最短路径问题归纳总结

总结是一次反思过程，是一种记录工作情况、回顾工作不足的重要方式，在总结写作的过程中，我们需要全面化的分析工作情况，这有利于我们的工作成长。怎么写出有效的总结呢？下面是小编为大家整理的《最短路径问题归纳总结》相关资料，欢迎阅读！

第一篇：最短路径问题归纳总结

13．4 课题学习 最短路径问题

13.4

课题学习

最短路径问题

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理.

一师一优课　一课一名师　(设计者：　　　)

一、创设情景，明确目标

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近?你的理由是什么?

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

二、自主学习，指向目标

自学教材第85

页至87

页，思考下列问题：

1.求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短.

2.求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.

3.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.

三、合作探究，达成目标

探索最短路径问题

活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l

饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的

知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?

追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么?答：将A，B

两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线.

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗?

答：(1)从A

地出发，到河边l

饮马，然后到B

地;

(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B

连接起来的两条线段的长度之和，就是从A

地到饮马地，再回到B

地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C

为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C

在l

的什么位置时，AC

与CB

的和最小(如图).问题2：如图，点A，B

在直线l

的同侧，点C

是直线上的一个动点，当点C

在l

的什么位置时，AC与CB的和最小?

追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB

与CB′的长度相等?

追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗?

展示点评：作法：

(1)作点B

关于直线l

的对称点B′;

(2)连接AB′，与直线l

交于点C.

则点C

即为所求.

问题3　你能用所学的知识证明AC

+BC最短吗?

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，

BC

=B′C，BC′=B′C′.

∴

AC

+BC=

AC

+B′C

=

AB′，

AC′+BC′=

AC′+B′C′.

在△AB′C′中，

AB′

∴

AC

+BC

AC

+BC

最短.

小组讨论：证明AC

+BC

最短时，为什么要在直线l

上任取一点C′(与点C

不重合)，证明AC

+BC

反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C

不重合)与A，B

两点的距离和都大于AC

+BC，就说明AC

+BC

最小.

C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点.

针对训练：

1.如图，

A、B是河流

同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?请在图中表示出来.

答：如下图，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求.

2.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC

上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径.

答：作Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′交BC于R，

∴旅游船线路：P—Q—R—P.

选址造桥问题

活动二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)

展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM+BN最短即可.

第二篇：迷宫最短路径问题的计算机解法

文章编号:10060042 (14)111 ;

/ / 假设迷宫入口的出发点存于seat [thepath (int m ,int n) / / 0 < m ≤M

2{/ / 变量声明部分———对所用其它变量完成变

量声明

i = 0 ;/ / 此处开始给迷宫设置围墙 while (i < = n + 1)

{maze[0 ] [i ] = 1 ;maze[m + 1 ] [i ] = 1 ; i = i + 1 ;} i = 1 ;

while (i < = m + 1)

{maze[i ] [0 ] = 1 ;maze [i ] [ n + 1 ] = 1 ;i = i + 1 ;} i = 1 ;

/ / 此处开始建立迷宫;并对标志数组初始化 while (i < = m) {j = 1 ; while (j < = n)

{maze [i ] [j ] = random(1) ;

/ / 随机函数产生0 或1 并赋予迷宫 / / 可用Pat 值调整0 与1 的比例,然后打印迷

宫相应位置(略)

status [i ] [j ] = 0 ;j = j + 1 ;} i = i + 1 ;}

/ / 读入dire 数组;按顺时针建立八个方向上的

位移(略) ;

/ / 寻找最短路径

if (maze [1 ] [1 ] = = 0 & & maze [m] [ n ] = = 0) / / 出入口都可通行

top = 1 ;

/ / top 指向seat 数组中最新记入迷宫通行点的位置 f = 1 ;

/ / f 指向seat 数组中存放即将作为新出发点的位置 j = 0 ;/ / j = 0 ,表示找不到最短路径;j = 1 ,表示

成功找到最短路径

while (f < = top) / / 以下为Critical Loop 循环 {i = 1 ; while (i < = 8)

{/ / 从f 所指的出发点出发,对八个方向搜索可

通行的位置

x = seat [f ] [0 ] + dire[i ] [1 ] ; y = seat [f ] [1 ] + dire[i ] [2 ] ; if (x = = m & & y = = n) {/ / 找到最短路径,打印输出 printf (“%d , %d n”,m ,n) ; while (f ! =thepath

