基于傅里叶变换长期趋势预测的交易性择时策略实证研究

1 傅里叶变换方法简介

傅里叶变换 (Fourier transform) 是一种线性的积分变换。其主要研究信号的时域和频域之间的关系, 它可以将一个信号分割成正弦信号和余弦信号, 提取这些信号的幅值和频率, 所以也可以称傅里叶变换为时域信号到频域信号的一个映射函数。傅里叶变换一般有四种形式——连续傅里叶变换、傅里叶级数、离散时域傅里叶变换 (DTFT) 以及离散傅里叶变换 (DFT) 。由于股票数据为离散数据, 所以本文我们讨论离散傅里叶变换。

1.1 离散函数的傅里叶变换

离散函数的傅里叶变换, 即时间序列的傅里叶变换, 在分析序列的频谱、研究离散时间系统的频域特性以及在信号通过系统后频域的分析上, 都有重要作用。时间序列的傅里叶变换是以einω的完备正交函数集对序列做正交展开。

时间序列x (n) 的傅里叶变换定义为

由于时域是离散的, 故频域特性一定是周期的。从

可以看出, einω是ω的以2π为周期的正交周期性函数, 所以X (ω) 也是以2π为周期的周期性函数。又由于时域x (n) 可能是非周期的, 则频域X (ω) 一定是以ω为变量的连续函数。由于X (ω) 是周期的, 故 (1) 式可以看成X (ω) 的傅里叶级数展开, 其傅里叶级数的系数是x (n) 。

下面讨论由X (ω) 求x (n) 的公式。对 (1) 式两边乘以einω, 然后在一个周期 (-π, π) 内做积分, 可得

如果 (1) 式的展开式一致收敛于X (ω) , 即满足一致性条件

那么, 按级数理论, 可将 (3) 式的积分与求和符号交换, 则有

由于

则有

将上式中的m换成n, 则有

对比 (1) 式可以看出, (8) 式即为离散傅里叶变换的逆变换。

1.2 算法设计

(1) 时间窗口划分。获取沪深300指数的日收盘价时间序列, 经过平滑处理得到。指定窗口长度N, 依次取、、……等子窗口, 计算等时点的瞬时周期。

(2) 计算功率谱。根据 (1) 式, 对每个时间窗口进行离散傅里叶变换, 计算不同频率下的功率谱强度。

(3) 计算平均周期。通过传统的离散傅里叶变换来估计非周期函数的“准周期”, 主要存在分辨率较低的问题。即在将时域转换成频域后挨着很近的几个峰之间会出现一定的重叠, 这不利于我们准确估计准周期。因此, 借鉴广发证券金融报告的做法, 我们对传统离散傅里叶变换进行加权处理。这里所谓的权重, 我们按照每个频率 (周期) 在谱上的强度来确定。根据文献阅读, 我们将权重的计算定义为

S越接近于0, 代表该周期点上的谱强度越大。因此按照功率谱强度进行周期加权, 可以选择一个阈值q, 当S (T)

通过加权有效的周期数, 估计得到某段时间序列的平均周期为

根据上式, 我们即可估计一段时间序列的平均周期, 从而根据波动平均周期判断市场处于趋势状态还是震荡状态。

根据 (9) 式, 计算功率谱上每个周期T的强度。当该强度小于阈值q时, 根据 (10) 式计算权重, 并根据 (11) 式计算时间子序列的平均周期。

(4) 趋势行情中进行趋势交易。通过设定阈值T, 可以判断市场处于震荡还是趋势。趋势判断标准为

当市场处于趋势行情时, 我们将进行趋势交易。如果市场出现趋势, 方向是很好判断的——我们将信号出现前时间子序列的收盘价数据做线性回归, 当回归斜率大于零时, 我们认为是上升趋势, 做多指数;回归斜率小于零时, 我们认为是下降趋势, 做空指数。当市场从趋势行情回归至震荡行情的时候, 我们对所持有的头寸进行平仓。

2 交易性择时策略实证分析

本文选取的数据是2012年6月15日到2017年6月15日的沪深300指数, 通过对其日收盘价序列进行建模, 从而进行多空双向择时, 最后确定交易策略。本文的思路是在日线的基础上进行傅里叶变换建模, 从而判断市场状态, 将其分为趋势状态和震荡状态。在趋势状态, 进行趋势交易, 而在震荡状态, 则不进行交易。

