LMS自适应算法

LMS自适应算法（精选十篇）

LMS自适应算法 篇1

自适应噪声抵消是以干扰噪声为处理对象, 利用噪声与被测信号不相关的特点, 自适应地调整滤波器的传输特性, 尽可能地抑制和衰减干扰噪声, 以提高信号检测或信号传递的信噪比。

1 自适应噪声抵消

图1为自适应噪声抵消的原理框图, 噪声传感器2的输出经过参数可调的数字滤波器后, 再送到抵消器, 与传感器1的输出信号相减。插入滤波器的目的就是要补偿噪声源到两个传感器的传输特性的差异, 并均衡两个传感器特性的不一致性, 以使滤波器的输出尽量逼近传感器1感应的噪声。

图1的数字滤波器为参数可调的滤波器, 自适应噪声抵消的其他环节也都以数字方式实现, 所以图1中各变量的时间自变量都以取样序列号k来表示。自适应噪声抵消的核心部分是自适应滤波器, 自适应滤波过程是用自适应算法调整数字滤波器的参数, 以使滤波器输出z (k) 逼近传感器1, 输出信号中叠加的噪声n (k) , 这样可以使抵消的输出e (k) 逼近被测信号s (t) 。

2 LMS算法的原理

最陡下降法是许多自适应算法的基础, 其算法能收敛到维纳最优解, 且与起始条件无关。LMS算法的递推公式的最大优点是它没有交叉项, 可以写成纯量方程组:

图2为LMS算法流程图, 图中“*”表示数学式卷积, 以实现XÁ (k) h (k) 运算, zÁÁ为单位延时的环节, 为步长因子, e (k) 为误差信号。这是一种具有反馈形式的闭环模型。

按流程图重复迭代过程, 算法不需要计算输入信号的相关函数, 也没有矩阵求逆的运算, 所以得到了广泛的应用。但是, 由于LMS算法采用了均方误差函数梯度向量的瞬时估计, 其结果的方差较大, 以至于不能获得最优滤波性能。

由图2可知, LMS算法的递推校正值为2 e (k) X (k) , 瞬时均方误差梯度2e (k) X (k) 为随机量。可见, LMS算法的加权向量是以随机方式变化的, 所以LMS算法又叫做随机梯度法, 只能以统计的方式对其特性进行分析。下面分析加权向量平均值的变化规律以及由加权向量的随机起伏造成的影响。Á

3 收敛速度与算法收敛特性

类似于最陡下降法中的推导过程, 可得

式中, E[h1 (k) ]为E[h (k) ]的第i个分量, 为Q的元素, 说明, LMS算法的各个习俗加权系数h1 (k) 的平均值按照M个指数函数之和的规律由初始值收到最优值, 指数函数的时间常数与特征值成反比。由于E[h1 (k) ]的最终收敛情况取决于最, 该过程的时间常数慢的一个指数 又取决于只相关矩阵RX的最小特征值 和步长μ, 即

因此若按收敛调价条件选择 则有

可见, 与最陡下降法类似, LMS算法的加权系数平均值的与收敛速度取决于Rx特征值的分散程度, 当 相差很大时, 收敛速度变慢。

LMS算法, 输出e (k) 用来控制滤波器滤波器权系数h (k) 优化。算法试图除去e (k) 中与X (k) 相关的部分。当滤波器权系数h (k) 接近其最优值, 有h (k 1) ≈h (k) , 此时e (k) X (k) ≈0, 说明e (k) 与X (k) 不相关。算法中的梯度估计值 计算忽略了求数学期望, 以叫做随机随机逼近。这使算法的数学背景复杂化。h (k) 非线性地取决于随机变化X (k) , 导致分析h (k) 的平均特性很困难。

按h (k) 与X (k) 不相关相关的假设, 将E[h (k) ]分解出来的。由于这一近似, 使得收敛之后的h (k) 不能真正到达理论最优解 而是稳定h*在的附近, 并在h*的附近不断动, 如图3所示。

4 结论

收敛后h (k) 波动的一个测度是 在某些条件限制条件下, 该测度可表示 因此, 步长可以控制收敛后h (k) 波动的幅度, 的取值需要在收敛精度和收敛速度之间做权衡。

摘要：本文介绍自适应噪声抵消LMS算法, 介绍了自适应信号处理的背景与应用, 主要讨论了自适应抵消LMS算法的收敛速度与算法的精度。

LMS自适应算法 篇2

空间实体碰撞预报算法及其自适应步长设计

为避免空间飞行实体碰撞漏报并提高计算效率,提出了通用性的基于仿真的多空间飞行实体碰撞预报方法.采用自适应调整仿真计算步长,给出了相应算法,并通过典型算例验证了其正确性和有效性.

作 者：王晓宇 WANG Xiao-yu 作者单位：空军工程大学,导弹学院,陕西,三原,713800刊 名：空军工程大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF AIR FORCE ENGINEERING UNIVERSITY (NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：7(6)分类号：V448关键词：空间系统 碰撞预报 仿真 步长 自适应

LMS自适应算法 篇3

关键词： 农业图像；自适应维纳滤波算法；中值滤波算法；非局部均值滤波算法；噪声；清晰度

中图分类号：S126；TP391 文献标志码： A

文章编号：1002-1302（2015）08-0424-02

随着农业智能化水平的快速发展，各类农业图像提供的大量信息已经成为农产品果实自动采摘 [1]、农作物长势、病害分析 [2]、农作物产量估算 [3]的重要依据，因此农业图像的处理和分析已经成为农业智能化发展的一个重要研究方向。近年来，小波变换 [4-5]、轮廓波变换 [6]、中值滤波 [7]、自适应维纳滤波 [8]、非局部均值滤波 [9-10]等算法相继被用于图像去噪处理，并取得了较好的效果；但对于细节信息复杂的农业图像而言，去噪效果往往不尽如人意。笔者在对该领域已有成果充分分析的基础上提出了一种农业图像自适应混合滤波算法，该算法对质量不高的农业图像采用改进型中值滤波算法和自适应维纳滤波算法进行处理，充分发挥2类算法的滤波优势，从而获得高质量的农业图像。

1 改进型中值滤波算法

中值滤波算法在对图像进行处理时，通过预先设定一定大小的窗口，这样的窗口尺寸可以是3×3或者5×5，将该类窗口在图像上按照一定的顺序进行滑动，当窗口中心点处于图像中某一像素点时，如果窗口尺寸为3×3，那么该像素点的滤波值可以表示成：

f=Median{f1，f2，f3，…，f8}。 （1）

其中：f为窗口中心点像素滤波后的灰度值；f1～f8为窗口中除中心点外的其余8个像素点的灰度值；Median{}为取中间值计算方式。大量试验结果表明，该算法对于普通的数字图像滤波效果较好；但一般来说农业图像细节信息比较多，因此为了将该算法应用于处理农业图像，有必要对其进行适当改进。其步骤如下：步骤1，统计（1）式中的最大值fmax和最小值 fmin；步骤2，在尺寸为3×3窗口中提出fmax和fmin，组成集合Q= {f1，f2，f3，…，f6}；步骤3，求取集合Q={f1，f2，f3，…，f6}的平均值faverage；步骤4，将fmax、fmin以及faverage组成一新的集合Q′={fmax，fmin，faverage}；步骤5，求取集合Q′的中间值f′=Median{Q′}，从而获得窗口中心点滤波后的灰度值。

2 自适应维纳滤波算法

3 试验仿真与结果分析

本研究算法基本思路是：（1）采用“1”节中提出的改进中值滤波算法对含有噪声的农业图像进行预处理；（2）采用“2”节所描述的自适应维纳滤波算法对经过改进中值滤波算法处理后的图像进一步进行噪声抑制。

对本研究算法采用Matlab软件进行编程，试验数据为一幅处于成熟期的桃子图像。为了对该算法的性能进行全面了解：一方面引入中值滤波算法、自适应维纳滤波算法、非局部均值滤波算法与本研究算法进行试验对比；另一方面对上述几类算法的试验结果采用峰值信噪比（peak signal noise to ratio，PSNR）进行定量分析与评估。相关试验结果分别如图1至图6所示，PSNR评价结果如表1所示。

由图1至图6可知，对于受到方差为15%的高斯噪声污染的农业图像（图2）而言，采用中值滤波去噪后，结果如图3所示，由此可以看出，图中的果实边缘基本能辨认出来，但桃子果实表面噪声依然较大，这说明单纯采用该算法无法有效去除图像中的噪声。中值滤波算法处理后结果见图4，图中噪声被抑制的程度要高于图3，总体而言图4的清晰度与图5比较接近，这说明非局部均值滤波算对于受到高强度噪声污染的图像而言去噪效果并不理想，不适合处理农业图像。本研究算法处理结果如图6所示，图中的噪声基本得到消除，果实、叶片边缘基本从噪声中恢复出来，果实表面残留的噪声比较少，视觉效果整体上与图1最接近。由表1可知，4种算法对农业图像的去噪效果随着噪声强度的提高而降低，并且当噪声方差为15%时，本研究算法的PSNR值明显高于其余3种算法，这说明本研究算法对农业图像的处理是有效的。