6. 算法分析 6. 1 时间复杂性

这里选用渐进时间复杂度(Asymptotic

Time Complexity) 。作为问题的基本操作的 原操作,应是其重复执行次数和算法的执行 时间成正比的原操作,多数情况下它是最深 层循环内的语句中的原操作,它的执行次数 和包含它的语句的频度(Frequency Count) 相 同。因此,建立迷宫需要的时间为O (m 3 n) 。在最坏情况下有m 3 n - 1 个位置要进 入seat 数组,所以寻找路径也需要O (m 3 n) ,总的时间复杂性为O(m 3 n) 。 6. 2 空间复杂性

本问题的空间复杂度( Space Complexi2

ty) 与算法密切相关,它不仅需要存储空间来 寄存迷宫本身所用的信息,还需要一些对数 据进行操作的工作单元和存储一些实现计算

所需信息的辅助空间。

其中,数组maze 、status、seat 所需要的空 间都与m 3 n 成正比,其余都是常数。所以, 总的空间复杂性为O(m 3 n) 。

此外,尚需说明的是,所谓当前位置“可 通”,指的是未曾走到过的通道,即要求该位 置不仅是通道,而且既不在当前路径上(否则 所求路径就不是简单路径) ,也不是曾经纳入 过路径的通道(否则只能在死胡同内转圈) 。一个迷宫的最短路径可能不止一条,本 算法只给出首先找到的一条。首先找到哪一条最短路径,与在任一位置上对八个方向的 搜索次序有关,即与dire 数组元素值的排列 次序有关(如图1 所示) ,调整dire 数组元素

值的排列次序,就可得到其它的最短路径。

参考文献

[1 ]严蔚敏、吴伟民. 数据结构[M] . 北京:清华大学

出版社,2002.[2 ]郭洁志. 计算机软件实践[M] . 陕西:西北电讯出

版社,1985.

[3 ]黄刘生、唐策善. 数据结构[M] . 安徽:中国科学

技术大学出版社,2002.

[4 ]王立柱. C/ C + + 与数据结构[M] . 北京:清华大

学出版社,2002. 45

第17 卷第1 期

2004 年2 月

高等函授学报(自然科学版)

Journal of Higher Correspondence Education (Natural Sciences) Vol. 17 No. 1 February 2004__

第三篇：13.4 课题学习 最短路径问题 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定;

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题;

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

2. 教学重点/难点

教学重点

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路 径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。

3. 教学用具 4. 标签

教学过程

一、创设情景，引入新知。

同学们：我们已经学习过“两点的所有连线中， 。”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ”等问题，我们称他们为最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近?你的理由是什么?

(I)两点在一条直线异侧：

活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。

思考：为什么这样做就能得到最短距离呢?你如何验证PA+PB最短呢? (Ⅱ) 两点在一条直线同侧

活动2：如图，牧马人从地出发到一条笔直的河边L饮马，然后到地，牧马人到B河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短?这个问题可以转化为;当点L在的什么位置时。AC与BC的和最小。

2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题

活动3：如图，A和B连地在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)

①怎样将实际问题转化为实际问题? ②若直线重合，最短路径是什么? ③若将直线平移开，怎样思考该问题? ④怎样解决造桥选址问题?

作法：如图，1.将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到A2.连接AB交河岸与点N，在此处造桥MN，所的路程AMNB就是最短路程。

三、合作交流，感悟新知 问题：如图，点A是总局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，怎样AD+DE+EA使最小?

四、反思构造，融汇新知

五、检测展示，反馈新知

如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

六、拓展延伸，深化新知

1、在一条河的同一岸上有AB两个油库，要在河边建一个码头C，怎样作图使：①AB两油库到码头C的距离相等. ②AC+BC最短.

2、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径.

