变截面微梁的变形分析

由于微梁的控制方程为耦合方程, 较难求出其数值解, 因此, 微梁的力学分析通常采用有限元方法。有限元方法虽然具有较高的计算精度, 但对于耦合场的计算效率很低, 通常计算一个吸合电压就需要数小时, 不利于结构的设计、优化。本文利用打靶法将微梁的变形由边值问题转化为初值问题, 并结合迭代修正齐次扩容精细积分法建立了一种分析两端固支变截面微梁变形的半解析方法。

1 微梁计算模型

图1为两端固支微梁结构示意图, 图中L、h、b、d分别是梁的长度、厚度、宽度和变形前梁与固定极板的距离。对于变截面矩形微梁, 其截面的宽度和厚度均表示为长度x的函数。

梁弯曲时的载荷、内力、位移之间的关系为:

其中, Q, M, ϕ分别为微梁的剪力、弯矩和转角, E为微梁的弹性模量。

在考虑边缘效应后, 静电分布力的集度可以表示为[4]

将 (2) 式代入 (1) 式, 并进行无量纲化, 令, 可以求出考虑边缘效应后变截面微梁的控制方程:

2 数值计算方法

变截面微梁的控制方程 (3) 式是一阶偏微分矩阵方程, 迭代修正齐次扩容精细积分法非常适合于求解此类方程。在计算中将梁沿长度方向分为若干段, 并以每段内几何尺寸的平均值作为计算值。只要所分的段数合适, 这种处理方式是可以保证计算的精度的。

两端固支微梁起点的转角和位移为零 (ϕ|x=0=0, w|x=0=0) , 但剪力和弯矩的数值是未知的, 因此, 起点处的状态向量未知, 不能直接用精细积分法求解。设起点处未知的剪力和弯矩为, 则起点的状态向量为v={z, 0, 0}T。若给赋一个初值, 就可以利用迭代修正齐次扩容精细积分法求出终点处的状态向量。两端固支微梁在终点处的边界条件为:ϕ|x=L=0, w|x=L=0。借助打靶法的思路, 调整z的值使终点的状态向量满足终点边界条件, 该值就一定是起点处真实的剪力和弯矩。本文采用逆Broyden秩1方法来求解满足终点边界条件的z, 迭代公式为:

式中, , k为迭代的次数, Hk为矩阵, sk为变量误差, 即第k次和第k-1次迭代计算出来的z的差值, yk为函数误差, 即第k次和第k-1次迭代计算出来的G的差值。

在逆Broyden秩1方法中, 初值的选择对于计算结果的精度有很大的影响, 若初值不在真实值的附近, 最终的计算结果会产生很大的误差。具体如下:

将驱动电压均匀分成个区间, 每个区间的增量为∆V。在V=0 (无载荷作用) 时, 很容易知道, 梁起点处的剪力和弯矩都为零, v0={0, 0, 0, 0}T一定为起点的真实状态向量。给电压一个较小的增量∆V, 电压V=∆V, v0应该在真实值的附近, 利用 (4) 式求出该区间的真实状态向量, 记为v1。在第i个电压区间, 电压V=i⋅∆V, 以vi-1为迭代初值可求出该区间初向量的真实值vi。重复以上步骤, 最终可以求出电压V=n⋅∆V时初向量的真实值vn。然后以vn为初向量, 由迭代修正齐次扩容精细积分法就可以求出微梁上任意一点的状态向量。上述增量迭代法可以获得较高的精度和收敛性。

3 数值算例

考虑一两端固支的变截面微梁, 几何和物理参数为:L=2×10-4m, d=3×1 0-6 m, E=160GPa, ε=8.854×10-12F/m。令微梁的厚度h=2e-6m, 宽度呈线性分布, 考察微梁宽度对吸合电压的影响。取起点的宽度b1=2e-5m, 终点宽度b2取不同的值时, 在考虑边缘效应和忽略边缘效应两种情况下, 采用本文方法所计算出来的吸合电压的比较如表1所示。

文献[7]采用表1中的第一组数据计算了不考虑边缘效应时两端固支微梁的吸合电压, 文献中的计算结果为168.8V。对比表1中相应的数据可以看出, 本文所计算出来的吸合电压值与文献值吻合得很好。数据表明, 在不考虑边缘效应时, 矩形截面微梁的宽度对吸合电压没有影响。这是因为不考虑边缘效应时, (3) 式中的非齐次项只有一项。而矩形截面的惯性矩为I (x) =b (x) ⋅h3 (x) /12, 代入非齐次项的表达式后即可将b (x) 消去, 因此, 静电力载荷的大小与宽度无关。由于静电力的增加, 吸合电压减小。宽度越小, 边缘效应的影响越大。

令微梁的宽度b=2e-5m, 厚度呈线性变化, 考察微梁厚度对吸合电压的影响。取起点的厚度h1=2e-6m, 终点厚度h2取不同的值时, 在考虑边缘效应和忽略边缘效应两种情况下, 采用本文方法所计算出来的吸合电压的比较如表2所示。

由表2可以看出, 厚度的变化对于吸合电压有很大的影响。厚度的增加可以增强微梁的刚度, 使其吸合电压增大。

取表2中的第3组数据 (b2=2e-5m, h2=1e-6m) , 考虑边缘效应时, 不同驱动电压下, 微梁的挠曲线如图2所示。微梁中点的挠度随驱动电压的变化如图3所示。需要指的是, 由于截面是呈线性变化的, 对于不同的截面, 最大挠度的位置不一样。但由图2可知, 最大挠度所在的位置在梁中点附近, 本文只考虑中点挠度的变化。由图3可以看出, 当驱动电压较小时, 两条曲线几乎重合。由于边缘效应的作用, 静电力增加, 微梁中点的挠度比不考虑边缘效应时的挠度略大。

4 结语

本文提出了一种分析两端固支变截面微梁变形的半解析方法。文中采用该方法分析了两端固支变截面微梁的变形特点, 并讨论了几何尺寸和边缘效应对微梁吸合效应的影响, 得到了一些结论。

摘要：考虑静电力边缘效率的影响, 导出了静电力微梁的耦合控制方程, 并借助打靶法和迭代修正齐次扩容精细积分法提出了一种分析两端固支变截面微梁变形的半解析方法。与文献值的比较表明, 本文方法具有较高的精度, 并采用该方法分析了边缘效应和截面的几何尺寸对微梁变形的影响。

关键词：微梁,变形,变截面,打靶法,迭代修正齐次扩容精细积分法

参考文献

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