4 结语

为了实现对农业图像的有效滤波，将改进中值滤波与自适应维纳滤波这2类算法有机结合提出了一种针对该类图像的自适应混合滤波算法。仿真试验结果表明，本研究提出的滤波算法基本适合于处理农业图像，其效果稍稍优于已有的同类型图像，对农业图像的处理具有一定的参考价值。

参考文献：

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[3]李 红 基于CBERS-2卫星图像的石河子地区棉花产量遥感监测研究[J] 石河子科技，2007（6）：28-31

[4]王小兵，孙久运，汤海燕 一种基于数学形态学与小波域增强的滤波算法[J] 微电子学与计算机，2012，29（7）：64-67

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[7]晏资余，罗 杨，杨 浩 图像椒盐噪声的分阶段中值滤波算法[J] 南华大学学报：自然科学版，2013，27（3）：66-70，77

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[9]张 宇，王向阳 频域小波矩的非局部均值图像去噪[J] 小型微型计算机系统，2012，33（9）：2079-2082

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一种新的变步长LMS自适应算法 篇4

针对传统的LMS算法中收敛速度、时变系统的跟踪能力和稳态误差之间的矛盾[2],人们作了各种改进[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],提出了多种变步长LMS算法。变步长的自适应滤波算法的指导思想为[3]:在迭代初始阶段或未知系统参数发生变化时,应使用较大的步长,以加快收敛速度或提高对时变系统的跟踪能力;而在算法逐渐进入稳态时,无论主输入端有多大的干扰信号,都保持较小的步长以达到较小的稳态失调误差。 文献[4]中提出的S函数变步长LMS算法,其步长μ是误差e(n)的Sigmoid函数,由于Sigmoid函数过于复杂,且在e(n)接近于零处变化过大,不具有缓慢变化的特性,使得该算法在自适应稳态阶段仍有较大的步长变化,从而影响稳态误差[5]。文献[6]通过改进文献[4]的算法,提出了新的变步长自适应算法,该算法简单且在参数稳定后具有缓慢变化的特性,进一步减小了稳态误差。但是,该算法在提高收敛速度的性能上依然存在不足。

本文针对以上问题,在文献[7]的基础上提出了一种新的改进LMS算法,更好地解决了加快收敛速度和减小稳态误差之间的矛盾。

1 LMS改进算法的提出

1.1 LMS自适应滤波

自适应滤波的原理如图1所示。

基本的LMS算法的迭代公式为

e(n)=d(n)-xT(n)W(n) (1)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)x(n) (2)

式(1)和式(2)中,x(n)为n时刻输入信号矢量;W(n)是n时刻自适应滤波器的系数;e(n)是误差信号;d(n)是期望信号;v(n)是测量噪声;μ是迭代步长。LMS算法的收敛条件是1<μ<λmax,其中,λmax是输入信号自相关矩阵的最大特征值。

1.2 改进的变步长LMS算法

文献[7]中的步长更新公式为

$\mu (n)=\beta [1-(h+1)/(h+\exp (\alpha \left|e(n)\right|))](3)$

式中,μ(n)为步长;e(n)为误差信号,常数α控制双曲正切函数的形状,常数β控制函数的取值范围,常数h用来改善函数底部形状。

从上式可以得到

$\mu (n)=\beta \{1-1/[h/(h+1)+\exp (\alpha \left|e(n)\right|)/\ln (h+1)]\}(4)$

由文献[7]得出,h越大上式中μ(n)函数的底部越平缓,步长在误差接近零时具有更缓慢的变化趋势,在稳态时误差也更小。而当h过大时,(h/h+1)近似等于1。这里,假设γ=α/ln(h+1),所以上述公式可以写做

$\mu (n)=\beta [1-1/(1+\exp (\gamma \left|e(n)\right|))](5)$

由于LMS算法的收敛条件为[8]

$0＜\mu (n)＜\frac{2}{3\text{t}\text{r}[\mathit{R}]}$式中,R=E{x(n)xT(n)},tr[R]为矩阵R的迹。因此,只要限制$0＜\beta ＜\frac{2}{3\text{t}\text{r}[\mathit{R}]}$,就能满足LMS算法收敛。

由变步长自适应算法的指导思想[3],可以进一步改进算法,使得β正比于误差$\left|e(n)\right|$,即$\left|e(n)\right|$越大β越大,$\left|e(n)\right|$越小β越小。这样,在迭代初始阶段$\left|e(n)\right|$较大,对应β较大,可得到较大步长μ(n),从而获得较快收敛速度;当算法逐渐进入稳态时,$\left|e(n)\right|$逐渐地变小,对应β也随之变小,从而μ(n)更小,由此获得更小的超量均方误差。

为此,令$\beta =\lambda \mu (n-1)+\eta \left|e(n)\right|$,即可满足上述时变β的要求。由此得出步长更新公式为

$\mu (n)=(\lambda \mu (n-1)+\eta \left|e(n)\right|)\times [1-1/(1+\exp (\gamma \left|e(n)\right|))](6)$

式中,参数λ是遗忘因子,且0<λ<1;参数η为>0的常数。λ和η的值可依据实际情况来设定。参数γ用于改变双曲正切函数的形状。

这里增加以下约束,以满足算法收敛条件,

$\mu (n)=\{\begin{array}{l}\beta ,\mu (n)＞\beta \\ \mu (n),\text{其}\text{他}\end{array}(7)$

其中,$\mu (0)=\beta ,0＜\beta ＜\frac{2}{3\text{t}\text{r}[\mathit{R}]}$。

2 计算机仿真及分析

为说明新算法的收敛性能以及各参数对算法性能的影响,下面计算机仿真新算法应用于系统识别。

采用的仿真条件为:

(1)自适应FIR滤波器的阶数M=2。

(2)未知系统的FIR权系数为W*=[0.8,0.5]T。

(3)参考输入信号x(n)是零均值、方差为1的高斯白噪声。

(4)v(n)为与x(n)不相关的高斯白噪声,其均值为0,方差为0.04。

为得出每一条曲线,分别做1 000次独立的仿真,采样点数为500,再取统计平均,得到学习曲线。

图2为λ=0.01,η=0.99,γ=5时,不同β时的算法学习曲线,从上到下的3条曲线对应的β值依次为0.01,0.02,0.1。图3为γ=5,β=0.1,λ=0.01时,不同η时的算法学习曲线。由图可知,随着β、η值的变大,算法的收敛速度逐渐提高。

图4为β=0.1,λ=0.01,η=0.99时,γ分别为2,10,300时得出的3条学习曲线。图5为β=0.1,η=0.99,γ=5时,λ分别为0.001,0.01,0.05时的算法学习曲线。由图可知,随着γ、λ的增大,算法收敛速度提高的同时,超量均方误差也随着增大。

3 与其他算法的性能比较

下面通过计算机仿真实验对新算法和文献[4,6]提出的算法进行比较,以说明新算法的优越性。

仿真条件与上述实验条件(1)～(4)相同,但在第250个采样点时刻未知系统发生时变,系统权系数变为W*=[0.4,0.2]T。采样点数是500,分别做1 000次独立仿真,再取统计平均,得到算法学习曲线。

图6是新算法与文献[4,6]中的算法收敛速度的比较结果。其参数设定为λ=0.98,η=0.12,β=0.06,γ=6。图7是新算法与文献[4,6]中的算法超量均方误差的比较结果。其参数设定为λ=0.86,η=0.06,β=0.23,γ=30。

易得以下结论:在超量均方误差相同时,新算法比文献[4,6]算法的收敛速度更快,如图6所示;而在收敛速度相同的情况下,新算法比文献[4,6]算法的超量均方误差更小,如图7所示。

4 结束语

LMS自适应算法 篇5

二维自适应非结构网格DSMC并行算法研究

研究了二维自适应非结构网格DSMC并行算法实现的过程.首先提出了一类非结构网格自适应策略,有效降低了网格尺度对计算结果的影响,提高了流场的.分辨率;然后基于PC-CLUSTER群机并行体系结构与消息传递库MPI并行环境,利用分区并行思想,设计了非结构网格DSMC并行算法,节约了计算时间.利用For-tran90的动态分配内存技术编制了通用计算程序;最后对过渡流域高超声绕流进行了数值模拟,计算结果初步验证了算法的可行性与有效性.

