫星从原曲线切换到新曲线的时间和每个控制周期内指向, 并且满足每个控制周期相对于前一个控制周期角速度和角加速度的变化都小于等于给定的最大值, 是一个约束满足问题。
2 卫星视轴指向曲线拟合
2.1 指向序列的计算
卫星和移动目标在某时刻的位置都是近似确定的, 因此可以通过空间几何描述其与地球的关系, 并计算卫星对目标的指向。
如图4所示, 设地球近似为一椭球体, S表示卫星位置, L表示卫星星下点位置, O为地心, LC为轨道面切线。卫星遥感器中心指向投射到地球表面为E, 过L作LL'垂直于轨道面OLC, 即面SLL'垂直于面OLC。过L作线OS的垂面交SE于P', 过P'分别作OLC的垂线交于P, 作SLL'的垂线交于L'。可知, SP为SP'即SE在面OLC上的投影, SL'为SP'即SE在面SLL'上的投影。则∠LSL'=Roll Angle, ∠LSP=Pitch Angle。
在某一时刻点, 卫星和目标点的坐标已知, 要计算卫星对目标的指向, 只需要将E点坐标换成目标点坐标即可。由图4可知:
于是
其中为轨道平面OLC的单位法向量。
将每个控制周期内, 卫星指向移动目标的滚动角和俯仰角计算出来即为卫星对移动目标的指向序列, 用当前时刻的角度值减去上一时刻的角度值即为角速度。
2.2 指向曲线分段拟合
多项式的最小二乘曲线拟合在文献[7, 8]中作了详细介绍, 在这里不再重复。得到的拟合多项式为
对离散点进行多项式曲线拟合, 多项式阶数选取较高时拟合效果较好, 但从方程 (7) 可以看出, 选取多项式阶数越高, 求解就越复杂, 拟合曲线稳定性较差[8]。
在综合考虑卫星能力和拟合精度要求的情况下, 采用三段三次曲线拟合。设卫星跟踪的时间序列为 (t1, t2, t3…, tN) , 对应的角度值为 (Roll Anglei, Pitch Anglei) (i=1, 2, …, N) 。分别对滚动方向和俯仰方向进行拟合, 假设某一方向的拟合曲线函数为:y=a0+a1t+a2t2+a3t3, 则有四个数据点就可以确定一条三次曲线, 为了使分段曲线连续平滑, 选取至少五个数据点拟合成三次曲线, 拟合方法为:
Step1选取第i (i=6, 7, …, N-2) 个点为第一分段点, 选取第j (j=7, 8, …, N-1) 个点为第二分段点, 将第1至i个点作为第一段, 第i-5至j个点作为第二段, 第j-5至N个点作为第三段进行三次曲线拟合;
Step2计算曲线拟合误差max Errori=max (yi-Anglei) (i=1, 2, …, N) ;
Step3遍历所有的点, 返回使max Error最小的i, j值作为分段点, 得到最终曲线的拟合参数。
3 视轴指向切换
由于时统误差的影响, 卫星跟踪移动目标视轴切换的时间关系如图5所示。
移动目标计划开始运动时间为T0, 卫星的跟踪指向序列记为φ1 (t) , 实际开始运动时间为T1, 卫星跟踪指向序列为φ2 (t) 。从T0到T1之间的这段时间为时统误差, 记为ΔT, 从T1到T2之间的这段时间我们称为卫星的反应时间记为Tf, 卫星视轴从原曲线切换到新曲线上的时间称为切换时间, 记为Δt。
卫星在T2时刻点的位置速度是φ1 (T2) , 表示为 (Roll Angle0, Pitch Angle0, VR0, VP0) ;在T3时刻点的位置速度是φ2 (T3) , 表示为 (Roll AngleΔt, Pitch AngleΔt, VRΔt, VPΔt) 其中VR表示滚动方向的角速度, VP表示俯仰方向的角速度。由于硬件性能约束, 卫星从原拟合曲线切换到新曲线不能变化过于剧烈, 每个控制周期内角度变化不能大于β, 角速度变化不能大于a, 卫星视轴切换的约束模型如下。
对于每个控制周期的速度可以表示为
视轴切换过程中, 每个控制周期内的角度变化约束可以表示为
角速度变化约束可以表示为
整个切换过程角度变化可以表示为
4 仿真计算
4.1 指向拟合计算
以太阳同步轨道卫星对移动目标的跟踪为例, 从STK中导出卫星的轨道参数如表1所示。
根据移动目标理论运动轨迹数据, 利用STK软件可以分别计算出移动目标在T0时刻和T1时刻发射时卫星的跟踪指向序列, 借助matlab工具, 采用第二部分所述方法对视轴指向曲线进行拟合。
分别对指向序列进行一次曲线拟合、二次曲线拟合和三次三段曲线拟合, 拟合结果如图7所示。
拟合误差计算如表2所示。