七、学后反思，升华新知

第四篇：导航最短路径查询个人总结

个人总结

2013110410 云丹久美

这次实践，我们小组通过一个具体的程序实践项目——导航最短路径查询，巩固了已经学习的数据结构知识。例如，对一维数组，二维数组，文件的读写，循环菜单等的巩固。让我对这个专业，这个学科也有些新的认识和更深一个层次的理解。与此同时，也让我以前不懂或是不牢固的知识在实践之中进一步的掌握了。比如我以前一直不懂动态数组的使用，这次通过这个项目的实践掌握了动态二维数组的知识。

除此之外，程序实践课程的学习也大大提高了我的应用能力，如问题分析能力，编码调试能力，团队合作能力等等。

以前刚开始学习数据结构的时候，真的不知道该怎么样才能学好它。也不知道它到底是干什么的。只是一味的认为上课跟着老师走就能把它学的很好。可是学到最后才发现其实学习编程并不是像学习理论知识那样靠死记硬背，它需要的是我们分析问题的能力和想出解决办法的思维。一些错误的思维方式可能会导致整个程序无法正确执行。在当我们被需要写一个程序时，要考虑到所有的可能性，最后从这些可能性里选择最好的解决方法。这样，数据结构提高了我们对待问题的正确思维能力。

老师为我们提供了独立思考的条件，也在上课期间为我们辛勤指导，让我们自己编代码，写程序并调试结果。通过这一过程，编码调试的能力有了些提高。来自软件公司专业的老师也让我们意识到遵守良好的编码格式，工整的编码结构很重要。

在一个小组中，每个人承担不同的功能模块。最后由小组长把这些子模快连接起来。在完成这个系统的过程中我们彼此讨论着要怎么样才能把这个功能模块做出来。团队可以让我们把彼此的想法汇总到一起，然后从每个人的理解角度来分析每个问题的错误原因。让我明白了在软件开发的过程中一个团队的重要性。 当然，我也在此次的过程中认识到了自己的不足。在一开始分析数据的时候，看着这么多复杂的数据顿时觉得毫无头绪，代码调试中遇到错误时也是焦头烂额，还是会有畏难情绪的存在，需要今后大量的代码编写练习去克服。

通过这次为期7天的程序实践课程的学习，我收获了很多，也认识到了自身的不足。

总的来说，这次的程序实践课程让我受益匪浅。

第五篇：最短路径教案

最短路径问题

教学目标：

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

教学重点：

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

教学难点：

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。

导学过程：

一、创设情景，引入新知。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

问题1 (将军饮马问题)

牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短?

2、探索问题：

教师提出问题，引导学生思考：

(1)如何将这个实际问题转化为数学问题?转化的要点是什么?

(2)回忆以前学过的“最短”的知识点，(两点之间，线段最短;垂线段最短)，思考：这个问题中的“最短”和以前学过的知识有什么相同点和不同点? (3)、如何把“不同点”化为“相同点”? (4)、如何用图形将问题展现出来?

【学生活动】：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充，师生共同归纳： (1)、将A、B两地抽象为两个点，将河L抽象为一条直线(如图2)，则问题转化为：如何在L上找一点C，使AC与BC的和最小(如图3)。 转化时要注意条件和结论的转化，以及点、线的抽象。

(2)、相同点：都是两点间的最短距离问题。

不同点：一个是两点在L的同侧;一个是两点在L的异侧，并画图比较(如图4)。

1 (3)利用轴对称的知识找出B点关于直线L的对称点B′,就可以满足C B′= CB,再连接A B′，则A B′与直线L的交点C极为所求。

【教师板书并画图】(如图5)

第一步：作出B点关于直线L的对称点B′

第二步：连接A B′，与直线L的交点为C,则C点即为所求。

证明：略

问题二(造桥选址问题)如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)

将实际问题中A，B两地与笔直的河L抽象成 点A.点B和直线a，b.如图：

分析：AM+NB最短，要先确定点N在直线b的位置， 如果我先将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位 后到A′，由于MN垂直直线a，N点就是M点往直线 b的垂直方向平移MN个单位后到的点，由图形平移后 的对应点之间的线段是平行且相等的，得到AM=A′N. AM+NB最短即A′N+NB最短. 转变成了直线b上是找 到一点N，使A′ N+NB最短,连结A′,B,与直线b相交的 一点为N点.

证明略.

三、巩固练习 ：

1.∠WXZ内有一点Z，在WZ，ZY上分别有点A，B,当△ABZ的周长最小时，请在图中作出点A，B的位置.

2.如图，A、B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)

四、课堂小结

1、本节主要知识点：

轴对称的对称知识和两点间的最短距离在“最短路径”这类问题中的运用。 实际问题与数学问题的转化。

2、提出问题： 这节课你们学到了什么?还有哪些疑惑?

五、布置作业

新观察