作 者：王学德 伍贻兆 夏健 林晓宏 WANG Xue-de WU Yi-zhao XIA Jian LIN Xiao-hong  作者单位：王学德,林晓宏,WANG Xue-de,LIN Xiao-hong(南京理工大学动力工程学院,南京,210094)

伍贻兆,夏健,WU Yi-zhao,XIA Jian(南京航空航天大学,航空宇航学院,南京,210016)

刊 名：计算力学学报  ISTIC EI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL MECHANICS 年，卷(期)：2009 26(2) 分类号：V211.3 关键词：自适应非结构网格   DSMC   并行算法   MPI  

LMS自适应算法 篇6

关键词：卫星定位；抗干扰；自适应调零；LMS算法

中图分类号：TP228.4 文献标识码：A 文章编号：1673-5048（2014）03-0044-04

StudyofSimulationAlgorithmofAdaptiveNullingAntenna ArrayforAntiJamminginSatellitePositioningSystems

CHUMingyang

（NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xian710072，China）

Abstract：AdaptiveantennaarrayisthemainresearchdirectionofGPSantijamminghomeanda board，andadaptivenullingantijammingalgorithmisoneoftheantijammingtechnologieswhichusesin practicesuccessfully.Thispaperintroducestheadaptivenullingantijammingtheoryandbuildsthemath ematicalmodeloftheantennaarray.AndbasedonLMS，theadaptivenullingalgorithmforfourantenna elementsanditsimplementationarediscussedaswell.Thealgorithmissimulatedanditsresultsshowthat itfeaturesrelativelystrongantijammingcapabilitytothemonotone，dualtoneandtripletoneinterfer ence.

Keywords：satellitepositioning；antijamming；adaptivenulling；LMS（LeastMeanSquare）algo rithm

在讨论阵列接收信号模型之前，首先假设接 收信号符合窄带模型的要求，即信号的带宽B远 远小于载波频率fc。事实上，绝大多数通信系统 的信号以及对GPS，BD2等系统的干扰信号都满 足此要求。在此假设下，入射信号在不同振元间 的微小延时可以用相移来代替。也就是说，对同 一个信号，不同振元对该信号的响应间只相差一 个相位。

假设空间信号源的载波为ej2πfct，该信号以平面 波的形式在空间沿波数向量k的方向传播，如图2 所示。

在自适应天线阵列中，天线单元负责耦合空 间电磁信号，由于载体大小的限制，不能使用过多 天线单元。只能在条件允许的情况下，尽量选用最 多的天线单元。本文根据实际情况选用4个天线单 元正方形平行布阵来构成天线阵列。

正方形平行布阵是将4个阵元平行放置成一 个正方形的形状，正方形边长取λ/2，如图3所 示。4个阵元的坐标分别为r0（0，0，0），r1（λ/2，0， 0），r2（λ/2，λ/2，0），r3（0，λ/2，0）。

虽然推导出最优权系数向量的理论公式，但 其解算较为复杂。LMS（Least-Mean-Square）算法 是随机梯度算法族中的一员。该算法在随机输入 维纳滤波器递归计算中使用确定性梯度。LMS算 法的一个显著特点是它的简单性。此外，它不需要 计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算，易 于实现，应用十分广泛。LMS算法是一种直接对梯 度Δwξ进行估计的方法。假定对于w（n）的梯度 Δwξ是已知的，令w（n）服从如下的递推方程：

w（n+1）=w（n）+μ（-Δwξ）（7） 式中μ为正常数。此递推方程的含义是：权系数向 量在n+1时的值等于它在n时的值加上一个修正 量，后者正比于-Δwξ。这意味着，在自适应过程 中的任意时刻，ξ总是沿着均方误差面最陡的方向 下降。由于ξ具有唯一的最小值，采取这种下降策 略在μ值选择适当时，可使ξ趋于最小值，使 w（n）趋于最优维纳解，而与初始值的选择无关。 由此可以得出

w（n+1）=w（n）+2μx（n）e（n）（8）

这就是Widrow和Hoff提出的随机梯度LMS 自适应算法。该LMS算法递推公式的技术步骤如 下：

（1）给定初始权系数矢量w（0）和步长因子 μ；

（2）有射频前端的中频输出取得x（n），并取参考阵元的输出为d（n）；

（3）利用w（n）和x（n），计算出y（n）=wHx （n）；

（4）估计误差e（n）=d（n）-y（n）；

（5）更新权系数矢量w（n+1）=w（n）+2μx （n）e（n）；

（6）判断误差e（n）是否满足要求，满足则结 束；不满足，重复（2）～（6）步骤。

4 自适应调零算法仿真

本文使用MATLAB对第3节的LMS算法进行 了仿真，仿真结果如下：在加入一个φ=120°，θ= 240°的干扰信号时，利用LMS算法收敛后得到的 权值，得到的方向图如图4所示。

如图4所示，在整个空间中，方向图存在两 个凹陷，对应的角度分别为φ=120°，θ=240°和 φ=60°，θ=240°，这两个凹陷的矢量方向是关于 xoy平面对称的，即关于天线阵面是对称的。这是 因为关于天线阵面对称的信号矢量，在各个阵元 上形成的波程差是对应相等的，因此LMS自适应 算法会在方向图上自动形成这两个方向的凹 陷。

在加入两个干扰信号φ=120°，θ=240°和φ= 150°，θ=195°时，利用LMS算法收敛后得到的权 值，得到的方向图如图5所示。由图5可看出，在 上述干扰方向形成了方向图的零陷。

在加入三个干扰信号φ=120°，θ=240°，φ=150°，θ=195°和φ=135°，θ=45°时，利用LMS算法 收敛后得到的权值，得到的方向图如图6所示。由 图6可看出，在上述三个干扰方向形成了方向图零 陷，但此时由于阵列自由度已经用尽，在某些其他 方向也形成了一些零陷，这一点有可能对接收机接 收卫星信号带来一定的负面影响。

5 结 论

通过仿真分析，基于4阵元LMS的自适应调零 算法对于单干扰、双干扰以及三干扰均能够有较强 的抑制作用。在工程应用中还需进一步研究LMS算 法收敛步长对权值的收敛性、收敛速度的影响。

参考文献：

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[5]程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论[M].2版.西安：西北工业 大学出版社，2000.

摘 要：自适应阵列天线是国内外GPS抗干扰研究的主要方向，自适应调零抗干扰算法是成 功应用的抗干扰技术之一。介绍了自适应调零抗干扰的原理，建立了天线阵列的数学模型，基于 LMS算法介绍了4个天线单元的自适应调零算法的原理和实现过程，并对算法进行了仿真。结果 显示该算法对单干扰、双干扰及三干扰均有较强的抗干扰能力。

关键词：卫星定位；抗干扰；自适应调零；LMS算法

中图分类号：TP228.4 文献标识码：A 文章编号：1673-5048（2014）03-0044-04

StudyofSimulationAlgorithmofAdaptiveNullingAntenna ArrayforAntiJamminginSatellitePositioningSystems

CHUMingyang

（NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xian710072，China）

Abstract：AdaptiveantennaarrayisthemainresearchdirectionofGPSantijamminghomeanda board，andadaptivenullingantijammingalgorithmisoneoftheantijammingtechnologieswhichusesin practicesuccessfully.Thispaperintroducestheadaptivenullingantijammingtheoryandbuildsthemath ematicalmodeloftheantennaarray.AndbasedonLMS，theadaptivenullingalgorithmforfourantenna elementsanditsimplementationarediscussedaswell.Thealgorithmissimulatedanditsresultsshowthat itfeaturesrelativelystrongantijammingcapabilitytothemonotone，dualtoneandtripletoneinterfer ence.