从上述计算结果中可以看出, 采用一次和二次曲线拟合, 拟合误差大于2.4°, 在卫星视场范围内已经不能观测到目标。利用三段三次曲线拟合方法可以较好地将卫星的指向序列拟合成曲线, 拟合误差可以控制在0.07°范围内, 可以确保目标在卫星视场范围内。
4.2 视轴切换计算
在时统误差ΔT存在的情况下, 如果不进行视轴切换, 卫星在T0时刻和T1时刻的跟踪曲线如图6所示。
移动目标在T1时刻开始运动, 卫星应该按照T1曲线对其进行跟踪, 但卫星的实际跟踪曲线是T0跟踪曲线, 整个跟踪过程中, 卫星的最大指向误差为0.627°, 在卫星的视场范围内可能已经观测不到移动目标。
我们采用上文中介绍的视轴切换方法对卫星跟踪曲线进行切换计算, 卫星的反应时间Tf不同, 计算出来的卫星指向切换时间Δt不同, 切换时间计算结果如表3所示:
以反应时间Tf=4 s为例, 可以计算出切换过程中每个控制周期内卫星的指向如表4所示。
在整个切换过程中卫星视轴指向的最大误差为0.12°, 不难看出通过视轴切换, 可以较大减小卫星对移动目标的指向误差, 提高对移动目标的跟踪精度。切换过程如图8所示。
5 结束语
对移动目标的跟踪技术是卫星领域中的重要技术, 在军事预警、民用搜救等方面都具有十分重要的作用。本文在分析卫星对移动目标跟踪过程的基础上, 构建了卫星观测地面目标的空间几何关系, 计算了卫星对移动目标的指向序列, 采用三次分段拟合的方法有效的减少了拟合误差, 考虑了在时统误差影响下, 卫星可能跟不上移动目标的情况, 建立了视轴切换的约束模型, 最后通过实例验证了模型算法地有效性, 为卫星对移动目标的监视奠定了基础。
参考文献
[1] 徐培德, 卢盼, 许语拉.海洋移动目标成像侦察任务分解.中国运筹学会第九届学术交流会论文集.2008, ORSC:642—649
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[3] 徐一帆.天基海洋移动目标监视的联合调度问题研究, [学位论文].长沙:国防科技大学, 2011
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[5] 赵砚, 易东云, 张倩, 等.基于中低轨星座对弹道导弹监视的可探测模型.上海航天, 2010;2:1—8
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[7] 张浩, 任义广, 沙基昌.基于分段三次曲线拟合的广州周发案量预测.计算机仿真, 2008;25 (6) :257—260
长方体的拟合方法 篇10
一、风摩耗的测试实验
在三相异步电动机空载实验中, 首先保持额定电压、额定频率、电动机空载运行至少半个小时直至风摩耗稳定。实验时, 通过调压器将定子绕组电压从1.1UN开始, 逐步往低调, 逐点测量, 直到转速发生明显变化时为止[2]。测量并记录7~9个实验点的电压电压U0、空载电流I0、输入功率p0。然后立刻断电, 测出电机定子绕组的电阻R0。根据实验结果计算各个实验点的平均线电压和线电流值, 然后确定各个实验点的空载定子铜损耗p0Cu1
计算各实验点的铁损耗pFe与风摩耗pfw之和p'0, 即
由于在三相异步电动机空载实验过程中, 电机转速基本不变。而风摩耗仅与转速有关, 与电压无关, 因此可以认为风摩耗基本保持不变。而电机铁损耗pFe近似与电压平方成正比, 在实验过程中随着电压的降低而变化。因此, p'0=f (U0/UN) 2曲线延长线与纵轴的交点即为风摩耗pfw。在电机厂, 通常是根据实验数据对各点绘制p'0=f (U0/UN) 曲线, 然后利用曲尺做延长线, 曲线延长线与纵轴的交点即为电动机的风摩耗。在国家标准中规定, 在50%额定电压及以下低电压范围进行异步电机空载实验, 绘制p'0=f (U0/UN) 2曲线, 此曲线为一直线。延长此直线直至与纵轴相交, 交点处的纵坐标即为风摩耗pfw。以一台型号为Y100-4的异步电动机为例进行空载实验, 其额定电压380V, 额定电流7.2A, 额定功率3k W, 下文简称为实验电机。如表1。
根据空载实验数据绘制p'0=f (U0/UN) 曲线如图1所示, 利用曲尺绘制曲线延长线, 与纵轴的交点处功率为14W。
根据空载实验数据绘制p'0=f (U0/UN) 2曲线如图2所示, 延长直线部分与纵轴相交, 交点处纵坐标即为风摩耗24W。
