浅谈一道课本习题的探究性教学

人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5有这样一道习题 (第77页B组第6题) :已知数列{an}中, a1=5, a2=2, an=2an-1+3an-2 (n≥3) 对于这个数列的通项公式作一研究, 能否写出它的通项公式?

本题事实上是对数列通项公式探究, 课程标准在探究数列通项公式中要求学生会运用观察法, 叠加法, 叠乘法写出或推导数列通项公式。

教师参考用书上给出的解答是:

解:由an=2an-1+3an-2得

以及an-3an-1=- (an-1+3an-2)

所以an+an-1=3n-2 (a2+a1) =3n-2×7

由以上两式得4an=3n-1×7+ (-1) n-1×13

所以, 数列的通项公式是

此题的解答过程非常简练明了, 但是学生在此处不明白

由an=2an-1+3an-2

如何得到an+an-1=3 (an-1+an-2)

实际上这里蕴含着方程的思想和递推的思想, 在课堂教学中, 对此问题我采用了探究性的教学方法, 不仅解决了难题, 还引导学生推导出了斐波那契数列的通项公式。

1回顾旧知识构造优良的认知结构

将必修5第39页B组第1题变形为:已知数列{an}中,

对于这个数列的通项公式作一研究, 能否写出它的通项公式?

分析:在推导等比数列通项公式时, 我们采用的是将n-1个式子叠乘而得到an与n的关系, 在这里我们如何使用叠乘法呢?

学生踊跃发言:在等比数列通项公式的推导中, 没有加上一个常数呀?此时加上一个常数后, 结构变了, 如何使用叠乘法呢?

教师引导:如果an与右边的an-1加同一个常数, 可以使用叠乘法吗?

此时课堂上气氛活跃起来, 学生思路打通:是啊!设一个未知数x。

不妨写成an+x=8 (an-1+x)

对比已知条件7 x=1

教师小结:很好!设一个未知数x, 将an, an-1看作已知数, 待定系数法求出了x。

通过叠乘法, 得到

2不尽的探索永恒的动力

教师引导:那么对于第77页B组第6题an=2 an-1+3 an-2, 我们也运用方程的思想设未知数, 同学们不妨试一试?

学生经过思考, 演算后发言踊跃:老师, 这里是an与an-1和an-2的递推关系, 我发现设一个未知数根本不行。

教师引导:一个不行, 同学们不妨设两个未知数。

此时已有学生在纸上赫然写出:an+xan-1=y (an-1+xan-2)

教师:非常好!能求出x与y吗?变形an= (y-x) an-1+xyan-2

对比已知条件an=2an-1+3an-2

代入an+an-1=3 (an-1+an-2) (1)

将 (1) 式用叠乘法

将 (2) 式用叠乘法

将 (3) ×3+ (4)

教师总结:这是方程思想与递推思想的经典结合, 通过探究, 方法变成了规律。下面请同学们用以上方法推导出n≥3时, 斐波那契数列的通项公式。

十分钟后, 同学们推导出n≥3时, 斐波那契数列的通项公式为

(附:斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ……a1=1, a2=1, an=an-1+an-2 (n≥3) )

事实上, 探究性教学应该遵循循序渐进以及与日常教学相结合的原则, 只有在学生的认知能力, 知识结构到一定层面上, 探究才能水到渠成。同时要注重探究过程与情感的体验, 也许有些探究结果在将来的高考中派不上用场, 但是学生的这种探究意识, 探究欲望以及对成功的体验应该是一笔巨大的财富。作为教师要厚积, 努力挖掘课本上教学内容的“探究内涵”, 既要让学生掌握知识, 又要提高探究学习的方法和能力, 培养学生的创新意识和创新精神。

摘要：《浅谈一道课本习题的探究性教学》挖掘课本上教学内容的“探究内涵”, 既要让学生掌握知识, 又要提高探究学习的方法和能力, 培养学生的创新意识和创新精神。

关键词：数学教育论文