Keywords：satellitepositioning；antijamming；adaptivenulling；LMS（LeastMeanSquare）algo rithm

在讨论阵列接收信号模型之前，首先假设接 收信号符合窄带模型的要求，即信号的带宽B远 远小于载波频率fc。事实上，绝大多数通信系统 的信号以及对GPS，BD2等系统的干扰信号都满 足此要求。在此假设下，入射信号在不同振元间 的微小延时可以用相移来代替。也就是说，对同 一个信号，不同振元对该信号的响应间只相差一 个相位。

假设空间信号源的载波为ej2πfct，该信号以平面 波的形式在空间沿波数向量k的方向传播，如图2 所示。

在自适应天线阵列中，天线单元负责耦合空 间电磁信号，由于载体大小的限制，不能使用过多 天线单元。只能在条件允许的情况下，尽量选用最 多的天线单元。本文根据实际情况选用4个天线单 元正方形平行布阵来构成天线阵列。

正方形平行布阵是将4个阵元平行放置成一 个正方形的形状，正方形边长取λ/2，如图3所 示。4个阵元的坐标分别为r0（0，0，0），r1（λ/2，0， 0），r2（λ/2，λ/2，0），r3（0，λ/2，0）。

虽然推导出最优权系数向量的理论公式，但 其解算较为复杂。LMS（Least-Mean-Square）算法 是随机梯度算法族中的一员。该算法在随机输入 维纳滤波器递归计算中使用确定性梯度。LMS算 法的一个显著特点是它的简单性。此外，它不需要 计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算，易 于实现，应用十分广泛。LMS算法是一种直接对梯 度Δwξ进行估计的方法。假定对于w（n）的梯度 Δwξ是已知的，令w（n）服从如下的递推方程：

w（n+1）=w（n）+μ（-Δwξ）（7） 式中μ为正常数。此递推方程的含义是：权系数向 量在n+1时的值等于它在n时的值加上一个修正 量，后者正比于-Δwξ。这意味着，在自适应过程 中的任意时刻，ξ总是沿着均方误差面最陡的方向 下降。由于ξ具有唯一的最小值，采取这种下降策 略在μ值选择适当时，可使ξ趋于最小值，使 w（n）趋于最优维纳解，而与初始值的选择无关。 由此可以得出

w（n+1）=w（n）+2μx（n）e（n）（8）

这就是Widrow和Hoff提出的随机梯度LMS 自适应算法。该LMS算法递推公式的技术步骤如 下：

（1）给定初始权系数矢量w（0）和步长因子 μ；

（2）有射频前端的中频输出取得x（n），并取参考阵元的输出为d（n）；

（3）利用w（n）和x（n），计算出y（n）=wHx （n）；

（4）估计误差e（n）=d（n）-y（n）；

（5）更新权系数矢量w（n+1）=w（n）+2μx （n）e（n）；

（6）判断误差e（n）是否满足要求，满足则结 束；不满足，重复（2）～（6）步骤。

4 自适应调零算法仿真

本文使用MATLAB对第3节的LMS算法进行 了仿真，仿真结果如下：在加入一个φ=120°，θ= 240°的干扰信号时，利用LMS算法收敛后得到的 权值，得到的方向图如图4所示。

如图4所示，在整个空间中，方向图存在两 个凹陷，对应的角度分别为φ=120°，θ=240°和 φ=60°，θ=240°，这两个凹陷的矢量方向是关于 xoy平面对称的，即关于天线阵面是对称的。这是 因为关于天线阵面对称的信号矢量，在各个阵元 上形成的波程差是对应相等的，因此LMS自适应 算法会在方向图上自动形成这两个方向的凹 陷。

在加入两个干扰信号φ=120°，θ=240°和φ= 150°，θ=195°时，利用LMS算法收敛后得到的权 值，得到的方向图如图5所示。由图5可看出，在 上述干扰方向形成了方向图的零陷。

在加入三个干扰信号φ=120°，θ=240°，φ=150°，θ=195°和φ=135°，θ=45°时，利用LMS算法 收敛后得到的权值，得到的方向图如图6所示。由 图6可看出，在上述三个干扰方向形成了方向图零 陷，但此时由于阵列自由度已经用尽，在某些其他 方向也形成了一些零陷，这一点有可能对接收机接 收卫星信号带来一定的负面影响。

5 结 论

通过仿真分析，基于4阵元LMS的自适应调零 算法对于单干扰、双干扰以及三干扰均能够有较强 的抑制作用。在工程应用中还需进一步研究LMS算 法收敛步长对权值的收敛性、收敛速度的影响。

参考文献：

[1]李跃，邱致和.导航与定位[M].2版.北京：国防工业 出版社，2008.

[2]胡彩波，原亮.GPS干扰和抗干扰技术的研究[J].测绘 与空间地理信息，2005，28（6）：36-38.

[3]刘鸣，袁超伟，贾宁，等.智能天线技术与应用[M].北 京：机械工业出版社，2007.

[4]PratapMisra，PerEnge.全球定位系统———信号、测量与 性能[M].罗鸣，曹冲，肖雄兵，等译.2版.北京：电子工 业出版社，2008.

[5]程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论[M].2版.西安：西北工业 大学出版社，2000.

摘 要：自适应阵列天线是国内外GPS抗干扰研究的主要方向，自适应调零抗干扰算法是成 功应用的抗干扰技术之一。介绍了自适应调零抗干扰的原理，建立了天线阵列的数学模型，基于 LMS算法介绍了4个天线单元的自适应调零算法的原理和实现过程，并对算法进行了仿真。结果 显示该算法对单干扰、双干扰及三干扰均有较强的抗干扰能力。

关键词：卫星定位；抗干扰；自适应调零；LMS算法

中图分类号：TP228.4 文献标识码：A 文章编号：1673-5048（2014）03-0044-04

StudyofSimulationAlgorithmofAdaptiveNullingAntenna ArrayforAntiJamminginSatellitePositioningSystems

CHUMingyang

（NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xian710072，China）

Abstract：AdaptiveantennaarrayisthemainresearchdirectionofGPSantijamminghomeanda board，andadaptivenullingantijammingalgorithmisoneoftheantijammingtechnologieswhichusesin practicesuccessfully.Thispaperintroducestheadaptivenullingantijammingtheoryandbuildsthemath ematicalmodeloftheantennaarray.AndbasedonLMS，theadaptivenullingalgorithmforfourantenna elementsanditsimplementationarediscussedaswell.Thealgorithmissimulatedanditsresultsshowthat itfeaturesrelativelystrongantijammingcapabilitytothemonotone，dualtoneandtripletoneinterfer ence.

Keywords：satellitepositioning；antijamming；adaptivenulling；LMS（LeastMeanSquare）algo rithm

在讨论阵列接收信号模型之前，首先假设接 收信号符合窄带模型的要求，即信号的带宽B远 远小于载波频率fc。事实上，绝大多数通信系统 的信号以及对GPS，BD2等系统的干扰信号都满 足此要求。在此假设下，入射信号在不同振元间 的微小延时可以用相移来代替。也就是说，对同 一个信号，不同振元对该信号的响应间只相差一 个相位。

假设空间信号源的载波为ej2πfct，该信号以平面 波的形式在空间沿波数向量k的方向传播，如图2 所示。

在自适应天线阵列中，天线单元负责耦合空 间电磁信号，由于载体大小的限制，不能使用过多 天线单元。只能在条件允许的情况下，尽量选用最 多的天线单元。本文根据实际情况选用4个天线单 元正方形平行布阵来构成天线阵列。

正方形平行布阵是将4个阵元平行放置成一 个正方形的形状，正方形边长取λ/2，如图3所 示。4个阵元的坐标分别为r0（0，0，0），r1（λ/2，0， 0），r2（λ/2，λ/2，0），r3（0，λ/2，0）。

虽然推导出最优权系数向量的理论公式，但 其解算较为复杂。LMS（Least-Mean-Square）算法 是随机梯度算法族中的一员。该算法在随机输入 维纳滤波器递归计算中使用确定性梯度。LMS算 法的一个显著特点是它的简单性。此外，它不需要 计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算，易 于实现，应用十分广泛。LMS算法是一种直接对梯 度Δwξ进行估计的方法。假定对于w（n）的梯度 Δwξ是已知的，令w（n）服从如下的递推方程：

w（n+1）=w（n）+μ（-Δwξ）（7） 式中μ为正常数。此递推方程的含义是：权系数向 量在n+1时的值等于它在n时的值加上一个修正 量，后者正比于-Δwξ。这意味着，在自适应过程 中的任意时刻，ξ总是沿着均方误差面最陡的方向 下降。由于ξ具有唯一的最小值，采取这种下降策 略在μ值选择适当时，可使ξ趋于最小值，使 w（n）趋于最优维纳解，而与初始值的选择无关。 由此可以得出

w（n+1）=w（n）+2μx（n）e（n）（8）

这就是Widrow和Hoff提出的随机梯度LMS 自适应算法。该LMS算法递推公式的技术步骤如 下：

（1）给定初始权系数矢量w（0）和步长因子 μ；

（2）有射频前端的中频输出取得x（n），并取参考阵元的输出为d（n）；

（3）利用w（n）和x（n），计算出y（n）=wHx （n）；

（4）估计误差e（n）=d（n）-y（n）；

（5）更新权系数矢量w（n+1）=w（n）+2μx （n）e（n）；

（6）判断误差e（n）是否满足要求，满足则结 束；不满足，重复（2）～（6）步骤。

4 自适应调零算法仿真

本文使用MATLAB对第3节的LMS算法进行 了仿真，仿真结果如下：在加入一个φ=120°，θ= 240°的干扰信号时，利用LMS算法收敛后得到的 权值，得到的方向图如图4所示。