2.1 选取时间窗口

首先选取时间窗口。本文中选取的时间窗口为30天, 选取30天虽然有一定的延迟, 但是能够较为精确地计算出周期。

2.2 计算功率谱

根据时间窗口内的日收盘价, 依据 (1) 式, 分别对每个窗口进行离散傅里叶变换, 并计算出不同频率下的功率谱强度, 从而得到频谱图。

2.3 计算平均周期

由上述频谱图, 我们可以根据式 (9) 计算出功率谱上每一个周期的强度, 为此我们设定一个阈值q=19, 若小于19, 那么我们就可以根据式 (11) 计算出每个时间窗口的平均周期, 即为时间窗口最后一天的收盘价对应的市场波动瞬时周期。根据上述算法, 我们得到的2012年—2017年的平均损失周期序列, 单位为天。选取11为市场波动瞬时周期的阈值, 若大于该阈值, 则判断为趋势状态, 否则为震荡状态。可以看到, 瞬时周期的变化比较缓慢, 也就是说, 市场的趋势往往会维持一段时间, 而震荡状态消失较快。

2.4 趋势行情中进行趋势交易

选取11为市场波动瞬时周期的阈值, 若大于该阈值, 则判断为趋势状态, 否则为震荡状态。若判断市场为趋势状态, 则对该时间前30天的收盘价序列进行简易的线性估计, 得出其斜率, 若斜率为正, 判断为上升趋势, 则购入一手, 若斜率为负, 则卖出一手。由于建模需要初始样本数据进行初始化, 因此实际的回测窗口为2012年7月16日到2017年5月16日, 测算得到的累计收益率, 其中累积收益率按照单利计算。2015年7月到2016年7月的回测表现较好, 说明该项策略起了作用。

3 结语

本篇报告通过加权傅里叶变换, 对非周期金融市场波动的准周期进行估计, 从而进行大级别的市场方向预测。当市场波动周期较长时, 我们认为市场在大概率上存在较好的趋势性;反之, 当市场波动很频繁, 周期很短时, 我们认为市场处于震荡行情。趋势择时模型只有在市场趋势强时才会有较好表现, 因此我们在模型认为市场处于趋势市时, 通过线性拟合估计市场趋势的方向, 并形成相关的趋势择时信号。从实证方面来看, 该择时策略在2015年至2016年的趋势市场中表现良好, 而在之后的震荡行情中表现平平。

但值得注意的是, 上述模型背后的基础假设是市场的运动模式是处于趋势震荡的一个交替的往复循环。然而实际上, 我们会发现在一个趋势结束后, 经常会立马转入另一个反向的趋势, 比如指数加速上涨后的泡沫突然破裂, 这就会使得我们的模型出现误判。本篇文章通过短期历史数据进行建模与回测, 得到良好的择时预测效果。但由于市场具有不确定性, 择时模型仅在统计意义下有望获得良好投资效果, 也具有单次失效的可能性。

在后续的研究中, 我们可以在模型中加入一定的止损机制, 形成交易性择时模型。预计加入止损机制后累积收益率和胜率会有所下降, 但我们认为这样做更符合逻辑, 并可以在未来择时判断中降低模型风险。

摘要：对于正常股票投资者而言, 无论是否需要获得超额的股票投资收益, 都需要首先面对股票选择和交易时间选择的问题, 这一直是投资者持续关注的焦点。由于大盘长期来看是相对稳定的, 通过适用模型估测单个指数浮动趋势可有效抵御大幅波动风险, 实现择时交易收益最大化。但有些时候仅仅将市场状态分解为看多或者看空是不合理的, 因为市场可能根本就不存在趋势。本文通过傅里叶变换模型, 对非周期金融市场波动的准周期进行估计, 从而进行大级别的市场方向预测。当市场波动周期较长时, 我们认为市场在大概率上存在较好的趋势性;反之, 我们认为市场处于震荡行情。趋势择时模型只有在市场趋势强时才会有较好表现, 因此我们认为市场处于趋势市时, 建立模型并通过线性拟合估计市场趋势的方向, 且形成相关的趋势择时信号。

关键词：择时交易,傅里叶变换,趋势行情,震荡行情

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