图1和图2都是通过空载实验手工绘制曲线测量风摩耗的, 但是结果相差10W, 超过了图1中测量损耗的50%。
二、空载实验结果分析
空载实验中, 学生通过绘制p'0=f (U0/UN) 2曲线, 将电压 (U0/UN) <0.5比直线部分延长致使曲线与纵轴相交, 交点处纵坐标即为风摩耗。经计算该曲线在电压比 (U0/UN) <0.5的几点并不在同一直线上, 绘制出的曲线在电压比 (U0/UN) <0.5时只是一条近似直线。以实验电机为例, 电压比为0.3和0.4的两点构成直线的斜率为165.9;电压比为0.4与0.5的两点构成直线的斜率为146.1;电压比为0.3与0.5的两点构成直线的斜率为154.8。虽然电压比 (U0/UN) <0.5的几点构成的各段直线斜率相近, 但并非在一条直线上。因此, 延长这3条直线与纵轴有三个交点, 分别为21.1W、24.3W和22.1W。3段直线测量风摩耗的平均值为22.5W。在实验教学过程中, 学生通过手工绘制曲线测量风摩耗pfw的数值, 人为因素影响很大, 学生测量的结果差异很大, 下面对应用曲线拟合方法对获得风摩耗pfw进行了研究。
三、九点式二次曲线拟合方法
通过异步电机空载实验数据, 利用曲线拟合的方法拟合出曲线的函数表达式, 并可以绘制一条比较贴合的光滑p'0=f (U0/UN) 曲线, 延长该曲线其与纵轴的交点即为风摩耗。以实验电机为例, 首先根据实验电机的实验数据应用Matlab进行二次曲线拟合, 得到的实验电机九点式二次拟合曲线, 拟合曲线与纵轴交点即风摩耗为64W。
实验电机的九点式二次拟合曲线表达式为
通过实验电机运用Matlab进行曲线拟合的实验, 发现得到曲线的曲率大, 曲线与纵轴的交点数值不可靠。经研究由于电压比 (U0/UN) =1及 (U0/UN) =1.1时p'0数值大, 分别为175.4W和239.8W, 导致曲线的曲率大, 影响了曲线的整体变化趋势。因此去除电压比 (U0/UN) =1及 (U0/UN) =1.1两点数据, 采用七点式二次曲线拟合数据获取风摩耗pfw。
四、七点式二次曲线拟合方法
运用Matlab进行去除电压比 (U0/UN) =1及 (U0/UN) =1.1两点数据的七点式二次的拟合曲线如图4, 实验电机通过曲线拟合得到的风摩耗 (U0/UN) =1及 (U0/UN) =1.1为21.6W。
通过曲线拟合得到的实验电机的七点式二次拟合曲线表达式为:
为了验证通过七点式二次拟合曲线得到的风摩耗pfw的准确性, 利用双机对拖实验测量了实验电机精确的风摩耗pfw数据[3]。将实验电机的空载实验、空载实验平均值、电机厂、九点式二次曲线拟合、七点式二次曲线拟合以及双机对拖实验测量的风摩耗数据整理见表3。
从表3可以看出采用采用九点式二次曲线拟合测得的风摩耗误差最大, 舍弃 (U0/UN) =1及 (U0/UN) =1.1两点数据, 采用七点式二次曲线拟合测得的风摩耗与双机对拖实验测得的风摩耗结果基本一致。传统的空载实验和电机厂测量方法误差较大, 将空载实验的测量数据进行平均作为风摩耗能适当降低误差, 但是仍然存在许多人为误差, 而且需要多次手工绘图过程复杂。
五、结束语
在三相异步电动机空载实验中风摩耗的测试是非常重要的。通常是根据空载实验数据, 手工绘制曲线得到电动机的风摩耗, 其人为误差较大, 过程复杂。本文运用Matlab对电动机空载实验数据进行拟合, 发现九点式二次曲线拟合测量电机的风摩耗, 能避免手工绘图带来的人为误差, 但曲线曲率比较大, 测量结果不准确;舍弃九点数据中损耗比较大的两点数据, 再进行七点式二次曲线拟合, 得到的风摩耗pfw数据与双机对拖实验测得的精确风摩耗基本一致, 并且该方法有利于实验数据的计算机处理。
摘要：在三相异步电动机空载实验中, 首先测出各点空载损耗, 从中减去定子铜耗, 绘制电动机空载实验曲线;再做出其延长线, 即可分离出定子铁耗和风摩耗。在电机实验教学中发现做空载曲线延长线的人为因素较大, 引起的误差也比较大。本文利用九点式和七点式二次曲线拟合的方法对三相异步电动机空载实验结果进行了计算机处理, 结果表明七点式二次曲线拟合方法得到的风摩耗误差最小, 较大地提高了定子铁耗和风摩耗的分离精度。
关键词：异步电动机,空载实验,定子铁损耗,风摩耗,曲线拟合
参考文献
[1]刘启新.电机与拖动基础[M].北京:中国电力出版社, 2011:148-150.