如图4所示，在整个空间中，方向图存在两 个凹陷，对应的角度分别为φ=120°，θ=240°和 φ=60°，θ=240°，这两个凹陷的矢量方向是关于 xoy平面对称的，即关于天线阵面是对称的。这是 因为关于天线阵面对称的信号矢量，在各个阵元 上形成的波程差是对应相等的，因此LMS自适应 算法会在方向图上自动形成这两个方向的凹 陷。

在加入两个干扰信号φ=120°，θ=240°和φ= 150°，θ=195°时，利用LMS算法收敛后得到的权 值，得到的方向图如图5所示。由图5可看出，在 上述干扰方向形成了方向图的零陷。

在加入三个干扰信号φ=120°，θ=240°，φ=150°，θ=195°和φ=135°，θ=45°时，利用LMS算法 收敛后得到的权值，得到的方向图如图6所示。由 图6可看出，在上述三个干扰方向形成了方向图零 陷，但此时由于阵列自由度已经用尽，在某些其他 方向也形成了一些零陷，这一点有可能对接收机接 收卫星信号带来一定的负面影响。

5 结 论

通过仿真分析，基于4阵元LMS的自适应调零 算法对于单干扰、双干扰以及三干扰均能够有较强 的抑制作用。在工程应用中还需进一步研究LMS算 法收敛步长对权值的收敛性、收敛速度的影响。

参考文献：

[1]李跃，邱致和.导航与定位[M].2版.北京：国防工业 出版社，2008.

[2]胡彩波，原亮.GPS干扰和抗干扰技术的研究[J].测绘 与空间地理信息，2005，28（6）：36-38.

[3]刘鸣，袁超伟，贾宁，等.智能天线技术与应用[M].北 京：机械工业出版社，2007.

[4]PratapMisra，PerEnge.全球定位系统———信号、测量与 性能[M].罗鸣，曹冲，肖雄兵，等译.2版.北京：电子工 业出版社，2008.

LMS自适应算法 篇7

21世纪以来, 通信行业进入快速增长期, 特别是移动通信业务发展十分迅猛。随着移动用户数的急剧增加, 移动网络的负担日益加重, 无线频谱资源日趋紧张, 从而引起的信道容量不足、通信质量下降等问题十分突出, 在传统的解决上述问题的方法日趋成熟、完善的条件下, 智能天线技术和空域滤波被引入到移动通信系统中来, 为解决问题带来了新思路。智能天线采用数字信号处理技术, 通过自适应控制产生空间定向波束, 将主波束对准用户信号的到达方向、旁瓣或者零陷对准干扰信号的到达方向, 从而增强用户信号强度、抑制干扰信号强度、提高天线阵列输出的信噪比。[1]

1 自适应智能天线的基本原理

智能天线是在自适应滤波和阵列信号处理技术的基础上发展起来的, 其最终目的是实时地产生多个用户的波束天线方向图。波束形成是智能天线实现的关键核心技术, 该术语来源于早期的相控阵雷达, 被设计用于形成具有方向性的锐波束, 以便在接收某一特定方向发出的信号的同时, 衰减其他方向到来的信号, 其主要任务是补偿无线传播过程中由空间损耗、多径效应等因素引入的信号衰落与失真, 同时降低同信道用户间的干扰, 一个典型的智能天线系统如图1所示。该系统由三部分构成: (1) 实现信号采样、变频以及模数转换的天线阵列; (2) 对各个阵元的输出进行加权合并的波束形成网络; (3) 更新合并权值的控制部分。

智能天线通过天线阵列的加权合并来完成波束形成和空域滤波。波束形成的基本思想是:通过将各阵元接收到的信号进行加权求和, 把天线阵列形成的波束“导向”到一个方向上, 使期望用户信号方向得到最大的增益, 并相应地使干扰信号方向得到较低的增益, 从而提高系统的性能。[2]空域滤波是将在特定入射方向上的信号进行放大, 而其他入射方向上的信号被衰减掉, 是一种与空间方向有关的选择性接收作用。[3]智能天线可以通过调整权值来得到不同的天线方向图, 从而依照某种准则得到最佳的天线方向图。

2 基于LMS算法的波束形成基本原理

2.1 阵列信号模型

如图1所示, 设阵列模型为均匀直线阵, 由N个等距离为d=λ/2的阵元组成, λ是电磁波信号波长, 远场窄带源信号is (t) [4]到达阵列的波达方向角为θi, 1≤i≤M, 波达方向与相位差iω之间存在关系:

第m个阵元接收的信号可以表示为:

定义均值为零的高斯白噪声向量e (n) , 等距直线阵的方向向量定义为:

用矩阵A表示各信源来波方向对应的方向向量所组成的矩阵, 因此天线阵接收到的信号可以表示为:

2.2 基本LMS算法

根据图1所示, 阵列的输出是在时刻n对各阵元上的分量加权求和, 可以表示为:

令n时刻期望信号为d (n) , 因此误差信号e (n) 可表示为:

LMS算法需要使用已知的期望信号来调整权向量, 从而形成所需的波束图, 这个过程是通过调整权向量使得代价函数最小化来实现的, 代价函数定义为:

将式 (6) 对w求导, 并令其等于零, 可以得到使得代价函数最小的最佳滤波系数为:

输入信号的自相关矩阵和期望信号与输入信号的互相关矩阵。

将式 (7) 代入式 (6) 可得最小均方误差为:

基本LMS算法的迭代方程为:

式中µ为控制收敛速度的步长因子, 文献[4]中讨论了其具体取值范围及需要满足的条件。

2.3 变步长LMS算法

步长的取值会对LMS算法的收敛速度、稳态误差和时变系统的跟踪速度产生直接影响, 如果使用较大的步长值, 则收敛速度加快, 但是稳态误差也会增大, 最终收敛点的权向量会远离最佳维纳解;相反, 如果使用较小的步长值, 可以降低稳态误差, 同时提高算法的精度, 但会降低算法的收敛速度和对时变系统的跟踪速度, 不能及时地调整至最优权值。因此提出了变步长的改进型LMS算法。

变步长算法的基本思想:在初始收敛阶段或系统参数发生时变时, 自适应系统的权值与最优权值相距较远, 为保证有较快的收敛速度及对时变系统的跟踪速度, 选取较大的步长µ;在算法接近收敛时, 滤波系统的权值接近最优权值, 选取较小的步长µ, 以减少算法的稳态误差。文献[5]提出了一种基于Sigmoid函数的变步长LMS算法 (SVSLMS) , 该算法能同时获得较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差。

SVSLMS的算法如下:

从图1和图2可以看出初始收敛阶段|e (n) |较大, 对应的µ (n) 也较大, 从而可以得到较快的收敛速度, 当算法进入稳态时, |e (n) |达到最小, 这时候µ (n) 也达到最小并得到最佳的权向量, 这是符合变步长算法的基本思想的。

3 计算机仿真

利用MATLAB进行数值仿真实验, 验证上述算法的性能。采用八阵元直线阵, 阵元间距为半波长, 接收信号到达角为30°, 干扰源到达角为-60°, 假定期望接收的信号向量为:

xs (k) =a0s (k) , 其中s (k) =cos (2π*t (k) /T) , T=1ms。假定干扰信号向量为:xi=aii (k) , 其中i (k) =randn (1, 100) , 两信号在时间间隔T几乎是正交的。采用固定步长LMS算法, 利用天线阵对期望信号进行跟踪, 天线阵权值随着迭代次数的图形如图4所示。采用SVSLMS重作本实验得到仿真图6、7。

由图4、图5和图6、图7的对比可以看出, 采用变步长的LMS算法比起固定步长的LMS算法的收敛速度快很多, 同时能得到较为理想的波束图, 对干扰信号进行抑制。

4 结束语

本文对自适应阵列天线的LMS算法进行研究, 变步长的LMS算法比固定步长的LMS算法收敛速度更快, 仿真表明, 随着迭代次数的增加, 天线阵的权向量趋于稳定, 均方误差也收敛到最小值, 对干扰信号能有效抑制, 同时使得期望信号方向获得最大增益, 充分显现了智能天线的优越性。

参考文献

[1]杨维, 陈俊仕, 李世明, 江连山.移动通信中的阵列天线技术[M], 北京:清华大学出版社、北京交通大学出版社, 2005.10:1-19.

[2]金荣洪, 耿军平, 范瑜.无线通信中的智能天线[M], 北京:北京邮电大学出版社, 2006.1:2-20

[3]杨维, 陈俊仕, 李世明, 江连山.移动通信中的阵列天线技术[M], 北京:清华大学出版社、北京交通大学出版社, 2005.10:8-19

[4]Paulo S.R.Diniz著, 刘郁林、景晓军、谭刚兵等译, 自适应滤波算法与实现 (第二版) [M], 北京:电子工业出版社, 2004.7:48-81

[5]覃景繁, 韦岗.基于S型函数的变步长LMS自适应滤波算法[J].无线电工程, 1996, 26 (4) :44-47.

[6]Simon Haykin著, 郑宝玉等译, 自适应滤波器原理 (第四版) [M], 北京:电子工业出版社, 2010.5

[7] Seungchul Yang, Dae Hee Youn, Chungyong Lee:LMSbased forward-link beamforming using reverse-linkchannel estimator in FDD/CDMA system, IEEE, VehicularTechnology Con.2001

LMS自适应算法 篇8

自适应滤波算法广泛应用于信号处理领域, 例如雷达、声纳、系统辨识、智能天线等方面, 原理如图1所示。在众多的自适应算法中, 最小均方算法以其结构简单、运算量小的特点, 得到了广泛的应用。

最小均方 (LMS) 自适应算法由美国学者Widrow和Hoff[1]提出。该算法虽然以简单的结构得到学术研究人员的青睐, 但是由于过于简单, 导致在很多场合中得不到期望的性能。人们期望在收敛初始时算法具有很快的收敛速度, 收敛过程达到稳定时能够达到较低的稳态误差, 使系统具有较好的系统跟踪和辨识能力。然而, LMS算法的步长是固定的, 直接导致系统对收敛速度、跟踪能力与稳态误差之间的矛盾不可调和。为了缓解以上的矛盾, 折中取得最优的性能, 人们提出了变步长自适应滤波算法。

Kwong R H等[2]于1992年提出Kwong算法, 通过均方瞬时误差e2 (n) 控制步长的更新。算法在低噪声环境中能够在收敛速度和稳态误差之间折中取得较好的性能, 但是当噪声较大时, 步长容易受到噪声干扰从而偏离预期的更新过程。Aboulnasr T等[3]提出的算法同样能够折中取得好的算法性能, 而且在收敛过程中避免非相关噪声的影响, 但是跟踪能力有限, 尤其在时变环境中, 不能对系统变化进行很好的跟踪。近年来, 一些学者提出了基于Sigmoid函数的LMS算法 (SVSLMS) 及其改进算法[4,5,6,7]。由于Sigmoid函数较为复杂, 而且在误差接近零时不具有缓慢变化的特性[5], 因此算法效果仍不够理想。如文献[4]中的算法, 步长在误差很小时仍难以达到足够小以实现很好的效果。在其他的变步长LMS算法研究中, 文献[8-10]的算法兼有良好的性能和低的运算量, 但是只适用于一些特定的场合。敖伟、李建平等[11,12]使用双曲正切函数实现变步长, 能够很好地实现小的稳态误差, 但是收敛速度和跟踪能力没有得到改善。朱斌、马艳等[13]使用反正切函数实现步长更新, 在误差很小时可以取得趋近于零的步长, 然而在步长更新中容易受到噪声的影响, 使得算法性能下降。

上述算法各有优劣, 但基本思想一致。本文遵循相同的思想, 在文献[3]和文献[13]的基础上, 提出改进的LMS自适应算法。

1 改进的LMS算法

文献[13]中提出的自适应算法为:

其中e (n) 为误差, μ (n) 为步长。文献[13]算法能够实现很快的收敛速度, 在较少的迭代次数内达到稳态。但是算法中采用e2 (n) 控制步长, 在信号的输入端引入了非相关噪声的干扰。本文从这一点出发, 提出改进的自适应算法为:

其中k (n) 为误差的自相关时间均值估计, α、β、γ、λ、ε为常量参数, 其中β控制步长取值范围, α和γ共同控制步长曲线的斜率变化, λ为遗传系数, 控制收敛时间。通过合理选择以上四个参数能够在收敛初期实现很快的收敛速度。ε为取较小值的正常数, 避免分母为零的情况发生。

为了保证权向量收敛, 在迭代次数足够多时需要使满足:

其中λq是输入信号自相关矩阵的特征值。即要求:

其中λmax是最大特征值。联系式 (4) 和式 (9) 可得β的取值范围:

由式 (4) 可得:

参数选择适当的情况下, 算法的收敛过程如下:在收敛初期阶段, 误差的自相关估计较大, 根据反正切函数与自变量的正比增长关系可得此时的步长较大, 具有较快的收敛速度;在收敛趋近平稳时, 权向量趋近最优值, 此时误差的自相关估计很小且变化平滑, 从而导致步长很小, 实现较理想的稳态误差。

2 算法性能分析

2.1 消除噪声干扰

本文算法利用误差的自相关e (n) e (n-1) 代替e (n) 2, 消除了非相关噪声对步长更新的干扰。

设理想情况下, 期望信号为:

其中ξ (n) 为均值为零, 与x (n) 不相关的干扰信号, wopt (n) 是时变滤波器的最优权系数。由式 (6) 和式 (12) 可得:

分别对e2 (n) 和e (n) e (n-1) 求数学期望, 可得:

由于ξ (n) 是均值为零, 与x (n) 不相干的噪声, 因此:

对比式 (16) 和式 (17) 可以看出, 采取e (n) e (n-1) 代替e (n) 2能够有效地消除ξ (n) 的影响, 从而提升算法的性能。

2.2 误差自相关估计与归一化处理

为了能够将稳态误差控制在较低的范围内, 本文在计算误差自相关时, 在式 (5) 引入误差自相关估计值k (n) 和遗传系数λ。在λ取值较大的情况下, k (n) 迭代次数比较少时, k (n) 取值较大, 此时的误差自相关对k (n) 的贡献相对较大。经过若干次迭代之后, e (n) 已经变得较小, k (n) 通过累积e (n) e (n-1) 使得当前时刻的误差自相关对迭代影响逐渐减小, 从而使k (n) 的迭代更加平滑。因此当误差足够小时, 扰动对步长产生的影响几乎可以忽略不计。

另外, 本文引入了信号归一化功率x (n) xT (n) 以改善输入信号的取值范围, 使之能够在更大的范围内接收信号。

2.3 算法复杂度分析

固定步长的LMS算法的复杂度即权向量更新所需的计算量, 为2N次乘法, N为自适应滤波器阶数。本文对比的算法均为变步长LMS算法, 因此只需分析各算法在计算步长中所需的计算量即可, 而本文算法在权向量更新时采用信号功率归一化处理, 因此会适当增加计算量。表1为除2N次乘法外各算法额外增加的计算量。

本文算法在乘法运算上与文献[10]相当, 略多于文献[11], 但是由于没有指数运算, 而指数运算的计算量相当于多次的乘法, 因此相比之下本文算法具有更低的复杂度。

3 算法性能仿真

3.1 仿真条件

本文的算法仿真条件如下:

(1) 自适应滤波器阶数N=8, 采样点数为1024;

(2) 输入信号x (n) 是均值为0, 方差为1的高斯白噪声;

(3) 干扰噪声v (n) 为与x (n) 无关的, 均值为0, 方差为0.1的高斯白噪声;

(4) 初始时未知系统单位冲激响应矢量为:W=[0.1 0.3-0.2-0.5 0.2-0.5-0.3 0.1]T;

(5) 每次做1 000次独立实验, 取统计平均求其收敛曲线。

3.2 算法参数分析

图2-图5为采取控制变量法, 在仿真条件下分别对β、α、γ、λ进行分析。图2为α、γ、λ分别取8、1、0.99时, β取0.05、0.2、0.8的算法收敛曲线。

图3为β、γ、λ分别取0.6、1、0.99时, α取1、16、32的收敛曲线。

α为k (n) 的幅度, 由于反正切函数在输入较大时取值较大而且保持很缓的斜率, 因此α取大值的曲线在收敛初期将保持较快的收敛速度。图4为α、β、λ分别取8、0.6、0.99时, γ取0.5、1、2的收敛曲线, 可以看出当|k (n) |小于1时, γ越小则|k (n) |γ越大, 此时步长取值越大, 相应的稳态误差也较大。

图5为α、β、γ分别取8、0.6、1时, λ取0.7、0.8、0.9的收敛曲线。λ控制e (n) e (n-1) 的累积作用, λ越大收敛性能越好。经过多次实验得出在本文实验条件下, 算法最佳参数为:α=0.6, β=8, γ=1, λ=0.99。ε经过实验验证取0.0001能取得较好的效果。

3.3 仿真对比

本文选取文献[11]、文献[13]的算法作为对比, 三种算法选取的参数如表2所示。

图6所示为文献[11]算法、文献[13]算法和本文算法在仿真条件下收敛曲线的对比。

由图6可知, 本文算法的收敛速度快于文献[11]算法。因为在误差较大时, 反正切函数能够在此误差的邻域内实现步长的缓慢变化, 因此能够在初始一段时间内能够保持很快的收敛速度。另外由于通过抑制步长更新中非相关噪声的干扰, 本文算法能够实现比文献[13]更低的稳态误差, 有更好的收敛性能。

3.4 时变环境中的仿真分析

实验条件和算法参数设置与上述仿真一致, 系统总采样点数为3 072, 在第1 024个采样点时刻未知系统发生第一次时变, 系统冲激响应跳变为W1=[-0.2 0.4-0.6 0.1 0.5-0.50.2]T;在第2 048个采样点时刻发生第二次时变, 冲激响应跳变为W2=[-0.2-0.3-0.4 0.5-0.1-0.05-0.1 0.1]T。图7是文献[11]、文献[13]和本文的算法在时变环境中的收敛情况。

由图7可以看出, 在经过两次系统时变后, 本文算法依然有很快的收敛速度, 具有较好的跟踪能力和鲁棒性。这是因为在经历每一次系统时变时, 随着误差瞬时增大, 三种算法的步长都瞬时增大, 而误差自相关估计的平滑作用减缓了步长减小的趋势, 因此本文算法在每一次系统发生时变后都能够保持很快的收敛速度。

4 结语

本文提出一种基于反正切函数的改进LMS算法, 利用误差自相关的时间估计, 通过反正切函数进行步长更新, 同时引入归一化信号功率扩大了输入信号的接收范围。仿真结果表明, 该算法在平稳环境下能够实现很快的收敛速度和较低的稳态误差, 在时变环境下该算法依然具有较好的收敛性能, 而且克服了输入端非相关噪声的干扰, 具有较好的鲁棒性和有效性。

摘要：针对最小均方算法收敛过程中收敛速度与稳态误差的矛盾, 提出一种基于反正切函数的归一化最小均方算法。该算法利用反正切函数和误差自相关的时间估计建立了步长与误差之间的非线性关系, 抑制环境中的非相关噪声, 同时引入归一化信号功率扩大输入信号的取值。仿真结果表明, 该算法具有较快的收敛速度、较低的稳态误差, 同时具备较好的系统时变跟踪能力。

LMS自适应算法 篇9

自适应滤波研究始于20世纪50年代末Widrow和H o f f提出的最小均方误差算法,由于该算法具有简单性、鲁棒性和易于实现的性能,因此在自适应滤波原理中得到了很好的应用[1]。然而,传统的固定步长的LMS算法在收敛速度、时变系统的跟踪能力和稳态失调之间的要求是存在很大矛盾的。小的步长确保稳态时具有小的失调,但是算法的收敛速度慢,并且对非稳态系统的跟踪能力差;大的步长µ使算法具有更快的收敛速度和好的跟踪能力,但这是以大的失调为代价的[2,3]。为解决这一矛盾,各种变步长LMS算法被提出。变步长算法都是利用自适应过程中提供的某种近似值作为衡量标准来调节步长。简单有效的方法是利用自适应过程中的误差信号,试图在步长与误差信号之间建立某种函数关系。文献[4]给出Sigmoid函数的变步长LMS算法(SVSLMS),其能同时获得较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差。然而,该Sigmoid函数在误差e(n)接近零时变化太大,不具有缓慢变化的特性,使得SVSLMS算法在稳态时仍有较大的步长变化。为此,文献[5-6]分别给出相应的改进算法,使其在稳态时步长因子很小,而且变化不大,解决了S V S L M S算法存在的问题。文献[7]克服了文献[5]在低信噪比下收敛速度变慢的问题,但在稳态性能方面欠佳。在分析了以上算法的基础上,文献[8]提出了基于双曲正切函数的变步长算法,该算法能同时获得较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差。然而,该双曲正切函数在误差e(n)接近零处变化太大,不具有缓慢变化的特性,使得该算法在自适应稳态阶段仍有较大的步长变化,并且在低信噪比环境下,该算法收敛速度、跟踪速度和稳态误差并不十分理想。本文在此基础上提出了一种改进型算法,不仅保证了较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差,并且克服了双曲正切函数在自适应稳态阶段步长调整过程中的不足,同时,降低了算法对自相关性较弱噪声的敏感性。

2 固定步长LMS算法

基本的L M S算法可以表示为

其中X(n)为n时刻输入信号矢量;W(n)为n时刻N阶自适应滤波器的权系数,d(n)为期望信号,e(n)为误差信号,µ是步长因子。

该算法收敛的条件是0<µ<1/λmax,λmax是输入信号自相关矩阵的最大特征值。

3 改进的变步长LMS算法及其分析

文献[8]中提出了基于双曲正切函数的变步长LMS算法:

式中变步长µ(n)是e(n)的双曲正切函数。

该算法能同时获得较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差。然而,该双曲正切函数在误差e(n)接近零处变化太大,不具有缓慢变化的特性,使得该算法在自适应稳态阶段仍有较大的步长变化,并且在低信噪比环境下,该算法收敛速度、跟踪速度和稳态误差并不十分理想,这是算法的不足。

本文通过对双曲正切函数修正得到新的变步长L M S算法为:

3.1 收敛性分析

β用于控制函数的取值范围,α和h用于控制函数的形状。根据算法收敛条件:0<µ<1/λmax,则要求0<β<1/λmax,同时根据步长调整原则的要求,应有参数α>0,h>0,在此条件下分析参数α、β和h的选择。为了说明参数α、β和h对函数的影响,绘制了在不同参数下µ(n)和e(n)的函数关系曲线。由图2~4可知:α选择过大时误差e(n)接近0仍有较大步长,稳态误差增大,α选择过小时步长较小且变化缓慢,收敛速度降低;β选择过大时会超出收敛条件,过小时初始阶段收敛速度较慢;h选择过大时,步长调整过早进入缓慢变化区域,选择过小时会增大稳态误差。因此参数α、β和h应根据具体的系统环境与要求进行选择。

3.2 抗干扰性分析

由式(1)可得:

而误差e(n)与输入信号X(n)有关,为了便于分析,将d(n)表示为

式中:N(n)是均值为零的噪声,与输入信号无关;W*(n)为时变的最优系数矢量。令

式中:K(n)为系数偏差矢量。

由于N(n)是零均值的噪声,N(n)与X(n)无关,并且噪声N(n)本身不相关,N(n)N(n-1)对µ(n)的贡献很小,可忽略不计,故有

而在文献[8]算法中,根据N(n)本身不相关,与X(n)也不相关,可得出

从统计的观点,由式(12)可以看出,当采用式(3)对步长因子µ(n)进行调整时,由于E[N(n)]项的存在,µ(n)不在是算法自适应状态的准确反应,在噪声和干扰比较严重的应用环境下,N(n)将影响LMS算法的性能,是自适应算法很难达到最优解,在最优解周围波动。为了减小N(n)对步长因子µ(n)的影响,式(5)对其进行了改进,即用e(n)e(n-1)来调节步长因子µ(n),而不是文献[8]算法中的e(n)。在自适应滤波的开始阶段,e(n)比较大,µ(n)也较大,由于噪声N(n)不相关,N(n)N(n-1)对µ(n)的贡献很小,所以N(n)对µ(n)的影响可以忽略不计。当e(n)较小时,µ(n)也较小,由于改进算法的步长只与输入信号有关,而不受噪声的影响。因此,具有收敛速度快,稳态误差小的优点,而且在低信噪比的环境中仍保持较好的性能,具有广泛的用途。

4 仿真结果及分析

4.1 仿真条件

本节从收敛性、跟踪性能、稳态性能和抗干扰性能等方面进行仿真比较,说明本文算法的有效性。采用文献[8]的实验条件:

(1)自适应滤波器的阶数L=2;

(2)未知系统的FIR系数为W*=[0.8,0.5]T;在第5 0 0个采样点时刻,未知系统发生时变,系数矢量变为;

(3)参考输入信号x(n)是零均值、方差为1的高斯白噪声;(4)v(n)为与x(n)不相关的高斯白噪声,其均值为零、方差σv2=0.04。为得到LMS算法的学习曲线,分别做200次独立的仿真,采样点数为1000,然后求其统计平均。

本文步长在h=1000、α=200和β=0.25时为最优状态。

4.2 仿真结果及分析

图5是本文算法和原算法收敛曲线的比较,上面一条是h、α和β为原算法最佳值的收敛曲线,下面一条是本文算法的最优收敛曲线。由图5可知本文算法优于原算法。

图6和图7分别是信噪比为10d B和18d B时本文算法和原算法收敛曲线的比较。可以看出,低信噪比时原算法的稳态误差波动较大,本文算法稳态性能优于原算法;信噪比相对比较大时,2种算法的仿真曲线近似一致,说明在高信噪比的情况下,二者具有相同的性能。

5 结束语

本文通过对双曲正切函数的修正,建立了步长因子µ(n)与误差信号e(n)之间新的非线性函数关系,其在误差e(n)接近零处具有缓慢变化的特性,克服了双曲正切函数在自适应稳态阶段步长调整过程中的不足。计算机仿真结果表明该算法比原算法收敛性能更好,与理论分析相一致。并且,在低信噪比环境下,该算法比原算法有更小的稳态误差,有更好的抗噪声性能。

参考文献

[1]何振亚.自适应信号处理[M].科学出版社,2002.

[2]HAYKIN S.Adaptive Filter[M].Third Edition.Prentice-Hall Inc.,1996.

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[4]覃景繁,欧阳景正.一种新的变步长自适应滤波算法[J].数据采集与处理,1997,12(3):171-194.

[5]高鹰,谢胜利.一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].电子学报,2001,(8):1094-1097.

[6]罗小东,贾振红,王强.一种新的变步长LMS自适应滤波算法[J].电子学报,2006,34(6):1123-1126.

[7]TANG J,ZHANG S J,WANG J.An improved vari-able step size LMS adaptive filtering algorithm and itsanalysis[C]∥Proc.Of International Conference on Com-munication Technology,Guilin,2006:1-4.

LMS自适应算法 篇10

光脉冲沿光纤传播时会产生损耗和失真。失真主要是由色散引起的,包括多模色散、波导色散、材料色散和偏振模色散(PMD)。色散导致光纤中的光信号在传输过程中产生失真,并且这种失真会随着传输距离的增加越来越严重。对数字光纤系统而言,色散造成光脉冲展宽,导致前后脉冲相互重叠,引起数字信号的码间干扰(ISI),造成误码率增大。

随着光纤通信系统传输速率的不断提高,色度色散(CD) 和PMD成为制约高速光纤通信系统发展的主要因素。因此,对高速率、长距离的光纤通信系统必须考虑色散补偿问题,以消除ISI。

1 单模光纤信道的仿真模型

对于单模光纤,由于没有多模色散效应,光纤基带传输函数可近似为

${\rm H}{}_{\text{F}}(f)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }S}(\lambda )L(\lambda ){\rm H}{}_{\text{C}}(\lambda ,f)\text{d}\lambda ,(1)$

式中,S(λ)为光源频谱;L(λ)为光纤损耗;HC(λ,f)=e-jwlτ(λ),是光纤的频率响应 ,τ(λ)为单位长度群时延,l为光纤长度。光纤损耗一般建模为L(λ)=10-α(λ)l/10,式中,α(λ)为光纤损耗系数(单位为dB/km)。

噪声是光放大器和光接收机固有的,本文在仿真过程中将其考虑为均值为0的高斯白噪声,并添加到光纤信道中。

在理想信道中,发送滤波器和接收滤波器联合设计成在所需求的采样瞬时t=nT具有零ISI,即

$G{}_{\text{Τ}}(f)G{}_{\text{R}}(f)=X{}_{\text{r}\text{c}}(f),(2)$

式中,GT(f)为发送滤波器的频率响应;GR(f)为接收滤波器的频率响应,并且GR(f)为GT(f)的匹配滤波器;Xrc(f)为升余弦频率响应特性。然而,实际的光纤信道由于受噪声和光纤色散的影响,并不是理想的,

$G{}_{\text{Τ}}(f)G{}_{\text{F}}(f)G{}_{\text{R}}(f)\ne X{}_{\text{r}\text{c}}(f),(3)$

即产生了信道失真,式中,GF(f)为实际光纤信道传输函数。为了消除光纤色散引起的ISI,我们在接收端加一个自适应均衡器GE(f),并且使

$G{}_{\text{Τ}}(f)G{}_{\text{F}}(f)G{}_{\text{E}}(f)G{}_{\text{R}}(f)=X{}_{\text{r}\text{c}}(f)。(4)$

系统仿真模型如图1所示,待发送数据经发送滤波器后进入光纤信道,再经采样后进入自适应均衡器,均衡器的输出信号$\widehat{a}$(n)进入判决器,判决后输出$\tilde{a}$(n),将期望信号d(n)与均衡器输出信号$\widehat{a}$(n)进行比较,得到误差信号,以最小均方(LMS)误差自适应算法为准则调整均衡器抽头系数,实现自适应均衡。

系统仿真参数设定如下:光纤长度为100 km,光纤衰减系数为0.247 dB/km;光源增益0.9;系统传输速率为10 Gbit/s;传输码型为双极性非归零(NRZ)码;数据随机序列长度为5 000;信噪比为20 dB,每比特采样数为10;发送成形滤波器为平方根滚降滤波器;3 dB带宽为8 GHz;变换为电脉冲信号后送入判决反馈均衡器(DFE);采用基于LMS算法的抽头调整算法。

2 DFE和LMS算法

在光域中,光纤色散和一阶PMD对光信号产生的失真是线性的,但是经过直接检测后,光信号的线性失真变成了电信号的非线性失真,这与一般数字通信有很大不同。由于信号失真变为非线性,所以采用线性均衡就很难奏效。关于ISI补偿技术的一个关键是ISI是否为线性,它决定了相应的均衡是采用线性均衡还是非线性均衡。

DFE是一种非线性均衡器,其结构如图2所示。它利用先前的判决来消除前面检测出的符号中产生的ISI。

LMS算法由Widrow和Hoff引入, 因其具有结构简单、稳定性好等特点,一直是自适应滤波经典有效的算法之一,广泛应用于雷达、通信、声纳、系统辨识及信号处理等领域。

LMS算法一般采用递推的梯度(最陡下降)方法,用任意选择的可调节滤波器系数{h(k)}作为开始,然后将每一个新的输入样本{x(n)}输入到这个自适应的有限脉冲响应(FIR)滤波器,计算相应的输出{y(n)},并利用期望信号d(n)和输出信号y(n)计算误差信号e(n)=d(n)-y(n),再按式(5)更新滤波器的系数,

$\begin{array}{l}h{}_n(k)=h{}_{n-1}(k)+\text{Δ}\cdot e(n)\cdot x(n-k),\\ 0\le k\le {\rm N}-1,n=0,1,2,\cdots ,(5)\end{array}$

式中,Δ称作步长参数;x(n-k)是输入信号在时间n上位于滤波器第k个抽头上的样本;而e(n)·x(n-k)是对第k个滤波器系数的一个梯度负值的近似估计。这就是所谓的LMS递推算法,即自适应地调节滤波器系数使平方误差e2(n)之和ε达到最小。步长参数Δ控制了达到最优解的算法收敛速率。大的步长值Δ会导致大的步长调节,从而加速收敛;而小的步长值Δ会产生较慢的收敛。然而,如果Δ值取得太大,算法会变得不稳定。为了保证稳定性,Δ取值应满足以下条件: 0<Δ<1/10NPx,式中,N为自适应FIR滤波器的长度;Px为输入信号的功率。

3 仿真结果

信道中可加入指定信噪比的零均值高斯白噪声,均衡器的抽头数为5和11,调整步长为0.01时,5抽头和11抽头均衡器的仿真结果如图3所示。

图中,(a)是脉冲信号经发送成形滤波器后输出的时域波形;(b)是(a)图信号的频谱图;(c)、(d)两图分别是5抽头和11抽头自适应均衡器的抽头系数随时间变化的波形;(e)、(f)两图分别是5抽头和11抽头自适应均衡器的误差曲线,可以看出,11抽头均衡器的误差信号要小于5抽头均衡器的误差信号;(g)、(h)是未均衡前的信号眼图,很明显光纤色散导致了ISI的产生;(i)、(j)分别是ISI信号经5抽头和11抽头自适应均衡器后输出的眼图,很明显,自适应均衡器能够改善信号输出,有效消除ISI,11抽头均衡器比5抽头均衡器的性能要好,但这是以提高计算量为代价的。

4 结束语

由于LMS算法简单、高效,且在各种条件下效果良好,因而被广泛应用。对于高速光纤通信系统,LMS算法同样能很好地对光纤信道进行均衡,有效地消除光纤色散和由PMD引起的ISI。自适应均衡器的首要要求是稳定性,这可以通过选择合适的步长来保证,可在收敛步长范围内,减小步长以减小失调的期望水平,降低收敛速度。相反,如果步长增大,将提高收敛速度,这也将导致失调的加剧。收敛速度和失调的折衷是LMS算法的一个基本特征。

参考文献

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